Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Mô hình hóa các quá trình lãi suất, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------------
Đỗ Thị Thu
MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH
LÃI SUẤT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Đỗ Thị Thu
MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH
LÃI SUẤT
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS NGUYỄN CHÍ LONG
Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

3. MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN................................................................................................................. - 3 -
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ - 4 -
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ - 5 -
1.1. Quá trình ngẫu nhiên...................................................................................... - 5 -
1.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc.......................................... - 6 -
1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc)................................................................................... - 6 -
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc. .................................. - 6 -
1.3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng:......................................................... - 6 -
1.4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ −trường ........................................ - 7 -
1.5. Martingale........................................................................................................ - 7 -
1.6. Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn:............................................. - 8 -
1.7. Tích phân Ito ................................................................................................... - 8 -
1.7.1. Vi phân Itô ................................................................................................ - 9 -
1.7.2. Công thức Itô ............................................................................................ - 9 -
CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI PHIẾU ........................ - 11 -
2.1. Một số khái niệm trong tài chính................................................................. - 11 -
2.2. Đường cong hoa lợi và lãi suất..................................................................... - 13 -
2.2.1. Đường cong hoa lợi (Yeid Curve)......................................................... - 13 -
2.2.2. Lãi suất định trước (Forward Rates) ................................................... - 14 -
2.2.3. Tính lãi suất định trước ( )0;f t ............................................................ - 15 -
2.4. Các mô hình định giá trái phiếu.................................................................. - 16 -
2.3.1. Định giá trái phiếu và các độ đo martingale........................................ - 16 -
2.3.2. Độ đo martingale trung hòa rủi ro. ...................................................... - 16 -
2.3.3. Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap) ..................................................... - 18 -
2.4. Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi ............................................ - 21 -
2.5. Mô hình định giá trái phiếu ......................................................................... - 25 -
2.5.1. Quá trình định giá Quyền Chọn ........................................................... - 25 -

4. 2.5.2. Mô hình định giá trái phiếu................................................................... - 25 -
2.5.1. Giá trái phiếu.......................................................................................... - 32 -
CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT .............................. - 34 -
3.1. Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee:......................................................... - 34 -
3.1.1. Định nghĩa:.............................................................................................. - 34 -
3.1.2. Phương trình giá trái phiếu Vasicek:................................................... - 35 -
3.2. Mô hình Hull-White...................................................................................... - 36 -
3.2.1. Công thức giá trái phiếu P :.................................................................. - 36 -
3.2.2. Lãi suất ngắn hạn trong mô hình Hull-White:.................................... - 38 -
3.3. Mô hình lãi suất ngắn hạn: .......................................................................... - 39 -
3.3.1. Danh mục đầu tư không rủi ro địa phương......................................... - 41 -
3.3.2. Mô hình hóa Martingale........................................................................ - 45 -
3.3.3 Cấu trúc affine........................................................................................ - 46 -
3.3.4. Ước lượng các tham số của mô hình lãi suất:...................................... - 51 -
3.4. Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM)...................................................... - 55 -
KẾT LUẬN .................................................................................................................. - 59 -
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................ - 60 -

5. LỜI CÁM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới PGS.TS NGUYỄN CHÍ LONG đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi
có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên
trong khoa Toán – Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình
dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa.
Tôi cũng xin cám ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư
Phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể
học tập và nghiên cứu hiệu quả.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012.
Đỗ Thị Thu

6. LỜI MỞ ĐẦU
Lãi suất luôn được xem là vấn đề nhạy cảm đối với đời sống kinh tế. Lãi suất
tác động trực tiếp đến lợi nhuận của các chủ thể kinh tế, quyết định tới lợi nhuận của
các nhà kinh doanh Ngân Hàng, quyết định tới hiệu quả kinh tế trong hoạt động sản
suất kinh doanh của các doanh nghiệp. Có rất nhiều nghiên cứu, các cuộc tranh luận
và bàn cãi về lãi suất, diễn biến lãi suất, các mô hình lãi suất,…Thông tin về lãi suất
cũng được cập nhật hàng ngày trên các báo, tạp chí, tạp san chuyên nghành,...Lãi suất
thực sự là vấn đề nóng bỏng thu hút được sự quan tâm của mọi tầng lớp dân cư và xã
hội.
Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá
và bảo hộ giá các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Các mô hình trái phiếu thường
không tương đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái
phiếu. Với mong muốn hiểu thêm về các mô hình lãi suất trên các kiến thức về giải
tích ngẫu nhiên đã học và xuất phát từ ý nghĩa thực tiễn cùng tính thời sự của vấn đề
này, tôi đã chọn đề tài “Mô hình hóa các quá trình lãi suất”. Tuy nhiên, với tính chất
phức tạp của vấn đề, với giới hạn của bài viết này thì tôi sẽ trình bày các mô hình lãi
suất quan trọng nhất, nghiên cứu các phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô
hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận dụng nó trong thực hành. Nội dung luận văn gồm có
3 chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
………………………………………
Chương 2: LÃI SUẤT VÀ LÃI SUẤT ĐỊNH TRƯỚC
………………………………………
Chương 3: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI SUẤT
………………………………………

7. CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Quá trình ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.1: Cho ( ); ;PΩ  là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm:
• Ω là một tập cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈Ω đại diện cho một yếu
tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó.
•  là một họ nào đó các tập con của Ω có các tính chất sau:
i. ,∅ Ω∈
ii. Nếu A∈ thì A∈
iii. Nếu { }n n
A ∈ thì
1
n
n
A
∞
=
∈ 
Khi đó họ  được gọi là σ − đại số các tập con của Ω . Chú ý rằng do tiên đề
thứ hai và thứ ba nên ta có tính chất nếu { }n n
A ∈ thì
1
n
n
A
∞
=
∈  .
Mỗi tập ∈  sẽ được gọi là biến cố ngẫu nhiên.
• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian độ đo ( ),Ω  , nghĩa là trên
σ −đại số  xác định một hàm tập [ ]: 0,1P → thỏa các tính chất sau:
 ( ) 1P Ω =.
 Nếu { }n n
A ∈
là dãy các biến cố sao cho: ,i jA A i j∩ =∅ ∀ ≠ thì
( )1 1
i i
i i
P A P A
∞∞
= =
 
= 
 
∑ .
Một quá trình ngẫu nhiên ( ), 0tX t ≥ là một hàm hai biến ( ),X t ω xác định trên tích
+
×Ω lấy giá trị trong , và là một hàm đo được đối với σ −trường tích + ×
B ,
trong đó +

B là σ −trường các tập Borel trên +
 .

8. 1.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc.
1.2.1 Định nghĩa (bộ lọc).
Định nghĩa 1.2: Một họ các σ −trường con ( ), 0t t ≥ của  , t ⊂  được gọi là
một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
i. { }t là một họ tăng theo t , tức là s t⊂  nếu s t< .
ii. { }t là một họ liên tục phải, nghĩa là
0
t t ε
ε
+
>
=   .
iii. Nếu A∈ và ( ) 0P A = thì ( )0 ,A∈ = Ω ∅ (do đó  nằm trong mọi t )
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc.
Cho một quá trình ngẫu nhiên ( ), 0tX X t= ≥ . Ta xét σ −trường X
t sinh bởi tất
cả các biến ngẫu nhiên sX với s t≤ : ( ),X
t sX s tσ= ≤ . σ −trường này chứa
đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t .
Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X (hay gọi là lịch sử của X , hay
cũng gọi là trường thông tin về X ).
Một không gian xác suất ( ), ,PΩ  trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc { }t , được
gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu { }( ), , ,t PΩ   .
1.3. Thời điểm Markov và thời điểm dừng:
Định nghĩa 1.3: Biến ngẫu nhiên { }τ +∈ +∞  được gọi là thời điểm Markov
đối với lọc { } 0t t≥
 nếu 0t ≥ ta có
( ){ }: ttω τ ω∈Ω ≤ ∈ .
Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu
( ){ }: 1P ω τ ω∈Ω < +∞ = (nghĩa là τ là hữu hạn hầu chắc chắn)
Chú ý 1.4:

9. Cho τ là thời điểm Markov và xét σ −đại số
{ }{ }: , , 0tA A A t tτ τ= ∈ ≤ ∈ ∀ ≥   , đó là σ −đại số các thông tin có trước
thời điểm τ .
1.4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ −trường
Cho ( ), ,PΩ  là một không gian xác suất,  là một σ −trường con của  ,
⊂  và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ ( ),Ω  vào
( ),  B , trong đó B là σ −trường các tập Borel trên đường thẳng . Khi đó,
một biến ngẫu nhiên *
X được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ −
trường  , nếu:
• *
X là biến ngẫu nhiên đo được đối với 
• Với mọi tập ∈  thì ta có *
X dP XdP=∫ ∫ 
.
Biến ngẫu nhiên *
X này được ký hiệu là ( )E X| . Ta chú ý rằng kỳ vọng có
điều kiện ( )E X| là một biến ngẫu nhiên.
Nếu ta chọn σ −trường  là σ −trường ( )Yσ sinh ra bởi một biến ngẫu
nhiên nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với ( )Yσ cũng được ký
hiệu là ( )E X| .
1.5. Martingale
Định nghĩa 1.5: Cho một quá trình ngẫu nhiên ( ), 0tX X t= ≥ thích nghi với
bộ lọc { }t và khả tích tE X < ∞ với mọi 0t ≥ .
Giả sử s và t là hai giá trị không âm bất kỳ sao cho s t≤ . Khi đó:
• Nếu ( )t sE X | sX≤ thì X gọi là martingale trên (supermartingale)
• Nếu ( )t sE X | sX≥ thì X gọi là martingale dưới (supmartingale)
• Nếu ( )t sE X | sX= thì X gọi là martingale đối với bộ lọc { }, 0t t ≥

10. Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng { }t là bộ lọc tự nhiên của { }tX , tức là:
( ), X
t s tX s tσ= ≤=  .
1.6. Quá trình Wiener hay chuyển động Browwn:
Định nghĩa 1.6: Chuyển động Brown hay quá trình Wiener được ký hiệu là W(t) thỏa
mãn các tính chất sau:
i. W(0)=0.
ii. W(t) là biến liên tục theo thời gian t .
iii. Sự thay đổi W(t+s)-W(s) (0,1), 0 tsℵ ∀ ≤ ≤ , trong đó µ σ ℵ , 
 
2 biểu thị
phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ và phương sai σ 2.
1.7. Tích phân Ito
Định nghĩa 1.7: Cho ( , )f t ω là một quá trình ngẫu nhiên với W(t) là một chuyển
động Brown, tất cả các quỹ đạo của f và W là xác định trên [ ];a b . Tích phân Itô
của quá trình ngẫu nhiên ( ),f t ω là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau
đây nếu nó tồn tại:
( ) ( )
i+1
t t+1 t
ax t 0
, W l.i.m , [W W ]
i
b
ia m t
I f t d f tω ω
− →
= = −∑∫
(1.1)
Chú ý 1.8:
i. Nếu trong tích phân trên, ta đặt 0a = và 0b t= > thì ta có tích phân Itô
( ) s
0
, W
t
f s dω∫ phụ thuộc vào cận trên t và từ nay ta chỉ xét tích phân này.
ii. Nếu quá trình ngẫu nhiên ( ),f s ω thỏa mãn tích chất (i) và (ii) sau thì có tích phân
Itô

11. • ( ),f s ω đo được đối với σ −trường tích [ ]0,t
×B và thích nghi đối với
W
t t=  , trong đó [ ]0,t
B là σ −trường Borel trên [ ]0,t và W
t là σ −trường
sinh bởi chuyển động Brown tW đã cho.
• ( )2
,
b
a
E f t dtω < ∞∫
1.7.1. Vi phân Itô
Giả sử rằng ( ), 0tX X t= ≥ là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
• Hầu hết các quỹ đạo tt X→ liên tục.
• Hầu chắc chắn tX có biểu diễn ( ) ( )0 s
0 0
, , W
t t
tX X h s ds f s dω ω=+ +∫ ∫
Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong
biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX .
Vi phân Itô dX được viết dưới hình thức như sau:
( , ) ( , ) WtdX h t dt f t dt ω ω= +
(1.2)
Hay
tdX hdt fdW= + .
1.7.2. Công thức Itô
Định nghĩa 1.9: Cho X là một quá trình Itô với tdX hdt fdW= + . Giả sử
( ) 2
, :g t x →  là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t , hai lần khả
vi liên tục theo biến thứ hai x.
Khi đó quá trình ngẫu nhiên ( ),t tY g t X= là một quá trình Itô có vi phân Itô
cho bởi công thức:

12. 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2
2
2
2
g g g
dY t X dt t X dX t X f t dt
t x t
t t t t t ω
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
(1.3)
Hay:
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2
2
2
2
0 0 0
g g g
Y s X ds s X dX s X f s ds
s x s
t t t
t s s s s ω
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫
(1.4)
Chú ý:
Trong các tích phân ( )1.3 và ( )1.4 thì dX coi như đã biết và ta có thể thay
dX hdt fdW= + .
Trong khi thực hiện các tính toán trên các vi phân, ta có thể áp dụng các quy tắc sau:
. 0, . W= W. 0, W. W=dt dt dt d d dt d d dt= = .

13. CHƯƠNG II: LÃI SUẤT VÀ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ TRÁI
PHIẾU
Tiền tệ là một loại hàng hóa và lãi suất là chi phí cho hàng hóa đó. Tiền hoặc
vốn đảm bảo cho sự phát triển của các quốc gia, cho các chi tiêu công cộng như: xây
dựng đường sá, trường học, sân bay, bến cảng, bệnh viện, nhà máy, hệ thống bưu
chính viễn thông, nhà máy điện, nhà máy thép và phòng thí nghiệm. Nói chung các
khoản tiền đó phải đi vay, vì thế hình thành nên các thị trường trái phiếu (bond
market). Có rất nhiều loại trái phiếu như: trái phiếu chính phủ (do chính phủ phát
hành), trái phiếu công ty (do công ty phát hành) và các trái phiếu đô thị (do các thành
phố hoặc các dơn vị hành chánh phát hành). Ở đây ta chỉ xét loại trái phiếu chính phủ.
2.1. Một số khái niệm trong tài chính
Cổ phiếu (Stock): Cổ phiếu là loại chứng khoán phát hành bởi công ty để huy động
vốn cho sản xuất kinh doanh của họ. Giá cổ phiếu biến động phụ thuộc vào tình trạng
Xã Hội và hoạt động kinh doanh của công ty. Người giữ cổ phiếu có quyền tham gia
vào hoạt động kinh doanh của công ty và nhận được cổ tức.
Trái phiếu (Bond): Trái phiếu là giấy ghi nợ phát hành bởi Nhà nước, Ngân hàng,
công ty cổ phần và các tổ chức tài chánh khác. Trái phiếu gắn liền với các chứng
khoán vị thế dài hạn. Giá trị của trái phiếu tăng lên theo thời hạn một lãi suất cố định
hoặc thay đổi. Có nhiều loại trái phiếu như: tài khoản Ngân hàng (bank account), trái
phiếu Chính Phủ (treasury bond), trái phiếu của các công ty (corporate bond),…
Quyền chọn ( Option): Quyền chọn là một hợp đồng tài chính cho phép người giữ nó
có quyền mua hoặc bán (nhưng không bắt buộc) một tài sản cơ sở tại một thời điểm
nhất định với giá đã xác định.
Quyền chọn tài chính bao gồm quyền chọn mua (call option) và quyền chọn bán (put
option). Quyền chọn mua hoặc bán một tài sản đã quy định tại một ngày quy định
(ngày đáo hạn) với một giá xác định.

14. Phương án đầu tư (porfolio): Một phương án đầu tư là tổ hợp của một số hữu hạn
các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử n chứng khoán với giá trị tại thời
điểm t là: ( ),..., ( )1S t S tn . Một phương án đầu tư là một cách chọn ra ( )1 tα chứng
khoán 1S ,…, ( )tnα chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của
phương án ấy tại thời điểm t , ký hiệu bởi ( )V tα :
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1
V t t S t t S t t S t
n
n n i i
i
α α αα= + + = ∑
=
(2.1)
Vì giá các chứng khoán ( ),..., ( )1S t S tn là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của
phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các ( )tiα ở đây là các hàm số tất
định của t . Một phương án đầu tư được ký hiệu bởi ø=( ,S)α . Phương án đầu tư cũng
được gọi là danh mục đầu tư hoặc chiến lược đầu tư hoặc chiến lược buôn bán.
Phiếu lãi (Coupon): một phiếu lãi (coupon) là phiếu đính kèm vào trái phiếu cho biết
số tiền lãi mà người mang nó được hưởng tại thời điểm nhất định, chẳng hạn cứ nửa
năm hoặc một năm một lần.
Trái phiếu với phiếu lãi 0 (Zero Coupon Bonds): Trái phiếu với phiếu lãi 0 với
ngày đáo hạn T , nói gọn là trái phiếu lãi suất 0 (hay trái phiếu-0 hay T-trái phiếu) là
loại trái phiếu mà người giữ nó không được hưởng lãi tại các thời điểm nhất định
nhưng được khấu trừ vào mệnh giá và được hưởng tỷ lệ lợi nhuận nếu giá trị của trái
phiếu trên thị trường tăng lên và trái phiếu thu hồi theo mệnh giá vào ngày đáo hạn.
Tài khoản tiền tệ (money account) được xác định bởi công thức:
( ) exp ( )
0
B t r s ds
t 
 =
 
 
∫
(2.2)

15. Tức là:
( ) ( ) ( )
10
dB t r t B t dt
B
=

=
(2.3)
Nếu ta xem tài khoản tiền tệ như là tài khoản ngân hàng (bank acount) với lãi suất
ngắn hạn ngẫu nhiên ( )r t thì việc đầu tư vào tài khoản tiền tệ là tương đương với
chiến lược kinh doanh tự tài trợ quay vòng tại mỗi thời điểm t trên các trái phiếu đáo
hạn ngay (just maturing), tức là trái phiếu đáo hạn tại t dt+ . Tài khoản tiền tệ ( )B t ở
trên được gọi là tài khoản không rủi ro, dù rằng ( )r t là một quá trình ngẫu nhiên.
2.2. Đường cong hoa lợi và lãi suất
2.2.1. Đường cong hoa lợi (Yeid Curve)
Trong tài chính, hoa lợi ( Yeid), ký hiệu là ( )Y T chỉ lãi suất trung bình hàng
năm của một trái phiếu cho thời kỳ [ ]0;T ( với T là thời điểm đáo hạn của trái phiếu)
Với những trái phiếu không phải trả lãi trước ngày đáo hạn thì hoa lợi được tính theo
tỉ lệ giá hiện tại và giá lúc đáo hạn của trái phiếu. Nếu ký hiệu tỷ lệ đó là (0; )P T thì ta
có:
(0, ) . ( )P T e T Y T= −
(2.4)
Hoặc
ln (0, )
( )
P T
Y T
T
= −
(2.5)
Trên mặt phẳng tọa độ Đề-Các ( , )t y đồ thị của hàm số ( )y Y t= được gọi là đường
cong hoa lợi.
Hiện nay Mỹ là nước công bố đường cong hoa lợi một cách rộng rãi trên các phương
tiện thông tin đại chúng. Chúng ta có thể tham khảo các số liệu về lãi suất trái phiếu
Chính Phủ Mỹ trên webside của kho bạc Hoa Kỳ và có thể tham khảo đường cong hoa
lợi trên webside về tài chính có tên gọi là Bloomberg.

16. 2.2.2. Lãi suất định trước (Forward Rates)
Định nghĩa 2.1:
• Lãi suất định trước tức thời với hợp đồng viết tại thời điểm t có thời hạn đáo
hạn T (ký hiệu ( ),f t T ) được cho bởi biểu thức:
ln
( , ) ( , )
P
f t T t T
T
∂
= −
∂
(2.6)
Giả sử thời điểm hiện tại là 0t = , lãi suất của một hợp đồng tại thời điểm 0t > có
thời hạn đáo hạn T được gọi là lãi suất định trước. Ký hiệu: (0; )f t
• Lãi suất ngắn hạn tức thời tại thời điểm t (ký hiệu là ( )r t ) được định nghĩa
như sau:
( ) ( , )r t F t t=
(2.7)
Nếu lãi suất thị trường ổn định và lãi suất ngắn hạn là r (hằng số) thì hiển nhiên giá
0P của trái phiếu lãi suất 0 vào ngày hôm nay ( 0)t = là:
0P e rT= −
(2.8)
Và giá ( )P t của trái phiếu tại thời điểm [ ]0;t T∈ sẽ là:
( ) ( )P t e r T t= − −
(2.9)
Giả sử lãi suất bán khống cho thị trường có biến động nhưng vẫn là tất định, tức là
( )r r t= . Khi đó thì:

17. ( )
( )
P t e
T
r s ds
t=
− ∫
(2.10)
( ) ln ( )r s ds P t
T
t
⇒ =−∫
(2.11)
Vậy ( ), ( )r t P t có liên hệ với nhau trong môi trường tất định này.
2.2.3. Tính lãi suất định trước ( )0;f t
Đường hoa lợi giúp xác định nên lãi suất trong thời kỳ [ ]0;t . Ta có thể dung
đường hoa lợi ( )Y t để xác định lãi suất định trước (0; )f t .
Biểu thức ( )Y t biểu thị hoa lợi trung bình trong thời kỳ [ ]0;t . Biểu thức
0
1
(0, )
t
f s ds
t ∫ cũng biểu thị hoa lợi trung bình hoặc lãi suất trung bình trong thời gian
đó. Như vậy:
0 0
1
(0, ) ( ) (0, ) . ( )
t t
f s ds Y t f s ds t Y t
t
=⇒ =∫ ∫
'
(0, ) ( ) . ( )f t Y t t Y t⇒ = +
Do đó lãi suất định trước (0, )f t có thể được tính theo Y hoặc P:
(0, ) ( ) . ( )'f t Y t t Y t= +
(2.12)
ln
(0, ) (0, )
d P
f t t
dt
= −
(2.13)

18. 2.4. Các mô hình định giá trái phiếu
2.3.1. Định giá trái phiếu và các độ đo martingale
Khi một nhà đầu tư muốn mua trái phiếu chính phủ có thời hạn là 30 năm,
người đó phải phán đoán được xu thế, chiều hướng diễn biến cảu lãi suất trong vòng
30 năm tới. Ngoài ra, bất kể một sự thay đổi nào ở một phần của đường hoa lợi cũng
ảnh hưởng tới phần còn lại của đường cong đó.
Do đó định giá trái phiếu là một việc làm hết sức nghiêm túc và phải cẩn trọng:
mọi sai lầm đều phải trả giá đắt. Vì thế các nhà môi giới trái phiếu phải làm việc hết
sức cẩn trọng, họ thường yêu cầu sự giúp đỡ từ nhiều phía phán đoán và định giá trái
phiếu.
Ta cũng biết rằng 3 yếu tố: giá trái phiếu, đường cong hoa lợi và lãi suất định
trước có liên hệ với nhau và biết một yếu tố có thể suy ra hai yếu tố kia. Vậy nếu ta
xây dựng một mô hình tốt cho một yếu tố, thì ta cũng có thể có mô hình tốt cho cả hai
yếu tố kia.
Chúng ta sẽ đưa ra các độ đo martingales vào thị trường trái phiếu ở trên và để
làm điều đó trước tiên ta cần phải chọn một tài sản không rủi ro để chiết khấu, tức là
phải chọn đương kim (numeraire). Sự lựa chọn thông dụng nhất chính là chọn tài sản
không rủi ro ( ).B ở trên như đương kim. Đương nhiên sự lựa chọn đó không phải là
sự lựa chọn duy nhất. Sau này người ta có thể sử dụng một quá trình giá của T −trái
phiếu như đương kim.
2.3.2. Độ đo martingale trung hòa rủi ro.
Định nghĩa 2.2:
Xét không gian xác suất có lọc { }( )0
, , , t t
P ≥
Ω   và thị trường trái phiếu như
trên. Một độ đo martingale Q được gọi là độ đo martingale trung hòa rủi ro nếu sử

19. dụng B như là đương kim thì với bất kỳ T cố định quá trình
( )
( )
( )
,
, ,0
P t T
Z t T t T
B t
= ≤ ≤ là một Q − martingale.
Từ định nghĩa trên thì ta có công thức định giá trái phiếu như sau:
Mệnh đề:
Xét quyền tài chính X đáo hạn tại thời điểm T và giả thiết rằng Q là độ đo
martingale trung hòa rủi ro. Khi đó giá ( ),t X∏ của quyền tài chính X tại thời điểm
t được xác định hợp lý bởi:
( ) ( ), exp
T
Q
t
t
t X E X r s ds
   
∏ = −  
   
∫ 
(2.14)
Đặc biệt giá của T −trái phiếu được cho bởi
( ) ( ), exp
T
Q
t
t
P t T E r s ds
   
= −  
   
∫ 
(2.15)
Chứng minh:
Sử dụng B như tài sản không rủi ro, khi đó: ( ) ( ) ( )1
, Q
tt X B t E XB T−
 ∏ =   sẽ là giá
hợp lý của quyền tài chính X theo nghĩa nếu ta thêm vào thị trường
( ) ( ){ }, , ,0B t P t T t T≤ ≤ vào tài sản mới ( ),t X∏ , tức là xét thị trường mới
( ) ( ) ( ){ }, ; ; , ;0t X B t P t T t T∏ ≤ ≤ thì rõ ràng Q cũng là độ đo martingale trung hòa
rủi ro đối với thị trường mới. Vì vậy ( ),t X∏ là giá không có độ chênh thị giá của
quyền tài chính X .
Nhận xét 2.4:

20. Từ công thức (2.15) ta thấy động lực của lãi suất ( )r t với độ đo khách quan P
không đóng vai trò quan trọng gì trong việc định giá trái phiếu. Yếu tố quan trọng nhất
trong việc định giá trái phiếu là động học của lãi suất dưới độ đo martingale Q . Cách
tiếp cận như vậy trong việc định giá trái phiếu được gọi là cách đánh giá theo mô hình
martingale.
Như vậy để thị trường trái phiếu không có độ chênh thị giá thì ta cần giả thiết
tồn tại độ đo martingale Q P . Một hệ quả của giả thiết đó là tồn tại TL sao cho TL là
đạo hàm Radon-Nikodym của Q đối với P trên T :
2 2
T
T
dQ
L a b
dP
= +

, 0TL > hầu chắc chắn 0T∀ > .
2.3.3. Chuyển đổi trái phiếu (Bond Swap)
Chuyển đổi trái phiếu là việc trao đổi một trái phiếu lấy một loại trái phiếu
khác. Có thể là đồng thời mua loại trái phiếu này và bán loại trái phiếu kia. Mục đích
trao đổi như vậy là gì? Có thể là những mục đích sau:
 Đổi để lấy trái phiếu có ngày đáo hạn dài hơn, do đó có thể kiếm lời nhiều hơn
vì trái phiếu có ngày đáo hạn dài thì có giá trị lúc đó thấp hơn.
 Đổi hoa lợi (yeid swap) để có lợi nhuận cao hơn.
 Đổi chất lượng trái phiếu (quality swap) để tìm cách có trái phiếu có độ an toàn
hơn và độ rủi ro ít hơn.
 Đổi cách đóng thuế (tax swap), chẳng hạn tạo ra thua lỗ để được trừ bớt thuế,
bằng cách bán trái phiếu đang bị lỗ rồi mua các trái phiếu khác hiệu quả bảo hộ
đầu tư cao hơn.
Việc chuyển đổi trái phiếu như vậy thường được thực hiện thông qua các công
ty dịch vụ tài chính, các ngân hàng, hợp đồng ấy có thể đem ra mua bán.
Giả sử một công ty muốn bán hợp đồng chuyển đổi, cụ thể là muốn đổi một trái
phiếu với lãi suất thay đổi để lấy một trái phiếu có lãi suất không đổi. Để định giá hợp

21. đồng chuyển đổi và muốn thành công thì công ty đó phải dự đoán được, ước lượng
được các lãi suất trong tương lai.
Có rất nhiếu dạng của các hợp đồng như vậy, nhưng người ta chỉ hạn chế xét
hợp đồng chuyển đổi định trước thanh toán sau (forward swap settled in arrears). Xét
thời điểm t cố định mà tại đó hợp đồng chuyển đổi được ký kết. Hơn nữa ta sẽ xác
định một dãy các điểm cách đều nhau 0 1 ... nT T T< < < được định nghĩa như là một dãy
các khoản trả tại thời điểm 1, 1,2,..., 1iT i n+= − trong đó 1 , 1,2,..., 1i iT T i nδ+ − = = − . Ta
sẽ ký hiệu lãi suất cố định là R và lượng giả định là K .
Một hợp đồng chuyển đổi với K và R cố định cho các thời kỳ 1 2, ,..., nT T T
được định nghĩa như là một dãy các khoản trả ở thời điểm 1, 1,2,..., 1iT i n+= − được
xác định bởi:
( )1i iX K L T Rδ+  = − 
Trong đó lãi suất thả nổi ( )iL T trên thời kỳ [ ]1,i iT T+ được coi như là lãi suất
đơn giản và được xác định bởi:
( )
( )1
1
,
1
i i
i
P T T
L Tδ+ =
+
Không mất tính tổng quát ta có thể coi 1K = . Nếu sử dụng công thức định giá
trái phiếu (I) cho thời kỳ [ ]1,i iT T+ , giá trị tại thời điểm t của toàn bộ hợp đồng được
cho bởi:

22. ( ) ( ) ( )( )
1
exp
iTn
Q
i t
i t
t E r s ds L T Rδ
=
  
 ∏= − −     
∑ ∫ 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
exp 1
,
1
exp exp 1
,
, 1 ,
i
i i
i
i
Tn
Q
t
i i it
T Tn
Q Q
T t
i i it T
n
i i
i
E r s ds R
P T T
E r s ds E r s ds R
P T T
P t T R P t T
δ
δ
δ
−
−
−
= +
= −
−
=
   
 = − − +        
           = − − × − +                    
 = − + 
∑ ∫
∑ ∫ ∫
∑

 
Như vậy, ta thu được giá của hợp đồng chuyển đổi là:
( ) ( ) ( )0
1
, ,
n
i i
i
t P t T c P t T
=
∏= − ∑
(2.17)
trong đó , 1,2,..., 1. 1i nc R i n c Rδ δ= = − =+ . Chú ý rằng toàn bộ hợp đồng chuyển đổi
có thể được định giá nếu biết các giá của trái phiếu tại thời điểm t và dễ dàng thấy
rằng quyền chuyển đổi có thể đáp ứng được bởi các danh mục đầu tư trên các trái
phiếu.
Như trên ta đã xem lãi suất cố định R là số đã cho. Bây giờ ta có thể xác định
lãi suất chuyển đổi cho thời kỳ nói trên của hợp đồng tại thời điểm t dẫn đén giá trị
không của hợp đồng chuyển đổi. Sử dụng công thức ( ) ( ) ( )0
1
, ,
n
i i
i
t P t T c P t T
=
∏= − ∑ ta
thu được lãi suất chuyển đổi R
∧
được xác định bởi:
( ) ( )
( )
0
1
, ,
,
n
n
i
i
P t T P t T
R
P t Tδ
∧
=
−
=
∑
(2.18)

23. 2.4. Định giá và bảo hộ một hợp đồng chuyển đổi
Hợp đồng chuyển đổi (Swap Contract) thường được thực hiện qua một ngân
hàng hoặc một cơ sở đầu tư. Giả sử một công ty có một món nợ với một chủ nợ nào
đó với một lãi suất thả nổi (floating rate). Công ty đó có thể mua một hợp đồng
chuyển đổi, cho phép lãi suất thả nổi lấy một lãi suất nhất định. Phía bên kia của hợp
đồng, tức ngân hàng họ chịu nhận lãi suất cố định do công ty ấy trả và trả lãi suất thả
nổi cho chủ nợ của công ty ấy.
Trước tình thế đó, Ngân hàng cần phải định giá được sự chuyển đổi này để tự
bảo hộ cho mình trước những diễn biến không dự đoán được của lãi suất tương lai.
Ngân hàng phải thỏa thuận theo những điều khoản sau:
i. Khoảng thời gian Hợp Đồng chuyển đổi có giá trị là [ ]0,T . Số nợ gốc của công
ty là 0B
ii. Ngân hàng sẽ trả lại cho chủ nợ của công ty tại các thời điểm 1 2, ,..., Nt t t cách
đều nhau, tức là 1 0, 0,k k Nt t t t Tτ+ − = = = .
iii. Lãi suất mỗi lần trả đó là Rk cho khoảng thời gian [ ]1,k kt t + , xác định tại thời
điểm kt , nhưng không biết tại thời điểm 0t = .
iv. Số tiền lãi mà Ngân hàng trả hộ trong khoảng thời gian [ ]1,k kt t + sẽ là 0 kB Rτ và
trả vào cuối khoảng thời gian đó, tức là tại thời điểm 1kt +
Nhận xét 2.5: Thông thường người ta thích làm việc với lãi suất kiểu hàm số mũ (hay
còn gọi là lãi suất hình học). Như vậy số tiền lãi nêu trong điều khoản thư tư sẽ là:
0 ( 1)kR
B e τ
− .
Hơn nữa, sử dụng các giả thuyết này sẽ làm cho việc tính toán đơn giản và
thuận lợi hơn rất nhiều.

24. Có thể Ngân hàng đang chịu áp lực của sự biến đổi của lãi suất trong tương lai.
Tuy nhiên có một biện pháp mà họ có thể tự bảo hộ. Chiến lược của Ngân Hàng sẽ
làm như sau:
Ta hãy tập trung chú ý vào khoảng thời gian [ ]1,k kt t + , tại thời điểm 0t = ta
không biết kR . Ngân hàng mua 0B trái phiếu chiết khấu (0, )kP t và bán đi 0B trái
phiếu chiết khấu 1(0, )kP t + . Chi phí tại thời điểm 0t = sẽ là: 0 1[ (0, ) (0, )]k kB P t P t +−
Tại thời điểm kt t= , Ngân hàng nhận về 1 đô la cho trái phiếu (0, )kP t và mua
vào trái phiếu 1(0, )kP t + mà giá trị tại thời điểm kt là 1
1.(1 )kR τ −
+
Do đó phần thu hoạch thực sự của Ngân hàng là:
1
0 0[1-(1 ) ]=B .
1
k
k
k
R
B R
R
τ
τ
τ
−
+
+
Ngân hàng đầu tư khoản tiền này cho thời kỳ [ ]1,k kt t + với lãi suất kR . Vậy, tại
thời điểm 1kt t += thì số tiền ấy sẽ biến thành
0 0B . (1 )
1
k
k k
k
R
R B R
R
τ
τ τ
τ
+ =
+
Ta chú ý rằng, số tiền này lại chính là số tiền thả nổi mà Ngân Hàng phải trả tại
thời điểm 1kt + theo điều khoản thư tư ở trên.
Ngân hàng sẽ thực hiện việc mua bán này cho mọi thời kỳ [ ]1,k kt t + , tức là mua
vào 0 (0, )kB P t trái phiếu và bán đi 0 1(0, )kB P t + cho mỗi thời kỳ ấy.
Tại thời điểm 0t = thì số tiền ấy là:
[ ] [ ] [ ]
1
0 1 0 0
0
(0, ) (0, ) (0,0) (0, 1 (0, )
N
k k N
k
B P t P t B P P t B P T
−
+
=
− = − = −∑

25. Về phần mình thì Ngân hàng nhận được một khoản trả là 0B rτ tại thời điểm
1( 0,1,2,... 1)kt k N+= − , trong đó r phải được xác định.
Khoản tiền này còn phải chịu chiết khấu, nên giá trị thực của nó sẽ là:
0 1(0, )kB r P tτ + tại thời điểm 0t = .
Để xác định r , ta phải cân bằng [ ]
1
0 1 0
0
(0, ) 1 (0, )
N
k
k
B r P t B P Tτ
−
+
=
= −∑
Do đó:
[ ]
1
1 (0, )
(0, )
N
k
k
P T
r
P tτ
=
−
=
∑
(2.19)
Chú ý rằng (2.19) là giá trị là giá trị duy nhất có thể của r . Mọi giá trị khác sẽ
tạo nên cơ hội chênh lệch giá.
Ta có thể khái quát hóa cách tiếp cận trên cho trường hợp mà số nợ ban đầu
của Công ty thay đổi theo từng khoảng thời gian, và độ dài các khoảng thời gian nhỏ
ấy cũng khác nhau, không đều nhau như trước đây nữa. Và bây giờ ta sẽ giả thiết
rằng:
1. Khoảng thời gian tổng cộng là [ ]0,T . Ngân hàng sẽ thực hiện trả lãi vào các
thời điểm 1 2, ,..., Nt t t . Độ dài các khoảng thời gian nhỏ là
1 0,( 0,1,..., 1), 0,k k Nt k N t t Tτ += = − = = .
2. Số nợ gốc đầu kỳ [ ]1,k kt t + là kB .
3. Như điều khoản 3 ở phần trên, tức lãi suất là kR cho khoảng thời gian [ ]1,k kt t + ,
xác định tại thời điểm kt và không biết tại thời điểm 0t = .
4. Số tiền lãi mà chủ nợ sẽ trả cho chủ nợ của Công ty cho thời kỳ [ ]1,k kt t + là
k k kB Rτ , và việc chi trả được thực hiện vào thời điểm 1kt t += .

26. Như trước đây, tại thời điểm 0t = , ngân hàng mua vào kB trái phiếu có chiết
khấu (0, )kP t và bán ra kB trái phiếu có chiết khấu 1(0, )kP t + cho khoảng thời gian
[ ]1,k kt t + . Tại thời điểm kt thì vụ mua bán đó đem lại kết quả là:
( )
1
1 1k k kB R τ
−
 − +
 
(4.6)
Ngân hàng sẽ đem số tiền đó đầu tư cho thời kỳ [ ]1,k kt t + . Đến cuối kỳ, tức là tại
thời điểm 1kt t += thì số tiền ấy sẽ biến thành ( ) ( )
1
1 1 1k k k k k k k kB R R B Rτ τ τ
−
 − + + =
 
Vừa đúng bằng số tiền lãi mà người đòi hỏi cho thời kỳ ấy. Vì số tiền lãi này, được
chiết khấu cho tới thời điểm 0t = , cho nên giá trị thực của nó chỉ còn:
1(0, )k k k kB R P tτ +
Vậy phải có [ ]
1 1
1 1
0 0
(0, ) (0, ) (0, )
N N
k k k k k k
k k
B r P t B P t P tτ
− −
+ +
= =
= −∑ ∑
(2.20)
Chú ý rằng nếu ký hiệu kF là lãi suất định trước (forward rate) cho thời kỳ
[ ]1,k kt t + thì ta có: ( )1(0, ) (0, ) 1k k k kP t P t F τ+= + .Khi đó:
( )1 1(0, ) (0, ) 0,k k k k kP t P t F P tτ+ +− =
(2.21)
Khi đó:
1 1
1 1
0 0
(0, ) (0, )
N N
k k k k k k k
k k
B r P t B F P tτ τ
− −
+ +
= =
=∑ ∑
(2.22)
Do đó:
[ ]
1
1
0
1
1
0
(0, ) (0, )
(0, )
N
k k k
k
N
k k k
k
B P t P t
r
B P tτ
−
+
=
−
+
=
−
=
∑
∑
(2.23)

27. Nếu ta đặt
( )1
k 1
1
0
0,
w
(0, )
k k k
N
k k k
k
B P t
B P t
τ
τ
+
−
+
=
=
∑
thì ta có
1
k
0
w
N
k
k
r F
−
=
= ∑ . Vậy r là trung bình có
trọng số của các lãi suất định trước
2.5. Mô hình định giá trái phiếu
2.5.1. Quá trình định giá Quyền Chọn
 Ta bắt đầu với Quyền Chọn S với giá ( ),V S t . Ta giả sử rằng
dS Sdt SdBµ σ= +
trong đó B là chuyển động Brown.
Theo công thức Itô ta có:
2
2 2
2
1
2
V V V
dV dt dS S dt
t S S
σ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
[ ]
2
2 2
2
1
2
V V V
dt Sdt SdB S dt
t S S
µ σ σ
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
2
2 2
2
1
2
V V V V
S S dt S dB
t S S S
µ σ σ
 ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ 
(2.24)
 Xây dựng phương án đầu tư ∏ có dạng: V S C∏= − ∆ + hoặc S C∏ = Φ + .
Bằng cách chọn ∆ một cách sáng suốt (C là khoản tiền mặt) ta khử được số
hạng có dB
 Thiết lập phương trình Black-Scholes:
2
2 2
2
1
0
2
V V V
rS S rV
t S S
σ
∂ ∂ ∂
+ + − =
∂ ∂ ∂
(2.25)
 Giải các phương trình đó.
2.5.2. Mô hình định giá trái phiếu
a) Giả sử rằng giá trái phiếu ( ),P t T chỉ phụ thuộc vào:
• Thời điểm đáo hạn T
• Thời điểm t
• Lãi suất ngắn hạn ( )r t

28. Ta sẽ dùng cho mô hình ( )r t như sau: ( ) ( ), ,dr r t dt r t dBµ σ= +
(2.26)
Trong đó B là chuyển động Brown.
b) Ta khai triển ( ),P t T thành một chuỗi lũy thừa của hai biến ,r t . Thay thế dr
bởi biểu thức trên và áp dụng công thức Itô ta được
( )
2
2
2
1
,
2
P P P P
dP t T dt dB
r r t r
µ σ σ
 ∂ ∂ ∂ ∂
= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ 
(2.27)
Đặt :
( )
2
2
2
1
,
2
P P P
u t T
r r t
µ σ
 ∂ ∂ ∂
= + + ∂ ∂ ∂ 
và ( ),
P
v t T
r
σ
∂
=
∂
Khi đó:
( ) ( ) ( ), , ,dP t T u t T dt v t T dB= +
(2.28)
c) Phương án đầu tư: Ta không thể mua lãi suất để khử sự bất thường về giá. Thay
vào đó, ta sẽ chọn các trái phiếu-0 với các thời gian đáo hạn khác nhau là 1T và
2T . Vậy phương án của chúng ta sẽ là:
1 2P P CΠ= − ∆ +
1 2d dP dP rCdtΠ= − ∆ +
trong đó ( )1 1,P P t T= , ( )2 2,P P t T= và C là tiền mặt.
Đặt ( )1 1,u u t T= , ( )1 1,v v t T= và ( )2 2,u u t T= , ( )2 2,v v t T=

29. Khi đó: 1 1 1dP u dt v dB= + và 2 2 2dP u dt v dB= +
(2.29)
Ta dùng các biểu thức viết tắt (2.29) cho 1dP và 2dP để viết lại biểu thức của dΠ , thì
ta được:
( ) ( )1 1 2 2d u dt v dB u dt v dB rCdtΠ= + − ∆ + +
( ) ( )1 2 1 2d u u dt v v dB rCdtΠ= − ∆ + − ∆ +
(2.30)
Nếu ta chọn 1
2
v
v
∆ = thì số hạng có chứa dB sẽ bị triệt tiêu. Khi đó, ta có:
( )1 2d u u dt rCdtΠ= − ∆ +
Mà [ ]1 2C P P= Π + − − ∆ nên ta có:
[ ]1
1 2 1 2
2
v
d u u dt r P P dt
v
 
 Π= − + Π + − − ∆   
 
(2.31)
d) Độ chênh lệch thị giá (Arbitrage)
Trong hệ thức (2.31) ta nhận thấy không còn số hạng nào chứa dB nữa, vậy Π
sẽ biến thiên đều trong suốt thời gian. Vì Π có dáng điệu giống phương án đầu tư vào
thị trường tiền tệ, cho nên lãi suất của nó phải có dáng điệu của lãi suất ngắn hạn, tức
là: ( )d r t dtΠ= Π
Thay vào (2.31) ta có:
( ) 1 1
1 2 1 2
2 2
v v
r t dt u u dt r dt r P P dt
v v
   
Π = − + Π + − +   
   

30. [ ]
1 1
1 2 1 2
2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
1
1 1 2 2
2
0
0
0
0
v v
u u dt r P P dt
v v
v v
u u r P P dt
v v
v v
u u r P P
v v
v
u rP u rP
v
   
⇒ − + − + =   
   
    
⇒ − + − + =    
    
   
⇒ − + − + =   
   
⇒ − − − =
Khi đó: [ ]1
1 1 2 2
2
v
u rP u rP
v
− = − hay [ ] [ ]1 1 2 2
1 2
1 1
u rP u rP
v v
− = −
Hay là:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )1 1 2 2
1 2
1 1
, , , ,
, ,
u t T rP t T u t T rP t T
v t T v t T
 − =  −    
(2.32)
Nhìn vào hệ thức (2.32), ta thấy vế trái phụ thuộc vào 1T trong khi vế phải phụ
thuộc vào 2T . Như vậy tỷ số
( ) ( ) ( )
( )
, , ,
,
u t T r t T P t T
v t T
−
thực ra không phụ thuộc gì vào
giá trị của T , ta ký hiệu tỷ số đó là ( ),t rλ . Khi đó:
( )
( ) ( ) ( )
( )
, , ,
,
,
u t T r t T P t T
t r
v t T
λ
−
=
(2.33)
Tỷ số λ này được gọi là giá thị trường của rủi ro. Hệ thức (2.33) có thể viết dưới
dạng:
( ) ( ) ( ), , ,u t T rP t T v t Tλ= +
(2.34)
Theo định nghĩa của ( ),u t T và ( , )v t T thì ta có:

31. ( )
2
2
2
1
,
2
P P P
u t T
r r t
µ σ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
(2.35)
( , )
P
v t T
r
σ
∂
=
∂
(2.36)
Từ (2.34), (2.35) và (2.36) ta thu được:
2
2
2
1
2
P P P P
rP v rP
t r r r
µ σ λ λσ
∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + = +
∂ ∂ ∂ ∂
Như vậy bây giờ ta đã có một phương trình định giá trái phiếu P :
( )
2
2
2
1
0
2
P P P
rP
t r r
µ λσ σ
∂ ∂ ∂
+ − + − =
∂ ∂ ∂
(2.37)
Đây là phương trình đạo hàm riêng đối với P với điều kiện cuối là ( ), 1P T T = ,
vì ( )
( ),
,
T
t
f t s ds
P t T e
−∫= . Ta nhận thấy phương trình rất giống với phương trình đạo hàm
riêng Black-Scholes. Chúng đều thuộc loại phương trình đạo hàm riêng Parabolic.
Tuy nhiên, phương trình (2.37) còn tổng quát hơn phương trình Black-Scholes ở chỗ
µ và σ ở đây đều là những hàm số của t . Ngoài ra, đối với phương trình Black-
Scholes khi ta cho các điều kiện ban đầu thì sẽ tồn tại lời giải duy nhất. Còn đối với
(2.37) thì có vô số lời giải phụ thuộc vào cách chọn ( )r t .
e) Ta đã bắt đầu bằng một mô hình đối với lãi suất ngắn hạn
( ) ( ), ,dr r t dt r t dBµ σ= +
Và ta đi tới một mô hình định giá trái phiếu biểu thị bởi phương trình (6.14).
Nếu ta xác định được các tham số ,µ σ và λ ta sẽ có thể giải được (6.14) trong một
số trường hợp nào đó. Nói chung phương trình đó không thể giải được dưới dạng hiển
nhiên. Tuy nhiên ta vẫn có thể giải được gần đúng bằng các phương pháp của giải tích
số.

32. Ta xét một trường hợp đơn giản sau:
Giả sử ta có lãi suất thỏa mãn phương trình:
dr dt dBµ σ= +
(2.38)
Với µ và σ đều là các hằng số. Phương trình này có lời giải là:
( ) 0 tr t r t Bµ σ= + +
(2.39)
Trong trường hợp này thì phương trình giá trái phiếu (2.37) chỉ có hai số hạng
có hệ số biến đổi là ( ),
P
t r
r
µ λ σ
∂
 −   ∂
và ( )r P− .
Nếu ta giả thiết thêm rằng giá thị trường của rủi ro ( ),t rλ cũng không đổi thì
phương trình giá trái phiếu (2.37) còn đơn giản hơn nữa. Giả thiết đó tuy không thực
tế lắm nhưng cho chúng ta một ước lượng giá gần đúng.
Vậy ta có thể giả thiết rằng aµ λσ− =là một hằng số chưa biết. Ta sẽ giải
phương trình:
2
2
2
1
0
2
P P P
a rP
t r r
σ
∂ ∂ ∂
+ + − =
∂ ∂ ∂
(2.40)
Lưu ý rằng phương trình này còn đơn giản hơn cả phương trình Black-Scholes.
Ta sẽ đoán dạng gần đúng của phương trình (2.40).
Bước 1: Ta thử phán đoán P có dạng sau: .A r
P e= , trong đó A là một hằng số nào
đó.
Ta có:
2
. 2 .
2
0, ,A r A rP P P
Ae A e
t r r
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
Thay vào (2.40) ta được:

33. 2 2 2 21 1
0 0 0
2 2
Ar Ar Ar Ar
aAe A e re aA A r eσ σ
 
+ + − =⇔ + − = 
 
Suy ra: 2 21
0
2
aA A rσ+ − =
Điều này vô lý, vì nếu A là hằng số thì r cũng phải là hằng số, trong khi r là
một đại lượng biến đổi phụ thuộc vào t .
Bước 2: Giả sử P có dạng như sau: ( ) ( ).A t r B t
P e
+
= , trong đó ( )A t và ( )B t phụ thuộc
vào t .
Khi đó, ta có:
( ) ( )' ' . ' '
.
2
2
2
A r B
A r B
P
Ar B e Ar B P
t
P
Ae AP
r
P
A P
r
+
+
∂
= + = +
∂
∂
= =
∂
∂
=
∂
Thay vào (2.40) ta được
( )' ' 2 2 ' ' 2 21 1 1
0 0
2 2 2
Ar B P aAP A P rP Ar B aA A r Pσ σ
 
+ + + − = ⇔ + + + − = 
 
Suy ra: ' ' 2 21
0
2
Ar B aA A rσ+ + + − =
Hay ( )' ' 2 21
1 0
2
A r B aA Aσ− + + + =.
Bây giờ, dù r biến đổi, nhưng nếu ta chọn A sao cho
'
1A = thì ta có hệ thức:
' 2 21
0
2
B aA Aσ+ + =
(2.41)

34. Nghĩa là ta có một lời giải dạng ( ) ( ).A t r B t
P e
+
= , miễn là ( )A A t= và ( )B B t=
được chọn sao cho thỏa mãn hệ thức (2.41). Ta có ( )'
1A t = nên ( ) onstA t t c= + , ta
chọn hằng số là T− cho thuận tiện về sau này, trong đó T là thời điểm đáo hạn của
trái phiếu. Vậy bây giờ lời giải ( ),P P t T= có dạng:
( ) ( ) ( )
,
t T r B t
P P t T e
− +
= =
(2.42)
Bây giờ ta sẽ chọn ( )B t . Ta chú ý rằng tại thời điểm đáo hạn t T= thì
( ), 1P P T T= = (do ( )
( )
0
,
,
t
f t s ds
P t T e
−∫
= ) . Điều đó có nghĩa tại thời điểm đáo hạn
t T= thì 0B = tức ( ) 0B T = . Khi đó hệ thức (2.42) trở thành ( )0
1
B t
e
+
= .
Mặt khác, theo hệ thức (2.41) thì ( ) ( )
2' 2 2 21 1
2 2
B aA A a t T t Tσ σ=− + =− − + − .
Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( )
2
2 3
2 6
a
B B t t T t T
σ
= =− − − −
Hay ( ) ( ) ( )
2
2 3
2 6
a
B t T t T t
σ
=− − + − .
Do đó ta có lời giải của mô hình trái phiếu trên là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
, exp
2 6
a
P t T T t r t T t T t
σ 
= − − − − + − 
 
(2.43)
trong đó ( ) 0 tr t r t Bµ σ= + +
2.5.1. Giá trái phiếu
Mô hình (2.43) chỉ là một trường hợp đặc biệt, khi mà µ và σ là các hằng số.

35. Trong các trường hợp chung thì công thức (2.43) cho ta một phán đoán về giá trái
phiếu tại thời điểm t nếu ta biết giá trị của ( )r t vào thời điểm đó. Giả sử ta biết được
các “giá trị đúng” của các tham số a và σ , thì tại thời điểm t sau khi tham khảo thị
trường để biết được lãi suất ngắn hạn ( )r t là bao nhiêu, rồi đem thay vào công thức
(2.43) thì ta có thể phán đoán được giá trái phiếu vào lúc đó.
Tuy nhiên, trên thực tế sự phán đoán trên còn hạn chế vì chỉ tính được giá trong cùng
một ngày.
Ví dụ: Xét một mô hình thị trường kho bạc Mỹ, với 0,005a = và 0,03σ = . Giả sử ta
cũng biết được rằng 0,052r = vào ngày hôm nay. Tìm giá bán hôm nay cho các trái
phiếu lãi suất 0 với kỳ hạn 5 năm và 10 năm?
Trong biểu thức (2.43), giá P chỉ phụ thuộc vào T t− , tức là thời gian từ hôm nay
(thời điểm t ) đến lúc đáo hạn, nên ta đặt 5T t− = và 10T t− = trong phương trình
(2.43).
Giá trái phiếu 5 năm là: ( )
( )
3
2 30,030,005
5. 0,0,52 .5 .5 0,30375
2 6
− − + =−
Do đó:
( ) 0,30375
, 5 0,738P t t e−
+= ≈
Điều đó có nghĩa là một trái phiếu 5 năm với mệnh giá 1000đô la được bán hôm
nay với giá 738 đô la. Hoa lợi của nó là
0,30375
0,067
5
= .
Giá trái phiếu 10 năm là: ( )
( )
3
2 30,030,005
10. 0,0,52 .10 .10 0,62
2 6
− − + =−
Do đó:
( ) 0,62
, 10 0,538P t t e−
+ = 
Vậy một trái phiếu 10 năm với mệnh giá 1000 đô la được bán hôm nay với giá 538 đô
la. Hoa lợi hiện tại là
0,62
10
, lãi suất hàng năm là 6,2% cho đến lúc đáo hạn.

36. CHƯƠNG III: MÔ HÌNH HÓA CÁC QUÁ TRÌNH LÃI
SUẤT
Các mô hình lãi suất chủ yếu được sử dụng để định giá các trái phiếu, định giá và bảo
hộ các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Các mô hình trái phiếu thường không tương
đương với mô hình Black-Scholes cho các quyền lựa chọn trên các trái phiếu. Trong
chương này chúng ta sẽ trình bày các mô hình lãi suất quan trọng nhất, nghiên cứu các
phương pháp định giá trái phiếu dựa trên các mô hình cơ bản đó và chỉ rõ cách vận
dụng chúng trong thực hành. Nội dung chủ yếu của phần này là dựa trên các công
trình nghiên cứu của Aztzner và Dalbaen (1989) và Bjork (1997).
3.1. Mô hình Vasicek và mô hình Ho-Lee:
3.1.1. Định nghĩa:
Mô hình Vasicek đối với lãi suất ( )r r t= có dạng như sau:
( )dr r dt dBα β σ= − +
(3.1)
Ta nhận thấy mô hình này là sự thay đổi một chút từ mô hình dr dt dBµ σ= + , trong
đó hệ số dịch chuyển µ là hằng số được thay thế bằng một hệ số là một hàm tuyến
tính của :r ( )rα β −
Các mô hình loại này thường được gọi là mô hình phục hồi trung bình, vì số
hạng ( )rα β − đẩy r về β khi nó biến thiên với tốc độ là α .
Cũng như trước đây, β biểu thị độ biến động (volatility) của lãi suất ( )r r t=
theo nhiễu trắng dB .
Đối với mô hình Vasicek, ta giả thiết rằng giá rủi ro thị trường ( ),t rλ là một
hàm tuyến tính của t . Do đó, hệ số biến đổi ( )µ λσ− trong phương trình đạo hàm
riêng (2.37) là: ( )rα β λσ− −

37. Nếu 0b = và ký hiệu a thành a− thì ta có mô hình Ho-Lee đối với lãi suất
( )r r t= như sau: dr ardt dBσ= + . Vậy mô hình Ho-Lee chỉ là một trường hợp đặc
biệt của mô hình Vasicek.
3.1.2. Phương trình giá trái phiếu Vasicek:
Như vậy mô hình Vasicek, phương trình trái phiếu (2.37) có dạng:
( )
2
2
2
1
0
2
P P P
a b r rP
t r r
σ
∂ ∂ ∂
+ − + − =
∂ ∂ ∂
(3.2)
Tương tự trong trường hợp mô hình đơn giản đã xét ở mục trước, ta tìm trái
phiếu P dưới dạng:
( ) ( ) ( ), . ,
,
A t T r B t T
P P t T e
+
= =
Và sẽ tìm thấy ( ) ( )1
, 1
a T t
A t T e
a
− −
 =− − 
Và ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2
1 1
, , ,
2 4
B t T A t T T t a b A t T
a a
σ  
= − − + − −  
  
Ở đây ta có ba hằng số là ,a b và σ . Các hằng số đó được xác định bằng các
dữ liệu thị trường. Vào gần ngày xác định ấy, ta có đường hoa lợi mà người ta công bố
trên thị trường, rồi ép cho hoa lợi lý thuyết (tính theo mô hình) cho phù hợp với đường
cong thực tế đó. Cách làm đó cho ta phương trình để tính ,a b và σ , nó đòi hỏi một
sự điều chỉnh khéo léo để phù hợp với trực quan trên thị trường.
Mô hình Vasicek có ưu điểm là dễ phân tích. Tuy nhiên bên cạnh ưu điểm đó
thì do lãi suất thường được phân bố một cách thông thường khi chạy mô hình ứng với
mỗi biến t chúng ta có thể xác định được biến r mang dấu âm mà điều này thì theo
quan điểm kinh tế là không chấp nhận được.

38. 3.2. Mô hình Hull-White
Mô hình Hull-White là mô hình mở rộng của mô hình Vasicek nhằm tạo ra kết quả
phản ánh chính xác nhất cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường. Mô
hình Hull-White còn được biết đến với tên gọi là mô hình Vasicek mở rộng. Trong mô
hình này lái suất ( )r r t= được mô tả bởi phương trình:
. W(t)dr a r dt d
a
α
σ
 
= − + 
 
(3.3)
Trong đó a là tốc độ phục hồi trung bình của lãi suất ngắn hạn và là hằng số, σ là độ
lệch chuẩn của lãi suất và cũng là hằng số.
3.2.1. Công thức giá trái phiếu P :
Nếu ta chọn độ biến động là ( ) ( )
( ), 1
a T t
t T e
a
σ
σ − −
= − thì quan hệ giữa giá trái
phiếu ( ),P t T và lãi suất ( )r t như thế nào? Ở đây cả ( ),P t T và ( )r t đều khác với
giá trái phiếu trong mô hình Vasicek và ta ép cho mô hình thích hợp với một cấu trúc
ban đầu cho trước.
Ta có công thức giá trái phiếu như sau:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
0 0
0, 1
, exp , , , ,
0, 2
t t
s
P T
P t T s t s T ds s t s T dB
P t
σ σ σ σ
 
 = − +  −    
 
∫ ∫
(3.4)
Ta lấy logarit hai vế của phương trình (3.4) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
0 0
1
ln , ln 0, ln 0, , , , ,
2
t t
sP t T P T P t s t s T ds s t s T dBσ σ σ σ = − + − +  −   ∫ ∫
(3.5)

39. Các tích phân quan trọng trong (3.5) là:
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2
0
, 1 , 0, , 0,
2
t
s T ds D t T D T D t T D T
a a
σ σ
σ  =  + −  + −   ∫
,trong đó ( ) ( )1
, 1
a T t
D t T e
a
− −
 = −
 
(3.6)
• ( ) ( ) as
0 0 0
, 1
t t t
a T s aT
s s t ss T dB e dB B e e dB
a a
σ σ
σ − − −
 
 = − = −  
 
∫ ∫ ∫
Ta ký hiệu ( ) ( )2
0
, ,
t
C t T s T dsσ= ∫
(3.7)
Khi đó công thức (3.5) trở thành:
( ) ( ) ( ) ( ) as
0
1
ln ln 0, ln 0, , ,
2
t
aT
t sP P T P t C t t C t T B e e dB
a
σ −
 
= − +  −  + −  
 
∫
( ) ( ) ( ) ( ) as
0
1
ln ln 0, ln 0, , ,
2
t
at aT
sP P T P t C t t C t T e e e dB
a
σ − −
 = − +  −  + −    ∫
(3.8)
Trong công thức (3.8) này duy nhất chỉ có tích phân as
0
t
se dB∫ là không tính ra
được dưới dạng khép kín.
Số hạng ( )ln 0,P T được coi như đã biết vì nó được quan sát theo các số liệu thị
trường. Bây giờ ta viết lại biểu thức giá trái phiếu ( ),P t T :
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) as
0
0, 1
, exp , , ,
0, 2
t
at
s
P T
P t T C t t C t T D t T e e dB
P t
σ −
 
=  −  +  
 
∫
(3.9)

40. Trong đó ( ) ( )1
, 1
a T t
D t T e
a
− −
 = −
  và ( ) ( )2
0
, ,
t
C t T s T dsσ= ∫ đều có thể tính được từ
các công thức (3.6) và (3.7).
3.2.2. Lãi suất ngắn hạn trong mô hình Hull-White:
Ta sẽ áp dụng công thức (3.9) ta có:
ln ln 1
( , ) (0, ) ( , ) ( , )
2
as
0
P P C D
t T T t T t T e e dB
T T T T
t
at
sσ
∂ ∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂ ∂ ∂
−
∫
Ta có công thức tính lãi suất ngắn hạn theo giá trái phiếu như sau:
( ) ( )
ln
,
T t
P
r t t T
T =
∂
= −
∂
( chú ý rằng đạo hàm riêng ở đây là đối với T )
Ta có:
( ) ( ) ( ) as
0
ln ln 1
, 0, ,
2
t
at
s
P P C
t T T t T e e dB
T T T
σ −∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂ ∂ ∫
Thay T t= ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) as
0
ln ln 1
, 0, ,
2
t
at
s
T t
P P C
r t t T t t t e e dB
T T T
σ −
=
∂ ∂ ∂
=− =− + −
∂ ∂ ∂ ∫
(3.10)
Chú ý rằng trong (3.9) và (3.10) đều có chứa thành phần as
0
t
at
se e dBσ −
∫ . Nếu
ta tìm cách khử nó thì sẽ được một công thức liên hệ giữa lãi suất ngắn hạn ( )r t và
giá trái phiếu ( ),P t T .
Thật vậy, từ (3.10) ta có:

41. ( ) ( ) ( )
2
as 2
2
0
ln
0, 0,
4
t
at
s
P
e e dB t D t r t
T a
σ
σ − ∂
=− + −
∂∫
Thay biểu thức này vào (3.9) ta được:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
0, 1 ln
, exp , , exp , 0, 0,
0, 2 4
P T P
P t T C t t C t T D t T r t t D T
P t T a
σ  ∂  
= − − − +       ∂     
(3.11)
Đây là phương trình liên hệ giữa giá trái phiếu ( ),P t T và lãi suất ngắn hạn ( )r t
của mô hình Hull-White.
Ưu điểm của mô hình Hull-White là không những có thể phản ánh chính xác
với cấu trúc kỳ hạn ban đầu là dữ liệu đầu ra của mô hình mà còn cả cấu trúc kỳ hạn
có sự biến động mạnh.
3.3. Mô hình lãi suất ngắn hạn:
Trong phần này ta sẽ nghiên cứu thị trường trái phiếu trong đó chỉ có lãi suất
ngắn hạn ( )r t là biến giải thích duy nhất. Điều đó tất nhiên dẫn tới nghiên cứu một lớp
con các mô hình thị trường trái phiếu. Tuy nhiên về mặt lịch sử thì đó là cách tiếp cận
lâu đời và cách tiếp cận đó có một số nét khá thú vị về tính toán. Đặc biệt với cách
tiếp cận này, người ta có thể định giá và việc bảo hộ giá có thể thực hiện trong khuôn
khổ của các phương trình đạo hàm riêng.
Trước tiên người ta giả sử rằng lãi suất ngắn hạn ( )r t tuân theo mô hình sau
đây dưới độ khách quan P :
( ) ( )( ) ( )( ) ( ), ,dr t t r t dt t r t d tµ σ ω= + 
(3.12)
Trong đó ( ),t rµ và ( ),t rσ là các hàm giá trị thực đã cho và giả thiết là đủ trơn sao
cho phương trình đạo hàm riêng (10.9) có nghiệm mạnh duy nhất, ( )tω là quá trình
Wiener dưới P và lọc { }, 0tF t= ≥ là lọc cảm sinh bởi ( )tω .

42. Giả sử ( ).r tuân theo mô hình (3.12) và chỉ có một quá trình duy nhất đã cho
trước nên thị trường là tài sản không rủi ro ( ).B với động học:
( ) ( ) ( )
( )0 1
dB t r t B t dt
B
 =

=
Lẽ tự nhiên người ta xét các trái phiếu như là các trái phiếu, động học của nó
phụ thuộc vào quá trình ( ).B với lãi suất ( ).r được xem như là đối tượng cơ bản
giống như quyền chọn là một trái phiếu trên các quá trình chứng khoán trong mô hình
Black-Scholes. Một vấn đề đặt ra là phải chăng giá trái phiếu ( ),P t T được xác định
duy nhất bởi P -động lực của ( ).r ngoài đòi hỏi rằng thị trường trái phiếu là không có
độ chênh lệch thị giá.
Câu trả lời là không bởi vì thị trường trái phiếu của chúng ta là không đầy đủ,
trong thị trường đó chỉ có một tài sản ngoại sinh đã cho là ( ).B . Đó là tài sản không
rủi ro duy nhất và như vậy danh mục đầu tư duy nhất mà chúng ta thực hiện là đặt tất
cả vốn vào ngân hàng và ngồi đợi một cách thụ động. Đặc biệt là không có khả năng
đáp ứng bất kỳ một quyền tài chính nào, ngay cả quyền tài chính đơn giản gắn với trái
phiếu không trả lãi.
Vì thị trường là không đầy đủ nên độ đo martingle (độ đo của thị trường) là
không duy nhất. Ngược lại, bởi vì trong trường hợp này quá trình giá chứng khoán
chiết khấu duy nhất là quá trình tầm thường:
( )
( )
( )0 1
B t
Z t
B t
= ≡
Vì vậy với bất kỳ độ đo Q nào tương đương với P là độ đo martingle. Hơn nữa
với bất kỳ P Q sẽ sinh ra một thị trường trái phiếu không có độ chênh thị giá, trong
đó giá trái phiếu xác định bởi ( ) ( )
T
t
, exp -Q
tP t T E r s ds
  
=   
   
∫ 

43. So với mô hình Black-Scholes có sự khác biệt chủ yếu là lãi suất ngắn hạn ( ).r
không phải là giá của tài sản được kinh doanh trên thị trường như giá chứng khoán S
trong mô hình Black-Scholes.
Chính vì vậy chúng ta nói rất it về giá của một trái phiếu cụ thể. Tuy nhiên thị
trường trái phiếu có một đặc thù đặc biệt mà chúng ta có thể khai thác nó, cụ thể là:
Các trái phiếu tại các thời điểm khác nhau phải thỏa mãn mối quan hệ nhất
quán nội tại.
Nếu chúng ta xét một trái phiếu riêng biệt trong một thị trường thái phiếu,
chúng ta có thể định giá tất cả các trái phiếu khác theo giá trái phiếu tham chiếu đó.
3.3.1. Danh mục đầu tư không rủi ro địa phương
Trong mục này chúng ta sẽ dẫn ra các công thức định giá trái phiếu bằng cách xây
dựng các danh mục đầu tư không rủi ro địa phương. Cách tiếp cận đó đã có từ rất lâu
và nó cho ta một cách tiếp cận một cách có ý nghĩa nhưng về phương diện logic còn
có phần lỏng lẻo.
Giả thiết: Giả sử rằng ta có một thị trường trái phiếu không có độ chênh lệch thị giá
bao gồm các T − trái phiếu với mọi 0T > và lãi suất ngắn hạn ( )r t tuân theo mô
hình (3.12) dưới độ đo khách quan P
( ) ( )( ) ( )( ) ( ), ,dr t t r t dt t r t d tµ σ ω= + 
Và quá trình giá của T − trái phiếu được giả thiết có dạng:
( ) ( )( ), , ,P t T F t r t T=
Trong đó F là hàm đủ trơn của ba biến và thường được ký hiệu:
( )( ) ( )( ), , ,TF t r t T F t r t=

44. Bây giờ ta muốn tìm mối quan hệ cần phải có giữa các hàm ( )( ),TF t r t với các thời
điểm đáo hạn T khác nhau. Để thực hiện được điều đó ta sẽ thực hiện theo sơ đồ sau:
• Cố định hai thời điểm đáo hạn S và T , tạo ra một danh mục đầu tư trên S −
trái phiếu và T − trái phiếu.
• Do các giả thiết trên các giá trái phiếu với các thời điểm đáo hạn khac nhau có
các quan hệ chặt chẽ với nhau, chúng ta có thể chọn các tỷ lệ đầu tư thích hợp
trên S − trái phiếu và T − trái phiếu để có một danh mục không phụ thuộc vào
quá trình Wiener W . Như vậy trị giá của danh mục đầu tư có dạng:
( ) ( ) ( )dV t k t V t dt= .
• Điều đó có nghĩa rằng chúng ta tạo ra một ngân hàng tổng hợp với ( )k t như
lãi suất ngắn hạn. Để tránh tình huống có độ chênh lệch thị giá thì cần phải có:
( ) ( ), 0, . .k t r t t P h c c= ∀ ≥ −
và điều này dẫn tới một phương trình đạo hàm riêng.
Bây giờ ta sẽ thực hiện sơ đồ đó bằng cách sử dụng công thức Itô để nhận được động
học của giá T − trái phiếu:
wt
T T TdF F dt F dT Tα σ= +
(3.13)
trong đó:
( )T T T TF F 1/2 F Ft r rr r;
T TF F
T T
µ σ
α σ
+ +
= =
(3.14)

45. Nếu ký hiệu danh mục đầu tư ( ),S Tu u , trong đó ,S Tu u là tỷ lệ đầu tư vào S − trái
phiếu và T − trái phiếu ta sẽ thu được động học của quá trình giá trị của danh mục đó
như sau:
T SdF dFT SdV V u u
T SF F
  
= + 
  
(3.15)
Nếu thay (3.13) vào (3.15) ta có:
{ } { } WT S T SdV V u u dt V u u dT S T Sα α α α= + + +
(3.16)
Chúng ta có thể chọn ,T Su u sao cho:
1
0
T Su u
T Su uT Sσ σ
 + =

 + =
(3.17)
Khi đó ta thu được:
{ }T SdV V u u dtT Sα α= +
(3.18)
Từ hệ phương trình (3.17) ta có:
T Su
T S
S Tu
T S
σ
σ σ
σ
σ σ

= − −

 = −
 −
(3.19)
Với các ,T Su u dó thì biểu thức (3.18) trở thành:

46. S T T SdV V dt
T S
α σ α σ
σ σ
 −
=  
− 
(3.20)
Để tránh tình huống có độ chênh thị giá thì biểu thức trong {…} của (3.20) phải bằng
( )r t và từ đó thu được:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
t r t t r tS T
t tS T
α α
σ σ
− −
=
(3.21)
Trong biểu thức trên ta nhận thấy vế trái không phụ thuộc vào T trong khi vế phải
cũng không phụ thuộc vào S nên ta có:
( ) ( )
( )
( ), 0
t r tT t T
tT
α
λ
σ
−
≡ ∀ >
(3.22)
Một cách giải thích tự nhiên của (3.22): tử số ( ) ( )t r tTα − được xem như là phần
đền bù rủi ro cho T − trái phiếu còn ( )tTσ là độ biến động của T − trái phiếu. Vì
vậy, ( )tλ được xem như là phần đền bù rủi ro của trái phiếu trên mỗi đơn vị của độ
biến động . ( )tλ còn được gọi là giá thị trường rủi ro.
Nếu thay (3.14) vào (3.22) và chú ý thêm điều kiện ( ), , 1F T r T ≡ , ta thu được mệnh
đề sau:
Mệnh đề 3.1: Nếu thị trường trái phiếu là không có độ chênh thị giá thì TF sẽ thỏa
mãn phương trình đạo hàm riêng sau:
( )
( )
1 2 0
2
, 1
T T TF F F rFt r rr
TF T r
µ λσ σ

+ − + − =

 =
(3.23)

47. Phương trình đó tương tự phương trình Black-Scholes, nhưng phức tap hơn do xuất
hiện yếu tố thị trường của rủi ro ( )tλ .
Điều cần phải nhấn mạnh là ( ).λ còn chưa được xác định và để giải phương trình trên
ta cần phải xác định trước ( ).λ .
Ta dễ dàng nhận được biểu thức Freyman-Kăc của phương trình (12.2) như sau:
Mệnh đề: Hàm giá ( ) ( ), , ,F t r T P t T= của T − trái phiếu có biểu diễn sau:
( ) ( )
T
, , exp - r s,
t
Q
F t r T E dst r
  
 =  ∫    
trong đó Q −động học của lãi suất ngắn hạn ( ).r được xác định bởi:
( ) ( ) ( )
( )
w sdr s ds d
r t r
µ λσ σ=− +

=
Chú ý rằng Q −động học của ( ).r có thể nhận được từ P −động học bằng phép biến
đổi Girsarov và Q là độ đo martingale của thị trường trái phiếu. Việc xác định giá thị
trường của rủi ro ( ).λ tương đương với việc xác định độ đo martingale Q (mà nó
còn chưa xác định trong mô hình này). Trong thị trường cụ thể thì chính các đại lý
(agents) là người xác định Q hoặc λ .
3.3.2. Mô hình hóa Martingale
Bây giờ ta trở lại lý thuyết martingale để mo hình hoa trực tiếp lãi suất ngắn hạn ( ).r
dưới độ đo martingale cố định Q .
Giả thiết: Giả thiết rằng Q là độ đo martingale cố định của thị trường trái phiếu và lãi
suất ngắn hạn có Q −động học sau:

48. ( ) ( )( ) ( )( ) ( ), , W tdr t t r t dt t r t dµ σ= +
(3.24)
trong đó W là quá trình Wiener dưới Q .
Ta thấy rằng dưới Q , ( ).r là quá trình Markov, khi đó bài toán xác định giá trái phiếu
dẫn đến bài toán biên parabolic.
Mệnh đề: Xét quyền tài chính với thời điểm đáo hạn T có dạng ( )( )øX r T= . Khi
đó quá trình giá không có độ chênh thị giá được cho bởi ( ) ( )( ), ,t X F t r tπ = , trong
đó F là nghiệm của bài toán sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
21 2, , , , , , 0
22
, ø
F F F
t r t r t r t r t r rF t r
t r r
F t r r
µ σ
∂ ∂ ∂
 + + − =
∂ ∂ ∂

=
(3.25)
Đặc biệt giá của T − trái phiếu được cho bởi ( ) ( )( ), ,TP t T F t r t= , trong đó
( )
21 2 0
22
, 1
T TF F F Tt rF
t r r
TF T r
µ σ
∂ ∂ ∂
 + + − = ∂ ∂ ∂

=
(3.26)
3.3.3 Cấu trúc affine
Giả sử chúng ta đã chọn một mô hình lãi suất cụ thể dạng (3.24) dưới độ đo
martingale Q , ta muốn tính giá trị của quyền tài chính cụ thể, ví dụ quyền chọn trên
T − trái phiếu với ngày ký hợp đồng là S và giá trị thực thi là K . Điều đó có nghĩa là
ta cần định giá một S − hợp đồng với lượng chi trả:

49. ( )ax P S,T ,0X m K= −  
Để định giá quyền chọn ta tiến hành như sau:
i. Với T cố định như trên, giải phương trình đạo hàm riêng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2, , , , , , 0
2
, 1
T T T TF t r t r F t r t r F t r rF t rt r rr
TF T r
µ σ

+ + − =

 =
(3.27)
ii. Với T đã cho giải bài toán biên:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2, , , , , , 0
2
G t r t r G t r t r G t r rG t rt r rrµ σ+ + − =
( ) ( )T, ax F , ,0G t r m s r K = −
  
iii. Định giá quyền chọn bởi công thức:
( ) ( )( ), , .t X G t r t=∏
Sơ đồ trên ta có thể thực hiện khi các phương trình đạo hàm riêng nói trên là dễ giải.
Một số vấn đề đặt ra là với mô hình lãi suất nào sẽ dẫn đến các phương tình đạo hàm
riêng có các tính chất tốt về phương diện tính toán. Kết quả chủ yếu quan hệ tới bài
toán đó có liên quan tới cấu trúc affine của lãi suất ngắn hạn được nghiên cứu bởi
Browm-Shaefer (1994), Dufie (1992), Dufie-Kan (1993).
Định nghĩa 3.3: Nếu trái phiếu được cho bởi phương trình ( ) ( )( ), ,TP t T F t r t=
trong đó TF có dạng:
( ) ( ) ( ), , .
,
A t T B t T rTF t r e
−
=
(3.28)

50. còn ( ) ( ), , ,A t T B t T là các hàm tất định. Khi đó mô hình này được gọi là mô hình có
cấu trúc affine (affine term structure).
Giả sử TF có cấu trúc affine (3.28). Khi đó ta có thể dễ dàng tính được các đạo hàm
riêng và thay chúng vào phương trình (3.27) và thu được các phương trình:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2, 1 , . , , , , 0
2
A t T B t T r t r B t T t r B t Tt t µ σ− + − + =  
(3.29)
Và điều kiện biên ( ), 1TF r T ≡ dẫn đến
( ), 0A T T =
( ), 0B T T =
Ta nhận thấy rằng nếu µ và
2σ là affine theo r thì phương trình (3.29) là tách được.
Như vậy chúng ta giả thiết thêm rằng cả µ và
2σ có dạng:
( ) ( ) ( ),t r t r tµ α β= +
( ) ( ) ( )
1
2,t r t r tσ γ δ= +  
Nếu thay µ và
2σ vào phương trình (3.29) ta thu được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2, , ,
2
A t T t B t T t B t Tt β δ− + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 21 , , , . 0
2
B t T t B t T t B t T rt α γ
 
+ + − =  
(3.30)
Nếu phương trình đó đúng , ,t T r∀ thì ta cần phải có

51. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2, , , 1
2
B t T t B t T t B t Tt α γ=− + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2, , ,
2
A t T t B t T t B t Tt β γ= −
Mệnh đề 3.4: Giả sử µ và σ có dạng:
( ) ( ) ( ),t r t r tµ α β= +
(3.31)
( ) ( ) ( )
1
2,t r t r tσ γ δ= +  
(3.32)
Khi đó mô hình ( ),TF t r có một cấu trúc affine dạng (3.28) trong đó A và B thỏa
mãn hệ phương trình sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2, , , 1
2
, 0
B t T t B t T t B t Tt t
B T T
α γ

+ − =−

 =
(3.33)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2, ,
2
, 0
A t B t T t B t Tt
A T T
β δ

= −

 =
(3.34)
Phương trình (3.33) là phương trình Ricati đối với B với mỗi t cố định. Sau khi giải
(3.33) ta thay nghiệm ( ),B t T vào (3.34) và sau đó lấy tích phân (3.34) để thu được
( ),A t T .
Có thể thấy cấu trúc affine của µ và
2σ đủ để đảm bảo cho TF có cấu trúc affine
Ví dụ:

52. Xét mô hình Vasicek, trong đó ( )r t b− là quá trình Ornstein-Uhlenbeck, ta có thể
giải được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 w s
0 0
t ta t s a t satr t e r b e ds e dσ
− − − −−= + +∫ ∫
Với mô hình Vasicek ta có:
( ) ( ), , ,t r b ar t rµ σ σ=− =
Như vậy: ( ) ( ) ( ) ( ) 2; ; 0;t t t tα α β β γ δ σ≡ ≡ = ≡
Vì vậy phương trình (14.1) trở thành:
( ) ( )
( )
, , 1
, 0
B t T aB t Tt
B T T
− =−

=
Giải phương trình đó ta được: ( ) ( )1
, 1 .
a T t
B t T e
a
− − 
= −  
Còn phương trình (3.34) trở thành:
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2, , ,
2
, 0
A t T bB t T B t Tt
A T T
σ

= −

 =
Thay biểu thức của B(t,T) vào hệ trên ta được:
( ) ( ) ( )
2
2, , ,
2
T T
A t T B s t ds b B t T ds
t t
σ
= −∫ ∫
( ) ( )( ) ( )( )
2 2 1 3
exp -a T-t exp -2a T-t
2 2 2
T t
a a a
σ  
= − + − − −  
( ) ( )( )1 1
exp -a t-T
b
T t
a a a
 
− + −  
Hoặc

53. ( )
( ) ( )( ) ( )( )
,
1 2 3
2 2 exp exp 2 2
2 22
2 2 2
2
2
A t T
ba t T b a t T a t T b
a a aa
σ σ σ
σ
=
  
   − − + − − − − − − + − 
   
  
Do đó: ( ) ( ) ( ), exp , , .P t T A t T B t T r = − 
3.3.4. Ước lượng các tham số của mô hình lãi suất:
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu việc ước lượng các tham số trong mô hình lãi
suất ngắn hạn ( )r t . Để xác định ta hãy chọn mô hình Vasicek, trong đó ta cần ước
lượng ba tham số , ,a b σ . Lẽ tự nhiên người ta muốn sử dụng chuỗi thời gian lịch sử
của quá trình lãi suất. Tuy nhiên phương pháp đó không áp dụng được vì những lý do
sau:
Khi sử dụng mô hình martingale chúng ta quan tâm đến Q − động học của ( ).r ,
nhưng các quan sát của chúng ta được thực hiện với độ đo xác suất khách quan không
phải là bài toán thống kê truyền thống.
Để tránh bài toán đó tất nhiên ta có thể xác định mô hình dưới độ đo P và sử dụng các
phương pháp ước lượng tham số cho quá trình khuếch tán. Nhưng chúng ta không thể
sử dụng mô hình đó để tính giá trái phiếu bởi vì giá trái phiếu được tính với độ đo
martingale Q . Như vậy chúng ta cần phải thực hiện bài toán ước lượng nhân Girsanov
để chuyển từ P sang Q . Nhưng bào toán đó tương đương với bài toán ước lượng các
tham số theo Q . Cần lưu ý rằng thị trường trái phiếu với quá trình cơ bản ngoại sinh là
( ).r là không đầy đủ, vì vậy có vô số độ đo martingale Q nên chúng ta chỉ ước lượng
tham số tương ứng với Q mà ta quan tâm.
Bởi vì độ đo martingale còn chưa xác định trong mô hình mà nó được chọn bởi thị
trường, vì vậy chúng ta còn có các thông tin về thị trường để xác định Q . Điều đó có
thể thực hiện được bằng cách chọn độ đo Q sao cho đường hoa lợi lý thuyết ứng với
Q phù hợp với đường hoa lợi quan sát trên thị trường.

54. Chúng ta có thể giải quyết vấn đề đó dựa trên sơ đồ sau:
• Cố định một mô hình cụ thể bao gồm các vector tham số α nào đó:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ), , , , W tdr t t r t dt t r t dµ α σ α= +
Giải phương trình đạo hàm riêng sau đây T∀ cố định
( )
1
0
2
, 1
2F F F rF
F T r
T T T T
t r rr
T
µ σ

+ + − =

 =
Từ đó nhận được giá trái phiếu lý thuyết ( ) ( ), , , ,P t T F t rTα α=
• Quan sát thị trường trái phiếu để thu được các dữ liệu về giá trái phiếu. Ví dụ, hôm
nay ( )0t = chúng ta quan sát ( )0,P T với tất cả các giá trị của T . Ký hiệu hàm giá
trị trái phiếu thực nghiệm bởi ( ){ }0, ; 0*P T T ≥ .
• Bây giờ ta chọn α sao cho đường lý thuyết ( ){ }0, , ; 0P T Tα ≥ phù hợp nhất với
đường cong quan sát ( ){ }0, ; 0*P T T ≥ (ứng với hàm mục tiêu nào đó trong lý
thuyết ước lượng). Bằng cách đó ta nhận được vector ước lượng *α .
• Sử dụng vector ước lượng α chúng ta có thể ước lượng độ đo martingale, dưới nó
( ).r có động học là:
( ) ( ) ( ), , , , W* *
tdr t t r t dt t r t dµ α σ α   = +   
   
Trường hợp lý tưởng ta có thể tìm *α sao cho:
( )0, , 0, , 0* *P T P T Tα = ∀ ≥ 
 
Tuy nhiên ta nhận ra rằng, hệ (14.9) là hệ có vô số phương trình , ứng với mỗi T ta có
một, vì vậy khó mà hy vọng rằng có được (14.9) với vector *α hữu hạn chiều.

55. Vì vậy lẽ tự nhiên ta dùng vector tham số vô hạn chiều để làm phù hợp ( )0, ,P T α với
( )0,*P T . Một trong các phương pháp thường dùng là tìm ( )tα α= là hàm của thời
gian t . Đó là lý do vì sao trong mô hình Hoo-Lee và mô hình Hull-White người ta đưa
vào tham số ( )ø t để mở rộng mô hình Vasicek và mô hình CIR. Để xác định ta hãy
xét mô hình Hull-White:
( ) ( )ø ar Wtdr t t dt dσ= −  + 
trong đó ,a σ là các hằng số, hơn nữa ta giả thiết rằng chúng đã biết. Ta cũng giả thiết
rằng đã có quá trình quan sát ( ){ }0, ; 0*P T T ≥ . Bài toán đặt ra là tìm ( )ø . sao cho
giá trái phiếu lý thuyết phù hợp với giá trái phiếu đã được quan sát.
Vì mô hình Hull-White có cấu trúc affine nên ta có:
( ) ( ) ( ) ( ), exp , , .P t T A t T B t T r t=  −  
trong đó ,A B là nghiệm của hệ phương trình:
( ) ( )
( )
, , 1
, 0
B t T aB t T
B T T
t = −

=
và
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
, ø , ,
2
, 0
2 2A t T t B t T B t T
A T T
t σ

= −

 =
Nghiệm của hệ đó được cho bởi:
( ) ( )1
, 1B t T e
a
a T t 
= − 
 
− −
( ) ( ) ( ) ( )
1
, , ø ,
2
2 2A t T B s T s B s T ds
T
t
σ
 
= −  
∫
Bây giờ ta sẽ sử dụng lãi suất trước (tức thời) ( ),f t T thay cho ( ),P t T , trong đó:

56. ( )
( )ln ,
,
P t T
f t T
T
∂
= −
∂
Cụ thể: ( ) ( ) ( ) ( )0, , . 0 0,f t B t T r A TT T= −
Thay ( ) ( )0, , 0,B T A TT T thu được vào f(t,T) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )0, 0 ø 1
2
2 2
2
0
f T e r e s ds e
a
T a T saT aTσ  = + − − 
 
− −− −
∫
Đường cong lãi suất định trước ( ){ }0, ; 0*f T T ≥ được xác định bởi:
( )
( )ln 0,
0, ,
*
* P T
f T
T
∂
= −
∂
bây giở ta có thể tìm hàm ø sao cho, 0T∀ ≥
( ) ( ) ( ) ( )0, 0 .ø 1
2
2 2*
2
0
f T e r e s ds e
a
T a T saT aTσ  = + − − 
 
− −− −
∫
Ta có thể viết phương trình trên dưới dạng: ( ) ( ) ( )0,*f T x T g T= = −
trong đó ( ).x và ( ).g là nghiệm của phương trình sau:
( ) ( )
( ) ( )
ax t ø
0 0
x t
x r
 =− +

=
( ) ( )1 0,
22
2 22 2
2
g t e B t
a
atσ σ = − = 
 
−
Từ đó ta thu được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ø 0,*t x T ax T f T g T ax T= + = + +
hoặc

57. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ø 0, 0,* *t f T g T a f T g T = + + + 
 
3.4. Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM)
Trong các phần trước ta đã nghiên cứu mô hình xác suất trong đó lãi suất ngắn
hạn ( ).r là biến giải thích (ngoại sinh) duy nhất. Mô hình như vậy có những lợi thế
sau đây:
 Việc xác định ( ).r như nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên cho phép ta
sử dụng tính chất Markop của mô hình và đưa đến việc giải các Phương trình đạo
hàm riêng.
 Thông thường sẽ nhận được các công thức giải thích tường minh để xác định giá
trái phiếu và các trái phiếu trên nó. Tuy nhiên nhược điểm của mô hình lãi suất
ngắn hạn là:
• Từ quan điểm kinh tế giả thiết rằng toàn bộ thị trường tiền tệ bị chi phối bởi
một biến giải thích ( ).r tỏ ra không hợp lý.
• Rất khó để nhận được cấu trúc của độ biến động xác thực của lãi suất định
trước nếu không đưa ra một mô hình lãi suất ngắn hạn ( ).r phức tạp hơn.
• Khi mô hình lãi suất ngắn hạn trở thành xác thực hơn việc sử dụng đường hoa
lợi như đã mô tả trở nên rất phức tạp.
Phương pháp mô hình hóa được đề suất bởi Heath-Jarrow-Morton để khắc phục các
nhược điểm trên.
Định nghĩa:
Mô hình HJM là mô hình trong đó giá trái phiếu ( ),P t T có liên hệ với giá lãi
suất ( )r t được mô tả bởi phương trình diễn biến (8.2):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,dP t T r t P t T dt t T P t T dBσ= +
Hay viết gọn lại là dP rPdt PdBσ= +
Mô hình này có vẻ giống mô hình giá cổ phiếu Black-Scholes, nhưng ở đây
( )r r t= là một hàm theo t , còn ( ),t Tσ σ= là một hàm theo hai biến t và T .

58. Ta có lôgarit của ( ),P t T thỏa mãn phương trình:
( ) ( ) ( ) ( )21
ln , , ,
2
d P t T r t t T dt t T dBσ σ
 
=− +  
(3.35)
Ta cũng có giá trái phiếu ( ),P t T liên hệ với lãi suất định trước ( ),f t T bởi công thức:
( )
( ),
,
T
t
f t s ds
P t T e
−∫
=
Hoặc ( ) ( )
ln
, ,
P
f t T t T
T
∂
= −
∂
Mệnh đề 3.6:
Trong mô hình HJM, lãi suất định trước ( ),f t T thỏa mãn phương trình:
( ),df t T dt dB
T T
σ σ
σ
∂ ∂
= −
∂ ∂
(3.36)
Chứng minh:
Ký hiệu ( )1 2, ,F t T T là lãi suất định trước cho thời kỳ [ ]1 2,T T và được định trước vào
thời điểm t , khi đó ta có:
( )
( ) ( )1 2
1 2
2 1
ln , ln ,
, ,
P t T P t T
F t T T
T T
−
=
−
Thật vậy, hệ thức (3.36) được suy bởi hệ thưc sau:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2, ,
1 2, ,
T T F t T T
P t T P t T e
− −
=
Giá tại 1T = giá tại 2T × hệ số chiết khấu
Hệ số chiết khấu = exp(-khoảng thời gian × lãi suất)
Áp dụng (3.35) cho 1t T= và 2t T= , ta được:
( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1
1
ln , , ,
2
d P t T r t t T dt t T dBσ σ
 
=− +  
(3.37)

59. ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 2
1
ln , , ,
2
d P t T r t t T dt t T dBσ σ
 
=− +  
(3.38)
Kết hợp hai phương trình (3.37) và (3.38) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 2 1 1 2
1
ln , ln , , , , ,
2
d P t T P t T t T t T dt t T t T dBσ σ σ σ  − = − +  −     
Do đó:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )2 2
1 2 2 1 1 2
1 2
2 1 2 1 2 1
ln , ln , , , , ,
, ,
2
P t T P t T t T t T t T t T
F t T T dt dt dB
T T T T T T
σ σ σ σ− − −
= = +
− − −
Cho 2 1T T→ , đồng thời ta chú ý rằng ( ) ( )1 2 1, , ,F t T T f t T= là lãi suất định trước tại t
cho thời điểm 1T . Khi đó, ta có:
( )
( ) ( )
( )
( )2
1 1 1
1 1
1 1 1 1
, , ,1
, ,
2
t T t T t T
f t T dt dB t T dt dB
T T T T
σσ
σ
∂ ∂ ∂∂
= − = −
∂ ∂ ∂ ∂
.
Thay ký hiệu 1T bởi T thì ta có ( ),df t T dt dB
T T
σ σ
σ
∂ ∂
= −
∂ ∂
(3.39)
Nhận xét 3.7:
• Trong phương trình (3.39) đối với lãi suất định trước f , đã vắng mặt lãi suất
ngắn hạn ( )r t .
• Trong phương trình (3.39) thì hệ số dịch chuyển là ( ) ( ), ,t T t T
T
σ
µ σ
∂
=
∂
và độ
biến động ( ),t T
T
σ
ν
∂
= −
∂
. Do đó ta thấy hai hệ số này liên quan với nhau
µ σν= − . Khi đó:
( ) ( )
( )
( ) ( )
,
, , . , . ,
T T
t t
t s
t T t T ds t T t s ds
T T s
σσ σ
µ σ ν ν
∂∂ ∂
= = = −
∂ ∂ ∂∫ ∫
Tứclà ( ) ( ) ( ), , . ,
T
t
t T t T t s dsµ ν ν= − ∫
(11.1)

60. Điều đó có nghĩa là đối với phương trình lãi suất định trước trong mô hình
HJM thì độ biến động xác định hoàn toàn nên độ dịch chuyển. Đó là điều đặc biệt của
mô hình này.

61. KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã hoàn thành việc nghiên cứu các vấn đề cơ bản của mô hình hóa
các quá trình lãi suất trong kinh tế, trong tương lai tôi đang có kế hoạch tìm hiểu sâu
hơn về vấn đề này.
Luận văn là cơ hội để tôi củng cố và vận dụng những kiến thức đã học vào một
đề tài cụ thể và biết thêm một số kiến thức mới. Luận văn còn nhiều thiếu sót, rất
mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè.

62. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở Toán Tài Chính , Nhà xuất bản Khoa Học
và Kỹ Thuật, Hà Nội.
[2] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, Nhà
xuất bản đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, thành phố Hồ Chí Minh.
[3] Nguyễn Chí Long (2011), “Bổ đề Farkas và ứng dụng trong thị trường tài
chính” Tạp chí Khoa Học, 27(61), tr 41-53.
[4] Nguyễn Chí Long (2011), “Mô hình định giá tài sản tư bản” Tạp chí Khoa
Học, 30(64), tr 25-41.
[5] Nguyễn Văn Hữu-Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học
trong tài chính, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[6] Bùi Hữu Phước, (2008), Toán tài chính, Nhà xuất bản thống kê, thành phố
Hồ Chí Minh.
[7] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán Học Tài Chính, Nhà xuất bản
Khoa Học và Kỹ Thuật, Hà Nội.
Tiếng Anh:
[8] Robert J. Elliott and P.E.Kopp, (2005), Mathematics of Financial Market,
Springe Finance, Second Edition.
[9] Hans Foellmer and Alexander Schied (2002), An Introduction In Discrete
time, Walter de Gruyter.
[10] G. Pennacchi (2008), Theory of Asset Pricing, Person Education, Increase
affect.
[11] Pliska (2008), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Pulishing.
[12] A. Das (1997), An elemantary proof of Faska’s lemma, SIAM Rev., 39(3),
pp. 503-507.