polinomis

2. Guia de procediments polinomis

3. SUMA I RESTA Procés: · Tenim dos polinomis A(x) i B(x) · Veiem que els dos testàn formats per termes de diferents graus. Es tracta de sumar els termes del mateix grau. Si és una resta es canvia el signe de tots els termes del subtrahend · Commutativa: A(x)+B(x)= B(x)+A(x) · Associativa: A(x)+[B(x)+C(x)]= [A(x)+B(x)]+A(x) · Element neutre: A(x)+0= A(x) · Element simètric: A(x)+[-A(x)]=0 Propietats: A(x)=3X+X-8X B(x)= X+5X+X-2 4 2 2 + 3

4. MULTIPLICACIÓ Propietats: · Commutativa: A(x)·B(x)= B(x)·A(x) ·Associativa: A(x)[B(x)·C(x)]=[A(x)·B(x)]C(x) · Element neutre: A(x)·1=A(x) · Distributiva respecte la suma: A(x)[B(x)+C(x)]=A(x)·B(x)+A(x)· C(x) Procés: ·Hem d’aplicar la propietat distributiva i agrupar els polinomis 2 (x - x - 2)·( x+3) x(x - x - 2)+3 (x - x - 2) x - x - 2x+3x - 3x - 6 x-2x-5x-6 2 2 2 2 3 2 3 · Ara només cal operar

5. Arrels d’un polinomi Les arrels d’un polinomi són aquells valors de X pels quals el polinomi és igual a 0. Mètodes: ·En podem trobar les arrels si igualem el polinomi a 0 ·També podem utilitzar la regla de Ruffini En aquest cas l’arrel és -1, ja que factoritza amb 1 i sabem que l’arrel és aquest nombre multiplicat per -1

6. FACTORITZACIÓ Factoritzar polinomis consisteix en simplificar-los Procés: Extreure factor comú: ab+ac=a(b+c) Trobar igualtats notables: a·a+b·b-2ab= (a-b)·(a-b) Determinar-ne les arrels Simplificar

7. Divisió de polinomis Efectuar la divisió P(x) : D(x) consisteix a trobar dos polinomis Q(x) i R(x) que verifiquin la igualtat: P(x) = D(x)·Q(x) + R(x) P (x) és el polinomi dividend. D(x) és el polinomi divisor. Q(x) és el polinomi quocient. R(x) és el polinomi residu. + + + + Q(x)= R(x)=

8. Regla de Ruffini S’escriuen els coeficients del polinomi dividend. Es col·loca el terme independent del divisor canviat de signe o, el que és el mateix, el valor numèric de x que anul·la el divisor Coeficient de P(x) L’oposat del terme independent del divisor -2 1 1 3 -2 -2 -2 0 8 3 -16 1 -4 8 -13

9. Teorema del residu El valor numèric d’un polinomi P(x) per a x = a coincideix amb el residu de la divisió d’aquest polinomi per x – a. Si dividim un polinomi P(x) per x – a, s'obté un quocient Q(x), el grau del qual és inferior en una unitat al de P(x) i un residu R de grau zero, és a dir, numèric. Podem escriure la igualtat: P(x) = (x – a) Q(x) + R Si calculem P(a) en aquesta expressió, tenim: P(a) = (a – a) · Q(a) + R P(a) = R, perquè 0 · Q(a) = 0 P(x) = Exemple: P(-2) = -2 2 2 5 -4 1 4 -2 2 -3 -4 -7

10. Divisibilitat de polinomis Efectuem la divisió entre: P(x) = i D(x) = + + Podem dir: El polinomi és múltiple dels polinomis i - Els polinomis i són divisors del polinomi Un polinomi P(x) és divisible per x – a si i només si P(a) = 0