1. VEKTORI U RAVNI – II DEO
Primer 1.
uuu uuur
r uuuu
r
Tačka M je središte stranice BC trougla ABC. Dokazati da je AB + AC = 2 AM
Rešenje:
Nacrtajmo najpre sliku i postavimo problem...
C C C
M M M
A B A B A B
slika 1. slika 2. slika 3.
Na slici 1. su obeleženi vektori koji su dati u zadatku.
Šta je ideja?
Kod ovakvog tipa zadataka vektor u sredini izrazimo na obe strane!
uuuu uuu uuuu
r r r
Na slici 2. je vektor AM izražen ( plavom putanjom) preko: AM = AB + BM .
uuuu uuur uuuu
r r
Na slici 3. je vekor AM izražen ( žuta putanja) preko: AM = AC + CM
Dalje ćemo ove dve jednakosti napisati jednu ispod druge i sabrati ih:
uuuu uuu uuuu
r r r
AM = AB + BM
uuuu uuur uuuu
r r
AM = AC + CM
uuuu uuu uuuu uuur uuuu
r r r r
2 AM = AB + BM + AC + CM pretumbamo malo
uuuu uuu uuur uuuu uuuu
r r r r uuuu uuuu
r r
2 AM = AB + AC + CM + BM pogledajmo zadnja dva vektora na slici...suprotni su , pa je CM + BM = 0
uuuu uuu uuur
r r
2 AM = AB + AC
Dobili smo traženu jednakost.
WWW.MATEMATIRANJE.COM
1

2. Primer 2.
uuur uuuu
r
U trouglu ABC tačke M i K su središta stranica AB i BC. Dokazati da je AC = 2MK
Rešenje:
Opet mora slika:
C C C
K K K
A M B A M B A M B
slika 1. slika 2. slika 3.
Slično kao u prethodnom zadatku, vektor u sredini MK, izražavamo na obe strane.
uuuu uuur uuur uuur
r
Na slici 2. idemo ulevo: KM = MA + AC + CK
uuuu uuur uuur
r
Na slici 3. idemo udesno: KM = MB + BK
Napišemo jednakosti jednu ispod druge i saberemo ih:
uuuu uuur uuur uuur
r
KM = MA + AC + CK
uuuu uuur uuur
r
KM = MB + BK
uuuuuuuuuuuuuuuuu
uuuu uuur uuur uuur uuur uuur
r
2 KM = MA + AC + CK + MB + BK
Sad pogledamo sliku i uočimo suprotne vektore ( istog pravca i intenziteta a suproznog smera).
uuuu uuur uuur uuur uuur uuur
r
2 KM = AC + MA + MB + BK + CK
Uokvireni su nula vektori, pa je:
uuuu uuur
r
2 KM = AC
Primer 3.
uuuu 1 uuu uuu
r r r
Dat je trapez ABCD. Ako je M središte stranice AD, a N središte stranice BC, tada je MN = AB + CD
2
( )
Dokazati.
Rešenje:
a+b
Ovo je ustvari dokaz činjenice da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira osnovica m =
2
2

3. D C D C D C
M N M N M N
A B A B A slika 3. B
slika 1. slika 2.
Najpre ćemo vektor MN izraziti odozdo ( slika 2.) pa odozgo ( slika 3.), pa to sabrati…
uuuu uuur uuu uuur
r r
MN = MA + AB + BN
uuuu uuuu uuur uuur
r r
MN = MD + DC + CN
uuuu uuu uuur
r r
2 MN = AB + DC suprotni vektori se potiru, to jest daju nula vektor
uuuu 1 uuu uuu
r r r
Još da celu jednakost podelimo sa 2 i dobijamo MN = AB + CD .
2
( )
Primer 4.
Neka su M i N središta neparalelnih stranica BC i AD trapeza ABCD, a E i F presečne tačke duži MN i
uuu 1 uuu uuur
r r
dijagonala AC i BD. Tada je EF = AB − DC
2
( )
Rešenje:
I u ovom zadatku se koristi isti trik, al je putanja izražavanja vektora u sredini malo čudna , da vidimo:
D C D C D C
E F E F E F
A B A B A slika 3. B
slika 1. slika 2.
uuu uuu uuu uuu
r r r v
Na slici 2. vektor EF izražavamo preko: EF = EA + AB + BF .
uuu uuu uuu uuuv
r r r
Na slici 3. vektor EF izražavamo preko: EF = EC + CD + DF
Napišemo ove dve jednakosti jednu ispod druge, saberemo ih i potremo suprotne vektore…
uuu uuu uuu uuu
r r r v
EF = EA + AB + BF
uuu uuu uuu uuuv
r r r
EF = EC + CD + DF
uuu uuu uuu
r r r
2EF = AB + CD
WWW.MATEMATIRANJE.COM
3

4. uuu
v uuur uuu uuu uuur
r r
Znamo da važi : CD = − DC , ubacimo ovo u dobijenu jednakost i evo rešenja: 2EF = AB − DC .
uuu 1 uuu uuur
r r
(
Naravno ,ovo sve podelimo sa 2 i dobijamo: EF = AB − DC .
2
)
Primer 5.
uuuu uuur uuur uuuu uuuu
r r r
Ako je M proizvoljna tačka u ravni paralelograma ABCD , tada je 4MO = MA + MB + MC + MD , gde je O
tačka preseka dijagonala paralelograma. Dokazati.
Rešenje:
D C
O
A B
M
Vektor MO ćemo izraziti na 4 načina pa te jednakosti sabrati:
uuuu uuur uuur
v
MO = MA + AO
uuuu uuur uuu
v r
MO = MB + BO
uuuu uuuu uuu
v r r
MO = MC + CO
uuuu uuuu uuur
v r
MO = MD + DO
uuuu uuur uuur uuur uuu uuuu uuu uuuu uuur
v r r r r
4 MO = MA + AO + MB + BO + MC + CO + MD + DO
Pretumbajmo malo ovu jednakost u smislu da uočimo suprotne vektore:
uuuu uuur uuur uuuu uuuu uuur uuu
v r r r uuu uuur
r
4MO = MA + MB + MC + MD + AO + CO + BO + DO ( pogledajte na slici, ovo su suprotni vektori)
uuuu uuur uuur uuuu uuuu
v r r
4MO = MA + MB + MC + MD
4

5. Primer 6.
uur uur uuur
Ako je T težište trougla ABC, tada je TA + TB + TC = 0 . Dokazati.
Rešenje:
Da se podsetimo: težišna duž spaja teme i sredinu naspramne stranice; sve tri težišne duži seku se u jednoj tački T koja
je težište trougla; težište deli težišnu duž u odnosu 2:1.
Da nacrtamo sliku:
C
B1 A1
T
A C1 B
uur uur uuur
Krenućemo od TA + TB + TC = i dokazati da je ovaj zbir nula.
Rekosmo da težište deli težišnu duž u odnosu 2:1, pa je:
uur 2 uuur
TA = A1 A
3
uur 2 uuur uur uur uuu 2 uuur uuur uuuu
r r
TB = B1 B Saberemo ove tri jednakosti i dobijamo: TA + TB + TC = ( A1 A + B1 B + C1C )
3 3
uuu 2 uuuu
r r
TC = C1C
3
Dalje ćemo izraziti svaki od ovih vektora ( pogledaj na slici, to su isprekidano nacrtani vektori):
C C C
B1 A1 B1 A1 B1 A1
T T T
A C1 B A C1 B A C1 B
uuuu uuur uuu
r r
uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r C1C = C1 B + BC
A1 A = A1C + CA B1 B = B1 A + AB
Saberemo ove tri jednakosti:
5

6. uuur uuur uuu r
A1 A = A1C + CA
uuur uuur uuu r
B1 B = B1 A + AB
uuuu uuur uuu
r r
C1C = C1 B + BC
uuur uuur uuuu uuur uuu uuur uuu uuur uuu
r r r r
A1 A + B1 B + C1C = A1C + CA + B1 A + AB + C1 B + BC
Pretumbajmo malo desnu stranu jednakosti:
uuur uuur uuuu uuu uuu
r r r uuu uuur uuur uuur
r
A1 A + B1 B + C1C = CA + AB + + BC + A1C + B1 A + C1 B
Zaokruženi vektori imaju zbir nula, jer se zadnji vektor završava gde počinje prvi...
uuur uuur uuur
Pogledajmo sada preostali zbir A1C + B1 A + C1 B , i on je nula, jer je:
uuur 1 uuu r
A1C = BC
2
uuur 1 uuu r
B1 A = CA
2
uuur 1 uuu r
C1 B = AB
2
uuur uuur uuur 1 uuu uuu uuu
r r r 1
A1C + B1 A + C1 B = ( BC + CA + AB) = ⋅ 0 = 0
2 2
E, ovim je dokaz konačno završen.
Primer 7.
uuur 1 uuur uuur uuuu
r
( )
Ako je M proizvoljna tačka u ravni trougla ABC , tada je MT = MA + MB + MC , gde je T težište trougla.
3
Dokazati.
Rešenje:
Najpre moramo vektor MT izraziti preko vektora MA,MB i MC.
C
B1 A1
T
A C1 B
M
6

7. uuur uuur uuu
r
MT = MA + AT
uuur uuur uuu
r
MT = MB + BT saberemo ove tri jednakosti...
uuur uuuu uuu
r r
MT = MC + CT
uuur uuur uuu
r
MT = MA + AT
uuur uuur uuu
r
MT = MB + BT
uuur uuuu uuu
r r
MT = MC + CT
uuur uuur uuur uuuu uuu uuu uuu
r r r r
3MT = MA + MB + MC + AT + BT + CT
uuur uuur uuur uuuu
r
U prethodnom primeru smo videli da ovo uokvireno daje nula vektor, pa je: 3MT = MA + MB + MC , a to smo i trebali
dokazati.
WWW.MATEMATIRANJE.COM
7