量子フーリエ変換の説明です。以下のサイトをもとにつくりました。 https://qiskit.org/textbook/ja/ch-algorithms/quantum-fourier-transform.html 日本IBMの中村悠馬さんに監修していただきました。

1. 量子フーリエ
変換
磐田南高校 理数科 2年 田野拓実

2. 量子フーリエ変換とは
量子回路上で離散フーリエ変換、つまり基底変換を行う
|𝑥⟩ 𝑥 =
1
𝑁 𝑦=0
𝑁−1
𝜔𝑁
𝑥𝑦
|𝑦⟩
計算基底 フーリエ基底
例 𝑄𝐹𝑇 00 = 00 =
1
2
(𝜔𝑁
0
|0⟩ + 𝜔𝑁
0
|1⟩ + 𝜔𝑁
0
|2⟩ + 𝜔𝑁
0
|3⟩)
𝑄𝐹𝑇 01 = 01 =
1
2
(𝜔𝑁
0
|0⟩ + 𝜔𝑁
1
|1⟩ + 𝜔𝑁
2
|2⟩ + 𝜔𝑁
3
|3⟩)
𝑄𝐹𝑇 10 = 10 =
1
2
(𝜔𝑁
0
|0⟩ + 𝜔𝑁
2
|1⟩ + 𝜔𝑁
4
|2⟩ + 𝜔𝑁
6
|3⟩)
𝑄𝐹𝑇 11 = 11 =
1
2
(𝜔𝑁
0
|0⟩ + 𝜔𝑁
3
|1⟩ + 𝜔𝑁
6
|2⟩ + 𝜔𝑁
9
|3⟩)
(𝑁 = 4)
𝑄𝐹𝑇
ただし𝜔𝑁
𝑥𝑦
= 𝑒
2𝜋𝑖𝑥𝑦
𝑁

3. 𝑦
2𝑛 = (𝑦1× 2n−1 + 𝑦2 × 2𝑛−2+….+𝑦𝑛−1 × 2 + 𝑦𝑛)/2𝑛
= 𝑦1/2 + 𝑦2/22
+ ⋯ + 𝑦𝑛−1/2𝑛−1
+ 𝑦𝑛/2𝑛
= 𝑘=1
𝑛
(
𝑦𝑘
2𝑘)
𝑒
2𝜋𝑖 𝑘=1
𝑛 𝑦𝑘
2𝑘 𝑥
= 𝑒2𝜋𝑖 𝑦1/2+𝑦2/22+⋯+𝑦𝑛−1/2𝑛−1+𝑦𝑛/2𝑛 𝑥
= 𝑒
2𝜋𝑖𝑥𝑦1
2 × 𝑒
2𝜋𝑖𝑥𝑦2
22
× ⋯ × 𝑒
2𝜋𝑖𝑥𝑦𝑛
2𝑛
=
𝑘=1
𝑛
𝑒
2𝜋𝑖𝑥𝑦𝑘/2k
𝑸𝑭𝑻𝑵(𝑵 = 𝟐𝒏
)が|𝒙⟩に作用するときの変換について

4. 𝑵 = 𝟐(𝒏 = 𝟏)、つまり1量子ビットの時
𝑄𝐹𝑇2 =
1
2
0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2
𝑥
|1⟩ 𝑥 = 0のとき
1
2
0 + |1⟩ 𝑥 = 1のとき
1
2
0 − |1⟩
よってアダマールゲートで表せる。
回路は である
（n量子ビットの場合は回路の量子状態を 𝑞0 𝑞1 … |𝑞𝑛⟩とかく。）
よって
𝑄𝐹𝑇𝑁 =
1
𝑁
0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2
𝑥
|1⟩ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
22 𝑥
|1⟩ ⊗ ⋯ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2𝑛 𝑥
|1⟩

5. |𝜓1⟩ = 𝑞0 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞1
2 |1⟩
|𝜓2⟩ = 𝑞0 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞0
4 𝑒2𝜋𝑖
𝑞1
2 |1⟩
|𝜓3⟩ = 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞0
2 |1⟩ 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞0
4 𝑒2𝜋𝑖
𝑞1
2 |1⟩ = 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑥
2|1⟩ 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑥
4|1⟩
|𝜓1⟩ |𝜓2⟩ |𝜓3⟩
(𝑥 = 2𝑞1 + 𝑞0を用いた）
２量子ビットの場合 𝑥 = 2𝑞1 + 𝑞0と2進数表示を定義する

6. |𝜓1⟩ |𝜓2⟩ |𝜓3⟩ |𝜓4⟩ |𝜓5⟩ |𝜓6⟩
𝜓1 = |𝑞0⟩|𝑞1⟩(|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞2
2 |1⟩)
𝜓2 = 𝑞0 |𝑞1⟩(|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞1
4 𝑒2𝜋𝑖
𝑞2
2 |1⟩)
𝜓3 = 𝑞0 |𝑞1⟩(|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞0
8
+
𝑞1
4
+
𝑞2
2
)
|1⟩)
𝜓4 = 𝑞0 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞1
2 |1⟩ (|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞0
8
+
𝑞1
4
+
𝑞2
2
)
|1⟩)
𝜓5 = 𝑞0 0 + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞1
2 +
𝑞0
4 )
|1⟩ (|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞0
8 +
𝑞1
4 +
𝑞2
2 )
|1⟩)
𝜓6 = 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑞0
2 |1⟩ 0 + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞1
2
+
𝑞0
4
)
|1⟩ (|0⟩ + 𝑒2𝜋𝑖(
𝑞0
8
+
𝑞1
4
+
𝑞2
2
)
|1⟩)
= 0 + 𝑒2𝜋𝑖
𝑥
2|1⟩ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖(
𝑥
22)
|1⟩ (|0⟩ + 𝑒
2𝜋𝑖
𝑥
23
|1⟩)
3量子ビットの場合 𝑥 = 22
𝑞2 + 2𝑞1 + 𝑞0と2進数表示を定義する

7. N量子ビットの場合
𝑄𝐹𝑇𝑁 =
1
𝑁
0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2
𝑥
|1⟩ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
22 𝑥
|1⟩ ⊗ ⋯ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2𝑛−1𝑥
|1⟩ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2𝑛 𝑥
|1⟩
最終状態は
qiskit textbookより引用

8. 逆の確認
においてすべての量子ビットが 0 と|1⟩の等しい重ね合わせ状態にある。
そのため実際には測定結果において0と1が均一に出てきてしまい、
単純な測定では𝑄𝐹𝑇の動作が確認できない。
そのため|𝑥⟩に逆𝑄𝐹𝑇を実行し|𝑥⟩になることを確かめ、𝑄𝐹𝑇の動作が正しいことを確認する。
3量子ビットで𝑥 = 4の場合
まず|4⟩ = 0 + 𝑒4𝜋𝑖
|1⟩ 0 + 𝑒2𝜋𝑖
|1⟩ (|0⟩ + 𝑒𝜋𝑖
|1⟩)の状態を作る
𝑄𝐹𝑇𝑁 =
1
𝑁
0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2
𝑥
|1⟩ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
22 𝑥
|1⟩ ⊗ ⋯ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2𝑛−1𝑥
|1⟩ ⊗ 0 + 𝑒
2𝜋𝑖
2𝑛 𝑥
|1⟩

9. |4⟩に逆𝑄𝐹𝑇の回路をかけることで
回路が完成する。
実際に測定してみると100となる。10進数に変換させると
4となり確かに𝑄𝐹𝑇 4 = |4⟩となっていることがわかる。
逆𝑄𝐹𝑇の回路