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面積と長さの問題
1.
a,bを実数、{𝑎 𝑛}, 𝑏
𝑛 を実数列とする。 1 命題 数列 𝑎 𝑛 はaは収束する とその否定命題をε-N論法で求めよ。 (2) lim n→∞ 𝑎 𝑛 = a lim n→∞ 𝑏 𝑛 = b の時、 lim n→∞ 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑏を証明せよ。 (3) lim n→∞ 𝑎 𝑛 =+∞の時、 lim n→∞ 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛 𝑛 =+∞を証明せよ。
2.
a,bを実数、{𝑎 𝑛}, 𝑏
𝑛 を実数列とする。 1 命題 数列 𝑎 𝑛 はaは収束する とその否定命題をε-N論法で求めよ。 命題 全てのε>0にたいしある整数Nが存在しn≧Nならば|an-a|<ε 否定 あるε>0が存在して全ての整数Nにたいしてn≧Nが存在し、かつ|an-a|≧ε (2) lim n→∞ 𝑎 𝑛 = a lim n→∞ 𝑏 𝑛 = b の時、 lim n→∞ 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑏を証明せよ。 証明 [杉浦]解析入門1p14 (3) lim n→∞ 𝑎 𝑛 =+∞の時、 lim n→∞ 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛 𝑛 =+∞を証明せよ。 証明 lim n→∞ 𝑎 𝑛 =+∞より全てのMに対しあるNが存在してn≧Nならばan≧M 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛 𝑛 = 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 𝑛 + 𝑎 𝑁+⋯+ 𝑎 𝑛 𝑛 >= 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 𝑛 + 𝑁−𝑁+1 𝑛 𝑀 = 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 𝑛 + 1 − 𝑁+1 𝑛 𝑀 > 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 𝑛 + 1 − 𝑁+1 𝑁 𝑀= 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 𝑛 + 1 𝑁 𝑀 また全てのε1>0に対してある整数N0が存在し全てのn≧N0に対して|1/n|<ε1 となる ε1をε1=| 1 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑁−1 |とすると >-ε1 (𝑎1 + ⋯ + 𝑎 𝑁−1)+ 1 𝑁 𝑀=-1+ 1 𝑁 𝑀 よって全てのMに対してあるNが存在してn≧Nならば 𝑎1+⋯+ 𝑎 𝑛 𝑛 ≧Mより発散する。
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