003 heat conduction equation thai

Ch 2 Heat Conduction
Equation
King Mongkut’s University of Technology North Bangkok
Faculty of Engineering
Department of Mechanical and Aerospace Engineering
1

วัตถุประสงค์
 เพื่อให้เข้าใจปัญหาการถ่ายเทความร้อนที่ขึ้นอยู่กับเวลา (Transient) แบบหลายทิศทาง
(Multi-dimension) รวมทั้งสามารถพิจารณาได้ว่า ภายใต้เงื่อนไขใด ที่จะสามารถ
ประมาณได้ว่าการถ่ายเทความร้อนเป็นการถ่ายเทความร้อนแบบ 1 ทิศทาง
 เพื่อให้สามารถเขียนและพิสูจน์สมการ Differential equation ของการถ่ายเทความร้อน
ของ Coordinate ต่างๆ ได้ เช่น แผ่นราบ ทรงกระบอก ทรงกลม
 เพื่อให้เข้าใจ Thermal condition ลักษณะต่างๆ ที่เกิดขึ้นบนพื้นผิว รวมทั้ง Initial
condition ของระบบ และสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้
 เพื่อให้สามารถแก้ปัญหาการถ่ายเทความร้อนโดยการนาความร้อนแบบ 1 ทิศทางได้
รวมทั้งสามารถหาสมการของการกระจายตัวของอุณหภูมิในตัวกลาง (Temperature
Distribution) และอัตราการถ่ายเทคความร้อนได้ (Heat flux)
 เพื่อให้สามารถวิเคราะห์ปัญหาการถ่ายเทความร้อนแบบ 1 ทิศทางที่มี Heat generation
เกิดขึ้นในตัวกลางได้
2

Contents
 Introduction
 One-Dimensional Heat Conduction Equation
 General Heat Conduction Equation
 Boundary and Initials Conditions
 Solution of Steady One-Dimensional Heat Conduction Problems
 Heat Generation in a Solid
 Variable Thermal Conductivity
3

Introduction
 “อุณหภูมิ (Temperature)” เป็นปริมาณที่มีแต่ขนาด ไม่มีทิศทาง ดังนั้น จึง
ถือว่าอุณหภูมิเป็นปริมาณ Scalar
Scalar quantity
 “การถ่ายเทความร้อน (Heat transfer)” จะเป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและ
ทิศทาง เรียกว่าเป็นปริมาณ Vector
Vector quantity
 เมื่อการถ่ายเทความร้อนมีทั้งขนาดและทิศทาง ดังนั้นในการถ่ายเทความร้อน
หรือการนาความร้อนผ่านตัวกลางหนึ่งๆ จะขึ้นกับรูปร่างของตัวกลางหรือ
Coordinate system รวมทั้งทิศทางเข้าหรือออกจากตัวกลาง ซึ่งจะใช้
เครื่องหมาย “+” หรือ “-” ในการบอกทิศทาง
4

Coordinate System
5
 Coordinate system จะแบ่งเป็น 3 ลักษณะ คือ Plane wall, Cylinder และ
Sphere

 การแบ่งประเภทของลักษณะปัญหาที่มักพบเห็นโดยทั่วไปในการถ่ายเทความร้อน
จะแบ่งเป็น 3 กลุ่มใหญ่ๆ คือ
 Steady State VS Transient (Unsteady State)
 ต้องพิจารณาดูว่าการถ่ายความร้อนขึ้นอยู่กับเวลาหรือไม่
 Multi-dimensional Heat Transfer
 ต้องพิจารณาดูว่าการถ่ายเทความร้อนเกิดขึ้นในกี่ทิศทาง
 Heat Generation
 ต้องพิจารณาดูว่าการถ่ายเทความร้อนจะ Heat generation เกิดขึ้นในตัวกลางหรือไม่
6
Classification of Problems

 Steady state heat transfer
 การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่ตาแหน่งหนึ่งๆ
ไม่ขึ้นอยู่กับเวลา
 เช่น อุณหภูมิของหนังด้านซ้ายมีค่า 15°C
ที่เวลา t=0 นาที ต่อมาเมื่อเวลาผ่านไป
t=10 นาที อุณหภูมิของหนังด้านซ้ายก็ยังมี
ค่าเท่าเดิม คือ 15°C
 หรือ อุณหภูมิของหนังด้านขวามีค่า 7°C ที่
เวลา t=0 นาที ต่อมาเมื่อเวลาผ่านไป
t=10 นาที อุณหภูมิของหนังด้านซ้ายก็ยังมี
ค่าเท่าเดิม คือ 15°C
7
Steady VS Unsteady
T = f(x) แต่ T ≠ f(t)

 Transient or unsteady state heat
transfer
 การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่ตาแหน่งหนึ่งๆ
จะขึ้นอยู่กับเวลา
 เช่น อุณหภูมิของหนังด้านซ้ายมีค่า 15°C
ที่เวลา t=0 นาที ต่อมาเมื่อเวลาผ่านไป
t=3 ชั่วโมง อุณหภูมิของหนังด้านซ้าย
ลดลงเหลือ 12°C
 หรือ อุณหภูมิของหนังด้านขวามีค่า 7°C ที่
เวลา t=0 นาที ต่อมาเมื่อเวลาผ่านไป t=3
ชั่วโมง อุณหภูมิของหนังด้านขวาลดลง
เหลือ 5°C
8
Steady VS Unsteady
T = f(x) และ T = f(t)

 แบ่งเป็นการถ่ายเทความร้อนใน 1, 2 และ 3 ทิศทาง
 โดยทั่วไป การถ่ายเทความร้อนที่เกิดขึ้นจริง จะเป็นแบบ 3 ทิศทาง
9
Multi-dimensional Heat Transfer

Multi-dimensional Heat Transfer
10
 สมการ Differential equation ทั่วไปที่นามาใช้ในการวิเคราะห์ลักษณะการ
ถ่ายเทความร้อนโดยการนาความร้อน คือ Fourier’s Law of heat
conduction
 การถ่ายเทความร้อนในแต่ละทิศทาง จะเขียนได้ดังนี้
การถ่ายเทความร้อนในแกน x
การถ่ายเทความร้อนในแกน y
การถ่ายเทความร้อนในแกน z
(W)n
dT
Q kA
dn
 
x x
y y
z z
T
Q kA
x
T
Q kA
y
T
Q kA
z
 
  

 

 
 


Heat Generation
11
 ตัวอย่างการถ่ายเทความร้อนที่มี Heat generation เกิดขึ้น ได้แก่:
 มีการใส่ขดลวดไฟฟ้าไว้ในตัวกลาง ซึ่งพลังงานทางไฟฟ้าจะเปลี่ยนเป็นพลังงานความร้อน
โดยมีอัตราการเกิดความร้อนเท่ากับ I2R
 มีการเผาไหม้ของเชื้อเพลิงภายในเตาปฏิกรณ์นิวเคลียร์
 มีปฏิกิริยาเคมีที่เป็นแบบ Exothermic reactions
 Heat generation ที่เกิดขึ้นเป็น volumetric phenomenon มีหน่วยเป็น W/m3
 อัตราการเกิด Heat generation ในตัวกลางจะขึ้นอยู่กับเวลาและตาแหน่งใดๆ
ภายในตัวกลาง
 อัตราการเกิด Heat generation ที่เกิดขึ้นภายในตัวกลางที่มีปริมาณ V มีค่าเท่ากับ
(W)gen gen
V
E e dV 

One-Dimensional Heat Conduction
12
 สมการสาหรับการนาความร้อนในแผ่นราบ (Plane wall) แบบ 1 ทิศทาง
,
element
x x x gen element
E
Q Q E
t


  

1
gen
T T
kA e c
A x x t

   
  
   
- =
อัตราการนาความ
ร้อนที่ตาแหน่ง x
อัตราการเกิด
Heat generation
ในตัวกลาง
+
อัตราการเปลี่ยนแปลง
พลังงานภายในตัวกลาง
ร้อนที่ตาแหน่ง
at x+∆x

13
 สมการสาหรับการนาความร้อนในแผ่นราบ (Plane wall) แบบ 1 ทิศทาง
เมื่อ k = ค่าคงที่
 กรณีที่ระบบเป็น Steady State T ≠ f(t)
 กรณีที่ระบบเป็น Transient T = f(t)
และไม่มี Heat generation
2
2
1
;
geneT T k
x k t c

 
 
  
 
2
2
0
gened T
dx k
 
2
2
1T T
x t
 

 
2
2
0
d T
dx


14
 สมการสาหรับการนาความร้อนในทรงกระบอก (Cylinder) แบบ 1 ทิศทาง
- =
ร้อนที่ตาแหน่ง r
Heat generation
+
r+∆r
,
element
r r r gen element
E
Q Q E
t


  

1
gen
T T
rk e c
r r r t

   
  
   

15
1 1geneT T
r
r r r k t
   
  
   
1
0
gened dT
r
r dr dr k
 
  
 
1 1T T
r
r r r t
   
 
   
0
d dT
r
dr dr
 
 
 
 สมการสาหรับการนาความร้อนในทรงกระบอก (Cylinder) แบบ 1 ทิศทาง

16
 สมการสาหรับการนาความร้อนในทรงกลม (Sphere) แบบ 1 ทิศทาง
- =+
,
element
r r r gen element
E
Q Q E
t


  

2
2
1
gen
T T
r k e c
r r r t

   
  
   
ร้อนที่ตาแหน่ง r
Heat generation
r+∆r

17
2
2
1 1geneT T
r
r r r k t
   
  
   
 สมการสาหรับการนาความร้อนในทรงกลม (Sphere) แบบ 1 ทิศทาง

Example
18
The temperature distribution across a wall 1 m thick at a certain instant of
time is given as T(x) = a + bx + cx2
where T is in °C and x is in meters, while a = 900°C, b = -300°C/m and c
= 50°C/m2. A uniform heat generation is 1000 W/m3, is present in the wall
of area 10 m2 having the density of 1600 kg/m3, thermal conductivity of
40 W/m K and specific heat of 4 kJ/kg K.
1. Determine the rate of heat
transfer entering the wall (x = 0)
and leaving the wall (x = 1 m)
2. Determine the rate of change of
energy storage in wall
3. Determine the time rate of
temperature change at x = 0,
0.25 and 0.5 m

Example
19
Consider a steel pan placed on top of an electric range to cook spaghetti.
The bottom section of the pan is 0.4 cm thick and has a diameter of 18 cm.
The electric heating unit on the range top consume 800 W of power during
cooking, and 80% of the heat generated in the heating element is transfer
uniformly to the pan. Assuming constant thermal conductivity, obtain the
differential equation that describes the variation of the temperature in the
bottom section of the pan during steady operation

Example
20
A 2 kW resistance heater wire with thermal conductivity k = 15 W/m K,
diameter D = 0.4 cm, and length L = 50 cm is used to boil water by
immersing it in water. Assuming the variation of the thermal conductivity of
the wire with temperature to be negligible, obtain the differential equation
that describes the variation of the temperature in the wire during steady
operation.

General Heat Conduction Equation
21
 สมการทั่วไปสาหรับการนาความร้อนแบบ 3 ทิศทาง
- =+
x y zQ Q Q  x x y y z zQ Q Q     ,gen elementE elementE
t



x, y และ z
Heat generation
อัตราการนาความร้อนที่
ตาแหน่ง
at x+∆x, y+∆y, z+∆z

22
2 2 2
2 2 2
1geneT T T T
x y z k t
   
   
   
Two-dimensional
Three-dimensional
2 2 2
2 2 2
0
geneT T T
x y z k
  
   
  
2 2 2
2 2 2
1T T T T
x y z t
   
  
   
2 2 2
2 2 2
0
T T T
x y z
  
  
  
 สมการสาหรับการนาความร้อนใน Plane wall แบบ 3 ทิศทาง

23
 สมการสาหรับการนาความร้อนใน Sphere แบบ 3 ทิศทาง
 สมการสาหรับการนาความร้อนใน Cylinder แบบ 3 ทิศทาง
2
1 1
gen
T T T T T
rk k k e c
r r r r z z t

 
          
       
          
2
2 2 2 2
1 1 1
sin
sin sin
gen
T T T T
kr k k e c
r r r r r t
 
     
          
       
          

Example 4
24
A short cylindrical metal billet of a radius R and height h
is heated in an oven to a temperature of 300°C
throughout and is then taken out of the oven and allowed
to cool in ambient air at T∞= 20°C by convection and
radiation. Assuming the billet is cooled uniformly from all
outer surfaces and the variation of the thermal
conductivity of the material with temperature is
negligible, obtain the differential equation that describes
the variation of the temperature in the billet during this
cooling process.

Boundary and Initial Conditions
25
 เมื่อสามารถวิเคราะห์และเขียนสมการ
Differential equation ของการนาความ
ร้อนได้แล้ว อันดับต่อไป คือ การ
Integrate เพื่อแก้สมการดังกล่าว
 แต่สมการ Differential equation
ดังกล่าวข้างต้น สร้างขึ้นจากการทาสมดุล
พลังงานของระบบ โดยที่ไม่ได้พิจารณาถึง
Thermal boundary conditions
 เมื่อ Integrate แล้วจะได้สมการสาหรับหา
อุณหภูมิที่ตาแหน่งต่างๆ ที่มีค่าคงที่ c เป็น
ตัวแปร ดังแสดงไว้ด้านข้าง

26
 ค่าคงที่ c จากการแก้สมการ
Differential equation จะสามารถ
หาได้จาก Thermal boundary
conditions ที่พื้นผิวของตัวกลาง
เช่น อุณหภูมิที่ผิว อัตราการถ่ายเท
ความร้อน

27
 จานวน Thermal boundary condition (B.C.) ที่ต้องใช้ในการหาค่าคงที่
ของตัวแปร c ขึ้นอยู่กับว่าเป็นการนาความร้อนในกี่ทิศทาง ซึ่งแต่ละทิศทาง
จะต้องการ 2 Thermal boundary conditions ได้แก่
 การนาความร้อนใน 1 ทิศทางต้องการ 2 B.C.
 สาหรับในกรณีที่การนาความร้อนเป็นแบบ Transient จะต้องมี 1 Initial
condition ซึ่งบอกถึงอุณหภูมิเริ่มต้นที่ t = 0 โดยที่
 T (x, y, z, 0) = Ti

28
 Thermal B.C. และ Initial
condition สามารถแบ่ง
ออกเป็นหลายกรณี เช่น
 อุณหภูมิที่ผิวคงที่
 อัตราการถ่ายเทความร้อนที่
ผิวคงที่
 มีการพาความร้อนที่ผิว
(Convection)
 มีการแผ่รังสีความร้อนที่ผิว
(Radiation)
 มีผิวของตัวกลาง 2 ชนิด
สัมผัสกัน

Specified Temp. B.C.
29
 กรณีที่ 1 พื้นผิวมีอุณหภูมิคงที่
 พิจารณาการถ่ายเทความร้อนแบบ 1 ทิศทางผ่าน Plane wall ที่มีความหนา L
T(0, t) = T1
T(L, t) = T2

Specified Heat Flux B.C.
30
dT
q k
dx
  
Heat flux in the
positive
x-direction
 กรณีที่ 2 พื้นผิวมีอัตราการถ่ายเทความร้อน (Heat flux) คงที่

31
(0, ) (0, )
0 or 0
T t T t
k
x x
 
 
 
 ในกรณีที่มีการหุ้มฉนวนที่ผิวด้านหนึ่งของตัวกลาง

32
 ,
2 0
LT t
x



 ในกรณีที่การกระจายตัวของอุณหภูมิภายในตัวกลางมีลักษณะสมมาตร (Thermal
symmetry)

Convection B.C.
33
 กรณีที่ 3 มีการพาความร้อนที่ผิว (Convection)
 โดยของไหลที่ไหลผ่านพื้นผิวมีอุณหภูมิคงที่ T∞
 สามารถหา Boundary condition ที่ผิวได้จากการทาสมดุลพลังงานที่ผิวของ
ตัวกลาง
การถ่ายเทความร้อนโดยการ
นาความร้อนผ่านตัวกลาง
(Heat conduction)
พาความร้อนที่ผิว (Heat
convection)
=
 1 1
(0, )
(0, )
T t
k h T T t
x


  

 2 2
( , )
( , )
T L t
k h T L t T
x


  


Radiation B.C.
34
 กรณีที่ 4 มีการแผ่รังสีความร้อนที่ผิว (Radiation)
 โดยมีการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม (surroundings) ที่มีอุณหภูมิ Tsurr
 สามารถหา Boundary condition ที่ผิวได้จากการทาสมดุลพลังงานที่ผิวของ
ตัวกลาง
4 4
1 ,1
(0, )
(0, )surr
T t
k T T t
x
 

    
4 4
2 ,2
( , )
( , ) surr
T L t
k T L t T
x
 

    
นาความร้อนผ่านตัวกลาง
(Heat conduction)
แผ่รังสีความร้อนที่ผิว
(Radiation)
=

Interface B.C.
35
 กรณีที่ 5 ผิวของตัวกลาง 2 ชนิดสัมผัสกัน
0 0( , ) ( , )A B
A B
T x t T x t
k k
x x
 
  
 
TA(x0, t) = TB(x0, t)

Generalized B.C.
36
 โดยปกติแล้ว ที่ผิวของตัวกลางอาจจะมีทั้ง Convection, Radiation
หรือมี Heat flux คงที่
 ดังนั้นในการหา Boundary condition ที่ผิวจะต้องทาการสมดุลพลังงาน
ที่ผิว โดยกาหนดให้การถ่ายเทความร้อนสู่พิ้นผิวมีค่าเท่ากับการถ่ายเท
ความร้อนออกจากพื้นผิว
การถ่ายเท
ความร้อนเข้า
การถ่ายเท
ความร้อนออก
=

Solution of Steady 1-D Heat Transfer
38
 วิธีการแก้ปัญหาการถ่ายเทความ
ร้อนแบบ 1 ทิศทาง แบบ Steady
 เขียนสมการ Differential equation
 กาหนด Boundary condition
 แก้สมการ Differential equation
เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิตาม
แนวแกน
 ทาการหาอุณหภูมิที่แต่ละตาแหน่ง
หรือหาอัตราการถ่ายเทความร้อน
ตามที่โจทย์ต้องการ

Example Heat Conduction in a Plane Wall
39
Consider a large plane wall of thickness L = 0.2 m, thermal conductivity k = 1.2
W/m °C and surface area A = 15 m2. The two sides of the wall are maintained at
constant temperatures of T1 = 120°C and T2 = 50°C, respectively. Determine
(a) The variation of temperature within the wall and the value of temperature at x =
0.1 m
(b) The rate of heat conduction through the wall under steady condition

Example A Wall with various Sets of B.C.
41
Consider steady 1-dimensional heat conduction in a large plane wall of thickness L and
constant thermal conductivity k with no heat generation. Obtain expressions for the
variation of temperature within the wall for the following figures.

Example Heat Conduction in a Base Plate of an Iron
43
Consider the base plate of a 1200-W household iron that has a thickness of L = 0.5
cm, base area of A = 300 cm2 and thermal conductivity of k = 15 W/m °C. The inner
surface of the base plate is subjected to uniform heat flux generated by the resistance
heaters inside and the outer surface loses heat to the surroundings at T∞= 20°C by
convection. Taking the convection heat transfer coefficient to be h = 80 W/m2 °C and
disregarding heat loss by radiation, obtain an expression for the variation of
temperature in the base plate and evaluate the temperatures at the inner and the outer
surfaces.

Example Heat Loss through a Steam Pipe
45
Consider a steam pipe of length L = 20 m, inner radius r1 = 6 cm, outer radius r2 = 8
cm and thermal conductivity k = 20 W/m °C. The inner and outer surfaces of the pipe
are maintained at average temperature of T1 = 150°C and T2 = 60°C, respectively.
Obtain a general relation for the temperature distribution inside the pipe under steady
state conditions, and determine the rate of heat loss from the steam through the pipe.

Heat Generation in Solid
47
 ในกรณีที่มี Heat generation เกิดขึ้นในตัวกลาง จะทาให้อุณหภูมิของตัวกลาง
สูงขึ้นเรื่อยๆ ในช่วงแรก ซึ่งจะถือว่า เป็นระบบแบบ Transient คือ มีการ
เปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิขึ้นอยู่กับเวลา
 ในขณะเดียวกันความร้อนที่เกิดขึ้นในตัวกลางจะถูกถ่ายเทออกสู่สิ่งแวดล้อม
 จนกระทั่งในที่สุดเมื่อถึงสภาวะสมดุลทางความร้อน อูณหภูมิของตัวกลางจะคงที่
ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น ในช่วงนี้ระบบจะเป็นระบบแบบ Steady state
สิ่งที่เราสนใจในกรณีที่มี Heat generation เกิดขึ้นในตัวกลาง คือ
 อุณหภูมิที่ผิวของตัวกลาง Ts และอุณหภูมิสูงสุดที่เกิดขึ้นในตัวกลางในสภาวะที่
เป็น Steady state Tmax

Heat Generation in Solid: Symmetry
48
 ในกรณีที่ Heat generation มีค่าคงที่ (egen = constant)
อัตราการถ่ายเทความร้อน
ออกจากตัวกลาง
อัตราการเกิด Heat generation
ขึ้นในตัวกลาง
=
gen
s
s
e V
T T
hA
 
(W)genQ e V
VeTThA genss   )(

 พิจารณาการถ่ายเทความร้อนใน Plane wall ที่มีลักษณะสมมาตร
 ในกรณีที่ Heat generation มีค่าคงที่
 จาก และ 
 ถ้ากาแพงมีความหนา 2L จะได้
Heat Generation in Solid: Plane wall
49
gen
s
s
e V
T T
hA
  walls AA 2 wallLAV 2
,
gen
s plane wall
e L
T T
h
 
dx
dT
kAq  Veq gen  Ve
dx
dT
kA gen
k
Le
TTT
gen
s
2
2
 maxmax

Heat Generation in Solid: Cylindrical
50
 พิจารณาการถ่ายเทความร้อนใน Cylinder
gen
s
s
e V
T T
hA
  LrAs 02 LrV 2
0
dr
dT
kAq r rgenVeq   rgenr Ve
dr
dT
kA 
k
re
TTT
ogen
s
4
2
 maxmax
h
re
TT
ogen
s
2

 

 พิจารณาการถ่ายเทความร้อนใน Sphere
Heat Generation in Solid: Sphere
51
gen
s
s
e V
T T
hA
  2
04 rAs 
3
0
3
4
rV 
dr
dT
kAq r rgenVeq   rgenr Ve
dr
dT
kA 
k
re
TTT
ogen
s
6
2
 maxmax
h
re
TT
ogen
s
2

 

Example Centerline Temperature of a Resistance Heater
52
A 2 kW resistance heater wire whose thermal conductivity k = 15 W/m °C has a
diameter of D = 4 mm and a length of L = 0.5 m, and is used to boil water. If the outer
surface temperature of a resistance wire is Ts = 105°C, determine the temperature at
the center of the wire.

Example
53
Ex 1 A pipe in a manufacturing plant is transporting superheated vapor at a
mass flow rate of 0.3 kg/s. The pipe is 10 m long, has an inner diameter of 5
cm and pipe wall thickness of 6 mm. The pipe has a thermal conductivity of 17
W/m K and the inner pipe surface is at a uniform temperature of 120C. The
temperature drop between the inlet and exit of the pipe is 7C, and the
constant pressure specific heat of vapor is 2190 J/kg C. If the air temperature
in the manufacturing plant is 25C, determine the heat transfer coefficient as a
result of convection between the outer pipe surface and the surrounding air.
Ex 2 Consider a large 5 cm-thick brass plate (k = 111 W/m K) in which heat is
generated uniformly at a rate of 2x105 W/m3. One side of plate is insulated
while the other side is exposed to an environment at 25C with a heat transfer
coefficient of 44 W/m2 K. Explain where in the plate the highest and the
lowest temperatures will occur and determine their values

003 heat conduction equation thai

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 003 heat conduction equation thai

Similar to 003 heat conduction equation thai (20)

003 heat conduction equation thai