Uitwerking van drie deuren probleem (ook wel 3 prisoners problem genoemd)

1. Uitwerking van “Willem Ruis-probleem”.
In een quiz (Willem Ruis-show) speelt zich het volgende af:
Aan het einde van de show kan de kandidaat een prijs winnen. Er zijn drie deuren. Achter één van de
drie deuren zit een grote prijs, achter de andere twee deuren niet. De kandidaat kiest één deur.
Daarna opent de quizmaster een deur waar géén (grote) prijs achter staat.
De vraag: is het nu gunstig voor de kandidaat om te wisselen of niet: is de kans op de grote prijs
achter de twee overgebleven deuren gelijk of niet?
Uitwerking 1.
Met behulp van elementaire gebeurtenissen.
Deur
Kans Kandidaat
Voorw.
met
Kiest
Kans1
prijs
deur:
Quizmaster
Opent
Deur:
Voorw.
Kans2
Totale
kans
1 1/3 1 1/3 2 ½ 1/18
3 ½ 1/18
2 1/3 3 1 1/9
3 1/3 2 1 1/9
2 1/3 1 1/3 3 1 1/9
2 1/3 1 ½ 1/18
3 ½ 1/18
3 1/3 1 1 1/9
3 1/3 1 1/3 2 1 1/9
2 1/3 1 1 1/9
3 1/3 1 ½ 1/18
2 ½ 1/18
Voorwaardelijke kans 1: kans dat kandidaat kies voor deur … als je weet dat de prijs achter deur …
zit.
Voorwaardelijke kans 2: kans dat quizmaster deur… opent als je weet dat de prijs achter deur… zit EN
de kandidaat deur… kiest.
In de laatste kolom kun je zien wat de kans is dat je in een bepaalde gebeurtenis terecht komt:
bijvoorbeeld: de kans dat de prijs achter deur 3 zit, de kandidaat deur 2 kiest en de quizmaster deur 1
opent is 1/9.
We kunnen in deze tabel eenvoudig terugvinden of het gunstig is te wisselen:
P(kandidaat kiest juiste deur | je blijft bij je keuze)= 6/18 = 1/3
P(kandidaat kiest juiste deur | je wisselt van keuze) = 6/9 = 2/3.
Uitwerking 2.
Omdat het feitelijk niet uitmaakt welke deur door de kandidaat gekozen wordt, ervan uitgaande dat
elke deur evenveel kans heeft, gaan we ervan uit dat de kandidaat deur 1 kiest.
We hebben de volgende kansen:
Prijs achter Kans
Deur 1 1/3
Deur 2 1/3
Deur 3 1/3
Verder weten we:
Prijs achter Kans dat quizmaster deur 2 opent,
gegeven dat de prijs achter deur… zit:
Kans dat quizmaster deur 3 opent,
gegeven dat de prijs achter deur… zit:
Deur 1 1/2 1/2
Deur 2 0 1
Deur 3 1 0
We gaan onderzoeken: P (prijs achter deur 1 | quizmaster opent deur 2).
Ik definieer D1= prijs achter deur 1, D2=prijs achter deur 2, D3 = prijs achter deur 3.
QM 2= de quizmaster opent deur 2, QM 3 = de quizmaster opent deur 3.

2. We onderzoeken dus P (D1 | QM 2) =
푃(퐷1 ∩ 푄푀2 )
푃 (푄푀 2 )
=
푃(푄푀 2 |퐷1 ) 푃 (퐷1 )
푃(푄푀2 |퐷1 ) 푃(퐷1) +푃(푄푀2 | 퐷2 ) 푃 (퐷2)+푃 (푄푀2 |퐷3 ) 푃(퐷3 )
=
1
2
∙
1
3
1
2
∙
1
3
+ 0 ∙
1
3
1
3
+1∙ ∙
=
1
3
Verder is P (D3 | QM2) =
푃(퐷3 ∩푄푀2 )
푃(푄푀 2)
=
푃(푄푀 2 |퐷3 ) 푃 (퐷3 )
푃(푄푀2 |퐷1 ) 푃(퐷1) +푃(푄푀2 | 퐷2 ) 푃(퐷2) +푃(푄푀2 |퐷3 ) 푃(퐷3 )
=
1 ∙
1
3
1
2
∙
1
3
+ 0 ∙
1
3
1
3
+1∙ ∙
=
2
3
.
We zien dus dat wisselen een twee keer zo grote kans oplevert. De kans dat de prijs achter deur 1 zit,
is niet veranderd door de actie van de quizmaster. De kans dat de prijs nu achter deur 3 zit is 2/3: dus
veel groter geworden.