Download to read offline
![2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 27
Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l x + y + 1 =
2xy
x + y
, x + y + 1 = 1 x2 y2 , x2 + y2 + x + y = 0
Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y 0
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (2; 3)
n
x3 y3 = 3(x y2) + 2
§C¥u 35
p
p
x2 +
1 x2 3
2y y2 + 2 = 0
Gi£i
Tui·u ki»n : 1 x 1, 0 y 2
Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót
(1) , x3 3x = (y 1)3 3(y 1)
X²t f(t) = t3 3t vîi 1 t 1 th¼ f0(t) = 3t2 3 0
Suy ra f(t) ìn i»u v tø â suy ra x = y 1 thay v o (2)
C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi
m´ m tæi l m
p
p
(2) , x2 +
1 x2 + 2 = 3
2y y2 , f(x) = g(y)
13
X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3 f(x)
p
4
y + 2 y
Ta l¤i câ : g(y) = 3
y(2 y) 3
= 3
2
Vªy f(x) g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi
y = 1
NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l thäa m¢n
x = 1; x = 0
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1)
x3 3x = y3 3y
C¥u 36
x6 + y6 = 1
Gi£i
D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i
bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1 x; y 1.
Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v suy ra ÷ñc x = y
Thay v o (2) ta ֖c
2x6 = 1 , x =
1
6 p
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) =
1
6 p
2
;
1
6 p
2
;
1
6 p
2
;
1
6 p
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-31-320.jpg)
![2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 87
C¥u 156
xy x + y = 3
4x3 + 12x2 + 9x = y3 + 6y + 5
Gi£i
B i to¡n xu§t hi»n trong mët · thi chån ëi tuyºn håc sinh giäi cõa ¤i håc Vinh. ¥y l
mët b i to¡n kh¡ khâ v mang t½nh ¡nh è cao v· þ t÷ðng. Câ thº sû döng UCT d¤ng n¥ng
cao º gi£i quy¸t nâ nh÷ng tæi khuy¶n khæng n¶n dòng. Ta l m nh÷ sau. H» t÷ìng ÷ìn
ng
3xy 3x + 3y = 9
§4x3 + 12x2 + 9x = y3 + 6y + 5
Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc
Tu4x3 + 12x2 + 12x + 4 = y3 + 3xy + 9y
, 4(x + 1)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 9y
, 4(x + 1 + y)[(x + 1)2 (x + 1)y + y2] = 3y(y2 + x + 3)
B÷îc then chèt l ¥y. Ta th¸ x = xy + y 3 thay v o v¸ ph£i ta câ
, 4(x + y + 1)[(x + 1)2 Minh (x + 1)y + y2] = 3y(y2 + xy + y 3 + 3)
, 4(x + y + 1)[(x + 1)2 (x + 1)y + y2] = 3y2(x + y + 1)
, (x + y + 1)(2x + 2 y)2 = 0
Vîi y = x 1 thay v o (1) ta ÷ñc x3 + 3x + 4 = 0 (2
Væ nghi»m)
Vîi y = 2x + 2 thay v o (1) ¹n ta ÷ñc 2x2 + 3x 1 = 0
Nguy64
x =
p
17
4
3 +
x =
p
17
4
3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
3 +
p
17
4
;
1 +
p
17
2
!
;
3
p
17
4
;
1
p
17
2
!
Thªt khâ º ngh¾ ÷ñc mët ph²p th¸ kh¡ £o nh÷ th¸ kia ph£i khæng ? B i to¡n n y câ kh¡
nhi·u phi¶n b£n kh¡c, thªt ng¤c nhi¶n l c¡ch gi£i g¦n nh÷ gièng h»t phi¶n b£n n y. Tæi s³
giîi thi»u th¶m mët sè c¥u cho b¤n åc.
C¥u 157
xy x y = 1
4x3 12x2 + 9x = y3 + 6y + 7
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng :
3xy 3x 3y = 3
4x3 12x2 + 9x = y3 + 6y + 7
Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc
4(x 1)3 = y3 + 3xy + 3y
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-107-320.jpg)
![88 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
, 4(x 1)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 3y
, 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y(y2 + x + 1)
, 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y(y2 + xy y 1 + 1)
, 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y2(x + y 1)
, (x + y 1)(2x 2 y)2 = 0
Vîi y = 1 x thay v o (1) ta ÷ñc x2 x + 2 = 0 (Væ nghi2
»m)
n
Vîi y = 2x 2 thay v o (1) ta ÷ñc 2x2 5x + 1 = 0 ,
Tu§Minh n Nguy¹64
x =
5
p
17
4
x =
5 +
p
17
4
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
5
p
17
4
;
1
p
17
2
!
;
5 +
p
17
4
;
1 +
p
17
2
!
C¥u 158
xy x + 2y = 4
4x3 + 24x2 + 45x = y3 + 6y 20
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
6y 3x + 3xy 12 = 0
4x3 + 24x2 + 45x = y3 + 6y 20
Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc
4x3 + 24x2 + 48x + 32 = y3 + 3xy + 12y
, 4(x + 2)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 12y
, 4(x + y + 2)
(x + 2)2 (x + 2)y + y2
= 3y(y2 + x + 4)
Th¸ x = xy + 2y 4 v o v¸ ph£i ta ÷ñc
, 4(x + y + 2)
(x + 2)2 (x + 2)y + y2
= 3y(y2 + 2y + xy 4 + 4) = 3y2(x + y + 2)
, (x + y + 2)
4(x + 2)2 4(x + 2)y + y2
= 0
Vîi y = x 2 thay v o (1) ta ÷ñc x2 5x + 8 = 0 (Væ nghi»m)
Vîi y = 2x + 2 thay v o (1) ta ÷ñc 2x2 7x + 4 = 0 ,
2
64
x =
p
17 7
4
x =
p
17 + 7
4
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
p
17 7
4
;
1 +
p
17
2
!
;
p
17 + 7
4
;
1
p
17
2
!
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-108-320.jpg)
![2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 93
p
y + 1 = a; 3y = b th¼ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng
°t 2
a2 = (2a b)2 , 3a2 4ab + b2 ,
a = b
3a = b
p
y + 1 , y = 1 ) x = 4
Vîi a = b , 3y = 2
p
p
p
Vîi 3a = b , y = 2
y + 1 , y = 3 + 2
2 ) x p
= 6 + 4
p
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (4; 1); (6 + 4
2; 3 + 2
2)
§n
16x2y2 17y2 = 1
C¥u 166
4xy + 2x 7y = 1
TuGi£i
Ta thüc hien bi¸n êi (2) nh÷ sau
(2) , 4xy + 1 = 7y 2x ) 16x2y2 + 8xy + 1 = 4x2 28xy + 49y2
17y2 4x2 Minh 49y2 4(x2 8y2) x = y
, + 8xy = 28xy + , 9xy + ,
x = 8y
x = 1 ) y = 1(TM)
Vîi x = y thay v o (2) ta câ 4x2 5x + 1 = 0 ,
1
1
x =
) y =
(TM)
4
4
Vîi x = 8y thay v o (2) ta câ 32y2 9y +
1 = 0(V
L)
1
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = (1; 1);
;
4
4
Nguy
p
p
p
2
¹x2y4 + 2xy2 y4 + 1 = 2(3
2 x)y2 C¥u 167
x y2 + x = 3
Gi£i
i·u ki»n : x y2; x2y4 + 2xy2 y4 + 1 0
Rã r ng khæng l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Còng lm khai th¡c ÷ñc c¡i i·u ki»n. Ta s³ khai th¡c
(1). Bi¸n êi ta s³ ÷ñc
p
p
(xy2 + 1)2 y4 = 2[xy2 + 1 (3
2)y2]
s
(xy2 + 1)2
,
y4
1 = 2
xy2 + 1
y2
(3
p
2)
°t
xy2 + 1
y2 = t 0. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh
p
t2 1 = 2t 2(3
p
2) , t = 3 , xy2 + 1 = 3y2 ) y2 =
1
3 x
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-115-320.jpg)
![2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 95
C¥u 169
8
:
p
x2 y2
14
2xy + y
=
r
x + y
2
+
r
x y
s 2
x + y
2
3
+
s
x y
2
3
= 9
Gi£i
n
i·u ki»n : y minfxg
Vîi hr
¼nh thùc b i h» nhr
÷ n y ta th§y ngay
c¦n ph£i °t ©n phö
x + y
x y
x = a2 + b2
§°t
= a 0;
= b 0 )
2
2
y = a2 b2
Nh÷ vªy thay v o (1) ta câ
Tu2 (a2 + b2) (a2 b2) + 2 (a2 b2) ab
(1) ,
= a + b
14
, 7 (a + b) =
a2 + b2a2 b2+
a2 b2ab
a3 b3 a2 b2 = 7
a = 2
x = 5
, 7 = (a b)
+ ab + )
,
,
a3 + b3 = 9
b = 1
y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5; Minh 3)
x3y + x3 + xy + x = 1
C¥u 170
4x3y2 + 4x3 8xy 17x = 8
n Gi£i
NguyMët b i h» y¶u c¦u kh¹£ n«ng rót th¸ t÷ìng èi tèt.
x3(y + 1) + x(y + 1) = 1
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
4x3(y2 + 1) 8x(y + 1) = 9x 8
Tø PT(1) ta th¸ x(y + 1) = 1 x3(y + 1) v o PT(2) v ta câ
(2) , 4x3(y2 + 1) 8[1 x3(y + 1)] = 9x 8
, 4x3(y2 + 1 + 2y + 2) = 9x , 4x2[(y + 1)2 + 2] = 9()
V¼ d¹ th§y x = 0 khæng l nghi»m n¶n ta rót gån ra (*)
1
M tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta l¤i rót ra ÷ñc y + 1 =
. Vªy (*) trð th nh
x2(x2 + 1)
4x2
1
x2(x2 + 1)2 + 2
= 9 ,
4
(x2 + 1)2 + 8x2 = 9 , x2 = 1 ,
2
64
x = 1 ) y =
1
2
x = 1 ) y =
3
2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1;
1
2
;
1;
3
2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-117-320.jpg)
![2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 107
C¥u 192
4x3 + 4y3 = 3x2y + 2
p
3xy + 2x
x2 = y2 + 1
Gi£i
¥y l mët c¥u thuëc lo¤i khâ. Mang t½nh ¡nh è mët chót. º þ mët chót ph÷ìng tr¼nh
1
(2) nh¼n kh¡ gièng mët h¬ng ¯ng thùc l÷ñng gi¡c â l 1 + tan2x =
. Vªy n
ta °t
cos2x
1
x =
) y = tana vîi a 2 [0; ]. Thay t§t c£ v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc
cosa
4
3
p
1
2
§+ 4tan3a =
tan a + 2
3
: tan a +
cos3a
cos2a
cos a
cos a
p
, 4 + 4sin3a = 3 sin a + 2
3 sin a cos a + 2cos2a
p
Tu
, 3 = sin 3a +
3 sin 2a + cos 2a , 3 = sin 3a + 2 sin
2a +
6
2
1
Rã r ng V T V P v ¯ng thùc x£y ra khi a =
) x =
p
; y =
p
6
3
3
2
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
p
;
p
3
3
Minh y3 + 3xy 17x + 18 = x3 3x2 + 13y 9
C¥u 193
x2 + y2 + xy 6y 5x + 10 = 0
Gi£i
Sû döng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành ta s³ rót ra
PT(1) 3:PT(2) n , (y 1)2 + 2(y 1) = x3 + 2x , x = y 1
Nguy¸n ¥y d¹ rçi !
P/S : Thüc ra vîi b ¹i n y ta nh¥n 3 v o PT(2) rçi trø i câ thº do 1 chót kinh nghi»m nh¬m
lo¤i bä xy i chù khæng nh§t thi¸t ph£i sû
döng
¸n h» sè b§t ành.
5
8
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2);
;
3
2
C¥u 194
8
:
(x + y 3)3 = 4y3
x2y2 + xy +
45
4
x + 4y 3 = 2xy2
Gi£i
Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta rót ra : x + y 3 = 2xy2 3y
Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc
y3(2xy 3)3 = 4y3
x2y2 + xy +
45
4
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-129-320.jpg)
![2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 109
Vîi lo¤i ph÷ìng trh
¼nh væ t n y l÷ñng gi¡c hâa l c¡ch tèt nh§t.
°t x = sint; t 2
0;
2
i
. Ph÷ìng tr¼nh trð th nh
p
1 + cos t = sin t(1 + 2 cos t) ,
p
2 cos
t
2
= 2 sin
t
2
cos
t
2
3 4sin2 t
2
p
t
t
2
, 3 sin
4sin3 =
,
n
2
2
2
Tu§Minh ¹n Nguy8
:
sin
3t
2
=
p
2
2
t 2
h
0;
2
i ,
2
4 t =
6
) x =
1
2
t =
2
) x = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1);
1
2
;
1
2
C¥u 197
2y3 + 2x
p
1 x = 3
p
1 x y
y = 2x2 1 + 2xy
p
1 + x
Gi£i
i·u ki»n 1 x 1
º þ k¾ th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ d¤ng f(
p
1 x) = f(y) vîi f(t) = t3 + t ìn i»u t«ng. Tuy
nhi¶n, ¸n §y ch÷a ph£i l h¸t. Nh÷ tæi ¢ nâi ð tr÷îc, nhúng h» kiºu n y th÷íng kh¡ n°ng
v· gi£i ph÷ìp
ng tr¼nh væ t ph½a sau.
Thay y =
1 x tø (1) xuèng (2) v ta thu ÷ñc
p
1 x = 2x2 1 + 2x
p
1 x2
°t x = cost; t 2 [0; ] ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng
p
1 cos t = 2cos2t 1 + 2 cos t
p
1 cos t
,
p
2 sin
t
2
= cos 2t + sin 2t ,
(
sin
t
2
= sin
2t +
4
t 2 [0; ]
, t =
3
10
,
8
:
x = cos
3
10
y =
p
2 sin
3
20
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
cos
3
10
;
p
2 sin
3
20
C¥u 198
3(x3 y3) = 4xy
x2y2 = 9
Gi£i
Mët b i h» khæng qu¡ khâ kh«n, ch¿ c¦n chó þ mët chót trong ph²p th¸
Tø (2) suy ra xy = 3 ho°c xy = 3.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-131-320.jpg)
![110 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Vîi xy = 3 ) y =
3
x
, thay t§t c£ v o (1) ta ÷ñc
x3
3
x
3
= 4 ,
2
664
x3 = 2
p
31 ) x = 3 p
2
p
31 ) y =
3
3 p
2
p
31
x3 = 2 +
p
31 ) x = 3 p
2 +
p
31 ) y =
3
3 p
p
2 +
31
T÷ìng tü vîi tr÷íng hñp xy = 3. Tuy
nhi¶n tr÷íng hñp n y væ nghi»m.
§n
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
TuMinh n Nguy¹3 p
2
p
31;
3
3 p
2
p
31
!
;
3 p
2 +
p
31;
3
3 p
2 +
p
31
!
C¥u 199
x2 + y2 p = 1
2(x y)(1 + 4xy) =
p
3
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh ¦u khi¸n ta li¶n t÷ðng ¸n ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa.
°t x = sin t; y = cos t; t 2 [0; 2]. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc
(sin t cos t)(1 + 2 sin 2t) =
p
6
2
, sin t cos t + 2 sin 2t sin t 2 sin 2t cos t =
p
6
2
, sin t cos t + cos t cos 3t sin 3t sin t =
p
6
2
,
8
:
cos 3t + sin 3t =
p
6
2
t 2 [0; 2]
, t 2
7
36
;
31
36
;
55
36
;
11
36
;
35
36
;
39
36
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (sin t; cos t) vîi t 2
7
36 ; 31
36 ; 55
36 ; 11
36 ; 35
36 ; 39
36
C¥u 200
( p
5y4 x4 6(x2 y2) 2xy = 0
1
(5y2 + x2)2 18 =
2
p
xy(6 5y2 x2)
Gi£i
i·u ki»n : xy 0; 5y4 x4 0
Mët h» kh¡ hay. Ð ¥y x²t ph÷ìng tr¼nh (2) ta coi x2 + 5y2 l ©n ch½nh.
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
(5y2 + x2)2 + 2
p
xy 36 = 0
p
xy(5y2 + x2) 12
5y2+x2 = xy + 12
p
xy + 36 = (
p
xy + 6)2
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-132-320.jpg)
![122 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 220
8
:
p
x + 1 +
p
y + 1 = 2
72xy
x y
+ 29: 3 p
x2 y2 = 4
Gi£i
i·u ki»n : x 1; y 1; x6= y
Rã r ng khâ l m «n ÷ñc g¼ tø ph÷ìng tr¼nh (2). Ta s³ xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh (1). B¼nh
ph÷ìng 2 v¸ ta ÷ñc
n
p
x + y + 2
xy + x + y + 1 = 2 ) 4(xy + x + y + 1) = (x + y)2 4(x + y) §+ 4
, (x y)2 = 8(x + y)
¸n ¥y þ t÷ðng g¦n nh÷ ¢ s¡ng tä. Chó þ khi b¼nh ph÷ìng l¦n 2 th¼ i·u ki»n â l x+y 2.
L¡t ta s³ dòng i·u ki»n n y º lo¤i nghi»m.
TuGií ta bi¸n êi (2), ÷a nâ v· ©n têng v hi»u. ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
18 [(x + y)2 (x y)2]
+ 29 (x y)(x + y) = 4
x y
(x y)4
18
(x y)2
64
29
,
+
(x y) = 4
x y
2
°t x y = t. Ph÷ìng tr¼nh chuyºn v·
2
Minh 9t3 112t 108 = n 0 ,
Nguy3 p
¹6666666666664
t = 4 )
x y = 4
x + y = 2
,
x = 3
y = 1
(TM)
t =
8
3
)
8
:
x y =
8
3
x + y =
8
9
,
8
: x =
8
9
y =
16
9
(TM)
t =
4
3
)
8
:
x y =
4
3
x + y =
2
9
,
8
:
x =
5
9
y =
7
9
(TM)
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1);
8
9
;
16
9
;
5
9
;
7
9
C¥u 221
x2 + y2 + xy + 2x = 7y
x3 + x2y x2 + 2xy 6x + 3y = 0
Gi£i
X²t y = 0 th¼ h» câ nghi»m x = 0 ho°c x = 2
Vîi y6= 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
x2 + 2x = y(7 x y)
x3 + x2y + 2x2 + 2xy 3(x2 + 2x) = 3y
,
8
:
x2 + 2x
y
+ (x + y) = 7
(x2 + 2x) (x + y)
y
3
x2 + 2x
y
= 3
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-144-320.jpg)
![126 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 227
8
:
2x + 1
2y
=
s
x2 + x + 1
y2 + 3
x +
p
y + 1 = 3
Gi£i
i·u ki»n : 1 y6= 0
n
Nh¼n v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta th§y º câ nghi»m th¼ 2x + 1 v 2y còng d§u.
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng
p
s
p
s
§x2 + x + 1
y2 + 3
x2 + x + 1
Tuy2 + 3
+
,
+
2x + 1
2y
4x2 + 4x + 1
4y2
,
Minh n Nguy¹vuuuuut
x2 + x +
1
4
4
x2 + x +
1
4
=
r
1
4
+
3
4y2
,
s
1
4
+
3
4(2x + 1)2 =
r
1
4
+
3
4y2
, y2 = (2x + 1)2 , y = 2x + 1
Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc
x +
p
2x + 2 = 3 , x = 1 ) y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3)
C¥u 228
x + 3y2 2y = 0
36 (x
p
x + 3y3) 27(4y2 y) +
2
p
p
3 9
x 1 = 0
Gi£i
¥y l mët c¥u trong · Olympic 30/4 n«m 2013. T§t nhi¶n l mët c¥u r§t khâ n¸u khæng tinh
þ nhªn ra.
i·u ki»n :x 0
p
2
Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng : 3x + (3y 1)2 = 1 ,
3x
+ (3y 1)2 = 1
Vªy ta °t 3y 1 = cos t;
p
3x = sin t; t 2 [0; ]
Thay h¸t v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc
36x
p
x + (2
p
3 9)
p
x + 4(3y 1)3 3(3y 1) = 0
,
36sin3t
p
3
3
+ (2
p
3 9)
sin t
p
3
+ 4cos3t 3 cos t = 0
p
3sin3t 3
, 4
p
3 sin t + cos 3t = 2 sin t
,
p
3 sin 3t cos 3t = 2 sin t , sin
3t
6
= sin t
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-148-320.jpg)
![2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 127
8
:
2
4
t =
12
+ k
t =
7
24
+
k
2
t 2 [0; ]
, t 2
12
;
7
24
;
19
24
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
§n
TuMinh ¹n Nguy
sin2t
3
;
1 + cos t
3
vîi t 2
12
;
7
24
;
19
24
C¥u 229
x2 + 4y2 = 1
16x5 20x3 + 5x + 512y5 160y3 + 10y +
p
2 = 0
Gi£i
º þ mët ph¦n cõa ph÷ìng tr¼nh (2) biºu thùc r§t gièng cæng thùc nh¥n 5. V biºu thùc ¦u
c ng khi¸n ta câ cì sð l÷ñng gi¡c hâa cho b i n y.
°t x = sin t; 2y = cos t; t 2 [0; 2]. Thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc
16sin5t 20sin3t + 5 sin t + (16cos5t 20cos3t + 5 cos t) +
p
2 = 0
sin 5t + cos 5t =
p
2 , sin
5t +
4
= 1 ,
(
t =
3
20
+
k2
5
t 2 [0; 2]
, t 2
4
;
13
20
;
21
20
;
29
20
;
37
20
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y)
sin t;
cos t
2
vîi t 2
4
;
13
20
;
21
20
;
29
20
;
37
20
C¥u 230
2(x + y)3 + 4xy 3 = 0
(x + y)4 2x2 4xy + 2y2 + x 3y + 1 = 0
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
2(x + y)3 + 4xy 3 = 0
(x + y)4 2(x + y)2 + (x + y) + (2y 1)2 = 0
°t x + y = t ta câ
0 = 2t3 + 4xy 3 2t2 + t 3 , t 1
Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng
t4 2t2 + t + (2y 1)2 = 0
Ta câ : t4 2t2 + t = t(t 1)(t2 + t 1) 0 vîi 8t 1 v (2y 1)2 0
Vªy v¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh (2) luæn khæng ¥m.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-149-320.jpg)
2
p
y(x 2) + 2
2
= 2
h
(y 2 + 2)(x 4 + 2) + 4
p
y(x 2) + 4
i
2
p
(y 2)(x 4) + 2
2
+ 4
p
y(x 2) + 4
= V P
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-194-320.jpg)
![2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 185
C¥u 325
(
qp
1 + 4
xy9 y4 = y(1 x)
4 p
x2y3 + 4 p
xy y + 1 = 4 p
y
Gi£i
T¡c gi£ b i to¡n l mët ng÷íi b¤n cõa tæi tr¶n facebook : H¤ Lan T¥m Nh÷ - Lîp 12C1 THPT
°ng Thóc Hùa, Thanh Ch÷ìng, Ngh» An.
Vîi h¼nh thùc h» nh÷ n y câ l³ ch¿ câ ¡nh gi¡ mîi di»t ÷ñc
n
H» n y câ nhi·u i·u ki»n, trong â câ mët i·u ki»n â l y xy 1.
Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ
qp
§y xy = 1 + 4
xy9 y4 1
¬ng thùc x£y ra khi
(
Tuyp xy = 1
,
xy9 y4 Minh = 0
n Nguy¹8
:
x =
1
2
y = 2
(TM)
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
1
2
; 1
C¥u 326
(2x + y 1)
p
x + 3 +
p
xy +
p
x
= 8
p
x p
x + 3 +
p
xy
2
+ xy = 2x(6 x)
Gi£i
Nhªn x²t x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
(2x + y 1)
p
x + 3
p
x
+
p
y + 1
= 8
r
x + 3
x
+
p
y
!2
+ y = 2(6 x)
°t 2x + y = a;
r
x + 3
x
+
p
y = b 0 ta câ h» mîi
(
(a 1)(b + 1) = 8
a = 12 b2
,
(
a = 3
b = 3
,
(
x = 1
y = 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1)
C¥u 327
4x2 3y = 0
(2x2 + y)[4x4 3x2 + y(4x2 + y + 6)] = 8
Gi£i
B i n y t§t nhi¶n câ thº gi£i b¬ng c¡ch rót y tø (1) xuèng (2) t¤o ph÷ìng tr¼nh ©n x2 câ thº
gi£i ÷ñc. Tuy nhi¶n n¸u bi¸n êi tinh t¸ mët chót th¼ b i to¡n s³ µp hìn nh÷ sau.
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-215-320.jpg)
![186 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
(
2x2 + y + 2(x2 2y) = 2
(2x2 + y) [(2x2 + y)2 3(x2 2y)] = 8
°t 2x2 + y = a; x2 2y = b ta câ h» mîi
(
(
(
a + 2b = 2
a = 2
2x2 + y = 2
n
,
,
,
a(a2 3b) = 8
b = 0
x2 2y = 0
Tu§Minh n Nguy¹8
:
x =
r
4
5
y =
2
5
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
r
4
5
;
2
5
!
;
r
4
5
;
2
5
!
C¥u 328
x +
p
x + 2y = y2 + y + 2
y2 + 3xy + x + y 10 = 0
Gi£i
i·u ki»n : x + 2y 0
Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng
x + 2y +
p
x + 2y y2 3y 2 = 0
Ta câ : p
x+2y = 1 + 4(y2 + 3y + 2) = (2y + 3)2
Qu¡ tuy»t víi khi nâ ch½nh ph÷ìng. Tø â ta câ
p
px + 2y = y + 1
x + 2y = y 2
TH1 :
p
x + 2y = y + 1 ) x = y2 + 1 thay v o (2) ta câ
4y3 + y2 + 4y 9 = 0 , y = 1 ) x = 2
TH2 :
p
x + 2y = y 2 ) x = y2 + 2y + 4 thay v o (2) ta câ
3y3 + 8y2 + 15y 6 = 0 , y =
1
3
(L)
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1)
C¥u 329
p10x2 + 5y2 2xy 38x 6y + 41 = 0
x3 + xy + 6y
p
y3 + x2 1 = 2
Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh (2) khâ câ thº l m «n ÷ñc g¼. Nh¼n th§y ph÷ìng tr¼nh thù nh§t ang l tam
thùc n¶n thû khai th¡c nâ xem.
Ph÷ìng tr¼nh (1) vi¸t l¤i nh÷ sau
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-216-320.jpg)
![194 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
C¥u 343
(
x2 + y2 =
1
2
4x(x3 x2 + x 1) = y2 + 2xy 2
Gi£i
1
Thay y2 =
x2 tø (1) xuèng (2) ta câ
2
n
3
4x4 4x3 + 5x2 4x = 2xy
()
2
§1
Ta câ 2xy x2 + y2 =
. Nh÷ vªy (*) suy ra
2
Tu1
1
4x4 4x3 + 5x2 4x + 1 0 , (2x 1)2(x2 + 1) 0 , x =
) y =
2
2
1
1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
;
2
2
(
x2 + y2 = 1
Minh C¥u 344
1
(3x 4x3)(3y 4y3) =
2
Gi£i
Nh¼n têng quan h» ta th§y c¡c biºu thùc kh¡ gièng c¡c cæng thùc l÷ñng gi¡c. Vªy ta °t
x = cost; y = sint vîi t 2 [
n ; ].
2
Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc
Nguy¹, 2 sin 3t cos 3t = 1 , sin 6t = 1 ,
8
:
t =
3
+
k
12
t 2 [
2
; ]
) k = 0; 1; 2
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
cos
12
; sin
12
;
cos
5
12
; sin
5
12
;
cos
3
4
; sin
3
4
C¥u 345
p
x y +
p
p x 2 = 2
x2 + y2 xy(x y) +
p
xy y2 = 2
p
2(x y 1)
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-224-320.jpg)
![214 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
Nh÷ vªy ta câ
3
x
y2 +
y
x2
+
12(x2 + y2)
x3 + y3
11
x
+
11
y
) (x y)2(3x4 5x3y 8x2y2 5xy3 + 3y4) 0
) (x y)2:x4:(3t4 5t3 8t2 5t + 3) 0
Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta ÷ñc
n
p
p
!
x
y
12(x2 + y2)
11
11
xy3
yx3
3
+
+
=
+
+
(3):
§y2 x2
x3 + y3 x
y
x
y
11
11
11
11
Nh÷ vªy ta câ V T(3)
+
trong khi V P(3)
+
(do x; Tuy 0). D§u b¬ng x£y ra
x
y
x
y
khi (
x3y = 4 = y3x
, x = y = 4
x = y
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( Minh 4; 4); ( 4; 4)
C¥u 381
4 4 4 4 p
p
p
n Nguy¹p
4 p
8
xy + x + y = 3
:
1
x2 + 2x
+
1
y2 + 2y
=
2
3
Gi£i
¥y l mët b i to¡n khæng khâ nh÷ µp mt.
i·u ki»n :x; y6= 0; 2
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
8
:
(x + 1)(y + 1) = 4
1
(x + 1)2 1
+
1
(y + 1)2 1
=
2
3
,
8 :
ab = 4
1
a2 1
+
1
b2 1
=
2
3
,
a = 2; b = 2
a = 2; b = 2
,
x = y = 1
x = y = 3
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (3;3)
C¥u 382
(
[(x + 1)(y + 1)]2 = 9xy
(x2 + 1)(y2 + 1) = 10xy
Gi£i
H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-244-320.jpg)
![220 Ch÷ìng 2. Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc
2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410
C¥u 391
(
x = (y2 1) (y + 2) + 1
xy (xy 1)2 + x2y2 = (x + 1) (x2 + x + 1)
Gi£i
n
Bi3 p
3 p
¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) trð th nh
xy(x2y2 xy + 1) = (x + 1)[(x + 1)2 (x + 1) + 1] , f(xy) Tu= f(x + §1)
1
Vîi f(t) = t3 t2 + t ìn i»u t«ng, tø â ta câ ngay xy = x + 1 , x =
thay l¶n (1) ta
y 1
֖c.
2
1
y = 0
p
= (y2 Minh 1)(y + 2) + 1 ,
4
1
13
y 1
y =
2
Tø â tr£ l¤i bi¸n x
p
p
!
p
p
!
3
13
1
13
3 +
13
13 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0);
;
;
;
;
2
2
2
2
(
x3 x2y = x2 x + y + 1
C¥u 392
x3 9y2 + 6(x 3y) 15 = 3 6x2 + 2
n Gi£i
Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng
Nguy¹(x2 + 1)(x y 1) = 0 , y = x 1
Thay v o (2) ta s³ ÷ñc
(x 1)3 + 3(x 1) = 6x2 + 2 + 3 6x2 + 2
Do f(t) = t3 + 3t ìn i»u t«ng n¶n suy ra
x 1 = 6x2 + 2 , x3 9x + 3 3 = 0
Ph÷ìng tr¼nh n y nghi»m duy nh§t kh¡ l´, ta câ thº l m b¬ng °t ©n kiºu Hypebolic tæi ¢
giîi thi»u ð c¥u 215. Tuy nhi¶n, tinh t¸ ta s³ bi¸n êi nâ v·
3 p
(x + 1)3 = 2(x 1)3 , x + 1 = 3 p
2(x 1) , x =
3 p
2 + 1
3 p
2 1
Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) =
3 p
2 + 1
3 p
2 1
;
2
3 p
2 1
!
Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n](https://image.slidesharecdn.com/tuyentaphehay-141004020849-conversion-gate02/85/Tuyen-tap-he-hay-250-320.jpg)
Uploaded byVui Lên Bạn Nhé
Tuyen tap he hay
Tài liệu này là một cuốn sách hướng dẫn học sinh luyện thi vào đại học, cung cấp các phương pháp và loại hình bài toán từ cấp hai đến mức độ cao hơn. Nó bao gồm nhiều phần, chia từng chương từ 1 đến 410 với nội dung hướng dẫn chi tiết từng dạng bài tập và cách giải. Cuốn sách cũng cập nhật các bài toán mới nhất nhằm giúp học sinh chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi.
More Related Content
Tuyen tap he hay
- 1.
- 2. Nguy¹n Minh Tu§n Sinh vi¶n K62CLC - Khoa To¡n Tin HSPHN Tu§n TUYšN CHÅMinh N 410 H› PH×ÌNG TRœNH „I SÈ BÇI D×ÏNG HÅC SINH GIÄI V€ LUY›N THI „I HÅC - CAO NG (Phi¹¶n b£n n 2 : câ sûa chúa, bê sung c¡c b i to¡n mîi) Nguy
- 3. Nguy¹n Minh Tu§n H Nëi, ng y 9 th¡ng 10 n«m 2013
- 4. Möc löc §n Líi nâi ¦u 6 1 Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h» cì b£n Tu7 1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 9 2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 . . . . . Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u n 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Nguy¹2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.9 C¥u 241 ¸n c¥u 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.10 C¥u 271 ¸n c¥u 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.12 C¥u 331 ¸n c¥u 360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 2.13 C¥u 361 ¸n c¥u 390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3 Cªp nhªt c¡c b i to¡n mîi 230 3.1 Tø c¥u 411 ¸n c¥u 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 5. Möc Löc 5 3.2 Tø c¥u 441 ¸n c¥u 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 T i li»u tham kh£o 256 Nguy¹n Minh Tu§n Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 6. Líi nâi ¦u n H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè nâi chung v h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè hai ©n nâi ri¶ng §l mët ph¦n quan trång cõa ph¦n ¤i sè gi£ng d¤y ð THPT . Nâ th÷íng hay xu§t hi»n trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi v k¼ thi tuyºn sinh ¤i håc - Cao ¯ng. T§t nhi¶n º gi£i tèt h» ph÷ìng tr¼nh hai ©n khæng ph£i ìn gi£Tun . C¦n ph£i vªn döng tèt c¡c ph÷ìng ph¡p, h¼nh th nh c¡c k¾ n«ng trong qu¡ tr¼nh l m b i. Trong c¡c k¼ thi ¤i håc, c¥u h» th÷íng l c¥u l§y iºm 8 ho°c 9. ¥y l mët t i li»u tuyºn tªp nh÷ng kh¡ d y n¶n tæi tr¼nh b y nâ d÷îi d¤ng mët cuèn s¡ch câ möc löc rã r ng cho b¤n åc d¹ tra cùu. Cuèn s¡ch l tuyºn tªp kho£ng 400 c¥u h» °c sc, tø ìn gi£n, b¼nh th÷íng, khâ, thªm ch½ ¸n ¡nh è v kinh iºn. °c bi»t, ¥y ho n to n l h» ¤i sè 2 ©n. Tæi muèn khai th¡c thªt s¥u mët kh½a c¤nh cõa ¤i sè. N¸u coi B§t ¯ng thùc 3 bi¸n l ph¦n µp nh§t cõa B§t ¯ng Minh thùc, mang trong m¼nh sü uy nghi cõa mët æng ho ng th¼ H» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè 2 ©n l¤i mang trong m¼nh v´ µp gi£n dà, trong s¡ng cõa cæ g¡i thæn qu¶ l m say m bi¸t bao g¢ si t¼nh. Xin c£m ìn c¡c b¤n, anh, chà, th¦y cæ tr¶n c¡c di¹n n to¡n, tr¶n facebook ¢ âng gâp v cung c§p r§t nhi·u b i h» hay. Trong cuèn s¡ch ngo i vi»c ÷a ra c¡c b i h» tæi cán lçng th¶m mët sè ph÷ìng ph¡p r§t tèt º gi£i. Ngo i ra tæi cán giîi thi»u cho c¡c b¤n nhúng ph÷ìng ph¡p °c sc cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c . Mong ¥y s³ l mët nguçn cung c§p tèt nhúng b i h» hay cho gi¡o vi¶n v håc sinh. n NguyTrong qu¡ tr¼nh bi¹¶n so¤n cuèn s¡ch t§t nhi¶n khæng tr¡nh khäi sai sât.Thù nh§t, kh¡ nhi·u b i to¡n tæi khæng thº n¶u rã nguçn gèc v t¡c gi£ cõa nâ. Thù hai : mët sè léi n y sinh trong qu¡ tr¼nh bi¶n so¤n, câ thº do léi ¡nh m¡y, c¡ch l m ch÷a chu©n, ho°c tr¼nh b y ch÷a µp do ki¸n thùc v· LATEX cán h¤n ch¸. T¡c gi£ xin b¤n åc l÷ñng thù. Mong r¬ng cuèn s¡ch s³ ho n ch¿nh v th¶m ph¦n ç së. Måi þ ki¸n âng gâp v sûa êi xin gûi v· theo àa ch¿ sau ¥y : Nguy¹n Minh Tu§n Sinh Vi¶n Lîp K62CLC Khoa To¡n Tin Tr÷íng HSP H Nëi Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 Sè i»n tho¤i : 01687773876 Th nh vi¶n www.k2pi.net : Popeye
- 7. Ch÷ìng 1 n Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h§» cì b£n Tu1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p ch½nh º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh I. Rót x theo y ho°c ng÷ñc l¤i tø mët ph÷ìng tr¼nh II. Ph÷ìng ph¡p th¸ 1. Th¸ h¬ng sè tø mët ph÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 2. Th¸ mët biºu thùc tø mët phMinh ÷ìng tr¼nh v o ph÷ìng tr¼nh cán l¤i 3. Sû döng ph²p th¸ èi vîi c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ho°c th¸ nhi·u l¦n. III. Ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành 1. Cëng trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau 2. Nh¥n h¬ng sè v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi em cëng trø cho nhau. 3. Nh¥n c¡c biºu thùn c cõa bi¸n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh rçi cëng trø cho nhau NguyIV. Ph÷ìng ph¡p ¹°t ©n phö V. Ph÷ìng ph¡p sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè VI. Ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa VII. Ph÷ìng ph¡p nh¥n chia c¡c ph÷ìng tr¼nh cho nhau VIII. Ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ 1. Bi¸n êi v· têng c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m 2. ¡nh gi¡ sü r ng buëc tr¡i ng÷ñc cõa ©n, cõa biºu thùc, cõa mët ph÷ìng tr¼nh 3. ¡nh gi¡ düa v o tam thùc bªc 2 4. Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc thæng döng º ¡nh gi¡ IX. Ph÷ìng ph¡p phùc hâa X. K¸t hñp c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n
- 8. 8 Ch÷ìng 1.Mët sè ph÷ìng ph¡p v c¡c lo¤i h» cì b£n 1.2 Mët sè lo¤i h» cì b£n A. H» ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t 2 ©n I. D¤ng ( ax + by = c (a2 + b26= 0) a0x + b0y = c (a02 + b026= 0) II. C¡ch gi£i 1. Th¸ n 2. Cëng ¤i sè 3. Dòng ç thà §4. Ph÷ìng ph¡p ành thùc c§p 2 B. H» ph÷ìng ( tr¼nh gçm mët ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v mëTut ph÷ìng tr¼nh bªc hai ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 I. D¤ng a0x + b0y = c II. C¡ch gi£i: Th¸ tø ph÷ìng tr¼nh bªc nh§t v o ph÷ìng tr¼nh bªc hai C. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i I I. D§u hi»u êi vai trá cõa x v y cho nhau th¼ h» ¢ cho khæng êi II. C¡ch gi£i: Minh Th÷íng ta s³ °t ©n phö têng t½ch x + y = S; xy = P (S2 4P) D. H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng lo¤i II I. D§u hi»u êi vai trá cõa x v y cho nhau th¼ ph÷ìng tr¼nh n y bi¸n th nh ph÷ìng tr¼nh kia II. C¡ch gi£i: Th÷íng ta s³ trø hai n ph÷ìng tr¼nh cho nhau NguyE. H» ¯ng c§p I. D§u hi»u ¹( ax2 + bxy + cy2 = d ¯ng c§p bªc 2 ( a0x2 + b0xy + c0y2 = d0 ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = e ¯ng c§p bªc 3 a0x3 + b0x2y + c0xy2 + d0y3 = e0 II. C¡ch gi£i: Th÷íng ta s³ °t x = ty ho°c y = tx Ngo i ra cán mët lo¤i h» núa tæi t¤m gåi nâ l b¡n ¯ng c§p, tùc l ho n to n câ thº ÷a v· d¤ng ¯ng c§p ÷ñc .Lo¤i h» n y khæng khâ l m, nh÷ng nh¼n nhªn ra ÷ñc nâ c¦n ph£i kh²o l²o sp x¸p c¡c h¤ng tû cõa ph÷ìng tr¼nh l¤i. Tæi l§y mët v½ dö ìn gi£n cho b¤n åc Gi£i h» : ( x3 y3 = 8x + 2y x2 3y2 = 6 Vîi h» n y ta ch¿ vi»c nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ s³ t¤o th nh ¯ng c§p. V khi â ta câ quy·n chån lüa giúa chia c£ 2 v¸ cho y3 ho°c °t x = ty Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 9. Ch÷ìng 2 n Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc §2.1 C¥u 1 ¸n c¥u 30 Tu (x y) (x2 + y2) = 13 C¥u 1 (x + y) (x2 y2) = 25 Gi£i D¹ d ng nhªn th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3, b¼nh th÷íng ta cù nh¥n ch²o l¶n rçi chia 2 v¸ cho x3 ho°c y3. Nh÷ng h¢y xem mMinh ët c¡ch gi£i tinh t¸ sau ¥y: L§y (2) (1) ta ÷ñc : 2xy(x y) = 12 (3) L§y (1) (3) ta ÷ñc : (x y)3 = 1 , x = y + 1 V¼ sao câ thº câ h÷îng n y ? Xin th÷a â l düa v o h¼nh thùc èi xùng cõa h». Ngon l nh rçi. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc n 1)2 y2 y = 2 (y + + = 13 , y = 3 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m (x; y) = (3; 2); (2;3) x3 8x = y3 + 2y C¥u 2 x2 3 = 3 (y2 + 1) Gi£i º þ nh÷ sau : Ph÷ìng tr¼nh 1 gçm bªc ba v bªc nh§t. Ph÷ìng tr¼nh 2 gçm bªc 2 v bªc 0 (h¬ng sè). Rã r ng ¥y l mët h» d¤ng nûa ¯ng c§p. Ta s³ vi¸t l¤i nâ º ÷a v· ¯ng c§p H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng : x3 y3 = 8x + 2y x2 3y2 = 6 Gií ta nh¥n ch²o hai v¸ º ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p , 6 x3 y3 = (8x + 2y) x2 3y2 , 2x (3y x) (4y + x) = 0
- 10. 10 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc TH1 : x = 0 thay v o (2) væ nghi»m TH2 : x = 3y thay v o (2) ta câ: 6y2 = 6 , y = 1; x = 3 y = 1; x = 3 TH3 : x = 4y thay v o (2) ta câ: n 2 §13y2 = 6 , TuMinh ¹n Nguy664 y = r 6 13 r ; x = 4 6 13 r y = 6 13 r ; x = 4 6 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (3; 1); (3;1); 4 r 6 13 ; r 6 13 ! ; 4 r 6 13 r ; 6 13 ! C¥u 3 x2 + y2 3x + 4y = 1 3x2 2y2 9x 8y = 3 Gi£i º þ khi nh¥n 3 v o PT(1) rçi trø i PT(2) s³ ch¿ cán y . Vªy 3:PT(1) PT(2) , y2 + 4y = 0 , 2 64 y = 0 , x = p 7 2 3 y = 4 , x = p 7 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 7 2 ! ; ; 0 3 p 7 2 ! ;4 C¥u 4 x2 + xy + y2 = 19(x y)2 x2 xy + y2 = 7 (x y) Gi£i Nhªn x²t v¸ tr¡i ang câ d¤ng b¼nh ph÷ìng thi¸u, vªy ta thû th¶m bît º ÷a v· d¤ng b¼nh ph÷ìng xem sao. N¶n ÷a v· (x y)2 hay (x + y)2. Hiºn nhi¶n khi nh¼n sang v¸ ph£i ta s³ chån ph÷ìng ¡n ¦u H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x y)2 + 3xy = 19(x y)2 (x y)2 + xy = 7 (x y) °t x y = a v xy = b ta câ h» mîi Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 11. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 11 b = 6a2 a2 + b = 7a , a = 0; b = 0 a = 1; b = 6 , 2 664 x y = 0 xy = 0 x y = 1 xy = 6 , 2 4 x = 0; y = 0 x = 3; y = 2 x = 2; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 0) ; (3; 2) (2;3) n x3 + x3y3 + y3 = 17 C¥u 5 x + xy + y = 5 §Gi£i H» èi xùng lo¤i I rçi. No Tu problem!!! (x + y)3 3xy(x + y) + (xy)3 = 17 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x + y) + xy = 5 °t x + y = a v xy = b ta câ h» mîMinh i 2 a3 3ab + b3 = 17 a = 2; b = 3 , , a + b = 5 a = 3; b = 2 ¹n Nguy664 x + y = 2 xy = 3 x + y = 3 xy = 2 , x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 1) C¥u 6 x(x + 2)(2x + y) = 9 x2 + 4x + y = 6 Gi£i ¥y l lo¤i h» °t ©n têng t½ch r§t quen thuëc H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x2 + 2x) (2x + y) = 9 (x2 + 2x) + (2x + y) = 6 °t x2 + 2x = a v 2x + y = b ta câ h» mîi ab = 9 a + b = 6 , a = b = 3 , x2 + 2x = 3 2x + y = 3 , x = 1; y = 1 x = 3; y = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1); (3; 9) C¥u 7 x + y p p xy = 3 x + 1 + p y + 1 = 4 Gi£i Khæng l m «n g¼ ÷ñc ð c£ 2 ph÷ìng tr¼nh, trüc gi¡c ¦u ti¶n cõa ta l b¼nh ph÷ìng º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 12. 12 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc p (2) , x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 M tø (1) ta câ x + y = 3 + p xy n¶n (2) , 3 + q xy + p xy + 2 + 2 p xy + 4 = 16 , p xy = 3 , xy = 9 x + y = 6 , x = y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 3) §n p p p x + 5 + p y 2 = 7 C¥u 8 x 2 + y + 5 = 7 TuGi£i èi xùng lo¤i II. Khæng cán g¼ º nâi. Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau rçi b¼nh ph÷ìng tung tâe º ph¡ sü khâ chàu cõa c«n thùc i·u ki»n : x; y 2 Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ p Minh p p p x + 5 + y 2 = x 2 + y 5 p p , x + y + 3 + 2 (x + 5)(y 2) = x + y + 3 + 2 (x 2)(y + 5) p p , (x + 5)(y 2) = (x 2)(y + 5) , x = y Thay l¤i ta câ n p p x + 5 + x 2 = 7 , x = 11 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (11; 11) p p p x2 + y2 + 2xy = 8 2 C¥u 9 p p x + y = 4 Gi£i H» ¢ cho câ v´ l nûa èi xùng nûa ¯ng c§p, º þ bªc cõa PT(2) ang nhä hìn PT(1) mët chót. Ch¿ c¦n ph²p bi¸n êi b¼nh ph÷ìng (2) s³ vøa bi¸n h» trð th nh ¯ng c§p vøa ph¡ bä bît i c«n i·u ki»n : x; y 0 H» ¢ cho , p 2(x2 + y2) + 2 p xy = 16 x + y + 2 p xy = 16 , p 2 (x2 + y2) = x + y , x = y p x = 4 , x = 4 Thay l¤i ta câ : 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 13. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4) C¥u 10 6x2 3xy + x = 1 y x2 + y2 = 1 Gi£i n Mët c¡ch trüc gi¡c khi nh¼n th§y h» chùa tam thùc bªc 2 â l thû xem li»u câ ph§¥n t½ch ÷ñc th nh nh¥n tû hay khæng ? Ta s³ thû b¬ng c¡ch t½nh theo mët ©n câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. Ngon l nh l PT(1) x µp nh÷ ti¶n. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìp ng ÷ìng (3x 1)(2x y + 1) = 0 1 2 2 TuVîi x = ) y = 3 3 x = 0; y = 1 Vîi y = 2x + 1 ) x2 + (2x + 1)2 = 1 , 4 3 x = ; y = Minh p ! 5 5 1 2 2 4 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ; ; (0; 1); ; 3 3 5 5 p x p 2y C¥u 11 p xy = 0 x 1 + 4y 1 = 2 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh ¦u l d¤ng n ¯ng c§p rçi 1 i·u ki»n x 1; y Nguy¹4 p p p p Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ : x + y x 2 y = 0 , x = 4y Thay v o (2) ta câ p p x 1 + x 1 = 2 , x = 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 2; 2 xy + x + y = x2 2y2 C¥u 12 p p x 2y y x 1 = 2x 2y Gi£i i·u ki»n : x 1; y 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng (x + y) (2y x + 1) = 0 , x = y x = 2y + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 14. 14 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vîi x = y lo¤i v¼ theo i·u ki»n th¼ x; y ph£i còng d§u Vîi x = 2y + 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh 2 s³ t÷ìng ÷ìng (2y + 1) p 2y y p 2y = 2y + 2 , p 2y(y + 1) = 2y + 2 , y = 2 ) x = 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (5; 2) n p p x + 1 + y + 2 = 6 C¥u 13 x + y = 17 §Gi£i Tui·u ki»n x; y 1 p p x + 1 + y + 2 = 6 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x + 1) + (y + 2) = 20 p p °t x + 1 = a 0; y + 2 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a + b = 6 a = 4; b = 2 x = 15; y = 2 , , a2 + b2 = 20 a = 2; b = 4 x = 3; y = 14 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (15; Minh 2); (3; 14) y2 = (5x + 4)(4 x) C¥u 14 y2 5x2 n 4xy + 16x 8y + 16 = 0 Gi£i NguyPh÷ìng tr¼nh 2 t÷ìng ¹÷ìng y2 y = 0 + (5x + 4)(4 x) 4xy 8y = 0 , 2y2 4xy 8y = 0 , y = 2x + 4 x = 4 Vîi y = 0 th¼ suy ra : (5x + 4) (4 x) = 0 , 4 x = 5 Vîi y = 2x + 4 th¼ suy ra (2x + 4)2 = (5x + 4)(4 x) , x = 0 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 0); ; 0 ; (0; 4) 5 C¥u 15 x2 2xy + x + y = 0 x4 4x2y + 3x2 + y2 = 0 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 15. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 15 x2 + y = x(2y 1) (x2 + y)2 + 3x2 (1 2y) = 0 ) x2(2y 1)2 + 3x2(2y 1) = 0 , x2(2y 1)(2y 4) = 0 , n Tu§Minh n Nguy¹2 64 x = 0; y = 0 y = 1 2 (L) y = 2; x = 1 [ 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 2); (2; 2) C¥u 16 x + y + xy(2x + y) = 5xy x + y + xy(3x y) = 4xy Gi£i PT(1) PT(2) , xy(2y x) = xy , xy = 0 x = 2y 1 Vîi xy = 0 ) x + y = 0 , x = y = 0 Vîi x = 2y 1 ) (2y 1) + y + (2y 1)y(5y 2) = 5(2y 1)y , 2 6664 y = 1; x = 1 y = p 41 20 9 ; x = p 41 10 1 + y = p 41 20 9 + ; x = p 41 1 10 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 0); (1; 1); p 41 10 1 + ; p 41 20 9 ! ; p 41 1 10 ; p 41 20 9 + ! C¥u 17 x2 xy + y2 = 3 2x3 9y3 = (x y)(2xy + 3) Gi£i N¸u ch¿ x²t tøng ph÷ìng tr¼nh mët s³ khæng l m «n ÷ñc g¼. Nh÷ng º þ 2 ng÷íi n y bà r ng buëc vîi nhau bði con sè 3 b½ ©n. Ph²p th¸ ch«ng ? óng vªy, thay 3 xuèng d÷îi ta s³ ra mët ph÷ìng tr¼nh ¯ng c§p v k¸t qu£ µp hìn c£ mong ñi Th¸ 3 tø tr¶n xuèng d÷îi ta câ 2x3 9y3 = (x y) x2 + xy + y2 , x3 = 8y3 , x = 2y (1) , 3y2 = 3 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (2;1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 16. 16 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 18 p x + y + p x y = 1 + p x2 y2 p x + p y = 1 Gi£i i·u ki»n :x y 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p p p p p x + y = 1 x = 1 y n x + y 1 = x y x + y 1 , p , p x y = 1 x = 1 + y 2 §p p y = 0; x = 1 p 1 y + y = 1 Tø â ) p , 4 y = 1; x = 0(L) y + 1 + y = 1 y = 0; x = 1 TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) p 2x y = 1 + x(y + 1) C¥u 19 x3 y2 = 7 Minh Gi£i i·u ki»n : x(y + 1) 0 Tø (2) d) p ¹ th§y p x 0 p y 1 p (1) , x y + 1 2 x + y + 1 = 0 , x = y + 1 ) (y + 1)3 y2 = 7 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1) NguyTø c¥u 20 trð ¹i tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh º gi£i quy¸t gån µp r§t nhi·u c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. â gåi h» sè b§t ành (trong ¥y tæi s³ gåi nâ b¬ng t¶n kh¡c : UCT). S³ m§t kho£ng hìn chöc v½ dö º di¹n t£ trån vµn ph÷ìng ph¡p n y Tr÷îc h¸t iºm qua mët mµo ph¥n t½ch nh¥n tû cõa a thùc hai bi¸n r§t nhanh b¬ng m¡y t½nh Casio. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. V½ dö 1 : A = x2 + xy 2y2 + 3x + 36y 130 Thüc ra ¥y l tam thùc bªc 2 th¼ câ thº t½nh ph¥n t½ch công ÷ñc. Nh÷ng thû ph¥n t½ch b¬ng Casio xem . Nh¼n th§y bªc cõa x v y ·u b¬ng 2 n¶n ta chån c¡i n o công ÷ñc Cho y = 1000 ta ÷ñc A = x2 + 1003x 1964130 = (x + 1990) (x 987) Cho 1990 = 2y 10 v 987 = y 13 A = (x + 2y 10) (x y + 13) V½ dö 2 : B = 6x2y 13xy2 + 2y3 18x2 + 10xy 3y2 + 87x 14y + 15 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 17. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 17 Nh¼n th§y bªc cõa x nhä hìn, cho ngay y = 1000 B = 5982x2 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x 333) (x 2005) Cho 2991 = 3y 9 ,333 = y 1 3 , 2005 = 2y + 5 B = (3y 9) 2x y 1 3 (x 2y 5) = (y 3) (6x y + 1) (x 2y 5) n V½ dö 3 : C = x3 3xy2 2y3 7x2 + 10xy + 17y2 + 8x 40y + 16 Bªc cõa x v y nh÷ nhau Cho y = 1000 ta ÷ñc C = x3 7x2 2989992x 1983039984 §Ph¥n t½ch C=(x 1999) (x + 996)2 Cho 1999 = 2y 1 v 996 = y 4 C = (x 2y + 1) (x + y 4)2 TuV½ dö 4 : D = 2x2y2 + x3 + 2y3 + 4x2 + xy + 6y2 + 3x + 4y + 12 Bªc cõa x v y nh÷ nhau Cho y = 1000 ta ÷ñc D = (x + 2000004) (x2 + 1003) Cho 2000004 = 2y2 + 4 v 1003 = y + 3 D = (x + 2y2 + 4) (x2 + y + 3) Minh V½ dö 5 : E = x3y + 2x2y2 + 6x3 + 11x2y xy2 6x2 7xy y2 6x 5y + 6 Bªc cõa y nhä hìn Cho x = 1000 ta ÷ñc E = 1998999y2 + 1010992995y + 5993994006 = 2997 (667y + 333333) (y + 6) ƒo hâa E=999 (2001y + 999999) (y + 6) Cho 999 = x 1; 2001 = 2y + 1; 999999 = x2 1 E = (x 1) (y + 6) (x2 + 2xy n + y 1) Nguy¹V½ dö 6 : F = 6x4y + 12x3y2 + 5x3y 5x2y2 + 6xy3 + x3 + 7x2y + 4xy2 3y3 2x2 8xy + 3y2 2x + 3y 3 Bªc cõa y nhä hìn Cho x = 1000 ta ÷ñc F = 5997y3 + 11995004003y2 + 6005006992003y + 997997997 Ph¥n t½ch F=(1999y + 1001001) (3y2 + 5999000y + 997) Cho 1999 = 2x 1; 1001001 = x2 + x + 1; 5999000 = 6x2 x; 997 = x 3 F = (x2 + 2xy + x y + 1) (6x2y xy + 3y2 + x 3) L m quen ÷ñc rçi chù ? Bt ¦u n o C¥u 20 8 : x2 + y2 = 1 5 4x2 + 3x 57 25 = y(3x + 1) Gi£i Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 18. 18 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Líi gi£i gån µp nh§t cõa b i tr¶n l 25:PT(1) + 50:PT(2) , (15x + 5y 7)(15x + 5y + 17) = 0 ¸n ¥y d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m cõa h» : (x; y) = 2 5 ; 1 5 ; 11 25 ; 2 25 n 14x2 21y2 6x + 45y 14 = 0 C¥u 21 35x2 + 28y2 + 41x 122y + 56 = 0 §Gi£i TuLíi gi£i gån µp nh§t cõa b i n y l 49:PT(1) 15:PT(2) , (161x 483y + 218)(x + 3y 7) = 0 V ¸n ¥y công d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2; 3); (1; 2) Qua 2 v½ dö tr¶n ta °t ra c¥u häi : V¼ sao l¤i th¸ ? C¡i nhâm th nh nh¥n tû th¼ tæi khæng nâi bði t h¯n c¡c b¤n ¢ åc nâ ð tr¶n rçi. V¼ sao ð ¥y l t¤i sao l¤i ngh¾ ra nhúng h¬ng sè kia nh¥n v o c¡c ph÷ìng tr¼nh, mët sMinh ü t¼nh cí may mn hay l c£ mët ph÷ìng ph¡p. Xin th÷a â ch½nh l mët v½ dö cõa UCT. UCT l mët cæng cö r§t m¤nh câ thº qu²t s¤ch g¦n nh÷ to n bë nhúng b i h» d¤ng l hai tam thùc. C¡ch t¼m nhúng h¬ng sè nh÷ th¸ n o. Tæi xin tr¼nh b y ngay sau ¥y. B i vi¸t cõa t¡c gi£ nthoangcute. a1x2 + b1y2 + c1xy + d1x + e1y + f1 = 0 Têng Qu¡t: a2x2 + n b2y2 + c2xy + d2x + e2y + f2 = 0 Nguy¹Gi£i Hiºn nhi¶n nhªn x²t ¥y l h» gçm hai tam thùc bªc hai. M nhc ¸n tam thùc th¼ khæng thº khæng nhc tîi mët èi t÷ñng â l . Mët tam thùc ph¥n t½ch ÷ñc nh¥n tû hay khæng ph£i xem x ho°c y cõa nâ câ ch½nh ph÷ìng hay khæng. N¸u h» lo¤i n y m tø ngay mët ph÷ìng tr¼nh ra k¼ di»u th¼ ch¯ng nâi l m g¼, th¸ nh÷ng c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u ra r§t k¼ cöc th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Khi â UCT s³ l¶n ti¸ng. Ta s³ chån h¬ng sè th½ch hñp nh¥n v o mët (ho°c c£ hai ph÷ìng tr¼nh) º ²p sao cho ch½nh ph÷ìng. Nh÷ vªy ph£i t¼m h¬ng sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû °t a = a1 + ka2; b = b1 + kb2; c = c1 + kc2; d = d1 + kd2; e = e1 + ke2; f = f1 + kf2 Sè k l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau vîi a= 60 cde + 4abf = ae2 + bd2 + fc2 D¤ v¥ng câ h¯n mët cæng thùc º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh lo¤i n y. T¡c gi£ cõa nâ kh¡ xu§t sc !!!. Thû kiºm chùng l¤i v½ dö 21 nh² a = 14 + 35k; b = 21 + 28k; c = 0; d = 6 + 41k; e = 45 122k; f = 14 + 56k Sè k s³ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 4(14+35k)(21+28k)(14+56k) = (14+35k)(45122k)2+(21+28k)(6+41k)2 , k = 15 49 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 19. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 19 Nh÷ vªy l PT(1) 15 49 :PT(2) hay 49:PT(1) 15:PT(2) Mët chót l÷u þ l khæng ph£i h» n o công ¦y õ c¡c h¬ng sè. N¸u khuy¸t thi¸u ph¦n n o th¼ cho h¬ng sè â l 0. Ok!! Xong d¤ng n y rçi. H¢y l m b i tªp vªn döng. ¥y l nhúng b i h» tæi têng hñp tø nhi·u nguçn. x2 + 8y2 6xy + x 3y 624 = 0 n 1. 21x2 24y2 30xy 83x + 49y + 585 = 0 x2 + y2 3x + 4y = 1 §2. 3x2 2y2 9x 8y = 3 y2 = (4x + 4)(4 x) 3. y2 5x2 4xy + 16x 8y + 16 = 0 Tuxy 3x 2y = 16 4. x2 + y2 2x 4y = 33 x2 + xy + y2 = 3 5. x2 + 2xy 7x 5y + 9 = 0 (2x + 1)2 + y2 + y = 2x + 3 6. xy + x = 1 x2 + 2y2 = 2y 2xy + 1 7. 3x2 + 2xy y2 = 2x y + 5 Minh (x 1)2 + 6(x 1)y + 4y2 = 20 8. x2 + (2y + 1)2 = 2 2x2 + 4xy + 2y2 + 3x + 3y 2 = 0 9. x2 + y2 + 4xy + 2y = 0 2x2 + 3xy = 3y 13 10. 3y2 + 2xy = 2x + 11 4x2 + 3y(x 1) = 7 11. n 3y2 + 4x(y 1) = 3 Nguyx2 + 2 = x(y ¹1) 12. y2 7 = y(x 1) x2 + 2xy + 2y2 + 3x = 0 13. xy + y2 + 3y + 1 = 0 x3 y3 = 35 C¥u 22 2x2 + 3y2 = 4x 9y Gi£i Líi gi£i ngn gån cho b i to¡n tr¶n â l PT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 , x = y + 5 Thay v o (2) ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (2;3); (3;2) C¥u häi °t ra ð ¥y l sû döng UCT nh÷ th¸ n o ? T§t nhi¶n ¥y khæng ph£i d¤ng tr¶n núa rçi. Tr÷îc h¸t ¡nh gi¡ c¡i h» n y ¢ Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 20. 20 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc - Bªc cõa x v y l nh÷ nhau - C¡c bi¸n x,y ëc lªp vîi nhau - Ph÷ìng tr¼nh mët câ bªc cao hìn PT(2) Nhúng nhªn x²t tr¶n ÷a ta ¸n þ t÷ðng nh¥n h¬ng sè v o PT(2) º PT(1) + a:PT(2) ÷a ÷ñc v· d¤ng h¬ng ¯ng thùc A3 = B3 PT(1) + a:PT(2) , x3 + 2ax2 4ax y3 + 3ay2 + 9ay 35 = 0 C¦n t¼m a sao cho v¸ tr¡i câ d¤ng (x + )3 (y +
- 21. )3 = 0 n C¥n b¬ng ta ÷ñc : Tu§Minh ¹n Nguy8 : 3
- 22. 3 = 35 3 = 2a 32 = 4a , 8 : a = 3 = 2
- 23. = 3 VªyPT(1) 3:PT(2) , (x 2)3 = (y + 3)3 OK ?? Thû mët v½ dö t÷ìng tü nh² Gi£i h»: x3 + y3 = 91 4x2 + 3y2 = 16x + 9y Gñi þ : PT(1) 3:PT(2) , (x 4)3 = (y + 3)3 C¥u 23 x3 + y2 = (x y)(xy 1) x3 x2 + y + 1 = xy(x y + 1) Gi£i H¢y còng tæi ph¥n t½ch b i to¡n n y. Ti¸p töc sû döng UCT ¡nh gi¡ h» : -Bªc cõa x cao hìn bªc cõa y -C¡c bi¸n x,y khæng ëc lªp vîi nhau -Hai ph÷ìng tr¼nh câ bªc cao nh§t cõa x v y nh÷ nhau V¼ bªc x ang cao hìn bªc y v bªc cõa y t¤i 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau n¶n ta h¢y nh¥n tung rçi vi¸t l¤i 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n y. Cö thº nh÷ sau : y2 (x + 1) y (x2 + 1) + x3 + x = 0 y2x y (x2 + x 1) + x3 x2 + 1 = 0 B¥y gií ta mong ÷îc r¬ng khi thay x b¬ng 1 sè n o â v o h» n y th¼ s³ thu ÷ñc 2 ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng. Tùc l khi â c¡c h» sè cõa 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t¿ l» vîi nhau . Vªy : x + 1 x = x2 + 1 x2 + x 1 = x3 + x x3 x2 + 1 ) x = 1 R§t may mn ta ¢ t¼m ÷ñc x = 1. Thay x = 1 l¤i h» ta câ 2 (y2 y + 1) = 0 y2 y + 1 = 0 ) 2:PT(2) PT(1) s³ câ nh¥n tû x 1 Cö thº â l (x 1) (y2 (x + 3) y + x2 x 2) = 0 TH1 :x = 1 thay v o th¼ væ nghi»m TH2: K¸t hñp th¶m vîi PT(1) ta ÷ñc h» mîi : y2 (x + 3) y + x2 x 2 = 0 (3) x3 + y2 x2y + x + xy2 y = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 24. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 21 Nhªn x²t h» n y câ °c iºm gièng vîi h» ban ¦u â l bªc y nh÷ nhau. Vªy ta l¤i vi¸t l¤i h» theo ©n y v hi vång nâ s³ l¤i óng vîi x n o â. Thªt vªy, â l x = 1 2 . Ti¸p töc thay nâ v o h» v ta s³ rót ra : 2PT(2) PT(1) , (2x + 1) y2 (x 1) y + x2 x + 2 p 1 5 3 5 TH1 : x = ) y = 2 4 n TH2 : K¸t hñp vîi (3) ta ÷ñc y2 (x 1) y + x2 x + 2 = 0 §y2 (x + 3) + x2 x 2 = 0 Vîi h» n y ta ch¿ vi»c trø cho nhau s³ ra y = 1 ) ! x2 + 2 = 0 (Væ nghi»m) p p Tu! 1 5 + 3 5 1 5 3 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = ; ; ; 2 4 2 4 2 (x + y) (25 xy) = 4x2 + 17y2 + 105 C¥u 24 x2 + y2 + 2x 2y = Minh 7 Gi£i H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gièng vîi c¥u 23 Mët chót ¡nh gi¡ v· h» n y - C¡c bi¸n x v y khæng ëc lªp vîi nhau - Bªc cao nh§t cõa x ð 2 ph÷ìng tr¼nh nh÷ nhau , y công vªy Vîi c¡c °c iºm n y ta thû vi¸t h» th nh 2 ph÷ìng tr¼nh theo ©n x v y v xem li»u h» câ óng vîi x ho°c y n o khæn ng. C¡ch l m v¨n nh÷ c¥u 23. Vi¸t theo x ta s³ khæng t¼m ÷ñc y, Nguynh÷ng vi¸t theo y ta ¹s³ t¼m ÷ñc x = 2 khi¸n h» luæn óng. Thay x = 2 v o h» ta ÷ñc 21y2 42y + 21 = 0 ) PT(1) 21PT(2) , (x 2) 2y2 y2 + 2xy + 4y 17x 126 = 0 2y + 1 = 0 TH1 : x = 2 ) y = 1 2y2 + 2xy + 4y 17x 126 = 0 TH2 : x2 + y2 + 2x 2y 7 = 0 H» n y ¢ câ c¡ch gi£i rçi nh¿ ?? 3:PT(2) PT(1) , (x y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = 0 (Væ nghi»m) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) Ti¸p theo chóng ta s³ ¸n vîi c¥u VMO 2004. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 25. 22 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 25 x3 + 3xy2 = 49 x2 8xy + y2 = 8y 17x Gi£i Líi gi£i ngn gån nh§t cõa b i tr¶n â l : n PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) (x + 1)2 + 3(y 4)2= 0 §¸n ¥y d¹ d ng t¼m ra nghi»m (x; y) = (1; 4); (1;4) C¥u häi ÷ñc °t ra l b i n y t¼m h¬ng sè nh÷ th¸ n o ? Câ r§t nhi·u c¡ch gi£i th½ch nh÷ng tæi xin tr¼nh b y c¡ch gi£i th½ch cõa tæi :tuzki: TuL m t÷ìng tü theo nh÷ hai c¥u 23 v 24 xem n o. Vi¸t l¤i h» ¢ cho th nh 3xy2 + x3 + 49 = 0 y2 + 8(x + 1)y + x2 17x = 0 Mët c¡ch trüc gi¡c ta thû vîi x = 1. V¼ sao ? V¼ vîi x = 1 ph÷ìng tr¼nh 2 s³ khæng cán ph¦n y v câ v´ 2 ph÷ìng tr¼nh s³ t÷ìMinh ng ÷ìng. Khi thay x = 1 h» ¢ cho trð th nh 3y2 + 48 = 0 y2 16 = 0 Hai ph÷ìng tr¼nh n y t÷ìng ÷ìng. Tríi th÷ìng rçi !! Vªy x = 1 ch½nh l 1 nghi»m cõa h» v tø h» thù hai ta suy ra ngay ph£i l m â l PT(1) + 3:PT(2). Vi»c cán l¤i ch¿ l ph¥n t½ch nèt th nh nh¥n tû. Ti¸p theo ¥y chóng ta s³ ¸n vîi mët chòm h» dà b£n cõa þ t÷ðng tr¶n. Tæi khæng tr¼nh b y chi ti¸t m ch¿ gñi þ vn k¸t qu£ Nguy¹ y3 + 3xy2 = 28 C¥u 26 x2 6xy + y2 = 6x 10y Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (y + 1) (3(x 3)2 + (y + 1)2) = 0 Nghi»m cõa h» : (x; y) = (3;1); (3;1) C¥u 27 6x2y + 2y3 + 35 = 0 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = 0 Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (2y + 5) 3 x + 1 2 2 + y + 5 2 2 ! = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 26. 2.1 C¥u 1¸n c¥u 30 23 C¥u 28 x3 + 5xy2 = 35 2x2 5xy 5y2 + x + 10y 35 = 0 Gñi þ : PT(1) + 2:PT(2) , (x 2) (5(y 1)2 + (x + 3)2) = 0 n x3 + 3xy2 = 6xy 3x 49 C¥u 29 x2 8xy + y2 = 10y 25x 9 §Gñi þ : PT(1) + 3:PT(2) , (x + 1) ((x + 1)2 + 3(y 5)2) = 0 Tuiºm qua c¡c c¥u tø c¥u 23 ¸n c¥u 29 ta th§y d÷íng nh÷ nhúng c¥u h» n y kh¡ °c bi»t. Ph£i °c bi»t th¼ nhúng h» sè kia mîi t¿ l» v ta t¼m ÷ñc x = hay y =
- 27. l nghi»m cõa h». Th¸ vîi nhúng b i h» khæng câ ÷ñc may mn nh÷ kia th¼ ta s³ l m nh÷ n o. Tæi xin giîi thi»u mët ph÷ìng ph¡p UCT r§t m¤nh. Câ thº ¡p döng r§t tèt º gi£i nhi·u b i h» húu t¿ (kº c£ nhúng v½ dö tr¶n). â l ph÷ìng ph¡p T¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. V ta s³ khæng ch¿ nh¥n h¬ng sè v o mët ph÷ìng tr¼nh m thªm ch½ nh¥n c£ mët h m f(x) hay g(y) v o nâ. Tæi s³ ÷a ra v i v½ dö cö thMinh º sau ¥y : 3x2 + xy 9x y2 9y = 0 C¥u 30 2x3 20x n x2y 20y = 0 Nguy¹Gi£i B i n y n¸u thû nh÷ c¥u 23, 24, 25 ·u khæng t¼m ra nêi x hay y b¬ng bao nhi¶u l nghi»m cõa h». Vªy ph£i dòng ph²p düng quan h» tuy¸n t½nh giúa x v y. Quan h» n y câ thº x¥y düng b¬ng hai c¡ch th÷íng dòng sau : - T¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h» - Sû döng ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ Tr÷îc h¸t tæi xin ph¡t biºu l¤i ành lþ v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh húu t¿ : X²t a thùc : P(x) = anxn + an1xn1 + :::: + a1x + a0 p a thùc câ nghi»m húu t¿ , p l ÷îc cõa a0 cán q l ÷îc cõa an q OK rçi chù ? B¥y gií ta h¢y thû x¥y düng quan h» theo c¡ch ¦u ti¶n, â l t¼m tèi thiºu hai c°p nghi»m cõa h» ( Casio l¶n ti¸ng :v ) D¹ th§y h» tr¶n câ c°p nghi»m l (0; 0 v (2;1) Chån hai nghi»m n y l¦n l÷ñt ùng vîi tåa ë 2 iºm, khi â ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng qua chóng s³ l : x + 2y = 0 , x = 2y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 28. 24 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Nh÷ vªy quan h» tuy¸n t½nh ð ¥y l x = 2y. Thay l¤i v o h» ta ÷ñc 9y (y + 1) = 0 20y (y + 1) (y 1) = 0 Sau â ta chån biºu thùc phò hñp nh§t nh¥n v o 2 ph÷ìng tr¼nh. Ð ¥y s³ l 20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) Nh÷ vªy n 20 (y 1) :PT(1) + 9:PT(2) , (x + 2y) 18x2 + 15xy 60x 10y2 80y §= 0 TH1 : x = 2y thay v o (1) TH2 : K¸t hñp th¶m vîi PT(1) núa th nh mët h» gám hai tam thùc ¢ bi¸t c¡ch gi£i Nghi»m cõa h» : p ! p ! 15 145 p 15 + Tu145 p (x; y) = (0; 0); (2;1); (10; 15); ; 11 145 ; ; 11 + 145 2 2 Sû döng c¡ch n y chóng ta th§y, mët h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿ ch¿ c¦n t¼m ÷ñc mët c°p nghi»m l ta ¢ x¥y düng ÷ñc quan h» tuy¸n t½nh v gi£i quy¸t b i to¡n. ¥y ch½nh l ÷u iºm cõa nâ. B¤n åc thû vªn döng nâ v o gi£i nhúng v½ dö tø 23 ¸n 29 xem. Tæi thû l m c¥u 25 nh² : C°p nghi»m l (1; 4); (1;4) n¶n quan h» x¥y düng ð ¥y l x = 1. Thay l¤i v o h» v ta câ h÷îng chån h» sè º nh¥n. Tuy nhi¶n c¡ch n y s³ chàu ch¸t vMinh îi nhúng b i h» ch¿ câ mët c°p nghi»m ho°c nghi»m qu¡ l´ khæng thº dá b¬ng Casio ÷ñc. ¥y l nh÷ñc iºm lîn nh§t cõa nâ N o b¥y gií h¢y thû x¥y düng quan h» b¬ng ành lþ nh². Vîi h» n y v¼ ph÷ìng tr¼nh d÷îi ang câ bªc cao hìn tr¶n n¶n ta s³ nh¥n a v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n rçi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh d÷îi. V¼ bªc cõa x ang cao hìn n¶n ta vi¸t l¤i biºu thùc sau khi thu gån d÷îi d¤ng mët n ph÷ìng tr¼nh bi¸n x. Cö thº â l Nguy2x3 + ¹(3a y) x2 + (ay 9a 20) x y (ay + 9a + 20) = 0() Nghi»m cõa (*) theo ành lþ s³ l mët trong c¡c gi¡ trà 1;1 ;y ;y; :::: 2 2 1 T§t nhi¶n khæng thº câ nghi»m x = hay x = 1 ÷ñc. H¢y thû vîi hai tr÷íng hñp cán l¤i. 2 3y2 18y = 0 * Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc y3 40y = 0 Khi â ta s³ ph£i l§y (y2 40):PT(1)3(y 6):PT(2). Rã r ng l qu¡ phùc t¤p. Lo¤i c¡i n y. y2 = 0 * Vîi x = y thay v o h» ta ÷ñc 3y3 = 0 Khi â ta s³ l§y 3y:PT(1) + PT(2). Qu¡ ìn gi£n rçi. Khi â biºu thùc s³ l (x + y) 2x2 + 6xy 3y2 + 27y + 20 = 0 C¡ch sè hai r§t tèt º thay th¸ c¡ch 1 trong tr÷íng hñp khæng t¼m nêi c°p nghi»m. Tuy nhi¶n y¸u iºm cõa nâ l khæng ph£i h» n o dòng ành lþ công t¼m ÷ñc nghi»m. Ta ph£i bi¸t k¸t hñp nhu¦n nhuy¹n hai c¡ch vîi nhau. V h¢y thû dòng c¡ch 2 l m c¡c c¥u tø 23 ¸n 29 xem. Nâ s³ ra nghi»m l h¬ng sè. L m mët c¥u t÷ìng tü núa. Tæi n¶u luæn h÷îng gi£i. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 29. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 25 2.2 C¥u 31 ¸n c¥u 60 C¥u 31 x2y2 + 3x + 3y 3 = 0 x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0 Gi£i PT(1) (y 1):PT(2) , (x + y 1) 3y2 + xy 2y + 2 = 0 n TH1 : x = 1 y . No problem !!! 3y2 + xy 2y + 2 = 0 §Th2 : x2y 4xy 3y2 + 2y x + 1 = 0 ¥y l¤i l h» °c bi»t, ta t¼m ÷ñc x = 3 l nghi»m cõa h». Thay v Tuo v rót ra k¸t qu£ PT(1) + PT(2) , (x 3) (xy 1) = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0) B i vi¸t v· ph÷ìng ph¡p UCT hay Minh cán gåi l h» sè b§t ành k¸t thóc ð ¥y. Qua hìn chöc c¥u ta ¢ th§y : sû döng ph÷ìng ph¡p UCT n¥ng cao (t¼m quan h» tuy¸n t½nh giúa c¡c ©n) l mët ph÷ìng ph¡p r§t m¤nh v r§t tèt º gi£i quy¸t nhanh gån c¡c h» ph÷ìng tr¼nh húu t¿. Tuy nhi¶n nh÷ñc iºm cõa nâ trong qu¡ tr¼nh l m l kh¡ nhi·u. Thù nh§t : t½nh to¡n qu¡ tr¥u bá v h¤i n¢o. Hiºn nhi¶n rçi, düng quan h» tuy¸n t½nh ¢ khâ, sau â cán ph£i nhåc cæng ph¥n t½ch mët a thùc hén ën th nh nh¥n tû. Thù hai, n¸u sû döng nâ mët c¡ch th¡i qu¡ s³ khi¸n b£n th¥n trð n¶n thüc döng, m¡y mâc, khæng chàu m y má suy ngh¾ m cù nh¼n th§y l lao ¦u v o UCT, câ kh¡c g¼ lao n ¦u v o ¡ khæng ? Mët c¥u häi °t ra. Li»u UCT câ n¶n sû döng trong c¡c k¼ thi, kiºm tra hay khæng ? Xin Nguyth÷a, trong nhúng · ¹VMO, còng lm þ t÷ðng cõa hå l dòng UCT d¤ng cì b£n, tùc l nh¥n h¬ng sè thæi. UCT d¤ng cì b£n th¼ tæi khæng nâi l m g¼ chù UCT d¤ng n¥ng cao th¼ tèt nh§t khæng n¶n x i trong c¡c k¼ thi. Thù nh§t m§t r§t nhi·u thíi gian v sùc lüc. Thù hai g¥y khâ kh«n v ùc ch¸ cho ng÷íi ch§m, hå ho n to n câ thº g¤ch bä to n bë m°c dò câ thº b¤n l m óng. Vªy n¶n : CÒNG ×ÍNG LM RÇI MÎI DÒNG NH’ !! :D ¥y câ l³ l b i vi¸t lîn nh§t m tæi k±m v o trong cuèn s¡ch. Trong nhúng c¥u ti¸p theo tæi s³ c i nhúng b i vi¸t nhä hìn v o. ân xem nh². Nhúng c¥u ti¸p theo câ thº cán mët sè c¥u sû döng ph÷ìng ph¡p UCT. Vªy n¶n n¸u thc mc cù quay trð l¤i tø c¥u 20 m xem. T¤m thíi g¡c l¤i , ta ti¸p töc ¸n vîi nhúng c¥u ti¸p theo. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 30. 26 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 32 x5 + y5 = 1 x9 + y9 = x4 + y4 Gi£i Nhªn th§y rã r ng ¥y l lo¤i h» b¡n ¯ng c§p. Ta nh¥n ch²o hai v¸ vîi nhau ÷ñc x9 + y9 = (x4 + y4)(x5 + y5) , x4y4(x + y) = 0 n TH1 : x = 0 ) y = 1 §TH2 : y = 0 ) x = 1 TH3 : x = y thay v o (1) rã r ng væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (0; 1) Tu x3 + 2xy2 = 12y C¥u 33 8y2 + x2 = 12 Gi£i L¤i th¶m mët h» còng lo¤i, nh¥n ch²Minh o hai v¸ cho nhau ta ÷ñc x3 + 2xy2 = y(8y2 + x2) , x = 2y Khi â (2) s³ t÷ìng ÷ìng 12y2 = 12 , y = 1; x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; n y) = (2; 1); (2;1) Nguy¹C¥u 34 8 : x2 + y2 + 2xy x + y = 1 p x + y = x2 y Gi£i i·u ki»n : x + y 0 Rã r ng khæng l m «n ÷ñc tø ph÷ìng tr¼nh (2). Thû bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) xem (1) , (x + y)2 1 + 2xy x + y 2xy = 0 , (x + y + 1)(x + y 1) 2xy(x + y 1) x + y = 0 Câ nh¥n tû chung rçi. Vîi x + y = 1 thay v o (2) ta ÷ñc 1 = (1 y)2 y , y = 0; y = 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 31. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 27 Gií ta x²t tr÷íng hñp cán l¤i. â l x + y + 1 = 2xy x + y , x + y + 1 = 1 x2 y2 , x2 + y2 + x + y = 0 Rã r ng sai v¼ tø i·u ki»n ¢ cho ngay x + y 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0); (2; 3) n x3 y3 = 3(x y2) + 2 §C¥u 35 p p x2 + 1 x2 3 2y y2 + 2 = 0 Gi£i Tui·u ki»n : 1 x 1, 0 y 2 Th÷íng th¼ b i n y ng÷íi ta s³ l m nh÷ sau. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) mët chót (1) , x3 3x = (y 1)3 3(y 1) X²t f(t) = t3 3t vîi 1 t 1 th¼ f0(t) = 3t2 3 0 Suy ra f(t) ìn i»u v tø â suy ra x = y 1 thay v o (2) C¡ch n y ên. Tuy nhi¶n thay v o l m Minh v¨n ch÷a ph£i l nhanh. H¢y xem mët c¡ch kh¡c r§t mîi m´ m tæi l m p p (2) , x2 + 1 x2 + 2 = 3 2y y2 , f(x) = g(y) 13 X²t f(x) tr¶n mi·n [1; 1] ta s³ t¼m ÷ñc 3 f(x) p 4 y + 2 y Ta l¤i câ : g(y) = 3 y(2 y) 3 = 3 2 Vªy f(x) g(y). D§u b¬ng n x£y ra khi y = 1 NguyThay ¹v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ch¿ câ c°p (x; y) = (0; 1) l thäa m¢n x = 1; x = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1) x3 3x = y3 3y C¥u 36 x6 + y6 = 1 Gi£i D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh (1) c¦n x²t h m rçi, tuy nhi¶n f(t) = t33t l¤i khæng ìn i»u, c¦n ph£i bâ th¶m i·u ki»n. Ta s³ dòng ph÷ìng tr¼nh (2) º câ i·u ki»n. Tø (2) d¹ th§y 1 x; y 1. Vîi i·u ki»n â rã r ng f(t) ìn i»u gi£m v suy ra ÷ñc x = y Thay v o (2) ta ÷ñc 2x6 = 1 , x = 1 6 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 ; 1 6 p 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 32. 28 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 37 x3(2 + 3y) = 1 x(y3 2) = 3 Gi£i Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §n TuMinh ¹n Nguy8 : 3y + 1 = 1 x3 3 x + 2 = y3 ) y = 1 x Thay l¤i (1) ta câ 2x3 + 3x2 1 = 0 , x = 1 ) y = 1 x = 1 2 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (1;1); 1 2 ; 2 C¥u 38 x2 + y2 + xy + 1 = 4y y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2 Gi£i Sû döng UCT s³ th§y y = 0 l nghi»m cõa h». Thay l¤i v ta s³ câ 2PT(1) + PT(2) , y(x + y + 5)(x + y 3) = 0 , 2 4 y = 0 x = 5 y x = 3 y Vîi y = 0 thay l¤i væ nghi»m Vîi x = 5 y khi â ph÷ìng tr¼nh (1) s³ t÷ìng ÷ìng (y + 5)2 + y2 y2 5y + 1 = 4y , V L T÷ìng tü vîi x = 3 y công væ nghi»m Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 33. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 29 C¥u 39 ( p x + y p x y = y 2 x2 y2 = 9 Gi£i i·u ki»n : y minfxg y Ta khæng n¶n °t ©n têng hi»u v¼ v¨n cán sât l¤i s³ l m b i to¡n khâ kh«n hìn. Mn ët c¡ch 2 trüc gi¡c ta b¼nh ph÷ìng (1) l¶n. Tø (1) ta suy ra p y2 §2x 2 x2 y2 = 4 p ¸n ¥y nh¼n th§y x2 y2 theo (2) b¬ng 3. Vªy suy ra Tuy2 2x 6 = , y2 = 8x 24 4 Thay v o (2) ta ÷ñc Minh 2 x = 3 ) y = 0(TM) x2 8x + 15 = 0 , 4 x = 5 ) y = 4(TM) x = 5 ) y = 4(TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 0); (5; 4); (5;4) C¥u 40 ¹n Nguy8 : x p y + 1 = 5 2 p x + 1 = y + 2(x 3) 3 4 Gi£i i·u ki»n : x; y 1 Khæng p t¼m ÷ñc mèi p quan h» cö thº n o. T¤m thíi ta °t ©n º d¹ nh¼n °t x + 1 = a 0; y + 1 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : a2 1 b = 5 2 b2 1 + 2a(a2 4) = 3 4 Ta th¸ b = 7 2 a2 tø (1) v o (2) v câ : 7 2 a2 2 + 2a(a2 4) 1 4 = 0 , 2 66666664 a = 3 ) b = 11 2 (L) a = 2 ) b = 1 2 (L) a = 1 ) b = 5 2 (TM) a = 2 ) b = 1 2 (L) ) ( x = 0 y = 3 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 34. 30 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 0; 3 4 p x2 + y2 = 185 C¥u 41 Tu§n Minh n Nguy¹ (x2 + xy + y2) p x2 + y2 = 65 (x2 xy + y2) Gi£i Tho¤t nh¼n qua th¼ th§y ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 3 rã r ng. Tuy nhi¶n n¸u tinh þ ta em cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau s³ ch¿ cán l¤i x2 + y2 Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ p x2 + y2 = 250 , 2(x2 + y2) p x2 + y2 = 5 Khi â thay l¤i h» ta câ (25 + xy):5 = 185 (25 xy):5 = 65 ) xy = 12 x2 + y2 = 25 , 2 664 x = 3; y = 4 x = 4; y = 3 x = 3; y = 4 x = 4; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 4); (4; 3); (3;4); (4;3) C¥u 42 8 : r y x + r x y = 7 p xy + 1 x p xy + y p xy = 78 Gi£i i·u ki»n : xy 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x + y p xy = p xy p xy 7 + p xy(x + y) = 78 °t x + y = a, p xy = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a b = 7 ab = 78 , 2 664 a = 13 b = 6 a = 6 b = 13 (L) , x + y = 13 xy = 36 , x = 9; y = 4 x = 4; y = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4); (4; 9) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 35. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 31 C¥u 43 x3 y3 = 9 x2 + 2y2 x + 4y = 0 Gi£i Dòng UCT PT(1) 3:PT(3) , (x 1)3 = (y + 2)3 , x = y + 3 n ¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m (x; y) = (1;2); (2;1) § 8x3y3 + 27 = 18y3 C¥u 44 4x2y + 6x = y2 TuGi£i ¥y l mët h» hay. Ta h¢y t¼m c¡ch lo¤i bä 18y3 i. V¼ y = 0 khæng l nghi»m n¶n (2) t÷ìng ÷ìng 72x2y2 + 108xy = 18y3 ¸n ¥y þ t÷ðng rã r ng rçi chù ? ThMinh ¸ 18y3 tø (1) xuèng v ta thu ÷ñc 2 8x3y3 72x2y2 108xy + 27 = 0 , ¹n Nguy666664 xy = 3 2 xy = p 5 4 21 9 xy = p 5 4 21 + 9 Thay v o (1) ta s³ t¼m ÷ñc y v x ) 2 66664 y = 0(L) r y = 3 8(xy)3 + 27 18 = 3 2 p ) x = 5 3 1 4 3 p 5 r y = 3 8(xy)3 + 27 18 = 3 2 3 + ) x = p 5 1 4 3 + p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 4 3 ; p 5 3 2 p 5 3 ; 1 4 3 + ; p 5 3 2 3 + p 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 36. 32 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 45 8 : (x + y) 1 + 1 xy = 5 (x2 + y2) 1 + 1 x2y2 = 9 Gi£i i·u ki»n : xy= 60 n Ta cù nh¥n ra ¢. H» t÷ìng ÷ìng Tu§Minh ¹n Nguy8 : x + y + 1 x + 1 y = 5 x2 + y2 + 1 x2 + 1 y2 = 9 , 8 : x + 1 x + y + 1 y = 5 x + 1 x 2 + y + 1 y 2 = 13 , 2 64 x + 1 x = 2; y + 1 y = 3 x + 1 x = 3; y + 1 y = 2 , 2 64 x = 1; y = p 5 2 3 x = p 5 2 3 ; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; p 5 2 3 ! ; 3 p 5 2 ! ; 1 C¥u 46 x2 + y2 + x + y = 18 x(x + 1)y(y + 1) = 72 Gi£i Mët b i °t ©n têng t½ch công kh¡ ìn gi£n °t x2 + x = a, y2 + y = b. Ta câ a + b = 18 ab = 72 , a = 12; b = 6 a = 6; b = 12 , 2 664 x2 + x = 6 y2 + y = 12 x2 + x = 12 y2 + y = 6 , 2 664 x = 2; x = 3 y = 3; y = 4 x = 3; x = 4 y = 2; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ c£ th£y 8 nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 37. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 33 C¥u 47 x3 + 4y = y3 + 16x 1 + y2 = 5(1 + x2) Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x3 16x = y (y2 4) y2 4 = 5x2 n Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l 2 §x = 0; y = 2 x3 16x = 5x2y , 4 x2 16 y = 5x TuTr÷íng hñp 2 thay v o (2) s³ l (x2 16)2 x2 = 1 5x2 x = 1; y = 3 4 = , 64 , 25x2 x2 = x = 1; y = 3 31 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 2); (0;2); (1;3); (1; 3) p x C¥u 48 p + y2 x2 = 12 y x y2 x2 = 12 n Gi£i i·u kip »n : y2 x2 Nguyº þ x y2 x2 sinh ¹ra tø vi»c ta b¼nh ph÷ìng (1). Vªy thû b¡m theo h÷îng â xem. Tø (1) ta suy ta p x2 + y2 x2 + 2x y2 x2 = (12 y)2 , y2 + 24 = (12 y)2 , y = 5 Thay v o (2) ta câ p x 25 x2 = 12 , x = 3; x = 4 èi chi¸u l¤i th§y thäa m¢n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (3; 5); (4; 5) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 38. 34 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 49 x4 4x2 + y2 6y + 9 = 0 x2y + x2 + 2y 22 = 0 Gi£i º þ n¸u °t x2 = a th¼ h» ¢ cho bi¸n th nh h» tam thùc bªc 2 ta ho n to n ¢ bi¸t c¡ch gi£i. Cö thº ð ¥y s³ l n PT(1) + 2:PT(2) , (x2 + y)2 2(x2 + y) 35 = 0 §TH1 : x2 + y = 7 , x2 = 7 y thay (2) ta câ y = 3 ) x = 2 (7 y)y + 7 y + 2y 22 = 0 , Tup y = 5 ) x = 2 TH2 : x2 + y = 5 , x2 = 5 y. Ho n to n t÷ìng p tü thay (p 2) s³ cho y væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3); (2; 3); ( 2; 5); ( 2; 5) C¥u 50 Minh n Nguy¹8 : x2 + y + x3y + xy + y2x = 5 4 x4 + y2 + xy(1 + 2x) = 5 4 Gi£i ¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi A - 2008. Mët c¡ch tü nhi¶n khi g°p h¼nh thùc n y l ta ti¸n h nh nhâm c¡c sè h¤ng l¤i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (x2 + y) + xy + (x2 + y)xy = 5 4 (x2 + y)2 + xy = 5 4 ¸n ¥y h÷îng i ¢ rã r ng. °t x2 + y = a, xy = b ta câ 8 : a + b + ab = 5 4 a2 + b = 5 4 , 2 64 a = 0; b = 5 4 a = 1 2 ; b = 3 2 , 2 6666664 ( x2 + y = 0 xy = 5 4 8 : x2 + y = 1 2 xy = 3 2 , 2 64 r x = 3 5 4 r ; y = 3 25 16 x = 1; y = 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = r 3 5 4 r ; 3 25 16 ! ; 1; 3 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 39. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 35 C¥u 51 x2 + 1 + y(y + x) = 4y (x2 + 1)(x + y 2) = y Gi£i H» g¦n nh÷ ch¿ l c¥u chuy»n cõa x2 + 1 v x + y. Tuy nhi¶n y chen v o ¢ khi¸n h» trð n¶n khâ chàu. H¢y di»t y i ¢. C¡ch tèt nh§t â l chia khi m y = 0 khæng ph£i l nghi»m cõa h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 §n TuMinh ¹n Nguy: x2 + 1 y + x + y 2 = 2 x2 + 1 y (x + y 2) = 1 H÷îng i rã r ng. °t x2 + 1 y = a, x + y 2 = b H» ¢ cho trð th nh a + b = 2 ab = 1 , a = 1 b = 1 , x2 + 1 = y x + y = 3 , x = 1; y = 2 x = 2; y = 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); (2; 5) C¥u 52 y + xy2 = 6x2 1 + x2y2 = 5x2 Gi£i Lo¤i h» n y khæng khâ. Þ t÷ðng ta s³ chia º bi¸n v¸ ph£i trð th nh h¬ng sè Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : y x2 + y2 x = 6 1 x2 + y2 = 5 , 8 : y x 1 x + y = 6 1 x + y 2 2 y x = 5 °t y x = a, 1 x + y = b. H» trð th nh ab = 6 b2 2a = 5 , a = 2 b = 3 , ( y = 2x 1 x + y = 3 , x = 1; y = 2 x = 1 2 ; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 2); 1 2 ; 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 40. 36 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 53 x2 + 2y2 = xy + 2y 2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2y Gi£i º þ mët chót ¥y l h» b¡n ¯ng c§p. N¸u ta vi¸t l¤i nh÷ sau x2 + 2y2 xy = 2y n 2x3 + 3xy2 3x2y = 2y2 §Tø â ta câ 2y2(x2 + 2y2 xy) = 2y 2x3 + 3xy2 3x2y , 4y (y x) Tu x2 xy + y2= 0 TH1 : y = 0 ) x = 0 TH2 : x = y = 0 TH3 : x = y thay v o (1) ta ÷ñc 2y2 x = y = 0 = 2y , x = y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; Minh 0); (1; 1) 2x2y + y3 2x4 x6 C¥u 54 p = + (x + 2) y + 1 = (x + 1)2 n Gi£i i·u ki»n : y 1 NguyKhai th¡c tø (1). Câ ¹v´ nh÷ l h m n o â. Chån chia cho phò hñp ta s³ ÷ñc möc ½ch, ð ¥y s³ chia cho x3 v¼ x = 0 khæng l nghi»m cõa h». PT(1) khi â s³ l y y 3 y 2 + = 2x + x3 , = x , y = x2 x x x Thay v o (2) ta s³ ÷ñc p p (x + 2) x2 + 1 = (x + 1)2 ) (x + 2)2 x2 x = 3; y = 3(TM) + 1 = (x + 1)4 , p x = 3; y = 3(TM) p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 3; 3) Ta s³ ¸n mët c¥u t÷ìng tü nâ Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 41. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 37 C¥u 55 x5 + xy4 = y10 + y6 p 4x + 5 + p y2 + 8 = 6 Gi£i 5 i·u ki»n : x 4 Th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia 2 v¸ cõa (1) cho y5 ta ÷ñc n x 5 x x + = y5 + y , = y , x = y2 §y y y Thay v o (2) ta ÷ñc p p Tu4x + 5 + x + 8 = 6 , x = 1 ) y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) xy + x + 1 = 7y C¥u 56 x2y2 + xy + 1 = 13y2 Minh Gi£i ¥y l c¥u Tuyºn sinh khèi B - 2009. C¡c gi£i thæng th÷íng nh§t â l chia (1) cho y, chia (2) cho y2 sau khi kiºm tra y = n 0 khæng ph£i l nghi»m. Ta s³ ÷ñc Nguy¹8 : x + x y + 1 y = 7 x2 + x y + 1 y2 = 13 , 8 : x + 1 y + x y = 7 x + 1 y 2 x y = 13 , a + b = 7 a2 b = 13 , a = 4; b = 3 a = 5; b = 12 , 2 6666664 8 : x + 1 y = 4 x = 3y 1 x + : y 8 = 5 x = 12y , x = 1; y = 1 3 x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; 1 3 ; (3; 1) Ti¸p töc ta ¸n th¶m mët c¥u tuyºn sinh núa Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 42. 38 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 57 x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 x2 + 2xy = 6x + 6 Gi£i º þ thªt k¾ n¸u ta th¸ kh²o l²o xy l¶n (1) s³ ch¿ cán l¤i ph÷ìng tr¼nh ©n x. Dò s³ l bªc 4 nh÷ng li·u th¼ «n nhi·u. H» vi¸t l¤i §n TuMinh ¹n Nguy8 : x4 + 2x2(xy) + x2y2 = 2x + 9 6x + 6 x2 xy = 2 Tø â (1) s³ t÷ìng ÷ìng x4 + x2(6x + 6 x2) + 6x + 6 x2 2 2 = 2x + 9 , x = 4 x = 0 ) y = 17 4 V L Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 4; 17 4 C¥u 58 3 p 1 + x + p 1 y = 2 x2 y4 + 9y = x(9 + y y3) Gi£i i·u ki»n : y 1 Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (1). X²t (2). º þ 1 tµo th¼ (2) câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh (x y) (9 x y3) = 0 , x = y x = 9 y3 Vîi x = y thay v o (1) ta s³ ÷ñc 3 p p 1 y = 2 , 1 + y+ 8 : a + b = 2 a3 + b2 = 2 b 0 , 2 4 a = 1; b = 1 a = 1 p 3; b = 3 + p 3 a = p 3 1; b = 3 p 3 , 2 4 y = 0 y = 6 p 3 11 p 3 11 y = 6 Vîi x = 9 y3 thay v o (1) ta s³ ÷ñc 3 p 10 y3 + p 1 y = 2 Ta câ 3 p 10 y3 + p 1 y 3 p 9 2 p 3 11; 6 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (6 p 3 11); (6 p 3 11;6 p 3 11) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 43. 2.2 C¥u 31¸n c¥u 60 39 C¥u 59 p xy + p 1 y = p y p y 2 p x 1 p y = 1 Gi£i i·u ki»n : x 1; 0 y 1 Tho¤t nh¼n b i to¡n ta th§y nh÷ l¤c v o m¶ cung nhúng c«n thùc. Tuy nhi¶n ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n ta câ thº ch²m µp b i to¡n n Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau p p p §2 y x 1 = y 1 Tø i·u ki»n d¹ th§y V T 0 V P D§u b¬ng x£y ra khi x = y = 1 TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1) p p x 17 4x2 + C¥u 60 p p y 19 Minh 9y2 = 3 17 4x2 + 19 9y2 = 10 2x 3y Gi£i p p p p i·u ki»n : 17 x 17 ; 19 y 19 2 2 3 3 B i to¡n n y xu§t hi»n tr¶n · thi thû l¦n 2 page Y¶u To¡n håc v tæi l t¡c gi£ cõa nâ. Þ t÷ðng cp õa nâ kh¡ ìn gi£n, phò hñp vîp i 1 · thi tuyp ºn sinh º þ x 17 4x2 li¶n quan ¸n 2x v 17 4x2, y 19 9y2 li¶n quan ¸n 3y v 19 9y2. V têng bp ¼nh ph÷ìng cõa n chóng p l nhúng h¬ng sè. §y l cì sð º ta °t ©n °t 2x + 17 4x2 ¹= a , 3x + 19 9y2 = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy8 : a + b = 10 a2 17 4 + b2 19 6 = 3 , a = 5; b = 5 a = 3; b = 7 TH1 : 2x + p 17 4x2 = 5 3y + p 19 9y2 = 5 $ 8 : x = 1 2 x = 2 y = 5 p 13 6 TH2 : 2x + p 17 4x2 = 3 3y + p 19 9y2 = 7 (Lo¤i) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 5 + p 13 6 ! 1 2 ; 5 p 13 6 ! 2; 5 + p 13 6 ! 2; 5 p 13 6 ! V ¥y l þ t÷ðng gèc cõa nâ. H¼nh thùc ìn gi£n hìn mët chót Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 44. 40 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 2.3 C¥u 61 ¸n c¥u 90 C¥u 61 p p p x 5 x2 + y 5 4y2 = 1 5 x2 + p 5 4y2 = x 2y Nghi»m : (x; y) = (1;1); §n TuMinh ¹n Nguy 2; 1 2 C¥u 62 x3 xy2 + y3 = 1 4x4 y4 = 4x y Gi£i Rã r ng l mët h» ÷a v· ÷ñc d¤ng ¯ng c§p b¬ng c¡ch nh¥n ch²o v¸ vîi v¸. Tuy nhi¶n, b i n y n¸u sû döng ph²p th¸ tèt ta s³ ÷a v· mët k¸t qu£ kh¡ µp mt Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 4x(x3 1) = y(y3 1) ¸n ¥y ta rót x3 1 v y3 1 tø (1). Cö thº tø (1) ta câ x3 1 = y3 y2x y3 1 = xy2 x3 Thay t§t c£ xuèng (2) v ta thu ÷ñc 4xy2(y x) = xy(x2 y2) , 2 664 x = 0 y = 0 x = y 4y = y + x , 2 66664 y = 1 x = 1 x = y = 1 1 y = 3 p 25 ; x = 3 3 p 25 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (0; 1); (1; 0); (1; 1); 1 3 p 25 ; 3 3 p 25 C¥u 63 8 : x + p x2 y2 x p x2 y2 + x p x2 y2 x + p x2 y2 = 17 4 x(x + y) + p x2 + xy + 4 = 52 Gi£i i·u ki»n : x6= p x2 y2, x2 y2 0, x2 + xy + 4 0 H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ khõng bè nh÷ng nhúng þ t÷ðng th¼ ¢ lë h¸t. Ta câ thº khai th¡c c£ 2 ph÷ìng tr¼nh. Pt(1) câ nhi·u c¡ch xû l½ : ¯ng c§p, °t ©n, li¶n hñp. Tæi s³ xû l½ theo h÷îng sè 3. (1) khi â s³ l x + p x2 y2 2 x2 (x2 y2) + x p x2 y2 2 x2 (x2 y2) = 17 4 , 2 (2x2 y2) y2 = 17 4 , y = 4x 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 45. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 41 Ti¸p töc khai th¡c (2). D¹ th§y °t p x2 + xy + 4 = t 0 th¼ (2) trð th nh t2 + t = 56 , t = 7 t = 8(L) ) x2 + xy = 45 K¸t hñp l¤i ta ÷ñc ( 4 y = x 5 , x2 §n + xy = 45 TuMinh ¹n Nguy2 664 x = 5; y = 4 x = 5; y = 4 x = 15; y = 12 x = 15; y = 12 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4); (5; 4); (15; 12); (15;12) C¥u 64 p x + p y + p x p p y = 2 p p y + x y p x = 1 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 , p y minfxg , p x minfyg Khæng t¼m ÷ñc mèi li¶n h» g¼ tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh, ta ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng nhi·u l¦n º ph¡ vï to n bë c«n thùc khâ chàu. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 2x + 2 p x2 y = 4 , p x2 y = 2 x ) x2 y = x2 4x 4 , 4x y = 4 L m t÷ìng tü ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ câ : 4x 4y = 1. K¸t hñp 2 k¸t qu£ l¤i d¹ d ng t¼m ÷ñc x,y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 17 12 ; 5 3 C¥u 65 8 : x + 2xy 3 p x2 2x + 9 = x2 + y y + 2xy 3 p y2 2y + 9 = y2 + x Gi£i H¼nh thùc cõa b i h» l èi xùng. Tuy nhi¶n biºu thùc kh¡ cçng k·nh v l¤i nhªn x²t th§y x = y = 1 l nghi»m cõa h¶. Câ l³ s³ ¡nh gi¡ Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i ta câ x2 + y2 = 2xy 1 3 p x2 2x + 9 + 1 3 p y2 2y + 9 ! Tø â ta nhªn x²t º câ nghi»m th¼ xy 0 v º þ l 3 p t2 2t + 9 2 n¶n ta ¡nh gi¡ x2 + y2 2xy 1 2 + 1 2 , (x y)2 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 46. 42 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1) C¥u 66 Tu§n Minh n Nguy¹( 6 x y 2 = p 3x y + 3y p 3x + 2 p 3x y = 6x + 3y 4 Gi£i i·u ki»n : y6= 0 , 3x y, 3x + p 3x y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ t÷ìng ÷ìng 6x 2y = y p 3x y + 3y2 , 2 (3x y) y p 3x y 3y2 = 0 , p 3x y = y p 3x y = 3y 2 TH1 : p 3x y = y. Tø ¥y suy ra y 0 v 3x = y2 + y thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc p y2 + y y = 2 2 y2 + y + 3y 4 , 2y2 + 7y 4 = 0 y 0 , y = 4 ) x = 4 TH2 : p 3x y = 3y 2 . Tø ¥y suy ra y 0 v 3x = 9y2 4 + y thay t§t c£ v o (2) ta công s³ t¼m ÷ñc y = 8 9 ) x = 8 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (4; 4); 8 9 ; 8 9 C¥u 67 p 2 x 2y (3 x) p 2y 1 = 0 3 p p y + 2 = 5 x + 2 + 2 Gi£i i·u ki»n : x 2; y 1 2 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p 2 x + (2 x) p 2y 1 + p 2 x = (2y 1) p 2y 1 , f( p 2y 1) p 2x 1) = f( Vîi f(x) = x3 + x ìn i»u t«ng. Tø â suy ra p 2 x = p 2y 1 , x = 3 2y thay v o (2) ta câ 3 p 5 2y + 2 p y + 2 = 5 , a + 2b = 5 a3 + 2b2 = 9 , 2 6664 a = 1; b = 2 a = p 65 4 3 ; b = p 65 8 23 + a = p 65 3 4 ; b = p 65 8 23 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 47. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 43 , 2 6664 y = 2 y = 233 + 23 p 65 32 y = p 65 233 23 32 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m p p ! p p ! 23 65 185 233 23 65 23 65 + 185 233 + 23 65 (x; y) = (1; 2); ; ; 16 32 16 32 n Sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè công l mët h÷îng kh¡ phê bi¸n trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh. Ch¿ c¦n kh²o l²o nh¼n ra d¤ng cõa h m, ta câ thº rót ra nhúng i·u k¼ di»u tø nh§úng ph÷ìng tr¼nh khæng t¦m th÷íng chót n o Tu p p 1 + xy + 1 + x + y = 2 C¥u 68 x2y2 xy = x2 + y2 + x + y Gi£i i·u ki»n : xy 1 , x + y 1 Mët chót bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) ta Minh s³ ÷ñc x2y2 y)2 x + y = xy + xy = (x + + x + y , (xy x y)(xy + x + y + 1) = 0 , x + y = xy 1 TH1 : xy = x + y thay v o (1) ta ÷ñc p 2 1 + xy = 2 , xy = 0 , x = y = 0 TH2 : x + y = xy 1 thay n v o (1) ta ÷ñc p p 1 + xy + xy = 2(V L) NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (0; 0) C¥u 69 8 : x + 3x y x2 + y2 = 3 y x + 3y x2 + y2 = 0 Gi£i Tæi khæng nh¦m th¼ b i to¡n n y ¢ xu§t hi»n tr¶n THTT, tuy nh¼n h¼nh thùc cõa h» kh¡ µp mt v gån nhµ nh÷ng khæng h· d¹ gi£i mët chót n o. H÷îng l m tèi ÷u cõa b i n y â l phùc hâa. Düa v o þ t÷ðng h» kh¡ èi xùng çng thíi d÷îi m¨u nh÷ l b¼nh ph÷ìng cõa Moun m ta sû döng c¡ch n y. H÷îng gi£i nh÷ sau PT(1)+i.PT(2) ta s³ ÷ñc x + yi + 3(x yi) (xi + y) x2 + y2 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 48. 44 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc °t z = x + yi khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh z + 3z iz jzj2 = 3 , z + 3z iz z:z = 3 , z + 3 i z = 3 , z = 2 + i z = 1 i Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1); (1;1) H¼nh thùc cõa nhúng b i h» n y kh¡ d¹ nhªn th§y. Thû l m mët sè c¥u t÷ìng tü nh². §n C¥u 70 TuMinh ¹n Nguy8 : x + 5x + 7 p 5y x2 + y2 = 7 y + p 5x 5y x2 + y2 = 0 7 C¥u 71 8 : x + 5x y x2 + y2 = 3 y x + 5y x2 + y2 = 0 C¥u 72 8 : x + 16x 11y x2 + y2 = 7 y 11x + 16y x2 + y2 = 0 C¥u 73 (6 x)(x2 + y2) = 6x + 8y (3 y)(x2 + y2) = 8x 6y Gñi þ : Chuyºn h» ¢ cho v· d¤ng 8 : x + 6x + 8y x2 + y2 = 6 y + 8x 6y x2 + y2 = 3 Nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (4; 2) Phùc hâa l mët ph÷ìng ph¡p kh¡ hay º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh mang t½nh ¡nh è cao. Khæng ch¿ vîi lo¤i h» n y m trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u mët v i c¥u h» kh¡c công sû döng phùc hâa kh¡ µp mt. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 49. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 45 C¥u 74 4x2y2 6xy 3y2 = 9 6x2y y2 9x = 0 Gi£i ¥y l mët b i to¡n công kh¡ µp mt. Th§y x = 1 l nghi»m cõa h» . Ta suy ra PT(1) + PT(2) , (x 1)(4y2(x + 1) + 6xy 9) = 0 n TH1 : x = 1 ) y = 3 TH2 : 4y2(x + 1) + 6xy 9 = 0 §V¼ x = 0 khæng l nghi»m. Suy ra 4y2x(x + 1) + 6x2y 9x = 0 (*) V¼ sao nh¥n x v o §y. UCT ch«ng ? Tæi ch¿ giîi thi»u cho c¡c b¤n UCT n¥ng cao thæi chù tæi ch£ dòng bao gií. L½ do ch¿ ìn gi£n tæi muèn xu§t hi»n 6x2y Tu9x = y2 tø (2) thæi Vªy (*) , 4y2x(x + 1) + y2 = 0 , y2(2x + 1)2 = 0 TH1 : y = 0 væ nghi»m 1 3 TH2 : x = ) y = 3; y = 2 2 Minh 1 1 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3); ; 3 ; ; 2 2 2 C¥u 75 ¹n Nguy8 : x2 (y + 1)2 + y2 (x + 1)2 = 1 2 3xy = x + y + 1 Gi£i i·u ki»n x; y6= 1 B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i. Tæi xin giîi thi»u c¡ch µp ³ nh§t cõa b i n y p döng B§t ¯ng thùc AM GM cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ V T 2xy (x + 1)(y + 1) = 2xy xy + x + y + 1 = 2xy xy + 3xy = 1 2 D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (1; 1); 1 3 ; 1 3 C¥u 76 3y2 + 1 + 2y(x + 1) = 4y p x2 + 2y + 1 y(y x) = 3 3y Gi£i i·u ki»n : x2 + 2y + 1 0 Khæng l m «n g¼ ÷ñc tø (2). Thû bi¸n êi (1) xem sao. PT(1) t÷ìng ÷ìng 4y2 4y p x2 + 2y + 1 + x2 + 2y + 1 = x2 2xy + y2 , 2y p x2 + 2y + 1 2 = (x y)2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 50. 46 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , p px2 + 2y + 1 = 3y x x2 + 2y + 1 = x + y Câ v´ hìi £o nh¿ ? Nh÷ng º þ mët chót th¼ (1) câ vâc d¡ng cõa c¡c h¬ng ¯ng thùc n¶n ta ngh¾ ¸n h÷îng n y B¥y gií xû l½ hai tr÷íng hñp kia th¸ n o ? Chc b¼nh ph÷ìng thæi. Tèt qu¡ ! Ph÷ìng tr¼nh s³ ch¿ cán l¤i xy v y m nhúng c¡i â th¼ (2) ¢ câ c£ TH1 : p x2 + 2y + 1 = 3y x n 3y x , , x2 + 2y + 1 = 9y2 6xy + x2 Tu§Minh n Nguy¹8 : 3y x 6xy = 9y2 2y 1 xy = y2 + 3y 3(2) , x = 1; y = 1(TM) x = 415 51 ; y = 17 3 (TM) TH2 : p x2 + 2y + 1 = x + y , x + y 0 x2 + 2y + 1 = x2 + 2xy + y2 , 8 : x + y 0 2xy = y2 + 2y + 1 xy = y2 + 3y 3 , x = 1; y = 1 x = 41 21 ; y = 7 3 (L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 415 51 ; 17 3 Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t. Tam thùc bªc hai câ kh¡ nhi·u ùng döng trong gi£i to¡n v h» công khæng ph£i l ngo¤i l». Ch¿ vîi nhúng ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n : °t i·u ki»n cõa º tam thùc câ nghi»m m ta câ thº t¼m ra cüc trà cõa c¡c ©n. Tø â ¡nh gi¡ v gi£i quy¸t nhúng b i to¡n m c¡c ph÷ìng ph¡p thæng th÷ìng công bâ tay. Lo¤i h» sû döng ph÷ìng ph¡p n y th÷íng cho d÷îi hai d¤ng ch½nh. Thù nh§t : cho mët ph÷ìng tr¼nh l tam thùc, mët ph÷ìng tr¼nh l têng ho°c t½ch cõa hai h m f(x) v g(y). Thù hai : cho c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ·u l ph÷ìng tr¼nh bªc hai cõa 1 ©n n o â. H¢y thû l÷ît qua mët chòm h» lo¤i n y nh². C¥u 77 ( x4 + y2 = 698 81 x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 Gi£i H¼nh thùc cõa h» : mët ph÷ìng tr¼nh l tam thùc bªc hai mët câ d¤ng f(x) + g(y) v mët sè kh¡ khõng bè. Ta h¢y khai th¡c ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng c¡ch ¡nh gi¡ Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) d÷îi d¤ng sau x2 + (y 3)x + (y 2)2 = 0() y2 + (x 4)y + x2 3x + 4 = 0() º (*) câ nghi»m th¼ x 0 , (y 3)2 4(y 1)2 0 , 1 y 7 3 º (**) câ nghi»m th¼ y 0 , (x 4)4 4(x2 3x + 4) 0 , 0 x 4 3 Tø i·u ki»n ch°t cõa hai ©n gií ta x²t (1) v câ mët ¡nh gi¡ nh÷ sau x4 + y2 4 3 4 + 7 3 2 = 697 81 698 81 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 51. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 47 Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Thû mët c¥u t÷ìng tü nh² ( 50 x3 + y2 = C¥u 78 27 x2 + xy + y2 y = 1 §n Gi£i 49 50 L m t÷ìng tü v tø (1) ta s³ rót ra x3 + y2 27 27 Tu (2x2 3x + 4)(2y2 3y + 4) = 18 C¥u 79 x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0 Gi£i H¼nh thùc kh¡ quen thuëc nh÷ng ph÷ìng tr¼nh ¦u cho ð d¤ng f(x):f (y). Ch£ sao ! Cù l m nh÷ ban n¢y. Minh Tø ph÷ìng tr¼nh (2) b¬ng ¡nh gi¡ quen thuëc ta rót ra ¹n Nguy8 : 2 x 10 3 1 y 7 3 i·u ki»n tr¶n õ º f(x) v f(y) ìn i»u t«ng v¼ f0(x) = 4x 3 0 vîi x nh÷ tr¶n Vªy ta câ f(2):f (1) f(x):f (y) f 10 3 :f 7 3 , 18 f(x):f (y) 10366 81 D§u b¬ng x£y ra khi x = 2 v y = 1 thay l¤i v o (2) th§y khæng thäa. Vªy h» ¢ cho væ nghi»m C¥u 80 ( (2x2 1)(2y2 1) = 7 2 xy x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0 Gi£i Mët chót bi¸n êi ta s³ ÷a v· gièng c¥u 79 Nhªn th§y x = y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia c£ 2 v¸ ph÷ìng tr¼nh (1) cho xy v ta s³ ÷ñc 2x 1 x 2y 1 y = 7 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 52. 48 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Quen thuëc rçi nh¿. B i n y v¨n væ nghi»m C¥u 81 x2y2 2x + y2 = 0 2x2 4x + 3 + y3 = 0 Gi£i n H¼nh thùc b i h» câ v´ kh¡ gån nhµ nh÷ng khæng d¹ g¼ gi£i ÷ñc b¬ng c¡c c¡ch th§æng th÷íng. Nh÷ng º þ c£ hai ph÷ìng tr¼nh ·u l bªc hai vîi ©n x. Vªy n¶n gi£ sû câ nghi»m x th¼ rã r ng x 0 Nh÷ vªy tø c£ hai ph÷ìng tr¼nh ta câ Tu1 y4 0 1 y 1 , ) y3) y = 1 4 2(3 + 0 y 1 Thay l¤i v ta s³ t¼m ÷ñc x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1;1) OK ? Tæi s³ ÷a th¶m 3 v½ dö núa º Minh c¡c b¤n test x2 2x + 2 y2 = 0 C¥u 82 x2y3 2x + y = 0 Nghi»m : (x; y) = (1; 1) n Nguyx2y2 x2 + 4y2 12x = 4 C¥u 83 2x2 + ¹2y2 8x + 9y + 18 = 0 Nghi»m : (x; y) = (2;2) x2y2 8x + y2 = 0 C¥u 84 2x2 4x + 10 + y3 = 0 Nghi»m : (x; y) = (1;2) Nm rã rçi chù ? Ti¸p töc ¸n vîi c¡c c¥u ti¸p theo. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 53. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 49 C¥u 85 (x + 1)(y + 1) + 1 = (x2 p + x + 1)(y2 + y + 1) x3 + 3x + (x3 y + 4) x3 y + 1 = 0 Gi£i i·u ki»n : x3 y + 1 0 Tho¤t nh¼n b i to¡n câ v´ d¹ d ng khi º þ mët chót th¼ (2) câ d¤ng h m sè. Tuy nhi¶n §y v¨n ch÷a ph£i l nót tht. ¥y l mët b i to¡n y¶u c¦u kh£ n«ng xû l½ ph÷ìng tr¼nh n bªc cao tèt. Tam thíi ta xû l½ (2) tr÷îc ¢. p §°t x3 y + 1 = t khi â ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l x3 + 3x + t3 + 3t = 0 , x3 + 3x = (t)3 + 3(t) , Tut = x x 0 , y = x3 x2 + 1 i·u ki»n x 0 kh¡ quan trång. Nâ gióp ta câ ¡nh gi¡ tèt hìn sau ¥y PT(1) , 1 = x2y + x2 + y2x + y2 + x2y2 , 1 = x2(x3 x2 + 1) + x2 + Minh x(x3 x2 + 1)2 + (x3 x2 + 1)2 + x2(x3 x2 + 1)2 , x8 x7 + 2x5 + x2 + x = 0 TH1 : x = 0 ) y = 1 (TM) TH2 : x7 + 2x4 + x = x6 1 x(x3 1)2 (x3 1)(x3 x = 1 ! y = 1(TM) , + = + 1) , x4 x3 + x + 1 = 0() n 1 1 1 () , x4 + x + 1 = x3 , x4 x2 + + x2 + x + + = x3 4 4 2 1 2 1 2 1 Nguy¹, x2 + x + + = x3 2 2 2 Do V T 0 V P n¶n væ nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1) p x3(4y2 + 1) p + 2(x2 + 1) x = C¥u 86 p 6 x2y(2 + 2 4y2 + 1) = x + x2 + 1 Gi£i i·u ki»n : x 0 H¼nh thùc cõa b i h» rã r ng l kh¡ rc rèi. Tuy nhi¶n, º þ ð (2) n¸u ta chia c£ 2 v¸ cho x2 th¼ s³ cæ lªp ÷ñc x v y v hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼. Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Chia 2 v¸ cõa (2) cho x2 ta ÷ñc 2y + 2y p 4y2 + 1 = 1 x + 1 x r 1 x2 + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 54. 50 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc p t2 + 1 v h m n y ìn i»u t«ng. Vªy tø â ta suy ra Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + t ÷ñc 2y = 1 x thay v o (1) ta câ x3 1 x2 + 1 + 2(x2 + 1) p x = 6 p , x3 + x + 2(x2 + 1) x = 6 n Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng vîi i ·u ki »n cõa x. Vªy x = 1 l nghi»m duy nh§t 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; Tu§2 p p p 7x + y + 2x + y = 5 C¥u 87 2x + y + x y = 2 Gi£i ¥y l c¥u trong · VMO 2000-2001. Khæng h¯n l mët c¥u qu¡ khâ i·u ki»n : y minf2x;7xg p Minh p Xu§t hi»n hai c«n thùc vªy thû °t 7x + y = a , 2x + y = b xem Nh÷ng cán x y th¼ th¸ n o ? Chc s³ li¶n quan ¸n a2; b2. Vªy ta sû döng çng nh§t thùc 3 8 x y = k(7x + y) + l(2x + y) , k = ; l = 5 5 Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ¹n Nguy8 : a + b = 5 b + 3a2 5 8b2 5 = 2 a; b 0 , 8 : a = p 77 2 15 b = p 77 5 2 , 8 : 7x + y = p 77 151 15 2 2x + y = p 77 2 51 5 , 8 : x = 10 p 77 y = p 77 2 11 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 10 p 77; p 77 2 11 ! Mët c¡ch kh¡c công kh¡ tèt. °t p 7x + y = a; p 2x + y = b v ta x¥y düng mët h» t¤m sau a + b = 5 a2 b2 = 5x , a + b = 5 a b = x , b = 5 x 2 Thay v o (2) v ta ÷ñc 5 x 2 + x y = 2 , x = 2y 1 ¸n ¥y thay l¤i v o (2) v ta công ra k¸t qu£ Mët v½ dö t÷ìng tü cõa b i n y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 55. 2.3 C¥u 61¸n c¥u 90 51 C¥u 88 p 11x y p y x = 1 p y x + 6y 26x = 3 7 Nghi»m : (x; y) = 37 20 ; 81 10 §n C¥u 89 TuMinh ¹n Nguy8 : p 3x 1 + 1 x + y = 2 p 7y 1 1 x + y p 2 = 4 Gi£i ¥y l c¥u trong · VMO 1995-1996. Mët þ t÷ðng kh¡ µp mt m s¡ng t¤o i·u ki»n : x; y 0; x + y 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 1 + 1 x + y = 2 p 3x 1 1 x + y = p 4 2 p 7y , 8 : 1 x + y = 1 p 3x p 2 2 p 7y 1 = 1 p 3x + p 2 2 p 7y , 1 x + y = 1 p 3x p 2 2 p 7y ! 1 p 3x + p 2 2 p 7y ! , 1 x + y = 1 3x 8 7y , 21xy = (x + y)(7y 3x) , (y 6x)(7y + 4x) = 0 , y = 6x Thay v o ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ÷ñc 1 + 1 7x = 2 p 3x , x = 11 + 4 p 7 21 ) y = 22 7 + 8 p 7 Mët p c¡ch kh¡c câ thº sû döng trong b i n y â l phùc hâa. Nâ mîi xu§t hi»n g¦n ¥y p °t x = a 0 , y = b 0. Ta câ h» mîi nh÷ sau 8 : a + a a2 + b2 = 2 p 3 b b a2 + b2 = p 2 p 7 4 PT(1) + i:PT(2) , (a + bi) + a bi a2 + b2 = 2 p 3 + p 2 p 7 4 i °t z = a + bi ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh z + 1 z = 2 p 3 + p 2 p 7 4 i ) z ) a; b ) x; y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 56. 52 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 11 + 4 p 7 21 ; 22 7 + 8 p 7 ! B i h» n y câ kh¡ nhi·u dà b£n phong phó. Tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n C¥u 90 Tu§n Minh n Nguy¹8 : p x 3 1 + 6 x + y = p 2 p y 1 6 x + y = 1 Nghi»m : (x; y) = (8; 4) 2.4 C¥u 91 ¸n c¥u 120 C¥u 91 8 : p x 1 12 y + 3x = 2 p y 1 + 12 y + 3x = 6 p 3; 12 + 6 Nghi»m : (x; y) = (4 + 2 p 3) C¥u 92 8 : p 10x 1 + 3 5x + y = 3 p y 1 3 5x + y = 1 Nghi»m : (x; y) = 2 5 ; 4 C¥u 93 8 : 4 p x 1 4 + p x + 2 p y x + y = 2 4 p y 1 4 p x + 2 p y x + y = 1 Ti¸p theo ta ¸n mët v i v½ dö v· sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 57. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 53 C¥u 94 x p 1 y2 + y p 1 x2 = 1 (1 x)(1 + y) = 2 Gi£i i·u ki»n : jxj 1 , jyj 1 h i i·u ki»n n y cho ta þ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sina , y = sinb vîi a; b 2 ; 2 2 n Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng sinacosb + sinbcosa = 1 , sin(a + b) = 1 , a + b = §2 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng Tu a = b = (1 sina)(1 + sinb) = 2 , (1 sina)(1 + cosa) = 2 , 2 , a = 0 b = 2 x = 1; y = 0(L) , x = 0; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1) 2y = x(1 y2) C¥u 95 3x x3 = y(1 3x2) Gi£i Tho¤t nh¼n ta th§y câ v´ hn » n y công xo ng, ch£ câ g¼ khi vi¸t nâ d÷îi d¤ng xy2 = x 2y Nguy¹x3 3x2y = 3x y ÷a nâ v· d¤ng ¯ng c§p, nh÷ng c¡i ch½nh ð ¥y l nghi»m nâ qu¡ l´. Vªy thû h÷îng kh¡c xem. Vi¸t l¤i h» ¢ cho sau khi ¢ x²t 8 : x = 2y 1 y2 y = 3x x3 1 3x2 Nh¼n biºu thùc v¸ ph£i câ quen thuëc khæng ? R§t gièng cæng thùc l÷ñng gi¡c nh¥n æi v nh¥n ba cõa tan. Vªy þ t÷ðng ¢ n£y ra °t x = tan vîi 2 2 ; 2 . Tø PT(2) ta s³ câ y = 3 tan tan3 1 3tan2 = tan 3 M nh÷ th¸ theo (1) ta s³ câ x = 2 tan 3 1 tan23 = tan 6 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 58. 54 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Tø â suy ra tan = tan 6 , = k 5 , = 2 5 ; 5 ; 0; 5 ; 2 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = tan 2 5 ; tan 6 5 ; tan 5 ; tan 3 5 ; (0; 0) L m mët b i t÷ìng tü nh². §n C¥u 96 TuMinh ¹n Nguy8 : y = 3x x3 1 3x2 x = 3y y3 1 3y2 Sû döng ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh c¦n ph£i nm rã c¡c h¬ng ¯ng thùc, ¯ng thùc, cæng thùc l÷ñng gi¡c, v c¦n mët nh¢n quan tèt º ph¡t hi»n mët biºu thùc n o â gièng vîi mët cæng thùc l÷ñng gi¡c. C¥u 97 x3y(1 + y) + x2y2(2 + y) + xy3 30 = 0 x2y + x(1 + y + y2) + y 11 = 0 Gi£i ¥y l mët h» kh¡ m¤nh nh÷ng hay. Nh¼n v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta th§y c¡c bi¸n k¸t d½nh vîi nhau kh¡ tèt v h¬ng sè câ v´ nh÷ ch¿ l k´ ùng ngo i. Vªy h¢y vùt h¬ng sè sang mët b¶n v thüc hi»n bi¸n êi v¸ tr¡i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng xy(x + y)(x + y + xy) = 30 xy(x + y) + x + y + xy = 11 ¸n ¥y þ t÷ðng ¢ rã r ng. °t a = xy(x + y) , b = xy + x + y v h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ab = 30 a + b = 11 , a = 5; b = 6 a = 6; b = 5 , 2 664 xy(x + y) = 5 xy + x + y = 6 xy(x + y) = 6 xy + x + y = 5 TH1 : xy(x + y) = 6 xy + x + y = 5 , 2 664 xy = 2 x + y = 3 xy = 3 x + y = 2 (L) , x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 TH2 : xy(x + y) = 5 xy + x + y = 6 , 2 664 xy = 5 x + y = 1 (L) xy = 1 x + y = 5 , 2 64 x = 5 p 21 2 ; y = 5 + p 21 2 x = 5 + p 21 2 ; y = 5 p 21 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 59. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 55 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2); (2; 1); 5 p 21 2 ; 5 p 21 2 ! T¡c gi£ cõa nâ ¢ r§t kh²o l²o trën nhi·u l¦n c¡ch °t ©n têng t½ch v o mët h», g¥y nhi·u khâ kh«n cho ng÷íi l m §n C¥u 98 TuMinh ¹n Nguy8 : r sin2x + 1 sin2x + r cos2y + 1 cos2y = r 20y r x + y sin2y + 1 sin2y + r cos2x + 1 cos2x = r 20x x + y Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong · VMO 2012-2013. H¼nh thùc b i h» câ sü kh¡c l¤ khi câ c£ h m l÷ñng gi¡c chen ch¥n v o. Vîi kiºu h» n y ¡nh gi¡ l c¡ch tèt nhp §t Ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh vîi nhau v s³ chùng minh V T 2 10 V P p döng B§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ ph£i ta ÷ñc r 20y x + y + r 20x x + y s 2 20y x + y + 20x x + y p 10 = 2 p 10 tùc l ph£i chùng minh Gií ta s³ chùng minh : V T 2 r sin2x + 1 sin2x + r cos2x + 1 cos2x p 10 V T = s sin x 1 sin x 2 + p 2 2 + s cos x 1 cos x 2 + p 2 2 s 1 sin x + 1 cos x 2 (sin x + cos x) + 2 2 p 2 Hiºn nhi¶n ta câ sinx + cosx p 2 n¶n 1 sin x + 1 cos x (sin x + cos x) 4 sin x + cos x p 2 4 p 2 p 2 = p 2 Vªy V T p 2 + 8 = p 10. T÷ìng tü vîi bi¸n y v ta câ i·u ph£i chùng minh ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 4 + k2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 60. 56 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 99 x p x p x = y p y + 8 p y x y = 5 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 Æ h» n y cho mët ph÷ìng tr¼nh ìn gi£n qu¡. Th¸ th¯ng l¶n (1) ch«ng ? Khæng n¶n ! Bi¸n êi 1 tµo ¢ rçi h¢y th¸. H÷îng bi¸n êi kh¡ ìn gi£n l l m ph¡ vï c«n thùc n Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p p §x(x 1) = y(y + 8) ) x(x 1)2 = y(y + 8)2 ¸n ¥y thüc hi»n th¸ x = y + 5 l¶n (1) v ta ÷ñc Tu(y + 5)(y + 4)2 = y(y + 8)2 , y = 4 ) x = 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (9; 4) C¥u 100 Minh n Nguy¹8 : 1 p x + y x = p x y 2 + 2 y p = x2 + 1 1 p 3x2 + 3 Gi£i i·u ki»n : x 0; y6= 0 Rã r ng vîi i·u ki»n n y th¼ tø (2) ta th§y ngay º câ nghi»m th¼ y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p x + y x = p x + y) y 2 ( , p x + y = 0(L) y = 2x Vîi y = 2x thay v o (2) ta ÷ñc 2x p = x2 + 1 1 p 3x2 + 3 , 2x p p 3 x2 + 1 = 2x , p x2 + 1 = 2x 2x p 3 Rã r ng vp ¸ tr¡i ìn ip »u t«ng v v¸ ph£i ìn i»u gi£m n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy nh§t x = 3 ) y = 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ( p 3; 2 p 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 61. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 57 C¥u 101 y = x3 + 3x + 4 x = 2y3 6y 2 Gi£i H¼nh thùc b i h» kh¡ gån nhµ nh÷ng công õ khi¸n nhi·u ng÷íi ph£i lóng tóng. Nhªn x²t x = y = 2 l nghi»m. Ta ti¸n h nh t¡ch nh÷ sau n y 2 = (x + 1)2(x 2) x 2 = (y + 1)2(y 2) §¸n ¥y nh¥n ch²o v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 2(y 2)2(y + 1)2 = (x + 1)2(x 2)2 TuD¹ th§y V T 0 V P. Ð ¥y ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 2 x3 xy2 + 2000y = 0 C¥u 102 y3 yx2 500x = Minh 0 Gi£i D¹ d ng ÷a ÷ñc v· h» ¯ng c§p. Nh÷ng ta bi¸n êi mët tµo º nâ tèi ÷u. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng n 2 x (x2 y2) = 2000y ¹) 500x2(x2 y2) = 2000y2(x2 y2) , y(x2 y2) = 500x Nguy664 x = y x = y x = 2y x = 2y Thay l¤i vîi méi tr÷íng hñp v o (1) v ta ÷ñc 2 66664 y = 0; x r = 0 y = 10 10 3 r ; x = 20 10 3 r y = 10 10 3 r ; x = 20 10 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); 20 r 10 3 r ;10 10 3 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 62. 58 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 103 8 : 3 x2 + y2 1 + 2 y x = 1 x2 + y2 + 4 x y = 22 Gi£i y Þ t÷ðng °t ©n phö ¢ rã r ng. °t x2 + y2 1 = a , = b . H» ¢ cho t÷ìng ÷ì§ng x n TuMinh ¹n Nguy8 : 3 a + 2b = 1 a + 4 b = 21 , 2 64 a = 7; b = 2 7 a = 9; b = 1 3 , 2 664 x2 + y2 = 8 2x = 7y x2 + y2 = 10 x = 3y 2 4 y = 4 r 2 53 r ; x = 14 2 53 x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1) 14 r 2 53 r ;4 2 53 ! C¥u 104 8 : r x + 1 y + p x + y 3 = 3 2x + y + 1 y = 8 Gi£i i·u ki»n : y6= 0; x + 1 y 0; x + y 3 Þ t÷ðr ng °t ©n phö công ¢ kh¡ rã r ng. °t x + 1 y = a 0; p x + y 3 = b 0 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a + b = 3 a2 + b2 = 5 , a = 1; b = 2 a = 2; b = 1 , 2 6666664 8 : x + 1 y = 1 x + y 3 = 4 1 x + = 4 : 8 y x + y 3 = 1 , 2 664 x = 4 p 10; y = 3 + p 10 x = 4 + p 10; y = 3 p 10 x = 3; y = 1 x = 5; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); (5;1)(4 p 10; 3 p 10) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 63. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 59 C¥u 105 x3(2 + 3y) = 8 x(y3 2) = 6 Gi£i ¥y l mët c¥u kh¡ gièng c¥u sè 37 Nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 2) n §2x2y + 3xy = 4x2 + 9y C¥u 106 7y + 6 = 2x2 + 9x TuGi£i B i n y n¸u l÷íi ngh¾ câ thº dòng mæn vã th¸ th¦n ch÷ðng y v o PT(1). Nh÷ng h¢y dòng UCT ð ¥y s³ tèt hìn. Nhªn th§y y = 3 l nghi»m (c¡i n y gið l¤i nh², tæi khæng gi£i th½ch núa), thay y = 3 v o h» ta câ Minh 2x2 + 9x 27 = 0 27 2x2 + 9x = 0 Nh÷ vªy h÷îng cõa ta s³ cëng hai ph÷ìng tr¼nh ban ¦u l¤i v nh¥n tû y 3 s³ xu§t hi»n. Vªy PT(1) + PT(2) , (3 y) 2x2 + 3x 2 = 0 p ! n 16 1 1 3(3 33) ¸n ¥y d¹ d ng gi£i ra (x; y) = 2; ; ; ; ; 3 7 2 7 4 Nguy ¹x2 + 3y = 9 C¥u 107 y4 + 4(2x 3)y2 48y 48x + 155 = 0 Gi£i ¥y l mët c¥u kh¡ hâc, khæng ph£i ai công câ thº d¹ d ng gi£i nâ ÷ñc. Th¸ 3y = 9 x2 tø (1) xuèng (2) ta ÷ñc y4 + 8xy2 12y2 16(9 x2) 48x + 155 = 0 y2 y4 + 4x = 1 , + 8xy2 + 16y2 12(y2 + 4x) + 11 = 0 , y2 + 4x = 11 TH1 : y2 + 4x = 11 , 9 x2 3 2 + 4x = 11 , x4 18x2 + 36x 18 = 0 , x4 = 18(x 1)2 , x2 3 p 2x + 3 p 2 = 0 x2 + 3 p 2 = 0 p 2x 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 64. 60 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , 2 664 x = p 2 3 p 18 12 p 2 p 2 18 12 ) y = p 36 24 p 2 6 12 p 2 12 x = p 2 3 p 2 2 ) y = p 36 24 p 2 6 12 p 2 12 TH2 : y2 + 4x = 1 , §n TuMinh n Nguy¹ 9 x2 3 2 + 4x = 1 , x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x2 6x + 12 x2 + 6x + 6 = 0 , x = 3 p 3 ) y = 1 2 p 3 Vªy h» câ c£ th£y 6 nghi»m nh÷ tr¶n Mët thc mc nhä l ð TH2 v¼ sao x4 18x2 + 36x + 72 = (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6). T¡ch nh¥n tû kiºu g¼ hay vªy ? Casio truy nh¥n tû ch«ng ? Câ thº lm. Nh÷ng thüc ra ph÷ìng tr¼nh bªc 4 ¢ câ c¡ch gi£i têng qu¡t b¬ng cæng thùc Ferrari. èi vîi v½ dö tr¶n ta l m nh÷ sau x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , x4 2ax2 + a2 = (18 2a) x2 36x + a2 72 Ta ph£i t¼m a sao cho v¸ ph£i ph¥n t½ch ÷ñc th nh b¼nh ph÷ìng. Nh÷ th¸ ngh¾a l 182 = (18 2a) a2 72 , a = 9 Nh÷ vªy x4 18x2 + 36x + 72 = 0 , (x2 + 9)2 = 9(2x 1)2 , (x2 6x + 12)(x2 + 6x + 6) = 0 Chi ti¸t v· gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 c¡c b¤n câ thº t¼m d¹ d ng tr¶n google. Gií ta ti¸p töc c¡c b i h». Ti¸p theo l mët chòm h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ d¹ nh¼n. C¥u 108 8 : x + p x2 + 1 y + p y2 + 1 = 1 y + y p x2 1 = 35 12 Gi£i i·u ki»n : x2 1 Khæng thº l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Tø (1) ta nhªn x²t th§y hai h m gièng nhau nh÷ng chóng l¤i d½nh ch°t vîi nhau, khæng chàu t¡ch ríi. Vªy ta dùt chóng ra. Ph²p li¶n hñp s³ gióp ta Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng x + p x2 + 1 y + p y2 + 1 p y2 + 1 y = p y2 + 1y , x+ p x2 + 1 = y + p y2 + 1 T¡ch ÷ñc rçi nh÷ng câ v´ hai b¶n khæng cán gièng nhau núa. Khoan !! N¸u thay y2 = (y)2 th¼ sao nh¿. Qu¡ tèt. Nh÷ vªy c£ hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t + p t2 + 1 v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â ta rót ra x = y Thay l¤i v o (2) ta ÷ñc y + y p y2 1 = 35 12 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 65. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 61 ¥y thüc ra l mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ khâ chàu. Tho¤t ti¶n khi th§y lo¤i n y ta s³ b¼nh ph÷ìng 2 v¸ l¶n. i·u ki»n b¼nh ph÷ìng l y 0 khi â ta câ y2 + 2y2 p y2 1 + y2 y2 1 = 35 12 2 , y4 y2 + y2 y2 1 + 2y2 p y2 1 = 35 12 2 y2 ¸n ¥y ¢ kh¡ rã r ng . °t p = t 0 v ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng y2 1 n 2 35 2 Tu§t2 + 2t = 0 , 12 Minh ¹n Nguy64 t = 49 12 (L) t = 25 12 , y2 p y2 1 = 25 12 , 2 64 y = 5 4 y = 5 3 èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng ch¿ l§y 2 gi¡ trà d÷ìng. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 4 ; 5 4 ; 5 3 ; 5 3 C¥u 109 p 5 2y = 0 (4x2 + 1)x + (y 3) 4x2 + y2 + 2 p 3 4x = 7 Gi£i i·u ki»n : y 5 2 ; x 3 4 Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau (4x2 + 1)x = (3 y) p 5 2y , (4x2 + 1)2x = (6 2y) p 5 2y , f (2x) = f p 5 2y Vîi f(t) = t3 + t l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2x = p 5 2y ) x 0 thay v o (2) ta câ 4x2 + 5 2 2x2 2 + 2 p 3 4x = 7 Gií cæng vi»c cõa ta l kh£o s¡t h m sè v¸ tr¡i tr¶n 0; 3 4 v chùng minh nâ ìn i»u gi£m. Xin nh÷íng l¤i b¤n åc Vîi h m sè v¸ tr¡i ìn i»u gi£m ta câ x = 1 2 l nghi»m duy nh§t ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 2 H¢y º þ k¾ mèi t÷ìng quan giúa c¡c biºu thùc trong mët ph÷ìng tr¼nh va ta s³ ¤t möc ½ch Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 66. 62 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 110 p y3 + y = x3 + 3x2 + 4x + 2 p 1 x2 y = p 2 y 1 Gi£i i·u ki»n : 0 y 2;1 x 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng n y3 + y = (x + 1)3 + (x + 1) , y = x + 1 §Thay v o (2) ta câ p p p 1 x2 1 + x = 1 x 1 p p p t2 2 Ph÷ìng tr¼nh n y khæng qu¡ khâ. °t t = 1 + x + 1 x ) Tu1 x2 = . Thay v o 2 ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc p p t2 2 t = 0 p 1 x + p 1 + x = 0 = t 1 , , , x = 0; y = 1 2 t = 2 1 x + 1 + x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = (0; 1) Nhúng b i n y th÷íng s³ n°ng v· gi£Minh i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ hìn. p p p p p p x + 1 + x + 3 + x + 5 = y 1 + y 3 + y 5 C¥u 111 x + y + x2 n + y2 = 80 Gi£i Nguyi·u ki»n : x 1; y ¹ 5 Ph÷ìng tr¼nh ¦u câ d¤ng f(x + 1) = f(y 5) p p p Vîi f(t) = t + t + 2 + t + 4 l h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y = x + 6 thay v o (2) ta câ p p 5 5 7 5 5 + 5 x + x + 6 + x2 + (x + 6)2 = 80 , x = ) y = 2 2 p p ! 5 5 7 5 5 + 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 2 2 Ð ¥y tæi ¢ ÷a ra mët sè c¥u h» sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè kh¡ ìn gi£n. Nâi l ìn gi£n v¼ tø mët ph÷ìng tr¼nh ta nh¼n th§y ngay ho°c mët chót bi¸n êi º nh¼n ra d¤ng cõa h m c¦n x²t. Tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng b i c¦n bi¸n êi tinh t¸ º nh¼n ra d¤ng h m, ð nhúng c¥u sau cõa cuèn s¡ch. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 67. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 63 C¥u 112 p x + 4 p 32 x y2 = 3 4 p x + p 32 x + 6y = 24 Gi£i i·u ki»n : 0 x 32 Câ v´ ¥y l mët h» kh¡c rc rèi khi xu§t hi»n c«n bªc 4. Ta s³ dòng c¡c ¡nh gi¡ º gi£i quy¸t c¡i h» n y n Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc p p x + 32 x + x + 32 x = y2 6y + 21 §Hiºn nhi¶n ta câ : V P 12 Gií ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ v¸ tr¡i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz Tucho v¸ tr¡i ta câ p p p x + 32 x (1 + 1)(x + 32 x) = 8 x + 32 Minh x 4 p 4 4 n Nguy¹p p 4 p q (1 + 1)( p x + p 32 x) 4 Vªy V T V P D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (16; 3) Tæi cán mët c¥u þ t÷ðng gièng b i n y nh÷ng hìi khâ hìn mët chót. B¤n åc câ thº gi£i nâ C¥u 113 p p 2 2x + 2 4 p 6 x y2 = 2 4 p 2x + 2 p 6 x + 2 p 2y = 8 + p 2 Nghi»m : (x; y) = (2; p 2) C¥u 114 x2(y + 1)(x + y + 1) = 3x2 4x + 1 xy + x + 1 = x2 Gi£i B i n y câ l³ khæng c¦n suy ngh¾ nhi·u. Cù th¸ y + 1 l¶n (1) coi sao Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x(y + 1) = x2 1 , y + 1 = x2 1 x Thay l¶n (2) ta s³ ÷ñc x(x2 1) x + x2 1 x = 3x2 4x + 1 , x = 2 ) y = 5 2 x = 1 ) y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 2; 5 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 68. 64 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 115 8 : 4xy + 4(x2 + y2) + 3 (x + y)2 = 7 2x + 1 x + y = 3 Gi£i i·u ki»n : x + y6= 0 ¥y l mët b i h» khæng ìn gi£n chót n o. Tuy nhi¶n ta câ mët nhªn x²t kh¡ tèt sau n ¥y : a(x2 + y2) + bxy = k(x + y)2 + l(x y)2 §Gií h¢y ph¥n t½ch 4x2 + 4y2 + 4xy = k(x + y)2 + l(x y)2 C¥n b¬ng h» sè ta thu ÷ñc : 4x2 + 4y2 + 4xy = 3(x + y)2 + (x y)2 Nh÷ vªy þ t÷ðng s³ l °t ©n phö têng-hi»u ch«ng ? C ng câ cì sð khi Tu2x = x+y +xy. Nh÷ vªy þ t÷ðng sì bë l th¸. Bi¸n êi h» th nh Minh n Nguy¹8 : 3(x + y)2 + (x y)2 + 3 (x + y)2 = 7 x + y + 1 x + y + x y = 3 øng vëi °t ngay. º þ mët chót 3(x + y)2 + 3 (x + y)2 = 3 x + y + 1 x + y 2 6. Nh÷ vªy c¡ch °t ©n cõa ta s³ tri»t º hìn. °t x + y + 1 x + y = a; x y = b ta thu ÷ñc h» mîi 8 : b2 + 3a2 = 13 a + b = 3 jaj 2 , a = 2; b = 1 a = 1 2 ; b = 7 2 (L) , 8 : x + y + 1 x + y = 2 x y = 1 , x + y = 1 x y = 1 , x = 1 y = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 0) OK ch÷a ? Ti¸p töc th¶m mët c¥u t÷ìng tü nh² C¥u 116 8 : x2 + y2 + 6xy 1 (x y)2 + 9 8 = 0 2y 1 x y + 5 4 = 0 Gi£i i·u ki»n : x6= y H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2(x + y)2 (y x)2 1 (y x)2 + 9 8 = 0 y x + 1 y x + (x + y) + 5 4 = 0 , 8 : 2(x + y)2 y x + 1 y x 2 + 25 8 = 0 y x + 1 y x + (x + y) + 5 4 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 69. 2.4 C¥u 91¸n c¥u 120 65 °t x + y = a; y x + 1 y x = b; jbj 2 ta câ h» mîi 8 : a + b = 5 4 25 2a2 b2 = 8 §n TuMinh ¹n Nguy, 8 : a = 5 4 b = 5 2 , 2 6666664 ( y + x = 5 4 y x = 2 8 : y + x = 5 4 y x = 1 2 , 2 64 x = 13 8 ; y = 3 8 x = 7 8 ; y = 3 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 7 8 ; 3 8 ; 13 8 ; 3 8 Tæi s³ ÷a th¶m 2 c¥u núa cho b¤n åc luy»n tªp C¥u 117 8 : 3(x2 + y2) + 2xy + 1 (x y)2 = 20 2x + 1 x y = 5 Nghi»m : (x; y) = (2; 1); 4 p 10 3 ; p 10 3 3 ! ; 4 + p 10 3 ; p 10 3 3 ! C¥u 118 (4x2 4xy + 4y2 51)(x y)2 + 3 = 0 (2x 7)(x y) + 1 = 0 Thû ëng n¢o mët chót xem v¼ sao l¤i ÷a ÷ñc v· gièng 3 c¥u tr¶n ? Nghi»m :(x; y) = 5 p 3 2 ; p 3 2 1 + ! ; 5 + p 3 2 ; p 3 2 1 ! C¥u 119 8 : 2x2 + x 1 y = 2 y y2x 2y2 = 2 Gi£i i·u ki»n : y6= 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi 1 y x 2 = 2 y2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 70. 66 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc °t a = 1 y ta chuyºn h» v· 2x2 + x a = 2 2a2 + a x = 2 p 3 2 , n Tu§Minh n Nguy¹2 666664 x = 1; a = 1 x = 1; a = 1 1 x = ; a = p 3 1 2 x = p 3 1 2 ; a = p 3 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 1 p 3 2 ; 1 ! p 3 C¥u 120 4x2 + y4 4xy3 = 1 4x2 + 2y2 4xy = 2 Gi£i H¼nh thùc kh¡ gån nhµ nh÷ng công r§t khâ chìi. Mët chót tinh þ ta nhªn th§y y2 = 1 l nghi»m cõa h». Thay v o v ta rót ra PT(1) PT(2) , y4 4xy3 2y2 + 4xy + 1 = 0 , (y2 1)(y2 4xy 1) = 0 Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 Vîi y = 1 thay v o (2) ta t¼m ÷ñc x = 0 ho°c x = 1 Vîi y2 = 4xy + 1. Khæng c¦n ngh¾ nhi·u, th¸ tr¥u bá v o cho nhanh !!! Ta rót ra x = y2 1 4y thay v o (2) ta câ y2 1 4 4y 2 + 2y2 + 1 y2 = 2 , 5y4 6y2 + 1 = 0 , 2 666664 y = 1 ) x = 0 y = 1 ) x = 0 y = 1 p 5 ) x = 1 p 5 y = 1 p 5 ) x = 1 p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (0; 1); (0;1); 1 p 5 ; 1 p 5 ; 1 p 5 ; 1 p 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 71. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 67 2.5 C¥u 121 ¸n c¥u 150 C¥u 121 x4 + x3y + 9y = y3x + x2y2 + 9x x(y3 x3) = 7 Gi£i Khæng c¦n bi¸t Tê quèc nìi ¥u, chi¸n ph÷ìng tr¼nh ¦u ¢ n PT(1) , (x y)(x(x + y)2 9) = 0 §Vîi x = y k¸t hñp vîi (2) rã r ng khæng thäa Cán l¤i ta k¸t hñp th nh mët h» mîi x (y3 x3) = 7 Tux(x + y)2 = 9 ¥y l mët b i to¡n kh¡ quen thuëc v h§p d¨n ¢ tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT, c¡ch l m phê bi¸n nh§t v¨n l tr¥u bá r 7 Tr÷îc h¸t câ ¡nh gi¡ x 0 v rót ra y = 3 x3 + . Thay xuèng ta câ x r !2 7 x x + 3 x3 + = Minh 9 , x3 + 2x x6 + 7x2 + x(x4 + 7)2 = 9 x °t v¸ tr¡i l f(x). Ta câ f0(x) = 3x2 + 2 n Nguy3 3 p p ¹3 p x6 + 7x2 + 6x6 + 14x2 3 3 p (x6 + 7x2)2 ! + 1 3 : 9x8 + 70x4 + 49 3 p x2(x4 + 7)4 0 Vªy f(x) = 9 câ nghi»m duy nh§t x = 1 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) v !u !Ti¸p theo tæi xin giîi thi»u cho c¡c b¤n mët sè c¥u h» sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski º gi£i. B§t ¯ng thùc Minkowski l mët b§t ¯ng thùc khæng khâ v công th÷íng ÷ñc dòng, b§t ¯ng thùc · cªp ¸n v§n · ë d i cõa vectì trong khæng gian m sau n y håc sinh quen gåi nâ l b§t ¯ng thùc V ector Vîi hai vectì ;b§t k¼ ta luæn câ j!u j + j!v j j!u + !v j N¸u tåa ë hâa 2 vecto n y ta s³ thu ÷ñc p a1 2 + b1 2 + p a2 2 + b2 2 q (a1 + a2)2 + (b1 + b2)2 ¯ng thùc x£y ra khi (a1; a2) v (b1; b2) l 2 bë t¿ l» ¥y l mët h» qu£ hay dòng trong gi£i h» Th¼ khi n o nh¼n v o mët b i h» ta câ thº ngh¾ ¸n sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski. Th÷íng khi nh¼n th§y têng hai c«n thùc m bªc cõa biºu thùc trong c«n khæng v÷ñt qu¡ 2 th¼ ta câ thº chån h÷îng n y. Tæi s³ n¶u 3 v½ dö º b¤n åc hiºu rã hìn Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 72. 68 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 122 3px + 4y = 26 x2 + y2 4x + 2y + 5 + p x2 + y2 20x 10y + 125 = 10 Gi£i Þ t÷ðng sû döng ¢ hi»n rã rçi. B÷îc ¦u ti¶n ta l m â l ph¥n t½ch biºu thùc trong c«n th nh têng c¡c b¼nh ph÷ìng ¢. V¸ tr¡i cõa (2) khi â s³ l p p n (x 2)2 + (y + 1)2 + (x 10)2 + (y 5)2 §Tuy nhi¶n n¸u ta sû döng B§t ¯ng thùc Minkowski ngay b¥y gií th¼ nâ s³ l p V T (x 2 + x 10)2 + (y + 1 + y 5)2 TuKhæng ph£i 10 núa m l mët biºu thùc kh¡ phùc t¤p. Khi â ta ph£i xem l¤i c¡ch vi¸t c¡c b¼nh ph÷ìng cõa m¼nh º þ n¸u l h¬ng sè v¸ ph£i th¼ khi cëng v o ta ph£i l m tri»t ti¶u ©n i. Vªy c¦n ph£i vi¸t nh÷ sau p p p V T = (x 2)2 + (y + 1)2+ (10 x)2 + (5 y)2 (x + 2 + 10 x)2 + (y + 1 + 5 y)2 = 10 10 x Minh 5 y Ok rçi. ¯ng thùc x£y ra khi = , 3x 4y = 10 x 2 y + 1 K¸t hñp (1) d¹ d ng gi£i ra (x; y) = (6; 2) Nh÷ ta ¢ th§y, sû döng khæng khâ. Tuy nhi¶n c¡i khâ ð ¥y ch½nh l ngh» thuªt êi d§u v sp x¸p c¡c h¤ng tû cõa b¼nh ph÷ìng º ta ¤t ÷ñc möc ich n x2 2y2 Nguy p¹ 7xy = C¥u 123 p 6 p x2 + 2x + 5 + y2 2y + 2 = x2 + y2 + 2xy + 9 Gi£i X²t ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ q q q V T = (x + 1)2 + 22 + (y 1)2 + 12 (x + y)2 + 32 = V P ¯ng thùc x£y ra khi x + 1 = 2(y 1) , x = 2y 3 5 1 Thay v o (1) v ta d¹ d ng gi£i ra (x; y) = ; ; (1; 1) 2 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 73. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 69 C¥u 124 p 2x2 + 6xy + 5y2 + 5 = p 2x2 + 6xy + 5y2 + 14x + 20y + 25 x4 + 25y2 2 = 0 Gi£i B¥y gií n¸u chuyºn c«n sang v¸ tr¡i, h¬ng p sè sang v¸ ph£i l ch¸t dð. M§u chèt ð ¥y l g¼ ? Sè 5 ch«ng ? óng vªy, ta ph¥n t½ch 5 = 32 + 42 º sû döng b§t ¯ng thùc Minkowski. Tuy nhi¶n c¡c êi d§u v sp x¸p sè h¤ng nh÷ th¸ n o. C¡i â ta ph£i quan t¥m ¸n v¸ n ph£i º chån lüa cho phò hñp. Ð ¥y s³ l q q §p V T = (x + y)2 + (x + 2y)2 + 42 + 32 (x + y + 4)2 + (x + 2y + 3)2 = V P x + y x + 2y ¯ng thùc x£y ra khi = , x = 5y Tu4 3 1 1 Thay v o (2) v ta d¹ d ng gi£i ra (x; y) = 1; ; 1; 5 5 2y(x2 y2) = 3x C¥u 125 x(x2 + y2) = 10y Minh Gi£i Mët h» ÷a v· d¤ng ¯ng c§p rã r ng. Tuy nhi¶n, ta h¢y xû l½ sì bë h» n y º lo¤i mët sè tr÷íng hñp Tø (2) d¹ th§y x:y ph£i còng d§u, m n¸u th¸ ð (1) x2 y2 Tr÷îc h¸t x = y = 0 l mët nghi»m cõa h» Nh¥n ch²o 2 ph÷ìng tr¼nh n cho nhau ta ÷ñc Nguy20y2(x2 ¹ y2) = 3x2(x2 + y2) , (x 2y)(2y + x)(5y2 3x2) = 0 r 5 V¼ x v y còng d§u n¶n n¶n tø ¥y ta suy ra x = 2y ho°c x = y 3 ¸n ¥y ch¿ vi»c thay v o (1). Xin nh÷íng l¤i cho b¤n åc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2; 1); (2;1); 4 p 30375 6 ; 4 p 135 2 ! ; 4 p 30375 6 ; 4 p 135 2 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 74. 70 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 126 p p p 7 + x + p 11 y = 6 7 + y + 11 x = 6 Gi£i Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta câ p p p p 7 + x + 11 x + 7 + y + 11 y = 12 n p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ tr¡i ta câ §p p V T (1 + 1)(7 + x + 11 x) + (1 + 1)(7 + y + 11 y) = 12 D§u b¬ng x£y ra khi (x; y) = (2; 2) Tu 2x2y2 + x2 + 2x = 2 C¥u 127 2x2y x2y2 + 2xy Minh = 1 Gi£i Bi¸n êi 1 t½, h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 2x2y2 + (x + 1)2 = 3 1)2 xy = 1 x ) x2y2 (xy + x + = 4 , 2xy(x + 1) = 1 xy = 3 x Vîi xy = 1 x thay v o (1) n ta câ x = 0(L) 2(1 x)2 + x2 + 2x = 2 , 2 1 Nguy¹x = ) y = 3 2 Vîi xy = 3 x thay v o (2) ta câ 2 2(x + 3)2 + x2 + 2x = 3 , 64 x = 8 3 ) y = 1 8 x = 2 ) y = 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2 3 ; 1 2 ; 8 3 ; 1 8 ; 2; 1 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 75. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 71 C¥u 128 (x 1)(y 1)(x + y 2) = 6 x2 + y2 2x 2y 3 = 0 Gi£i B i n y þ t÷ðng °t ©n phö ¢ rã r ng °t x 1 = a; y 1 = b ta ÷a v· h» sau n ab(a + b) = 6 a = 1; b = 2 x = 2; y = 3 , , a2 + b2 = 5 a = 2; b = 1 x = 3; y = 2 §Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 3); (3; 2) Tu (x p y)(x2 + xy + y2 + 3) = 3(x2 + y2) + 2 C¥u 129 p 4 x + 2 + 16 3y = x2 + 8 Gi£i 16 i·u ki»n : x 2; y 3 Minh Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng x3 y3 + 3(x y) = 3(x2 + y2) + 2 , (x 1)3 = (y + 1)3 , y = x 2 Thay v o (2) ta ÷ñc p p 4 x + 2 + 22 3x = x2 + 8 ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh væ t¿ khæng h¯n l d¹ xìi. C¡i hay cõa b i n y ð ¥y Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng n ÷ìng Nguy ¹ p x + 4 p 14 x 4 x + 2 + 22 3x = x2 x 2 3 3 0 , 4 BB@ 9(x + 2) x2 8x 16 9 p x + 2 + x + 4 2 1 CCA+ 0 BB@ 9(22 3x) x2 + 28x 196 9 p 22 3x + 14 x 3 1 CCA = x2 x 2 , x2 x 2 0 BB@ 1 + 4 9 p x + 2 + x + 4 3 + 1 9 p 22 3x + 14 x 3 1 CCA = 0 , x = 1 x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 0); (1;3) C¥u häi °t ra l v¼ sao l¤i chån ÷ñc nhúng biºu thùc kia º li¶n hñp. Mët sü t¼nh cí ch«ng? Khæng ! L c£ mët ph÷ìng ph¡p â ! Tæi xin vi¸t 1 b i nhä ð ¥y ti¸p Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 76. 72 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc èi mët ph÷ìng tr¼nh væ t¿, ph÷ìng ph¡p hay dòng nh§t â l nh¥n l÷ñng li¶n hñp. Tuy nhi¶n, nh¥n li¶n hñp công c¦n mët chót k¾ thuªt. èi vîi b i n y ta ti¸n h nh nh÷ sau Nh©m ho°c Casio ta th§y ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m x = 1; x = 2 èi vîi ph÷ìng tr¼nh câ 2 nghi»m trð n¶n th¼ c¡ch th¶m bît h¬ng sè v o méi c«n rçi li¶n hñp l khæng phò hñp, ð ¥y ta khæng th¶m bît h¬ng sè m th¶m h¯n mët biºu thùc ax+b n o â Tr÷îc h¸t vîi p x + 2 nh² Vîi x = 1 thay v o c«n câ gi¡ trà b¬ng 1, thay v o biºu thùc th¶m ta câ a + b = 1 Vîi x = 2 thay v o c«n câ gi¡ trà b¬ng 2, thay v o biºu thùc th¶m ta câ 2a + b = 2 n 1 4 Gi£i h» n y ra ta câ a = ; b = 3 3 x + 4 §Vªy biºu thùc c¦n ch±n v o â l p 3 T÷ìng tü vîi 22 3x . OK ??? Tu p p p x2 + x + y + 1 + x + p y2 + x + y + 1 + y = 18 C¥u 130 x2 + x + y + 1 x + y2 + x + y + 1 y = 2 Gi£i Þ t÷ðp ng °t ©n công ¢ p lë rçi °t x2 + x + y + 1 + y2 + x + y + 1 = a 0; x + y = b ta câ h» mîi Minh a + b = 18 a = 10 px+ y = 8 , , p a b = 2 b = 8 x2 + 9 + y2 + 9 = 10 ¥y l mët h» kh¡ ìn gi£n v câ p nhi·u c¡ch. Tèi ÷u nh§t â l p p x2 + 32 + y2 + 32 (x + y)2 + (3 + 3)2 = 10 ¯ng thùc x£y ra khi (x; y) n = (4; 4) Nguy ¹p p 12x + 3y 4 xy = 16 C¥u 131 p 4x + 5 + y + 5 = 6 Gi£i 5 i·u ki»n : x ; y 5; xy 0 4 Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta th§y ngay x; y 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p 12x + 3y = 16 + 2 4xy 16 + (4x + y) , 4x + y 8 Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta l¤i câ p 4x + 5 + p y + 5 p (1 + 1)(4x + y + 10) 6 ¯ng thùc x£y ra khi 4x = y 4x + y = 8 , x = 1 y = 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 4) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 77. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 73 C¥u 132 2x + (3 2xy)y2 = 3 2x2 x3y = 2x2y2 7xy + 6 Gi£i ¥y l mët h» c¦n kh£ n«ng bi¸n êi t÷ìng èi tèt. Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta th§y ngay n 2x(1 y3) = 3(1 y2) §TH1 : y = 1 thay v o (2) ta câ x3 7x + 6 = 0 , x = 1; x = 3; x = 2 TuTH2 : K¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh (2) ta g¥y düng mët h» mîi 2x + 2xy + 2xy2 = 3 + 3y() 2x2 x3y = 2x2y2 7xy + 6 Nh÷ng m ph÷ìng tr¼nh (2) l¤i t÷ìng ÷ìng : (xy 2)(2xy + x2 3) = 0 Sao m ph¥n t½ch hay th¸ ? Casio th¦n ch÷ìng ch«ng. Câ thº, nh÷ng ta h¢y vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2) mët chót Minh (2) , 2x2y2 + xy(x2 7) 2x2 + 6 = 0 x2 2 2 xy = 7 8 2x2 + 6 = x2 + 1 Th§y rçi chù ? Coi xy l ©n ch½nh, t½nh ra ÷ñc k¸t qu£ mÿ m¢n v tø â câ h÷îng ph¥n t½ch nh¥n tû nh÷ tr¶n TH1 : xy = 2 thay l¤i (*) n ta câ 1 y 2x + 4 + 4y = 3 + 3y ) x = Nguy¹2 ) y(1 + y) = 4 Ph÷ìng tr¼nh n y væ nghi»m n¶n tr÷íng hñp 1 væ nghi»m TH2 : 2xy = 3 x2 thay l¤i (*) ta câ 2 2x + 3 x2 + y(3 x2) = 3 + 3y ) y = 1 x 2 ) 2x 1 = 3 x2 , x = 1; y = 1 x Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) ; (3; 1) ; (2; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 78. 74 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 133 ( x (x + y) + p x + y = p 2y p 2y3 + 1 x2y 5x2 + 7 (x + y) 4 = 6 3 p xy x + 1 Gi£i i·u ki»n : y 0; x + y 0 Xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh ¦u, sû döng ph÷ìng ph¡p li¶n hñp n p p PT(1) , x2 + xy 2y2 = 2y x + y §(x y) , (x y) (x + 2y) = p p 2y + x + y 1 Rã r ng x + 2y = x + y + y 0; p p 0 n¶n tø â ta suy Tura x = y 2y + x + y Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc x3 5x2 + 14x 4 = 6 x2 x + 1 ¥y l mët lo¤i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ kh¡ quen thuëc. C¡ch gi£i tèt nh§t v¨n l th¶m bît v x²t h m. Tuy nhi¶n n¸u þ ç cõa ta l th¶m bît x2x+1 v o 2 v¸ º x²t h m t3 +6t câ v´ khæng th nh cæng v¼ v¸ tr¡i khæng ph¥n t½ch Minh ÷ñc v· d¤ng â. Ta h¢y kh²o l²o bi¸n êi mët chót nh÷ sau Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng x3 + 3x2 + 6x + 4 = 8x2 8x + 8 + 3 8x2 8x + 8 , (x + 1)3 + 3 (x + 1) = 8x2 8x + 8 + 3 8x2 8x + 8 Nh¼n th§y h m c¦n x²t rçi n chù ? f(t) = t3 + 3t v h m ìn i»u t«ng. Tø â ta câ , x + 1 = 8x2 8x + 8 , x = 1; y = 1 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (1; 1) Sû döng li¶n hñp công l ph÷ìng ph¡p kh¡ thó và. N¸u ta ¢ sû döng nâ tèt trong gi£i ph÷ìng tr¼nh væ t¿ rçi th¼ khi èi m°t vîi h» ph÷ìng tr¼nh, ch¿ c¦n mët chót nhªn x²t h¼nh thùc cõa h» v c¡c k¾ n«ng tung ra, câ thº ta s³ th nh cæng. H¢y c£nh gi¡c vîi nhúng b i h» m mët ph÷ìng tr¼nh chùa nhi·u c«n thùc, câ thº li¶n hñp s³ l án ¡nh tèt nh§t º ch²m µp nâ Ti¸p theo ta ¸n vîi mët c¥u h» sû döng li¶n hñp kh¡ khâ. Mong b¤n åc thù léi v¼ tæi khæng thº di¹n ¤t nêi v¼ sao tæi l¤i l m vªy. Mët kinh nghi»m khi t½nh giîi h¤n cõa h m sè ¢ gióp tæi gi£i quy¸t ÷ñc nâ. 3 p 3 p 3 p 3 p Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 79. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 75 C¥u 134 ( p x2 x y = y 3 p x y p 2x 1 = 11 2 (x2 + y2) 3 Gi£i 3 1 i·u ki»n : x= 6y; x ; x2 x y 0 2 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p p n x2 x y: x y = y , x2 x y Tu§Minh ¹n Nguyp 3 p + x y 1 p x2 x y y = 0 , p x2 x y (x y 1) 3 q 3 (x y)p 2 + x y + 1 + x2 x y y2 p x2 x y + y = 0 , (x y 1) 2 4 p x2 x y 3 q 3 (x y)p 2 + x y + 1 + x + y p x2 x y + y 3 5 = 0 3 p Th nh qu£ công câ chót ½t rçi. Gií ¥y ta ch¿ mong em trong ngo°c luæn d÷ìng ho°c ¥m Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta th§y ngay y v x y ph£i còng d§u. Gi£ sû y 0 th¼ suy ra x y 0 ) x y 0. Rã r ng væ l½ v¼ i·u ki»n l x 1 2 . Nh÷ vªy suy ra y 0 ) x y 0 v hiºn nhi¶n ng÷íi µp trong ngo°c s³ luæn d÷ìng Thð ph o nhµ nhãm ÷ñc rçi. Gií h÷ðng thö th nh qu£ ! Vîi y = x 1 thay v o (2) ta câ 2 x2 + (x 1)2 p 2x 1 = 11 , x = 3 5 2 , y = 3 2 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 2 ; 3 2 C¥u 135 x4 + 2xy + 6y (7 + 2y) x2 = 9 2yx2 x3 = 10 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng x4 7x2 + 9 2y(x2 x 3) = 0 , (x2 x 3)(x2 + x 3) 2y x2 x 3 = 0 TH1 : x2 x 3 = 0 , 2 64 x = 1 p 13 2 ) y = p 13 36 79 + x = 1 + p 13 2 ) y = p 13 36 79 TH2 : 2y = x2 + x 3 thay v o (2) ta câ x2 + x 3 x2 x3 = 10 , 2 64 x = p 5 ) y = 1 p 5 2 p 5 ) y = 1 + x = p 5 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 80. 76 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 1 p 13 2 ; p 13 36 79 + ! ; 1 + p 13 2 ; p 13 36 79 ! ; p 5; 1 p 5 2 ! ; p 5; 1 + p 5 2 ! C¥u 136 Tu§n Minh n Nguy¹8 : 1 + xy + p xy = x 1 x p x + y p y = 1 p x + 3 p y Gi£i i·u ki»n : x 0; y 0 Cù quy çng (2) l¶n ¢. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 1 + xy p xy = x + 3x p xy , 1 + xy p xy = (1 + 3 p xy)x , 1 + xy p xy = (1 + 3 p xy)(1 + xy + p xy) ¸n ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh ©n p xy . Gi£i ph÷ìng tr¼nh n y ta t¼m ÷ñc p xy = 0 ) x = 1; y = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0) C¥u 137 ( x2y + y = 2 x2 + 1 x2 + x2y2 = 3 Gi£i i·u ki»n : x6= 0 B i n y n¸u th¸ tr¥u bá y xuèng d÷îi nâ s³ ra bªc 4 ©n x2. Hìi v§t v£. Tuy nhi¶n, ch¿ vîi mët v i bi¸n êi ìn gi£n nh÷ng væ còng tinh t¸, ta s³ ÷a v· mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ d¹ gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( y(x2 + 1) = 2 y2(x2 + 1) = 3 1 x2 L§y ph÷ìng tr¼nh d÷îi chia cho tr¶n ta s³ thu ÷ñc y = 3x2 1 2x2 M theo (1) ta l¤i câ y = 2 x2 + 1 nh÷ vªy ta câ 3x2 1 2x2 = 2 x2 + 1 , x2 = 1 ) y = 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 81. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 77 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 138 Tu§n Minh n Nguy¹8 : 1 x + 1 2y = 2(x2 + y2) 1 x 1 2y = y2 x2 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 ang th§y têng v hi»u cõa 2 èi t÷ñng. Theo b£n n«ng ta s³ l¦n l÷ñt cëng trø 2 ph÷ìng tr¼nh º ÷a v· mët èi t÷ñng. Vªy l§y (1) + (2) v (1) (2) ta g¥y düng mët h» mîi 8 : 2 x = 3y2 + x2 1 = 3x2 + y2 y , 2 = 3y2x + x3 1 = 3x2y + y3 Løng lúng mët h» ¯ng c§p tr÷îc mt. Nh÷ng íi khæng nh÷ l mì. N¸u °t x = ty s³ ra nghi»m t x§u nh÷ mët con g§u. Vîi lo¤i n y ta l m gäi b¬ng c¡ch cëng ho°c trø c¡c ph÷ìng tr¼nh. N¸u l´ th¼ h¯n ph£i câ d¤ng n o â °c bi»t. Coi hai ph÷ìng tr¼nh sau còng l (3) v (4). L§y (3) + (4) v (3) (4) ta câ h» mîi x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 3 x3 3x2y + 3xy2 y3 = 1 , (x + y)3 = 3 (x y)3 = 1 , 8 : x = 3 p 3 + 1 2 y = 3 p 3 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 3 + 1 2 ; 3 p 3 1 2 ! C¥u 139 8 : 1 3x + 2x 3y = x + p y 2x2 + y 2(2x + p y) = p 2x + 6 y Gi£i B i to¡n ¢ tøng xu§t hi»n trong k¼ thi váng 2 håc sinh giäi th nh phè H Nëi v nhanh châng lan täa. º þ mët c¡ch tinh t¸ ta s³ nhªn ra sü thu¦n nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¦u vîi 2 bi¸n x p v y i·u ki»n : y 0;3 x6= 0 °t p y = tx ) y = t2x2 thay t§t c£ v o (1) ta ÷ñc 1 3x + 2x 3t2x2 = x + tx 2x2 + t2x2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 82. 78 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Rót gån bi¸n x ta ÷a v· ph÷ìng tr¼nh ©n t. Cö thº l (t 2)2(t2 + t + 1) = 0 , t = 2 , p y = 2x 0 Thay v o (2) ta ÷ñc 4x2 + 8x = p 2x + 6 25 p 1 , 4x2 + 10x + = 2x + 6 + 2x + 6 + 4 4 n 5 2 p 1 2 , 2x + = 2x + 6 + 2 2 §p p 17 3 13 3 17 ¸n ¥y ìn gi£n rçi ! Chó þ i·u ki»n x 0. Ta s³ gi£i ra x = ) y = p p ! 4 2 17 3 13 3 17 TuVªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 4 2 p 3 (y + 1)2 p = x y C¥u 140 x + 8y = x y Minh 9 Gi£i Mët chót nh©m nghi»m ÷a ta ¸n þ t÷ðng ¡nh gi¡ cho b i n y i·u ki»n : x y 9 Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta th§y ngay n p x y = 3 (y + 1)2 3 , x y 9 ¯ng thùc x£y ra khi x = 8 v y = 1 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (8;1) ¥y l mët v½ dö dòng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ nâi chung l ìn gi£n. Tuy nhi¶n èi vîi nhi·u ng÷íi, ¥y v¨n l mët c¥u kh¡ hâc n¸u khæng tinh þ nhªn ra. Hiºn nhi¶n rçi ! ¡nh gi¡ luæn l ph÷ìng ph¡p thuëc lo¤i khâ nh§t trong gi£i h» ph÷ìng tr¼nh. Vi»c sû döng ¡nh gi¡ ho n to n l kinh nghi»m v k¾ n«ng trong qu¡ tr¼nh l m b i chù nâ khæng câ mët cæng thùc hay ph÷ìng ph¡p n o c£. ¡nh gi¡ th÷íng hay sû döng nh§t th÷íng l : ÷a ph÷ìng tr¼nh v· têng c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m, ¡nh gi¡ sü r ng buëc tr¡i ng÷ñc cõa c¡c ©n, biºu thùc (v½ dö tr¶n), ho°c sû döng c¡c B§t ¯ng thùc thæng döng. ¡nh gi¡ tèt tr÷îc h¸t ph£i nm chc c¡c b§t d¯ng thùc thæng döng, nh¼n bao qu¡t to n bë h» º ph¡c ra sü r ng buëc cõa c¡c ©n. Trong cuèn s¡ch tæi s³ cán giîi thi»u kh¡ nhi·u nhúng c¥u ¡nh gi¡ r§t khâ. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 83. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 79 C¥u 141 x2y2 + y4 + 1 = 3y2 xy2 + x = 2y Gi£i Th§y y = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §n TuMinh ¹n Nguy8 : x2 + y2 + 1 y2 = 3 xy + x y = 2 , 8 : x2 + y + 1 y 2 = 5 x y + 1 y = 2 °t a = y + 1 y ; jaj 2 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x2 + a2 = 5 xa = 2 , 2 664 x = 1; a = 2 x = 2; a = 1(L) x = 1; a = 2 x = 2; a = 1(L) , x = 1; y = 1 x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1) C¥u 142 8 : 1 x + 1 y = 3 xy 1 x2 + 1 y2 = 7 3x2y2 + 2 xy Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 º þ n¸u ta b¼nh ph÷ìng (1) rçi th¸ xuèng (2) s³ ch¿ cán l¤i ©n xy Tø (1) ta suy ra 1 x2 + 2 xy + 1 y2 = (3 xy)2 , 1 x2 + 1 y2 = (3 xy)2 2 xy Thay xuèng (2) v ta thu ÷ñc (3 xy)2 2 xy = 7 3xy 2 xy , 2 64 xy = 1 ) 1 x + 1 y = 2 xy = 2 ) 1 x + 1 y = 1 , x = 1 y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 84. 80 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 143 8 : (xy + 3)2 + (x + y)2 = 8 x x2 + 1 + y y2 + 1 = 1 4 Gi£i Mët b i to¡n tæi ¡nh gi¡ l hay. Tr÷îc h¸t câ l³ cù khai triºn c¡i (1) ra ¢ n PT(1) , x2y2 + 6xy + 9 + x2 + 2xy + y2 = 8 , x2y2 + x2 + y2 + 1 = 8xy §, (x2 + 1)(y2 + 1) = 8xy ¸n ¥y chc h¯n ¢ nh¼n ra rçi nh¿ ? Nhªn th§y x = 0 hay y = 0 Tu·u khæng l nghi»m cõa h». Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â s³ l x2 + 1 y2 + 1 : = 8 x y x y ¸n ¥y °t = a , = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x2 + 1 y2 + 1 2 Minh ( a + b = 1 4 1 , = 8 ab n Nguy¹666666664 8 : a = 1 2 1 b = 8 4 : a = 1 4 b = 1 2 , 2 666666664 8 : x x2 + 1 = 1 2 8 y 1 = y2 + 1 4 : x x2 + 1 = 1 4 y y2 + 1 = 1 2 , 2 664 x = 1 y = 2 p 3 x = 2 p 3 y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2 p 3); (1; 2 + p 3); (2 p 3;1); (2 + p 3;1) C¥u 144 x2(y + 1) = 6y 2 x4y2 + 2x2y2 + y(x2 + 1) = 12y2 1 Gi£i R§t khâ º t¼m ÷ñc g¼ khi x²t tøng ph÷ìng tr¼nh, ho°c c£ hai, tèt nh§t h¢y dòng sü tr¥u bá º l m H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x2 + 1) (y + 1) = 7y 1 y2(x2 + 1)2 + y(x2 + 1) = 13y2 1 Th¸ x2 + 1 = 7y 1 y + 1 xuèng (2) ta câ y2 7y 1 y + 1 2 + y: 7y 1 y + 1 = 13y2 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 85. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 81 , 36y4 33y3 5y2 + y + 1 = 0 , y = 1 y = 1 3 ) x2 + 1 = 3 x2 + 1 = 1 , x = p 2 x = 0 p 2; 1); ( Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( p 2; 1); 0; 1 3 n x2 + y2 p = 5 C¥u 145 p y 1(x + y 1) = (y 2) x + y §Gi£i Tui·u ki»n : y 1; x + y 0 Khæng l m «n g¼ ÷ñc p p tø (1). Ta s³ ph¥n t½ch (2) °t x + y = a 0; y 1 = b 0 . Ph÷ìng tr¼nh (2) s³ t÷ìng ÷ìng b(a2 1) = a(b2 1) , (a b)(ab + 1) = 0 , a = b , x = 1 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; Minh 2) 2x(x + 1)(y + 1) + xy = 6 C¥u 146 2y(y + 1)(x + 1) + xy = 6 Gi£i H» nh¼n câ v´ kh¡ èi xùng n nh÷ng h» sè l¤i èi nhau. Thâi quen khi th§y kiºu b i n y l ta cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i. Nguy¹PT(1) + PT(2) , 2(x + y)(xy + x + y + 1) + 2xy = 0 , (x + y + 1)(x + y + xy) = 0 TH1 : x = (y + 1) thay v o (2) ta câ 2y2(y + 1) y(y + 1) = 6 , y = 2 ) x = 1 TH2 : xy + x + y = 0 . K¸t hñp th¶m vîi ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau (2) , 2y(xy + x + y + 1) + xy = 6 , 2y + xy = 6 , 2y (x + y) = 6 , y = 6 + x p p p p Thay l¤i v o tr÷íng hñp 2 v ta t¼m th¶m (x; y) = ( 10 4; 10 + 2); (4 10; 2 10) p p p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;2); ( 10 4; 10 + 2); (4 10; 2 p 10) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 86. 82 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 147 6x4 (x3 x)y2 (y + 12)x2 = 6 5x4 (x2 1)2:y2 11x2 = 5 Gi£i Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m cõa h» n y Chia c£ hai ph÷ìng tr¼nh cho x2 ta câ §n TuMinh ¹n Nguy8 : 6x2 + 6 x2 x 1 x y2 y 12 = 0 5x2 + 5 x2 x 1 x 2 y2 11 = 0 , 8 : x 6 1 x 2 x 1 x y2 y = 0 x 5 1 x 2 x 1 x 2 y2 1 = 0 ¸n ¥y °t x 1 x = a. H» trð th nh 6a2 ay2 y = 0 5a2 a2y2 1 = 0 , a = 1 2 ; y = 1 a = 1; y = 2 , 2 666664 ( x 1 x = 1 2 ( y = 1 x 1 x = 1 y = 2 , 2 6666664 8 : x = 1 p 17 4 y = 1 x = 8 : p 5 2 1 y = 2 Nhi·u b¤n s³ b«n kho«n l h» kia gi£i ra a v y th¸ n o. Th¼ tæi gñi þ l chia c£ 2 ph÷ìng tr¼nh cho a2 rçi °t y + 1 a = X; y a = Y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 1 p 17 4 ! ; ; 1 1 p 5 2 ! ; 2 C¥u 148 p y + 1 = 3 x 2 x3 4x2 p y + 1 9x 8y = 52 4xy Gi£i i·u ki»n : y 1 Nh¼n th§y p y + 1 ð ph÷ìng tr¼nh (2) cho ta li¶n t÷ðng ¸n ph²p th¸ ð ¥y. Câ l³ s³ ph£i chìi tr¥u bá vîi h» n y Tø (1) ta suy ra 2 p y + 1 = x 3 v y = x2 6x + 5 4 . Thay t§t c£ xuèng (2) ta ÷ñc x3 2x2(x 3) 9x 2(x2 6x + 5) = 52 x(x2 6x + 5) , x = 3(L) x = 7 ) y = 3 Tæi lo¤i x = 3 v¼ tø ph÷ìng tr¼nh ¦u º câ nghi»m th¼ x 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (7; 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 87. 2.5 C¥u 121¸n c¥u 150 83 C¥u 149 8 : x2 + y2 + x = 3 x2 4y2 + 2xy x + y 1 = 1 Gi£i i·u ki»n : x + y6= 1 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng n (x2 4y2)(x + y 1) + 2xy = (x + y 1) §Ph¥n t½ch nh¥n tû ta ÷ñc (x + 2y 1)(x2 2y2 xy + y + 1) = 0 TuTH1 : x + 2y 1 = 0 thay v o (1) d¹ d ng t¼m ÷ñc p p ! p p ! 1 2 14 3 + 14 2 14 1 3 14 (x; y) = ; ; ; 5 5 5 2 TH2: K¸t hñp vîi (1) ta thi¸t lªp mëMinh t h» mîi x2 2y2 xy + y + 1 x2 + y2 + x = 3 H» n y ¢ câ c¡ch gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p UCT tæi n¶u ð kho£ng c¥u 20. Ð ¥y s³ l PT(1) PT(2) , 3y2 + xy + x y 4 = 0 , (y + 1)(x + 3y 4) = 0 ¸n ¥y d¹ d ng rçi H» ¢ cho câ nghi»m p n p ! p p ! 1 2 14 3 + 14 2 14 1 3 14 11 17 (x; y) = ; ; ; ; ; ; (1; 1); (1;1); (2;1) 5 5 5 2 10 10 Nguy¹ p p 2x2 2xy + 3x 2y 1 = 3 (x2 1)(x y) C¥u 150 p p x + 1 + x y = 2x y + 2 Gi£i i·u ki»n : x 1; x y Ph÷ìng tr¼nh (1) cho kh¡ rc rèi n¶n thû khai th¡c (2) xem sao. Vîi h¼nh thùc nh÷ tr¶n câ l³ b¼nh ph÷ìng l gi£i ph¡p tèt nh§t. PT(2) khi â s³ t÷ìng ÷ìng p (x + 1)(x y) = 2x y + 2 , 2x y + 1 + 2 p (x + 1)(x y) = 1 2 () Thªt tinh þ th¼ v¸ ph£i cõa (1) s³ l p (x + 1)(x y)(x 1) = 3 3 2 p x 1 : Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 88. 84 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Kh¡ gån µp, nh÷ng ta muèn gån hìn núa cì. Tø (*) ta l¤i câ x2 xy + x y = 1 4 Mët chót bi¸n êi v¸ tr¡i cõa (1) ta ÷ñc 1 1 2(x2 xy + x y) + x 1 = + x 1 = x 2 2 n Vªy ph÷ìng tr¼nh (1) sau khi k¸t hñp ÷ñc tø (2) s³ l 2 §p 2x 1 = 3 x 1 , TuMinh n Nguy¹64 x = 2 ) y = 23 12 x = 5 4 ) y = 41 36 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m :(x; y) = 2; 23 12 ; 5 4 ; 41 36 2.6 C¥u 151 ¸n c¥u 180 C¥u 151 p 6xy = 0 8x2 + 18y2 + 36xy 5(2x + 3y) 2x2 + 3y2 = 30 Gi£i i·u ki»n : xy 0 Nhªn th§y ngay sü thu¦n nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¦u, °t y = tx ho°c chia cho x2 luæn ch«ng ? Khæng n¶n. H¢y bi¸n êi º gi£m sü cçng k·nh ¢. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p 6xy , (2x + 3y 2 2(2x + 3y)2 + 12xy 5(2x + 3y) p 6xy)(4x + 6y p 6xy) = 0 TH1 : p 6xy , 2x + 3y = 2 x; y 0 4x2 + 12xy + 9y2 = 24xy , 2x = 3y Thay v o (2) ta ÷ñc 9y2 2 + 3y2 = 30 , y = 2 ) x = 3 TH2 : 4x + 6y = p 6xy , x; y 0 16x2 + 48xy + 36y2 = 6xy , x; y 0 8x2 + 21xy + 18y2 = 0(V L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 89. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 85 C¥u 152 8 : r x2 + y2 2 + r x2 + xy + y2 3 = x + y x p 2xy + 5x + 3 = 4xy 5x 3 Gi£i p i·u ki»n : 2xy + 5x + 3 0 Nhªn th§y ngay sü thu¦n nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh (1). Tuy nhi¶n n¸u °t y = tx s³ n ra mët ph÷ìng tr¼nh ©n t khæng ph£i l d¹ chìi. Tuy nhi¶n nhªn x²t ð ¥y x = y 0 thäa m¢n (1). Câ thº câ ¡nh gi¡ n o ch«ng ? N¸u b¤n cán nhî kiºu t¡ch nh÷ c¥u 115 th¼ s³ kh§¡ ìn gi£n. Ta l m nh÷ sau r r x2 + y2 1 1 = (x + y)2 + (x y)2 2 4 4 TuMinh ¹n Nguy
- 93. x + y 2
- 97. r x2 +xy + y2 3 = r 1 4 (x + y)2 + 1 12 (x y)2
- 101. x + y 2
- 105. Vªy V T jx + yj x + y. ¯ng thùc x£y ra khi x = y 0 thay v o (2) ta câ x p 2x2 + 5x + 3 = 4x2 5x 3 , 2x2 + 5x + 3 + x p 2x2 + 5x + 3 6x2 = 0 , p 2x2 + 5x + 3 2x p 2x2 + 5x + 3 + 3x = 0 , p 2x2 + 5x + 3 = 2x , x = 3; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 3) C¥u 153 8 : x + p x2 y2 x p x2 y2 = 9x 5 x y = 3x + 5 30 6y Gi£i i·u ki»n : y6= 0; y6= 5; x2 y2 Mët c¥u h» thuëc lo¤i kh¡ khâ chìi. Ta s³ khai th¡c tø (2). Suy ra y = 30x 9x + 5 , 9x + 5 = 30x y , 9x 5 = 6x y 1 Th¸ l¶n (1) çng thíi chót ½t bi¸n êi ta ÷ñc x + p x2 y2 2 x2 (x2 y2) = 6x y y , 2x2 y2 + 2x p x2 y2 = 6xy y2 , x = 0 x + p x2 y2 = 3y ) x2 y2 = 9y2 6xy + x2 , x = 0(L) x = 5 3 y Vîi x = 5 3 y d¹ d ng gi£i ra x = 5; y = 3 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5; 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 106. 86 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 154 p 3 + 2x2y x4y2 + x2(1 2x2) = y4 1 + p 1 + (x y)2 + x2(x4 2x2 2xy2 + 1) = 0 Gi£i Trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc p p 4 (x2y 1)2 = 1 + 1 + (x y)2 + (x3 y2)2 n D¹ th§y V T 2 V P §D§u b¬ng x£y ra khi x = y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) TuC¥u 155 Minh n Nguy¹8 : 1 p 1 + 2x2 + 1 p 1 + 2y2 = 2 p 1 + 2xy p x(1 2x) + p y(1 2y) = 2 9 Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong · VMO-2009. B i n y y¶u c¦u c¦n mët chót ki¸n thùc v· b§t ¯ng thùc mîi câ thº gi£i quy¸t ÷ñc i·u ki»n : 0 x; y 1 2 °t a = p 2x; b = p 2y , a; b 2 0; 1 p 2 . Ta câ V T = 1 p 1 + a2 + 1 p 1 + b2 s 2 1 1 + a2 + 1 1 + b2 Ta sû döng bê · vîi a; b 0 v ab 1 ta câ b§t ¯ng thùc 1 1 + a2 + 1 1 + b2 2 1 + ab Thªt vªy b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng (a b)2(ab 1) (1 + ab)(1 + a2)(1 + b2) 0 (óng) Vªy V T 2 p 1 + ab = V P ¯ng thùc x£y ra khi x = y thay v o (2) v ta d¹ d ng t¼m ra (x; y) = 9 p 73 36 ; p 73 36 9 ! ; 9 + p 73 36 ; p 73 36 9 + ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 107. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 87 C¥u 156 xy x + y = 3 4x3 + 12x2 + 9x = y3 + 6y + 5 Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong mët · thi chån ëi tuyºn håc sinh giäi cõa ¤i håc Vinh. ¥y l mët b i to¡n kh¡ khâ v mang t½nh ¡nh è cao v· þ t÷ðng. Câ thº sû döng UCT d¤ng n¥ng cao º gi£i quy¸t nâ nh÷ng tæi khuy¶n khæng n¶n dòng. Ta l m nh÷ sau. H» t÷ìng ÷ìn ng 3xy 3x + 3y = 9 §4x3 + 12x2 + 9x = y3 + 6y + 5 Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc Tu4x3 + 12x2 + 12x + 4 = y3 + 3xy + 9y , 4(x + 1)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 9y , 4(x + 1 + y)[(x + 1)2 (x + 1)y + y2] = 3y(y2 + x + 3) B÷îc then chèt l ¥y. Ta th¸ x = xy + y 3 thay v o v¸ ph£i ta câ , 4(x + y + 1)[(x + 1)2 Minh (x + 1)y + y2] = 3y(y2 + xy + y 3 + 3) , 4(x + y + 1)[(x + 1)2 (x + 1)y + y2] = 3y2(x + y + 1) , (x + y + 1)(2x + 2 y)2 = 0 Vîi y = x 1 thay v o (1) ta ÷ñc x3 + 3x + 4 = 0 (2 Væ nghi»m) Vîi y = 2x + 2 thay v o (1) ¹n ta ÷ñc 2x2 + 3x 1 = 0 Nguy64 x = p 17 4 3 + x = p 17 4 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 + p 17 4 ; 1 + p 17 2 ! ; 3 p 17 4 ; 1 p 17 2 ! Thªt khâ º ngh¾ ÷ñc mët ph²p th¸ kh¡ £o nh÷ th¸ kia ph£i khæng ? B i to¡n n y câ kh¡ nhi·u phi¶n b£n kh¡c, thªt ng¤c nhi¶n l c¡ch gi£i g¦n nh÷ gièng h»t phi¶n b£n n y. Tæi s³ giîi thi»u th¶m mët sè c¥u cho b¤n åc. C¥u 157 xy x y = 1 4x3 12x2 + 9x = y3 + 6y + 7 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng : 3xy 3x 3y = 3 4x3 12x2 + 9x = y3 + 6y + 7 Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc 4(x 1)3 = y3 + 3xy + 3y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 108. 88 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , 4(x 1)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 3y , 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y(y2 + x + 1) , 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y(y2 + xy y 1 + 1) , 4(x + y 1)[(x 1)2 (x 1)y + y2] = 3y2(x + y 1) , (x + y 1)(2x 2 y)2 = 0 Vîi y = 1 x thay v o (1) ta ÷ñc x2 x + 2 = 0 (Væ nghi2 »m) n Vîi y = 2x 2 thay v o (1) ta ÷ñc 2x2 5x + 1 = 0 , Tu§Minh n Nguy¹64 x = 5 p 17 4 x = 5 + p 17 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 p 17 4 ; 1 p 17 2 ! ; 5 + p 17 4 ; 1 + p 17 2 ! C¥u 158 xy x + 2y = 4 4x3 + 24x2 + 45x = y3 + 6y 20 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 6y 3x + 3xy 12 = 0 4x3 + 24x2 + 45x = y3 + 6y 20 Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc 4x3 + 24x2 + 48x + 32 = y3 + 3xy + 12y , 4(x + 2)3 + 4y3 = 3y3 + 3xy + 12y , 4(x + y + 2) (x + 2)2 (x + 2)y + y2 = 3y(y2 + x + 4) Th¸ x = xy + 2y 4 v o v¸ ph£i ta ÷ñc , 4(x + y + 2) (x + 2)2 (x + 2)y + y2 = 3y(y2 + 2y + xy 4 + 4) = 3y2(x + y + 2) , (x + y + 2) 4(x + 2)2 4(x + 2)y + y2 = 0 Vîi y = x 2 thay v o (1) ta ÷ñc x2 5x + 8 = 0 (Væ nghi»m) Vîi y = 2x + 2 thay v o (1) ta ÷ñc 2x2 7x + 4 = 0 , 2 64 x = p 17 7 4 x = p 17 + 7 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 17 7 4 ; 1 + p 17 2 ! ; p 17 + 7 4 ; 1 p 17 2 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 109. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 89 C¥u 159 p x + 1 = 3 y (y 1) (4x + 13) p x + 1 = y3 6(2x y) 7 Gñi þ : °t p x + 1 = a s³ ÷a v· c¥u 156 3 p 3 p n x4 2x = y4 y C¥u 160 (x2 y2)3 = 3 §Gi£i TuB i to¡n xu§t hi»n trong mët · thi chån ëi tuyºn cõa tr÷íng THPT Chuy¶n - ¤i Håc S÷ Ph¤m H Nëi. Tho¤t nh¼n qua h¼nh thùc cõa h» n y kh¡ gån nhµ. Tuy nhi¶n ¥y l mët c¥u thuëc lo¤i r§t khâ, y¶u c¦u kh£ n«ng bi¸n êi cao, °c bi»t l sü xu§t hi»n kh¡ b½ ©n cõa con sè 3 ð ph÷ìng tr¼nh (2). °t x + y = a; x y = b ta suy ra (ab)3 = 3 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng : (x2 y2)(x2 + y2) = 2x y Gií h¢y ÷a h¸t v· a v b. Th¼ ta câ a + Minh b 2 a b 2 a + 3b x2 + y2 = + ; 2x y = 2 2 2 Thay t§t c£ v o (1) v ta ÷ñc ! a + ab 2 n b 2 a b 2 a + 3b + = , ab(a2 + b2) = a + 3b 2 2 ¸n ¥y câ v´ ch÷a s¡ng sõa g¼ hìn ? Th¸ nh÷ng, con sè 3 b½ ©n kia xu§t hi»n. Ta thû thay Nguy3 = (ab)3 v o xem sao. ¹Khi â (1) trð th nh ab(a2 + b2) = a + (ab)3b , a(a2b + b3 1 a2b4) = 0 , a(b3 1)(1 a2b) = 0 Th nh qu£ ¢ ¸n. Gií ¢ ìn gi£n hìn r§t nhi·u rçi Vîi a = 0 hiºn nhi¶n væ l½ x y = 1 Vîi b = 1 ) a = 3 , , x + y = 3 8 : x = 1 + 3 p 3 2 y = 3 p 3 1 2 Vîi a2b = 1 , (ab)a = 1 , a = 1 3 p 3 ) b = ( 3 p 3)2 , 8 : x + y = 1 3 p 3 x y = ( 3 p 3)2 , 8 : x = 2 3 p 3 y = 1 3 p 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 1 + 3 p 3 2 ; 3 p 3 1 2 ! ; 2 3 p 3 ; 1 3 p 3 Tæi s³ ÷a th¶m mët c¥u þ t÷ðng t÷ìng tü nh÷ng mùc ë khâ hìn mët tµo. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 110. 90 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 161 8 : x4 y4 = 3 4y 1 2x (x2 y2)5 + 5 = 0 Gi£i °t x + y = a; x y = b th¼ (ab)5 = 5. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng n 4xy(x4 y4) = 3x 2y , 4xy(x2 y2)(x2 + y2) = 3x 2y §Ta câ 1 1 Tua + 5b 4xy = (a + b)(a b); x2 + y2 = (x + y)2 + (x y)2= (a2 + b2); 3x 2y = 2 2 2 Thay t§t c£ v o (1) ta ÷ñc 1 a + 5b (a + b)(a b):ab: (a2 + b2) = 2 2 , ab(a4 b4) = a + 5b , ab(a4 b4) = a (ab)5b , a(a4b b5 1 + a4b6) = 0 , a(b5 + 1)(a4b 1) = 0 TH1 : a = 0 hiºn nhi¶n væ lþ Minh x + y = 5 TH2 : b = 1 ) a = 5 ) , x y = 1 n Nguy5 5 p ¹p 8 : x = 5 p 5 1 2 y = 5 p 5 + 1 2 TH3 : a4b = 1 , (ab) :a3 = 1 , 5 p 5a3 = 1 , a = 1 15 p 5 p 54 , ; b = 15 8 : x + y = 1 15 p 5 p 54 x y = 15 , 8 : x = p 55 1 2 15 15 p 5 y = p 55 + 1 2 15 15 p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 p 5 1 2 ; 5 p 5 + 1 2 ! ; p 55 1 2 15 15 p 5 ; p 55 + 1 2 15 15 p 5 ! C¥u 162 x4 y4 = 240 x3 2y3 = 3(x2 4y2) 4(x 8y) = 0 Gi£i ¥y l c¥u VMO-2010. Líi gi£i ngn gån cõa nâ s³ l PT(1) 8:PT(2) , (x 2)4 = (y 4)4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 111. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 91 ¸n ¥y d¹ d ng t¼m nghi»m : (x; y) = (4; 2); (4;2) C¥u häi °t ra ð ¥y l sû döng UCT. Tæi xin tr¼nh b y 2 c¡ch sau ¥y. C¡ch 1 : T¼m quan h» tuy¸n t½nh düa v o nghi»m D¹ th§y c°p nghi»m cõa h» l (4,2) v (-4,-2) n¶n ta ngh¾ quan h» ð ¥y l x = 2y. Thay v o h» v ta rót ra 5 y2 + 4 :PT(1) 2y:PT(2) Tuy nhi¶n, nh¼n v o §y d¹ d ng th§y ¥y l mët c¡ch kh¡ tr¥u bá. Ð ¥y ta °t x = n y + t º gi£m bªc cõa (1) xuèng bªc 3 çng thíi (2) v¨n l bªc 3. V¼ c°p nghi»m l (4,2) v (-4,-2) n¶n ta ngh¾ ¸n x = 6 y ho°c x = 6 y Vîi §x = 6 y th¼ h» trð th nh 24 (y 2) (y2 7y + 22) = 0 3 (y 2) (y2 7y + 22) = 0 Tu , PT(1) 8PT(2) $ (x + y 6) (x y + 2) (x 2)2 + (y 4)2Vîi x = 6 y ta khæng t¼m ra k l h¬ng sè n¶n lo¤i. C¡ch 2 : Nhªn x²t c¡c bi¸n x; y ëc lªp vîi nhau n¶n ta hi vong ÷a v· ÷ñc h¬ng ¯ng thùc Nh÷ vªy ta s³ t¼m sè k sao cho PT(1) + k:PT(2) Minh , (x + )4 (y +
- 112. )4 = 0 C¥n b¬ng h» sè ta ÷ñc ¹n Nguy8 : k = 8 = 2
- 113. = 4 VªyPT(1) 8PT(2) , (x 2)4 = (y 4)4. OK rçi chù ? Tæi l¤i ÷a th¶m mët v½ dö núa cho b¤n åc C¥u 163 x4 y4 = 1215 2x3 4y3 = 9(x2 4y2) 18(x 8y) Gñi þ : PT(1) 6:PT(2) , (x 3)4 = (y 6)4 Nghi»m : (x; y) = (6;3); (6; 3) C¥u 164 xy x + y = 2 x3 4x2 + x + 18 = 2y3 + 5y2 y Gi£i º mîi m´ mët chót tæi xin dòng ph÷ìng ph¡p ch¥n qu¶ nh§t câ thº, â l th¸ tr¥u bá. Tø (1) th§y ngay x = 1 khæng l nghi»m v ta suy ra y = x + 2 x + 1 th¸ xuèng (2) ta ÷ñc x3 4x2 + x + 18 = 2 x + 2 x + 1 3 + 5 x + 2 x + 1 2 x + 2 x + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 114. 92 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Rót gån ta ÷a v· mët ph÷ìng tr¼nh bªc 6 nh÷ sau x6 x5 8x4 + 4x3 + 20x2 4x 16 = 0 Mët ph÷ìng tr¼nh bªc 6 ¦y õ. Ch½ ½t ta mong r¬ng s³ t¼m ra ½t nh§t 2 nghi»m º câ thº rót gån xuèng bªc 4.Ð ¥y dòng Casio s³ rót ra ÷ñc 2 nghi»m x = p 2. Vªy ¢ câ nh¥n tû l x2 2 rçi. Ph÷ìng tr¼nh trð th nh (x2 2)(x4 x3 6x2 + 2x + 8) = 0 n Gií ta x²t ph÷ìng tr¼nh x4 x3 6x2 + 2x + 8 = 0. Tæi s³ tr¼nh b y coi nh÷ l ph÷ìng ph¡p gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4 têng qu¡t luæn cho b¤n åc. §Tr÷îc h¸t h¢y ÷a c¡c ph¦n tû x4 x3 tèng h¸t v o trong mët b¼nh ph÷ìng, ph¦n cán l¤i ©y sang ph£i. Tùc l x2 25x2 x 2 25x2 Tux4 x3 + = 2x 8 , x2 = 2x 8 4 4 2 4 x 2 x 25x2 , x2 + k = k2 + 2k x2 + 2x 8 2 2 4 x 2 25 , x2 + k = 2k + x2 (k + 2)x + k2 8 2 4 Ta ph£i t¼m k º v¸ ph£i trð th nh bMinh ¼nh ph÷ìng. Tùc l x 0 r 25 17 , (k + 2)2 = 4 2k + (k2 8) , k = 3; k = 4 2 T§t nhi¶n ta chån gi¡ trà µp nh§t l k = 3. Thay v o ph÷ìng tr¼nh ta câ n x 2 x2 x2 3 = x + 1 2 4 x 2 x 2 , x2 3 = 1 2 2 Nguy¸n ¥y d¹ d ng t¼m ¹p p 1 17 ra x = f 2; g 2 p p ! p p 1 17 1 17 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 2; 2); ; 2 4 C¥u 165 8 : x y 1 = 2 p y p x + p y = (2x 5y)2 x y Gi£i i·u ki»n : x; y 0; x6= y p Tø (1) ta câ x = y + 1 2 thay v o (2) t÷ìng ÷ìng p y + 1 + p y = h 2 p y + 1 2 5y i2 p y + 1 2 y , (2 p y + 1)2 = (4 p y + 2 3y)2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 115. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 93 p y + 1 = a; 3y = b th¼ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng °t 2 a2 = (2a b)2 , 3a2 4ab + b2 , a = b 3a = b p y + 1 , y = 1 ) x = 4 Vîi a = b , 3y = 2 p p p Vîi 3a = b , y = 2 y + 1 , y = 3 + 2 2 ) x p = 6 + 4 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (4; 1); (6 + 4 2; 3 + 2 2) §n 16x2y2 17y2 = 1 C¥u 166 4xy + 2x 7y = 1 TuGi£i Ta thüc hien bi¸n êi (2) nh÷ sau (2) , 4xy + 1 = 7y 2x ) 16x2y2 + 8xy + 1 = 4x2 28xy + 49y2 17y2 4x2 Minh 49y2 4(x2 8y2) x = y , + 8xy = 28xy + , 9xy + , x = 8y x = 1 ) y = 1(TM) Vîi x = y thay v o (2) ta câ 4x2 5x + 1 = 0 , 1 1 x = ) y = (TM) 4 4 Vîi x = 8y thay v o (2) ta câ 32y2 9y + 1 = 0(V L) 1 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = (1; 1); ; 4 4 Nguy p p p 2 ¹x2y4 + 2xy2 y4 + 1 = 2(3 2 x)y2 C¥u 167 x y2 + x = 3 Gi£i i·u ki»n : x y2; x2y4 + 2xy2 y4 + 1 0 Rã r ng khæng l m «n ÷ñc g¼ tø (2). Còng lm khai th¡c ÷ñc c¡i i·u ki»n. Ta s³ khai th¡c (1). Bi¸n êi ta s³ ÷ñc p p (xy2 + 1)2 y4 = 2[xy2 + 1 (3 2)y2] s (xy2 + 1)2 , y4 1 = 2 xy2 + 1 y2 (3 p 2) °t xy2 + 1 y2 = t 0. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh p t2 1 = 2t 2(3 p 2) , t = 3 , xy2 + 1 = 3y2 ) y2 = 1 3 x Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 116. 94 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Thay xuèng (2) ta ÷ñc r x 1 3 x + x = 3 , x = 2 ) y = 1 x = 4 pp p 2 ) y = 2 + 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1); (2;1); §n TuMinh ¹n Nguy 4 p 2; pp 2 + 1 ; 4 p 2; pp 2 + 1 C¥u 168 x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 17(x4 + y4 14y2 + 49) (x + 2y)4 = 8(xy + 7)(x2 + 2xy + 4y2 14) Gi£i H¼nh thùc cõa b i h» qu¡ khõng bè. Tho¤t nh¼n ta th§y h» câ 1 ph÷ìng tr¼nh l tam thùc bªc 2. Vªy ta thû xem li»u câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû ÷ñc khæng ? Ð ¥y khæng ÷ñc, x qu¡ x§u. Vªy ph£i quay sang (2) Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi 17 x4 + (y2 7)2 = (x + 2y)4 8(xy + 7) (x + 2y)2 2(xy + 7) , 17 x4 + (y2 7)2 = (x + 2y)4 8(xy + 7)(x + 2y)2 + 16(xy + 7)2 , 17 x4 + (y2 7)2 = (x + 2y)2 4(xy + 7)2 , 17 x4 + (y2 7)2 = (x2 + 4y2 28)2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ tr¡i ta câ V T = (12 + 42) x4 + (y2 7)2 (x2 + 4(y2 7)2) = V P ¯ng thùc x£y ra khi 4x2 = y2 7 k¸t hñp vîi (1) ta lªp mët h» mîi x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 4x2 = y2 7 Tho¤t nh¼n ¥y óng l h» gçm 2 tam thùc bªc 2 v ta s³ gi£i b¬ng h» sè b§t ành. Tuy nhi¶n, h¬ng sè k ð ¥y t¼m ÷ñc qu¡ l´, v ta s³ xoay sang h÷îng kh¡c â l ¡nh gi¡. Vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh ¦u nh÷ sau x2 + x(y 3) + y + (y 2)2 = 0 y2 + (x 4)y + x2 3x + 4 = 0 ) x 0 y 0 , 8 : 0 x 4 3 1 y 7 3 Vîi i·u ki»n kia th¼ rã r ng y2 7 7 3 2 7 0 4x2 Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 117. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 95 C¥u 169 8 : p x2 y2 14 2xy + y = r x + y 2 + r x y s 2 x + y 2 3 + s x y 2 3 = 9 Gi£i n i·u ki»n : y minfxg Vîi hr ¼nh thùc b i h» nhr ÷ n y ta th§y ngay c¦n ph£i °t ©n phö x + y x y x = a2 + b2 §°t = a 0; = b 0 ) 2 2 y = a2 b2 Nh÷ vªy thay v o (1) ta câ Tu2 (a2 + b2) (a2 b2) + 2 (a2 b2) ab (1) , = a + b 14 , 7 (a + b) = a2 + b2a2 b2+ a2 b2ab a3 b3 a2 b2 = 7 a = 2 x = 5 , 7 = (a b) + ab + ) , , a3 + b3 = 9 b = 1 y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5; Minh 3) x3y + x3 + xy + x = 1 C¥u 170 4x3y2 + 4x3 8xy 17x = 8 n Gi£i NguyMët b i h» y¶u c¦u kh¹£ n«ng rót th¸ t÷ìng èi tèt. x3(y + 1) + x(y + 1) = 1 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 4x3(y2 + 1) 8x(y + 1) = 9x 8 Tø PT(1) ta th¸ x(y + 1) = 1 x3(y + 1) v o PT(2) v ta câ (2) , 4x3(y2 + 1) 8[1 x3(y + 1)] = 9x 8 , 4x3(y2 + 1 + 2y + 2) = 9x , 4x2[(y + 1)2 + 2] = 9() V¼ d¹ th§y x = 0 khæng l nghi»m n¶n ta rót gån ra (*) 1 M tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta l¤i rót ra ÷ñc y + 1 = . Vªy (*) trð th nh x2(x2 + 1) 4x2 1 x2(x2 + 1)2 + 2 = 9 , 4 (x2 + 1)2 + 8x2 = 9 , x2 = 1 , 2 64 x = 1 ) y = 1 2 x = 1 ) y = 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; 1 2 ; 1; 3 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 118. 96 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 171 8 : 1 x2 x2 3 + xy + 3 2 = y3 (xy + 2)2 + 1 x2 = 2y + 4 x Gi£i i·u ki»n : x= 60 n Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng §1 2 xy + 2 = 0 , x TuMinh ¹n Nguy8 : xy = 1 x 2 y = 1 x2 2 x Thay t§t c£ v o (1) ta ÷ñc 1 x2 3 1 + 1 x 1 2 = 1 x2 2 x 3 , t2 1 3 + t 1 2 = (t2 2t)3 , (2t 1) 6t4 12t3 + 2t2 + 4t + 3 = 0 TH1 : t = 1 2 ) x = 2 ) y = 3 4 TH2 : 6t4 12t3 + 2t2 + 4t + 3 = 0 Sû döng ph÷ìng ph¡p tæi n¶u ð c¥u 164 s³ ÷a v· t2 t 6 2 3 2 = 1 3 (V L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2; 3 4 C¥u 172 p (x y2)3 x(x2 y2) + x2 = 2 76x2 20y2 + 2 = 3 p 4x(8x + 1) Gi£i i·u ki»n : x y2 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p (x y2)3 = 0 x3 + x(x y2) 2 °t p x y2 = u th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) trð th nh x3 + xu2 2u3 = 0 , x = u , y2 = x x2 Thay xuèng (2) ta ÷ñc 96x2 20x + 2 = 3 p 32x2 + 4x Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 119. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 97 N¸u èi vîi nhúng ai gi£i tèt ph÷ìng tr¼nh væ t th¼ s³ nhªn ra ngay d¤ng b i n y th÷íng sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡. Nhªn th§y x = 1 8 l nghi»m v chó þ x 0 . Ta câ h÷îng t¡ch nh÷ sau. 96x2 20x + 2 = 3 p 32x2 + 4x = 3 p 1:1:(32x2 + 4x) 32x2 + 4x + 2 3 p 1 7 , 3(96x2 20x + 2) 32x2 + 4x + 2 , (16x 2)2 0 , x = ) y = 8 8 p ! n 1 7 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 8 8 §Tæi giîi thi»u th¶m mët c¥u g¦n t÷ìng tü nh÷ng khâ hìn. Tu y2 + (4x 1)2 C¥u 173 p = 4x(8x + 1) 40x2 + x = y 14x 1 Gi£i 1 i·u ki»n : x 14 Vîi i·u ki»n nh÷ th¸ th¼ tø (2) hiºn Minh nhi¶n y 0. Ta câ ¡nh gi¡ sau ¥y p y2 + 14x 1 40x2 + x = y 14x 1 , y2 80x2 12x + 1 2 TØ (1) ta l¤i câ n Nguy3 p ¹3 p 4x(8x + 1) = y2 + (4x 1)2 80x2 12x + 1 + (4x 1)2 = 2(48x2 10x + 1) çng thíi 3 p 4x(8x + 1) = 3 p 1:1:(32x2 + 4x) 1 + 1 + 32x2 + 4x 3 Tø â suy ra 2(48x2 10x + 1) 32x2 + 4x + 2 3 , 2(8x 1)2 0 , x = 1 8 ) y = p 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 8 ; p 3 2 ! C¥u 174 p x p x y 1 = 1 y2 + x + 2y p x y2x = 0 Gi£i i·u ki»n : x 0; x y + 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi p x 1 = p x y 1 ) x 2 p x + 1 = x y 1 , y = 2 p x 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 120. 98 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Thay v o (2) t÷ìng ÷ìng p x 1)2 + x + 4( 4( p x 1) p x 4( p x 1)2:x = 0 , 2 6664 x = 1 4 x = 4 ) y = 2 9 x = p 17 8 p 3 p 1 9 17 Nghi»m x = ; x = khæng thäa m¢n i·u ki»n b¼nh ph÷ìng (1). n 4 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (4; 2) § p x2 + 2y + 3 + 2y 3 = 0 TuC¥u 175 2(2y3 + x3) + 3y(x + 1)2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 Gi£i i·u ki»n : x2 + 2y + 3 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 2(2y3 + x3) + 3y(x + 1)2 + 6x2 Minh + 6x + 2 = 0 , 2(x + 1)3 + 3y(x + 1)2 + 4y3 = 0 Rã r ng ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t giúa y v x+1. Ð ¥y ta s³ rót ra 2y = (x+1) thay v o (1) ta câ p 14 5 x2 x + 2 = x + 4 , x = ) y = 9 18 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n 14 5 (x; y) = ; 9 18 Nguy ¹p 2x3 4x2 + 3x 1 = 2x3(2 y) 3 2y C¥u 176 p p x + 2 = 14 x 3 2y + 1 Gi£i 3 i·u ki»n : x 2; y 2 H¼nh thùc b i h» qu£ thªt khæng ìn gi£n. º þ ph÷ìng tr¼nh (1) chia c£ 2 v¸ cho x2= 60 s³ cæ lªp ÷ñc x v y, ta hi vång s³ ra ÷ñc i·u g¼ â 4 3 1 p (1) , 2 + = (4 2y) 3 2y x x2 x3 , 1 1 x 3 + 1 1 x = p 3 2y 3 + p 3 2y D¹ d ng th§y 2 v¸ câ d¤ng f(t) = t3 + t l h m ìn i»u t«ng. Tø â suy ra p 3 2y = 1 1 x thay v o (2) ta ÷ñc x + 2 3 p 15 x = 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 121. 2.6 C¥u 151¸n c¥u 180 99 Rã r ng v¸ tr¡i ìn i»u t«ng n¶n ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy nh§t x = 7 ) y = 111 98 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 7; 111 98 C¥u 177 Tu§n Minh n Nguy¹8 : x2 + y2 + 8xy x + y = 16 x2 8y + 2x 3 = s x3 3y + x2 4 y 2 Gi£i i·u ki»n : y6= 0; x + y6= 0; x3 3y + x2 4 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng vîi x2 8y + 4x + 3y 6 s = 2 x3 12y + x2 16 , x2 8y + 4x + 3y 6 s = 2 x2 8y : 4x 6 + x2 8y : 3y 6 Nh¼n v o biºu thùc tr¶n ta th§y º câ nghi»m th¼ x2 8y 0; 4x + 3y 6 0. Vªy ta câ p ab , a = b , a + b = 2 x2 8y = 4x + 3y 6 , x = 6y x = 2 3 :y TH1 : x = 6y thay v o (1) ta câ 37y2 + 48 7 y = 16 , 2 64 y = 28 37 ) x = 168 37 (L) y = 4 7 ) x = 24 7 TH2 : x = 2 3 y thay v o (1) ta câ 4 9 y2 + y2 16y = 16 , y = 12 13 (L) y = 12 ) x = 8(TM) Vi»c lo¤i nghi»m n y düa v o i·u ki »n º (2) câ nghi»m m tæi n¶u ð o¤n tr¶n. 24 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 7 ; 4 7 ; (8; 12) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 122. 100 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 178 x3(3y + 55) = 64 xy(y2 + 3y + 3) = 12 + 51x Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §n TuMinh ¹n Nguy8 : 3y + 55 = 64 x3 12 x + 51 = y3 + 3y2 + 3y , 8 : 3 (y + 1) + 52 = 4 x 3 3: 4 x + 52 = (y + 1)3 Rã r ng l mët h» èi xùng. Tø â ta suy ra y + 1 = 4 x , y = 4 x 1 thay v o (1) ta câ x3 12 x + 52 = 64 , x = 1 ) y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3) C¥u 179 8 : x4 + 2y3 x = 1 4 + 3 p 3 y4 + 2x3 y = 1 4 p 3 3 Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong 1 · håc sinh giäi Th¡i Nguy¶n. Tho¤t nh¼n câ v´ kh¡ èi xùng nh÷ng khæng d¹ nh÷ vªy. Cæng 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc x4 + 2x3 x + y4 + 2y3 y = 1 2 , (x2 + x)2 (x2 + x) + 1 4 + (y2 + y)2 (y2 + y) + 1 4 = 0 , x2 + x 1 2 2 + y2 + y 1 2 2 = 0 , 8 : x2 + x 1 2 = 0 y2 + y 1 2 = 0 , 8 : x = p 3 2 1 y = p 3 2 1 Thû l¤i v ta t¼m ÷ñc nghi»m thäa m¢n l (x; y) = 1 p 3 2 ; p 3 2 1 + ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 123. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 101 C¥u 180 8 : x + 6 p xy y = 6 x + 6(x3 + y3) x2 + xy + y2 p 2(x2 + y2) = 3 Gi£i ¥y l mët b i to¡n tøng xu§t hi»n tr¶n b¡o THTT. Þ t÷ðng cõa nâ l ¡nh gi¡. Sau n y nâ xu§t hi»n kh¡ nhi·u tr¶n di¹n n v câ nhi·u líi gi£i kh¡c. Tæi xin tr½ch d¨n 1 ph¦n líi gi£i trong tí b¡o. n i·u ki»n : xy 0; x2 + y26= 0 N¸u x; y 0 th¼ rã r ng v¸ tr¡i cõa (2) s³ 0 v b i to¡n væ nghi»m. §Vªy x; y 0. X²t (1) ta câ ¡nh gi¡ sau p 6 = x + 6xy y x + 3(x + y) y = 2(2x + y) , 2x Tu+ y 3() Ta l¤i câ c¡c ¡nh gi¡ sau x2 + y2 3(x2 + y2) 3(x3 + y3) 2(x3 + y3) xy , x2 + xy + y2 , 2 2 x2 + xy + y2 x2 + y2 2(x3 + y3) p Gií ta l¤i chùng minh 2(x2 + y2) , 2(x3 + y3)2 (x2 + y2) x2 + y2 Theo b§t ¯ng thùc Holder ta câ 2(x3 + y3)2 = (13 Minh + 13)(x3 + y3)(x3 + y3) (x2 + y2)3 3(x3 + y3) 2(x3 + y3) p Vªy ta câ : 2(x2 + y2) x2 + xy + y2 x2 + y2 Gií x²t ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ 6(x3 n + y3 p p p 3 = x + 2(x2 + y2 x + 2 2(x2 + y2) 2(x2 + y2) x2 + xy + y2 p = x + 2(x2 + y2) x + x + y = 2x + y NguyVªy ta l¤i câ 2x + y 2x ¹3() + y = 3 Tø (*),(**) ta câ , x = y = 1 x = y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) 2.7 C¥u 181 ¸n c¥u 210 ( 4 2y2 9y = 2 C¥u 181 p x p 4 x + 1 + xy y2 + 4 = 0 Gi£i ¥y l 1 b i to¡n m þ t÷ðng x²t h m ÷ñc gi§u kh¡ k½n. i·u ki»n : 1 x6= 0 Nhªn th§y x = 1 ho°c y = 0 khæng l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 124. 102 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc x p x + 1 = 4 y p y2 + 4 , x + 1 1 p x + 1 = y2 (y2 + 4) y p y2 + 4 , p x + 1 1 p x + 1 = y p y2 + 4 p y2 + 4 y 1 ¸n ¥y ta th§y ngay h m c¦n x²t l f(t) = t v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â suy ra t n p p y y2 4 4 x + 1 = ) x + 1 = , x = , = y2 + 4 y2 + 4 y2 + 4 y2 + 4 x §Thay l¤i v o (1) ta ÷ñc 2 Tu3y2 9y + 6 = 0 , Minh n Nguy¹64 y = 1 ) x = 4 5 (TM) y = 2 ) x = 1 2 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 4 5 ; ; 1 1 2 ; 2 C¥u 182 3 p y3 1 + p x = 3 x2 + y3 = 82 Gi£i i·u ki»n : y 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 3 p y3 1 = 9 x 3 + p x y3 1 = (9 x)(9 + x) ) (9 x) (9 + x): 3 p y3 1 = (y3 1) (9 x) 3 + p x TH1 : y = 1 ) x = 9 TH2 : x = 9 ) y = 1 TH3 : (9 + x)(3 + p x) = 3 p 2 y3 1 Rã r ng væ nghi»m v¼ V T 27 cán 3 p y3 1 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (9; 1) C¥u 183 8 : x + 2(y p x 1) = 19 5 + 1 p p y2 + 1 2x + y 2 + y x + 1 = 3 Gi£i i·u ki»n : 2x + y 2 0; y x + 1 0; x 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 125. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 103 p 2 x 1 1 + 2y = 19 5 + 1 y2 + 1 N¸u y 2 th¼ ta câ V T 4 V P. Vªy y 2 Ta ¡nh gi¡ ph÷ìng tr¼nh (2) nh÷ sau p 1 p V T = 2x + y 2 + p 2y 2x + 2 2 n Tu§Minh ¹n Nguys 1 + 1 2 3y 3 ¯ng thùc x£y ra khi y = 2 ) x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 2) Tr£i qua kh¡ nhi·u nhúng c¥u h» sû döng ¡nh gi¡, ta mîi th§y ph÷ìng ph¡p n y khâ v c¦n k¾ n«ng bi¸n êi tèt nh÷ th¸ n o. C¥u 184 8 : 2x2 + xy = 1 9x2 2(1 x)4 = 1 + 3xy 2(1 x)2 Gi£i i·u ki»n : x= 61 Mët b i to¡n kh¡ °c sc v líi gi£i công s¡ng t¤o. 3x °t 2(1 x)2 = u ta lªp th nh mët h» mîi nh÷ sau 2x2 + yx 1 = 0 2u2 + yu 1 = 0 ¸n ¥y câ v´ èi xùng rçi. Nh÷ng ta khæng trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau m câ ¡nh gi¡ nh÷ sau Rã r ng x v u l 2 nghi»m ph¥n bi»t cõa ph÷ìng tr¼nh X2 + yX 1 = 0. Hiºn nhi¶n v¼ t½ch c:a l tr¡i d§u. Theo h» thùc V i et ta câ xu = c a , x: 3x 2(1 x)2 = 1 2 , x = p 3 2 1 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 + p 3 2 ! ; ; 2 1 p 3 2 ! ; 2 C¥u 185 4x2y2 + xy2 + 4xy 3y3 + 1 = 7y2 3xy 3y2 y + 1 = 0 Gi£i Mët chót bi¸n êi ta ÷a h» ¢ cho v· th nh (2xy + 1)2 = 7y2 + 3y3 xy2 2xy + 1 = y + 3y2 xy ) (y + 3y2 xy)2 = 7y2 + 3y3 xy2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 126. 104 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , y2 = 0 (1 + 3y x)2 = 7 + 3y x TH1 : y2 = 0 væ nghi»m TH2 : (1 + 3y x)2 = 7 + 3y x , 3y x = 3 3y x = 2 , n Tu§Minh n Nguy¹ x = 3y + 3 x = 3y 2 Vîi méi tr÷íng hñp n y thay v o (2) v ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 3 2 ; 1 6 ; 1 r 5 2 ; p 10 6 4 ! C¥u 186 x p x2 + 6 + y p x2 + 3 = 7xy x p x2 + 3 + y p y2 + 6 = x2 + y2 + 2 Gi£i ¥y l mët b i to¡n têng hñp kh¡ nhi·u c¡c k¾ n«ng v o l m mët. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x p y2 + 6 + y + y p x2 + 3 + x = 9xy x p x2 + 3 x + y p y2 + 6 y = 2 , 8 : p y2 + 6 + y y + p x2 + 3 + x x = 9 x p x2 + 3 x + y p y2 + 6 y = 2 , 8 : 6 y p y2 + 6 y + 3 x p x2 + 3 x = 9 x p x2 + 3 x + y p y2 + 6 y = 2 °t x p x2 + 3 x = a; y p y2 + 6 y = b. H» trð th nh ( 6 b + 3 a = 9 a + b = 1 , ( a = 1; b = 1 a = 2 3 ; b = 4 3 TH1 : ( x p x2 + 3 x = 1 y p y2 + 6 y = 1 , ( x = 1 y = 1 2 TH2 : 8 : x p x2 + 3 x = 2 3 y p y2 + 6 y = 4 3 , 8 : x = 2 p 15 r y = 2 2 15 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; 1 2 ; 2 p 15 r ; 2 2 15 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 127. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 105 C¥u 187 3 p (x + y)2 + 3x + 2y + 4 = 3 4x 4 2(y + 1)2 y + 1 18x x3 3 p = 17 p 2 x 2 35 10x2 Gi£i i·u ki»n : x 2 Nh¼n v o ta th§y ph÷ìng tr¼nh (2) qu¡ khõng bè, g¦n nh÷ khæng thº l m «n ÷ñc mët chót p 2 n o. Nh÷ng h¢y º þ mët chót, câ mët ph¦n tû kh¡ °c bi»t â l 17 x 2 . ¢ n c«n l¤i cán b¼nh ph÷ìng !! Ph£i ch«ng t¡c gi£ cè þ º vªy nh¬m t¤o i·u ki»n cho x º ¡nh gi¡ mët c¡i g¼ â ch«ng ? Câ l³ l tø ph÷ìng tr¼nh (1). §Ta thüc hi»n ¡nh gi¡ ph÷ìng tr¼nh (1) nh÷ sau (x + y)2 + 3x + 2y + 4 = 3 2:2:(x 1) 2 + 2 + x Tu 1 = x + 3 , (x + y)2 + 2x + 2y + 1 0 , (x + y + 1)2 0 ¯ng thùc x£y ra khi x = 3 v y = 4. Thay l¤i v o ph÷ìng tr¼nh (2) th§y thäa m¢n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;4) Minh C¥u 188 n Nguy3 p ¹8 : x2 (y + 3)x + y2 + 2 = 0 x 4 x 3 x 2 2 + y y y 4 3x y2 1 4 6x y4 = 0 Gi£i H÷îng gi£i cõa nâ kh¡ gièng c¥u 185. i·u ki»n : y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x2 xy = 3x y2 2 x4 2x3y + x2y2 = (4 3x)y2 + y4 + 4 6x , x2 xy = 3x y2 2 (x2 xy)2 = (4 3x)y2 + y4 + 4 6x() () , 3x y2 2 2 = (4 3x)y2 + y4 + 4 6x , 9x2 + y4 + 4 6xy2 12x + 4y2 = (4 3x)y2 + y4 + 4 6x , 9x2 3xy2 6x = 0 , 3x(3x y2 2) = 0 ¸n ¥y ta th¸ l¤i 3x y2 2 = x2 xy tø (1) v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n s³ ÷ñc : 3x2(x y) = 0 , 2 4 x = 0 ) y2 + 2 = 0(V L) x = y ) y2 3y + 2 = 0 , y = x = 1 y = x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (2; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 128. 106 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 189 ( x2 + xy + x + 3 = 0 (x + 1)2 + 3(y + 1) + 2 xy p x2y + 2y = 0 Gi£i i·u ki»n : y 0 p PT(2) 2:PT(1) , (x2 + 2) + 3y = 2 (x2 + 2)y p n p °t x2 + 2 = a 0; y = b 0. Ph÷ìng tr¼nh trð th nh a = b ) y = x2 §a2 + 3b2 + 2 = 2ab , a = 3b(L) Thay trð l¤i (1) ta d¹ d ng t¼m ra ÷ñc nghi»m. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3) Tu x3y = 9 C¥u 190 3x + y = 6 Gi£i H¼nh thùc b i h» qu¡ ìn gi£n. Ta câ Minh thº chån c¡ch th¸ tø (2) l¶n (1) º gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4. Tuy nhi¶n, ch¿ vîi ¡nh gi¡ kh¡ ìn gi£n, ta câ thº gi£i quy¸t nhanh b i n y. Nhªn th§y gi£ sû h» câ nghi»m th¼ x; y 0. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ p 3x + y = x + x + x + y 4 x3y = 4 3 6 Vªy h» ¢ cho væ nghi»m n Nguy (x2 ¹+ y2)(x + y + 1) = 25(y + 1) C¥u 191 x2 + xy + 2y2 + x 8y = 9 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 4 p 8 : x2 + y2 y + 1 (x + y + 1) = 25 x2 + y2 + x(y + 1) + (y + 1)2 = 10 (y + 1) , 8 : x2 + y2 y + 1 (x + y + 1) = 25 x2 + y2 y + 1 + (x + y + 1) = 10 °t x2 + y2 y + 1 = a; x + y + 1 = b ta câ ab = 25 a + b = 10 , a = b = 5 , x2 + y2 = 5 (y + 1) x + y = 4 , x = 3; y = 1 x = 3 2 ; y = 11 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); 3 2 ; 11 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 129. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 107 C¥u 192 4x3 + 4y3 = 3x2y + 2 p 3xy + 2x x2 = y2 + 1 Gi£i ¥y l mët c¥u thuëc lo¤i khâ. Mang t½nh ¡nh è mët chót. º þ mët chót ph÷ìng tr¼nh 1 (2) nh¼n kh¡ gièng mët h¬ng ¯ng thùc l÷ñng gi¡c â l 1 + tan2x = . Vªy n ta °t cos2x 1 x = ) y = tana vîi a 2 [0; ]. Thay t§t c£ v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc cosa 4 3 p 1 2 §+ 4tan3a = tan a + 2 3 : tan a + cos3a cos2a cos a cos a p , 4 + 4sin3a = 3 sin a + 2 3 sin a cos a + 2cos2a p Tu , 3 = sin 3a + 3 sin 2a + cos 2a , 3 = sin 3a + 2 sin 2a + 6 2 1 Rã r ng V T V P v ¯ng thùc x£y ra khi a = ) x = p ; y = p 6 3 3 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p ; p 3 3 Minh y3 + 3xy 17x + 18 = x3 3x2 + 13y 9 C¥u 193 x2 + y2 + xy 6y 5x + 10 = 0 Gi£i Sû döng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành ta s³ rót ra PT(1) 3:PT(2) n , (y 1)2 + 2(y 1) = x3 + 2x , x = y 1 Nguy¸n ¥y d¹ rçi ! P/S : Thüc ra vîi b ¹i n y ta nh¥n 3 v o PT(2) rçi trø i câ thº do 1 chót kinh nghi»m nh¬m lo¤i bä xy i chù khæng nh§t thi¸t ph£i sû döng ¸n h» sè b§t ành. 5 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2); ; 3 2 C¥u 194 8 : (x + y 3)3 = 4y3 x2y2 + xy + 45 4 x + 4y 3 = 2xy2 Gi£i Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta rót ra : x + y 3 = 2xy2 3y Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc y3(2xy 3)3 = 4y3 x2y2 + xy + 45 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 130. 108 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc TH1 : y = 0 ) x = 3 TH2 : (2xy 3)3 = 4 x2y2 + xy + 45 4 , xy = 4 , x = 4 y ¸n ¥y thay l¤i v o (2) d¹ d ng t¼m ra nghi»m. p 73 8 p 73 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 0); §n TuMinh ¹n Nguy 3 p 73 2 ; 3 ! ; 3 + p 73 2 ; 3 + ! C¥u 195 2x + p 2 x + y x2 y2 = 1 2x3 = 2y3 + 1 Gi£i Chuyºn v¸ v b¼nh ph÷ìng (1) ta suy ra h» mîi sau 5x2 3x 1 = y y2 2x3 2y3 = 1 ) 2x3 2y3 = 5x2 3x + y2 y , (x y 1)(2x2 3x + 2xy + 2y2 y) = 0 TH1 : x = y + 1 thay v o (2) d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m. TH2 : K¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh (1) sau khi b¼nh ph÷ìng ta lªp mët h» mîi 2x2 3x + 2xy + 2y2 y = 0 5x2 3x + y2 y = 1 ¥y l h» gçm 2 tam thùc v ta ¢ bi¸t c¡ch gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p UCT. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 3 6 ; p 3 6 3 ! C¥u 196 8 : p 1 + p 1 x2 = x 1 + 2 p 1 y2 1 p 1 + x + 1 p 1 + y = 2 p 1 + p xy Gi£i i·u ki»n : jxj 1; jyj 1; xy 0 Vîi i·u ki»n tr¶n ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ V T s 2 1 1 + x + 1 1 + y 2 p 1 + p xy ¯ng thùc x£y ra khi x = y. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc q 1 + p 1 x2 = x 1 + 2 p 1 x2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 131. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 109 Vîi lo¤i ph÷ìng trh ¼nh væ t n y l÷ñng gi¡c hâa l c¡ch tèt nh§t. °t x = sint; t 2 0; 2 i . Ph÷ìng tr¼nh trð th nh p 1 + cos t = sin t(1 + 2 cos t) , p 2 cos t 2 = 2 sin t 2 cos t 2 3 4sin2 t 2 p t t 2 , 3 sin 4sin3 = , n 2 2 2 Tu§Minh ¹n Nguy8 : sin 3t 2 = p 2 2 t 2 h 0; 2 i , 2 4 t = 6 ) x = 1 2 t = 2 ) x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 1 2 ; 1 2 C¥u 197 2y3 + 2x p 1 x = 3 p 1 x y y = 2x2 1 + 2xy p 1 + x Gi£i i·u ki»n 1 x 1 º þ k¾ th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) câ d¤ng f( p 1 x) = f(y) vîi f(t) = t3 + t ìn i»u t«ng. Tuy nhi¶n, ¸n §y ch÷a ph£i l h¸t. Nh÷ tæi ¢ nâi ð tr÷îc, nhúng h» kiºu n y th÷íng kh¡ n°ng v· gi£i ph÷ìp ng tr¼nh væ t ph½a sau. Thay y = 1 x tø (1) xuèng (2) v ta thu ÷ñc p 1 x = 2x2 1 + 2x p 1 x2 °t x = cost; t 2 [0; ] ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng p 1 cos t = 2cos2t 1 + 2 cos t p 1 cos t , p 2 sin t 2 = cos 2t + sin 2t , ( sin t 2 = sin 2t + 4 t 2 [0; ] , t = 3 10 , 8 : x = cos 3 10 y = p 2 sin 3 20 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = cos 3 10 ; p 2 sin 3 20 C¥u 198 3(x3 y3) = 4xy x2y2 = 9 Gi£i Mët b i h» khæng qu¡ khâ kh«n, ch¿ c¦n chó þ mët chót trong ph²p th¸ Tø (2) suy ra xy = 3 ho°c xy = 3. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 132. 110 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vîi xy = 3 ) y = 3 x , thay t§t c£ v o (1) ta ÷ñc x3 3 x 3 = 4 , 2 664 x3 = 2 p 31 ) x = 3 p 2 p 31 ) y = 3 3 p 2 p 31 x3 = 2 + p 31 ) x = 3 p 2 + p 31 ) y = 3 3 p p 2 + 31 T÷ìng tü vîi tr÷íng hñp xy = 3. Tuy nhi¶n tr÷íng hñp n y væ nghi»m. §n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = TuMinh n Nguy¹3 p 2 p 31; 3 3 p 2 p 31 ! ; 3 p 2 + p 31; 3 3 p 2 + p 31 ! C¥u 199 x2 + y2 p = 1 2(x y)(1 + 4xy) = p 3 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh ¦u khi¸n ta li¶n t÷ðng ¸n ph÷ìng ph¡p l÷ñng gi¡c hâa. °t x = sin t; y = cos t; t 2 [0; 2]. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc (sin t cos t)(1 + 2 sin 2t) = p 6 2 , sin t cos t + 2 sin 2t sin t 2 sin 2t cos t = p 6 2 , sin t cos t + cos t cos 3t sin 3t sin t = p 6 2 , 8 : cos 3t + sin 3t = p 6 2 t 2 [0; 2] , t 2 7 36 ; 31 36 ; 55 36 ; 11 36 ; 35 36 ; 39 36 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (sin t; cos t) vîi t 2 7 36 ; 31 36 ; 55 36 ; 11 36 ; 35 36 ; 39 36 C¥u 200 ( p 5y4 x4 6(x2 y2) 2xy = 0 1 (5y2 + x2)2 18 = 2 p xy(6 5y2 x2) Gi£i i·u ki»n : xy 0; 5y4 x4 0 Mët h» kh¡ hay. Ð ¥y x²t ph÷ìng tr¼nh (2) ta coi x2 + 5y2 l ©n ch½nh. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (5y2 + x2)2 + 2 p xy 36 = 0 p xy(5y2 + x2) 12 5y2+x2 = xy + 12 p xy + 36 = ( p xy + 6)2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 133. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 111 Qu¡ tuy»t víi khi nâ ch½nh ph÷ìng. Tø â ta s³ t½nh ÷ñc x2 + 5y2 = 6 x2 + 5y2 = 2 p xy 6(L) ¸n ¥y thay 6 = x2 + 5y2 v o (1) ta ÷ñc p p 5y4 x4 (x2 + 5y2)(x2 y2) = 2xy , 5y4 x4 + (5y4 x4) = 4x2y2 + 2xy Rã r ng 2 v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t2 + t; t 0 v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â rót ra n p 5y4 x4 = 2xy , x = y §Thay v o x2 + 5y2 = 6 ta s³ gi£i ra x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1) Tu p p p (x 1) y + (y C¥u 201 p p 1) x = p 2xy x 2y 2 + y 2x 2 = 2xy Gi£i Mët h» kh¡ èi xùng nh÷ng khi¸n nhi·u ng÷íi lóng tóng v¼ c«n thùc. i·u ki»n : x; y 1 Minh Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng p p x 1 y 1 + = 1 x y p 1:(x 1) 1 + x 1 1 Rã r ng = , t÷ìng tü vîi y. Vªy v¸ tr¡i 1. ¯ng thùc x£y ra khi x 2x 2 x = y = 2 thay v o (1) thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = (2; 2) Nguy¹Ti¸p theo chóng ta s³ ¸n mët chòm h» sû döng c¡c ph²p bi¸n êi ¯ng thùc. ¥y l mët k¾ thuªt kh¡ khâ tuy nhi¶n nâ r§t húu döng º gi£i mët sè lo¤i h» ph÷ìng tr¼nh. Ch¿ b¬ng mët v i ph²p bi¸n êi xu§t ph¡t tø nhúng ¯ng thùc quen thuëc m ta câ thº qu²t dån ÷ñc b i h». Tuy nhi¶n ph÷ìng ph¡p n y kh¡ khâ bði nâ y¶u c¦u kh£ n«ng hiºu bi¸t v· ¯ng thùc t÷ìng èi tèt çng thíi c¦n kinh nghi»m v 1 chót tinh qu¡i. B i vi¸t n y tæi tr½ch mët ph¦n trong cuèn Tuyºn Tªp Ph÷ìng tr¼nh - H» ph÷ìng tr¼nh do di¹n n Mathscope bi¶n so¤n. C¥u 202 8 : x2 + y2 = 1 + xy x y + 1 2 + y x + 1 2 = 1 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 1 Ta sû döng k¸t qu£ sau : N¸u x2 xy + y2 = 1 th¼ x y + 1 + y x + 1 = 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 134. 112 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Chùng minh : x2xy+y2 = 1 , x(x+1)+y(y+1) = xy+x+y+1 = (x+1)(y+1) , x y + 1 + y x + 1 = 1 p döng v o b i to¡n tr¶n . °t x y + 1 = a; y x + 1 = b ta câ h» mîi a + b = 1 a = 0; b = 1 x = 1; y = 0 , , a2 + b2 = 1 a = 1; b = 0 x = 0; y = 1 n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); (0; 1) Tu§C¥u 203 Minh n Nguy¹8 : x y + y x 1 xy = 1 x2 + 1 y2 1 x x + 1 + y y + 1 = x2 xy + y2 xy Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0; 1 Sû döng k¸t qu£ sau : N¸u xy = 1 th¼ 1 x + 1 + 1 y + 1 = 1. Chùng minh: xy = 1 , xy+x+y+1 = (x+1)+(y+1) , (x+1)(y+1) = (x+1)+(y+1) , 1 x + 1 + 1 y + 1 = 1 Ta s³ dòng k¸t qu£ n y v o b i to¡n tr¶n. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng (xy 1)(x2 + xy + y2) = 0 , xy = 1 , 1 x + 1 + 1 y + 1 = 1 Ph÷ìng tr¼nh (2) khi â s³ t÷ìng ÷ìng 1 1 x + 1 + 1 1 y + 1 = x2 xy + y2 xy , 1 = (x y)2 + xy xy = (x y)2 xy + 1 Vªy suy ra x = y k¸t hñp xy = 1 suy ra x = y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 204 8 : 1 y 2 = 2 xy2 xy 1 (x + 1)2 + 4 (y + 2)2 = 1 Gi£i Ta sû döng k¸t qu£ sau : N¸u xy = 2 , 1 x + 1 + 2 y + 2 = 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 135. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 113 Chùng minh : xy = 2 , xy+2x+y+2 = 2(x+1)+(y+2) , (x+1)(y+2) = 2(x+1)+(y+2) , 1 x + 1 + 2 y + 2 = 1 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng 1 1 2 (xy 2) + 1 = 1 , xy = 2 , + = 1 y2 x + 1 y + 2 n 1 2 Vªy °t = a; = b ta câ §x + 1 y + 2 a + b = 1 a = 0; b = 1 , a2 + b2 = 1 a = 1; b = 0 TuTa lo¤i c£ 2 tr÷íng hñp v¼ a; b= 60 Vªy h» ¢ cho væ nghi»m C¥u 205 Minh n Nguy¹8 : xy + x + y = 3 4 5y + 9 + 4 x + 6 + 1 (x + 1)(y + 2) = x + 1 2 Gi£i Ta sû döng k¸t qu£ sau abc = 1 , 1 1 + a + ab + 1 1 + b + bc + 1 1 + c + ca = 1 Chùng minh V T = 1 1 + a + ab + a a + ab + abc + ab ab + abc + a2bc = 1 1 + a + ab + a a + ab + 1 + ab a + ab + 1 = 1 i·u ki»n : y6= 9 6 ; x6= 6; (x + 1)(y + 2)6= 1 °t a = x + 1; b = y + 1; c = 1 4 th¼ h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( abc = 1 1 1 + b + bc + 1 1 + a + ac + 1 1 + a + ab = x + 1 2 ) x + 1 2 = 1 , x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 136. 114 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 206 x2 + xy + y2 = 3 x5 + y5 + 15xy(x + y) = 32 Gi£i Ta sû döng ¯ng thùc : (x + y)5 = x5 + y5 + 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Sû döng ¯ng thùc tr¶n vîi (2) ta câ n x5 + y5 + 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) = 32 , (x + y)5 = 32 , x + y = §2 K¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh (1) ta d¹ d ng gi£i ra (x; y) = (1; 1) Ta s³ sû döng ¯ng thùc n y èi vîi mët b i sau ¥y. TuC¥u 207 Minh n Nguy¹8 : x2 + xy + y2 = 3 x5 + y5 31 = x3 + y3 7 Gi£i B i n y ho n to n câ thº ÷a v· d¤ng thu¦n nh§t bªc 5 ÷ñc. Tuy nhi¶n, gi£i mët ph÷ìng tr¼nh bªc 5 thæi nghe th§y ¢ khi¸n nhi·u ng÷íi ng¡n ng©m. Ta sû döng mët sè k¸t qu£ sau x3 + y3 = (x + y)3 3xy(x + y) x5 + y5 = (x + y)5 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) i·u ki»n : x6= y Sû döng k¸t qu£ tr¶n v o (2) ta ÷ñc (x + y)4 15xy (x + y)2 3xy = 31 7 Ti¸p theo tø (1) ta th¸ (x + y)2 = 3 + xy v o (2) ta ÷ñc (3 + xy)2 15xy 3 2xy = 31 7 , xy = 2 xy = 15 7 Vîi xy = 2 ) x + y = 1 ) 2 664 x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 x = 2; y = 1 x = 1; y = 2 Vîi xy = 15 7 ) (x + y)2 = 36 7 (Lo¤i v¼ S2 4P) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2;1); (1;2); (2; 1); (1; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 137. 2.7 C¥u 181¸n c¥u 210 115 C¥u 208 8 : xy x = 2 1 (x + 1)4 + 16 (y + 1)4 = 1 Gi£i 1 2 Ta sû döng k¸t qu£ : xy = x + 2 , + = 1 x + 1 y + 1 n Chùng minh xy = x + 2 , xy + x + y + 1 = 2(x + 1) + (y + 1) §1 2 , (x + 1)(y + 1) = 2(x + 1) + (y + 1) , + = 1 x + 1 y + 1 1 2 p döng èi vîi b i to¡n tr¶n ta °t = a6= 0; = b= 60. TuH» trð th nh x + 1 y + 1 a + b = 1 a = 1; b = 0(L) , a4 + b4 a = 0; b = 1(L) Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Ti¸p theo iºm qua mët v i v½ dö v· ph²p th¸ h¬ng sè º ÷a v· ph÷ìng tr¼nh çng bªc. Lo¤i n y thüc ra tæi ¢ câ n¶u mët v½ dMinh ö â l c¥u 17. Gií ta nghi¶n cùu mët chót v· k¾ thuªt n y. x2 + y2 = 2 C¥u 209 (x + y)(1 + xy)4 n = 32 Gi£i 2 + 2xy (x + y)2 Nguyº þ 1 + xy = ¹= . ¸n ¥y b i to¡n kh¡ ìn gi£n. 2 2 Ph÷ìng tr¼nh (2) trð th nh (x + y)9 = 29 , x + y = 2 ¸n ¥y k¸t hñp vîi (1) d¹ d ng gi£i ra (x; y) = (1; 1) x2 + y2 = 2 C¥u 210 (x + y)(4 x2y2 2xy) = 2y5 Gi£i Nhªn x²t ph÷ìng tr¼nh (2) câ v¸ tr¡i l bªc 5. V¸ ph£i gçm bªc 1 v trong ngo°c cao nh§t bªc 4 nh÷ng khæng ph£i h¤ng tû n o công câ bªc 4. Vªy ta ti¸n h nh th¸ h¬ng sè b¬ng biºu thùc tø (1) xuèng d÷îi º t¤o n¶n sü thu¦n nh§t. Th¸ 2 = x2 + y2 v 4 = (x2 + y2)2. V¼ sao khæng th¸ 4 = 2(x2 + y2). ìn gi£n tæi muèn t§t c£ ·u l bªc 4. Thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc (x + y) (x2 + y2)2 x2y2 xy(x2 + y2) = 2y5 , x5 + y5 = 2y5 , x = y Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 138. 116 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc ¸n ¥y k¸t hñp vîi (1) v ta d¹ d ng gi£i ra (x; y) = (1; 1); (1;1) 2.8 C¥u 211 ¸n c¥u 240 C¥u 211 Tu§n Minh n Nguy¹8 : 3x3 y3 = 1 x + y x2 + y2 = 1 Gi£i i·u ki»n : x6= y Ph÷ìng tr¼nh (1) quy çng s³ l bªc 4. Vªy ta ngh¾ c¡c k¸t hñp vîi ph÷ìng tr¼nh (2) º t¤o th nh mët ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t xem, nh÷ th¸ ph÷ìng tr¼nh (2) s³ ph£i l bªc 4 v º l m ÷ñc i·u â ta b¼nh ph÷ìng 2 v¸ l¶n. Nh÷ vªy ta s³ ÷ñc (3x3 y3)(x + y) = (x2 + y2)2 , 2x4 + 3x3y 2x2y2 xy3 2y4 = 0 , (x y)(x + 2y)(2x2 + xy + y2) = 0 TH1 : 2x2 + xy + y2 = 0 , x = y = 0(L) TH2 : x = y thay v o (2) ta ÷ñc 2y2 = 1 , x = y = 1 p 2 TH3 : x = 2y thay v o (2) ta ÷ñc 5y2 = 1 , y = 1 p 5 ) x = 2 p 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2 p 5 ; 1 p 5 ; 2 p 5 ; 1 p 5 ; 1 p 2 ; 1 p 2 ; 1 p 2 ; 1 p 2 C¥u 212 81x3y2 81x2y2 + 33xy2 29y2 = 4 25y3 + 9x2y3 6xy3 4y2 = 24 Gi£i Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 81x3 81x2 + 33x 29 = 4 y2 25 + 9x2 6x = 24 y3 + 4 y , 8 : 3(3x 1)3 + 2 (3x 1) = 24 + 4 y2 2 y 3: 3 + 2: 2 y = 24 + (3x 1)2 °t 3x 1 = a; 2 y = b. H» ¢ cho trð th nh 3a3 + 2a = 24 + b2 3b3 + 2b = 24 + a2 ) a = b Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 139. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 117 Thay v o mët trong 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ 3a3 a2 + 2a 24 = 0 , a = 2 ) x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1) n x2 + y2 + 2x = 3 C¥u 213 2(x3 + y3) + 6x2 = 3(x2 + y2) + 5 §Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Tu x2 + y2 + 2x = 3 (x + 1)2 + y2 = 4 , 2(x3 + y3) + 6x2 = 3(3 2x) + 5 (x + 1)3 + y3 = 8 °t x + 1 = a; y = b h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a2 + b2 = 4 Minh a = 2; b = 0 ) x = 1; y = 0 , a3 + b3 = 8 a = 0; b = 2 ) x = 1; y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); (1; 2) x2 + y4 + xy = 2xy2 + 7 C¥u 214 x2y + 4xy n + xy3 + 11(x y2) = 28 Nguy¹Gi£i H¼nh thùc b i h» gçm 2 a thùc thuëc lo¤i khõng bè. Vîi kinh nghi»m g°p lo¤i n y, th¼ th÷íng ch¿ câ 2 h÷îng ch½nh â l ph¥n t½ch nh¥n tû ho°c °t ©n phö. H÷îng thù 2 câ v´ óng khi m ph÷ìng tr¼nh (1) chuyºn v¸ xu§t hi¶n (y2 x)2 m nâ câ ð ph÷ìng tr¼nh (2). H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng. (y2 x)2 = 7 xy 11(x y2) + xy(y2 x) = 28 4xy °t y2 x = a; xy = b ta lªp h» mîi nh÷ sau 2 a2 = 7 b a = 2; b = 3 , , ab 11a = 28 4b a = 0; b = 7 664 y2 x = 0 xy = 7 y2 x = 2 xy = 3 , y = 3 p 7; x = 3 p 49 y = 1; x = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1); 3 p 49; 3 p 7 Ð c¥u ti¸p theo tæi s³ c i th¶m mët b i vi¸t ngn kh¡ hay. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 140. 118 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 215 x3 + 3x2 + 4x + 2 = y + 3 p y x3 p 3x2 + 3 3 p y 3 p 3 = 0 Gi£i B i n y ch£ câ g¼ °c bi»t n¸u nghi»m cõa nâ khæng l´ to¡c. Tø PT(1) ta rót ra ngay y = x + 1 do h m f(t) = t3 + t ìn i»u t«ng. Thay v o (2) ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sau : p p n x3 3x2 + 3x 3 = 0 §Thû b¬6 p ng Casio ta s³ th§y ph÷ìng tr¼nh n y câ 1 nghi»m r§t x§u. Vªy ph£i l m nh÷ th¸ n o b¥y gií. Tr¶n thüc th¸ ta câ thº gi£i ph÷ìng tr¼nh n y b¬ng cæng thùc Cardano. Tuy nhi¶n ¥y l cæng thùc kh¡ khâ nhî v công khæng phò hñp cho lm. Vªy cán cæng cö n o kh¡c khæng ? V¨n cán, â l °t ©n b¬ng h m l÷ñng gi¡c Hypebolic. Y¸u iºm Tucõa n â â l ch¿ gi£i ÷ñc 1 nhúng ph÷ìng tr¼nh bªc 3 câ nghi»m duy nh§t. Ta s³ °t x = k a rçi sau â thay l¤i a º ra ph÷ìng tr¼nh tròng ph÷ìng. Gií thû ¡p döng vîi b i n y. b 1 Tr÷îc h¸t h¢y ÷a nâ v· d¤ng khuy¸t thi¸u bªc 2 b¬ng c¡ch êi bi¸n z = x + = x p ) 3a 3 1 x = z + p . Thay v o ph÷ìng tr¼nh Minh ta thu ÷ñc 3 2 z3 + 2z p = 0 3 3 1 º þ giúa bªc 3 v bªc 1 l d§u cëng n¶n ta s³ °t z = k a . Thay v o ph÷ìng tr¼nh ta a ÷ñc n 3k3 k3 1 k3a3 3k3a + + 2k a = 0 a a3 a 1 NguyGií ta t¼m k sao cho ¹÷a ÷ñc v· d¤ng tròng ph÷ìng. Tùc l ph£i l m m§t ph¦n a v . Vªy r a 2 suy ra 3k3 = 2k ) k = . r 3 2 1 Vªy °t z = a thay v o ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc 3 a r r 2 p 2 2 1 3 2 1 2 p 1 a3 = 2 a + 2 a p = 0 , 2 a3 = 1 4 1 3 3 a 3 a 3 3 a3 a3 = p 2 2 a = 2 4 1 a = 3 p 6 p 2 ) z = r 2 3 a 1 a = r 2 3 6 p 2 1 6 p 2 = 3 p 4 3 p 2 p 3 ) x = 1 3 p 2 + 3 p 4 p 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 0 @1 3 p 2 + 3 p 4 p 3 ; 1 3 p 2 + 3 p 4 + p 3 3 !3 1 A Ph÷ìng ph¡p °t n y câ thº gi£i ÷ñc mët sè ph÷ìng tr¼nh bªc 5 °c bi»t. Tæi s³ n¶u mët v½ dö cho b¤n åc. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 141. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 119 Gi£i ph÷ìng tr¼nh : x5 + 10x3 + 20x 18 = 0 Nghi»m : x = p 2 s 5 p 113 4 9 + p 2 s 5 p 2 4 9 + p 113 ! p p p x + x2 + y + 3 C¥u 216 p n 2 x + 4 + 3 y + 8 = 13 §Gi£i p p x + 4 y + 8 º þ nhanh l h» n y câ nghi»m (x; y) = (0; 1). N¸u nh÷ th¸ th¼ Tu= . Rã r ng 2 3 câ mët chót t÷ t÷ðng ¡nh gi¡ ð ¥y l dòng Cauchy Schwarz Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc p p p p 2 x + 4 + 3 y + 8 (22 + 32)(x + y + 12) , 13 13(x + y + 8) , x + y 1 ¸n ¥y ch÷a thº ra ÷ñc g¼. Ta hi vong tø (1) s³ cho ta r ng buëc tr¡i ng÷ñc â l x+y 1. B¼nh ph÷ìng (1) ta câ p Minh p x + x2 + y + 3 + 2 x(x2 + y + 3) = 4 ) x + y = 1 x2 2 x(x2 + y + 3 1 Vªy l câ th nh qu£. Gií ch¿ vi»c cho c¡c ¯ng thùc x£y ra. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1) x11 + xy10 n = y22 + y12 C¥u 217 7y4 + 13x + 8 = 2y4: x(3x2 + 3y2 1) Nguy¹Gi£i Câ v´ b i n y h÷îng i r§t rã r ng khi m ph÷ìng tr¼nh ¦u cho d¤ng kh¡ quen thuëc. Tuy nhi¶n nh¼n v o sü khõng khi¸p cõa ph÷ìng tr¼nh (2) ta s³ th§y h» n y hay ð â. Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m. Chia c£ 2 v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (1) cho y11 ta ÷ñc x 11 x + = y11 + y y y Hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t11 + t v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â suy ra x = y2 0 thay v o (2) ta ÷ñc 3 p 7x2 + 13x + 8 = 2x2 3 p x(3x2 + 3x 1) ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh væ t khæng t¦m th÷íng mët chót n o. Chia c£ 2 v¸ cho x3 0 v °t t = 1 x 0 ta s³ ÷a nâ v· ph÷ìng tr¼nh 8t3 + 13t2 + 7t = 2 3 p 3 + 3t t2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 142. 120 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc ¥y l d¤ng ph÷ìng tr¼nh væ t kh¡ quen thuëc m c¡ch tèi ÷u v¨n l sû döng t½nh ìn i»u cõa h m sè. Mët chót kh²o l²o ta ÷a v· 8t3 + 12t2 + 10t + 3 = 3 + 3t t2 + 2 3 p 3 + 3t t2 , (2x + 1)3 + 2(2x + 1) = 3 + 3t t2 + 2 3 p 3 + 3t t2 Hai v¸ 3 p ·u câ d¤ng f(t) = t3 + 2t v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â ta câ 2 n 2t + 1 = 3 + 3t t2 , Tu§Minh ¹n Nguy6664 t = 1(L) t = p 89 6 5 (L) t = p 89 5 6 (TM) ) x = 6 p 89 5 r ) y = 6 p 89 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = 6 p 89 5 ; r 6 p 89 5 C¥u 218 8 : (1 + x2)2 1 + 1 y4 = 8 (1 + y2)2 1 + 1 x4 = 8 Gi£i Mët h» èi xùng. Câ l³ khi g°p b i n y ta th÷íng câ nhúng h÷îng sau : Cho 2 ph÷ìng tr¼nh b¬ng nhau, ho°c l ti¸n h nh chia 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau. Tuy nhi¶n, vîi b i n y, mët chót tinh qu¡i ta s³ câ mët líi gi£i ngn gån v µp ³. i·u ki»n : x; y6= 0 Nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh vîi nhau ta ÷ñc 1 + x22 1 + y22 1 + 1 y4 1 + 1 x4 = 64 ¸n ¥y ta sû döng mët h» qu£ cõa B§t ¯ng thùc Holder nh÷ sau: Vîi d¢y sè d÷ìng a1; a2; : : : an ta câ b§t ¯ng thùc (1 + a1)(1 + a2) : : : (1 + an) (1 + n p a1a2 : : : an)n p döng v o b i to¡n tr¶n vîi v¸ tr¡i ta câ (1 + x2)(1 + x2) 1 + 1 x4 (1 + y2)(1 + y2) 1 + 1 y4 r x2:x2: 1 + 6 1 x4 :y2:y2: 1 y4 6 = 64 ¯ng thùc x£y ra khi x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (1; 1); (1;1); (1; 1); (1;1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 143. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 121 C¥u 219 8 : 3x6 + 7x4y2 7x2y4 3y6 = 2 y 3 2x (x2 y2)7 + 7 = 0 Gi£i ¥y l b7 7 p p i to¡n tæi s¡ng t¡c ho n to n düa v o þ t÷ðng cõa c¥u 160 v 161. N¸u 2 c¥u tr¶n ð ph÷ìng tr¼nh (2) l¦n l÷ñt l mô 3 v 5 th¼ c¥u n y tæi ¢ n¥ng nâ th nh mô 7. ¥y l mn ët b i h» thuëc lo¤i cüc m¤nh v ¦y t½nh ¡nh è. i·u ki»n : x; y6= 0. Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng §4x 3y 3(x6 y6) + 7x2y2(x2 y2) = 2xy Tu4x 3y , (x2 y2)(3x4 + 3x2y2 + 3y4) + 7x2y2(x2 y2) = 2xy , 2xy(x2 y2)(3x2 , 2xy(x2 a + °t x + y = a; x y = b ) x = 2 Minh + 10x2y2 + 3y4) = 4x 3y y2)(3x2 + y2)(3y2 + x2) = 4x 3y b a b ; y = th¼ (ab)7 = 7 . Khi â s³ câ 2 a2 b2 a + b 2 a b 2 2xy = ; x2 + 3y2 = + 3 = a2 ab + b2 2 2 2 a + b 2 a b 2 x + y x y a + 7b 3x2 + y2 = 3 + = a2 + ab + b2 ; 4x 3y = + 7: = 2 2 2 2 2 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) a2 b2 :ab:(a2 + ab + b2)(a2 n ta câ a + 7b h i b2) 2 ab + = , ab(a2 b2) a2 + b2 a2b2 = a + 7b 2 2 Nguy¹, ab(a6 b6) = a + 7b , ab(a6 b6) = a (ab)7:b , a7b ab7 = a a7b8 , a(b7 + 1)(a6b 1) = 0 TH1 : a = 0 hiºn nhi¶n væ lþ x + y = 7 TH2 : b = 1 ) a = 7 , , x y = 1 8 : x = 7 p 7 1 2 y = 7 p 7 + 1 2 TH3 : a6b = 1 , (ab)a5 = 1 , a5 = 1 7 p 7 , a = 1 35 p 7 p 76 , ) b = 35 8 : x + y = 1 35 p 7 p 76 x y = 35 , x = p 77 1 2 35 35 p 7 ; y = p 77 + 1 2 35 35 p 7 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 7 p 7 1 2 ; 7 p 7 + 1 2 ! ; p 77 1 2 35 35 p 7 ; p 77 + 1 2 35 35 p 7 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 144. 122 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 220 8 : p x + 1 + p y + 1 = 2 72xy x y + 29: 3 p x2 y2 = 4 Gi£i i·u ki»n : x 1; y 1; x6= y Rã r ng khâ l m «n ÷ñc g¼ tø ph÷ìng tr¼nh (2). Ta s³ xu§t ph¡t tø ph÷ìng tr¼nh (1). B¼nh ph÷ìng 2 v¸ ta ÷ñc n p x + y + 2 xy + x + y + 1 = 2 ) 4(xy + x + y + 1) = (x + y)2 4(x + y) §+ 4 , (x y)2 = 8(x + y) ¸n ¥y þ t÷ðng g¦n nh÷ ¢ s¡ng tä. Chó þ khi b¼nh ph÷ìng l¦n 2 th¼ i·u ki»n â l x+y 2. L¡t ta s³ dòng i·u ki»n n y º lo¤i nghi»m. TuGií ta bi¸n êi (2), ÷a nâ v· ©n têng v hi»u. ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 18 [(x + y)2 (x y)2] + 29 (x y)(x + y) = 4 x y (x y)4 18 (x y)2 64 29 , + (x y) = 4 x y 2 °t x y = t. Ph÷ìng tr¼nh chuyºn v· 2 Minh 9t3 112t 108 = n 0 , Nguy3 p ¹6666666666664 t = 4 ) x y = 4 x + y = 2 , x = 3 y = 1 (TM) t = 8 3 ) 8 : x y = 8 3 x + y = 8 9 , 8 : x = 8 9 y = 16 9 (TM) t = 4 3 ) 8 : x y = 4 3 x + y = 2 9 , 8 : x = 5 9 y = 7 9 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1); 8 9 ; 16 9 ; 5 9 ; 7 9 C¥u 221 x2 + y2 + xy + 2x = 7y x3 + x2y x2 + 2xy 6x + 3y = 0 Gi£i X²t y = 0 th¼ h» câ nghi»m x = 0 ho°c x = 2 Vîi y6= 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x2 + 2x = y(7 x y) x3 + x2y + 2x2 + 2xy 3(x2 + 2x) = 3y , 8 : x2 + 2x y + (x + y) = 7 (x2 + 2x) (x + y) y 3 x2 + 2x y = 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 145. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 123 °t a = x2 + 2x y ; b = x + y. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a + b = 7 ab 3a = 3 , n Tu§Minh n Nguy¹ a = 2 p 7; b = 5 + p 7 a = 2 + p 7; b = 5 p 7 , 2 6666664 8 : x2 + 2x y = 2 p 7 x + y = 5 + p 7 (V N) 8 : x2 + 2x y = 2 p 7 x + y = 5 p 7 , 2 666666666666664 8 : x = 4 p 7 q 5(7 + 4 p 7) 2 y = 14 p 7 + q 5(7 + 4 p 7) 2 8 : x = 4 p 7 + q 5(7 + 4 p 7) 2 y = 14 p 7 q 5(7 + 4 p 7) 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 0 @4 p 7 q 5(7 + 4 p 7) 2 ; 14 p 7 + q 5(7 + 4 p 7) 2 1 A 0 @4 p 7 + q 5(7 + 4 p 7) 2 ; 14 p 7 q 5(7 + 4 p 7) 2 1 A(0; 0); (2; 0) C¥u 222 y2 + x + xy 6y + 1 = 0 y3x 8y2 + x2y + x = 0 Gi£i ¥y l mët b i to¡n kh¡ thó và. H÷îng r§t quen thuëc â l °t ©n phö têng t½ch. Tuy nhi¶n c¡i hay cõa nâ â l v¸ ph£i khæng ph£i l h¬ng sè m l mët biºu thùc theo ©n. Nh¼n nhªn lo¤i h» n y kh¡ khâ, c¦n mët chót tinh qu¡i v may mn. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng y2 + x + xy + 1 = 6y y3x + y2 + x2y + x = 9y2 , (xy + 1) + (y2 + x) = 6y (y2 + x)(xy + 1) = 9y2 Rã r ng y2 + x v xy + 1 l 2 nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X2 6yX + 9y2 = 0 , X = 3y. Tø â ta câ : y2 + x = 3y xy + 1 = 3y , x = 3y y2 (3y y2) y + 1 = 3y , y = 1 x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 146. 124 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 223 x2 + xy + y2 = 3y 1 x3 + x2y = x2 x + 1 Gi£i Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». H» ¢ cho vi¸t l¤i : 2 x2 + 1 + y(x + y 1) = 2y x2 + 1 = y , , n (x2 + 1):y(x + y 1) = y2 y(x + y 1) = y Tu§Minh ¹n Nguy64 x = p 5 2 1 ; y = p 5 2 5 + x = p 5 2 1 + ; y = p 5 2 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 5 2 ; p 5 2 5 + ! ; 1 + p 5 2 ; p 5 2 5 ! C¥u 224 8 : 1 x 1 2y = 2(y4 x4) 1 x + 1 2y = (x2 + 3y2)(3x2 + y2) Gi£i D¤ng n y gièng vîi c¥u 138. i·u ki»n : x; y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2 x = 2y4 2x4 + 3x4 + 3y4 + 10x2y2 1 = 3x4 + 3y4 + 10x2y2 2y4 + 2x4 y , 2 = 5y4x + x5 + 10x3y2 1 = 5x4y + y5 + 10x2y3 L¦n l÷ñt cëng trø hai ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta câ (x + y)5 = 3 (x y)5 = 1 , x + y = 5 p 3 x y = 1 , 8 : x = 5 p 3 + 1 2 y = 5 p 3 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 p 3 + 1 2 ; 5 p 3 1 2 ! C¥u 225 ( x2 + 2xy + y = 0 x3 + 3xy + 2 p y + 1 x + p x2y + 2 = 4 Gi£i ¥y l mët b i h» kh¡ khâ v ¡nh è. i·u ki»n : y 1; x2y 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 147. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 125 Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ x2 + y = 2xy. Gií h¢y kh²o l²o sû döng nâ. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x3 + xy + 2xy + 2x p y + 1 + 2 p y + 1 p x2y + 2 4 = 0 , x(x2 + y) (x2 + y) + 2x p y + 1 + 2 p y + 1 p x2y + 2 4 = 0 p p p , x:(2xy) x2 y + 2x y + 1 + 2 y + 1 x2y + 2 4 = 0 p p p , (x2y + 2 + y + 1 2 y + 1 x2y + 2) x2(y + 1) 2x y + 1 + 1 = 0 n p p 2 p , x2y 2 + 2 y + 1 x y + 1 1 = 0 §º ¯ng thùc x£y ra th¼ p Tux y + 1 = 1 , x2y + 2 = y + 1 Minh ¹n Nguy8 : x2(y + 1) = 1 x2y = y 1 x 0 ) x2(y + 1)(y 1) = x2y TH1 : x = 0 ) y = 0 (Væ lþ) TH2 : y2 y 1 = 0 , 2 664 y = p 5 2 1 + ) x = 1 p y + 1 = p 5 1 2 y = p 5 2 1 ) x = 1 p y + 1 = p 5 + 1 2 Ta ph£i thay l¤i v o ph÷ìng tr¼nh (1) v ch¿ câ c°p sè 2 l thäa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 5 + 1 2 ; p 5 2 1 ! C¥u 226 x3 + 3xy2 = x2 + y2 + 2 x4 + y4 + 6x2y2 = 8 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng x(x2 + 3y2) = x2 + y2 + 2 ) º câ nghi»m th¼ x 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng (x2 + y2)2 + (2xy)2 = 8 x2 + y2 + 2 = x(x2 + y2) + (2xy):y Ta câ x2 + y2 + 2 2 = x(x2 + y2) + y(2xy) (x2 + y2) (x2 + y2)2 + (2xy)2 , (x2 + y2 + 2)2 8(x2 + y2) , (x2 + y2 2)2 0 D§u b¬ng x£y ra khi 8 : x2 + y2 = 2 x2 + y2 x = 2xy y x 0 , 2 x = 2x , x = 1; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 148. 126 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 227 8 : 2x + 1 2y = s x2 + x + 1 y2 + 3 x + p y + 1 = 3 Gi£i i·u ki»n : 1 y6= 0 n Nh¼n v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta th§y º câ nghi»m th¼ 2x + 1 v 2y còng d§u. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p s p s §x2 + x + 1 y2 + 3 x2 + x + 1 Tuy2 + 3 + , + 2x + 1 2y 4x2 + 4x + 1 4y2 , Minh n Nguy¹vuuuuut x2 + x + 1 4 4 x2 + x + 1 4 = r 1 4 + 3 4y2 , s 1 4 + 3 4(2x + 1)2 = r 1 4 + 3 4y2 , y2 = (2x + 1)2 , y = 2x + 1 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc x + p 2x + 2 = 3 , x = 1 ) y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3) C¥u 228 x + 3y2 2y = 0 36 (x p x + 3y3) 27(4y2 y) + 2 p p 3 9 x 1 = 0 Gi£i ¥y l mët c¥u trong · Olympic 30/4 n«m 2013. T§t nhi¶n l mët c¥u r§t khâ n¸u khæng tinh þ nhªn ra. i·u ki»n :x 0 p 2 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng : 3x + (3y 1)2 = 1 , 3x + (3y 1)2 = 1 Vªy ta °t 3y 1 = cos t; p 3x = sin t; t 2 [0; ] Thay h¸t v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc 36x p x + (2 p 3 9) p x + 4(3y 1)3 3(3y 1) = 0 , 36sin3t p 3 3 + (2 p 3 9) sin t p 3 + 4cos3t 3 cos t = 0 p 3sin3t 3 , 4 p 3 sin t + cos 3t = 2 sin t , p 3 sin 3t cos 3t = 2 sin t , sin 3t 6 = sin t Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 149. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 127 8 : 2 4 t = 12 + k t = 7 24 + k 2 t 2 [0; ] , t 2 12 ; 7 24 ; 19 24 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = §n TuMinh ¹n Nguy sin2t 3 ; 1 + cos t 3 vîi t 2 12 ; 7 24 ; 19 24 C¥u 229 x2 + 4y2 = 1 16x5 20x3 + 5x + 512y5 160y3 + 10y + p 2 = 0 Gi£i º þ mët ph¦n cõa ph÷ìng tr¼nh (2) biºu thùc r§t gièng cæng thùc nh¥n 5. V biºu thùc ¦u c ng khi¸n ta câ cì sð l÷ñng gi¡c hâa cho b i n y. °t x = sin t; 2y = cos t; t 2 [0; 2]. Thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc 16sin5t 20sin3t + 5 sin t + (16cos5t 20cos3t + 5 cos t) + p 2 = 0 sin 5t + cos 5t = p 2 , sin 5t + 4 = 1 , ( t = 3 20 + k2 5 t 2 [0; 2] , t 2 4 ; 13 20 ; 21 20 ; 29 20 ; 37 20 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) sin t; cos t 2 vîi t 2 4 ; 13 20 ; 21 20 ; 29 20 ; 37 20 C¥u 230 2(x + y)3 + 4xy 3 = 0 (x + y)4 2x2 4xy + 2y2 + x 3y + 1 = 0 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 2(x + y)3 + 4xy 3 = 0 (x + y)4 2(x + y)2 + (x + y) + (2y 1)2 = 0 °t x + y = t ta câ 0 = 2t3 + 4xy 3 2t2 + t 3 , t 1 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng t4 2t2 + t + (2y 1)2 = 0 Ta câ : t4 2t2 + t = t(t 1)(t2 + t 1) 0 vîi 8t 1 v (2y 1)2 0 Vªy v¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh (2) luæn khæng ¥m. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 150. 128 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc ¯ng thùc x£y ra khi 2y 1 = 0 x + y = 1 , x = y = 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 1 2 p(2x y + 2)(2x + y) + 6x 3y = 6 C¥u 231 p n 2x + 1 + y 1 = 4 §Gi£i 1 i·u ki»n : x ; y 1 Tup 2 p °t a = 2x + 1 0; b = y 1 0 ta câ h» a + b = 4 Minh a + b = 4 , (a2 b2) (a2 + b2) + 3 (a2 b2 2) = 6 (a2 b2) (a2 + b2 + 3) = 0 ( 3 x = , a = b = 2 , 2 y = 5 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 5 2 p p C¥u 232 p 4x2 + (4x 9)(x y) + xy = 3y 4 (x + 2)(y n + 2x) = 3(x + 3) Nguy¹Gi£i ¥y l mët lo¤i h» kh¡ thó và. B¤n s³ cán g°p kho£ng 2,3 c¥u nh÷ n y núa trong cuèn s¡ch. °t i·u ki»n cho h» ph÷ìng tr¼nh. D¹ th§y 2 i·u ki»n nêi bªt nh§t º h» câ nghi»m l x; y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p p 4x2 + (4x 9)(x y) 2y + ( xy y) = 0 , p 4x2 + (4x 9)(x y) 4y2 xy y2 + p = 0 4x2 + (4x 9)(x y) + 2y xy + y , (x y) 8x + 4y 9 p 4x2 + (4x 9)(x y) + 2y + y p xy + y ! = 0 ¸n ¥y b¤n mong ñi nh§t i·u g¼ ? B¥y gií ch¿ ÷îc sao 8x + 4y 9 núa thæi l xong trªn rçi nh¿ ? Vªy chùng minh kiºu g¼ ? L§y ð ¥u ra ? Ð ph÷ìng tr¼nh (2) chù ¥u núa ! º þ mët Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 151. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 129 tµo l s³ l m xu§t hi»n 8x + 4y. Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta rót ra 8x + 4y = 9(x + 3)2 4(x + 2) . Gií cæng vi»c cõa ta l ph£i chùng minh 9(x + 3)2 4(x + 2) 9 , (x 1)2 0 Nh÷ vªy ta ¢ câ th nh qu£. Tø â rót ra x = y thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ n p 27 x = (L) 4 3x(x + 2) = 3(x + 3) ) 13 §x = 1 ) y = 1(TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) TuTi¸p sau ¥y chóng ta ¸n vîi mët chòm h» sû döng ph÷ìng ph¡p nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh vîi nhau º êi ©n. Tùc l ta s³ kh²o l²o sp x¸p l¤i h» mët chót rçi nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh vîi nhau t¤o th nh mët ph÷ìng tr¼nh ©n mîi (th÷íng l ©n xy). ¥y l mët h÷îng l m khâ, nâ y¶u c¦u sü tinh t¸ v tinh qu¡i trong vi»c nh¼n bao qu¡t h» v sp x¸p c¡c ph÷ìng tr¼nh. y(xy 2) = 3x2 C¥u 233 y2 + x2y + 2x = 0 Minh Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng y(xy n 2) = 3x2 ) 3x2y2 = xy(xy y2 2)(xy + 2) x(xy + 2) = NguyTH1 : x = y = 0 ¹2 xy = 1 TH2 : 3xy = (xy)2 4 , , xy = 4 64 x = 1 y x = 4 y Vîi x = 1 y thay (2) ta ÷ñc y2 + 3 y = 0 , y = 3 p 3 ) x = 1 3 p 3 Vîi x = 4 y t÷ìng tü v ta t¼m ra y = 2 ) x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (2;2); 1 3 p 3 ; 3 p 3 Lo¤i h» n y h¼nh thùc cho th÷íng kh¡ gi£n ìn nh÷ vªy. Mët líi khuy¶n nhä cõa tæi l h¢y ÷a nhúng ph¦n tû ìn ëc nh÷ x; x2; x3; y; y2::: sang mët v¸, nhúng ph¦n tû k¸t d½nh vîi nhau nh÷ xy; x2y; y2x; ::: sang mët v¸. T§t nhi¶n nâ s³ câ nhi·u y¸u tè kh¡c, c¦n ph£i ëng n¢o º t¼m h÷îng gi£i quy¸t. Gií ti¸p töc ¸n mët sè c¥u còng þ t÷ðng. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 152. 130 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 234 x3 + xy 2 = 0 y3 + 3xy + 3 = 0 Gi£i ¥y l mët c¥u trong · thi thû cõa tr÷íng THPT Chuy¶n - HSPHN. Þ t÷ðng cõa nâ công nh÷ tr¶n. H» vi¸t l¤i nh÷ sau n x3 = 2 xy ) (xy)3 = (2 y3 xy): 3(xy + 1) = 0 §= 3xy 3 , (xy)3 3(xy)2 + 3xy 1 = 7 , (xy 1)3 = 7 , Tuxy = 1 7 T§t nhi¶n ¸n ¥y ch£ ai i¶n m rót x theo y v thay v o ph÷ìng tr¼nh (2). Tø 2 ph÷ìng tr¼nh ¦u ta ho n to n câ thº t½nh ÷ñc x; y rçi. Tø (1) ta câ q x3 3 = 2 xy = 1 + 7 , x = 1 + 7 Tø (2) ta câ q y3 3 = 3xy 3 = 3 7 6 , y = 3 7 6 Minh Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = n Nguy3 3 p p 3 3 p p 3 p ¹3 p 1 + 3 p 7; 3 p 3 3 p 7 6 C¥u 235 5x3 + 3y3 2xy = 6 3x3 + 2y3 + 3xy = 8 Gi£i ¥y l mët h» r§t hay l ph¡t triºn hìn cõa c¥u 234. Ð ¥y l khæng thº ¡p döng nh¥n t¤o ©n mîi ngay ÷ñc. Muèn ÷ñc th¼ ph£i ÷a nâ v· d¤ng gièng nh÷ tr¶n, tùc l méi ph÷ìng tr¼nh khæng tçn t¤i c£ 2 ph¦n tû x3 v y3. L m c¡ch n o ? R§t ìn gi£n â l coi x3; y3 l ©n ch½nh cán xy l h¬ng sè. Nh÷ th¸ ta ÷ñc mët h» cõa lîp 9, r§t ìn gi£n ta rót ÷ñc x3; y3 theo xy. Ð ¥y s³ l 5x3 + 3y3 = 6 + 2xy 3x3 + 2y3 = 8 3xy , x3 = 13xy 12 (3) y3 = 21xy + 22 (4) ) x3y3 = (13xy 12)(21xy + 22) , xy = 1 xy = 137 p 19033 Vîi xy = 1 tø (3) v (4) d¹ d¬ng gi£i ra x = y = 1 Vîi xy = 137 + q 13(137 + p 19033 tø (3)(4) suy ra x = 3 p 19033) 12 = 3 p p 19033 1793 v y = 3 13 q 21(137 + p 19033) + 22 = 3 p 2899 21 p 19033 Vîi xy = 137 p 19033 tø (3)(4) suy ra x = 3 p 13 p 19033 1793, y = 3 p 2899 + 21 p 19033 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 153. 2.8 C¥u 211¸n c¥u 240 131 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 3 p p 19033 1793; 3 p 2899 21 13 p 19033 3 p p 19033 1793; 3 p 2899 + 21 13 p 19033 3 x3 8y3 3 3 p p p = 1 + 3xy 3x2y2 C¥u 236 8y3 3x3 = 1 3xy + 9x2y2 §n Gi£i T¡c gi£ b i to¡n l th¦y L¶ Trung T½n b¶n BoxMath. Nh¼n th¼ câ v´ Tukh¡ gièng c¥u tr¶n nh÷ng thüc ra b i n y ð level cao hìn r§t nhi·u. Tr÷îc h¸t ta h¢y cù l m quen thuëc ¢ H» t÷ìng ÷ìng ( x3 = 3x2y2 + 1 (1) 8y3 = 3xy + 2 (2) L§y (1) nh¥n (2) v¸ theo v¸, ta ÷ñc x3y3 + 6x2y2 + 3xy + 2 = 0 (3) ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh bªc 3 ©n xy tuy nhi¶n nghi»m kh¡ x§u. H¢y thû k¸t hñp vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh kh¡c xem. L§y (3) trø (1) v¸ theo v¸, ta ÷ñc Minh (xy + 1)3 = x3 , xy = x 1 (4) Th¸ (4) v o (1), ta ÷ñc x3 + 3(x 1)2 + 1 = 0 , 3x3 = (x 2)3 n , 3x = x 2 , x = 1 3 9 1 + 3 Thay l¤i v o (4) v ta t¼m ra y = Nguy¹ 2 ! 1 + 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 3 9; 2 (x y)4 = 13x 4 C¥u 237 p p p x + y + 3x y = 2 Gi£i i·u ki»n : y minfx; 3xg Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 3 p 3 3 p p 3 p x + y + 3x y + 2 p (x + y)(3x y) = 2 p (x + y)(3x y) , ,1 2x = 2 8 : x 1 2 (2x 1)2 = 3x2 + 2xy y2 ,(x y)2 = 4x 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 154. 132 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Thay v o (1) ta ÷ñc (4x 1)2 = 13x 4 , x = 5 16 , 2 64 y = 3 16 y = 13 16 5 3 5 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; ; ; 16 16 16 16 §n x2y2 9x + 4y2 = 0 C¥u 238 x3 + 3x2 24x + 2y + 31 = 0 TuGi£i Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng ( 9x x 0 y2 = ) 9x 9 3 3 x2 + 4 y2 = , y 4x 4 2 2 Sû döng k¸t qu£ n y k¸t hñp vîi ph÷ìMinh ng tr¼nh (2) ta ÷ñc x3 + 3x2 24x + 31 = 2y 3 , (x 2)2 x0 (x + 7) 0 , x = 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2; 2 Tæi ÷a th¶m 1 v½ dö núa n cho c¡c b¤n l m. V tü rót ra nhªn x²t v· h¼nh thùc cõa chóng. Nguy x2y2 ¹ 2x + y2 = 0 C¥u 239 2x3 + 3x2 + 6y 12x + 13 = 0 Nghi»m : (x; y) = (1;1) x3 3xy2 x + 1 = y2 2xy x2 C¥u 240 y3 3yx2 + y 1 = y2 + 2xy x2 Gi£i H» kh¡ èi xùng. Tuy nhi¶n ¥y m mët b i to¡n kh¡ khâ chìi. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( x(x2 y2) 2xy2 + (x2 y2) + 2xy x + 1 = 0 y(y2 x2) 2x2y + (x2 y2) 2xy + y 1 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 155. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 133 L§y PT(1) i:PT(2) ta ÷ñc (x2 y2)(x + yi) 2xy(xi y) + (x2 y2)(1 i) + 2xy(1 + i) (x + yi) + 1 + i = 0 , (x + yi)(x2 y2) + 2xyi(x + yi) + (x2 y2)(1 i) 2xyi(i 1) (x + yi) + 1 i = 0 , (x + yi)(x2 + 2xyi y2) + (1 i)(x2 + 2xyi y2) (x + yi) + 1 + i = 0 , (x + yi)3 + (1 i)(x + yi)2 (x + yi) + 1 + i = 0 n , z3 + (1 i)z z + 1 + i = 0 (z = x + yi) §, (z i)(z2 + z 1 + i) = 0 TH1 : z = i , (x; y) = (0; 1) TuTH2 : z2 + z 1 + i = 0 ( a2 Minh b2 = 5 = 5 4i = (a + bi)2 , , 2ab = 4 ¹n Nguy8 : a = r 1 2 (5 + p 41) b = 1 4 p 41 5) ( r 1 2 (5 + p 41) ¸n ¥y ta t¼m ÷ñc z = 2 q 2(5 + p 41) 4 + i: 1 8 p 41 5) ( r 1 2 (5 + p 41) ho°c z = 2 + q 2(5 + p 41) 4 i: 1 8 p 41 5) ( r 1 2 (5 + p 41) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); 0 @2 q 2(5 + p 41) 4 ; 1 8 p 41 5) ( r 1 2 (5 + p 41) 1 A, 0 @2 + q 2(5 + p 41) 4 ; 1 8 ( r p 41 5) 1 2 (5 + 1 A p 41) 2.9 C¥u 241 ¸n c¥u 270 C¥u 241 8 : x y + 1 + y x + 1 = p xy 2 p xy + 1 5 p x 1 + 3 p y 1 = 4 Gi£i i·u ki»n : x; y 1 Ch½nh v¼ i·u ki»n n y m ta câ b§t ¯ng thùc kh¡ quen thuëc sau 1 x + 1 + 1 y + 1 2 p xy + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 156. 134 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng x y + 1 + 1 + y x + 1 + 1 = p xy 2 p xy + 1 + 2 , (x + y + 1) 1 x + 1 + 1 y + 1 = p xy + 1) p xy + 1 2(2 () n M ta câ Tu§Minh ¹n Nguy8 x + y + 1 2 : p xy + 1 1 x + 1 + 1 y + 1 2 p xy + 1 Vªy (*) suy ra V T V P ¯ng thùc x£y ra khi x = y thay v o (2) ta ÷ñc 8 p x 1 = 4 , x = y = 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5; 5) C¥u 242 x2 + 2x 2 = p y2 4y 2 6x y 11 + p 10 4x 2x2 = 0 Gi£i i·u ki»n : y2 + 4y + 2 0; 10 4x 2x2 0 Mët h» kh¡ khâ chàu. Khæng l m «n g¼ nêi tø 2 ph÷ìng tr¼nh. ¡nh gi¡ câ l³ l gi£i ph¡p cuèi.Ð ¥y câ c«n n¶n câ l³ s³ dòng AM GM. Ta l¤i má ra ÷ñc nghi»m (x; y) = (1;3). §y l cì sð º ta nh¥n chia h¬ng sè phò hñp. Ta câ (1) , x2 + 2x 2 = p 1(y2 4y 2) y2 4y 1 2 , 2x2 + 4x + y2 + 4y 3 0 () T÷ìng tü vîi (2) ta câ (2) , y 6x + 11 = p 10 4x 2x2 = 1 2 p 4(10 4x 2x2) 14 4x 2x2 4 , x2 10x + 2y + 2y + 15 0 () Cëng (*) vîi (**) ta câ 3x2 6x + y2 + 6y + 12 0 , 3(x 1)2 + (y + 3)2 0 , ( x = 1 y = 3 Thay l¤i v o h» th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 157. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 135 C¥u 243 y3 + x2 = p 64 x2y (x2 + 3)3 = y + 6 Gi£i Ta câ 3 y + 6 = x2 + 2 23 = 8 , y 2 X²t (1) ta câ n p y3 + x2 8 64 x2y §¯ng thùc x£y ra khi y = 2; x = 0 thû l¤i th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 2) Tu p p 2 x p 4 y 1 = 2 C¥u 244 x + 12x + y2 = 19 Gi£i i·u ki»n : x 4; y 1 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng Minh p p 2(x 8) y 5 2 x 4 4 = y 1 2 , p = p 2 x 4 + 4 y 1 + 2 p p X²t x 8 ) y 5 . Khi â V T = x + 12x + y2 8 + 121 = 19 = V P X²t x 8 ) y 5 . Khi â V T V P Vªy x = 8; y = 5. Thû l¤i th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = (8; 5) Nguy¹C¥u 245 8 : p x + 2 p y = 1 1 x 1 p 4x + y2 = 1 6 Gi£i i·u ki»n : x 2; y 0 V¼ y = 0 khæng l nghi»m ) y 0. Vªy ta suy ra 8 p x + 2 1 1 x : 1 6 + 1 p 4x , 8 : x p 33) 2 3(7 y 0 Gi£ sû y x 1 th¼ (1) ta ÷ñc 8 : x 3(7 p 33) p 2 x + 2 1 + p x 1 , x 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 158. 136 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc (2) ta ÷ñc 8 : x p 33) 2 3(7 1 x 1 6 + 1 x + 1 , p 33) 2 3(7 x 2 Rã r ng l væ lþ. T÷ìng tü vîi y x 1 Vªy y = x 1 thay v o (2) ta câ 1 1 1 = + , x = 2 ) y = 1 (TM) x 6 x + 1 n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) § p p Tup x 5 + 2y 4 = x y + 1 C¥u 246 8 y(x 2) + 4 8y = (y x)2 Gi£i i·u ki»n : x 5; y 2 p (2) , 8 yx 2y Minh + 4 8y = x2 2xy + y2 p , 4(xy 2y) + 8 xy 2y + 4 = x2 + 2xy + y2 p 2 , 2 xy 2y + 2 = (x + y)2 p 2 , p xy 2y + 2 = x + y (3) 2 xy 2y + 2 = (x + y) (4) (4) lo¤i p v¼ V T 0 V P n p p 2 (3) , 2 y(x 2) = (x 2) + y , x 2 y = 0 , x = y + 2 NguyThay l¶n (1) ta câ ¹p p y 3 + 2y 4 = 3 , y = 4 ) x = 6 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (6; 4) p p y + 3y2 2y + 6 + 3x2 = 3x + 7x2 + 7 + 2 C¥u 247 3y2 4x2 3y + 3x + 1 = 0 Gi£i i·u ki»n : 3y2 2y + 6 + 3x2 0 Th§y h» n y chùa mët tam thùc bªc 2. Vªy thû t½nh xem sao. Khæng ÷ñc rçi ! Qu¡ x§u. Ngh¾ h÷îng kh¡c. Nhªn th§y ph÷ìng tr¼nh (1) chùa mët c«n thùc kh¡ b§t ên. Câ l³ nâ li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh thù (2). Thû dòng ph²p th¸ xem sao. Tø (2) ta rót ra 3y2 2y + 6 + 3x2 = 7x2 + y 3x + 5 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 159. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 137 Thay l¶n (1) ta ÷ñc y 3x 2 + p 7x2 + y 3x + 5 = p 7x2 + 7 ¸n ¥y li»u i ti¸p ÷ñc chù ? °t p 7x2 + 7 = u 0; y 3x 2 = v ta câ ph÷ìng tr¼nh p p v + u2 + v = u , u2 + v = u v ) u2 2uv + v2 = u2 + v , v(2u v + 1) = 0 n Ta câ : 2u v + 1 = u + (u v) + 1 0 §Vªy suy ra v = 0 , y = 3x + 2 thay v o (2) ta ÷ñc x = 1 ) y = 1 (TM) 3(3x + 2)2 4x2 3(3x + 2) + 3x + 1 = 0 , 7 25 x = ) Tuy = (TM) 23 23 Minh 7 25 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); ; 23 23 C¥u 248 ¹n Nguy8 : x p (1 y)(1 x2) + y p (1 x)(1 y2) = s 2 + p 2 (1 x2)(1 y2) x p 1 x2 + y p 1 y2 = r 1 (1 x2)(1 y2) Gi£i i·u ki»n : 1 x 1;1 y 1 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x p 1 y2 + y p 1 x2 = 1 Ta câ : x p 1 y2 + y p 1 x2 p (x2 + y2)(2 x2 y2) x2 + y2 + 2 x2 y2 2 = 1 ¯ng thùc x£y ra khi ( x2 + y2 = 1 y p 1 y2 = x p 1 x2 , x = y = p 2 2 Thay v o (2) ch¿ câ x = y = p 2 2 thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 2 2 ; p 2 2 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 160. 138 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 249 p x + y2 + y + 3 3 2 p y = p x + 2 y3 + y2 3y 5 = 3x 3 p x + 2 Gi£i i·u ki»n : y 0; x 2 Chc chn s³ xu§t ph¡t tø (1). T÷ìng ÷ìng p p p 2 x + y2 + y + 3 = 3 y + x + 2 n Ta câ p p p p p p 3 y + x + 2 = 3: 3y + 1: x + 2 2 3y + x + 2 §Gií ta chùng minh p p 2 3y + x + 2 2 x + y2 + y + 3 , (y 1)2 0 Tu(Right) p p ¯ng thùc x£y ra khi y = 1 v y = x + 2 ) x = 1 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) x(x2 + 1) + xy(2x 3y) + y(x 2) = 2y2(1 + 5y) C¥u 250 (x2 + 17y + 12)2 = Minh 4(x + y + 7)(x2 + 3x + 8y + 5) Gi£i V¨n giú nguy¶n t÷ t÷ðng khi g°p lo¤i h» n y. Ho°c nhâm nh¥n tû ÷ñc ho°c °t ©n phö. N¸u nhâm nh¥n tû câ l³ s³ xu§t ph¡t tø (1) v¼ (2) qu¡ ç së. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìn ng (x 2y) + (x3 + 2x2y 3xy2 10y3) + xy 2y2 = 0 Nguy, ¹(x 2y) + (x 2y)(x2 + 4xy + 5y2) + y(x 2y) = 0 , (x 2y)(x2 + 4xy + 5y2 + y + 1) = 0 1 2 3 Hiºn nhi¶n x2 + 4xy + 5y2 + y + 1 = (x + 2y)2 + y + + 0. Vªy ta rót ÷ñc x = 2y 2 4 thay v o (2) ta ÷ñc (4y2 + 17y + 12)2 = 4(3y + 7)(4y2 + 14y + 5) Ta câ thº nh¥n tung nâ ra rçi gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc 4, tuy nhi¶n º þ mët chót th¼ b i to¡n gi£i quy¸t nhanh hìn kh¡ nhi·u. °t 4y2 + 14y + 5 = a; 3y + 7 = b. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng (a+b)2 = 4ab , (ab)2 = 0 , 4y2+11y2 = 0 , 2 64 y = p 17 11 3 8 ) x = p 17 11 3 4 y = 11 + 3 p 17 8 ) x = 11 + 3 p 17 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 11 3 p 17 4 ; p 17 11 3 8 ! ; 11 + 3 p 17 4 ; 11 + 3 p 17 8 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 161. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 139 C¥u 251 8 : y2 x r y2 + 2 3 p x p y2 + 1 + 2x 1 = 1 = 2x 2 Gi£i i·u ki»n : x 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng n r y2 + 2 y2 §, + 2 x = 2x r x y2 y2 + 2 , = 2 , t2 t 2 = 0 x x Tu, t = 2 , y2 = 4x 2 Thay v o (2) ta ÷ñc p 4x 1 + 2x 1 = 1 Ta °t 2 c«n v düng mët h» t¤m sau a + b = 1 Minh a = 1 p 1 , , 4x 1 = 1 , x = ) a2 2b3 y = 0 = 1 b = 0 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 0 2 p x2 4 C¥u 252 p 3x n 2 + 10 = 2y y2 6 4y 3 + 11 = x Nguy¹Gi£i 2 3 i·u ki»n : x ; y 3 4 Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh vîi nhau ta ÷ñc p p x2 4 3x 2 + 10 + y2 6 4y 3 + 11 = 2y + x p p , (3x 2 4 3x 2 + 4) + (x2 4x + 4) + (4y 3 6 4y 3 + 9) + (y2 6y + 9) = 0 p 2 p 2)2 2 , 3x 2 2 + (x + 4y 3 3 + (y 3)2 = 0 , 3 p ( x = 2 y = 3 Thay l¤i v o h» th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 162. 140 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 253 p x + 6 = 6 y 2(x 2) p y + 2 = (x 2) p y + 1 p x2 4x + 5 Gi£i i·u ki»n : x 6; y 1 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng p p x 2 y + 1 p x 2 y + 1 p = p , = qx2 y + 2 p n 4x + 5 (x 2)2 + 1 2 y + 1 + 1 §t 1 X²t f(t) = p . Ta câ f0(t) = p 0. Vªy f(t) ìn i»u t«ng v tø â rót ra t2 + 1 ( t2 + 1(t2 + 1) p x 2 x 2 = y + 1 , . Thay l¶n (1) ta ÷ñc Tuy = x2 4x + 3 p 2(x 2) x + 6 = x2 + 4x + 3 p , 2(x 2) x + 6 3 = x2 2x + 15 x 3 , 2(x 2) p = (x 3)(x + 5) x + 6 + 3 Rã r ng vîi i·u ki»n khi rót th¼ ph÷ìng tr¼nh n y ch¿ câ nghi»m x = 3 ) y = 0. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; Minh 0) x3y3 + 3xy2 7y3 = 1 C¥u 254 x2 + 2x + n (xy 1)2 = 2x2y Gi£i NguyPh÷ìng tr¼nh (2) t÷ì¹ng ÷ìng x2 + 2x + x2y2 2xy + 1 2x2y = 0 , (xy x 1)2 = 0 , xy x 1 = 0 , 8 : xy = x + 1 y = x + 1 x Thay h¸t l¶n (1) ta câ (x + 1)3 + 3(x + 1) x + 1 x 7 x + 1 x 3 = 1 , x3(x + 1)3 + 3x2(x + 1)2 7(x + 1)3 = x3 , x3(x + 1)3 + 3x2(x + 1)2 + 3x(x + 1) + 1 = x3 + 3x(x + 1) + 1 + 7(x + 1)3 , (x2 + x + 1)3 = 8(x + 1)3 = (2x + 2)3 , x2 x 1 = 0 , 2 64 x = p 5 2 1 ) y = p 5 2 1 x = p 5 2 1 + ) y = p 5 2 1 + Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 163. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 141 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 5 2 ; p 5 2 1 ! ; 1 + p 5 2 ; p 5 2 1 + ! C¥u 255 Tu§n Minh n Nguy¹8 : 2x2 2 y2 ( p 2 + 1)(x p 2 1) xy2 x2y2 + 1 = 0 4x + y2 x2y2 + 1 = 2 + p 2 Gi£i T¡c gi£ b i to¡n l anh Nguy¹n B¼nh. ¥y t§t nhi¶n l mët b i to¡n r§t khâ, ái häi ngh» thuªt bi¸n êi kh¡ tèt. i·u ki»n : y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2x2 2 y2 p 2 + 1 x p 2 p 2:x p 2 2x2 + 2 y2 = p 2 + 1 2: 2x y + p 2: p 2 y 2x2 + 2 y2 p 2 + 1 p 2 y = 0 °t p 2x = a; p 2 y = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : a2 b2 p 2 + 1 a p 2a a2 + b2 = ( p 2 + 1) 2ab ( p 2 + 1)b + p 2b a2 + b2 = 0 L§y PT(1) i:PT(2) ta ÷ñc (a2 b2 + 2abi) ( p 2 + 1)(a + bi) p 2(a bi) a2 + b2 + ( p 2 + 1) = 0 °t z = a + bi. Th¼ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng z2 p 2 + 1 z p 2z z:z + p 2 + 1 = 0 , z2 p 2 + 1 z p 2 z + p 2 + 1 = 0 , z (z2 z + 1) z p 2 = 0 , 2 6664 z = p 2 z = 1 2 + p 3 2 i z = 1 2 p 3 2 i Vîi z = p 2 ) a = p 2; b = 0 (L) Vîi z = 1 2 + p 3 2 i ) 8 : a = 1 2 b = p 3 2 , 8 : x = 1 2 p 2 y = p 2 p 3 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 164. 142 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vîi z = 1 2 p 3 2 i ) 8 : x = 1 2 p 2 y = p 2 p 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 p 2 ; p 2 p 3 2 ! ; 1 2 p 2 ; p 2 p 3 2 ! n x y = 2y2 + 1 §C¥u 256 p p x + y + x 2y = 3y Gi£i Tui·u ki»n : x + y 0; 2x y 0 Rã r ng º câ nghi»m th¼ y 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng p p Minh p p 2 2 x + y + x 2y = x + y x 2y p p , x + y = x 2y + 1 p p Xû l½ c¡i n y tèt nh§t ta s³ sû döng h» t¤m. °t x + y = a; x 2y = b. Ta câ : ( ( a b = 1 a b = 1 p , , 2a = 3y + 1 , 2 x + y = 3y + 1 , 4x = 9y2 + 2y + 1 a2 b2 = 3y a + b = 3y Thay l¶n (1) ta câ n 9y2 + 2y + 1 2y2 y = 3 ) x = 22 = + y + 1 , 4 y = 1 (L) NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = (22; 3) C¥u 257 8 : x4 + y4 (x + y)4 = p xy x + y 3 8 1 p x + 3 p y = 4 Gi£i i·u ki»n x; y 0. Tho¤t nh¼n th§y ph÷ìng tr¼nh (1) kh¡ thu¦n nh§t. °t x = ty ch«ng. Tuy nhi¶n khi â ta s³ ra mët ph÷ìng tr¼nh ©n t khæng d¹ chìi mët chót n o. º þ : d§u b¬ng x£y ra t¤i x = y. Vªy ph£i ch«ng l dòng b§t ¯ng thùc ? p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ tr¡i cõa (1) ta câ x4 + y4 (x + y)4 (x2 + y2)2 2(x + y)4 (x + y)4 8(x + y)4 = 1 8 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 165. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 143 p döng b§t ¯ng thùc AM GM cho v¸ ph£i ta câ p xy x + y 3 8 p xy 2 p xy 3 8 = 1 8 ¯ng thùc x£y ra khi x = y. Thay v o (2) d¹ d ng gi£i ra x = y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) n p p p p §xy C¥u 258 (x y)( xy 2) + p x = y + y (x + 1) y + xy + x(1 x) = 4 TuGi£i åc h÷îng gi£i v thû xem lo¤i h» n y ¢ rìi v o c¥u n o rçi nh² ! Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p y2 q xy + (x y) xy 2 x y + p p p = 0 xy + (x y) xy 2 + y x + y 2 Minh 3 p , (x y) 4 q y + xy 2 1 + p p 5 = 0 () p xy + (x y) xy 2 + y x + y p Gií ta mong r¬ng y + xy 2. Thªt vªy, tø (2) ta câ n p 4 y + xy = + x2 x x + 1 NguyGií ph£i chùng minh ¹4 + x2 x 2 , (x 1)2(x + 2) 0 (Right) x + 1 Vªy tø (*) suy ra x = y thay v o (2) ta ÷ñc 2 (x + 1) 3x x2= 4 , 6664 x = 1 x = 1 + p 17 4 x = 1 p 17 4 (L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) ; 1 + p 17 4 ; 1 + p 17 4 ! Mët c¥u g¦n t÷ìng tü Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 166. 144 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 259 p x + 3 = 3 x 3 p p y 5 y x2 + 16(y x) + y = 2 p xy Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng ! x 16 y n (x y) p p p = 0 () x2 + 16(y x) + xy xy + y §Gií ta mong r¬ng x 16. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p p Tuy 5 3 y 5 + x + 3 3 x + 3 + 2 = 0 p p y5 0 , 9 4(x + 3 3 x + 3 + 2) 0 p p p 6 + 2 10 , 4(x + 3) 12 x + 3 1 0 , x + 3 , x 16 4 Vªy tø (*) suy ra x = y thay l¤i v o Minh (1) ta ÷ñc p p 2x = 3 x + 3 + x 5 , x4 9x3 + 9x2 + 324 = 0 , (x 6)2(x2 + 3x + 9) , x = y = 6 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (6; 6) (xy + 1)3 n + x(y 1) = x3 1 C¥u 260 Nguyx3 ¹4xy 4 = 0 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng (xy + 1)3 + (xy + 1) = x3 + x , xy + 1 = x Thay xuèng (2) ta ÷ñc 2 x3 4x = 0 , 6664 x = 0 (L) x = 2 ) y = 3 2 x = 2 ) y = 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2; 3 2 ; 2; 1 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 167. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 145 C¥u 261 p (x + 6y + 3) xy + 3y = (8y + 3x + 9)y x2 + 8x 24y + 417 = (y + 3) p p y 1 + 3y + 17 Gi£i i·u ki»n : y 1; x 3;x2 + 8x 24y + 417 0 °t p p x + 3 = a 0; y = b 0 th¼ (1) t÷ìng ÷ìng (a2 + 6b2)ab = b2(8b2 + 3a2) , a3 3a2b + 6ab2 8b3 = 0 n , (a 2b)(a2 ab + 4b2) = 0 , a = 2b §, x + 3 = 4y Thay xuèng (2) ta ÷ñc p p Tu4 (y + 4)(6 y) = (y + 3) y 1 + 3y + 17 Ta p câ : 4 (y + 4)(6 y 2(y + 4 + 6 y) = 20 p (y + 3) y 1 + 3y + 17 3y + 17 3:1 + 17 = 20 ¯ng thùc x£y ra khi y = 1 ) x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; Minh 1) C¥u 262 ¹n Nguy8 : x + y xy + xy = 2(x y) p x + p y + 2 p xy 1 p y 1 p x + x + y = 4 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 1 x + 1 y 2 p xy 2 p x p y + xy = 0 , 1 p x 1 p y 2 + 2 p xy 1 p x 1 p y + xy = 0 , 1 p x 1 p y + xy 2 = 0 , 1 p y 1 p x = p xy , p x p y = xy ) x + y = x2y2 + 2 p xy Thay t§t c£ v o (2) ta ÷ñc p xy + 2 p xy (xy)2 4 = 0 , xy = 1 , 8 : xy = 1 x + y = 3 x y 0 , 8 : x = p 5 2 3 + y = p 5 2 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 168. 146 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Câ v´ b«n khu«n p v¼ sao x y nh¿ ? Nhî l¤i ph²p bi¸n êi tr¶n (1) câ mët ¯ng thùc l x p y = xy. V¼ xy 0 ) x y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 + p 5 2 ; p 5 2 3 ! p n y3 + 3y2 + y + 4x2 22x + 21 = (2x + 1) 2x 1 C¥u 263 2x2 11x + 9 = 2y §Gi£i 1 i·u ki»n : x Tu2 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p y3 + 3y + y + 2(2y 9) + 21 = (2x + 1) 2x 1 p p (y + 1)3 + 2(y + 1) = (2x 1) 2x 1 + 2x 1 p Hai v¸ ·u câ d¤ng f(t) = t3 + 2t v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â ta câ y + 1 = 2x 1 thay xuèng (2) ta ÷ñc Minh p p 2x2 5)2 2 x = 1 ) y = 0 11x + 11 = 2 2x 1 , (2x = 2x 1 + 2 , x = 5 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); (5; 2) n NguyC¥u 264 ¹8 : x y p x2 y2 p 1 x2 + y2 = 2 y x p x2 y2 p 1 x2 + y2 = 7 4 Gi£i i·u ki»n : 0 x2 y2 1 L§y (1)+(2) v (1)-(2) ta ÷ñc 8 : 1 p x2 y2 (x + y) p 1 x2 + y2 = 15 4 (3) 1 + p x2 y2 (x y) p 1 x2 + y2 = 1 4 (4) L§y (3).(4) ta ÷ñc (x2 y2)(1 x2 + y2) 1 x2 + y2 = 15 16 , x2 y2 = 15 16 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 169. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 147 Thay l¤i v o (1) v (2) ta thu ÷ñc h» mîi sau 8 : x y p 15 4 = 1 2 y x p 15 4 = 7 16 , 8 x = 8 + : p 15 4 7 y = 7 + 2 p 15 (TM) p ! 7 15 p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 8 + ; 7 + 2 15 4 §n 9xy3 24y2 + (27x2 + 40)y + 3x 16 = 0 C¥u 265 y2 + (9x 10)y + 3(x + 3) = 0 TuGi£i Þ t÷ðng b i to¡n gièng c¥u 222 nh÷ng h¼nh thùc cçng k·nh hìn. H» ¢ cho vi¸t l¤i ( Minh ( 9xy3 + 27x2y + 3x + y2 = 25y2 40y + 16 (9xy + 1)(y2 + 3x) = (5y 4)2 , y2 + 9xy + 3x + 1 = 10y 8 (9xy + 1) + (y2 + 3x) = 2(5y 4) Rã r ng 2 sè 9xy + 1 v y2 + 3x l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh X2 2(5y 4)X + (5y 4)2 = 0 , X = 5y 4 Tø â suy ra n 2 ( ( 9xy + 1 = 5y 4 3x = 5y y2 4 , , y2 + 3x = 5y 4 3y(5y y2 4) + 1 = 5y 4 Nguy¹66664 y = 1 ) x = 0 y = 2 r 7 3 ) x = p 21 9 1 y = 2 + r 7 3 ) x = p 21 9 1 + Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 21 9 ; 2 r 7 3 ! ; 1 + p 21 9 ; 2 + r 7 3 ! ; (0; 1) C¥u 266 8 : x + x3 x + 1 = (y + 2) p (x + 1) (y + 1) 4x p x + 1 p y + 1 + 8x = (4x2 4x 3) Gi£i i·u ki»n : x 1; y 1 º þ khi chia 2 v¸ cõa (1) cho p x + 1 ta s³ cæ lªp ÷ñc 2 ©n v hi vång nâ s³ câ g¼ â °c bi»t. Thüc hi»n ph²p chia v ta thu ÷ñc x2 p x + 1 + x (x + 1) p x + 1 = (y + 2) p y + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 170. 148 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc M ta câ x2 p x + 1 + x (x + 1) p x + 1 = x3 + x2 + x (x + 1) p x + 1 = x3 + x(x + 1) (x + 1) p x + 1 = x3 (x + 1) p x + 1 + x p x + 1 Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) s³ l x 3 x p 3 p p x p + p = y + 1 + y + 1 , y + 1 = p x + 1 x + 1 x + 1 n Hiºn nhi¶n v¼ f(t) = t3 + t ìn i»u t«ng. Thay xuèng (2) v ta ÷ñc §4x2 p p p + 8x = 4x2 4x 3 x + 1 , 4x2 + 8x x + 1 = Tu4x2 4x 3 (x + 1) x + 1 p p p 4x2 2 2x + 2 , + 8x x + 1 + 4 (x + 1) = (2x 1)(x + 1) , p x + 1 = (2x 1) p x + 1 Minh 2x + 2 x + 1 = (1 2x) x + 1 TH1 : 2 p 2x = (2x 3) x + 1 , ¹n Nguy64 x = 3 ) y = 5 4 x = p 3 2 ) y = p 3 2 4 + 3 TH2 : 2x = (1 2x) p x + 1 ) 4x3 + 4x2 + 5x + 1 = 0 Ph÷ìng tr¼nh bªc 3 n y câ nghi»m duy nh§t nh÷ng kh¡ l´. C¡ch gi£i lo¤i n y tæi ¢ n¶u ð c¥u 215. êi ©n x = z 1 3 . Thay v o ph÷ìng tr¼nh v ta ÷a nâ v· 108z3 + 99z 10 = 0 °t z = p 11 6 a 1 a thay v o ph÷ìng tr¼nh ta ÷ñc p 11 2 11 a3 1 a3 = 10 , 2 664 a3 = p 159 10 3 p 11 11 a3 = 10 + 3 p 159 p 11 11 , 2 66664 s a = 3 p 159 10 3 p 11 11 s a = 3 10 + 3 p 159 p 11 11 2 nghi»m n y luæn câ °c iºm l t½ch cõa chóng b¬ng 1. Vªy n¶n 2 tr÷íng hñp thay v o z ·u ra mët k¸t qu£. Tø â suy ra z = p 11 6 a 1 a = p 11 6 0 BBBB@ s 3 10 + 3 p 159 p 11 11 1 s 3 10 + 3 p 159 p 11 11 1 CCCCA = 1 6 q 3 10 + 3 p 159 11 3 p 10 + 3 p 159 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 171. 2.9 C¥u 241¸n c¥u 270 149 Tø â suy ra x = 1 6 q 3 10 + 3 p 159 11 3 p 10 + 3 p 159 ! 1 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3; 5 4 ; p 3 2 ; p 3 2 4 + 3 ! ; a; a2 a + 1 1 vîi 1 a = §n 6 TuMinh n Nguy¹3 p 10 + 3 p 159 11 3 p 10 + 3 p 159 ! 1 3 C¥u 267 p x + 5y x + y2 + 9 = 6 (2y p x 4) p x = y + 4 Gi£i i·u ki»n : x 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( p ( x 3)2 = y(5 y) (3) x 2(y 2) p x + y + 4 (4) Tø (3) ta câ ngay y(5 y) 0 Tø (4) ta câ 0p x = y2 5y 0 , y(5 y) 0 Tø 2 i·u tr¶n ta th§y ngay i·u ki»n r ng buëc ¢ tr¡i ng÷ñc nhau. Vªy ¯ng thùc x£y ra khi y = 0 ) x = 9 (L) y = 5 ) x = 9 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (9; 5) C¥u 268 p x + 2y + 3 + p p 9x + 10y + 11 = 10 12x + 13y + 14 + p 28x + 29y + 30 = 20 Gi£i ¥y l mët lo¤i h» cüc k¼ khâ chàu chù þ t÷ðng khæng khâ m§y. Xu§t hi»n kh¡ nhi·u c«n thùc v i·u ki»n khæng thº gâi gån ÷ñc. Vªy t¤m thíi bä qua b÷îc n y. Vîi lo¤i n y th÷íng ta s³ °t ©n º cè gng ÷a nâ v· thu¦n nh§t. Tùc l ngh¾ c¡ch °t sao cho h¬ng sè m§t h¸t i. °t u = x + y + 1; v = y + 2. Ta câ h» mîi nh÷ sau (p u + v + p 9u + v = 10 p 12u + v + p 28u + v = 20 ) p 12u + v + p 28u + v = 2 p u + v + p 9u + v C«n thùc v¨n kh¡ nhi·u. Tuy nhi¶n nâ ang thu¦n nh§t. Tø â ta câ p 12t + 1 + p 28t + 1 = 2 p t + 1 + p 9t + 1 , t = 5 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 172. 150 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Tø â rót ra u = 5 4 v. Thay v o (1) v ta t¼m ÷ñc ( u = 5 v = 4 , ( x + y + 1 = 5 y + 2 = 4 , ( x = 2 y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 2) n p p y 1 x + x 1 p y = 1 §C¥u 269 p 1 y (1 + x) = 2 Gi£i Tui·u ki»n : 0 x; y 1 Tø (2) ta suy ra p 2 1 + x = p 2 , x 1 1 y M tø i·u ki»n : x 1. Tø â suy ra x = 1 ) y = 0 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1) C¥u 270: ¹n Nguy8 : p (3y x)(y + 1) x + 3 = 2 p 3y 2 r x + 5 2 = xy 2y 2 Gi£i i·u ki»n : y 2 3 ; x 5; 3y x p (3y x) (y + 1) (1) , 4(y + 1) = 3y x + y + 1 + 2 , 2 p y + 1 2 = p 3y x + p y + 1 2 , p y + 1 = p 3y x p y + 1 = 3 p 3y x (L) , x = 2y 1 Thay xuèng (2) ta ÷ñc p 3y 2 p y + 2 = 2y2 3y 2 , 2 (y 2) p 3y 2 + p y + 2 = (2y + 1) (y 2) Ta câ 2 p 3y 2 + p y + 2 p 3 p 2 ; 2y + 1 7 3 Tùc l V P V T , vªy tø â suy ra y = 2 ) x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 173. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 151 2.10 C¥u 271 ¸n c¥u 300 C¥u 271 8 : p x3 6x + 5 = 6 x + 2 6 x x2 + 4 x p x + p 10 x = y2 Gi£i n i·u ki»n : 0 x 10 , x3 6x + 5 0 Ph÷ìng tr¼nh ¦u t÷ìng ÷ìng p §6x2: x3 6x + 5 = (x2 + 2x 6)(x3 + 4) º þ x3 6x + 5 = (x 1)(x2 + x 5) v x2 + 2x 6 = (x 1) + (x2 + x 5). Düa v o i·u ki»n th¼ hiºn nhi¶n x 1 v x2 + x 5 còng d§u. K¸t hñp th¶m phTu÷ìng tr¼nh (1) 2 èi t÷ñng tr¶n ph£i 0. M nh÷ tr¶n ta t¡ch ÷ñc v· têng-t½ch. Câ v´ s³ dòng AM GM. Nhªn th§y x = 2 l nghi»m, ta düa v o â º t¡ch cho phò hñp. Ta câ Minh x3 x3 (x2 + 2x 6)(x3 + 4) = (x2 + x 5) + (x 1) + + 4 2 2 p p 2: (x 1)(x2 + x 5):3x2 = 6x2: x3 6x + 5 p p ¬ng thùc x£y ra khi x = 2 ) y = 3 2 p p p p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3 2); (2; 3 2) x3y + xy = 5 + x C¥u 272 x2(x4y2 n y2 + 2y) = 5 + x2 Gi£i Nguy°t x3y = a; x xy = ¹b . H» t÷ìng ÷ìng ( ( ( ( ( x3y (x xy) = 5 a b = 5 a = 3 x3y = 3 x = 1 , , , , x6y2 (x xy)2 = 5 a2 b2 = 5 b = 2 x xy = 2 y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 3) C¥u 273 8 : (x2 1)2 + 3 = 6x5y x2 + 2 3y x = s 4x 3x2y 9xy2 x + 3y Gi£i H¼nh thùc b i h» kh¡ cçng k·nh, i·u ki»n l¤i rc rèi n¶n t¤m thíi ta bä qua b÷îc n y. Vîi 3y x. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 174. 152 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 8 (x4 2x2 + 4)(x2 + 2) = 6x5y (3y x)2+ = : 4x x + 3y 3xy , ( x6 + 8 = 6x5y (3) x3 + 27y3 = 4x ) 8 : 1 + 8 x6 = 6y x 1 + 27y3 x3 = 4 x2 3y 2 °t = a; = b ta thu ÷ñc h» mîi x x2 ( n 1 + a3 = 2b 3y 2 2 , a = b , = , y = 1 + b3 = 2a x x2 3x §Thay v o (3) ta ÷ñc 2 Tu x2 x6 4x4 = 2 + 8 = 0 , Minh p , x2 = 1 + 5 ¹n Nguy66666666664 x = p 2 ) y = p 2 3 x = p 2 ) y = p 2 3 x = p 1 + p 5 ) y = 2 p 1 + 3 p 5 x = p 1 + p 5 ) y = 2 p 1 + 3 p 5 Chó þ c¡c i·u ki»n ban ¦u º lo¤i nghi»m. TH3 lo¤i v¼ 3y x TH2 lo¤i v¼ khæng thäa c«n Ch¿ câ TH4 thäa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 1 + p 5; 2 p 1 + 3 p 5 ! C¥u 274 (x y + 2)2 + (x2 p + 4x + 3)(y2 1) = 81 p p x + y 2 = (x + 1)(y 1) Gi£i i·u ki»n : x 0; y 2 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x + y 2 + 2 p x(y 2) = xy x + y 1 p xy 2x + 1 = 0 , (xy 2x) 2 , p 2 xy 2x 1 = 0 , xy 2x = 1 , y = 1 x + 2 Thay l¶n (1) ta ÷ñc x 1 x 2 + (x2 + 4x + 3) 1 x + 2 2 ! 1 = 81 , 4(x + 1)4 = 81x2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 175. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 153 , 2 66664 x = 1 2 ) y = 4 x = 2 ) y = 5 2 x = p 17 13 3 4 (L) ; Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = §n TuMinh ¹n Nguy 1 2 ; 4 2; 5 2 C¥u 275 8 : r 9x + y x + 2 r y + 2x y = 4 2x y2 y 1 x2 = 18 9 Gi£i M§u chèt ð ¥y câ l³ l t¼m c¡ch bi¸n êi kh²o l²o ph÷ìng tr¼nh (2) bði (1) cho nh÷ kia câ l³ ch¿ gñi þ cho chóng ta h÷îng °t ©n phö. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng (2x y2)(y 9x2) = 18x2y2 , 9x2y2 + 18x3 + y3 = 2xy , 9x2y2 + 18x3 + y3 xy = 2 , 9xy + 18x2 y + y2 x + 2 = 4 , 9x y + 2x y + y x y + 2x y = 4 , 9x + y x y + 2x y = 4 Nh÷ vªy °t r 9x + y x = a; r y + 2x y = b ta câ h» ( a + 2b = 4 ab = 2 , a = 2; b = 1 , 8 9x + : y x = 4 y + 2x y = 1 , ( 9x2 + y = 4x y2 + 2x = y , ( y = 4x 9x2 (4x 9x2)2 + 2x = 4x 9x2 , x = 0 (L) x = 1 9 ) y = 1 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 9 ; 1 3 C¥u 276 8 : x x2 y + 5y x + y2 = 4 5x + y + x2 5y2 xy = 5 Gi£i Tho¤t nh¼n câ v´ ìn gi£n nh÷ng ¥y l mët b i t÷ìng èi. C¦n chó þ thªt tèt trong bi¸n êi ¯ng thùc º ¤t ÷ñc möc ½ch. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 176. 154 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc i·u ki»n : x; y6= 0; x6= y2; y6= x2 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng y + x y + 5x 5y x = 5 , x + y2 x + 5: x2 y x = 5 x2 y x + y2 ¸n ¥y °t = a; = b ta câ h» mîi x y n Tu§Minh n Nguy¹8 : 1 a + 5 b = 4 b + 5a = 5 , a = 1 2 ; b = 5 2 , ( 2(x2 y) = x 2(x + y2) = 5y , 2 66664 x = 3 2 ; y = 3 x = 1; y = 1 2 x = 3 2 ; y = 3 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 2 ; ; 3 1; 1 2 ; 3 2 ; 3 2 C¥u 277 8 : 1 (x + y + 1) + 1 (x y + 1)2 = 2 x2 + 2x = y2 Gi£i i·u ki»n : y6= (x + 1) Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ (x + 1)2 y2 = 1 , (x y + 1)(x + y + 1) = 1 °t 1 x + y + 1 = a; 1 x y + 1 = b ta câ h» mîi ( a3 + b3 = 2 ab = 1 , ( a = 1 b = 1 , ( x + y + 1 = 1 x y + 1 = 1 , x = 0 y = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0) C¥u 278 8 : 2x y xy2 = 2xy(1 x) (x2 + 2y2) 1 + 1 xy 2 = 12 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 (2x2y xy2) + 2x y = 2xy (x2 + 2y2) : 1 x2y2 + 2 xy + 1 = 12 , 8 : 2x(xy + 1) y(xy + 1) = 2xy 1 2x 1 2y + + x2 + 2 + y2 y x2 x + y2 = 12 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 177. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 155 , 8 : 2 xy + 1 y xy + 1 x = 2 x + 1 y 2 + 2 y + 1 x 2 = 12 , 8 : 2 1 y + x 1 x + y = 2 x + 1 y 2 + 2 y + 1 x 2 = 12 °t n Tu§Minh n Nguy¹1 y + x = a; 1 x + y = b ta câ h» mîi ( 2a b = 2 a2 + 2b2 = 12 , a = 2; b = 2 a = 2 9 ; b = 22 9 , 2 666666664 8 : 1 y + x = 2 1 x + y = 2 8 : 1 y + x = 2 9 1 x + y = 22 9 TH1 : D¹ d ng gi£i ra x = y = 1 TH2 : H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : xy + 1 = 2 9 y xy + 1 = 22 9 x ) ( y = 11x 1 x + 11x = 22 9 (V N) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 279 x5 + 10x4 + 42x3 12x 56 = y5 2y3 23x2 + 29x + 26 = y3 Gi£i Tr÷îc h¸t nh¼n v o ph÷ìng tr¼nh (1) th§y sè mô kh¡ cao. Câ l³ nâ g¦n l mët h¬ng ¯ng thùc n o â. Ta s³ ph£i th¶m mët l÷ñng phò hñp tø (2) v o. Ti¸p töc º þ v¸ tr¡i ph÷ìng tr¼nh (1) câ x5 + 10x4. Câ v´ s³ l (x + 2)5. V¸ ph£i câ y5 vªy ta thû cho y = x + 2 thay v o h» xem. Ta s³ câ ( 4x3 + 68x2 + 68x + 72 = 0 x3 17x2 17x 18 = 0 Vªy ta l§y PT(1) + 4:PT(2) v¸ vîi v¸ v ta thu ÷ñc (x + 2)5 + 2(x + 2)3 = y5 + 2y3 , y = x + 2 Thay v o (2) ta ÷ñc x3 17x2 17x 18 = 0 , x = 18 ) y = 20 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (18; 20) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 178. 156 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 280 49152x8 + 16394y8 = 1 3x + y = 1 Gi£i Th¸ y = 1 3x l¶n (1) ta thu ÷ñc 1 3x8 + 3(1 3x)8 = 214 n Mët ph÷ìng tr¼nh bªc kh¡ cao. Lo¤i n y câ l³ ch¿ ¡nh gi¡ mîi di»t ÷ñc. Nh¼n h¼nh thùc câ l³ s³ dòng Cauchy Schwarz º ¡nh gi¡. §Ta câ 1 1 1)(x8 x8 x8 3x)8) x4 x4 Tux4 3x)42 V T = (1 + 1 + 1 + + + + (1 + + + (1 4 4 1 2 1 = (1 + 1 + 1 + 1)2 x4 + x4 + x4 + (1 3x)4 : : : 64 214 1 1 ¯ng thùc x£y ra khi x = ) y = Minh . 4 4 1 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 4 4 C¥u 281 ¹n Nguy8 : p (x 1)2: y + x(y 1) = 0 x + y x xy + 1 x = 4y Gi£i i·u ki»n : x6= 0; y 0 X²t ph÷ìng tr¼nh (2) gi£ sû câ nghi»m th¼ hiºn nhi¶n x 0. Ta câ x + y x xy + 1 x r x: 2 y x r :2 xy x = 4y D§u b¬ng x£y ra khi 8 : x = y x xy = 1 x , x = y = 1 Thay v o (1) th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 282 ( p p p x2 + y + x2 + 3 x = y 3 p x2 + y + x = x + 3 Gi£i i·u ki»n : x 0; x2 + y 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 179. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 157 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng vîi (y 3)x p x2 + y p x2 + 3 = y 3 TH1 : y = 3 thay v o (2) ta ÷ñc p x2 + 3 + x = x + 3 n Ti¸n h nh b¼nh ph÷ìng 2 l¦n ta thu ÷ñc ph÷ìng tr¼nh sau : §4x3 25x2 48x 36 = 0 Ph÷ìng tr¼nh bªc 3 n y câ nghi»m duy nh§t l´. Ph÷ìng ph¡p tæi ¢ Tun¶u ð c¥u 215. Coi nh÷ mët b i tªp cho b ¤n åc. p p 1 Nghi»m : x = 25 + 45001 1080 251 + 45001 + 1080 251 12 p p TH2 : x2 + y x2 + 3 = x thay xuèng (2) ta ÷ñc p p x2 + 3 + x = 3 , x = 1 ) y = 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi »m : Minh p p 1 (x; y) = (1; 8); 25 + 45001 1080 251 + 45001 + 1080 251 ; 3 12 p p x2 + 2x n y = y2: p y C¥u 283 p p p p p (4x3 + y3 + 3x2: x)(15 x + y) = 3 x(y y + x y + 4x x)2 Nguy¹Gi£i T¡c gi£ b i to¡n l Hoanghai1195, mët Smod tr¶n di¹n n k2pi. Nhúng b i h» cõa anh th÷íng l cüc m¤nh, þ t÷ðng ¦y t½nh ¡nh è v th¡ch thùc. i·u p ki»n : x; y 0 p °t x = a; y = b h» vi¸t l¤i th nh ( a4 + 2a3b = b5 (4a6 + b6 + 3a5)(15a + b2) = 3a (b4 + a2b + 4a3)2 Ta câ : a = b = 0 l mët nghi»m cõa h». Gií x²t a; b 0. °t b = ka. Ph÷ìng tr¼nh (1) khi â trð th nh 3 3 p p 3 3 p p 1 + 2k = ak5 , a = 1 + 2k k5 () Ph÷ìng tr¼nh (2) trð th nh 4a6 + a6k6 + 3a5 15a2 + k2a2 = 3a k3a3 + a3k + 4a32 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 180. 158 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Th¸ a tø (*) v o ta ÷ñc 4 + k6 + 3k5 1 + 2k 5 + 1 + 2k 3k3 = (k3 + k + 4)2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ tr¡i ta ÷ñc 0 s 1 2 p 3k5 1 + 2k p 2 V T @ 5(4 + k6) + : A = (22 + 12)(4 + k6) + k (4+k3+k)2 1 + 2k 3k3 §n = V P ¯ng thùc x£y ra khi k = 1 , a = b = 3 , x = y = 9. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (9; 9) TuC¥u 284 Minh n Nguy¹8 : s 9 41 2 x2 + 1 2x + y = 3 + 40x x2 + 5xy + 6y = 4y2 + 9x + 9 x; y 0 Gi£i Ti¸p töc l mët c¥u cüc m¤nh v h¤i n¢o cõa Hoanghai1195. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng s 82 x2 + 1 2x + y = 6 + 80x 9 Ta câ V T = s (12 + 92) x2 + 1 2x + y
- 184. 9x + 1 p 2x + y
- 188. 9x + 3p 9(2x + y) 9x + 6 2x + y + 9 ) 6 + 80x 9 6 2x + y + 9 , 3x 2x2 xy + 6y 0 () L§y (*) cëng vîi PT(2) ta thu ÷ñc x2 + 4xy 4y2 + 12y 6x 9 = 0 0 , (x 2y + 3)2 0 , x + 3 = 2y º c¡c d§u b¬ng tr¶n x£y ra th¼ x = y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 189. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 159 C¥u 285 8 : x + y p 1 + x2 + x + y2 = 0 x2 y2 + 2 p x2 + 1 + y2 = 3 Gi£i i·u ki»n : y= 60 n H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Tu§Minh ¹n Nguy8 : p x + y 1 + x2 x + y2 = 0 x 2 p + y + 2 x2 + 1 x y = 3 , 8 : x y + y + p 1 + x2 x = 0 x y + y 2 + 2 p x2 + 1 x = 3 °t x y + y = a; p 1 + x2 x = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( a + b = 0 a2 + 2b = 3 , ( a = 1; b = 1 a = 3; b = 3 (L) , 8 : x y + y = 1 p x2 + 1 = x + 1 , ( x = 0 y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0;1) C¥u 286 ( (x y)2 p = 3 3x2 xy + 2y2 + 2 + 1 2x2 + y2 + xy = 1 Gi£i Mët kinh nghi»m nhä : khi nh¼n th§y mët c«n thùc vîi biºu thùc kh¡ d i nh÷ kia, th÷íng th¼ t¡c gi£ cè þ º vªy nh¬m khi¸n chóng ta sû döng ph²p th¸ tø ph÷ìng tr¼nh cán l¤i. Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ 3x2 xy + 2y2 = 1 + (x y)2 Thay l¶n (1) ta ÷ñc (x y)2 p = 3 , t (x y)2 + 3 + 1 p = 3 t = (x y)2 0 t + 3 + 1 , t = 1 , ( (x y)2 = 1 2x2 + y2 + xy = 1 ¥y l mët h» ¯ng c§p bªc 2 kh¡ ì n gi£n, vi»c gi£i nâ xin nh÷íng l¤i b¤n åc. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 4 ; 1 4 ; 3 4 ; 1 4 ; (0;1); (0; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 190. 160 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 287 8 : x(y2 + 1) x2 + y2 = 3 5 y(x2 1) x2 + y2 = 4 5 Gi£i i·u ki»n : x2 + y2= 60 n Mët b i to¡n kh¡ hay v °c sc v· m°t þ t÷ðng. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 Tu§Minh ¹n Nguy: x2y2 + x2 x2 + y2 = 3x 5 (3) y2x2 y2 x2 + y2 = 4y 5 (4) L§y (3)-(4) ta câ 3x 5 4y 5 = x2 + y2 x2 + y2 = 1 , 3x 4y = 5 ¸n ¥y rót x = 5 + 4y 3 thay v o (1) ta câ 5: 5 + 4y 3 :(y2 + 1) = 3 5 + 4y 3 2 + 3y2 , y = 1 ) x = 1 3 y = 1 ) x = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 3 ; (3; 1) ;1 C¥u 288 8 : p 3 2y + 2x2 + 3 = (4x2 2yx2) 4x2 + 1 p x p 2 3 2y = 3 p 2x2 + x3 + x + 2 2x + 1 Gi£i i·u ki»n : x6= 0; x6= 1 2 ; 1 2 y 3 2 Chia 2 v¸ cõa (1) cho x2 ta ÷ñc 1 x3 4 x2 + 3 x p 3 2y + 2 = (4 2y) , 1 1 x 3 + 1 1 x p 3 2y + = (3 2y) p 3 2y , 1 1 x = p 3 2y Thay v o (2) ta câ r 1 + 1 x = 3 p 2x2 + x3 + x + 2 2x + 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 191. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 161 , (2x + 1) r 1 + 1 x = (x + 2) + 3 p 2x2 + x3 , 2 + 1 x r 1 + 1 x = 2 x + 1 r + 3 2 x + 1 r , n Tu§Minh n Nguy¹r 1 + 1 x = 3 2 x + 1 , p t + 1 = 3 p 2t + 1 1 x = t , 8 : 06= t 1 2 (t + 1)3 = (2t + 1)2 , t = p 5 2 1 + , x = p 5 1 2 ) y = p 5 4 3 + Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 5 1 2 ; p 5 4 3 + ! C¥u 289 8 : x + 1 y = 6y x x3y3 4x2y2 + 2xy + 5y3 = 1 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( x2y + x = 6y2 (xy 1)3 = 5y3 + x2y2 + xy Ta câ : 5y3 + x2y2 + xy = 5y3 + (6y2 x)y + xy = y3 Vªy (2) t÷ìng ÷ìng xy 1 = y , y = 1 x 1 Thay l¶n (1) ta câ x + x 1 = 6 x(x 1) , x = 2 ) y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) C¥u 290 8 : x + y 1 + xy = 1 2y 2 y x y 1 xy = 1 3x 3 x Gi£i Tho¤t nh¼n th¼ h¼nh thùc cõa b i h» ch£ câ g¼ to t¡t c£. Tuy nhi¶n, ¥y l mët h» cüc m¤nh, mët si¶u h» ½ch thüc. T¡c gi£ cõa nâ h¯n ¢ s¡ng t¡c düa v o c¡c ph²p to¡n cõa h m Hypebolic. Tæi s³ giîi thi»u cho b¤n åc 2 c¡ch cõa b i n y. Mët c¡ch håc ÷ñc cán mët c¡ch l l m ÷ñc. i·u ki»n : xy6= 1; x6= 3; y6= 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 192. 162 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¡ch 1 : °t x = u 1 u + 1 ; y = v 1 v + 1 . H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : u v u + v = 2 u 2 + u uv 1 3 v = uv + 1 3 + v p döng t½nh ch§t t¿ l» thùc cho ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ n u v 2 u 2 v 2 + v 2u = = = §u + v 2 + u 2u + v + 2 2 v ) (2 v)2 + (2 + v)2 4u2 , u2 = 2v () T÷ìng tü ¡p döng cho (2) ta câ Tuuv 1 3 v 3u uv 3u 1 3u + 1 2uv = = = = uv + 1 3 + v 3u + uv 3u + 1 + 2uv 3u 1 ) (3u 1)2 = (3u + 1)2 4u2v2 , 3u = u2v2 () Tø (*) v (**) ta câ h» mîi ( r u2 = 2v Minh 9 ) u6 = 12u , u = 12; v = 5 u2v2 = 3u 2 ) x = n Nguy5 p ¹5 p 12 1 5 p 12 + 1 ; y = r 5 9 2 1 r 5 9 2 + 1 C¡ch 2: Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng 8 : x + y 1 + xy + 1 = 1 2y 2 y + 1 x + y 1 + xy 1 = 1 2y 2 y 1 , 8 : (x + 1) (y + 1) 1 + xy = 3 (y 1) 2 y (x 1) (y 1) 1 + xy = (y + 1) 2 y , 8 : (x + 1) (y + 1) 3 (y 1) = 1 + xy 2 y (x 1) (y 1) y + 1 = 1 + xy 2 y , 3 (x 1) (y 1)2 = (x + 1) (y + 1)2 () T÷ìng tü vîi ph÷ìng tr¼nh (2) ta công câ 8 : x y 1 xy + 1 = 1 3x 3 x + 1 x y 1 xy 1 = 1 3x 3 x 1 , 8 : (x + 1) (y 1) 1 xy = 4 (x 1) 3 x (x 1) (y + 1) 1 xy = 2 (x + 1) 3 x , 2(x 1)2 (y + 1) = (x + 1)2 (y 1) () Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 193. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 163 Tø (*) v (**) ta °t a = x 1 x + 1 ; b = y + 1 y 1 v ta lªp mët h» mîi ( 3a = b2 2a2 = r r r r 1 , b Tu§n Minh n Nguy¹8 : b = 5 9 2 r a = 5 1 12 , 8 : x 1 x + 1 = 5 1 12 y + 1 y 1 r = 5 9 2 , 8 : y = 5 9 2 1 5 9 2 + 1 x = 5 p 12 1 5 p 12 + 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 0 BB@ 5 p 12 1 5 p 12 + 1 ; r 5 9 2 1 r 5 9 2 + 1 1 CCA C¥u 291 x2(y2 + 1) + 2y(x2 + x + 1) = 3 (x2 + x)(y2 + y) = 1 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) khæng tü nhi¶n khi v¸ tr¡i khæng ©y nh¥n tû chung ra ngo i. Câ l³ n¸u º nh÷ vªy câ kh£ n«ng s³ lë þ t÷ðng °t ©n phö. Ta ¢ m÷íng t÷ñng ra mët ph¦n þ t÷ðng, gií ch¿ c¦n bi¸n êi núa thæi. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( (xy + x)2 + 2(xy + y) = 3 xy(x + 1)(y + 1) = 1 , ( (xy + x)2 + 2(xy + y) = 3 (xy + y)(xy + x) = 1 , ( a2 + 2b = 3 ab = 1 , a = 1; b = 1 a = 2; b = 1 2 , 2 666664 ( xy + x = 1 xy + y = 1 8 : xy + x = 2 xy + y = 1 2 , 2 64 x = y = p 5 2 1 x = y = p 5 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 5 2 ; p 5 2 1 ! ; p 5 1 2 ; p 5 1 2 ! C¥u 292 8 : 2y3 + (x + y + 7) 3 p y + 7 + x2 + 7x = 0 3x2 + 35x + 98 3 p x + 7 + 3(x + 7) = y 3 p x + 7 2y Gi£i H¼nh thùc cõa b i h» kh¡ cçng k·nh. N¶n °t ©n º gi£m bît cçng k·nh. i·u ki»n : x6= 7 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 194. 164 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc °t 3 p x + 7 = a; y = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( 2a5 + a6 7a3 + 2a2b + 2b3 = 0 3a6 7a3 + 3a4 2ab2 a2b = 0 () H» n y bªc kh¡ cao. Tuy nhi¶n mët c¡ch hìi b£n n«ng â l ta trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau, lþ do kh¡ h i h÷îc v hiºn nhi¶n â l l m m§t 7a3 i. Trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau ta ÷ñc a6 2a5 + 3a4 + 2ab2 3a2b 2b3 = 0 , 2(a6 b3) 2a(a4 b2) + 3a2(a2 b) = n 0 , (a2 b) (2(a4 + a2b + b2) 2a(a2 + b) + 3a2) = 0 §, (a2 b) ((a4 2a3 + a2) + (a4 + 2a2b + b2) + (a2 2ab + b2) + a2) = 0 , (a2 b) ((a2 a)2 + (a2 + b)2 + (a b)2 + a2) = 0 , b = a2 TuThay l¶n (*) ta thu ÷ñc 3a6 7a3 + 3a4 2a5 a4 = 0 , 3a3 + 2a2 + 2a 7 = 0 , a = 1 ) b = 1 , x = 6; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (6; 1) Minh p p p (x y)2 + 4(x + 3y) C¥u 293 p = 28 + 8 y(x 2) + 8 (y 2)(x 4) (y 2)(x 4) + 2 (y 3)(x 5) = (y x)2 Gi£i B¤n åc câ nhªn x²t th§y r¬ng nhúng h¤ng tû trong c«n câ v´ r§t khi¶u kh½ch ng÷íi l m khæng ? Chóng kh¡c nhau nh÷ng ·u tu¥n theo 1 quy luªt. Câ v´ nh÷ l x = y + 2. Vªy câ kh£ n«ng s³ rót ÷ñc b¬ng c¡ch li¶n n hñp ho°c ¡nh gi¡ mët ph÷ìng tr¼nh n o â. N¸u li¶n hñp th¼ chc Nguychn ph£i xu§t ph¡t khæng ra. Vªy ph£i d¹tø (1). Ta chuyºn 28 sang rçi li¶n hñp 2 c«n xem ÷ñc g¼ khæng? Câ v´ òng ¡nh gi¡ º di»t, t§t nhi¶n b i n y ¡nh gi¡ kh¡ khâ. Ph÷ìng tr¼nh (1) p p , x2 + y2 2xy + 4x + 12y + 4 = 32 + 8 y(x 2) + 8 (y 2)(x 4) h p p i , x2 + (y + 2)2 = 2 xy 2x 4y + 16 + 4 y(x 2) + 4 (y 2)(x 4) h p p i , x2 + (y + 2)2 = 2 (y 2)(x 4) + 4 (y 2)(x 4) + 8 + 4 y(x 2) p p 2 , x2 + (y + 2)2 = 2 (y 2)(x 4) + 2 + 4 y(x 2) + 4 Ta thüc hi»n c¡c ¡nh gi¡ sau x2 + (y + 2)2 2x(y + 2) = 2[x 2 + 2](y + 2) 2 p y(x 2) + 2 2 = 2 h (y 2 + 2)(x 4 + 2) + 4 p y(x 2) + 4 i 2 p (y 2)(x 4) + 2 2 + 4 p y(x 2) + 4 = V P Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 195. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 165 ¯ng thùc x£y ra khi 8 : x = y + 2 x 2 = y 2 2 x 4 y 2 = 2 2 , x = y + 2 Thay xuèng (2) v ta thu ÷ñc n y = 4 ) x = 6 jy 2j + 2jy 3j = 4 , 4 10 y = ) x = §3 3 10 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (6; 4); ; 3 3 TuC¥u 294 Minh n Nguy¹8 : r 1 + (x 2) 3x y = 2x y y2 r 1 + 3x y = 2x2 + y2 4x Gi£i i·u ki»n : y6= 0; 3x y + 1 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x y 2 y r 1 + 3x y = 2x y 1 r 1 + 3x y = 2 x y 2 + 1 4x y °t x y = a; 1 y = b. H» ¢ cho trð th nh ( p (a 2b) 1 + 3a = 2a 1 p 1 + 3a = 2a2 4ab + 1 ) p 1 + 3a(a 2b + 1) = 2a(a 2b + 1) TH1 : 2a = p 1 + 3a , a = 1 , x = y. Thay v o (1) ta câ 2(x 2) = x , x = y = 4 TH2 : a + 1 = 2b , x y + 1 = 2 y , x + y = 2. Thay l¶n (1) ta câ y s 1 + 3(2 y) y = 2(2 y) y , y = 2 ) x = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (4; 4); (2; 0) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 196. 166 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 295 ( y6 + y3 + 2x2 = p xy x2y2 8xy3 + 2y2 + 1 2 = 4x4 + 3x2 + x + 2 p 1 + (2x y)2 Gi£i i·u ki»n : 0 xy 1 Ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau n p xy + 1 xy 1 y6 + y3 + 2x2 = xy(1 xy) = 2 2 §, 2y6 + 2y3 + 4x2 1 , 1 2y6 + 2y3 + 4x2 () 1 8xy3 + 2y3 4x4 Tu+ + 3x2 + x + 2 () 2 Cëng (*) vîi (**) v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 3 8xy3 + 2y3 + 2y6 + 2y3 + 4x2 + 4x4 + 3x2 + x + 2 2 1 , 2y6 8xy3 + 4x4 + Minh 7x2 + x + 0 2 1 1 , 2(y6 4xy3 + 4x2) + 4x4 2x2 + + x2 + x + 0 4 4 1 2 1 2 , 2(y3 2x)2 + 2x2 + x + 0 2 2 ( 1 x = , 2 (TM) y = 1 n 1 NguyVªy h» ¢ cho câ nghi¹»m : (x; y) = ;1 2 Tr÷îc khi ¸n c¥u ti¸p theo ta còng xem x²t b i to¡n sau : X²t sè phùc z = a + bi = (x + yi)3 = x3 + 3x2yi + 3xy2i2 + y3i2 = (x3 3xy2) + (3x2y y3)i C¥n b¬ng ph¦n thüc v £o ta ÷ñc h» sau ( x3 3xy2 = a 3x2y y3 = b Chån a; b v ta ÷ñc nhúng h» ¯ng c§p bªc 3 væ còng ¡nh è. Tæi s³ n¶u mët v i v½ dö cho b¤n åc. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 197. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 167 C¥u 296 8 : x3 3xy2 = 5 2 3x2y y3 = p 3 2 5 Gi£i Rã r ng l mët h» ¯ng c§p bªc 3 tuy nhi¶n nghi»m thuëc lo¤i si¶u x§u, ìn gi£n v¼ nâ n ch¸ tø b i to¡n kia ra. Ta s³ suy ng÷ñc l¤i º gi£i nâ. Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (2) vîi i ta ÷ñc p §5 3 3x2yi 2y3i = i 2 Bi¸n êi mët chót çng thíi cëng vîi ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc Tup 5 5 3 x3 + 3xy2i2 + 3x2yi + y3i3 = + 2 2 p ! 1 3 , z = 5 + i: = 5 cos + i sin (z = x + yi) 2 2 3 3 Theo cæng thùc Moivre ta thu ÷ñc c¡c nghi»m sau 2 Minh n Nguy¹666664 z = 3 p 5 cos 9 + i sin 9 z = 3 p 5 cos 7 9 + i sin 7 9 z = 3 p 5 cos 13 9 + i sin 13 9 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 5 cos 9 ; 3 p 5 sin 9 ; 3 p 5 cos 7 9 ; 3 p 5 sin 7 9 ; 3 p 5 cos 13 9 ; 3 p 5 sin 13 9 C¥u 297 x3 3xy2 = 1 3x2y y3 = 1 Gi£i L m t÷ìng tü ta s³ ÷ñc (x + yi)3 = 1 + i = p 2 cos 4 + i sin 4 Tø â ta t¼m ÷ñc nghi»m : (x; y) = 6 p 2 cos 12 ; 6 p 2 sin 12 ; 6 p 2 cos 3 4 ; 6 p 2 sin 3 4 ; 6 p 2 cos 17 12 ; 6 p 2 sin 17 12 Mët v½ dö núa l b i tªp cho b¤n åc Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 198. 168 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 298 x3 3xy2 = 1 3x2y y3 = p 3 N¸u b i to¡n gèc ph½a tr¶n ta n¥ng th nh bªc 4,5 th¼ ta s³ ÷ñc nhúng h» ¯ng c§p bªc 4,5 kh¡ ¡nh è. Mët líi khuy¶n nhä cho c¡c b¤n : khi g°p nhúng h» ¯ng c§p nghi»m qu¡ l´, h¢y nhî ¸n b i to¡n tr¶n, r§t câ thº þ t÷ðng cõa nâ l th¸. §n p 4(x + y)(x + 1)(y + p 1) = 5xy + (x + y + 1)3 C¥u 299 (2 x)(x 1) = (3 y)(y 1) TuGi£i Mët b i to¡n h§p d¨n. H¢y còng tæi ph¥n t½ch nâ. p p Tr÷îc h¸t nhªn th§y sü b§t ên trong ph÷ìng tr¼nh (2). T¤i sao l¤i l (2 x)(x 1) = (3 y)(y 1) chù khæng ph£i l (2 x)(x 1) = (3 y)(y 1). Ph£i ch«ng t¡c gi£ cè þ º nh÷ vªy háng t¤o i·u ki»n cõa ©n º ¡nh gi¡ mët c¡i g¼ â ? Ti¸p theo chóng ta º þ ph÷ìng tr¼nh (1). N¸u tinh þ ta s³ nhªn ra sü thu¦n nh§t cõa 3 bi¸n x; y; 1. °c bi»t nghi»m cõa h» l¤i l x = y = 1. Ph£i ch«ng l 3 bi¸n b¬ng nhau ? Câ v´ mòi b§t ¯ng thùc ¢ thoang tho£ng ¥u Minh ¥y. º ÷a v· 3 bi¸n ta khæng ng¤i °t th¶m ©n. i·u ki»n : 1 x 2; 1 y 3 °t z = 1 th¼ x z; y z Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng , (x + y + z)3 + 5xyz = 4(x + y)(x + z)(y + z) , x3 + y3 + n z3 + 5xyz = (x + y)(y + z)(x + z) , x3 + y3 + z3 + 5xyz = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz Nguy, x3 + ¹y3 + z3 + 3xyz = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) ¸n ¥y nhúng ai y¶u m¸n b§t ¯ng thùc khæng thº khæng nhªn ra ¥y l mët d¤ng cõa b§t ¯ng thùc Schur. Ta câ V T V P. ¯ng thùc x£y ra khi 3 bi¸n b¬ng nhau ho°c 2 bi¸n b¬ng nhau, bi¸n cán l¤i b¬ng 0. T§t nhi¶n tr÷íng hñp (2) khæng x£y ra do i·u ki»n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 300 8 : p x + p y + p 2x y = 3 2 (x + y + xy + 1)(2x y + 1) = 125 64 Gi£i Ti¸p töc ¸n mët b i h» thuëc lo¤i kh¡ dà. º þ mët chót th¼ ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 199. 2.10 C¥u 271¸n c¥u 300 169 (x + 1)(y + 1)(2x y + 1) = 125 64 Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (2) xu§t hi»n b¼nh ph÷ìng 3 c¡i c«n cõa ph÷ìng tr¼nh (1). Vªy ta thû °t p x = a; p y = b; p 2x y = c a; b; c 0. H» khi â s³ l Nguy¹n Minh Tu§n 8 : a + b + c = 3 2 (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = 125 64 º þ nhúng °c iºm sau : Ba bi¸n khæng ¥m H» n y l¤i câ nghi»m khi a = b = c = 1 2 Câ v´ nh÷ l¤i l mët b i b§t ¯ng thùc núa rçi. Vªy ra b i h» n y ch¿ l h¼nh thùc º che gi§u mët b i b§t ¯ng thùc thüc sü. Ta s³ chùng minh. N¸u a; b; c 0 v a + b + c = 3 2 th¼ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) 125 64 C¡ch chùng minh ch¥n qu¶ nh§t v¨n l dçn bi¸n. °t v¸ tr¡i l f(a; b; c). Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh f(a; b; c) f(a; t; t) t = b + c 2 Ta câ f(a; b; c) f(a; t; t) = (a2 + 1)(b c)2 8 (b + c)2 4bc 0 () V¼ (b + c)2 + 4bc 2(b + c)2 8 n¶n (*) l óng. Gií ta ph£i chùng minh f(a; t; t) 125 64 , f 0 B@ a; 3 2 a 2 ; 3 2 a 2 1 CA 125 64 (a + 2t = 3 2 ) , (a2 + 1) 0 BB@ 0 B@ 3 2 a 2 1 2 CA + 1 1 2 CCA 125 64 , (a2 + 1)(4a2 12a + 25)2 500 , (2a 1)2(4a4 20a3 + 69a2 100a + 125) 0 B§t ¯ng thùc cuèi óng v¼ 4a420a3+69a2100a+125 = (2a25a)2+34a2100a+125 0 ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 2 ) x = y = 1 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 4 ; 1 4 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 200. 170 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 2.11 C¥u 301 ¸n c¥u 330 C¥u 301 8 : 2x2 + 4y2 xy s = 4 2 y 3 x (x + y) 1 q (x + 1)2 + xy + 3x + 2y + 5 2x p x(y + 3) = p x + p y + 3 Gi£i n H¼nh thùc b i h» qu¡ khõng bè, i·u ki»n công kh¡ nhi·u. §Nhªn x²t th§y sü thu¦n nh§t tø ph÷ìng tr¼nh thù nh§t. M°c dò nâ phùc t¤p nh÷ng chc chn khai th¡c tèt ta s³ rót ra ÷ñc x = ty n o â. Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng Tup , 2x2 + xy + 4y2 = 4 (2x 3y) x (x + y) y p , (4y2 + 4xy) + (2x2 3xy) = 2 (2x2 3xy) (4xy + 4y2) 2x2 4y2 x = 4y , 3xy = + 4xy , () y = 2x Th nh qu£ ¢ câ chót ½t, th¸ nh÷ng Minh thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) v¨n kh¡ phùc t¤p. H¯n nâ ph£i rót gån ÷ñc. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng q p p p , x2 2x x (y + 3) + x (y + 3) + 2 (x + y + 3) = x + y + 3 r p n 2 p p p , x x (y + 3) + 2 (x + y + 3) = x + y + 3 2 (x + y + 3) p p p 2 , x + y + 3 + 2 x (y + 3) 2 (x + y + 3) , x y + 3 0 , x = y + 3 () Nguy¹K¸t hñp (*) vîi (**) d¹ d ng ra nghi»m y = 1; x = 4 l thäa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (4; 1) p x + 2y + 2 p 4x + y = 1 C¥u 302 2(x + 3) = 46 2y(3 + 8x + 8y) Gi£i i·u ki»n 4x + y 0; y(3 + 8x + 8y) 23 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng , 4x2 + 24x + 36 = 46 6y 16y(x + y) , 4x2 + 16xy + 16y2 + 24x + 6y = 10 , 4(x + 2y)2 + 6(4x + y) = 10 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 201. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 171 ¸n ¥y °t x + 2y = a; p 4x + y = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( 4a2 + 6b2 = 10 a + 2b = 1 , ( a = 1 b = 1 , ( x + 2y = 1 4x + y = 1 , 8 : x = 3 7 y = 5 7 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = §n TuMinh ¹n Nguy 3 7 ; 5 7 C¥u 303 ( p x2 + 1 3x2y + 2 p = 8x2y3 4y2 + 1 + 1 x2y x + 2 = 0 Gi£i H» n y gçm p mët ph÷ìng tr¼nh kh¡ phùc t¤p v mët ph÷ìng tr¼nh l¤i kh¡ gån nhµ. º þ chót 4y2 + 1 + 1 li¶n hñp s³ câ 4y2 rót gån ÷ñc vîi b¶n ph£i. Ph¦n d÷îi m¨u ta nh¥n ch²o l¶n çng thíi thû th¸ con sè 2 = xx2y l¶n (1) xem. Bði v¼ nâ hi»n kh¡ b½ ©n ð ph÷ìng tr¼nh (1). Nh÷ vªy ta s³ câ ph÷ìng tr¼nh (1) l p x2 + 1 3x2y + x x2y :4y2 = 8x2y3 p 4y2 + 1 1 TH1 : y = 0 khæng l nghi»m. TH2 : Do x = 0 khæng l nghi»m n¶n ta câ bi¸n êi sau p x2 + 1 + x 4x2y = 2x2y p 4y2 + 1 1 , p x2 + 1 + x = 2x2y p 4y2 + 1 + 1 , 1 x + 1 x r 1 x2 + 1 = 2y + 2y p 4y2 + 1 , y = 1 2x Thay trð l¤i (2) ta ÷ñc x 2 x + 2 = 0 , x = 4; y = 1 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 4; 1 8 C¥u 304 8 : xy2: p 1 x2 y2 + x x2 + y2 = 3 5 p 1 x2 y2 y x2y: x2 + y2 = 4 5 Gi£i i·u ki»n : 0 x2 + y2 1 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 202. 172 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 8 : x y2 p 1 x2 y2 + 1 x2 + y2 = 3 5 ) x 0 y x2 p 1 x2 y2 1 = x2 + y2 Tu§n Minh n Nguy¹4 5 ) y 0 , 8 : x2y2 p 1 x2 y2 + x2 x2 + y2 = 3x 5 (3) x2y2 p 1 x2 y2 y2 x2 + y2 = 4y 5 (4) L§y (3) (4) , 3x 5 4y 5 = 1 M ta l¤i câ 3x 5 4y 5 vuut 3 5 2 + 4 5 2 # (x2 + y2) 1 ¯ng thùc x£y ra khi 8 x2 + y2 = 1 y = : 4 3 x x 0; y 0 , 8 : x = 3 5 y = 4 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 5 ; 4 5 C¥u 305 8 : x + y = 3 p 24 ( p x + p y) 1 p x + 3y + 1 p y + 3x = 2 Gi£i Nhªn x²t mët chót h» n y. Ph÷ìng tr¼nh (2) l d¤ng thu¦n nh§t rçi. Ph÷ìng tr¼nh (1) cho sè x§u th¸ kia câ l³ ch£ l m «n ÷ñc g¼. Ð ph÷ìng tr¼nh (2) biºu thùc v¸ tr¡i kh¡ èi xùng. M x = y l¤i thäa m¢n. Vªy câ l³ dòng b§t ¯ng thùc. Ta câ p x p x + 3y 1 2 x x + y + x + y x + 3y p y p x + 3y 1 2 1 2 + 2y x + 3y ) p x + p y p x + 3y 1 2 x x + y + 3 2 T÷ìng tü ta câ p x + p y p 3x + y 1 2 y x + y + 3 2 Cëng 2 b§t ¯ng thùc l¤i th¼ ta câ V T 2 ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 3 p 24 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 24 2 ; 3 p 24 2 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 203. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 173 C¥u 306 8 : 1 p 1 x2 + 1 p 1 y2 = 35 12 x p 1 x2 y p 1 y2 = 7 12 Gi£i i·u ki»n : 1 x 1;1 y 1 n L§y (1) + (2) v (1) (2) ta câ Tu§Minh ¹n Nguy8 : r 1 + x 1 x + r 1 y 1 + y = 7 r 2 1 x 1 + x + r 1 + y 1 y = 7 3 °t r 1 + x 1 x = a; r 1 + y 1 y = b a; b 0 ta câ 8 : a + 1 b = 7 2 1 a + b = 7 3 , a = 3; b = 2 a = 1 2 ; b = 1 3 , 2 66666666664 8 : r 1 + x 1 x = 3 r 1 + y 1 y = 2 8 : r 1 + x 1 x = 1 r 2 1 + y 1 y = 1 3 , 2 666666664 8 : x = 1 2 1 y = 8 3 : x = 1 3 y = 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 1 3 ; 1 3 ; 1 2 C¥u 307 (5 x)(1 + x4y4) = (1 + x2y2)3 x2y2 + x2 + x + y2 = 4 Gi£i ¥y l b i to¡n tæi s¡ng t¡c ra. Thüc ra công ch£ khâ lm n¸u º þ mët chót. Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng x2y2 + x2 + y2 + 1 = 5 x , 5 x = (x2 + 1)(y2 + 1) Thay l¶n (1) ta ÷ñc (1 + x2)(1 + y2)(1 + x4y4) = 1 + x2y23 ¸n ¥y ta sû döng mët b§t ¯ng thùc quen thuëc. Vîi a; b; c 0 ta luæn câ b§t ¯ng thùc (1 + a)(1 + b)(1 + c) 1 + 3 p 3 abc Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 204. 174 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc p döng v o b i tr¶n ta câ (1 + x2)(1 + y2)(1 + x4y4) 1 + 3 p x6y6 3 = 1 + x2y23 ¯ng thùc x£y ra khi x2 = y2 = x4y4 , x = 1; y = 1. Khi thay l¤i xuèng (2) ch¿ câ x = 1 l thäa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1) §n C¥u 308 TuMinh ¹n Nguy8 : p x3 + y6 2 + x4 x3 + 5y6 = 22x2 5 2y3 x4 y3 x3 + 5y6 = 9 10x2 Gi£i ¥y l mët b i kh¡ khâ chìi bði h¼nh thùc cçng k·nh cõa nâ ¢ che gi§u i þ t÷ðng cõa b i to¡n. Mët l¦n t¼nh cí xem l¤i c¥u VM0 95-96. Tæi væ t¼nh ¢ ph¡t hi»n ra sü t÷ìng çng giúa nâ v b i n y, tø â ¢ gi£i th nh cæng nâ. Hiºn nhi¶n b i n y ð level cao hìn. i·u ki»n : x3 + y6 0; x6= 0; x3 + 5y66= 0 Ta chia ph÷ìng tr¼nh (2) cho y3 x4 v lªp mët h» mîi sau ¥y 8 : 2 + x4 x3 + 5y6 = 22x2 p x3 + y6 5 2 x4 x3 + 5y6 = 9x2 10y3 ¸n ¥y h¯n công câ ng÷íi nhªn ra þ t÷ðng quen thuëc cõa VMO. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2 = 11x2 p x3 + y6 5 + 9x2 20y3 x4 x3 + 5y6 = 11x2 p x3 + y6 5 9x2 20y3 Nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ v ta suy ra 2x4 x3 + 5y6 = 121x4 25 (x3 + y6) 81x4 400y6 Hiºn nhi¶n rót gån ÷ñc x46= 0. Cán l¤i mët ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t giúa 2 bi¸n x3 v y6. Nh÷ vªy ta n¶n chia c£ 2 v¸ cho x36= 0. Ph÷ìng tr¼nh trð th nh 2 1 + 5t = 121 25(1 + t) 81 400t t = y6 x3 , 2 64 t = 1 15 t = 81 565 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 205. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 175 Nghi»m t thù hai lo¤i do i·u ki»n c«n thùc. Tø â suy ra y6 = x3 15 thay l¶n (1) ta ÷ñc r x3 + x3 15 0 B@ 2 + x4 p x p 15 x3 + n Tu§Minh n Nguy¹x3 3 1 CA = 22x2 5 , 4 2 + 3x 4 = 22x 5 Ph÷ìng tr¼nh n y khæng khâ. B¼nh ph÷ìng gi£i bªc 3 thæi. Ta s³ gi£i ra 2 664 x = 4 15 r ! y = 6 64 50625 x = 80 3 r ! y = 6 102400 81 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 4 15 r ; 6 64 50625 ! ; 80 3 r ; 6 102400 81 ! C¥u 309 ( (x + y)2 + 2y x + 1 x2 + 2y = 5 + 4x x2 + x y p 2x y = 2x 1 Gi£i i·u ki»n : x6= 0; 2x y 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (x + y)2 + 2(x + y) x + 1 x2 2(2x y) = 7 x + y p 2x y = 2 1 x , 8 : x + y + 1 x 2 2(2x y) = 7 x + y + 1 x p 2x y = 2 °t x + y + 1 x = a; p 2x y = b 0. Ta câ ( a b = 2 a2 2b2 = 7 , ( a = 3; b = 1 a = 5; b = 3 TH1 : a = 3; b = 1 ta câ 8 : x + y + 1 x = 3 2x y = 1 , x = 1 3 ; y = 1 3 x = 1; y = 1 TH2 : a = 5; b = 3 ta câ 8 : x + y + 1 x = 5 2x y = 9 , 2 64 x = 7 p 46 3 ; y = p 46 3 13 + 2 x = 7 + p 46 3 ; y = p 46 13 2 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 206. 176 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 1 3 ; 1 3 ; 7 p 46 3 ; p 46 3 13 + 2 ! ; 7 + p 46 3 ; p 46 13 2 3 ! p 2x3 + 3x2y = 5 3x2 C¥u 310 p y(y + 12x + 3) + 3y(1 + 2x) = 6(1 x) §n Gi£i i·u ki»n : y 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Tup 8x3 + 12x2 p y + 1 = 20 p p 3 p 2 ) (2x + y + 1)3 = 27 , y + 1 = 3 2x y + 1 + 6x y + 1 = 7 Thay l¶n (1) ta ÷ñc Minh x = 1 2x3 + 3x2 (3 2x) = 5 , 1 p x = 5 105 8 p 1 p Tuy nhi¶n ð ph²p rót y = 2 2x th¼ x 1. Vªy ta lo¤i bît x = 5 + 105 . 8 Vîi x = 1 ) y = 0 1 p 3 p Vîi x = 5 105 ) y = 19 + 105 8 8 n 1 p 3 p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); 5 105 ; 19 + 105 8 8 Nguy¹C¥u 311 8 : x 1 x 2 + x 1 x3 + 1 y = 0 3x2 + 1 y2 = 4 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x2 + 2 x2 + x y = 2 3x2 + 1 y2 = 4 , 8 : 2x2 + 4 x2 + 2x y = 4 3x2 + 1 y2 = 4 Trø v¸ vîi v¸ 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta câ x 1 y 2 = 4 x2 , 2 64 1 y = x 2 x (3) 1 y = x + 2 x (4) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 207. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 177 Thay (3) v o (2) ta ÷ñc 3x2 + x 2 x 2 = 4 , x = 1 ) y = 1 x = 1 ) y = 1 Thay (4) v o (2) ta ÷ñc 3x2 + n Tu§Minh n Nguy¹ x + 2 x 2 = 4 (V N) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); (1; 1) C¥u 312 8 : p r (4x2 + y) x2 + y + 3x2 (x 1) = 3x(1 y) + 1 y 1 x + 1 2 = 3 p x(1 y) + 2 Gi£i i·u ki»n : x6= 1; y 1 x 0; x(1 y) 2; x2 + y 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p x2 + y + 3x2 (x2 + y) p x2 + y + 3x(x2 + y) + x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 , p x2 + y + x 3 = (x + 1)3 , p x2 + y = 1 , y = 1 x2 Thay v o (2) ta ÷ñc p 1 + x + 1 2 = 3 p p x + 1 = 3 p x3 + 2 , x + 2 + 2 x3 + 2 x + 2 , 6(x + 1)2 0 , x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0) C¥u 313 8 : r x2 + 1 x2 + r y2 + p 7 1 y2 = 2 6 x + y + 1 xy = 1 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : r x2 + 1 x2 + r y2 + p 7 1 y2 = 2 6 + x + y xy = x + y , 8 : s x 1 x 2 + 2 + s y 1 y 2 p 7 + 2 = 2 x 1 x + y 1 y = 6 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 208. 178 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , ( a + b = 6 p a2 + 2 + p 7 p b2 + 2 = 2 (V N) Vªy h» ¢ cho væ nghi»m p p n p 5x2 + 2xy + 2y2 + 5y2 + 2xy + 2x2 = 3(x + y) C¥u 314 2x + y + 1 + 2: 7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 §Gi£i Nhªn th§y ngay sü thu¦n nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh (1) v d¹ th§y x Tu= y th¼ ph÷ìng tr¼nh (1) óng, vªy ta ti¸n h nh t¡ch cho phò hñp. Ta câ q q V T = (x y)2 + (2x + y)2 + (x y)2 + (2y + x)2 j2x + yj + j2y + xj 3 (x + y) «ng thùc x£y ra khi x = y 0. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc p 3x + 1 + 2 19x + 8 = 2x2 + x + 5 Ta t¼m ÷ñc 2 nghi»m l 0; 1. Tø â Minh câ h÷îng th¶m bît l÷ñng li¶n hñp cho tèt. Ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng p , 3x + 1 (x + 1) + 2 n Nguy3 p 3 ¹p 3 p 19x + 8 (x + 2) = 2x2 2x , (x x2) 2 4 1 p 3x + 1 + x + 1 + 2: x + 7 3 q 3 (19x + 8)2 + (x + 2) 19x + 8 + (x + 2)p 2 + 2 3 5 = 0 Hiºn nhi¶n em trong ngo°c luæn d÷ìng do i·u ki»n cõa (1). Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (1; 1) C¥u 315 5x2 + 6x + 3xy + y + 5 = 0 9x3 + 21x2 + 27x + 2y3 + 7 = 0 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 4(x + 1)2 + (x 1)2 + y (3x + 1) = 0 8(x + 1)3 + (x 1)3 + 2y3 = 0 °t 2(x + 1) = a; x 1 = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng a2 + b2 + y (a + b) = 0 a3 + b3 + 2y3 = 0 , (a + b)2 2ab + y (a + b) = 0 () (a + b)3 3ab (a + b) + 2y3 = 0 () Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 209. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 179 Th¸ ab tø (*) xuèng (**) ta ÷ñc 1 2 (a + b)3 3 2 (a + b)2y + 2y3 = 0 ( ) D¹ d ng nhªn ra ¥y l mët ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t. Set a + b y = t (y6= 0). Khi â (***) t÷ìng ÷ìng 1 3 t3 t2 t = 1 , y = a + b = 3x + 1 + 2 = 0 , 2 2 t = 2 , 2y = 3x + 1 n Thay tøng tr÷íng hñp v o (1) v ta d¹ d ng t¼m ra nghi»m. §Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 4) TuC¥u 316 Minh n Nguy¹8 : x2 3 2 y + y2 x2 = 7x 2y y2 3 2 x + x2 y2 = 7y 2x Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 H¼nh thùc h» l èi xùng. Tuy nhi¶n vîi h¼nh thùc nh÷ th¸ n y trø (2) ph÷ìng tr¼nh cho nhau l khæng n¶n. Ta s³ bi¸n êi kh²o l²o nh÷ sau. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : x + y x 2 = 7 2 x y + y y + x y 2 = 7 2 x + y x °t x + y x = a; y + x y = b. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : a2 = 7 2 b b2 = 7 2 a , a = b = 0 a = b = 7 2 TH1 : 8 : x + y x = 0 y + x y = 0 , x = y = 1 TH2 : 8 : x + y x = 7 2 y + x y = 7 2 , 2 6666664 x = 3; y = 3 2 x = 5 2 ; y = 5 2 x = 3 2 ; y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); 5 2 ; 5 2 ; 3; 3 2 ; 3 2 ; 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 210. 180 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 317 4 + p x + y 1 = p x + 1 + p p p 3y + 6 x3 + x2 + 4x + 4 = 8 x2 + 4: p 3y + 6 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng p p p x2 + 4 x + 1 + 3y + 6 = 8 n M theo (1) ta câ p §p p x + 1 + 3y + 6 4 ; x2 + 4 2 Vªy V T 8 ¯ng thùc x£y ra khi ( ( Tux = 0 x = 0 , x + y 1 = 0 y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; Minh 1) C¥u 318 ¹n Nguy8 : 2 p 2 x + 1 + 1 = 3 p x2 + 4y + 16 x2 + 4y x p 2x3 y = 2(9x 1) Gi£i ¥y l mët lo¤i h» công kh¡ khâ chàu n¸u khæng thªt tinh þ nhªn ra. i·u ki»n : 2x3 y 0;1 x6= 0 Ph÷ìng tr¼nh thù 2 t÷ìng ÷ìng p 2x3 y x3 + 4y = 2x(9x 1) °t t = p 2x3 y 0 ) y = 2x3 t2 thay v o ph÷ìng tr¼nh tr¶n ta câ x3 + 4(2x3 t2) = (18x2 2x)t , 9x3 18x2t + 2xt 4t2 = 0 , (9x2 + 2t)(x 2t) = 0 , x = 2t 0 , 4y = 8x3 x2 Thay v o (1) v ta câ p 2 x + 1 + 1 = 3 p x3 + 2 Ph÷ìng tr¼nh n y tæi ¢ gi£i ð c¥u 312. Ra x = 1 (L) Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Tæi s³ giîi thi»u th¶m cho b¤n åc mët c¥u h¼nh thùc kh¡ t÷ìng tü. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 211. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 181 C¥u 319 8 : p x3 y = 2y x(4x 1) 3 p 2x2 + 8y = 7 4y x(x + 1) Gi£i 1 i·u ki»n : x3 y; x= 61; 0; n 4 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng §p (4x2 2x) x3 y = 2y p °t x3 y = t 0 ) y = x3 t2 thay l¤i v o ta câ Tu(4x2 x)t = 2(x3 t2) , 2x3 4x2t + xt 2t2 = 0 , (x 2t)(2x2 + t) = 0 , x = 2t 0 , 4y = 4x3 x2 Thay xuèng (2) ta ÷ñc Minh n Nguy¹3 p 8x3 = 7 4x3 + x2 x(x + 1) , 2x2(x + 1) = 7 4x3 + x2 , x = 1 ) y = 3 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1; 3 4 C¥u 320 8 : 5(x2 + y2) 1 + 1 (x2 y2)2 + 2xy 1 1 (x2 y2)2 = 35 3x y x2 y2 + 3x + y = 9 Gi£i ¥y l b i to¡n tæi s¡ng t¡c. H¼nh thùc câ v´ hìi cçng k·nh. Muèn gi£i ÷ñc b i n y c¦n k¾ n«ng bi¸n êi t÷ìng èi tèt. i·u ki»n : x2 y2 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 5(x2 + y2) + 2xy + 5(x2 + y2) 2xy (x y)2(x + y)2 = 35 2(x y) + x + y (x y)(x + y) + 2(x + y) + x y = 9 , 8 : 3(x + y)2 + 2(x y)2 + 3(x y)2 + 2(x + y)2 (x y)2(x + y)2 = 35 2 x + y + 1 x + y + x y + 1 x y = 9 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 212. 182 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , 8 : 3 (x + y)2 + 1 (x + y)2 + 2 (x y)2 + 1 (x y)2 = 35 2 x + y + 1 x + y + x y + 1 x y = 9 , n Tu§Minh n Nguy¹8 : 3 x + y + 1 x + y 2 + 2 x y + 1 x y 2 = 45 2 x + y + 1 x + y + x y + 1 x y = 9 °t a = x + y + 1 x + y ; b = x y + 1 x y ; jaj; jbj 2. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( 3a2 + 2b2 = 45 2a + b = 9 , a = 3; b = 3 a = 39 11 ; b = 21 11 (L) , 8 : x + y + 1 x + y = 3 x y + 1 x y = 3 , 8 : 2 64 x + y = p 5 2 3 + x + y = 3 p 5 2 2 64 x y = p 5 2 3 + x y = p 5 2 3 Nh÷ vªy s³ x£y ra 4 tr÷íng hñp. Vîi méi tr÷íng hñp s³ ra mët nghi»m. Xin nh÷íng l¤i cho b¤n åc. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 2 ; p 5 2 ! ; 3 2 ; p 5 2 ! ; 3 p 5 2 ! ; ; 0 3 + p 5 2 ! ; 0 C¥u 321 p 7x + y p 2x + y = 4 p 2x + y 2 p 5x + 8 = 2 Gi£i H¼nh thùc b i h» kh¡ gièng c¥u 87, tùc l c¥u VMO 2000-2001. Tuy nhi¶n, b i n y ð level cao hìn. i·u ki»n : y minf2x;7xg; x 8 5 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p 7x + y = 4 + p 2x + y , 7x + y = 2x + y + 8 p 2x + y + 16 p 2x + y + 24 , 5x + 8 = 8 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 213. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 183 ¸n ¥y k¸t hñp vîi (2) ta °t p 2x + y = a 0; p 5x + 8 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( 2a b = 2 b2 = 8a + 24 , ( a = 5 b = 8 , ( 2x + y = 25 5x + 8 = 64 , 8 : x = 56 5 y = 13 5 56 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 5 5 §n p (x + y)(3xy 4 x) = 2 C¥u 322 p (x + y)(3xy + 4 y) = 2 TuGi£i èi vîi lo¤i h» suþt so¡t èi xùng th¸ n y. Ta th÷íng cëng ho°c trø hai ph÷ìng tr¼nh cho nhau. i·u ki»n : x; y 0 L§y (1) + (2) v (1) (2) ta ÷ñc h» Minh mîi ( p ( p p p (x + y)(3xy 2 x + 2 y) = 0 3xy = 2( x y) () p p , p p (x + y)( x + y) = 1 1 = (x + y)( x + y) ¸n ¥y tinh þ ta ho n to n ÷a nâ v· thu¦n nh§t ÷ñc. Nhªn v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 3xy = 2(x + y)(x y) , (x 2y)(2x + y) = 0 , x = 2y Thay l¶n () ta ÷ñc n p p y = 0 (L) Nguy6y2 = 2 ¹y 2 1 , p p 3 3 y = 2 1 vuut , y = 3 p 2 1 3 !2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = vuut 0 @2 3 p 2 1 3 !2 vuut ; 3 p 2 1 3 !2 1 A C¥u 323 8 : r 1 + 4 1 x2 + 1 (x + 1)2 + 5y = p y + 2 p y + 1 2 r 1 + 4 1 y2 + 1 (y + 1)2 + 5x = p x + 2 p y + 1 2 Gi£i H¼nh thùc b i h» r¢ r ng l èi xùng. Tuy nhi¶n vîi h¼nh thùc nh÷ th¸ n y c¡c ph÷ìng ph¡p thæng th÷íng khâ câ thº chìi ÷ñc. Tuy nhi¶n n¸u ai chó þ th¼ ¯ng thùc trong c«n thùc kh¡ quen thuëc. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 214. 184 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc i·u ki»n : x; y 0 Tr÷îc h¸t ta bi¸n êi biºu thùc trong c«n ¢ 1 + 1 x2 + 1 (x + 1)2 = x2(x + 1)2 + (x + 1)2 + x2 x2(x + 1)2 = x2(x + 1)2 + 2x(x + 1) + 1 x2(x + 1)2 (x(x + 1) + 1) 1 2 = = 1 + x2(x + 1)2 x(x + 1) n Vªy h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Tu§Minh ¹n Nguy8 : 4 1 + 1 x(x + 1) + 5y = 5y + 4 + 4 p y(y + 1) 4 1 + 1 y(y + 1) + 5x = 5x + 4 + 4 p x(x + 1) , 8 : 1 x(x + 1) = p y(y + 1) 1 y(y + 1) = p x(x + 1) °t p x(x + 1) = a; p y(y + 1) = b; a; b 0. H» ¢ cho trð th nh 8 : a = 1 b2 b = 1 a2 , a = b = 1 , ( x(x + 1) = 1 y(y + 1) = 1 , 8 : x = p 5 2 1 + y = p 5 2 1 + Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 + p 5 2 ; p 5 2 1 + ! C¥u 324 8 : r 11 3 2y2 3 + p 1 + 2x = y4 10x2 24x 14 2y p 3x + 4(2x + 3) = 2xy2 + 3y2 + 6x2 + 17x + 12 Gi£i Vîi h¼nh thùc b i h» th¸ n y, g¦n nh÷ ph÷ìng tr¼nh (1) ch£ l m «n ÷ñc g¼. Ta s³ khai th¡c tø ph÷ìng tr¼nh (2). i·u ki»n x 1 2 ; y2 11 2 Ph÷ìng tr¼nh (2) t÷ìng ÷ìng 2y p 3x + 4(2x + 3) = y2(2x + 3) + (2x + 3)(3x + 4) , (2x + 3)(y p 3x + 4)2 = 0 ¸n ¥y rót ra y2 = 3x + 4 thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ p 1 2x + p 1 + 2x = 2 x2 , 2 + 2 p 1 4x4 = x4 4x2 + 4 , x4(x4 8x2 + 20) = 0 , x = 0 ) y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 215. 2.11 C¥u 301¸n c¥u 330 185 C¥u 325 ( qp 1 + 4 xy9 y4 = y(1 x) 4 p x2y3 + 4 p xy y + 1 = 4 p y Gi£i T¡c gi£ b i to¡n l mët ng÷íi b¤n cõa tæi tr¶n facebook : H¤ Lan T¥m Nh÷ - Lîp 12C1 THPT °ng Thóc Hùa, Thanh Ch÷ìng, Ngh» An. Vîi h¼nh thùc h» nh÷ n y câ l³ ch¿ câ ¡nh gi¡ mîi di»t ÷ñc n H» n y câ nhi·u i·u ki»n, trong â câ mët i·u ki»n â l y xy 1. Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ qp §y xy = 1 + 4 xy9 y4 1 ¬ng thùc x£y ra khi ( Tuyp xy = 1 , xy9 y4 Minh = 0 n Nguy¹8 : x = 1 2 y = 2 (TM) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 2 ; 1 C¥u 326 (2x + y 1) p x + 3 + p xy + p x = 8 p x p x + 3 + p xy 2 + xy = 2x(6 x) Gi£i Nhªn x²t x = 0 khæng l nghi»m. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (2x + y 1) p x + 3 p x + p y + 1 = 8 r x + 3 x + p y !2 + y = 2(6 x) °t 2x + y = a; r x + 3 x + p y = b 0 ta câ h» mîi ( (a 1)(b + 1) = 8 a = 12 b2 , ( a = 3 b = 3 , ( x = 1 y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) C¥u 327 4x2 3y = 0 (2x2 + y)[4x4 3x2 + y(4x2 + y + 6)] = 8 Gi£i B i n y t§t nhi¶n câ thº gi£i b¬ng c¡ch rót y tø (1) xuèng (2) t¤o ph÷ìng tr¼nh ©n x2 câ thº gi£i ÷ñc. Tuy nhi¶n n¸u bi¸n êi tinh t¸ mët chót th¼ b i to¡n s³ µp hìn nh÷ sau. Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 216. 186 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ( 2x2 + y + 2(x2 2y) = 2 (2x2 + y) [(2x2 + y)2 3(x2 2y)] = 8 °t 2x2 + y = a; x2 2y = b ta câ h» mîi ( ( ( a + 2b = 2 a = 2 2x2 + y = 2 n , , , a(a2 3b) = 8 b = 0 x2 2y = 0 Tu§Minh n Nguy¹8 : x = r 4 5 y = 2 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = r 4 5 ; 2 5 ! ; r 4 5 ; 2 5 ! C¥u 328 x + p x + 2y = y2 + y + 2 y2 + 3xy + x + y 10 = 0 Gi£i i·u ki»n : x + 2y 0 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng x + 2y + p x + 2y y2 3y 2 = 0 Ta câ : p x+2y = 1 + 4(y2 + 3y + 2) = (2y + 3)2 Qu¡ tuy»t víi khi nâ ch½nh ph÷ìng. Tø â ta câ p px + 2y = y + 1 x + 2y = y 2 TH1 : p x + 2y = y + 1 ) x = y2 + 1 thay v o (2) ta câ 4y3 + y2 + 4y 9 = 0 , y = 1 ) x = 2 TH2 : p x + 2y = y 2 ) x = y2 + 2y + 4 thay v o (2) ta câ 3y3 + 8y2 + 15y 6 = 0 , y = 1 3 (L) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) C¥u 329 p10x2 + 5y2 2xy 38x 6y + 41 = 0 x3 + xy + 6y p y3 + x2 1 = 2 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) khâ câ thº l m «n ÷ñc g¼. Nh¼n th§y ph÷ìng tr¼nh thù nh§t ang l tam thùc n¶n thû khai th¡c nâ xem. Ph÷ìng tr¼nh (1) vi¸t l¤i nh÷ sau Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 217. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 187 10x2 2x(y + 19) + 5y2 6y + 41 = 0 Ta câ : 0 x = 49(y 1)2. Gi£ sû h» n y câ nghi»m th¼ suy ra y = 1. Thay l¶n (1) ta câ 10x2 40x + 40 = 0 , x = 2 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) §n p 3x2 + 4x C¥u 330 p 5 = y2 6y 1 x + 1 = 17 4y 16x TuGi£i Vîi kiºu h» khâ chàu th¸ n y câ l³ ¡nh gi¡ s³ l án ¡nh tèt nh§t. Tø ph÷ìng tr¼nh thù nh§t ta câ p 1 y2 6y 1 3x2 + 4x 5 = y2 6y 1 2 , 6x2 + Minh 8x 10 + y2 + 6y 0 () Tø ph÷ìng tr¼nh thù hai ta l¤i câ p x + 1 = 17 4y + 16x ) x2 + 18x + 4y 16 = 0 () L§y () () ta ÷ñc n ( x = 1 5(x 1)2 + (y + 1)2 0 , y = 1 Thay l¤i h» th§y khæng thäa m¢n. NguyVªy h» ¢ cho væ nghi¹»m 2.12 C¥u 331 ¸n c¥u 360 12x3 + 12x2 + 367x 54y3 54y2 18y = 144 C¥u 331 x2 + y2 + xy 7x 6y + 14 = 0 Gi£i Nhªn x²t ph÷ìng tr¼nh (2) l tam thùc, ph÷ìng tr¼nh (1) l hai h m ri¶ng bi»t cõa ©n. Chc nhªn ra lo¤i n y rçi chù ? Míi b¤n åc xem l¤i tø c¥u 77. Ta vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh thù hai nh÷ sau ( x2 + x(y 7) + y2 6y + 14 = 0 y2 + y(x 6) + x2 7x + 14 = 0 , ( y 0 x 0 , 8 : 1 y 7 3 2 x 10 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 218. 188 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Gií quay l¶n x²t ph÷ìng tr¼nh thù nh§t. Nâ câ d¤ng f(x) g(y) = 144 Vîi f(x) = 12x3 + 12x2 + 367x ìn i»u t«ng, v g(y) = 54y3 + 54y2 + 18y ìn i»u t«ng. Tø â ta câ f(x) f(2) = 878; g(y) g §n TuMinh ¹n Nguy 7 3 = 1022 ) f(x) g(y) 878 1022 = 144 ¯ng thùc x£y ra khi 8 : x = 2 y = 7 3 . Thay l¤i v o ph÷ìng tr¼nh (2) th§y thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 2; 7 3 C¥u 332 ( x3 y3 + 5 3 (x + y)2 5x2 8 3 xy + 13x = 100 3 x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 Gi£i D¤ng r§t gièng c¥u tr¶n, tuy nhi¶n ð ph÷ìng tr¼nh ¦u c¡c bi¸n x; y khæng ho n to n ríi nhau núa m bà r ng buëc bði xy. Vªy câ c¡ch n o dùt ÷ñc bån n y ra khæng ? Xin th÷a l câ. Thªt kh²o l²o ta th¸ xy tø (2) l¶n (1) l ta s³ t¡ch ho n to n ÷ñc x; y. Nh÷ vªy th¸ xy tø (2) l¶n (1) v ta düng mët h» mîi sau ¥y ( 3x3 + 18x2 + 45x + 2y2 3y3 + 8y = 108 x2 + y2 + xy 3x 4y + 4 = 0 ¸n ¥y qu¡ quen thuëc ngay tr¶n rçi. Xin nh÷íng l¤i cho b¤n åc gi£i nèt. B i n y l¥u hìn b i tr¶n ð ché ta ph£i lªp b£ng bi¸n thi¶n h m g(y) v¼ nâ khæng ìn i»u. H» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 4 3 ; 4 3 C¥u 333 8 : y(xy 1) y2 + 1 = 2 5 x(xy 1) x2 + 1 = 1 2 Gi£i Düa v o ph÷ìng tr¼nh ta th§y º câ nghi»m th¼ xy(xy 1)6= 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 219. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 189 8 : x 1 y 1 + 1 y2 = 2 5 y n Tu§Minh n Nguy¹1 x 1 + 1 x2 = 1 2 °t 1 x = a; 1 y = b ta câ h» mîi 8 : 1 ab a(b2 + 1) = 2 5 1 ab b(a2 + 1) = 1 2 , 8 : a(b2 + 1) 1 ab = 5 2 b(a2 + 1) 1 ab = 1 2 Trø 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc a b = 1 2 ) a = 1 2 + b Thay l¤i v ta d¹ d ng t¼m ÷ñc 8 a = 1 b = : 1 2 , ( x = 1 y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) C¥u 334 x + y = 4xy (2x + 3) p 4x 1 + (2y + 3) p (2x + 3)(2y + 3) p 4y 1 = 2 Gi£i i·u ki»n : x 1 4 ; y 1 4 Chó þ ¯ng thùc sau x + y = kxy , (kx 1)(ky 1) = 1 p döng v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ : (4x 1)(4y 1) = 1 p döng AM GM v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ p 4x 1+(2y+3) (2x+3) q (2x + 3)(2y + 3) p 4y 1 2 p (4x 1)(4y 1) = 2 p (2x + 3)(2y + 3) ¯ng thùc x£y ra khi (2x + 3) p 4x + 1 = (2y + 3) p 4y 1 , x = y Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ 2x = 4x2 , x = 1 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 220. 190 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 335 ( p x + y + 1 + 1 = 4(x + y)2 + p 3(x + y) 2x y = 3 2 Gi£i i·u ki»n : x + y 0 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p p n 4(x + y)2 1 + 3(x + y) x + y + 1 = 0 p 2x + 2y 1 §, (2x + 2y + 1)(2x + 2y 1) + p = 0 3(x + y) + x + y + 1 , 2x + 2y = 1 TuK¸t hñp ph÷ìng tr¼nh (2) qu¡ d¹ d ng. 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = ; 3 6 p x4 3 y = 3x + y C¥u 336 p p x y(y 1) = 3(x + Minh y) Gi£i p °t t = y 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( x4 t2 = 3x + 3t n ) x4 t2 = xt3 xt , (x t) x(x2 + xt + t2) + t = 0 () xt3 xt = 3x + 3t NguyGií ta t¤m thíi x²t ph¹¦n khâ tr÷îc. K¸t hñp vîi (2) ta câ h» mîi sau ( x(x2 + xt + t2) + t = 0 (3) xt3 xt 3x 3t = 0 (4) Ta câ xt(x2 + xt + t2) + t2 xt(x2 + xt + t2) + t2 (xt3 xt 3x 3t) x(x2 + xt + t2) + t = = t t (x + t)(x2t + t + 3 = t Vªy (*) câ thº vi¸t l¤i l (x2 t2)(x2t + t + 3) = 0 , x = t (Dot 0) ¸n ¥y gi£i ra x; t v tr£ l¤i bi¸n y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 0); (1; 1); (2; 4) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 221. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 191 C¥u 337 x3 6x2y = 8y3 6 4xy2 + x = 2y + p 2y x + 1 + 1 Gi£i i·u ki»n : 2y x + 1 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( n x3 6x2y 8y3 = 6 p 12xy2 = 3(2y + 1 x) + 3 2y + 1 x §Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta ÷ñc p (2y x)3 = 3(2y x) + 3 2y x + 1 Tu3 °t 2y x = t ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng p 3 t3 = 3t + 3 t + 1 3 , t t2 + 3 + p = 0 t + 1 + 1 Tø â suy ra x = 2y thay v o ph÷ìng Minh tr¼nh (1) ta câ 1 1 y3 = , y = 4 ¹n Nguy3 p 4 ) x = 3 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 3 p 4 ; 3 p 2 C¥u 338 8 : x4 + 2x3 p 5x2 + y2 6x 11 = 0 3 p y2 7 6 x2 + x = y2 7 Gi£i i·u ki»n : y2 7 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng (x2 + x 6)(x2 + x) + (y2 7) = 4 Vªy °t x2 + x = a; p y2 7 = b 0. H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : a(a 6) + b2 = 4 3b 6 a = b , a = 0; b = 2 a = 1; b = 3 TH1 : ( x2 p+ x = 0 y2 7 = 2 , ( x = 0; x = 1 p y = 11 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 222. 192 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc TH2 : ( x2 p+ x = 1 y2 7 = 3 , 8 : x = p 5 2 1 y = 4 Tø â k¸t luªn nghi»m (nhi·u c°p qu¡ !) n (x2 + 1)y4 + 1 = 2xy2(y3 1) C¥u 339 xy2(3xy4 2) = xy4(x + 2y) + 1 §Gi£i L§y (1) (2) ta ÷ñc Tuy4(1 2xy) = xy5(2 3xy) V¼ y = 0 khæng l nghi»m. Tø â suy ra xy = 1 3(xy)2 4xy + 1 = 0 , 1 xy = 3 1 TH1 : xy = 1 , x = thay v o (1) Minh ta ÷ñc y p p 1 5 1 5 y4 = (y + 1)2 , y = ) x = 2 2 1 1 TH2 : xy = ) x = thay v o (1) ta ÷ñc 3 3y n 3y4 = (y + 3)2 (L) p p ! 1 5 1 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 2 2 Nguy¹ p p 2x y + p x 1 = 2x 2 + 2(2x y)2 C¥u 340 y2 + 4x x 1 = 17 Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong · thi thû cõa Chuy¶n Nguy¹n Hu». Mët b i to¡n kh¡ °c sc. i·u ki»n x 1 p °t 2x y = a; x 1 = b ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p a + b = 2(a2 + b2) , a = b , 2x p x 1 = y , 4x2 + x 1 = y2 + 4x p x 1 Tø â suy ra 4x2 + x 1 = 17 , x = 2 ) y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 223. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 193 C¥u 341 x2 + y2 + xy = 3x 2 (x2 + xy)4 + (y2 + 2)4 = 17x4 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) kh¡ phùc t¤p khi h¬ng ¯ng thùc bªc 4. T÷ t÷ðng v¨n giú nguy¶n khi g°p lo¤i n y : ph¥n t½ch nh¥n tû ho°c °t ©n phö. Nhªn th§y x = 0 khæng l nghi»m cõa h». n H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §( x2 + xy + y2 + 2 = 3x , (x2 + xy)4 + (y2 + 2)4 = 17x4 TuMinh n Nguy¹8 : x2 + xy x + y2 + 2 x = 3 x2 + xy x 4 + y2 + 2 x 4 = 17 , ( a + b = 3 a4 + b4 = 17 , a = 1; b = 2 a = 2; b = 1 TH1 : ( x2 + xy = x y2 + 2 = 2x , x = 1; y = 0 x = 3; y = 2 TH2 : ( x2 + xy = 2x y2 + 2 = x , x = 2; y = 0 x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); (3;2); (2; 0); (3;1) C¥u 342 3x2 2x 5 + 2x p x2 + 1 = 2(y + 1) p y2 + 2y + 2 x2 + 2y2 = 2x 4y + 3 Gi£i Trø 2 ph÷ìng tr¼nh cho nhau v¸ vîi v¸ ta ÷ñc x2 + x p x2 + 1 = (y + 1)2 + (y + 1) p (y + 1)2 + 1 Cæng vi»c cõa ta l x²t h m f(t) = t2 +t p t2 + 1 v chùng minh nâ ìn i»u t«ng, xin nh÷íng l¤i cho b¤n åc. Tø â ta câ x = y + 1 thay v o (2) d¹ d ng t¼m ra nghi»m. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;2); 2 3 ; 5 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 224. 194 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 343 ( x2 + y2 = 1 2 4x(x3 x2 + x 1) = y2 + 2xy 2 Gi£i 1 Thay y2 = x2 tø (1) xuèng (2) ta câ 2 n 3 4x4 4x3 + 5x2 4x = 2xy () 2 §1 Ta câ 2xy x2 + y2 = . Nh÷ vªy (*) suy ra 2 Tu1 1 4x4 4x3 + 5x2 4x + 1 0 , (2x 1)2(x2 + 1) 0 , x = ) y = 2 2 1 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ; 2 2 ( x2 + y2 = 1 Minh C¥u 344 1 (3x 4x3)(3y 4y3) = 2 Gi£i Nh¼n têng quan h» ta th§y c¡c biºu thùc kh¡ gièng c¡c cæng thùc l÷ñng gi¡c. Vªy ta °t x = cost; y = sint vîi t 2 [ n ; ]. 2 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc Nguy¹, 2 sin 3t cos 3t = 1 , sin 6t = 1 , 8 : t = 3 + k 12 t 2 [ 2 ; ] ) k = 0; 1; 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = cos 12 ; sin 12 ; cos 5 12 ; sin 5 12 ; cos 3 4 ; sin 3 4 C¥u 345 p x y + p p x 2 = 2 x2 + y2 xy(x y) + p xy y2 = 2 p 2(x y 1) Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 225. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 195 p (x y) x 2 = 2x 2y 2x2 + 2y2 2xy (x y) + p x y + (x y) p p 2xy 2y2 = 4 (x y 1) q (x y)2 p (x 2) = 2x 2y 2x2 + 2y2 2xy (x y) + , n Tu§Minh n Nguy¹( q (x y)3 + p 2xy 2y2 = 4 (x y 1) ) q (x y)3 p 2x2 + 2y2 2xy (x y) + q (x y)2 (x 2) p 2xy 2y2 = 4 2x + 2y , (x y 2) x2+y2 p (xy)3+ p 2x2+2y22xy(xy) + p x2xy p (xy)2(x2)+ 2xy2y2 + 2 = 0 , x y 2 = 0 ) p 2 + p 2 ) y = 6 4 p x 2 = 2 ) x = 8 4 p 2 p 2; 6 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (8 4 p 2) C¥u 346 p 3 x4 + 8y = 4(x3 1) 16 y4 + 8x = 4(y3 1) + 16 p 3 Gi£i B i to¡n n y câ còng 1 þ t÷ðng vîi 1 b i to¡n kh¡c tæi ¢ n¶u ð ph¦n giúa cuèn s¡ch H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: p 3 x4 4x3 + 8y = 4 16 y4 4y3 + 8x = 4 + 16 p 3 Cëng hai ph÷ìng tr¼nh cõa h», ta ÷ñc: x4 4x3 + 8x + y4 4y3 + 8y = 8 , x2 2x 2 2 + y2 2y 2 2 = 0 , ( x = 1 p 3 y = 1 p 3 Thay l¤i v o h» thû. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 + p 3; 1 p 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 226. 196 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 347 p x + 1 + p y + 1 = 3 x p y + 1 + y p x + 1 + p x + 1 + p y + 1 = 6 Gi£i L§y PT(2) 2PT(1) ta ÷ñc p p p p ( x + 1 + y + 1)( x + 1 y + 1 2) = 0 n 2 (p p §x + 1 y + 1 = 2 , p p , x + 1 + y + 1 = 3 TuMinh ¹n Nguy66664 (p x + 1 = 1 p ( y + 1 = 2 p x + 1 = 2 p y + 1 = 1 , x = 0; y = 3 x = 3; y = 0 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 3); (3; 0) C¥u 348 8 : r x9 18y 27x 29 3 3 p x y 1 = 2x + p x2 + x 2 x(x3 + 2xy 2x + 2) + (y 2)2 + 7 = 6 3 p 4(x y + 1) Gi£i Mët b i to¡n tøng xu§t hi»n tr¶n diendantoanhoc.net . H¼nh thùc kh¡ khõng bè. Vîi lo¤i h» kiºu n y h÷îng i th÷íng l ½t, ph÷ìng tr¼nh (1) chc ch£ khai th¡c ÷ñc g¼. Thû x²t ph÷ìng tr¼nh (2) xem n o. i·u ki»n x y 1 0 x2 + x 2 0 , x y + 1 x2 + x 2 0 Ph÷ìng tr¼nh thù (2) t÷ìng ÷ìng x4 + 2x2y 2x2 + 2x + y2 4y + 11 = 6 3 p 4(x y + 1) , (x2 + y)2 2(x2 + y) + 2(x y + 1) + 8 = 6 3 p 4(x y + 1) , (x2 + y 1)2 + 2(x y + 1) + 8 = 6 3 p 4(x y + 1) Ta câ 6 3 p 4(x y + 1) = 3 3 p 2(x y + 1):4:4 2(x y + 1) + 4 + 4 Tø â suy ra (x2 + y 1)2 + 2(x y + 1) + 8 2(x y + 1) + 4 + 4 , (x2 + y 1)2 0 ¯ng thùc x£y ra khi x2 + y 1 = 0 2:(x y + 1) = 4 , x = 1; y = 0 x = 2; y = 3 Sau â thay 2 c°p vøa rçi v o (1). L m nèt i nh² ! Lóc vi¸t khæng câ Casio :sad: Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 227. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 197 C¥u 349 x3 + xy 2y3 = 0 3y3 + 3xy + 1 = 0 Gi£i Li»u ban åc cán nhî ¥y l lo¤i h» n o khæng ? Chc ch£ nhî, ¥y còng chõng lo¤i vîi nhúng b i h» sû döng ph÷ìng ph¡p nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh vîi nhau t¤o ©n mîi. n Thay y3 tø ph÷ìng tr¼nh (2) l¶n (1) ta câ h» mîi sau ¥y Tu§Minh ¹n Nguy8 x3 + xy 2 : 3xy 1 3 = 0 3y3 = 3xy 1 , ( 3x3 = 9xy 2 (3) 3y3 = 3xy 1 (4) Nh¥n (3) vîi (4) v¸ vîi v¸ çng thíi °t xy = t ta câ 9t3 = (9t + 2)(3t + 1) , 9t3 27t2 15t 2 = 0 Ph÷ìng tr¼nh n y câ 1 nghi»m duy nh§t l´, c¡ch gi£i b¤n åc xem l¤i ð c¥u 215. Tø ¥y ta s³ gi£i ra t = 3 + 3 3 p 7 + 3 p 49 3 ¸n ¥y ta thay l¤i (3) v (4) tr£ l¤ i x; y (kh¡ l khõng khi¸p) 9a 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 ; 3a 1 3 vîi a = 3 + 3 3 p 7 + 3 p 49 3 C¥u 350 8 : x + 3y + 1 = y2 1 y + 3x + 4 p p x + 1 9y 2 + 3 p 7x + 2y + 2 = 2y + 3 Gi£i i·u ki»n : x 1; y 2 9 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» t÷ìng ÷ìng: x + 3y + 1 = y2 1 y + 3 p x + 1 + 1 p x + 1 p x + 1 , x + 1 3 1 p x + 1 = y2 3y 1 y (?) X²t h m sè f(t) = t2 3t 1 t tr¶n (0;/) ta câ f0(t) = 2t 3 + 1 t2 = 2t3 3t2 + 1 t2 = (t 1)2(2t + 1) t2 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 228. 198 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h m çng bi¸n tr¶n (0;/) suy ra ph÷ìng tr¼nh (?) t÷ìng ÷ìng y = p x + 1 , x = y2 1 Th¸ v o ph÷ìng tr¼nh (2) cõa h», ta ÷ñc: p 9y 2 + 3 p 7y2 + 2y 5 = 2y + 3 + , n Tu§Minh n Nguy¹ y + 2 p 9y 2 y + 1 3 p 7y2 + 2y 5 = 0 , y2 5y + 6 y + 2 + p 9y 2 + y3 4y2 + y + 6 A = 0 , (y2 5y + 6) 1 y + 2 + p 9y 2 + y + 1 A = 0 Vîi A = (y + 1)2 + (y + 1) 3 p 7y2 + 2y 5 + 3 p (7y2 + 2y 5)2 0 Do y 2 9 n¶n 1 y + 2 + p 9y 2 + y + 1 A 0 Tø â suy ra y2 5y + 6 = 0 , y = 2 ) x = 3 y = 3 ) x = 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 2); (8; 3) C¥u 351 x p 1 y2 + y p 1 x2 = 1 3x2 xy2 + 4x = 1 Gi£i N¸u tinh þ th¼ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh thù nh§t kh¡ quen thuëc. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz cho v¸ tr¡i ta ÷ñc V T p (x2 + 1 x2)(y2 + 1 y2) = 1 ¯ng thùc x£y ra khi x2 + y2 = 1 thay v o ph÷ìng tr¼nh thù 2 ta ÷ñc x3 + 3x2 + 3x 1 = 0 , (x + 1)3 = 2 , x = 3 p 2 1 Tø â t¼m nèt y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 3 p 2 1; 1 3 p 2 ) 2 1 C¥u 352 p2x2 2y = xy 4x 12x2 + 3y + 84 = 2x + 2 p x + 2 + p 20 y Gi£i B i n y n¸u nh¼n qua th¼ ch£ câ g¼ °c bi»t khi m ph÷ìng tr¼nh (1) ¢ l (2x y)(x + 2) = 0 , y = 2x x = 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 229. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 199 Nh÷ng kàch hay ð ph½a sau, cù l m i ¢. TH1 : x = 2 thay v o ph÷ìng tr¼nh thù 2 ta ÷ñc p 132 + 3y = 4 + p 20 y , y = 26 6 p 5 TH2 : y = 2x khi â (2) s³ l p p p 12x2 + 6x + 84 = 2x + 2 x + 2 + 20 2x (3) n Ph÷ìng tr¼nh n y ta nh©m ÷ñc nghi»m x = 2 tø â câ thº câ h÷îng nh¥n li¶n hñp. Tuy nhi¶n, gi£i quy¸t ph¦n cán l¤i kh¡ khâ kh«n. Mët c¡ch tinh t¸ ta ti¸n h nh ¡nh gi¡ §ph÷ìng tr¼nh n y. Ta câ p 1 p 1 Tu1 V P = 2x + 4(x + 2) + 16(20 2x) x + (6 + x) + (36 2x) 2 4 8 Nh÷ vªy p 1 1 12x2 + 6x + 84 2x + (6 + x) + (36 2x) 4 8 15 9 , 12x2 + 6x + 84 ( + x)2 2 4 111 , (x 2)2 0 , x = 2 16 p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2;26 Minh 6 5); (2; 4) (x2 1)2 + 1 = 2y(2x + 1) C¥u 353 x2 y2 = n 3 Gi£i NguyMët b i to¡n kh¡ hay. ¹Ta câ ¡nh gi¡ sau (1) , (x2 1)2 + 9 = 4xy + 2y + 8 p döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ x2+4y2+2y+8 4xy+2y+8 = (x21)2+9 6(x21) ) x2+4y2+2y+8 6(x21) (?) Thay x2 = 3 + y2 tø (2) v o (*) ta ÷ñc 5(3 + y2) 4y2 2y 14 0 ) (y 1)2 0 ) y = 1 Thay v o h» ta câ x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 230. 200 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 354 8 : 3 y = (x 1) p x3 + 2 + 1 y = x2 + x + 1 Gi£i Mët b i to¡n mang t½nh løa t¼nh kh¡ cao ÷ñc · xu§t bði th¦y L¶ Trung T½n. º þ k¾ khi nh¥n 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ s³ ch¿ cán l¤i x. Ta thüc hi»n bi¸n êi nh÷ tr¶n thu ÷ñn c p 3 = x3 1 x3 + 2 + 1 §p °t t = x3 + 2 ) x3 = t2 2; t 0 Khi â ph÷ìng tr¼nh trð th nh Tu 3 = (t + 1) t2 3 , (t 2) t2 + 3t + 3 = 0 ) t = 2 ) x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 2; 4 + 2 + 1) x(x2 + y2) = 42 C¥u 355 2x2 + x y2 + 2y + Minh xy = 11 Gi£i L¥u lm khæng l m h» sè b§t ành nh¿ ? Quay l¤i 1 b i cho vui. Vi¸t l¤i h» ¢ cho theo bi¸n n y (v¼ bªc cõa nâ th§p hìn) ( xy2 + x3 + 42 = 0 y2 + y(x + 2) + 2x2 + x + 11 = 0 Nguy¹N¸u h» n y câ nghi»m x l sè n o â th¼ khi thay v o h» ta ph£i thu ÷ñc 2 ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng ©n y. Mët sü tinh qu¡i ta ngh¾ ¸n ngay x = 2 v¼ khi thay v o (2) s³ m§t y, nh÷ th¸ mîi mong 2 ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng ÷ñc. Thay thû v o ta thu ÷ñc ( 2y2 + 34 = 0 y2 + 17 = 0 Èi giíi ìi t÷ìng ÷ìng rçi. Tríi th÷ìng ta ! Nh÷ vªy h¬ng sè c¦n nh¥n ð ¥y l 2. Vªy PT(1) 2PT(2) , (x + 2) (x 3)2 + (y 1)2= 0 3 3 3 p p p 3 p p 17 TH1 : x = 2 ) y = TH2 : x = 3; y = 1 thay l¤i h» th§y khæng thäa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; p 17) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 231. 2.12 C¥u 331¸n c¥u 360 201 C¥u 356 x4 2x3 11y2 + 12y + 41 = 0 y4 2y3 11x2 + 12x + 31 = 0 Gi£i Trî tr¶u thay ! H¼nh thùc kh¡ èi xùng th¸ m h¬ng sè ch¸t ti»t kia ¢ khi¸n hi vång trð th nh th§t vång. Khi b¤n åc nhúng c¥u câ h¼nh thùc kiºu na n¡ èi xùng th¸ n y th¼ líi gi£i th÷íng l m g¼. Cán g¼ núa ! Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh l¤i cho tæi. n L§y PT(1) + PT(2) ta ÷ñc §(x4 2x3 11x2 + 12x + y4 2y3 11y2 + 12y + 72 = 0 , (x2 x 6)2 + (y2 y 6)2 = 0 Nh÷ vªy tùc l ( ( x2 x 6 = 0 x = 3; x = 2 Tu, y2 y 6 = 0 y = 3; y = 2 T§t nhi¶n ta ph£i thay l¤i h» º xem c°p n o thäa m¢n Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;2) x2y + y = 2x C¥u 357 Minh y4 x2 = 2(1 x) Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng n 2x y = : 1 + x2 y4 = (x 1)2 + 1 NguyH¢y º þ k¾ ¸n d ng ¹buëc cõa y. Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ ngay y4 1 , y2 1 2x Tø ph÷ìng tr¼nh (1 d¹ chùng minh 1 1 ) 1 y 1 Vªy r ng buëc cõa y tr¡i 1 + x2 ng÷ñc. Nâ thäa m¢n khi y = 1; x = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) p 1 + 4 y(x 1) = 4y + (x y)2 C¥u 358 p y + x 3 = 0 8 Gi£i i·u ki»n : y 0; x 1 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p y(x 1)+y) = 0 , (xy1)2 +2 (xy)2 2(xy)+1+2(x1+2 p y 2 p x 1 = 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 232. 202 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Nh÷ vªy tùc l suy ra x = y + 1 thay v o (2) ta ÷ñc y + p y 2 = 0 , y = 1 ) x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m (x; y) = (2; 1) n x4 = 2x2y + 3xy C¥u 359 y2 = 4x2 3x3 §Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Tu(x2 y)2 = y2 + 3xy , y2 = 4x2 3x3 Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta suy ra ) (x2 y)2 + 3x(x2 y) 4x2 = 0 Rã r ng l ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t Minh giúa 2 ©n x2 y v x. Tø â ta câ x2 y = x , y = x2 x x2 y = 4x , y = x2 + 4x Vîi méi tr÷íng hñp tr¶n thay l¤i v o ph÷ìng tr¼nh thù nh§t. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : p ! p ! p p ! 1 13 p 13 1 p 11 73 53 + 7 73 (x; y) = (0; 0); ; 4 + 13 ; ; 4 s 13 ; ; 2 2 2 2 p p ! n 73 11 53 7 73 Nguy, ; 2 2 ¹ p p x 4 y2 = y 4 x2 C¥u 360 y2 x3 + 3x = 2 Gi£i i·u ki»n : 2 x; y 2 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t ta suy ra 4x2 x2y2 = 4y2 x2y2 , y2 = x2 Thay v o (2) ta ÷ñc x3 x2 3x + 2 = 0 , 2 4 x = 2 x = p 5 2 1 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 233. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 203 Vîi x = 2 ) y = 2 Vîi x = p 5 2 1 + ) y = p 5 2 1 + Vîi x = p 5 2 1 ) y = p 5 2 1 T§t nhi¶n ph£i lo¤i nghi»m ngo¤i lai do ph²p b¼nh ph÷ìng (1) p p ! p p ! 1 + 5 1 + 5 1 5 1 5 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 2); (2;2); ; ; ; 2 2 2 §n 2 2.13 C¥u 361 ¸n c¥u 390 Tu 9y3 x3 = 8 C¥u 361 y2 xy + 8x = 8 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng x3 y3 + 8(x3 + 1) = 0 (1) , y2 Minh xy + 8(x + 1) = 0 (2) Thay (2) v o (1) ta ÷ñc (x3 y3) + (xy y2)(x2 x + 1) = 0 , (x y)(y + 1)(x2 + y) = 0 TH1 : x = y ) 8x3 = 8 , x = y = 1 TH2 : y = 1 ) x = 1 TH3 : y = x2 thay xuèng n (2) ta ÷ñc Nguy¹x4 + x3 + 8x + 8 = 0 , x = 2; y = 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1;1); (2;4) 4x3 + y3 3xy2 = 8 C¥u 362 3x2 + 24x + 3xy = 24 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( 4x3 + y3 3xy2 = 8 3x3 + 24x2 + 3x2y = 24x Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh tr¶n cho nhau ta ÷ñc 7x3 + y3 3xy2 + 3x2y + 24x2 = 24x 8 , (x y)3 = 8(x + 1)3 , y = x 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 234. 204 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Thay xuèng (2) ta câ 3x2 24x 3x(x + 2) = 24 , x = 4 3 ) y = 2 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = §n TuMinh ¹n Nguy 4 3 ; 2 3 C¥u 363 8 : x2 y + y2 x x y = 1 (x y)4 = x + y xy Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 Ph÷ìng tr¼nh (1) suy ra (x + y)(x2 xy + y2 xy) xy = 1 , (x + y)(x y)2 = xy Thay v o (2) ta ÷ñc (x + y)3 = x3y3 , x + y = xy (?) Nh÷ vªy (2) s³ l (x y)4 = 1 , x y = 1 Thay v o (?) d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 5 2 ; p 5 2 3 ! ; 3 p 5 2 ; p 5 2 1 ! ; 1 + p 5 2 ; p 5 2 3 + ! ; 3 + p 5 2 ; p 5 2 1 + ! C¥u 364 8 : x + y + 1 x + 1 y = 2 p 1 2x + p 2y + 1 x2 7xy + y2 + 1 = 0 Gi£i Mët b i to¡n kh¡ hâc bóa cõa th¦y L¶ Trung T½n. i·u ki»n : 8 : x 1 2 ; x6= 0 y 1 2 ; y6= 0 Ph÷ìng tr¼nh (2) khæng thº l m «n ÷ñc g¼. M§u chèt câ l³ l tø (1). Nhªn th§y biºu thùc chùa 2 bi¸n ríi nhau ho n to n, nh÷ vªy câ thº s³ x²t h m sè ho°c nhâm chóng l¤i º ra c¡i Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 235. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 205 g¼ â °c bi»t. Thüc hi»n ph²p bi¸n êi (1) ta câ x + 1 x p 1 2x + y + 2 1 y p 2y + 1 = 0 2 1 , x Tu§n Minh n Nguy¹ x2 2x p 1 2x + 1 2x + 1 y y2 2y p 2y + 1 + 2y + 1 = 0 , 1 x x p 1 2x 2 + 1 y y p 2y + 1 2 = 0 Nh÷ng mët i·u ch÷a l m ta thäa m¢n l ch÷a bi¸t x; y câ còng d§u hay khæng ? N¸u nâ còng d§u th¼ tèt qu¡, khi â (1) s³ l têng cõa c¡c ¤i l÷ñng khæng ¥m ho°c khæng d÷ìng, cán tr¡i d§u th¼....Câ c¡ch n o bi¸t nâ còng hay tr¡i d§u khæng ? Còng d§u h¯n l xy 0, vªy ph÷ìng tr¼nh (2) º l m g¼ ? Dòng nâ v o lóc n y thæi. X²t (2) n¸u xy 0 th¼ v¸ tr¡i luæn d÷ìng (væ lþ). Vªy x; y còng d§u. Tùc l d§u b¬ng ð (1) x£y ra khi ( x = p 1 2x y = p 2y + 1 ) ( x = 1 p 2 y = 1 p 2 So vîi i·u ki»n th¼ ta suy ra ( x = 1 + p 2 y = 1 + p 2 ho°c ( x = 1 p 2 y = 1 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1 + p 2; 1 + p 2); (1 p 2; 1 p 2) C¥u 365 (x + y)(x2 + y2) = 15 y4 + y = x Gi£i ¥y l mët d¤ng quen thuëc nh÷ng kh¡ µp mt n¶n tæi v¨n muèn giîi thi»u cho b¤n åc. Vi¸t l¤i h» nh÷ sau ( (x + y)(x2 + y2) = 15 y4 = x y H¯n l nhªn ra câ thº ÷a v· d¤ng ¯ng c§p rçi ph£i khæng ? Nh¥n ch²o l¶n ta ÷ñc (x y)(x + y)(x2 + y2) = 15y4 , x4 y4 = 15y4 , x = 2y Vîi x = 2y; PT(2) , y(y3 1) = 0 ) y = 1 ) x = 2 Vîi x = 2y; PT(2) , y(y3 + 3) = 0 ) y = 3 p 3 ) x = 2 3 p 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1); (2 3 p 3; 3 p 3) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 236. 206 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 366 x3 + p x2 + 2y + 1 = x2y + y + 1 p y + 1 = 10 (x + y 1) Gi£i i·u ki»n : y 1; x2 + 2y + 1 0 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p n x2 (x y) + x2 + 2y + 1 (y + 1) = 0 §x2 y2 , x2 (x y) + p = 0 x2 + 2y + 1 + y + 1 ! p x + y x2 Tu, (x y) + = 0 x2 + 2y + 1 + y + 1 D¹ th§y y + 1 0 çng thíi º (2) câ nghi»m th¼ x + y 1 Vªy suy ra x = y thay v o (2) ta ÷ñc p (2y 1) y + 1 = 10 , y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; Minh 3) 4x2y2 + 8xy 3y2 = 1 C¥u 367 6xy + 4x n + y = 3 Gi£i Nguy¥y l b i to¡n do th¹¦y L¶ Trung T½n tøng «ng tr¶n Boxmath. ¥y l mët d¤ng công kh¡ quen thuëc trong cuèn s¡ch tæi câ giîi thi»u 1 c¥u nh÷ng qu¶n khu§y m§t ché n o rçi :sad:. B i to¡n n y th¦y L¶ ¼nh M¨n câ mët h÷îng gi£i kh¡ hay. â l Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Vîi y6= 0 chia PT(1) cho y2 v PT(2) cho y rçi trø v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 1 3 2 25 2x + = y 2 4 T§t nhi¶n ¥y l mët h÷îng kh¡ µp mt nh÷ng khæng ph£i d¹ ngh¾, ho n to n düa v o kinh nghi»m. Tæi xin giîi thi»u cho b¤n åc mët þ t÷ðng kh¡c cõa tæi cho b i n y. H» vi¸t l¤i ( 4x2y2 + 1 = 3y2 8xy 3(2xy + 1) = y 4x B¼nh ph÷ìng ph÷ìng tr¼nh (2) ta suy ra 9(4x2y2 + 1) + 36xy = y2 + 8xy + 16x2 Th¸ l÷ñng 4x2y2 + 1 = 3y2 8xy tø tr¶n xuèng ta ÷ñc 9(3y2 8xy) + 36xy = y2 + 8xy + 16x2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 237. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 207 ¥y l ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t bªc 2 kh¡ ìn gi£n. Ta rót ÷ñc x theo y. Vi»c gi£i nâ xin nh÷íng cho b¤n åc. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 4 p 42 4 ; p 42 4 13 ! ; 4 + p 42 4 ; p 42 13 4 ! p p 5x y 2y p x = 1 n C¥u 368 2 2y x + 3xy = 2x2 + y2 + 3x 1 §Gi£i x i·u ki»n : y 5x Tu2 p H» chùa 2 c«n thùc. B¤n åc xem 2 2y x nâ sinh ra tø ¥u ? â l chuyºn v¸ v b¼nh ph÷ìng (1).Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (1) t÷ìng ÷ìng p p p p 5x y = 1 + 2y x , 5x y = 1 + 2y x + 2 2y x , 2 2y x = 6x 2y 1 Thay xuèng (2) rót gån ta ÷ñc 2x2 3(y + 1)x + Minh y2 + 3y = 0 , (x y)(2x y 3) = 0 p p Vîi x = y thay (1) ta ÷ñc 4x x = 1 , x = 1 p p 22 Vîi y = 2x 3 thay (1) ta ÷ñc 3x + 3 3x 6 = 1 , x = 3 22 35 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = (1; 1); ; 3 3 Nguy p x C¥u 369 ¹p p 2 y 1 = 1 x + 8x + y2 = 8 Gi£i Mët líi gi£i µp cho b i n y. i·u ki»n : y p 1; x 2 p Tø (1) ta câ x 2 = 1 p + y 1 1 , x 3 Tø (2) ta câ V T 3 + 8:3 + 1 = 8 ¯ng thùc x£y ra khi x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 238. 208 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 370 (x2 + 9)(x2 + 9y) = 22(y 1)2 x2 2 4y p y + 1 = 0 Gi£i i·u ki»n : y 1 °t x2 + 9 = a; y 1 = b. Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng n x2 22b2 a = 11b = 11y + 2 a(a + 9b) = , , a = 2b x2 = 2y 11 §Thay v o ph÷ìng tr¼nh thù (2) d¹ d p ng t¼m ra p nghi»m. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 2; 0); ( 2; 0) TuC¥u 371 Minh n Nguy¹8 : (x 2y) 3x + 8y + 4 = 6 p x2 4xy + 4y2 16 (y 4x) 3y + 2x + 2 = 10 p x2 4xy + 4y2 16 Gi£i B i to¡n xu§t hi»n trong 1 · thi thû cõa page Hëi nhúng ng÷íi æn thi ¤i håc tr¶n facebook. Khæng hiºu t¶n n o ngh¾ ra thº lo¤i h» n y ? Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta câ (x 2y)(3x + 8y) + (y 4x)(3y + 2x) 2(2x + 3y) p x2 4xy + 4y2 16 = 16 , 5x2 10xy 13y2 2(2x + 3y) p x2 4xy + 4y2 16 = 16 p x2 4xy + 4y2 16 + (2x + 3y)2 = 0 , (x2 4xy + 4y2 16) + 2(2x + 3y) , 2x + 3y + 2 p x2 4xy + 4y2 16 = 0 , p x2 4xy + 4y2 16 = (2x + 3y) Thay l¤i v o c£ 2 ph÷ìng tr¼nh ta câ ( (x 2y)(5x + 4y) = 6 (y 4x)(3y + 2x) = 10 H» ¯ng c§p rã r ng rçi nhº. Tü gi£i np èt nh² ! Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 2; p 2); ( p 2; p 2) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 239. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 209 C¥u 372 8 : x4 y4 = 121x 122y 4xy x4 + 14x2y2 + y4 = 122x + 121y x2 + y2 Gi£i i·u ki»n : x; y6= 0 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng §n , TuMinh ¹n Nguy8 : 4xy(x2 y2) = 121x 122y x2 + y2 (1) x4 + 14x2y2 + y4 = 122x + 121y x2 + y2 (2) D¤ng n y n¸u ai chó þ th¼ tæi ¢ n¶u 1,2 c¥u kiºu n y rçi. Ta thüc hi»n (1):x + (2):y (2):x (1):y , y5 + 10x2y3 + 5x4y = 121 x5 + 10x3y2 + 5xy4 = 122 , (x + y)5 = 35 (x y)5 = 1 , ( x + y = 3 x y = 1 , x = 2; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2; 1) C¥u 373 x2 y2 = 1 2011 p x 2011 p y = ( 2013 p x)(x + y + xy + 2014) p y 2013 Gi£i Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta câ 1 x; y 1 Th¸ th¼ x + y + xy + 2014 = (1 + x)(1 + y) + 2013 0 Rã r ng nh÷ th¸ tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta ph£i suy ra x = y thay v o (1) v ta t¼m ÷ñc 2 64 x = y = 1 p 2 x = y = 1 p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 1 p 2 ; 1 p 2 ; 1 p 2 ; 1 p 2 C¥u 374 ( x2 + y2 = 1 x10 + y10 = 1 8 Gi£i Li»u câ th½m n o chìi mô 5 ph÷ìng tr¼nh thù nh§t rçi ÷a v· d¤ng ¯ng c§p bªc 10 khæng ? Chc ch£ ai i¶n. Ta bi¸n êi ph÷ìng tr¼nh (1) th nh Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 240. 210 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc x2 1 2 = 1 2 y2 = a Tø â suy ra x2 = 1 2 + a; y2 = 1 2 a thay h¸t v o (2) ta ÷ñc 1 5 1 5 1 5 1 + a + a = , 5a4 + a2 = 0 2 2 8 2 16 r n 1 1 p , a = 30 5 2 5 §¸n ¥y thay trð l¤i d¹ d ng t¼m ÷ñs c x; y q s Tu q ! 1 p 1 p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 5( 30 5) ; 5 + 5( 30 5) s 10 10 q s q ! 1 p 1 p 5 5( 30 5) ; 5 + 5( 30 5) s 10 10 q s q ! 1 p 1 p 5 5( 30 5) ; 5 + 5( 30 5) s 10 10 q s Minh q ! 1 p 1 p 5 5( 30 5) ; 5 + 5( 30 5) s 10 10 q s q ! 1 p 1 p 5 + 5( 30 5) ; 5 5( 30 5) 10 10 2x2 + xy n + y = 5 C¥u 375 x4 + x3y + x2(y + 1) + xy + y = 9 Nguy¹Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng p p (x2 + 1) + (x2 + xy + y) = 6 x2 + 1 = 3 x = 2 ) y = 1 2 , , , p p (x2 + 1) (x2 + xy + y) = 9 x2 + xy + y = 3 x = 2 ) y = 2 1 p p p p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( 2;1 2); ( 2; 2 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 241. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 211 C¥u 376 ( x2y2 + 4x2y 3xy2 + x2 + y2 = 12xy + 3x 4y + 1 3x2 2y2 = 9x + 8y + 3 Gi£i Ta sû döng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành cho b i n y. Vi¸t l¤i h» ¢ cho theo ©n x ( x2(y2 + 4y + 1) 3x(y2 n + 4y + 1) + y2 + 4y 1 = 0 3x2 9x 2y2 8y 3 = 0 §Thû cho c¡c h» sè t¿ l» vîi nhau. Tùc l y2 + 4y + 1 y2 + 4y + 1 y2 + 4y 1 = = , y = Tu2; 0;4 3 3 2y2 y 3 Thay y = 2 l¤i v o h» ÷ñc ( 3x2 + 9x 5 = 0 3x2 9x + 5 = 0 Nh÷ vªy ta c¦n l m l l§y PT(1) + PT(2). S³ ÷ñc x2y2 + 4x2y 3xy2 Minh + 4x2 y2 = 12xy + 12x + 4y + 4 , (x2 3x 1)(y + 2)2 = 0 ìn gi£n nhi·u rçi. p ! p ! p ! 9 21 3 13 3 13 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ;2 ; ; 0 ; ;4 6 2 2 P/S : Thay y = 0; y = 4 n ta công ÷ñc nhúng c¡ch kh¡c µp mt t÷ìng tü. Hi¸m lm tæi mîi th§y mët b i h» nghi»m óng nhi·u nh÷ n y. Nguy¹ x2 + y2 + xy + 2x = 5y C¥u 377 x3 + x2y x2 + 2xy 6x + 3y = 0 Gi£i Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta ÷ñc PT(1) + PT(2) ) (x3 + xy + 2x2) + (y2 + x2y + 2xy) (2y + 2x2 + 4x) = 0 , (x + y 2)(x2 + 2x + y) = 0 TH1 : y = 2 x ) PT(1) , x2 + (2 x)2 + x(2 x) + 2x 5(2 x) = 0 , (x 1)(x + 6) = 0 , x = 1; y = 1 x = 6; y = 8 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 242. 212 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc TH2 : y = x2 2x ) PT(1) , x2 + (x2 2x)2 + x(x2 2x) + 2x 5(x2 2x) = 0 , x(x + 2)(x + 4) = 0 , 2 4 x = 0; y = 0 x = 2; y = 0 x = 4; y = 8 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (6; 8); (0; 0); (2; 0); (4;8) §n ( p 2x2xy + x3 + y3 = 4x2y C¥u 378 p p y + x = 2x2 + 14y 9 TuGi£i i·u ki»n : x; y 0 Ta câ ¡nh gi¡ sau Minh q p p p p x2xy + x2xy + x3 + y3 4 4 x2 xyx2 xyx3y3 = 4x2y Tùc l V T V P ¯ng thùc x£y ra khi x = y Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta câ p p p p x + x = 2x2 + 14x 9 , x2 + 2x x + x = 2x2 + 14x9 , 3x2 + 2x x13x + 9 = 0 p °t t = x 0 nh÷ vªy ta n ÷ñc 3t4 ¹+ 2t3 13t2 + 9 = 0 , 3t2 t 3 t2 + t 3 = 0 2 Nguy, 64 t = 1 + p 37 6 ) x = p 37 18 19 + t = p 13 2 1 + ) x = 7 p 13 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 19 + p 37 18 ; p 37 18 19 + ! ; 7 p 13 2 ; 7 p 13 2 ! C¥u 379 8 : 1 p x 3 7x y = 1 2 1 p y + 6 7x y = 2 Gi£i i·u ki»n : x; y 0 Ta thüc hi»n ph²p bi¸n êi sau º ÷a v· h» mîi Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 243. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 213 ( 2:PT(1) + PT(2) PT(2) 4:PT(1) , 8 : 2 p x + 1 p y = 3 18 7x y + 1 p y 4 p x = 0 , 8 : 3 = 2 p x + 1 p y 18 7x y = 4 p x 1 p y Nh¥n v¸ vîi v¸ ta ÷ñc 54 2 1 4 1 n = p + p p p 7x y x y x y §Rã r ng l mët ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t, °t x = ty; t 0. Ph÷ìng tr¼nh trð th nh 54 8 2 t = 1 ) x = y = + p 1 , 7t 1 t t t = 4 ) x = 4y TuVîi x = y thay v o (1) ta ÷ñc 1 1 1 p = , y = 1 ) x = 1 y 2y 2 Vîi x = 4y thay v o (1) ta ÷ñc 1 Minh 1 1 4 16 p = ) y = ) x = 2 y 9y 2 9 9 16 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); ; 9 9 n NguyC¥u 380 ¹8 : 3x y2 + 4x2 + 12y2 x3 + y3 = 11 p xy3 4 x 3y x2 + 4y2 + 12x2 x3 + y3 = 11 p x3y 4 y Gi£i ¥y l mët b i to¡n kh¡ khâ v mang t½nh ¡nh è v· m°t þ t÷ðng. Tæi xin giîi thi»u cho b¤n åc mët c¡ch gi£i tèt tr¶n Boxmath. i·u ki»n : x3y 4 Tø i·u ki»n suy ra x; y còng d§u, n¶n n¸u (x; y) l nghi»m th¼ (x;y) công l nghi»m. Vªy n¶n ta ch¿ c¦n x²t ¤i di»n tr÷íng hñp y x 0 . °t t = y x 1. Tø (2) suy ra 3t2 + 4t + 12 t3 + 1 11 ) (t 1)(3t4 + 3t3 8t2 t 1) 0 Tø ¥y suy ra t 2. V¼ n¸u t 2 suy ra (t 1)(3t4 + 3t3 8t2 t 1) = (t 1)(2t2(t2 4) + (t4 1) + (t3 t)) 0: (V L) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 244. 214 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Nh÷ vªy ta câ 3 x y2 + y x2 + 12(x2 + y2) x3 + y3 11 x + 11 y ) (x y)2(3x4 5x3y 8x2y2 5xy3 + 3y4) 0 ) (x y)2:x4:(3t4 5t3 8t2 5t + 3) 0 Cëng 2 ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta ÷ñc n p p ! x y 12(x2 + y2) 11 11 xy3 yx3 3 + + = + + (3): §y2 x2 x3 + y3 x y x y 11 11 11 11 Nh÷ vªy ta câ V T(3) + trong khi V P(3) + (do x; Tuy 0). D§u b¬ng x£y ra x y x y khi ( x3y = 4 = y3x , x = y = 4 x = y Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = ( Minh 4; 4); ( 4; 4) C¥u 381 4 4 4 4 p p p n Nguy¹p 4 p 8 xy + x + y = 3 : 1 x2 + 2x + 1 y2 + 2y = 2 3 Gi£i ¥y l mët b i to¡n khæng khâ nh÷ µp mt. i·u ki»n :x; y6= 0; 2 H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (x + 1)(y + 1) = 4 1 (x + 1)2 1 + 1 (y + 1)2 1 = 2 3 , 8 : ab = 4 1 a2 1 + 1 b2 1 = 2 3 , a = 2; b = 2 a = 2; b = 2 , x = y = 1 x = y = 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (3;3) C¥u 382 ( [(x + 1)(y + 1)]2 = 9xy (x2 + 1)(y2 + 1) = 10xy Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 245. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 215 , (x2 + 1 + 2x)(y2 + 1 + 2y) = 9xy (x2 + 1)(y2 + 1) = 10xy V¼ x; y = 0 khæng l nghi»m cõa h» n¶n t÷ìng ÷ìng 8 : x2 + 1 + 2 x Tu§n Minh n Nguy¹ y2 + 1 y + 2 = 9 x2 + 1 x y2 + 1 y = 10 °t x2 + 1 x = a; y2 + 1 y = b ta câ h» mîi ( (a + 2)(b + 2) = 9 ab = 10 , 2 64 a = 4; b = 5 2 a = 5 2 ; b = 4 TH1 : 8 : x2 + 1 = 4x y2 + 1 = 5 2 y , 8 x = 2 : p 3 y = 2 _ y = 1 2 Tr÷íng hñp 2 t÷ìng tü ch¿ l ho¡n êi gi¡ trà nghi»m. Nh÷ vªy h» câ t§t c£ 8 c°p nghi»m C¥u 383 ( x + p x2 + 1 = y + p y2 1 x2 + y2 xy = 1 Gi£i i·u ki»n :jyj 1 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau: x p y2 1 = y p x2 + 1 B¼nh ph÷ìng 2 v¸ ta thu ÷ñc: 1 2x p y2 1 = 1 2y p x2 + 1 , y p x2 + 1 = 1 + x p y2 1 , x2y2 + y2 = 1 + x2y2 x2 + 2x p y2 1 , (x p y2 1)2 = 0 , x2 y2 = 1 Chó þ x2 xy + y2 = 3(x y)2 4 + (x + y)2 4 Nh÷ vªy h» s³ l , 8 : (x y)(x + y) = 1 3(x y)2 4 + (x + y)2 4 = 1 , ( ab = 1 3a2 + b2 = 4 , 2 666664 a = 1; b = 1 a = 1; b = 1 a = 1 p 3 ; b = p 3 a = 1 p 3 ; b = p 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 246. 216 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc , n Tu§Minh n Nguy¹2 66666666666666664 8 ( x y = 1 (x + y = 1 x y = 1 x + y = 1 x y = : 1 p 3 p x + y = 3 x y = : 8 1 p 3 p 3 x + y = , 2 666664 x = 0; y = 1 x = 0; y = 1 x = 2 p 3 ; y = 2 p 3 x = 1 p 3 ; y = 2 p 3 T§t nhi¶n ta ph£i èi chi¸u i·u ki»n b¼nh ph÷ìng núa. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); 1 p 3 ; 2 p 3 C¥u 384 x3 + y2x + 3x2 + y2 = 2y 3x 1 2y3 + xy2 + y2 3x 3 = 0 Gi£i H» ¢ cho bi¸n êi th nh , ( (x + 1)3 + y2 (x + 1) = 2y 2y3 + y2 (x + 1) = 3 (x + 1) º þ k¾ ho n to n ÷a v· ¯ng c§p ÷ñc. Nh¥n ch²o ph¡t ta ÷ñc 3 (x + 1)4 + 3 (x + 1)2 y2 = 4y4 + 2y3 (x + 1) ) 3 (x + 1)4 + 3 (x + 1)2 y2 2 (x + 1) y3 4y4 = 0 X²t y = 0 ) x = 1 l mët nghi»m cõa h». X²t y6= 0, chia c£ 2 v¸ cho y4 ta ÷ñc 3 x + 1 y 4 + 3 x + 1 y 2 2 x + 1 y 4 = 0 , 2 64 x + 1 y = 1 x + 1 y = 1 p 3 , y = x + 1 x = y(1 p 3) 1 ¸n ¥y vi»c thay l¤i xin nh÷íng c£ cho b¤n åc :brick: Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2;1); (1; 0); (0; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 247. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 217 C¥u 385 ( (x y)(x2 + y2) = x4 1 (x + y)(x4 + y4) = x4 + 1 Gi£i º þ k¾ khi nh¥n v¸ vîi v¸ s³ rót gån h ng lo¤t. Nh÷ vªy nh¥n v¸ vîi v¸ suy ra n x8 y8 = x8 1 ) y = 1 _ y = 1 Vîi y = 1. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc §(x + 1)(x4 + 1) = x4 + 1 , x = 0 Vîi y = 1. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (1) ta ÷ñc Tu(x + 1)(x2 + 1) = x4 1 , x = 1 _ x = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1;1); (2;1) ( x2y2 + 2y2 + 16 = 11xy C¥u 386 x2 + 2y2 + 12y = 3xy2 Minh Gi£i Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». Chia ph÷ìng tr¼nh (1) cho y2, ph÷ìng tr¼nh (2) cho y2 ta ÷ñc. x2 + ¹n Nguy8 : 16 y2 + 2 = 11x y x 2 12 + 2 + y y = 3x , 8 : x 4 y 2 + 2 = 3 x y x 2 + 2 = 3 y x 4 y , ( a2 3b = 2 b2 3a = 2 , a = b = 1 a = b = 2 ¸n ¥y d¹ d ng thay l¤i t¼m nghi»m. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2;1); (4; 2); 1 p 17 2 ; 1 p 17 2 ! ; 1 + p 17 2 ; 1 + p 17 2 ! C¥u 387 8 : x2 + 2y2 + 3xy + 3 = 0 x y + 18 p = 9 x y (x + y)2 Gi£i Nh¼n h¼nh thùc câ l³ b i n y ÷a v· °t ©n têng hi»u l tèt nh§t. i·u ki»n : x y 0; x + y6= 0 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 248. 218 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc °t p x y = a (a 0) ; b = x + y(b6= 0) )) x y = a2 x + y = b ) 2x = a2 + b 2y = b a2 Suy ra : x2 + 2y2 + 3xy = a2 + b 2 n Tu§Minh n Nguy¹2 + 2 b a2 2 2 + 3 a2 + b 2 b a2 2 = a4 + 2a2b + b2 + 2 (b2 2ba2 + a4) + 3 (b2 a4) 4 = 6b2 2ba2 4 Tø â ta câ h» ph÷ìng tr¼nh : 3b2 ba2 + 6 = 0 a2 + 18 = 9b2a , 9b2 3ba2 + 18 = 0 (1) a2 9b2a + 18 = 0 (2) Trø (1) cho (2) theo tøng v¸ s³ câ : 9b2 a2 + 3ba (3b a) = 0 , (3b a) (3b + a + 3ba) = 0 , 3b a = 0 3b + a + 3ba = 0 Ta x²t tr÷íng hñp khâ tr÷îc, mong cho nâ væ lþ. Vîi 3b + a + 3ba = 0 thay v o (1) ta ÷ñc 9b2 + 3a (3b + a) + 18 = 0 , 3b2 + 3ba + a2 + 6 = 0 Rã r ng v¸ tr¡i luæn d÷ìng. Vªy ch¿ cán a = 3b thay v o (1) s³ t¼m ÷ñc ( a = 3 b = 1 , ( x y = 9 x + y = 1 , x = 5; y = 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5;4) C¥u 388 ( x3y3 + xy3 + y2 = 4xy2 1 x2y2 + x2 + y2 = 4xy 1 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh thù (2) bi¸n êi s³ th nh x2y2 + x2 + y2 = 4xy 1 , (xy 1)2 + (x y)2 = 0 , x = y = 1 x = y = 1 Thay l¶n ph÷ìng tr¼nh (1) ch¿ câ c°p thù nh§t l thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 249. 2.13 C¥u 361¸n c¥u 390 219 C¥u 389 p x2 1 + p y2 1 = p xy + 2 1 x2 + 1 y2 = 1 Gi£i i·u ki»n : jxj; jyj 1 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p n x2 + y2 4 xy + 2 x2y2 (x2 + y2) + 1 = 0 §°t a = xy; b = x2 + y2 ta thu ÷ñc h» mîi p b 4 a + 2 a2 b + 1 = 0 a = 1; b = 1 , b = a2 a = 2; b = Tu4 2 , Minh n Nguy¹66664 ( xy = 1 x2 + y2 ( = 1 xy = 2 x2 + y2 = 4 , x = y = p 2 x = y = p 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = p 2; ; p 2 p 2; p 2 C¥u 390 x(y 9) + p y 1 + 1 = 0 y(18x2 + 1) = 3x + 22 + (xy + 1)2 Gi£i i·u ki»n y 1 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t suy ra (x(y 9) + 1)2 y + 1 = 0 , x2y2 18yx2 + 2xy + 81x2 18x + 2 y = 0 Ph÷ìng tr¼nh thù hai th¼ : 18yx2 + y 3x 23 x2y2 2xy = 0 Cëng 2 chó l¤i ta ÷ñc 81x2 21x 21 = 0 , x = 7 p 805 54 Thay l¤i t¼m y (kh¡ l´) Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 7 + p 805 54 ; p 805 327 3 p 36782 842 p 805 28 ! 7 p 805 54 ; 327 + 3 p 805 + p 36782 + 842 p 805 28 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 250. 220 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc 2.14 C¥u 391 ¸n c¥u 410 C¥u 391 ( x = (y2 1) (y + 2) + 1 xy (xy 1)2 + x2y2 = (x + 1) (x2 + x + 1) Gi£i n Bi3 p 3 p ¸n êi ph÷ìng tr¼nh (2) trð th nh xy(x2y2 xy + 1) = (x + 1)[(x + 1)2 (x + 1) + 1] , f(xy) Tu= f(x + §1) 1 Vîi f(t) = t3 t2 + t ìn i»u t«ng, tø â ta câ ngay xy = x + 1 , x = thay l¶n (1) ta y 1 ÷ñc. 2 1 y = 0 p = (y2 Minh 1)(y + 2) + 1 , 4 1 13 y 1 y = 2 Tø â tr£ l¤i bi¸n x p p ! p p ! 3 13 1 13 3 + 13 13 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 0); ; ; ; ; 2 2 2 2 ( x3 x2y = x2 x + y + 1 C¥u 392 x3 9y2 + 6(x 3y) 15 = 3 6x2 + 2 n Gi£i Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng Nguy¹(x2 + 1)(x y 1) = 0 , y = x 1 Thay v o (2) ta s³ ÷ñc (x 1)3 + 3(x 1) = 6x2 + 2 + 3 6x2 + 2 Do f(t) = t3 + 3t ìn i»u t«ng n¶n suy ra x 1 = 6x2 + 2 , x3 9x + 3 3 = 0 Ph÷ìng tr¼nh n y nghi»m duy nh§t kh¡ l´, ta câ thº l m b¬ng °t ©n kiºu Hypebolic tæi ¢ giîi thi»u ð c¥u 215. Tuy nhi¶n, tinh t¸ ta s³ bi¸n êi nâ v· 3 p (x + 1)3 = 2(x 1)3 , x + 1 = 3 p 2(x 1) , x = 3 p 2 + 1 3 p 2 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 2 + 1 3 p 2 1 ; 2 3 p 2 1 ! Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 251. 2.14 C¥u 391¸n c¥u 410 221 C¥u 393 8 : y2 + 3x = 2y x x2 + y = 2x y Gi£i i·u ki»n :x; y6= 0 n H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng y(y Tu§Minh ¹n Nguy8 : 2 x ) = 3x (1) x(x + 2 y ) = y (2) Nhªn (1) vîi (2) v¸ vîi v¸ ta ÷ñc (y 2 x )(x + 2 y ) = 3 , xy 4 xy = 3 , xy = 4 xy = 1 ¸n ¥y ìn gi£n rçi ! Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); 2 3 p 3 ;2 3 p 3 C¥u 394 8 : 4 + (5x2 + 2y 1) x p y = 5x2 + y (2 + 3x2) 4x + 5 p y + 2 (3x2 + 5) p y = 5x p y Gi£i i·u ki»n :y 0 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t cõa h» t÷ìng ÷ìng 3x2y (5x2 + 2y 1)x p y + 5x2 + 2y 4 = 0; (1) x p y = (5x2 + 2y 1)212(5x2+2y4) = (5x2 + 2y 1)212(5x2+2y1)+36 = (5x2 + 2y 7)2 Do â (1) , 3x p y 5x2 2y + 4 x = 0 , p y 1 3x p y 5x2 2y + 4 = 0 (2) x p y 1 = 0 (3) Ph÷ìng tr¼nh thù hai cõa h» t÷ìng ÷ìng 4x p y + 5y + 6x2 + 10 = 5x; (4) Thüc hi»n 4:(2) 3:(4) ÷ñc 38x2 + 15x 14 = 23y 0 væ lþ v¼ x = 1903 0 p X²t (3) , y = 1 x thay v o (4), ÷ñc f(x) = 6x4 5x3 + 14x2 + 5 = 0 D¹ th§y ph÷ìng tr¼nh n y væ nghi»m. Vªy h» ¢ cho væ nghi»m Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 252. 222 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc C¥u 395 p 2x + 1 p 2y + 1 = y x 16x2y2 + 5 = 6 3 p 4x2y + x Gi£i Nhi·u ng÷íi nhªn x²t c¥u n y ch¯ng câ g¼ °c bi»t khi tø ph÷ìng tr¼nh (1) ¢ rót ra ÷ñc x = y rçi. Tuy nhi¶n c¡i hay ð sau 1 i·u ki»n : x; y n 2 Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng §2 (1) , (x y) p p + 1 = 0 , x = y 2x + 1 + 2y + 1 Thay v o (2) ta ÷ñc Tu16x4 + 5 = 6 4x3 + x 1 èi vîi h¼nh thùc h» n y ¡nh gi¡ l cæng cö tèt nh§t. Nh©m ÷ñc nghi»m x = v ta ti¸n 2 h nh t¡ch gh²p phò hñp. º ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m hiºn nhi¶n x 0 Ta câ 6 4x3 + x = 3 Minh 2:4x: (4x2 + 1) 2 + 4x + 4x2 + 1 , 16x4 + 5 4x2 + 4x + 3 1 , (2x 1)2 (2x2 + 2x + 1) 0 , x = 2 1 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : n (x; y) = ; 2 2 Nguy 3x2 ¹p p 2x 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1) y2 + 2y + 2 C¥u 396 x2 + 2y2 = 2x 4y + 3 Gi£i Trø hai ph÷ìng tr¼nh v¸ vîi v¸ ta ÷ñc hiq p 2 2 x2 + 1 + x = (y + 1)2 + 1 + y + 1 p 2 D¹ th§y h m sè c¦n x²t l f(t) = t2 + 1 + t v h m n y ìn i»u t«ng. Tø â suy ra x = y + 1 thay v o (2) ta ÷ñc 3 3 p p 3 p (y + 1)2 + 2y2 = 2(y + 1) 4y + 3 , y = 2 ) x = 1 y = 2 3 ) x = 5 3 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (2;1); 5 3 ; 2 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 253. 2.14 C¥u 391¸n c¥u 410 223 C¥u 397 p 16 y2 = (x 1)(x + 6) (x + 2)2 + 2(y 4)2 = 9 7 Gi£i x 1 Tø ph÷ìng tr¼nh ¦u ta câ (x 1)(x + 6) 0 , x 6 n Tø ph÷ìng tr¼nh (2) ta l¤i câ (x + 2)2 9 , 5 x 1 §Vªy suy ra x = 1 v y = 4 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 4) Tu p p x + 2y x 2y Minh = 2 C¥u 398 ¹n Nguy3 p x + 3 + p x2 4y2 = 5 Gi£i i·u ki»n : x 3; x 2y º þ ð ph÷ìng tr¼nh (2) câ l÷ñng p x2 4y2 sinh ra tø vi»c b¼nh ph÷ìng (1). Vªy b¼nh ph÷ìng (1) suy ra x 2 = p x2 4y2 Thay xuèng d÷îi ta ÷ñc 3 p x + 3 + x 7 = 0 , x = 5 ) y = 2 Chó þ ¸n i·u ki»n b¼nh ph÷ìng (1) ta lo¤i y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (5; 2) C¥u 399 8 : x2 + xy + y2 + x + y3 x + 1 = 2 2x + y + y2 x + 1 = 2 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : (x + y + 1)( y2 x + 1 + x) = 2 (x + y + 1) + ( y2 x + 1 + x) = 3 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 254. 224 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc °t x + y + 1 = a; y2 x + 1 + x = b ta câ h» mîi ( ab = 2 a + b = 3 x + y = 0 y2 x + 1 , n Tu§Minh n Nguy¹ a = 1; b = 2 a = 2; b = 1 , 2 6666664 8 : + x = 2 8 : x + y = 1 y2 x + 1 + x = 1 , 2 666664 x = 0; y = 1 x = 1; y = 0 1 x = p 17 4 ; y = p 17 1 4 x = 1 + p 17 4 ; y = p 17 4 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0; 1); (1; 0); 1 p 17 4 ; p 17 1 4 ! ; 1 + p 17 4 ; p 17 4 1 ! C¥u 400 8 : 2y + 2 + x (y2 + 2y) = 0 y + 1 x3 3x 3x2 1 = 0 Gi£i i·u ki»n : x6= 1 p 3 °t y + 1 = a th¼ h» ¢ cho trð th nh 8 2a + x(a2 1) a = : x3 3x 3x2 1 , 8 : x = 2a 1 a2 a = x3 3x 3x2 1 ¸n ¥y h¯n ph£i nh¼n th§y t÷ t÷ðng l÷ñng gi¡c hâa rçi nh¿ ? Xin nh÷íng l¤i cho b¤n åc l m nèt. p q p p p Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (0;1); 5 2 5;1 2 5 2 5 + 5(5 2 p 5) p 5 2 p 5;1 2 p 5 2 p 5 q 5(5 2 p 5) C¥u 401 x2 + 1 y p x + y = y x2 (x + y 2) + x 2 = 5y Gi£i i·u ki»n : x + y 0 Nhªn th§y y = 0 khæng l nghi»m cõa h». H» ¢ cho vi¸t l¤i th nh 8 : x2 + 1 y p x + y = 1 x2 + 1 y (x + y 2) = 6 , ( a b = 1 a(b2 2) = 6 , ( a = 3 b = 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 255. 2.14 C¥u 391¸n c¥u 410 225 , ( x + y = 4 x2 + 1 = 3y , 2 64 x = p 53 2 3 ; y = p 53 2 11 + x = p 53 3 2 ; y = p 53 2 11 p 53 2 p 53 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = §n TuMinh ¹n Nguy 3 p 53 2 ; 11 + ! ; p 53 3 2 ; 11 ! C¥u 402 x2 + y2 = 3x 4y + 1 3x2(x2 + 9) 2y2(y2 + 9) = 18(x3 + y3) + 2y2(7 y) + 3 Gi£i H» ¢ cho t÷ìng ÷ìng ( x(x 3) + y(y + 4) = 1 3x2(x 3)2 2y2(y + 4)2 = 3 , ( a + b = 1 3a2 2b2 = 3 , a = 1; b = 0 a = 5; b = 6 , 2 4 x = 3 p 13 2 ; y = 0 _ 4 V N Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 3 p 13 2 ! ; ; 0 3 p 13 2 ! ; 4 C¥u 403 8 8 : p 3y + 4 = x + 85 2 16(x3 y) + 6x(3 4x) = 16y + 21 + 6 3 p y + 1 Gi£i i·u ki»n : y 4 3 Ph÷ìng tr¼nh thù 2 t÷ìng ÷ìng y + 1 , 16x3 24x2 + 18x + 16 = 16(x + 1) + 6 3 p , 16x3 24x2 + 18x = 16y + 6 3 p y + 1 Nh¼n v o h¼nh thùc n y câ l³ s³ x²t h m. Tuy nhi¶n v¸ ph£i câ d¤ng khuy¸t thi¸u bªc 2 trong khi v¸ tr¡i l¤i câ. Vªy ta êi bi¸n x = u b 3a = u + 1 2 ; t = 3 p y + 1. Nh÷ vªy ph÷ìng tr¼nh (2) s³ l 16u3 + 16u = 16t3 + 16t , u = t , x = 1 2 + 3 p y + 1 Thay l¶n (1) ta ÷ñc p 3y + 4 + 3 p 8 y + 1 = 42 , y = 7 ) x = 5 2 Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 256. 226 Ch÷ìng 2.Tuyºn tªp nhúng b i h» °c sc Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = 5 2 ; 7 = 8 C¥u 404 Tu§n Minh n Nguy¹ p 2x 1 y 1 + 2 p 2x 1 y2 + y p 2y 1 4x 2x + y = 13 Gi£i ¥y l mët b i h» kh¡ khâ, tuy nhi¶n anh Nguy¹n Xu¥n Nam, mët ng÷íi b¤n cõa tæi tr¶n facebook ¢ chìi nâ b¬ng 5 c¡ch kh¡c nhau. Tæi xin giîi thi»u cho b¤n åc c¡ch l d¹ hiºu nh§t èi vîi b i n y. óng nh÷ líi £nh nhªn x²t : ¥y l mët v½ dö cho c¥u nâi C¦n cò bò thæng minh i·u ki»n : x 1 2 ; y 3 2 °t p 2x 1 = a 0. Tø ph÷ìng tr¼nh (1) ta rót ra y = a + 8 1 + 2a Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2) ta ÷ñc a + 8 1 + 2a 2 + a + 8 1 + 2a s 4a3 2a2 4a + 13 1 + 2a 2a2 + a + 8 1 + 2a = 14 °t v¸ tr¡i l f(a). Ta câ f0(a) = 30(a+8)(2a+1) (2a+1)4 15 (1+2a)2 : q 4a32a24a+13 1+2a + a+8 1+2a : 16a316a24a30 (1+2a)2 q 2: 4a32a24a+13 1+2a 4a 15 (1+2a)2 0 Vªy ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m duy nh§t a = 1 ) x = 1; y = 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 2) C¥u 405 p 2x 3y + 2 p 5 x + y = 7 p 5 x + y 3 p 2x y 3 = 1 Gi£i B i to¡n tr¶n xu§t hi»n 3 c«n thùc khâ chàu. N¸u ta °t chóng l¦n l÷ñt l a; b; c 0 th¼ ¢ câ 2 ph÷ìp ng tr¼nh, c¦n p t¼m th¶m mët php ÷ìng tr¼nh núa biºu di¹n mèi quan h» giúa 3 ©n. °t 2x 3y = a; 2x y 3 = b; 5 x + y = c; a; b; c 0 h» ¢ cho t÷ìng ÷ìng 8 : 2a + c = 7 3c b = 1 a2 + b2 + 4c2 = 17 , a = 3; b = 2; c = 1 , 8 : 2x 3y = 9 2x y 3 = 4 5 x + y = 1 , x = 3; y = 1 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (3;1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n
- 257. 2.14 C¥u 391¸n c¥u 410 227 C¥u 406 8 y2 = : x5 + x4 + 1 x2 + x + 1 x2 + y2 3xy x + 3y 1 = 0 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh (2) khæng µp. S³ ph£i khai th¡c tø (1). Vîi h¼nh thùc th¸ kia câ l³ v¸ ph£i s³ rót gån ÷ñc. V¼ m¨u khæng thº ph¥n t½ch ÷ñc n¶n dü o¡n tr¶n tû s³ câ nh¥n tû x2 + n x + 1. Ti¸n h nh nhâm ta s³ ÷ñc x5 + x4 + 1 = (x3 x + 1)(x2 + x + 1) Nh÷ vªy h» s³ l ( §y2 = x3 x + 1 x2 + y2 3xy x + 3y 1 = 0 Thay y2 Tutø (1) xuèng d÷îi ta ÷ñc (x 1)(x2 + 2x 3y) = 0 Vîi x = 1 ) y = 1 x2 + 2x Vîi y = thay v o (1) ta gi£i ra 3 2 Minh n Nguy¹6664 x = 3 ) y = 5 1 x = p 13 2 ) y = 3 p 13 2 x = 1 + p 13 2 ) y = 3 + p 13 2 Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1); (1;1); (3; 5); 1 p 13 2 ; 3 p 13 2 ! ; 1 + p 13 2 ; 3 + p 13 2 ! C¥u 407 p x2 2x + 2 + 4 p y2 2y + 2 = 2 4 p x + p y + 3 = 3 Gi£i Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t t÷ìng ÷ìng p (x 1)2 + 1 + 4 p (y 1)2 + 1 = 2 D¹ th§y V T V P. ¯ng thùc x£y ra khi x = y = 1 thay v o (1) thäa m¢n. Vªy h» ¢ cho câ nghi»m : (x; y) = (1; 1) Nguy¹n Minh Tu§n - K62CLC To¡n Tin - HSPHN. My facebook : Popeye Nguy¹n