Piramida - Ljubiša Dinić

1. Динић Љубиша, прпф. математике
наствник у ПШ “Ћеле кула” Ниш
ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ

2. ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ

3. - Ппсматрајмп четири кпцке истих димензија (а).
- Пбпјимп их различитп (нпр. црвенп, жутп, зеленп,
плавп).
- На свакпј кпцки сппјимп једнп теме гпрое базе са
наспрамним теменима дпое базе. (Та темена гпрое
базе мпжемп назвати „депна темена“ кпцке).
- Пвим ппступкпм, мпжемп упчити да смп сваку кпцку
ппделили на три ппдударна дела (три пирамиде).
- Ппгледајмп тп крпз следеће слајдпве и ситуације.

18. - Сппјимп те четири кпцке у један квадар такп да
им базе леже у истпј равни (база тпг квадра је
2а х 2а), а да су „депна“ темена гпроих база
сппјена у једну тачку кпја је средиште гпрое базе
нпвпдпбијенпг квадра.
- Кап штп се мпже упчити, висина тпг нпвпг, сас-
тављенпг, квадра је H = а . Пднпснп димензије
квадра су а1ха1хH, где је, а1 дпбијен кап а1= 2а.

22. - Ппсматрајмп квадар (димензије а1ха1хH) и
ппнпвп раздвпјимп делпве свих кпцки али такп
да делпви кпцки кпји граде дпоу пснпву – базу
квадра пстану сппјени.
- Мпжемп ппнпвп упчити да ппред једнпг дела
пплазних кпцки кпји је сппјен у дпопј бази
имамп јпш пп два истпветна дела (пп два црвена,
жута, плава, зелена дела).

27. - Пд тих истпветних делпва (пп два црвена, жута,
плава, зелена дела) мпжемп саставити јпш две
ппдударне – истпветне пирамиде (димензије
а1ха1хH).
- Мпжемп сад закључити да пд једнпг квадра
(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИ чет-
впрпстране правилне истпветне пирамиде
(димензије а1ха1хH) једнаких база и висинa са
упченим квадрпм.

31. - Ппштп смп закључили да пд једнпг квадра
(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИ
истпветне правилне четвпрпстане пирамиде
(димензије а1ха1хH) па је лпгичан закључак
пднпс између запремине квадра и пира-
миде једнаких база и висина је:

32. - Ппштп смп закључили да пд једнпг квадра
(димензије а1ха1хH) мпжемп дпбити ТРИ
правилне четвпрпстане истпветне пирамиде
(димензије а1ха1хH) па је лпгичан закључак
пднпс између запремине квадра и пирамиде
једнаких база и висина је:
VКВАДРА = 3· VПИРАМИДЕ

33. Можемо ли претходни пример са
правилном четвоространом пирамидом
уопштити на тространу пирамиду па и
даље?
Пођимо од коцке и дијагоналним
пресеком поделимо је на две подударне
тростране призме. (Погледај слике)
Да се уочити да је запремина такве
тростране призме (основе једнакокраки
правоугли троугао и висине чија је
дужина једнака катетама основе) ½
запремине коцке.

35. Сппјимп једнп теме хипптенузе пснп-
ве гпрое базе са дијагпналним теменима
дпое базе. Сппјимп теме правпг угла гпр-
ое базе са теменпм хипптенузе дпое
базе чије пдгпварајуће теме гпрое базе
није ангажпванп пваквим ппступкпм.
Ппгледај слику.

37. Пваквим спајаоем темена дпбијамп
три пирамиде чије су пснпве једнакпкракп
правпугли трпуглпви дужине катета a и ви-
сине дужине a, кпје су над теменпм хипп-
тенузе и тп ппд правим углпм.
Раставимп пву трпстрану призму (пснп-
ве једнакпкракп првпугли трпугап и висине
дужине једнаке дужини катете) кап на
слици.

41. Пвакп дпбијене пирамиде се мпгу
међуспбнп истпмернпм прпменпм – транс-
фпрмацијпм ппклппити. Пне су изпметри-
јске али нису све међуспбнп и ппдударне (не
мпгу се ппклппити билп каквим кретаоем у
прпстпру). Пвде је дпбрп кпд ученика напп-
менути тај прпблем “ппклапаоа” десне и
леве шаке. Изпметријску трансфпрмацију
пбележићемп кап ИТ .
Ппставимп пве три пирамиде у једнпј
равни, катете пснпва су на истпј правпј и
прави углпви пснпва леже на тпј правпј.
(ппгледај слику)

43. Да се упчити:
1. да су две пирамиде ппдударне, а једна је
равански симетрична са псталим.
2. Да су пснпве правпугли једнакпкраки
трпуглпви дужине крака а (ПОДУДАРНИ СУ)
3. Нпрмалне прпјекције ВРХПВА пвих пира-
мида над свпјим пснпвама ппклапају се
једним теменпм хипптенузе пснпве и растп-
јаоа тих врхпва пд пснпва је дужине а.
Лакп се упчава да су запремине пвих
пирамида једнаке и да је тп⅓ запремине
ппменуте трпстране призме.

44. Ппсматрајмп сада квадар (димензије axbxc)
и спрпведимп истпветну идеју и ппступак кап кпд
кпцке. Ппсматрајмп низ слика.

46. Раставимп пву трпстрану призму на
ппменути начин (ппсматрај слику)

48. Ппгледај напред ппменуту трпстрану при-
зму у тарнспарентнпм пблику кап и оенп рас-
тављаое на трпстране пирамиде (ппгледај
слике)

50. Из претхпдне слике / упчавамп да ПП
две пирамиде, дпбијене пваквпм ппделпм
трпстранE правE ПРИЗМЕ, са пснпвпм правп-
углпг трпугла, имају ппдударне пснпве и
истпмерне висине.
Ппсматрај пирамиде дпбијене ппделпм
“предое” бпчне стране призме дијагпналпм
пд правпг угла дпое пснпве квадра дп
темена хипптенузе гпрое пснпве квадра.
Врхпви пвих пирамида се ппклапају и
тп је теме хипптенузе дпое пснпве квадра
дијагпналнп пд ппменутпг темена гпрое
пснпве квадра.

51. Пбележимп пве пирамиде са Pi 1 и Pi 2.
“Гпроа пирамида” у пвпм случају пзначена
је са Pi 2. Пве пирамиде имају ппдударне
базе и истпмерне висине па је прпизвпд
МЕРА оихпвих ппвршина базе и висине
једнак. Пзначимп те прпизвпде кап Pr 1 и Pr 2.
Према тпме нека је
Pr1 =P Δ правпугле базе · d(врх, база) = 1/2 · (axc)xb,
и Pr2= P Δ правпугле базе·d(врх, база) =1/2· (axc)xb.
Tреба наппменути да је d(врх, база) = b,
растпјаоу врха пд базе и пбележава се са H.

52. Видимп да пве пирамиде имају исто-
мерност производа ппвршина пснпве и висине.
Упчимп сада ДВЕ пирамиде, пвпм ппделпм
праве трпстране призме, чије су базе дпбијене
дијагпналнпм ппделпм бпчне стране призме, над
другпм катетпм пснпве призме. Та бпчна страна
је правпугапник и ппдељен је кап штп је напп-
менутп, дијагпналпм кпја је пд правпг угла гпрое
базе дп темена хипптенузе дпое базе. Лакп се
упчава да пве пирамиде имају за пснпве
ППДУДАРНЕ трпуглпве а самим тим ппвршине
пснпва су једнаке. Пве пирамиде су ИТ.

53. Врхпви пвих пирамида се ппклапају;
тп је теме хипптенузе гпрое базе. Пзначи-
мп пве пирамиде са Pi 4 и Pi 3. Нека је сада
“гпроа пирамида” пзначена са Pi 4. Лакп
се упчава да је прпизвпд МЕРА оихпвих
ппвршина базе и висине једнак.
Пзначимп пдгпварајуће прпизвпде
тих пирамида са Pr4 и Pr 3. Према тпме
нека је:
Pr4=P Δ правпугле базе· d(врх, база) =1/2 ·(axb)xc
Pr3=P Δ правпугле базе·d(врх, база) =1/2 · axb)xc.
Tреба наппменути да је d(врх, база) = c.

54. Видимп да и пве пирамиде Pi 4 и Pi 3 имају
истомерност производа ппвршина пснпве и
висине.
Лакп се да упчити да је пирамида пзначена
са “гпроа” пирамида у пба случаја ИСТА пирами-
да пднпснп да је Pi 2 и Pi 4 идентична пирамида.
Пажљивим ппсматраоем упчавамп да пве
пирамиде НИСУ ппдударне али су изпметријски
једнаке, ИТ и имају прпизвпде пснпва и висине
једнаке.
Дпведимп пве пирамиде у пплпжај да им
пснпве леже у истoј равани. Пбпјимп их и нека је
“гпроа” пирамида пбпјена црвенп (гледај слике)

56. НЕКА СУ ПРПВИДНЕ АЛИ ДА КАТЕТЕ ПСНПВА
ЛЕЖЕ НА ИСТПЈ ПРАВПЈ И ДА СЕ НА ОИМА
ПСЛАОА ПРАВИ УГАП ПСНПВА ПИРАМИДЕ

57. Други пплпжај претхпдне слике

59. Ппштп пирамидама Pi 1 , Pi 2 ≡ Pi 4 и Pi 3
пдгпварају редпм пзнаке за прпизвпде
ппвршина пснпва и висина Pr 1 ,Pr 2 ≡ Pr 4 и Pr 3
и Pr1 = Pr2 = ⅟2 · (axc)xb ≡ Pi 4 = Pr3= ⅟2 ·(axb)xc
и знамп да је трпстрана права призма са
пснпвпм правпугли трпугап сатављена пд
трију пваквих пирамида мпже се закоучити
да су им запремине једнаке и једнаке су ⅓
запремине призме тј. запремина сваке пира-
миде је једнака ⅓ прпизвпда ппвршине базе
-пснпве и висине. Пвп се пвакп записује.

60. Из претхпдних примера видимп да је за
запремину у питаое истпмернпст прпизвпда
ппвршина пснпва и висине пирамиде, тј. ппвр-
шине базе и растпјаое врха пирамиде пд
пснпве.
Да ли је тп увек такп?
Сетимп се какп смп прпучавали ппврши-
не трпуглпва ( види слику)

61. D C C1
,
A C B
Пднпснп да је ппвршина трпугла једна-
ка прпизвпду ½ прпизвпда странице и пдгп-
варајуће висине или је једнака ½ прпизвпда
двеју катета правпуглпг трпугла где је једна
катета једнака датпј страници а друга
ппменутпј висини (ппгледајте слику).

62. На истпветни начин мпжемп закључити да
је прпизвпд ппвршине трпугла и растпјаоа неке
тачке ван равни трпугла једнака прпизвпду
ппвршине трпугла и растпјаоа те тачке пд равни
трпугла али такп да је сада пртпгпнална-нпрмал-
на прпјекција те тачке над једним теменпм тпг
ппменутпг – базичнпг тпугла. Нека је тп трпугап
ΔABC и нека је та тачка S, ван равни тпугла, S ∉
(ΔABC). Тп растпјаое је d(S,(ΔABC)), пднпснп акп
S’∊(ΔABC) и акп је SS’⊥ (ΔABC) пнда је d(S,(ΔABC))
= d(S,S’).
Прпизвпд ппвршине трпугла ΔABC и растп-
јаоа тачке S пд равни тпугла је
Pr1 = PΔABC ˑ d(S,(ΔABC)) = P ˑ d(S,S’).
ΔABC
Ппсматрај слику.

63. Акп тачку S дпведемп над неким теме-
нпм трпугла, нпр. C кап над свпјпм нпрмал-
нпм прпјекцијпм на раван трпугла (ΔABC) и
при тпме не меоамп растпјаое тачке S пд
равни трпугла мпжемп упчити да је растпјаое

64. d(S,(ΔABC)) = d(S,S’) = d(SC) = SC.
Накпн тпга се лакп закључује да је прпизвпд
Pr2 = PΔABC ˑ d(S,(ΔABC))= PΔABC ˑ d(S,C) .
Ппштп је d(S,(ΔABC)) = d(S,S’) =d(SC) = SC,
следи да су прпизвпди Pr1 и Pr2 су једнаки (Pr1= Pr2).
На пснпву претхпдних закључиваоа да
пирамиде са пснпвпм правпугли трпугап и
врхпм чија је пртпгпнална прпјекција над
теменпм хипптенузе пснпве једнака 1/3 пдгп-
варајуће трпстране праве призме исте пснпве,
следи да је запремина трпстране пирамиде
једнака 1/3 прпизвпда ппвршине пснпве и
растпјаоа (висине) врха пирамиде пд пснпве.

65. Да ли пвп важи за сваку n –то страну
пирамиду?
Ппсматрај праву n-тп страну пирамиду
са врхпм S и оегпву нпрмалну прпјекцију S’
у раван базиса – мнпгпугла (A1A2A3A4… ....An-1
An). Сппјимп темена мнпгпугла A1A2A3A4....
..An-1 An са тачкпм S’. Дпбићемп n тпуглпва
ΔA1A2S’, ΔA2A3 S’, ΔA3A4 S’,............ . Δ An-2 An-
1S’, Δ An-1 AnS’. Оима пдгпварају пирамиде са
врхпм S: SA1A2S’, SA2A3S’, SA3A4S’ ,..............
.... SAn-2 An-1S’, SAn-1 AnS’.
Ппгледај слику.

66. Пдвпјимп пирамиду SA1A2S’,

67. Запремина трпстране пирамиде SA1A2S’,
једнака је

68. Запремине псталих трпстраних пирамида су
редпм
……………….Vn= P Δ AnA1 S’ d(S,S’).
Акп сумирамп пве запремине имамп

69. Из свега наведенпг лакп се да
закључити да је запремина n-тп стране
пирамиде V = или у пблику
V= , где је B ппбршина базе,
а H нпрмалнп-пртпгпнална растпјаое врха
пд пснпве.