Download to read offline
Uploaded byAleksandar Mijalković
Čudesna geometrija
Geometrija je matematika koja je rešila da bude poezija i filozofija.
More Related Content
Čudesna geometrija
- 1. Άγєωμέρητοζ μηδєίζ єίσίτω ‘‘’Nekaniko ko ne zna geometriju ne ulazi’’ Platon
- 2. ČUDESNA GEOMETRIJA (u 10dokaza) Aleksandar Mijalković, bibliotekar u OŠ „Jovan Popović“ Inđija
- 3. Zašto je čudesna? •Dokaz 1: Čudesno je ono što nema kraj, a toga je u gemetriji mnogo... Broj decimala broja PI Mebijusova traka koja nema spoljašnjost i unutrašnjost Asimptota, koja se beskonačno približava osi, ali je nikada ne dodiruje ili seče ... I naravno, beskonačna je prava...
- 4. Првих хиљаду цифараброја ПИ 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989... - Данашњи супер рачунари су у стању да израчунају трилионе цифара броја пи. Ова израчунавања се често користе и за мерење брзине рада, “снаге” рачунара. - У свету раде неколико супер рачунара само на пословима израчунавања нове цифре броја ПИ. -Ове “нове” цифре се свакодневно испоручују пословним системима (банкама, државним службама) где се користе у пословима шифрирања поверљивих података.. -Могуће је показати да је датум рођења сваког човека “уписан” у децимале броја ПИ.
- 5. • Dokaz 2:Čudesnoje ono što je drevno, staro • Stari Egipćani bez geometrije nikada ne bi izgradili piramide Додекаедар из 500 године пре нове ере. То је вероватно била играчка Орнамент из Забрањеног града Кина Vavilon i Biblija nalaze da je π = 3
- 6. • Dokaz 3:Čudesna je umetnost, a ona je inspiraciju često tražila u geometriji АлбрехтДирер, (1471-1528) ``Меланхолија`` Јохан Нојдорфер и његов син, 1561 LOUVRE MUSEUM - PARIS Lucio Safaro, ``Platonova tela`` kompjuterska grafika, 1989. Салвадор Дали Odnos 5 : 3 približna je vrednost broja φ u umetnosti kojom se označava idealan odnos “Čovek je geometrijska životinja!” Korbizje, arhitekta
- 7. Renesansna umetnost je zasnovanana geometriji Mikelanđelo Buonaroti (1475 – 1564) je 1505.g. pozvan od Pape Julija II da oslika Sikstinsku kapelu. Pošto je bila u pitanju izuzetno visoka cifra koju je Mikelanđelo tražio Papa je zahtevao brzi dokaz umetnikovih sposobnosti. Na to je Mikelanđelo prišao pultu i slobodnom rukom u jednom potezu nacrtao SAVRŠENU KRUŽNICU Leonardo da Vinči – idealne proporcije ljudskog tela i pravila perspektive Albertijeva perspektivna konstrukcija kvadratnog pločnika
- 8. • U istorijimatematike Pjero dela Frančeska se pominje zbog unošenja geometrijskih znanja i veština u slikarstvo. • U istoriji umetnosti jedan je od najvećih umetnika renesanse. • Istoričar Vasari ga naziva najvećim geometrom svoga vremena. • Pjero dela Frančeska nacrtao je pet Platonovih pravilnih tela u perspektivi. “Perspektiva je neobično fino istraživanje i pronalazak matematičkih učenja, koja pomoću linija čini da ono što je blizu izgleda daleko, i da ono što je malo izgleda veliko.” Leonardo da Vinči (1452-1512.), ”Traktat o slikarstvu” • Pjero dela Frančeska (1416-1492)
- 9. Током ренесансе, сликарибиТоком ренесансе, сликари би представљањем полиедара на својимпредстављањем полиедара на својим сликама позвђивали своје мајсторство усликама позвђивали своје мајсторство у цртању перспективецртању перспективе
- 10. Dokaz 4: Čudesnoje ono što nam je teško da objasnimo Odakle ova “rupa”, ako su svi delovi pre i posle premeštanja isti?
- 11. Ovaj “trik” imaobjašnjenje • Problem je optička varka da u prvoj slici sastavljeni delovi čine pravilan trougao... Zapravo.. tamo gde se ivicama spajaju tamnozeleni i crveni trouglovi, nije prava linija.. Postoji malo udubljenje.. Lenjir na papiru.. ili povučena duž u nekom programu za crtanje bi ovo lako otkrila. A u sledećem sklopu figurica (tamo gde "fali" kvadratić): Tako što su zamenili mesta, tamo gde se tamno zeleni i crveni trouglovi dodiruju, postoji blago ispupčenje... Razlika u površini izmedju prvog sklopa i drugog je ravna tom kvadratiću koji nedostaje
- 12. ... Ali nekitrikovi geometrije još čekaju rešenje “Квадратура круга” је други велики проблем старогрчких математичара (први је удвајање коцке, трећи трисекција угла) који су дуго година покушавали да реше многи математичари. Данас је то синоним за НЕРЕШИВЕ проблеме. KONSTRUISATI KVADRAT ISTE POVRŠINE KAO KRUG!
- 13. • Dokaz 5:Čudesne su bajke i priče ,,Pogledajte, kroz mikroskop, ćelije organa, videćete da se sav život u loptama i krugovima slaže i razlaže. Svugde je krug, i svugde odredjuje i pobeđuje centrum... Sve što je materija krug je, i sve što nije materija krug je. Bog je krug, magla je krug, život je krug, organizam je krug, društvo je krug... Jer je svud carstvo istoga i jednakog udaljenja..., a čovek udara glavom o zid i razbija se o periferiju onog središta, kome je rob. ,, Isidora Sekulić (Prozni radovi, KRUG)
- 14. • Dokaz 6:Čudesna je iluzija • M. C. Ešer (1902-1972), ``Zvezde``(1948) Savremeni umetnik kome je inspiracija bila geometrija, matematika. Za njega kažu da je ``slikar koji je uspeo da naslika beskonačnost``
- 15. • Dokaz 7:Geometrija je čudesna jer postoji u prirodi, mada izgleda kao da je jedino čovek u stanju da načini takve stvari Savršeni diskovi od leda Biljna arhitektura
- 16. Geometrijski aspekt zlatnesredine – Božanske proporcije u prirodi, umetnosti, arhitekturi: GA B b a a : b = b : (a + b) Manji deo odnosi se prema većem delu, kao veći deo prema celom.
- 17. “Златни пресек јеједно од два блага геометрије, поред Питагорине теореме” Кеплер (XVI век) Математичари – филозофи, сматрају да лепота не може бити случајна, трагајући за математичком формулом лепоте, налазе је у пропорцијама природе.
- 18. • Природа задовољава геометријскезахтеве. •Кристалне структуре задовољавају одређена правила симетрије и попуњавања простора исто тако строга као и за правилне полиедре
- 19. Лак пролаз крозћелијску мембрану ћелија • Молекули воде се групишу у блик икосаедра који не може да прође кроз ћелијску мембрану • Групација икосаедра се трансформише у мање групације у форми додекаедра и тако пролази кроз ћелијску мембрану
- 20. Dokaz 7a: Ikosmos je čudesan, a geometrija je utkana u njega Platonov dijalog ‘’TIMAJ’’ je viđenje kosmologije, matematičke fizike i antropologije.Tu ovaj grčki filozof daje viđenje o uređenju kosmosa: postojao je Demiurg ( graditelj ), vrsni matematičar koji je sredio postojeći kosmički materijal po matematičkim načelima. Poslednji elementi tako sačinjenog kosmosa imenovani su kao matematička bića- trouglovi od kojih su sačinjeni pravilni poliedri • Johan Kepler je razvio mističnu teoriju da se kosmos sastoji od pet pravilnih poliedara, obmotanih jednom sferom, sa planetom imeđu svakog pojasa.Tada je bilo poznato šest planeta.Svoje prvo veliko delo nazvao je ‘’Misterija sveta’’ jer je bio ubeđen da je otkrio tajnu kosmosa. • Ideja je bila pogrešna.
- 21. FIGURA U SVETUSLIKA (iz tv- serije “Kosmos” – Karla Sagana) Zamislite zemlju u kojoj sve stvari i bića žive u dve dimenzije. Zašto ta bića ne bi mogla da vide jabuku koja im dolazi u susret? A ako jabuka baš “reši” da uđe u njihov svet, kako će je Ravnođijci videti? Kako će se oblik menjati dok jabuka prolazi kroz ravan svet?KAO KRUGOVI KAO TAČKE
- 22. ČETVRTA DIMENZIJA? Zamislite sledećusituaciju. U Ravnođiju je zalutala kocka. Pogledajte sliku levo. Kako je Ravnođijci jedino mogu videti? Naš svet je trodimenzionalan. Da biste shvatili četvrtu dimenziju, pogledajte sliku. Da li ugao označen na slici može da bude prav u slučaju da je jedna kocka unutar druge? Četvrta dimenzija bi značila da bi svi uglovi u jednom ovakvom telu bili pravi.
- 23. Dokaz 8: Geometrijaje često smatrana osnovom religije, zasnovane na čudima Grčki matematičar Pitagora je proučavao svojstva prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata, kao na primjer parni i neparni brojevi, savršeni brojevi itd. Po njemu, svaki broj ima čak i svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lep ili ružan. Postojao je i najbolji od svih brojeva: broj 10, kojeg su prepoznali kao zbir prva četiri prirodna broja (1 + 2 + 3 + 4 = 10). Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatoj teoremi, koja je, iako nazvana po njemu, ona bila poznata još i starim Vaviloncima 1000 godina pre nego što se Pitagora rodi, ali on ju je prvi dokazao. Po nekima, kada je Pitagora dokazao tu teoremu, bogovima u čast je žrtvovao vola što su ga prosvetlili.
- 24. Dokaz 8a: Luca diPacioli (XV век) "Божанско у броју φ је његова Ирационалност!" Бројеви природе су Ирационални! π = 3.14159265... е = 2.718281828... φ = 1.618033989...
- 25. 13 latica Suncokret ima34 spirale u jednom i 21 spiralu u drugom pravcu Фибоначијев низ је најбоља целобројна апроксимација броја φ. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... 5 latica 21 latica
- 26. Dokaz 8c: Ihrišćanski mislioci koriste geometriju da bi prikazali odnos čoveka i boga
- 27. ЖИВОТ И ГЕОМЕТРИЈА? БОГ(ИЛИ СВЕТ) – КРУГ ИЗ ЧИЈЕГ ЦЕНТРА СЕ МОЖЕ ПОВУЋИ БЕСКОНАЧНО МНОГО ПУТАЊА – ЗА СВАКОГ ЧОВЕКА НА СВЕТУ ШТО СМО БЛИЖИ ЦЕНТРУ, БЛИСКИЈИ СМО ДРУГИМ ПУТЕВИМА – ЉУДИМА. ЉУБАВ ЈЕ ЈАЧА УКОЛИКО СМО БЛИЖИ БОГУ ИЛИ СМИСЛУ И БЛИЖИ СМО ТОМЕ САМО АКО СМО БЛИЖИ ДРУГИМ ЉУДИМА. ПУТ КА ЦИЉУ - БОГУ – СМИСЛУ ПРИБЛИЖАВАЊЕ ЦЕНТРУ
- 28. ГЕОМЕТРИЈА У СЛУЖБИ САГЛЕДАВАЊАСТВАРНОСТИ • У кутији са страницама од мутног стакла која је осветљена изнутра једна група ученика видела је ово: • Друга група ученика посматрала је исту кутију, али је видела ово: • Обе групе су биле у праву. Како је то могуће? Шта су заправо видели?
- 29. Dokaz 9: Čudesnoje uvek znak, simbol, a geometrijska tela i oblici su među najstarijim i najmnogoznačnijim simbolima TETRAEDAR SIMBOLIZUJE VATRU KOCKA SIMBOLIZUJE ZEMLJU OKTAEDAR VAZDUH
- 30. SIMBOLIKA KRUGA • Krugspada u temeljne simbole, pored tačke, kvadrata i krsta • ,,Krug je arhetipska slika celovitosti psihe,, K.G.Jung • Teologija pravi analogiju: središte (Bog) – krug (stvaranje) • U hrisćanstvu krug je simbol večnosti; u islamu krug je apsolut, krug oko Božije nedostupnosti • U Zen budizmu koncentrični krugovi duhovni su nivoi • Krug u kvadratu simbol je iskre božanskog u materiji - Kabala • Krug je i magijska zaštita u svim civilizacijama i poprima oblike prstena, narukvice, ogrlice, krune… • U filozofiji KRUG i KVADRAT simbolizuju ljudsku dijalektiku izmedju transcedentnog, nebeskog (krug) i zemaljskog, materijalnog (kvadrat). • ,,Krug je figura savršena, i jedinstvena u svojoj jednostavnosti i beskonačnosti” Ranko Radović ,,Savremena arhitektura”
- 31. ИКОСАЕДАР СИМБОЛИЗУЈЕ ВОДУ, ДОДЕКАЕДАРЕТАР КОЈИ ПРОЖИМА НЕБЕСА
- 32. Dokaz 10: Geometrijaje, ponekad, važnija od života. Čudesno. • Arhimed je poginuo od mača rimskog vojnika u rodnom gradu Sirakuzi, koja je dve godine odolevala Rimljanima, zahvaljujući spravama i mašinama koje je Arhimed konstruisao. • Poslednje reči su mu bile:”Ne diraj moje krugove”.
- 33. Prema njegovoj željina nadgrobnoj ploči su mu urezana dva geometrijska tela - lopta upisana u valjak.
- 34. Ali, najveći dokazda je geometrija čarobna ja da dovodi samu sebe u pitanje • Epitet kraljice nauka matematika duguje Euklidu i geometriji! • Euklidska geometrija je deduktivni logički sistem koji čine: nedefinisani pojmovi (tačka, prava, ravan), definisani pojmovi, aksiome, teoreme, dokazi. • U XIX veku poljuljani su temelji euklidske geometrije.Zasnovana je nova geometrija koja ne počiva na iskustvu - neeuklidski prostor! ,,Da nisu verovali u Njutna, teoriju relativiteta mogli su formirati pre Njutna Anri Poenkare i Ernst Mah. Slično tome, Gaus je pre Lobačevskog i Boljaija mogao formulisati principe neeuklidske geometrije!,, Akademik dr Mirko Stojaković
- 35. Dokaz Pitagorine teoremeje savršeno jednostavan i logičan, ali sada znamo da se ona ne može primenjivati u svemiru, na velikim brojevima 1 1 2 3 4 2 3 4 c2 a2 b2
- 36. • Do XVIIveka geometrija ima apsolutni primat u matematici! • Dekartov pravougli koordinatni sistem prevodi tačku u uredjenu dvojku (trojku), dakle prevodi tačku na broj! • Jednačina neke krive omogućava da upoznamo sva svojstva krive – otkriće, skoro istovremeno, Dekarta i Ferma (XVII v). ALGEBRIZACIJA GEOMETRIJE UPROSTILA JE PROSTOR! Rene DekartRene Dekart
- 37. Ko zna kakavnas prostor i vreme očekuju u budućnosti? Možda baš geometrija?