1. cách chứng minh khác nhau cho
bất đẳng thức quen thuộc
3
Chứng minh rằng ta luôn có : cosA + cosB + cosC ≤
2
trong đó A, B, C là ba góc của một tam giác bất kì .
(Chứng minh theo thứ tự chương trình học Phổ thông)
Cách 1: Dùng tỉ số Diện Tích
Kẻ các đường cao AD, BE, CF
Đặt S∆AEF = S1 , S∆BF D = S2 , S∆CED = S3 , S∆ABC = S
S1 S2 S3
⇒ cosA = ; cosB = ; cosC =
S S S
S1 AF.AE 1 AF AE
= ≤ ( + )(1)
S AB.AC 2 AB AC
Tương tự
S2 1 F B BD
=≤ ( + )(2)
S 2 AB BC
S3 1 CD CE
=≤ ( + )(3)
S 2 BC AC
Cộng (1), (2), (3) ta có
1 AF AE 1 F B BD 1 CD CE 3
cosA + cosB + cosC ≤ ( + )+ ( + )+ ( + ) = (đpcm)
2 AB AC 2 AB BC 2 BC AC 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell
Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kì nằm trong tam giác .
Đặt x1 = MA, x2 = MB, x3 = MC , và p1 , p2 , p3 lần lượt là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB
tương ứng. Khi đó ta có bất đẳng thức x1 + x2 + x3 ≥ 2(p1 + p2 + p3 )
Vận dụng giải bài trên:
Gọi O , R là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CA..
Ta dễ dàng nhận thấy A = MOB.
OM OM
Do đó :cosA = cos(MOB) = =
OB R
ON OP
Tương tự cosB = ; cosC =
R R
OM + ON + OP 1 OA + OB + OC 3
Do đó cosA+cosB+cosC = ≤ ( ) = ( đpcm).(Erdos-
R 2 R 2
Mordell)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 3: Sử dụng BĐT Trêbưsep.
Gọi a, b, c là ba cạnh tam giác, sử dụng công thức hình chiếu ta có:
a = c.cosB + b.cosC, b = a.cosC + c.cosB, c = a.cosB + b.cosA,
Cộng ba biểu thức trên ta có: a + b + c = (c + b)cosA + (a + c)cosB + (a + b)cosC
Không mất tính tổng quát giả sử: a ≥ b ≥ c, ta có:
cosA ≤ cosB ≤ cosC
(c + b) ≤ (a + c) ≤ (a + b)
Do đó :a + b + c = (c + b)cosA + (a + c)cosB + (a + b)cosC
1
≥ (cosA + cosB + cosC)(c + b + a + c + a + b) ( Trêbưsep)
3
1
laisac
1

2. 3
⇒ cosA + cosB + cosC ≤ (đpcm)
2
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Cách 4: Phuong pháp vectơ.
Gọi I và r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và M, N, P
lần lượt là tiếp điểm của đường tròn đó với các cạnh AB, AC, BC ,ta có
−−
→ − → − → − −
− → − −
→ − → − −
→ → →
0 ≤ (IM + IN + IP )2 ⇔0 ≤ 3r2 + 2(IM.IN + IM.IP + IP .IN) (*)
− −
− →
→
Ta nhận thấy IM.IN = 2r2 cosMIN = −2r2 cosA ( Vì MIN và góc A bù nhau)
− −
− →
→ − −
→ →
Tương tự :IM.IP = −2r2 cosB, IP .IN = −2r2 cosC
3
Vậy từ (*) suy ra cosA + cosB + cosC ≤ (dpcm)
2
Cách 5: Phuong pháp vectơ.
Lấy A, B, C lần lượt là ba gốc của ba véctơ đơn vị sau
−→ −−→ − →
− = AB , − = BC , − = CA .
→
e1 →
e2 →
e3
AB BC CA
Ta có :0 ≤ (− + − + − )2 ⇔0 ≤ 3 + 2(− e2 + − e3 + − e1) 0 ≤ 3 − 2(cosA + cosB + cosC)
→ → →
e1 e2 e3 →
e1 →e2 →
e3
3
⇔ cosA + cosB + cosC ≤
2
Cách 6: Quan hệ bất đẳng thức Schur.
3 b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 3
cosA + cosB + cosC ≤ ⇔ + + ≤
2 2bc 2ac 2ab 2
⇔b2a + c2a + c2 b + a2 b + a2c + b2c ≤ 3abc
⇔ a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0( Schur)
2
Cách 7: Sử dụng tam thức bậc hai.
3 A+B A−B C 3
Xét cosA + cosB + cosC − = 2cos( )cos( ) + 1 − 2sin2 −
2 2 2 2 2
C A−B 2 C 1
= 2sin( )cos( ) − 2sin ( ) −
2 2 2 2
C A−B 1
Đặt x = sin( ). Xét tam thức f (x) = −2x2 + 2cos( ).x −
2 2 2
2 A−B
Có (∆) = cos ( ) − 1 ≤ 0, và hệ số a = −2 < 0,Nên f (x) ≤ 0 với mọi x
2
3
Hay cosA + cosB + cosC ≤
2
Cách 8: Sử dụng hàm số.
A+B A−B C
Ta có cosA + cosB + cosC = 2cos( )cos( ) + 1 − 2sin2 .
2 2 2
C 2 A−B
Đặt x = sin( ), điều kiện 0 < x < 1.Xét hàm số f (x) = −2x + 2cos( ).x + 1
2 2
1 A−B 3
Lập bảng xét dấu ta có f (x) ≤ fM ax (x) = 1 + cos( )≤
2 2 2
Cách 9: Tổng bình phương.
3 A+B A−B C 1
Xét cosA + cosB + cosC − = 2cos( )cos( ) − 2sin2 −
2 2 2 2 2
C 1 A−B 2 1 2 A−B
= −2[sin( ) − cos( )] − sin ( ) ≤ 0 (Đúng)
2 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=B=C
Cách 10: BĐT lượng giác cơ bản
A+B A−B
Ta có : cosA + cosB + cosC = 2cos( )cos( ) + cosC
2 2
A+B
≤ 2cos( ) + cosC ( đẳng thức xảy ra khi A=B)
2
C C C 1 3 3 ˆ
= 2sin( ) − 2sin2 ( ) + 1 = −2[sin( ) − ]2 + ≤ ( đẳng thức xảy ra khi C = 600 )
2 2 2 2 2 2
2
laisac
2

3. 3
Vậy :cosA + cosB + cosC ≤
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Cách 11: Đánh Giá BĐT
-Tam giác ABC không nhọn, Giả sử góc A ≥ 900
A+B A−B A+B
Ta có :cosA + cosB = 2cos( ).cos( ) ≤ 2cos( ) (1)
2 2 2
C + 600 C − 600 C + 600
cosC + cos600 = 2cos( ).cos( ) ≤ 2cos( ) (2)
2 2 2
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
A+B C + 600
cosA + cosB + cosC + cos600 ≤ 2[cos( ) + cos( )]
2 2
A + B + C + 600
= 4cos( ) = 4cos600 (3)
4
3
Suy ra cosA + cosB + cosC ≤ 3cos600 =
2
Nếu A nhọn, thì (1), (2), (3) đều thỏa mãn.
Cách 12: Hàm lồi
Nếu tam giác không nhọn, luôn đúng ! :
π π
Xét hàm số f(x) = cosx trong (0; ) Ta có f’(x) = -sinx , f”(x)=-cosx <0 với ∀x ∈ (0; )
2 2
π
Do đó hàm f(x) = cosx lồi trên (0; )
2
A+B+C
Do đó f (A) + f (B) + f (C) ≤ 3f ( )
3
π 3
⇔ cosA + cosB + cosC ≤ 3cos( ) =
3 2
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
hết
3