1. §Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø nhÊt
Năm h c 2010- 2011
Môn Thi : Toán - Kh i A
Th i gian làm bài: 180 phút
A. Ph n chung dành cho t t c các thí sinh ( 7 ñi m)
Câu I: ( 2 ñi m)
1 Kh o sát và v ñ th hàm s : 43 23
−+−= xxy
2 Tìm m ñ phương trình 0log327
12
=+−
+
m
xx
có ñúng 3 nghi m th c phân bi t
Câu II ( 2 ñi m)
1 Gi i phương trình lư ng giác : 4)
2
tan.tan1(sincot =++
x
xxx
2 Gi i bÊt ph−¬ng tr×nh: )3(log53loglog 2
4
2
2
2
2 −>−+ xxx
Câu III ( 1 ñi m)
Tính gi i h n sau :
2
sin
)cos
2
cos(
lim
20 x
x
x
π
→
Câu IV: ( 1 ñi m)
Trong m t ph ng (P) cho tam giác ñ u ABC có c nh b ng 2. Trên ñư ng th ng d vuông góc v i m t
ph ng (P) t i A l y hai ñi m M, N( không trùng v i A) sao cho m t ph ng (MBC) vuông góc v i m t ph ng
(NBC). ð t AM = a. Tìm a ñ th tích kh i t di n BCMN nh nh t
Câu V ( 1 ñi m)
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
F ++−−+= 2
2
2
2
4
4
4
4
B.Ph n riêng ( 3ñi m)
Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n ( Ph n 1 ho c ph n 2)
Ph n1.Theo chương trình chu n
Câu VI.a ( 2 ñi m). Trong mÆt ph¼ng Oxy:
1 Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC cân t i A có tr ng tâm
3
4
;
3
7
G , phương trình ñư ng th ng
BC là: 032 =−− yx và phương trình ñư ng th ng BG là: 01147 =−− yx . Tìm to ñ A, B, C.
2. Trong m t ph ng to ñ Oxy cho ñư ng tròn (C) có phương trình 03641222
=+−−+ yxyx .
Vi tphương trình ñư ng tròn (C’) ti p xúc v i hai tr c to ñ và ti p xúc ngoài v i (C).
Câu VII.a ( 1 ñi m)
M t ñ i s n xu t có 14 ngư i g m 6 nam và 8 n trong ñó có m t ñôi v ch ng. Ngư i ta mu n ch n
m t t công tác g m 6 ngư i sao cho trong t có m t t trư ng, 5 t viên, hơn n a hai v ch ng không ñ ng
th i có m t trong t . Tìm s cách ch n
Ph n2.Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 ñi m)
1 Trong m t ph ng to ñ Oxy cho ba ñư ng th ng
06:)(;043:)(;03:)( 321 =−+=−−=− yxdyxdxd
tìm to ñ các ñ nh c a hình vuông ABCD bi t r ng A,C thu c (d1); B thu c (d2); D thu c (d3)
2 Trong m t ph ng to ñ Oxy cho hai ñi m A(2;1) và B(3;2). Vi t phương trình ñư ng tròn ñi qua A, B
và ti p xúc v i tr c hoành
Câu VII.b ( 1ñi m)
Gi i h phương trình:
+=
+=
12
12
x
y
y
x
SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH
THPT CHUYÊN LONGHẠ
Thi thử Đại học www.toanpt.net
2. ðáp án To¸n – Khèi A- Thi th ñ i h c l n 1 năm h c 2010-2011
Câu L i gi i ði m
I.1
(1ñ)
* TXð:R
=
=
⇔=+−=
2
0
0';63' 2
x
x
yxxy
* ∞=
±∞→
µy
x
lim
B ng bi n thiên
* Hàm s ñ ng bi n trên (0;2), ngh ch bi n trên các kho ng );2();0;( +∞−∞
Có Cð(2;0); và CT(0;-4)
* ð th : : ði qua các ñi m U(1;-2); A(-1;0); B(3;-4), ðư ng v ph i trơn, có tính
ñ i x ng
x ∞− 0 2 +∞
y’ - 0 + 0 -
y
+∞
0.25
0.25
0.25
0.25
I.2 * pt 0log3.33 ||2||3
=+−⇔ mxx
(1)
ð t ),1(3 ||
≥= ttx
(*) ta có pt: 4log430log3 2323
−=−+−⇔=+− mttmtt (2)
* Nh n xét: v i t = 1 pt (*) có 1 nghi m x = 0; v i t > 1 pt (*) có 2 nghi m trái
d u
* Nên pt (1) có 3 nghi m phân bi t khi pt (2) có m t nghi m t = 1 và m t nghi m
t > 1
* D a vào ñ th ñã v 1002log24log =⇔=⇔−=−⇒ mmm
0.25
0.25
0.25
0.25
II.1
(1ñ)
ðK: 0
2
cos,0cos,0sin ≠≠≠
x
xx
0.25
-∞
0
-4
3. A
C
B
M
N
E
* 4)
2
cos.cos
2
sin.
2
cos.
2
sin.2
1(sin
sin
cos
4)
2
cos
2
sin
.
cos
sin
1(sin
sin
cos
=++⇔=++⇔
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
pt
* 4
cos
sin
sin
cos
4)
cos
cos1
1(sin
sin
cos
=+⇔=
−
++⇔
x
x
x
x
x
x
x
x
x
*
2
1
2sincos.sin4sincos 22
=⇔=+⇔ xxxxx
* Zk
kx
kx
∈
+=
+=
⇔ ,
12
5
12
π
π
π
π
, tho mãn các ñi u ki n
0.25
0.25
0.25
II.2
(1ñ)
* ðK: 03loglog;0 2
2
2
2 ≥−+> xxx
bpt
−>−+
=
⇔−>−+⇔
)2()3(532
log
)3(log53log2log
2
2
2
2
2
ttt
tx
xxx
* V i t < 3:
<≤
−≤
⇒
≥
−≤
⇔≥−+⇒
31
3
1
3
032)2( 2
t
t
t
t
tt
* V i t ≥ 3: 6362048324)3(532)2( 222
<≤⇒<<⇔<+−⇔−>−+⇒ ttttttt
* K t h p
<≤
≤<
⇔
<≤
−≤
⇔
<≤
−≤
642
8
1
0
6log1
3log
61
3
2
2
x
x
x
x
t
t
0.25
0.25
0.25
0.25
III
(1ñ) *
2
sin
)cos
22
sin(
lim
2
sin
)cos
2
cos(
lim
2020 x
x
x
x
xx
πππ
−
=
→→
*
2
sin
)
2
sin2
2
sin(
lim
2
2
0 x
x
x
π
→
=
* [ ] π
π
π
π ==
→
2
sin
)
2
sin.sin(
.lim
2
2
0 x
x
x
0.25
0.25
0.5
IV
(1ñ)
* G i E là trung ñi m c a BC
VNEMENEMNBCMBC
BCNE
BCME
1),())(),(( ===⇒
⊥
⊥
⇒
)
.
Nh n xét M,N n m v hai phía c a ñi m A
* Trong :MNE∆
aAM
AE
ANANAMAE
3
.
2
2
==⇒=
* 3
4
3
S
2
ABC ==∆
AB
)
3
(3
3
1
)(
3
1
a
aANAMSV ABCBCMN +=+= ∆
* Vì 32
3
≥+
a
a , d u (=) x y ra khi
0.25
0.25
0.25
4. 3
3
==
a
a
V y th tích kh i t di n BCMN nh nh t là V=2(ñvtt) khi 3=a 0.25
V
(1ñ)
* ð t 02||, ≠∀≥+= abvoit
a
b
b
a
t
45)2(2)2(2)2(;2 2422222
4
4
4
4
2
2
2
2
2
++−=+−−−−=⇒−−=+−=+⇒ ttttttFt
a
b
b
a
t
a
b
b
a
* Xét hàm s F(t) trên ] [ );22;( +∞∪−−∞ ta có
2||01012)(";1104)(' 23
≥∀>−=+−= tvoittFtttF
F’(t) là hàm s ñ ng bi n trên ] [ );2;2;( +∞−−∞
* V i 013)2(')('2 >=≥⇒≥ FtFt
V i 011)2(')('2 <−=−≤⇒−≤ FtFt
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s F(t)
* Nhìn vào b ng bi n thiên ta có minF = -2 khi t=-2
012 =+⇔−=⇔−=+⇔ ba
b
a
a
b
b
a
t ∞− -2 2 +∞
F’ - -11 13 +
F
-2
2
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.1
(1ñ)
* To ñ B là nghi m c a h )1;1(
01147
032
−⇒
=−−
=−−
B
yx
yx
* G i N là trung ñi m c a AC, ta có )
2
5
;3(
2
3
NBGBN ⇒=
Do tam giác ABC cân t i A nên AG⊥ BC, phư ơng trình c a AG là
062 =−+ yx
*
=+
=+
=−+
=−−
⇒∈∈
5
6
062
032x
AG;;
C
CA
CA
AA
C
yy
xx
yx
y
ACdiemtrunglaNABCC
* Gi i h trên ñư c A(1;4); C(5;1)
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.2
(1ñ)
* ðư ng tròn (C) có tâm I(6;2), bk R=2
* Gi s (C’) có tâm I’(a;b), bk R’, do (C’) ti p xúc v i hai tr c to ñ nên
|a|=|b|=R’
(C’) ti p xúc ngoài v i (C) nên II’ = R + R’
* Nh n xét: (C) n m trong góc ph n tư th nh t và ti p xúc tr c hoành nên a>0
+ N u a=b: ta có
=
=
⇔+=−+−
18
2
)2()2()6( 222
a
a
aaa
Phương trình (C’) là 4)2()2( 22
=−+− yx và 324)18()18( 22
=−+− yx
0.25
0.25
0.25
5. * + N u b= -a: ta có 6)2()2()6( 222
=⇔+=−−+− aaaa
Phương trình c a (C’) là 36)6()6( 22
=++− yx
Có 3 ñư ng tròn tho mãn ycbt
0.25
VIIa
(1ñ)
* Ch n tuỳ ý 6 trong s 14 ngư i có: 6
14C cách
* Ch n 6 ngư i trong ñó có c hai v ch ng có: 4
12C cách
* V y s cách ch n 6 ngư i mà hai v ch ng không ñ ng th i có m t: 4
12
6
14 CC −
* Trong 6 ngư i ñã ch n, ch n ra m t t trư ng có: 6 cách ch n t trư ng
V y s cách ch n c n tìm là: 150486)( 4
12
6
14 =− CC cách
0.25
0.25
0.25
0.25
VIb.1
(1ñ)
* 3)(;3)( 11 =⇒∈=⇒∈ CA xdCxdA
06)(;043)( 32 =−+⇒∈=−−⇒∈ DDBB yxdDyxdB
* Do ABCD là hình vuông nên:
• AC và DB c t nhau t i trung ñi m m i ñư ng 6=+⇒ DB xx
• .0))(())((0AC DBBDACBDAC yyyyyyxxxxBDBDAC =⇒=−−+−−⇔=⇔⊥
(vì CACA yyxx ≠⇒== 3 )
•
0)()3)(3(
0))(())((0
2
=−+−−⇔
=−−+−−⇔=⇔⊥
ABDB
ADABADAB
yyxx
yyyyxxxxADABADAB
* Gi i h ñi u ki n trên ñư c:
==
==
====
3;1
1;3
;2;4;2
CA
CA
DBDB
yy
yy
yyxx
V y to ñ các ñ nh c a hình vuông ABCD là:
A(3;1); B(2;2); C(3;3); D(4;2) ho c A(3,3); B(2;2); C(3;1); D(4;2)
0.25
0.5
0.25
VIb.2
(1ñ)
* Gi s (C) có tâm I(a;b), bk R
Vì (C) ti p xúc tr c hoành nên |b| = R
* Vì (C) ñi qua A(2;1) và B(3;2) nên
4)2()3()1()2( 222222
=+⇔−+−=−+−⇔= bababaIBIA
* Gi i h
=
−=
=
=
⇔
=+
=−+−
5
1
1
3
4
)1()2( 222
b
a
b
a
ba
bba
* ðư ng tròn (C) có phương trình là 1)1()3( 22
=−+− yx và 25)5()1( 22
=−++ yx
0.25
0.25
0.25
0.25
VIIb
(1ñ)
* Gi s .1122 xyxyyx yx
≥⇒+≥+⇒≥⇒≥ V y x = y
* Xét hàm s 02ln2)("12ln2)('12)( 2
>=⇒−=⇒−−= xxx
xfxfxxf
0
2ln
1
log
2ln
1
20)(' 20 >==⇔=⇔= xxxf x
; +∞=<−=
+∞→
)('lim;012ln)0(' xff
x
B ng bi n thiên:
x ∞− 0 x0 +∞
f’ - 0 +
f
+∞
f(x0)
0.25
0.25
