1. Кинематика Лекция 16
5.5. Пара вращений
Парой вращений называется совокупность
двух вращений твердого тела вокруг
параллельных осей с равными по величине,
но
противоположно
направленными


угловыми скоростями ( ω 1 = − ω 2 ).

Плоскость, в которой лежат векторы ω 1

ω 2 , составляющие пару вращений,
Z
z1
М
Oa

Va

ω1

d
и
ω2
O1
называется плоскостью пары, а расстояние d
между осями вращений называется плечом
пары.
Найдем абсолютную скорость какой либо точки М твердого тела:
[
] [
] [
] [
]





Va = ω 1 , O1M + ω 2 , Oa M = ω 2 , ( Oa M − O1M ) = ω 2 , Oa O1 . (5.16)
Из (5.16) вытекает, что скорости всех точек тела одинаковы.
Следовательно, твердое тело совершает поступательное движение.

2. Кинематика Лекция 16
[
]
Векторное произведение ω2 , Oa O1 называется моментом пары
вращений.
Таким образом, пара вращений эквивалентна поступательному
движению со скоростью Va , равной моменту пары вращений. Скорость


Va перпендикулярна плоскости пары и направлена так, что с конца Va
видно вращение плоскости пары против хода часовой стрелки. Если
ввести обозначение ω = ω1 = ω2 , то
Va = ω d .
(5.17)

3. Кинематика Лекция 16
5.6. Сложение поступательного и вращательного движений
Пусть твердое тело

z1
ω 1

z1
совершает вращательное
ω 1
z1

движение
в
системе

ω
z1

V1
координат O1 x1 y1 z1 вокруг

V1

В
V1
оси O1 z1 с угловой
α
V
В

скоростью ω , а система
А
O1 x1 y1 z1
координат
А
движется
в
системе

V2
Oa XYZ поступательно со ω

2
б)
скоростью V . Угол между
O1
a)


векторами вокруг ω и V
O1
равен α .

Для определения характера 
сложного движения тела, разложим вектор V



на две составляющие: V1 и V2 . Вектор V1 направим вдоль вектора ω , а

вектор V2 перпендикулярно ему (схема а): V1 = V cos α , V2 = V sin α .

4. Кинематика Лекция 16

Заменим теперь V2 парой вращений, составленной угловыми




скоростями ω 1 = − ω 2 , причем выберем ω 2 = − ω . Плоскость пары


V V sin α
перпендикулярна V2 , плечо пары d = AB = 2 =
. Вектор ω 1
ω
ω 
находится в плоскости пары на расстоянии АВ от вектора ω с той стороны,



чтобы момент пары ω 1 и ω 2 совпадал с вектором V2 . Вращения вокруг
одной и той же оси O1 z с равными по величине, но противоположно
направленными угловыми скоростями могут быть отброшены, так как их

сумма равна нулю. Остается только вращение с угловой скоростью ω 1 и


поступательное движение со скоростью V1 , параллельной ω 1 (схема б).
Движение, при котором скорость переносного равномерного
поступательного
движения
твердого
тела
параллельна
оси
относительного равномерного вращения, называется винтовым
движением. Ось вращения тела в этом случае называется винтовой осью.
Если при этом скорость поступательного движения и угловая скорость
относительного вращения переменны, то движение тела будет мгновенно
винтовым.

5. Кинематика Лекция 16
Таким образом, при сложении поступательного и вращательного
движений в общем случае абсолютное движение твердого тела будет
мгновенно винтовым.
Величина
V cos α
p=
(5.18)
ω
называется параметром винта.
Если p > 0 < π, то винтовое движение называется правым
0
α2
<
кинематическим винтом, если p < π α , то винтовое движение
0
<π
<
2
называется левым кинематическим винтом.

π (вектор V перпендикулярен  ), то параметр
Если α
=
2
кинематического винта равен нулю и абсолютное движение будет

мгновенно вращательным с угловой скоростью ω
вокруг мгновенной оси
вращения, проходящей через точку В и смещенной от оси O1 z на
V
расстояние AB = .
(
)
(
)
ω
ω

6. Кинематика Лекция 16
6. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Движение твердого тела с одной неподвижной
Z
точкой называется сферическим.
1. Уравнения движения
z
y
Пусть
начало
неподвижной
системы
координат OXYZ совпадает с неподвижной
O
точкой твердого тела, а система координат Oxyz
Y
жестко связана с телом. Задать ориентацию осей
x
системы координат Oxyz в неподвижной сиcтеме X
координат OXYZ можно различными способами.
В теоретической механике положение тела с одной неподвижной
точкой, как правило, определяют при помощи углов Эйлера.

7. Кинематика Лекция 16
Линия ON пересечения плоскости Oxy
θ Z
с плоскостью OXY называется линией узлов.
z
Угол между осью OX и линией узлов ON
обозначается буквой ψ и называется углом
y
прецессии. Угол между осями OZ и Oz
обозначается буквой θ и называется углом
O
нутации. Угол между линией узлов ON и
x Y
осью Ox обозначается буквой ϕ
и
ϕ
ψ
называется углом собственного вращения. X
N
Углы Эйлера ψ , θ , ϕ не зависят друг от
друга и однозначно определяют положение
системы координат Oxyz, а следовательно, и твердого тела.
Таким образом, при сферическом движении твердое тело имеет три
степени свободы и чтобы определить положение тела при сферическом
движении надо задать углы Эйлера как однозначные функции времени
ψ = ψ ( t) , θ = θ ( t) , ϕ = ϕ ( t) .
(6.1)
Равенства (6.1) называются уравнениями сферического движения
твердого тела.