Downloaded 19 times
![1.10 Ba ti¶u chu©n SOS th÷íng g°p.
Gi£ sû a b c v câ: Sa(b c)2 + Sb(c a)2 + Sc(a b)2 0(Sa; Sb; Sc l c¡c h m chùa
bi¸n a; b; c).
Khi â b§t ¯ng thùc óng n¸u thäa m¢n mët trong c¡c ti¶u chu©n.
1.Sb 0; Sb + Sc 0; Sb + Sa 0.
2.Vîi a; b; c 0 thäa m¢n Sb 0; Sc 0; a2Sb + b2Sa 0.
3.Sb 0; Sc 0; Sa(b c) + Sb(a c) 0
2 Mët sè ¡nh gi¡ quen thuëc
1 Vîi måi sè thüc a; b, ta luæn câ
2(a2 + b2) (a + b)2
Chùng minh. º þ r¬ng
2(a2 + b2) (a + b)2 = (a b)2 0;
do â ta câ i·u ph£i chùng minh.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b. 2
2 Vîi måi sè thüc a; b; c, ta luæn câ
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Chùng minh. º þ r¬ng
a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) =
1
2
[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 0;
do vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2
L÷u þ. Tø ¡nh gi¡ n y ta suy ra
(a + b + c)2 3(ab + bc + ca);
v
3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2:
3 Vîi måi sè thüc d÷ìng a; b; c, ta luæn câ
1
a
+
1
b
+
1
c
9
a + b + c
Chùng minh. ¥y l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc · cªp ð tr¶n. Líi gi£i câ thº sû döng b§t ¯ng thùc
AM-HM ho°c Cauchy - Schwarz. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2
9](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-9-2048.jpg)
![Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng
a2 + b2 + c2
1
3
:
Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc tr¶n óng do
a2 + b2 + c2
1
3
= a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
3
=
(a b)2 + (b c)2 + (c a)2
3
0:
Nh÷ vªy ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2
1.5 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng:
b2c
a3(b + c)
+
c2a
b3(c + a)
+
a2b
c3(a + b)
1
2
(a + b + c)
Líi gi£i. Ta ¡p döng AM-GM cho ba sè nh÷ sau:
b2c
a3(b + c)
+
b + c
4bc
+
1
2b
s
3 3
b2c
a3(b + c)
:
(b + c)
4bc
:
1
2b
=
3
2a
;
tø â ta suy ra
b2c
a3(b + c)
3
2a
3
4b
1
4c
:
Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra
b2c
a3(b + c)
+
c2a
b3(c + a)
+
a2b
c3(a + b)
3
2
3
4
1
4
(a + b + c) =
1
2
(a + b + c):
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.6 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m. Chùng minh r¬ng:
p
3(a b)(b c)(c a)
(a + b + c)3 6
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t,
ta gi£ sû a = max fa; b; cg.
Vîi a b c th¼ v¸ ph£i l biºu thùc khæng d÷ìng, trong khi v¸ tr¡i l biºu thùc khæng ¥m n¶n
b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh hiºn nhi¶n óng. Do vªy ta x²t tr÷íng hñp a c b. Khi â b¼nh
ph÷ìng hai v¸ ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng sau:
(a + b + c)6 108[(a b)(b c)(c a)]2:
º þ r¬ng c¡c bi¸n khæng ¥m, v vîi vi»c sp thù tü nh÷ tr¶n th¼
[(a b)(b c)(c a)]2 = [(a b)(c b)(a c)]2 (a c)2a2c2:
¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ
4(a c)2a2c2 = (a c)2:2ac:2ac
[(a c)2 + 2ac + 2ac]3
27
=
(a + c)6
27
;
tø â ta suy ra
[(a b)(b c)(c a)]2
(a + c)6
108
;
12](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-12-2048.jpg)
![v nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc ban ¦u v¼
(a + b + c)6 (a + c)6 108[(a b)(b c)(c a)]2:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.7 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c =
1
a
+
1
b
+
1
c
. Chùng minh r¬ng:
2(a + b + c)
p
a2 + 3 +
p
b2 + 3 +
p
c2 + 3
Líi gi£i. D¹ th§y b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y
sau
(2a
p
a2 + 3) + (2b
p
b2 + 3) + (2c
p
c2 + 3) 0;
a2 1
2a +
p
a2 + 3
+
b2 1
2b +
p
b2 + 3
+
c2 1
2c +
p
c2 + 3
0;
a2 1
a
2 +
r
1 +
3
a2
+
b2 1
b
2 +
r
1 +
3
b2
+
c2 1
c
2 +
r
1 +
3
c2
0:
C¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ·u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t ta
ho n to n câ thº gi£ sû a b c. Khi â khæng khâ º ta suy ra
a2 1
a
b2 1
b
c2 1
c
v
1
2 +
q
1 + 3
a2
1
2 +
q
1 + 3
b2
1
2 +
q
1 + 3
b2
:
Nh÷ vªy theo b§t ¯ng thùc Chebyshev ta ÷ñc
a2 1
a
2 +
q
1 + 3
a2
+
b2 1
b
2 +
r
1 +
3
b2
+
c21
c
2 +
r
1 +
3
c2
1
3
Xa2 1
a
0
BB@
X 1
2 +
r
1 +
3
a2
1
CCA
Nh÷ng theo gi£ thi¸t ta l¤i câ
Xa2 1
a
= (a + b + c)
1
a
+
1
b
+
1
c
= 0
n¶n ta suy ra
a2 1
a
2 +
q
1 + 3
a2
+
b2 1
b
2 +
r
1 +
3
b2
+
c2 1
c
2 +
r
1 +
3
c2
0, v v¼ vªy b§t ¯ng thùc ¢ cho
công óng.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
ab
p
c2 + 3
+
bc
p
a2 + 3
+
ca
p
b2 + 3
3
2
13](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-13-2048.jpg)
![Líi gi£i. Tr÷îc h¸t º þ r¬ng
ab + bc + ca
(a + b + c)2
3
=
(a b)2 + (b c)2 + (c a)2
6
0;
do â tø gi£ thi¸t ta suy ra ab + bc + ca 3. Nh÷ vªy
ab
p
c2 + 3
ab
p
c2 + ab + bc + ca
=
ab p
(c + a)(b + c)
:
¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ
ab
p
c2 + 3
1
2
ab
c + a
+
ab
b + c
:
Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra d¢y c¡c ¡nh gi¡ sau
ab
p
c2 + 3
+
bc
p
a2 + 3
+
ca
p
b2 + 3
1
2
ab
c + a
+
bc
c + a
+
bc
a + b
+
ca
a + b
+
ca
b + c
+
ab
b + c
;
ab
p
c2 + 3
+
bc
p
a2 + 3
+
ca
p
b2 + 3
a + b + c
2
;
tø â vîi l÷u þ a + b + c = 3 ta suy ra b§t ¯ng thùc ¢ cho l óng.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.9 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
b + c
a
+
c + a
b
+
a + b
c
2
4(ab + bc + ca)
1
a2 +
1
b2 +
1
c2
Líi gi£i 1. D¹ th§y r¬ng b§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y
sau
[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)]2 4(a + b + c)(a2b2 + b2c2 + c2a2)
X
a2b2(a + b)2 + 2abc[
X
a(a + b)(a + c)] 4
nX
a3b3 + abc[
X
o
ab(a + b)]
Tuy nhi¶n º þ r¬ng
X
X
a2b2(a + b)2 4(
a3b3) =
X
a2b2(a b)2 0
v
2abc[
X
a(a + b)(a + c)] 4
n
abc[
X
o
= 2abc[a3 + b3 + c3 + 3abc
ab(a + b)]
X
ab(a + b)] 0;
do â b§t ¯ng thùc ban ¦u l óng. Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2
Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n, n¶n khæng m§t t½nh têng
qu¡t, ta gi£ sû b = max fa; b; cg.
Ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau
b + c
a
+
c + a
b
+
a + b
c
2
=
a
b
+
b
a
+
a
c
+
b
c
+
c
b
+
c
a
2
4
a
b
+
b
a
+
a
c
b
c
+
c
b
+
c
a
:
14](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-14-2048.jpg)
![A
B
D
CD =
b + c
a
+
c + a
b
+
a + b
c
ab + bc + ca
ca
ca
1
a2 +
1
b2 +
1
c2
=
(a b)(b c)
b2 ;
v nh÷ vªy ta ¢ câ líi gi£i thù ba.
1.10 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu
thùc:
P = ab + bc + ca +
5
2
p
ab + (b + c)
[(a + b)
p
bc + (c + a)
p
ca]
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau:
2(a + b)2 + 2ab =
(a + b)2
2
+
(a + b)2
2
+
(a + b)2
2
+
(a + b)2
2
r
+ 2ab 5 5
ab(a + b)8
8
v
(a + b)3 (2
p
ab)3 = 8(
p
ab)3;
tø â k¸t hñp hai b§t ¯ng thùc n y º câ
2(a + b)2 + 2ab 5(a + b)
p
ab:
Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra
p
ab + (b + c)
5[(a + b)
p
bc + (c + a)
p
ca] 4(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca)
¸n ¥y ta cëng th¶m 2(ab + bc + ca) v o méi v¸ º câ
p
ab + (b + c)
2(ab + bc + ca) + 5[(a + b)
p
bc + (c + a)
p
ca] 4(a + b + c)2;
tø â ta suy ra P 2(a + b + c)2 = 2.
Cuèi còng, vîi a = b = c =
1
3
(tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 2 n¶n ta suy ra 2 l gi¡ trà lîn nh§t
cõa biºu thùc P.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.11 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n
1
a
+
1
b
+
1
c
16(a+b+c). Chùng minh r¬ng:
1
(a + b + 2
p
a + c)3
+
1
(b + c + 2
p
b + a)3
+
1
(c + a + 2
p
c + b)3
8
9
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau:
a + b +
r
a + c
2
+
r
a + c
2
r
3 3
(a + b)(a + c)
2
;
tø â ta suy ra
1
(a + b + 2
p
a + c)3
2
27(a + b)(a + c)
:
17](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-17-2048.jpg)
![Nh÷ vªy n¸u k½ hi»u V T() l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc () th¼ ta câ
V T()
18(x + y + z)2
x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx
+ (x + y + z)3:
¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ
s
V T() 2
18(x + y + z)5
x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx
:
Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
(x + y + z)5
81
2
(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx):
Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau:
(x+y+z)6 = [(x2+y2+z2)+(xy+yz +zx)+(xy+yz +zx)]3 27(x2+y2+z2)(xy+yz +zx)2:
Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc ta câ (xy + yz + zx)2 3xyz(x + y + z), do â
(x + y + z)6 81xyz(x2 + y2 + z2)(x + y + z);
hay (x + y + z)5 81(x2 + y2 + z2) do xyz = 1. Nh÷ vªy ta c¦n ch¿ ra r¬ng
2(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx:
Tuy nhi¶n b¬ng ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc
1
2
[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 0;
l mët b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ¢ ÷ñc chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
1.16 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a4 + b4 + c4 = 3. Chùng minh r¬ng:
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
3
2
Líi gi£i. Ta s³ i chùng minh
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
3
2
r
a4 + b4 + c4
4
3
;
tø â sû döng gi£ thi¸t º suy ra k¸t luªn cho b i to¡n. Thªt vªy, ¡p döng b§t ¯ng thùc Holder,
ta câ
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
2
[a2(b + c)2 + b2(c + a)2 + c2(a + b)2] (a2 + b2 + c2)3:
Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc, ta câ
2(a2 + b2) (a + b)2;
21](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-21-2048.jpg)
![tø ¥y ta thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü º câ
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
2
[2a2(b2 + c2) + 2b2(c2 + a2) + 2c2(a2 + b2)] (a2 + b2 + c2)3;
hay
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
1
2
s
(a2 + b2 + c2)3
a2b2 + b2c2 + c2a2 :
Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng
s
(a2 + b2 + c2)3
a2b2 + b2c2 + c2a2
r
a4 + b4 + c4
3 4
3
:
Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc
(a2 + b2 + c2)6 27(a4 + b4 + c4)(a2b2 + b2c2 + c2a2)2:
Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc tr¶n óng n¸u ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau:
(a2 + b2 + c2)6 = [(a4 + b4 + c4) + (a2b2 + b2c2 + c2a2) + (a2b2 + b2c2 + c2a2)]3
27(a4 + b4 + c4)(a2b2 + b2c2 + c2a2)2
Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2
1.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
a
a + b + 1
+
b
b + c + 1
+
c
c + a + 1
1
Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, ta th§y r¬ng c¡c b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc
c¦n chùng minh
a
4 c
+
b
4 a
+
c
4 b
1;
a(4 a)(4 b) + b(4 b)(4 c) + c(4 c)(4 a) (4 a)(4 b)(4 c);
a2b + b2c + c2a + abc 4:
B§t ¯ng thùc tr¶n mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c
n¬m giúa a v b. Khi â
a(a c)(b c) 0:
Thüc hi»n ph²p khai triºn ta ÷ñc a2b+c2a a2c+abc. Tø ¥y ta cëng th¶m ¤i l÷ñng (b2c+abc)
v o hai v¸ º ÷ñc
a2b + b2c + c2a + abc a2c + b2c + 2abc = c(a + b)2:
¸n ¥y ta ¡p döng AM-GM nh÷ sau:
c(a + b)2 =
1
2
2c(a + b)(a + b)
(2c + a + b + a + b)3
2:27
= 4;
tø â suy ra a2b + b2c + c2a + abc 4, tùc l b§t ¯ng thùc ban ¦u ¢ ÷ñc chùng minh.
22](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-22-2048.jpg)
![Ta s³ gi£i quy¸t b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng xyz 1. Khi â,
tø gi£ thi¸t, ta suy ra
(x + y + z)2(xy + yz + zx) = 2(x + y + z)2 + 2(xy + yz + zx) + xyz(x + y + z): ()
Tuy nhi¶n, theo b§t ¯ng thùc AM-GM v theo i·u gi£ sû ð tr¶n, ta câ c¡c ¡nh gi¡
xy + yz + zx 3 3 p
x2y2z2 3;
x + y + z 3 3 p
xyz 3;
do vªy ta suy ra
2(x + y + z)2(xy + yz + zx)
3
2(x + y + z)2;
2(x + y + z)2(xy + yz + zx)
9
2(xy + yz + zx);
(x + y + z)2(xy + yz + zx)
9
xyz(x + y + z):
Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n l¤i, ta ÷ñc
(x + y + z)2(xy + yz + zx) 2(x + y + z)2 + 2(xy + yz + zx) + xyz(x + y + z);
tr¡i vîi (). M¥u thu¨n n y chùng tä i·u gi£ sû ban ¦u l sai, do vªy xyz 1.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
1
5a2 + ab + bc
+
1
5b2 + bc + ca
+
1
5c2 + ca + ab
3
7
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
1
5a2 + ab + bc
+
1
5b2 + bc + ca
+
1
5c2 + ca + ab
=
X
cyc
(b + c)2
(b + c)2(5a2 + ab + bc)
4(a + b + c)2
X
cyc
(b + c)2(5a2 + ab + bc)
:
Theo â, ta c¦n chùng minh r¬ng
4(a + b + c)2
X
cyc
(b + c)2(5a2 + ab + bc)
3
7
:
Sû döng gi£ thi¸t a + b + c = 3, ta th§y r¬ng b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi
X
28(a + b + c)4 27[
cyc
(b + c)2(5a2 + ab + bc)]:
Sau khi khai triºn v rót gån, ta ÷ñc
28
X
a4 + 58
X
cyc
a3b + 85
X
cyc
ab3 156
X
a2b2 + 15abc(a + b + c):
26](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-26-2048.jpg)
![B¥y gií ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai. ¥y l b§t ¯ng thùc èi xùng n¶n khæng m§t
t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c = minfa; b; cg. °t t =
b + c
2
, ta s³ chùng minh
(a + 2b + 2c)2
2a2 + bc
+
(b + 2c + 2a)2
2b2 + ca
2(3t + 2c)2
2t2 + tc
: ()
Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
(a + 2b + 2c)2
2a2 + bc
+
(b + 2c + 2a)2
2b2 + ca
[b(a + 2b + 2c) + a(b + 2c + 2a)]2
b2(2a2 + bc) + a2(2b2 + ca)
=
2(4t2 ab + 2tc)2
2a2b2 3abtc + 4t3c
:
V¼ tc ab t2 n¶n
2a2b2 3abtc (2t4 3t3c) = (t2 ab)(2t2 + 2ab 3tc) 0;
tø â d¨n ¸n
(a + 2b + 2c)2
2a2 + bc
+
(b + 2c + 2a)2
2b2 + ca
2(4t2 ab + 2tc)2
2a2b2 3abtc + 4t3c
2(3t2 + 2tc)2
2t4 3t3c + 4t3c
=
2(3t + 2c)2
2t2 + tc
:
M°t kh¡c, ta l¤i câ
(c + 2c + 2b)2
2c2 + ab
(4t + c)2
t2 + 2c2 : ()
K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta ÷a b i to¡n v· vi»c chùng minh
2(3t + 2c)2
2t2 + tc
+
(4t + c)2
t2 + 2c2
25:
Sau khi thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng
c(31t + 16c)(t c)2
t(2t + c)(t2 + 2c2)
0:
B i to¡n ÷ñc chùng minh xong.2
1.22 Cho a; b; c; d l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a2+b2+c2+d2 = 1. Chùng minh r¬ng:
a
b2 + 1
+
b
c2 + 1
+
c
d2 + 1
+
d
a2 + 1
p
a + b
4(a
p
b + c
p
c + d
p
d)2
5
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
a
b2 + 1
+
b
c2 + 1
+
c
d2 + 1
+
d
a2 + 1
=
a3
a2b2 + a2 +
b3
b2c2 + b2 +
c3
c2d2 + c2 +
d3
d2a2 + d2
p
a + b
(a
p
b + c
p
d)2
p
c + d
a2 + b2 + c2 + d2 + a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2 :
28](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-28-2048.jpg)
![Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
a2 + b2 + c2 + d2 + a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2
5
4
;
hay (a2 + c2)(b2 + d2)
1
4
. Tuy nhi¶n ¥y l¤i l ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM-GM:
(a2 + c2)(b2 + d2)
(a2 + c2 + b2 + d2)2
4
=
1
4
;
do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
1.23 Cho x,y,z l c¡c sè thüc thuëc o¤n [0; 1]. Chùng minh r¬ng:
x
3 p
1 + y3
+
y
3 p
1 + z3
+
z
3 p
1 + x3
3
3 p
1 + xyz
Líi gi£i. Do x; y; z 2 [0; 1] n¶n ta câ
x
3 p
1 + y3
+
y
3 p
1 + z3
+
z
3 p
1 + x3
1
3 p
1 + y3
+
1
3 p
1 + z3
+
1
3 p
1 + x3
:
º þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc Holder, ta ÷ñc ¡nh gi¡ sau vîi måi sè thüc d÷ìng a; b; c:
(a + b + c)3 9(a3 + b3 + c3);
hay (a + b + c) 3 p
9(a3 + b3 + c3). Sû döng ¡nh gi¡ n y, ta câ
1
3 p
1 + y3
+
1
3 p
1 + z3
+
1
3 p
1 + x3
s
9
3
1
1 + y3 +
1
1 + x3 +
1
1 + z3
:
Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
1
1 + y3 +
1
1 + x3 +
1
1 + z3
3
1 + xyz
: ()
º þ r¬ng vîi hai sè thüc a; b thay êi trong o¤n [0; 1] ta luæn câ
1
1 + a2 +
1
1 + b2
2
1 + ab
=
(ab 1)(a b)2
(1 + a2)(1 + b2)(1 + ab)
0:
Sû döng ¡nh gi¡ n y, ta ÷ñc
1
1 + x3 +
1
1 + y3 +
1
1 + z3 +
1
1 + xyz
2
1 +
p
x3y3
+
2
1 +
p
z4xy
4
1 + xyz
:
Do vªy ¡nh gi¡ () ÷ñc chùng minh, d¨n ¸n b§t ¯ng thùc ban ¦u óng.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
a2
b + c
+
b2
a + c
+
c2
a + b
a + b + c
2
29](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-29-2048.jpg)
![Ph²p chùng minh ho n t§t.2
1.35 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
ab
a + 3b + 2c
+
bc
b + 3c + 2a
+
ac
c + 3a + 2b
a + b + c
6
Líi gi£i. Sû döng ¡nh gi¡ cì b£n
9
x + y + z
1
x
+
1
y
+
1
z
, ta câ
9
a + 3b + 2c
=
9
(a + c) + (b + c) + 2b
1
a + c
+
1
b + c
+
1
2b
:
Tø â ta suy ra
9ab
a + 3b + 2c
ab
a + c
+
ab
b + c
+
a
2
. Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ
9bc
b + 3c + 2a
bc
b + a
+
bc
c + a
+
b
2
;
v
9ca
c + 3a + 2b
ca
c + b
+
ca
a + b
+
c
2
:
Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta thu ÷ñc
9ab
a + 3b + 2c
+
9bc
b + 3c + 2a
+
9ca
c + 3a + 2b
ca + ab
b + c
+
ab + bc
a + c
+
bc + ca
b + a
+
a + b + c
2
=
3(a + b + c)
2
;
tø ¥y ta ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
1.36 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng:
1
a + b + 4
+
1
b + c + 4
+
1
c + a + 4
1
2
Líi gi£i 1. °t x =
p
a; y =
p
b; z =
p
c. Khi â ta ph£i chùng minh
1
x2 + y2 + 4
+
1
y2 + z2 + 4
+
1
z2 + x2 + 4
1
2
vîi x; y; z 0 v xyz = 1.
Do
1
x2 + y2 + 4
= 1
x2 + y2
x2 + y2 + 4
= 1
(x + y)2 + (x y)2
2(x2 + y2 + 4)
n¶n b§t ¯ng thùc n y câ thº ÷ñc
vi¸t l¤i th nh X (x + y)2
x2 + y2 + 4
+
X (x y)2
x2 + y2 + 4
2:
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû x y z. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
X (x + y)2
x2 + y2 + 4
[(x + y) + (y + z) + (z + x)]2
X
(x2 + y2 + 4)
;
v X (x y)2
x2 + y2 + 4
[x y + y z + x z]2
X
(x2 + y2 + 4)
:
35](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-35-2048.jpg)
![Hìn núa, sû döng ¡nh gi¡ cì b£n xy + yz + zx
(x + y + z)2
3
, ta câ
abc
1
a
+
1
b
+
1
c
+ 6a + 6b + 6c
= ab + bc + ca + 6abc(a + b + c)
ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)2 = 3;
do vªy
1
a
+
1
b
+
1
c
+ 6a + 6b + 6c
3
abc
. K¸t hñp vîi ¡nh gi¡ () ð tr¶n, ta ÷ñc
r
3
1
a
r
+ 6b + 3
1
b
r
+ 6c + 3
1
c
!3
+ 6a
27
abc
;
tø â ta l§y c«n bªc ba hai v¸ º thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
1.38 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng:
1
1 + a + b
+
1
1 + b + c
+
1
1 + a + c
1
Líi gi£i. °t x =
p
a; y =
p
b; z =
p
c. Khi â ta ph£i chùng minh
1
x2 + y2 + 1
+
1
y2 + z2 + 1
+
1
z2 + x2 + 1
1
vîi x; y; z 0 v xyz = 1.
Do
1
x2 + y2 + 1
= 1
x2 + y2
x2 + y2 + 1
= 1
(x + y)2 + (x y)2
2(x2 + y2 + 1)
n¶n b§t ¯ng thùc n y câ thº ÷ñc
vi¸t l¤i th nh X (x + y)2
x2 + y2 + 1
+
X (x y)2
x2 + y2 + 1
4:
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû x y z. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
X (x + y)2
x2 + y2 + 1
[(x + y) + (y + z) + (z + x)]2
X
(x2 + y2 + 1)
;
v X (x y)2
x2 + y2 + 1
[x y + y z + x z]2
X
(x2 + y2 + 1)
:
Tø ¥y ta ÷a b i to¡n v· chùng minh
(x + y + z)2 + (x z)2 2(x2 + y2 + z2) + 3:
M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta l¤i câ
3 = 3 3 p
x2y2z2 xy + yz + zx;
do vªy ta ch¿ cán ph£i chùng minh
(x + y + z)2 + (x z)2 2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx:
37](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-37-2048.jpg)
![a
b
1
1 + b
c
+
b
c
1
1 +
c
a
+
c
a 1
1 +
a
b
0:
º þ r¬ng
a
b
1
1 + b
c
=
2X 1 1
2Y
=
X 1
Y
;
do vªy b§t ¯ng thùc cuèi câ thº vi¸t l¤i th nh
X 1
Y
+
Y 1
Z
+
Z 1
X
0;
t֓ng ֓ng
X
Y
+
Y
Z
+
Z
X
1
X
+
1
Y
+
1
Z
:
Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
3
XX
Y
=
X
X
Y
+
X
Y
+
Z
X
3
X
r
3
ZX
Y 2 = 3 3 p
XY Z
X 1
Y
= 3
X 1
Y
:
Nh÷ vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
Líi gi£i 2. Thüc hi»n bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ c¡ch 1, ta c¦n chùng minh
c(a b)
b(b + c)
+
a(b c)
c(c + a)
+
b(c a)
a(a + b)
0:
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b l sè n¬m giúa a v c. Khi â (ba)(bc) 0. º þ r¬ng
b(c a) = c(a b) a(b c);
v¼ vªy b§t ¯ng thùc tr¶n câ thº vi¸t l¤i th nh
c(a b)
1
b(b + c)
1
a(a + b)
+ a(b c)
1
c(c + a)
1
a(a + b)
0;
t֓ng ֓ng
c[(a b)2(a + b) + b(a b)(a c)]
ab(a + b)(b + c)
+
[(b c)(a c)(a + c) + a(b c)2]
c(c + a)(a + b)
0:
B§t ¯ng thùc cuèi n y óng do
(a b)(a c) = (a b)2 (b a)(b c) 0;
v
(b c)(a c) = (b c)2 (b a)(b c) 0;
do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
Nhªn x²t.
41](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-41-2048.jpg)
![tø â sû döng gi£ thi¸t ta suy ra abc
1
3
p
3
v (ab + bc)(bc + ca)(ca + ab)
8
27
. Do vªy
1
abc
+
4
(a + b)(b + c)(c + a)
3
s
3
p
3
8
27:3
=
p
3
2
9
:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
2.7 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x + y + z = 0, trong â câ hai sè còng d§u. Chùng
minh r¬ng:
(x2 + y2 + z2)3
(x3 + y3 + z3)2
6
Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû x; y l hai sè còng d§u, tùc l xy 0. Vîi i·u ki»n
z = x y, ta câ
(x2 + y2 + z2)3
(x3 + y3 + z3)2 =
8(x2 + y2 + xy)3
9x2y2(x + y)2 :
Nh÷ vªy, n¸u ta °t x2 + y2 = m v xy = n (º þ r¬ng m 2n) th¼ ta c¦n chùng minh
8(m + n)3
9n2(m + 2n)
6;
hay
4m3 + 4n3 + 12m2n + 12n2m 27n2m + 54n3:
B§t ¯ng thùc tr¶n mang t½nh thu¦n nh§t giúa c¡c bi¸n, do â ta cho n = 1, lóc n y m 2 v ta
c¦n chùng minh
4m3 + 12m2 15m 50 0:
Tuy nhi¶n b¬ng bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta ÷ñc (m2)
m
5
2
2
0. ¥y l mët ¡nh gi¡ óng
do m 2, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
2.8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi trong o¤n [0; 1]. Chùng minh r¬ng:
p
abc +
p
(1 a)(1 b)(1 c) 1
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ
p
abc +
p
(1 a)(1 b)(1 c)
p
(a + 1 a)[bc + (1 b)(1 c)] =
p
2bc b c + 1:
Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
2bc b + c:
Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM th¼
p
bc b + c;
2bc 2
do â b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
43](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-43-2048.jpg)
![B i to¡n ho n t§t.2
2.12 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+ a + b + c
6(a2 + b2 + c2)
a + b + c
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh
têng qu¡t, ta gi£ sû b l sè h¤ng n¬m giúa a v c. Khi â ta bi¸n êi b§t ¯ng thùc nh÷ sau
X
a2
b
+ b 2a
6(a2 + b2 + c2)
a + b + c
2(a + b + c);
X(a b)2
b
6(a2 + b2 + c2)
a + b + c
2(a + b + c):
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
X(a b)2
b
[(a b) + (b c) + (a c)]2
b + c + a
=
4(a c)2
a + b + c
:
Do â ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
2(a c)2 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2:
Sau khi thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng do b n¬m giúa a v c
2(b c)(b a) 0:
B i to¡n ho n t§t.2
2.13 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x2 + y2 + z2 = 1. Chùng minh r¬ng:
1 x3 + y3 + z3 3xyz 1
Líi gi£i 1. Chó þ r¬ng ta câ ¯ng thùc
(x3 + y3 + z3 3xyz)2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2 = (1 + 2t)(1 t)(1 t);
trong â t = xy + yz + zx. ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ
(x3 + y3 + z3 3xyz)2
[(1 + 2t) + (1 t) + (1 t)]3
27
= 1;
do vªy 1 x3 + y3 + z3 3xyz 1.
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
Líi gi£i 2. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
(x3 + y3 + z3 3xyz)2 = [x(x2 yz) + y(y2 zx) + z(z2 xy)]2
(x2 + y2 + z2)[(x2 yz)2 + (y2 zx)2 + (z2 xy)2]:
46](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-46-2048.jpg)
![do vªy
a
1 a2
p
3
2
3
a2. Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc
a
1 a2 +
b
1 b2 +
c
1 c2
p
3
2
3
(a2 + b2 + c2);
do vªy
a
b2 + c2 +
b
a2 + c2 +
c
a2 + b2
p
3
2
3
:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
2.18 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
p
x + y + z
p
x
y + z
+
p
y
x + z
+
p
z
x + y
p
3
2
3
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh thu¦n nh§t, do â ta chu©n hâa x+y+z = 1.
p
p
p
çng thíi, ta °t a =
x; b =
y; c =
z. Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh
a
1 a2 +
b
1 b2 +
c
1 c2
p
3
2
3
:
Tuy nhi¶n ¥y l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.17 . 2
2.19 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n khæng câ b§t k¼ hai sè n o çng thíi
b¬ng 0. Chùng minh r¬ng:
a3
(2a2 + b2)(2a2 + c2)
+
b3
(2b2 + a2)(2b2 + c2)
+
c3
(2c2 + a2)(2c2 + b2)
1
a + b + c
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ
(2a2 + b2)(2a2 + c2) = (a2 + a2 + b2)(a2 + c2 + a2) (a2 + ab + ac)2 = a2(a + b + c)2:
Nh÷ vªy
a3
(2a2 + b2)(2a2 + c2)
a
(a + b + c)2 . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü rçi cëng l¤i, ta ÷ñc
a3
(2a2 + b2)(2a2 + c2)
+
b3
(2b2 + a2)(2b2 + c2)
+
c3
(2c2 + a2)(2c2 + b2)
a + b + c
(a + b + c)2 =
1
a + b + c
:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
2.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
a2 + b2
a + b
+
b2 + c2
b + c
+
c2 + a2
c + a
3(a2 + b2 + c2)
a + b + c
Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh
2(a2 + b2 + c2) +
c(a2 + b2)
a + b
+
a(b2 + c2)
b + c
+
b(c2 + a2)
c + a
3(a2 + b2 + c2);
c[(a + b)2 2ab]
a + b
+
a[(b + c)2 2bc]
b + c
+
b[(c + a)2 2ca])
c + a
a2 + b2 + c2;
2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc
1
a + b
+
1
b + c
+
1
a + c
:
49](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-49-2048.jpg)
![¡nh gi¡ cuèi còng l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.16 , do vªy ta k¸t thóc chùng
minh.2
2.21 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng:
xy
1 + z
+
yz
1 + x
+
xz
1 + y
1
4
Líi gi£i. Chó þ r¬ng
xy
1 + z
=
xy
(x + z) + (y + z)
;
v theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc th¼
4
(x + z) + (y + z)
1
x + z
+
1
y + z
;
do vªy
xy
1 + z
1
4
xy
x + z
+
xy
y + z
. Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü rçi cëng l¤i, ta ÷ñc
xy
1 + z
+
yz
1 + x
+
xz
1 + y
1
4
xy + yz
x + z
+
yz + zx
x + y
+
zx + xy
y + z
=
x + y + z
4
;
tø ¥y ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
2.22 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
(
a
b
+
b
c
+
c
a
p
3(a2 + b2 + c2)
)(a + b + c) 3
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ
a
b
+
b
c
+
c
a
(a + b + c)2
ab + bc + ca
;
do vªy (
a
b
+
b
c
+
c
a
)(a+b+c)
(a + b + c)3
ab + bc + ca
. Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
(a + b + c)3 3(ab + bc + ca)
p
3(a2 + b2 + c2);
hay (a+b+c)6 27(a2 +b2 +c2)(ab+bc+ca)2. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t
¯ng thùc AM-GM, ta câ
(a + b + c)6 = [(a2 + b2 + c2) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)]3 27(a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca)2;
do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
2.23 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
p
3(a2 + b2 + c2)
+ a + b + c 2
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta ÷ñc
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
r
(
+ a + b + c 2
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
)(a + b + c):
50](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-50-2048.jpg)
![°t x = ab; y = bc; z = ca. Khi â x; y; z 0; x + y + z = 1 v ta c¦n chùng minh
(1 + x)(1 + y)(1 + z) 8(1 x)(1 y)(1 z);
t֓ng ֓ng
9xyz 7(xy + yz + zx) 2:
Theo mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.35 , ta câ
x2 + y2 + z2 +
9xyz
x + y + z
2(xy + yz + zx);
tø â sû döng gi£ thi¸t x + y + z = 1 º suy ra 9xyz 4(xy + yz + zx) 1. Cæng vi»c cuèi còng
l chùng minh
4(xy + yz + zx) 1 7(xy + yz + zx) 2;
hay xy + yz + zx
1
3
. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼
xy + yz + zx
(x + y + z)2
3
=
1
3
;
do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
2.25 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
1 + a3 + b3 + 3 p
1 + b3 + c3 + 3 p
1 + a3 + c3 3 p
27 + 2(a + b + c)3
3 p
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ
(1 + a3 + b3)[27 + (a + b + c)3 + (a + b + c)3]2 [9 + a(a + b + c)2 + b(a + b + c)2]3;
tø â ta suy ra
1 + a3 + b3: 3 p
[27 + 2(a + b + c)3]2 9 + (a + b)(a + b + c)2:
3 p
Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc
3 p
[27 + 2(a + b + c)3]2( 3 p
1 + a3 + b3 + 3 p
1 + b3 + c3 + 3 p
1 + a3 + c3) 27 + 2(a + b + c)3;
tø â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
Nhªn x²t. B§t ¯ng thùc tr¶n l h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc Minkowsky mð rëng:
3 p
a3 + b3 + c3 + 3 p
d3 + e3 + f3 + 3 p
g3 + h3 + k3 3 p
(a + d + g)3 + (b + e + h)3 + (c + f + k)3:
C¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ líi gi£i cõa b i to¡n tr¶n.
2.26 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng:
bc
(a + b)(a + c)
+
ca
(b + c)(b + a)
+
ab
(c + a)(c + b)
2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca
2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
52](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-52-2048.jpg)
![2.29 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng:
a
b
+
b
c
+
c
a
+ 3 ab + bc + ca + a + b + c
Líi gi£i. Do abc = 1 n¶n tçn t¤i c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z sao cho
a =
x
y
; b =
y
z
; c =
z
x
:
Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh
xz
y2 +
xy
z2 +
yz
x2 + 3
x
z
+
y
x
+
z
y
+
x
y
+
y
z
+
z
x
;
t֓ng ֓ng
x3y3 + y3z3 + z3x3 + 3x2y2z2 xyz[xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)]:
Tuy nhi¶n ¥y l mët h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc Schur bªc 3:
m3 + n3 + p3 + 3mnp mn(m + n) + np(n + p) + pm(p + m);
ð ¥y m = xy,n = yz v p = zx. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
2.30 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
P a + b
ab + c2
P 1
a
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
P 1
a
P a + b
ab + c2 =
(a c)(b c)
abc + c3 +
(b a)(c a)
abc + a3 +
(a b)(c b)
abc + b3
0
°t
1
abc + a3 = x;
1
abc + b3 = y;
1
abc + c3 = z:
B§t ¯ng thùc ÷ñc ÷a v· d¤ng Vornicu Schur:
x(a c)(b c) + y(b a)(c a) + z(a b)(c b) 0()
Gi£ sû a b c, th¸ th¼ abc + c3 abc + b3.
1
Suy ra
abc + c3
1
abc + b3
hay z y
M°c kh¡c, theo i·u gi£ sû th¼ b c, do â a b a c.
K¸t hñp vîi z y 0, suy ra z(a c) y(a b).
Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc () nh÷ sau:
x(a b)(b c) + (b c)[z(a c) y(a b)] 0
B§t ¯ng thùc n y óng theo c¡c i·u gi£ sû.
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u b¬ng x£y ra khi a = b = c.2
2.31 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 1. T¼m max cõa biºu thùc:
P = x3 + y3 + z3 3xyz
Líi gi£i. Ta câ: P = x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy yz zx).
Suy ra P2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2
p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho 3 sè khæng ¥m:
55](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-55-2048.jpg)
![P2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2
= (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)(x2 + y2 + z2 xy yz zx)
(x + y + z)2 + (x2 + y2 + z2 xy yz zx) + (x2 + y2 + z2 xy yz zx)
3
3
= (x2 + y2 + z2)3 = 1 (theo gi£ thi¸t) .
Suy ra P 1.
Vªy maxP = 1 , (x+y +z)2 = x2 +y2 +z2 xy yz zx , x = 1; y = z = 0 v c¡c ho¡n và.2
2.32 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a2
b + c
+
b2
a + c
+
c2
a + b
a2
a + b
+
b2
b + c
+
c2
c + a
Líi gi£i.
C¡ch 1
Ta câ:
P a2 b2
a + b
= a b + b c + c a = 0
Suy ra
P 2a2
a + b
=
P a2 + b2
a + b
Khi â ta c¦n chùng minh:
P 2c2
a + b
P a2 + b2
a + b
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi:
P 2c2 a2 b2
a + b
0
hay
P
c2
a + b
a2
a + b
+
a2
b + c
c2
b + c
0
hay
P (c a)2(c + a)
(a + b)(b + c)
0 (óng)
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c
C¡ch 2
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
P
a2
1
b + c
1
a + c
0
hay
(a2(a2 c2) + b2(b2 a2) + c2(c2 b2) 0
hay
1
2
[(a2 b2)2 + (b2 c2)2 + (c2 a2)2] 0 (óng) .
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
2.34 Cho x; y; z 0. Chùng minh r¬ng:
a2 + bc
(b + c)2 +
b2 + ac
(a + c)2 +
c2 + ab
(a + b
2
3
2
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
P
a2 + bc
(b + c)2
1
2
0
hay
56](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-56-2048.jpg)
![P 2a2 b2 c2
(b + c)2
0
Gi£ sû a b c.
Khi â ta câ hai d¢y còng chi·u: 8
:
2a2 b2 c2 2b2 a2 c2 2c2 a2 b2
1
(b + c)2
1
(a + c)2
1
(a + b)2
p döng b§t ¯ng thùc Chebychep cho hai d¢y tr¶n:
P
(2a2 b2 c2):
1
(b + c)2
[
P
(2a2 b2 c2)] :
P 1
(b + c)2
= 0:
P 1
(b + c)2
= 0
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
2.35 Cho a; b 0. Chùng minh r¬ng:
(a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 2(a + b)2
Líi gi£i.
º þ r¬ng a2 + b2 = (a + b)2 2ab.
°t a2 + b2 = x; ab = y
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
x(x + 2y) + (y + 1)2 2(x + 2y)
Khai triºn v rót gån, ta ÷ñc:
x2 + y2 + 1 2x 2y + 2xy 0
hay
(x + y 1)2 0 (óng)
Ph²p chr
ùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a2 + b2 + ab = 1 (ch¯ng h¤n
a = b =
1
3
).2
2.36 Cho a; b; c 2 R. Chùng minh r¬ng:
a3 b3
(a b)3 +
b3 c3
(b c)3 +
c3 a3
(c a)3
9
4
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
P a2 + b2 + ab
(a b)2
9
4
Nhªn th§y r¬ng:
a2 + ab + b2
(a b)2 =
1
4
(a + b)2 +
3
4
(a b)2
(a b)2
3
4
(a b)2
(a b)2 =
3
4
Thöc hi»n t÷ìng tü cho hai b§t ¯ng thùc cán l¤i.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a + b + c = 0.2
2.37 Cho a; b 0. Chùng minh r¬ng:
1
a2 +
1
b2 +
4
a2 + b2
32(a2 + b2)
(a + b)4
Líi gi£i.
Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng:
1
a2 +
1
b2 +
4
a2 + b2 =
a2 + b2
a2b2 +
4
a2 + b2
r
a2 + b2
2
a2b2 :
4
a2 + b2 =
4
ab
57](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-57-2048.jpg)
![Ta s³ chùng minh:
4
ab
32(a2 + b2)
(a + b)4
hay
8ab(a2 + b2) (a + b)4
p döng b§t ¯ng thùc 4xy (x + y)2:
8ab(a2 + b2) = 4:2ab:a2 + b2) (a2 + b2 + 2ab)2 = (a + b)4
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b.2
2.38 Cho a; b 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chùng minh r¬ng:
a + b + c 3
Líi gi£i.
C¡ch 1:
Theo nguy¶n l½ Dirichlet, trong ba sè a; b; c t s³ câ hai sè còng ph½a vîi 1 tr¶n tröc sè. G¿£ sû hai
sè â l a v b. Th¸ th¼:
(a 1)(b 1) 0
hay
ab a + b 1 .
M°t kh¡c, theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng:
4 c2 = a2 + b2 + abc 2ab + abc = ab(2 + c)
hay
(2 c)(2 + c) ab(2 + c)
hay
2 c ab
K¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc ab a + b 1 (chùng minh tr¶n), suy ra:
2 c ab a + b 1
hay
a + b + c 3 .
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
C¡ch 2:
°t a =
2x p
(x + y) (x + z)
; b =
2y p
(y + z) (y + x)
; c =
2z p
(z + y) (z + x)
Suy ra:
a + b + c =
P
p
p
2x
y + z (x + y) (y + z) (z + x)
V¼ th¸ b§t ¯ng thùc a + b + c 3 s³ t÷ìng ÷ìng vîi: P
2x
p
(x + y)(y + z)(z + x)
p
y + z 3
¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur vîi c¡c bi¸n
p
y + z;
p
y + x;
p
z + x.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2
C¡ch 3:
Gi£ sû tçn t¤i mët sè (cho sè â l a) trong ba sè a; b; c lîn hìn 2. Khi â, v¼ a; b; c d÷ìng n¶n:
a2 + b2 + c2 + abc = 4 4 + b2 + c2 + abc 4 (væ l½!)
Do â a; b; c 2 (0; 2]
Tø gi£ thi¸t suy ra:
a2 + abc +
b2c2
4
= 4 +
b2c2
4
b2 c2
58](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-58-2048.jpg)
![3.8 Cho a; b; c 2 R. Chùng minh r¬ng:
2(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) (a b)2(b c)2(c a)2
Líi gi£i.
Ta câ h¬ng ¯ng thùc sau:
(x2 + y2)(m2 + n2) = (xm + yn)2 + (xn ym)2
p döng h¬ng ¯ng thùc tr¶n, ta câ:
2(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) =
(a + b)2 + (a b)2 h
(c2 + ab)2 + c2(a b)2
i
=
(a + b)(c2 + ab) + c(a b)22
+
c(a b)(a + b) (c2 + ab)(a b)
2
=
(a + b)(c2 + ab) + c(a b)22
+ (a b)2(b c)2(c a)2
(a b)2(b c)2(c a)2
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi (a + b)(c2 + ab) = c(a b)2.2
3.9 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a3b
1 + ab2 +
b3c
1 + bc2 +
c3a
1 + ca2
abc(a + b + c)
1 + abc
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
P a3b
1 + ab2 :
P 1 + ab2
ab
(a + b + c)2
hay
P a3b
1 + ab2 :
abc + 1
abc
(a + b + c) (a + b + c)2
hay
a3b
1 + ab2 +
b3c
1 + bc2 +
c3a
1 + ca2
abc(a + b + c)
1 + abc
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.10 Cho a; b; c 2 [0; 2] thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
A = a3 + b3 + c3 9
Líi gi£i.
C¡ch 1
Ta câ ¯ng thùc sau:
A = a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 3(a + b)(b + c)(c + a)
= 27 3(3 a)(3 b)(3 c)
= 27 9(ab + bc + ca) + 3abc
M°t kh¡c, do a; b; c 2 [0; 2] n¶n (2 a)(2 b)(2 c) 0, hay:
8 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) abc 0
Suy ra:
2(ab + bc + ca) abc 4(a + b + c) 8 = 4
Suy ra:
9(ab + bc + ca)
9
2
abc 18 .
Do â:
A 27
9
2
abc 18 + 3abc = 9
3
2
abc 9 (do a; b; c 0)
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2; b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và.
C¡ch 2
Gi£ sû a = max fa; b; cg
64](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-64-2048.jpg)
![Suy ra 3 = a + b + c 3a, hay a 2 [1; 2], hay (a 1)(a 2) 0
Ta câ:
A = a3 + b3 + c3
a3 + 3bc(b + c) + b3 + c3
= a3 + (b + c)3
= a3 + (3 a)3
= (a 1)(a 2) + 9 9
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2; b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và.2
3.11 Cho d¢y sè d÷ìng an . Chùng minh r¬ng:
1
a1
+
2
a1 + a2
+ : : : +
n
a1 + a2 + ::: + an
4
1
a1
+ :::: +
1
an
Líi gi£i.
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
12
a1
+
22
a2
+ ::: +
i2
ai
(1 + 2 + ::: + i)2
a1 + a2 + ::: + ai
Th¸ l¦n l÷ñt i = 1; 2; 3; :::; n rçi cëng v¸ theo v¸:
A
Pn
i=1[
i
(1 + 2 + ::: + i)2 :(
12
a1
+
22
a2
+ ::: +
i2
ai
)] =
Pn
i=1 (Bi:
i2
ai
) = T
Trong â:
Bi =
i
(1 + 2 + ::: + i)2 +
i + 1
[1 + 2 + ::: + (i + 1)]2 + ::: +
n
(1 + 2 + ::: + n)2
= 4:
i
[i(i + 1)]2 +
i + 1
[(i + 1)(i + 2)]2 + ::: +
n
[n(n + 1)]2
= 4:
1
i(i + 1)2 + ::: +
1
n(n + 1)2
= 4
1
i + 1
1
i
1
i + 1
+ ::: +
1
n + 1
1
n
1
n + 1
= 4(
1
i2
C)
4:
1
i2
Do
C =
1
i
(
1
i
1
i + 1
) + ::: +
1
n
(
1
n
1
n + 1
) +
1
(n + 1)2 0
Suy ra:
Bi:i2 4
Suy ra:
Bi:
i2
ai
4
ai
Suy ra:
A T 4(
1
a1
+ :::: +
1
an
)
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
3.12 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
a3 + b3 + c3 3abc [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)]
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
65](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-65-2048.jpg)
![a3 + b3 + c3 3abc 2 [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 6abc]
hay
(a + b + c) [(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 4 [c(a b)2 + a(b c)2 + b(c a)2]
hay
(3a b c)(b c)2 + (3b c a)(c a)2 + (3c a b)(a b)2 0 (1)
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c.
X²t hai tr÷íng hñp:
Tr÷íng hñp 1: c
a + b
3
B§t ¯ng thùc (1) câ thº bi¸n ði th nh:
(c + a b)(b c)2 + (b + c a)(c a)2 + (a + b 3c)(b c)(a c) 0
B§t ¯ng thùc n y óng theo i·u gi£ sû.
Tr÷íng hñp 2: c
a + b
3
Suy ra b
a + b
3
a + c
3
Bi¸n êi b§t ¯ng thùc (1) th nh:
(b + c a)(a b)2 + (a + b c)(b c)2 + (3b c a)(a b)(b c) 0
B§t ¯ng thùc n y công óng theo i¶u gi£ sû.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a + b = 3c ho°c a + c = 3b.2
3.13 Cho a; b; c 2 R. Chùng minh r¬ng:
S = a21
+
a1 + a2
2
2
+ ::: +
a1 + a2 + ::: + an
n
2
4(a21
+ a22
+ ::: + a2
n)
Líi gi£i.
°t k =
p
k
p
k 1
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
a21
1
+
a22
2
+ ::: +
a2
k
k
(1 + 2 + ::: + k) (a1 + a2 + :: + ak)2
Suy ra:
a1 + a2 + ::: + ak
k
2
(1 + 2 + :: + k)
k2
a21
1
+
a22
2
+ ::: +
a2
k
k
Suy ra:
S
Pn
k=1
ck
a2
k
k
vîi ck =
Pnk
i=0
1 + 2 + :: + k+i
(k + i)2
Suy ra:
ck =
p
k
k2 +
p
k + 1
(k + 1)2 + ::: +
p
n
n2 =
1
k
p
k
+
1
(k + 1)
p
k + 1
+ ::: +
1
n
p
n
Ta l¤i câ:
1
2
p
k
1 r
k +
1
2
+
r
k
1
2
=
r
k +
1
2
r
k
1
2
v r
(k
1
2
):(k +
1
2
) k
Suy ra:
66](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-66-2048.jpg)
![1
k
p
k
2
0
BB@
1 r
k
1
2
1 r
k +
1
2
1
CCA
Suy ra:
ck 2
0
BB@
1 r
k
1
2
1 r
n +
1
2
1
CCA
2 r
k
1
2
Suy ra:
ck
k
2 r
k
1
2
r
k
:2
1
2
= 4
Suy ra:
S 4(a21
+ a22
+ ::: + a2
n)
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
3.14 (VMO 2002) Cho a; b; c l c¡c sè thüc thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 9. Chùng minh r¬ng:
2(a + b + c) abc 10
Líi gi£i.
C¡ch 1:
Theo gi£ thi¸t: 8
:
jaj; jbj; jcj 3
ja + b + cj 3
p
3
p
3
jabcj 3
Ta câ thº gi£ sû a; b; c6= 0 v a b c. X²t c¡c tr÷íng hñp sau:
c 0: Th¸ th¼
p
3 10
2(a + b + c) abc abc 3
a b 0 c. Suy ra abc 0. Suy ra
2(a + b + c) 2c 6 10 + abc
hay
2(a + b + c) abc 10
a 0 b c
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
(2b + 2c a)2 (b2 + c2 + a2)[22 + 22 + (1)2] = 9:9 = 81
Suy ra:
2b + 2c a 9
Do â:
2(a + b + c) = 2b + 2c a + 3a 9 + 3a
Ta c¦n chùng minh:
9 + 3a abc + 10
hay
3a 1 abc
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ bc
b2 + c2
2
=
9 a2
2
Tùc ta ph£i chùng minh:
67](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-67-2048.jpg)
![3a 1
9 a2
2
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi:
(a + 1)2(a 2) 0 (óng do a 0)
0 a b c
Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta co: 2b + 2c + a 9
Ta công suy ra ÷ñc:
2(a + b + c) 9 + a
Vªy ta c¦n chùng minh:
9 + a 10 + abc
hay
a 1 + abc
Vîi a 1 th¼ b§t ¯ng thùc hi»n nhi¶n óng.
Vîi a 1 th¼ c b 1. Khi â b§t ¯ng thùc công óng.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi b = c = 2; a = 1 v c¡c ho¡n và.
C¡ch 2:
°t P = 2(a + b + c) abc.
Suy ra P2 = [2(a + b + c) abc]2 = [2(a + b) + z(2 ab)]2
Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
P2 [(a + b)2 + c2)[4 + (2 ab)2] = 72 20ab + (ab)2 + 2(ab)3
°t t = ab. Ta s³ chùng minh:
100 72 20t + t2 + 2t3
hay
(t + 2)2(t 3:5) 0 (*)
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû jaj jbj jcj.
Suy ra:
3jcj 9
Suy ra:
a2 + b2 6
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼:
6 a2 + b2 2ab
hay
ab 3 3:5
Suy ra (*) óng.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v£ ch¿ khi b = c = 2; a = 1 v c¡c ho¡n và.2
3.15 Cho a; b; c 0 v khæng câ hai sè n o trong chóng çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng:
r
a2 + bc
3
r
b2 + ca
b2 + c2 + 3
r
c2 + ab
c2 + a2 + 3
a2 + b2
9 3 p
abc
a + b + c
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùPc AM-GM:
a(b2 + c2)
a2 + bc
=
a(b2 + c2)
a2 + bc
r
abc(b2 + c2)
+ b + c 3 3
a2 + bc
Suy ra:
68](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-68-2048.jpg)
![r
a2 + bc
3
b2 + c2
3 3 p
abc(a2 P + bc)
a(b2 + c2)
r
b2 + ca
T÷ìng tü vîi 3
r
c2 + ab
c2 + a2 v 3
a2 + b2 , ta câ:
r
a2 + bc
3
r
b2 + ca
b2 + c2 + 3
r
c2 + ab
c2 + a2 + 3
a2 + b2
3 3 p
abc(a2 +Pb2 + c2 + ab + bc + ca)
a(b2 + c2)
Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh:
3(a2 + b2P+ c2 + ab + bc + ca)
a(b2 + c2)
9
a + b + c
hay
P
(a + b + c)[(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)] 3[
a(b2 + c2)]
Gi£ sû a b c. Bi¸n êi b§t ¯ng thùc tr¶n th nh:
a(a b)2 + c(b c)2 + (a + c b)(a b)(b c) 0 (óng theo i·u gi£ sû) .
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v£ ch¿ khi a = b = c.2
3.16 Cho a; b; c 2 R thäa m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng:
a2 + b2 + c2 +
9
4
a2b2c2
21
4
Líi gi£i.
Tø · b i suy ra b + c6= 0 v a =
3 bc
b + c
.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû:
bc ca ab .
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
3 bc
b + c
2
1 +
9
4
b2c2
+ b2 + c2
21
4
°t b + c = S v bc = P.
Ta ֖c:
(3 P)2(4 + 9P2) + 4S2(S2 2P) 21S2
hay
9P4 54P3 + 85P2 24P + 36 + 4S4 8S2P 21S2 0
hay
(9P4 54P3 + 117P2 108P + 36) + (4S4 8S2P 32P2 21S2 + 84P) 0
hay
9(P2 3P + 2)2 + (S2 4P)(4S2 + 8P 21) 0
B§t ¯ng thùc n y óng v¼ 4S2 + 8P 16P + 8P 21 24 21 0.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a =
1
2
p
2
; b =
p
2.2
3.17 Cho a; b; c 2 [0; 1]. Chùng minh r¬ng:
c =
a2 + b2 + c2 1 + a2b + b2c + c2a
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
(1 a2)(1 b2)(1 c2) + a2b2c2 + a2b(1 b) + b2c(1 c) + c2b(1 b) 0
B§t ¯ng thùc n y óng theo gi£ thi¸t.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 0; b = c = 1 v c¡c ho¡n và.2
69](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-69-2048.jpg)
![3.24 Cho a; b; c; d 0 thäa m¢n (a+b+c+d)
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
= 20. T¼m gi¡ trà nhä nh§t
cõa:
A = (a2 + b2 + c2)
1
a2 +
1
b2 +
1
c2 +
1
d2
Líi gi£i.
Tø gi£ thi¸t suy ra:
P a + b + c
d
= 16
p döng h¬ng ¯ng thùc:
(a + b + c d)2 + (b + c + d a)2 + (c + d + a b)2 + (d + a + b c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2)
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
(a2 + b2 + c2 + d2):(
1
a2 +
1
b2 +
1
c2 +
1
d2 ) =
1
4
:
hX
(a + b + c d)2
i
:
X 1
a2
1
4
:
Xa + b + c d
d
2
=
1
4
Xa + b + c
d
2
4
=
1
4
:122 = 36
Vªy minA = 36 , a = c =
p
5
2
3
:b =
p
5
2
3
:d. 2
Nhªn x²t:
Ta câ h¬ng ¯ng thùc ¡ng chó þ sau:
(a + b + c d)2 + (b + c + d a)2 + (c + d + a b)2 + (d + a + b c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2)
Tø â n¸u câ t¡m sè thüc d÷ìng a; b; c; d; x; y; z; t th¼ ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz v
h¬ng ¯ng thùc tr¶n:
[(a + b + c + d)(x + y + z + t) 2(at + bx + cy + dz)]2
= [a(x + y + z t) + b(y + z + t x) + c(z + t + x y) + d(t + x + y z)]2
(a2 + b2 + c2 + d2)[(x + y + z t)2 + (y + z + t x)2 + (z + t + x y)2 + (y + x + y z)2]
= 4(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2)
hay
(a + b + c + d)(x + y + z + t) 2(at + bx + cy + dz) 2
p
(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2)
B i to¡n tr¶n l tr÷íng hñp ri¶ng khi a =
1
t
; b =
1
x
; c =
1
y
; d =
1
z
.
3.25 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
64abc(a + b + c)3 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2
Líi gi£i.
Ta chùng minh b§t ¯ng thùc sau:
(a + b)(b + c)(c + a)
8
9
(a + b + c)(ab + +bc + ca)
Thªt vªy, sau khi khai triºn, rót gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng sau:
c(a b)2 + b(a c)2 + a(b c)2 0 (óng)
p döng b§t ¯ng thùc tr¶n:
27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 27:
64
81
:(a + b + c)2:(ab + bc + ca)2
hay
27[(a + b)(b + c)(c + a)]2
64
3
(a + b + c)2(ab + bc + ca)2
73](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-73-2048.jpg)
![p döng b§t ¯ng thùc (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c):
64
3
(a + b + c)2(ab + bc + ca)2
64
3
:(a + b + c)2:3abc:(a + b + c) = 64abc:(a + b + c)3
Suy ra:
64abc(a + b + c)3 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.26 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a3 + b3 = c3. Chùng minh r¬ng:
a2 + b2 c2 6(c a)(c b)
Líi gi£i.
°t x =
a
c
; y =
b
c
. Theo gi£ thi¸t th¼ x3 + y3 = 1 v 0 x; y 1.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
x2 + y2 + 1 6(1 x)(1 y)
Tø gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM cho ba sè d÷ìng:
x3y3 = (1 x)(1 y)(1 + x + x2)(1 + y + y2) (1 x)(1 y):3x:3y = (1 x)(1 y)9xy
Suy ra:
p
(1 x)(1 y
xy 3
Do â:
x2 + y2 1 = x2(1 x) + y2(1 y) 2xy
p
(1 x)(1 y) 6(1 x)(1 y)
¯ng thùc khæng x£y ra. Ph²p chùng minh ho n t§t.2
3.27 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
(a + b + c)4 16(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Líi gi£i.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a = max fa; b; cg.
p döng b§t ¯ng thùc AM-GM:
(a + b + c)4 16a2(b + c)2 = 16(a2b2 + a2c2 + 2a2bc) 16(a2b2 + b2c2 + a2c2)
Ph²p chùng mnh ho n t§t, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2
3.28 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
p
a2 + 3bc
b + c
a
+
p
b2 + 3ac
a + c
b
+
c
p
c2 + 3ab
a + b
a + b + c
Líi gi£i.
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM:
P a(b2 + 3bc)
(b + c)
p
b2 + 3bc
P 2a(b2 + 3bc)
b2 + 3bc + (b + c)2 =
P 2a(a2 + 3bc)
a2 + b2 + c2 + 5bc
X²t hi»u sau:
P
2a(a2 + 3bc)
a2 + b2 + c2 + 5bc
=
a
P a(a2 + bc b2 c2)
a2 + b2 + c2 + 5bc
=
P a(b + c)(a2 + bc b2 c2)
(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)
=
P a3(b + c) a(b3 + c3)
(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)
=
P ab(a2 b2) + ac(a2 b2)
(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)
= ab
P
(a2 b2)
1
(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)
1
(a + c)(a2 + b2 + c2 + 5ac)
74](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-74-2048.jpg)
![=
ab(a2 b2)(a b)(a2 + b2 + c2 + 5ac + 5bc)
(a + c)(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)(a2 + b2 + c2 + 5ac)
0
Do â:
p
a2 + 3bc
b + c
a
+
p
b2 + 3ac
a + c
b
+
c
p
c2 + 3ab
a + b
a + b + c
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.29 Cho x; y; z 0 tho£n m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng:
p
2(2 +
(a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) 2
P
x3y3 +
P
x3)
Líi gi£i.
°t x3 = a; y3 = b; z3 = c. Th¸ th¼ abc = 1.
B§t «ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
p
2(2 +
(a + b)(b + c)(c + a) 2
P
ab +
P
a)
hay
p
2(a + 1)(b + 1)(c + 1)
(a + b)(b + c)(c + a) 2
hay
[(a + b)(b + c)(c + a)]2 8(a + 1)(b + 1)(c + 1)
Theo b§t ¯ng thùc Holder th¼:
(a + b)2
a +
1
b
2
(a + 1)4
hay
a2(a + b)2(c + 1)2 (a + 1)4
Lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü:
b2(b + c)2(a + 1)2 (b + 1)4
c2(c + a)(b + 1)2 (c + 1)4
Nh¥n v¸ theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n:
a2b2c2(a + b)2(b + c)2(c + a)2(a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2 (a + 1)4(b + 1)4(c + 1)4
hay
[(a + b)(b + c)(c + a)]2 (a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2
L¤i theo b§t ¯ng thùc AM-GM:
(a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2 = [(a + 1)(b + 1)(c + 1)][(a + 1)(b + 1)(c + 1)]
p
abc:[(a + 1)(b + 1)(c + 1)]
8
= 8(a + 1)(b + 1)(c + 1)
Do â:
[(a + b)(b + c)(c + a)]2 8(a + 1)(b + 1)(c + 1)
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.2
3.30 Cho z; y; z 0. Chùng minh r¬ng:
i)
1
(x + 1)2 +
1
(y + 1)2
1
1 + xy
ii) Cho xyz = 1. Chùng minh r¬ng:
1
(x + 1)2 +
1
(y + 1)2 +
1
(z + 1)2 +
2
(1 + x)(1 + y)(1 + z)
1
Líi gi£i.
i) Ti¸n h nh quy çng, thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng:
x3y + xy3 + 1 x2y2 + 2xy
75](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-75-2048.jpg)
![P a(a2 + 3)
(b + c)3
(a + b + c)4
54
hay
P a3
(b + c)3 + 3
P a
(b + c)3
(a + b + c)4
54
p döng b§t ¯ng thùc Holder:
[
P
a(b + c)]3P a3
(b + c)3
P
(
p
a)4
a
[
P
a(b + c)]3P a
(b + c)3
(a + b + c)4
(1 + 1 + 1) (
P
p
a)2 (
a
P
a)3
pP
P
ab (
P
a)2 ) (
p
a)4 (
a
P
a)4
K¸t hñp c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.33 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
1
(b + c)(b2 + bc + c2)
+
1
(a + b)(a2 + ab + b2)
+
1
(a + c)(a2 + ac + c2)
4
(a + b)(b + c)(c + a)
Líi gi£i.
Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM:
1
(b + c)(b2 + bc + c2)
=
ab + bc + ac
(b + c)(b2 + bc + c2)(ab + bc + ac)
4(ab + bc + ac)
(b + c)3(a + b + c)2
T÷ìng tü vîi c¡c ph¥n thùc cán l¤i, tø â ta c¦n chùng minh:
P (a + b)(a + c)
(b + c)2
(a + b + c)2
ab + bc + ac
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
2a
b + c
+
2b
a + c
+
2c
a + b
(a + b + c)2
ab + bc + ac
Do â ta c¦n chùng minh:
P (a + b)(a + c)
(b + c)2
P 2a(b + c)
(b + c)2
hay
P (a b)(a c)
(b + c)2
0
B§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Vonicur-Schur.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.34 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a(b + c a)
a2 + 2bc
+
b(c + a b)
b2 + 2ac
+
c(a + b c)
c2 + 2ab
0
Líi gi£i.
Gi£ sû a b c.
Tr÷íng hñp 1: a b + c.
B§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng.
Tr÷íng hñp 2: a b + c.
Suy ra:
b
b2 + ac
a
a2 + bc
=
(a b)(ab ac bc)
(b2 + ac)(a2 + 2bc)
0
Suy ra:
b(a + c b)
b2 + 2ac
+
a(b + c a)
a2 + 2bc
2ac
a2 + bc
0
Tø â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
77](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-77-2048.jpg)
![Ph²p chùng minh ho n t§t. 2
3.35 Cho a; b; c 0 thäa a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
a 3 p
ab + b 3 p
bc + c 3 p
ca 3
Líi gi£i.
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM:
a 3 p
ab = 3 p
a4b
p
ab + a
3
2a
T÷ìng tü:
b 3 p
bc
p
bc + b
3
2b
c 3 p
ca
2c
p
ca + c
3
Do â ta ch¿ c¦n chùng minh:
p
ab + b
a
p
bc + c
p
ca 3
hay
p
ab + b
a
p
bc + c
p
ca (a + b + c)2
Bi¸n êi b§t ¯ng thùc tr¶n th nh b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: P
(a b
p
ab
p
ca + 2
p
bc)2 0 (óng)
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2
3.36 Cho a; b; c l ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
P b + c
a
+
(a + b c)(b + c a)(c + a b)
abc
7
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
bc(b + c)
abc
+
2
P
ab(a + b)
P
a3 2abc
abc
4
hay
2
P
ab(a + b)
P
a3 + 9abc
¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur theo c¡c bi¸n a + b c; b + c a; c + a b.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
3.37 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
P
s
a2
b2 + (c + a)2
3
p
5
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
P
s
a2
5(b2 + (c + a)2)
3
5
Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
[(b2 + (c + a)2] = (1 + 4)[b2 + (c + a)2] [b + 2(c + a)]2
Suy ra:
P
s
a2
5(b2 + (c + a)2)
P a
b + 2(c + a)
Ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau:
a
b + 2(c + a)
+
b
c + 2(a + b)
+
c
a + 2(b + c)
3
5
hay
78](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-78-2048.jpg)
2 0
Suy ra:
80](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-80-2048.jpg)
![(2a2 + bc)2 (2a2 + 2b2 c2)(2a2 + 2c2 b2)
T÷ìng tü:
(2b2 + ca)2 (2b2 + 2c2 a2)(2b2 + 2a2 c2)
(2c2 + ab)2 (2c2 + 2a2 b2)(2c2 + 2b2 a2)
Nh¥n v¸ theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2
4.3 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
ab
(a + b)2 +
bc
(b + c)2 +
ca
(c + a)2
1
4
+
4abc
(a + b)(b + c)(c + a)
Líi gi£i.
Chu©n hâa c = 1. Ta c¦n chùng minh:
(a b)2
4(a + b)2 +
4ab
(a + b)(a + 1)(b + 1)
a
(a + 1)2 +
b
(b + 1)2
hay
(a b)2
4(a + b)
+
1
(a + 1)2 +
1
(b + 1)2
2ab
(a + 1)(b + 1)
a + b
(a + 1)(b + 1)
4ab
(a + b)(a + 1)(b + 1)
hay
(a b)2
(a + b)2 +
4(a b)2
(a + 1)2(b + 1)2
4(a b)2
(a + 1)(b + 1)(a + b)
K¸t qu£ n y hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng.
Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi câ hai bi¸n b¬ng nhau.2
4.4 Cho a; b; c 0 thäa a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chùng minh r¬ng:
P bc
a
a2 + b2 + c2
Líi gi£i.
°t x =
ab
c
; y =
bc
a
; z =
ca
b
.
Theo gi£ thi¸t th¼ xy + yz + zx + xyz = 4. Suy ra
P x
x + 2
= 1
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
x + y + z xy + yz + zx
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
P x
x + 2
[
P
x (x + 2)] (
P
x)2 ]
Suy ra: P
x(x + 2) (x + y + z)2
hay
x + y + z xy + yz + zx
Ph²p chùng minh ho n t¥t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2
4.5 Cho a; b; c 0 thäa a2 + b2 = 2(a + b) + 1.
T¼m gi¡ tri nhä nh§t, gi¡ trà lîn nh§t cõa P = a2 + b2
Líi gi£i.
°t a2 + b2 = x 0.
p
Theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc a + b
2(a2 + b2):
p
2x + 1
x = 2(a + b) + 1 2
81](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-81-2048.jpg)
![4.9 Cho x; y; z 0 tho£ m¢n x + y + z = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc:
M =
x + y
xyz
Líi gi£i.
Ta câ:
M =
x + y
xyz
=
1
yz
+
1
xz
p döng c¡c b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz v AM - GM, ta ÷ñc:
M
4
xz + yz
=
4
p
z(x + y)
2
4
z + x + y
2
2 = 16
Vªy minM = 16 , z =
1
2
; x = y =
1
4
. 2
4.10 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x4+y4+z4 = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc:
N = x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y)
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
N2 (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2] = 6(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)
Ta câ mët k¸t qu£ quen thuëc:
xy + yz + zx x2 + y2 + z2
Do â
N2 12(x2 + y2 + z2)
L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
N4 144:3(x4 + y4 + z4) = 1296
Tø ¥y suy ra N 6.
Vªy maxN = 6 , x = y = z = 1.2
4.11 Cho x; y; z 0. Chùng minh r¬ng:
16xyz(x + y + z) 3 3 p
(x + y)(y + z)(z + x)
4
Líi gi£i.
Líi gi£i 1.
p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ:
(x + y)(z + x) =
x(x + y + z)
3
+
x(x + y + z)
3
+
x(x + y + z)
3
r
x3(x + y + z)3yz
+ yz 4 4
27
p
yz
y + z 2
Nh¥n theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
r
x3y3z3(x + y + z)3
(x + y)(y + z)(z + x) 8 4
27
, 3 3 p
(x + y)(y + z)(z + x)
4
16xyz(x + y + z) .
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z.2
Líi gi£i 2.
Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh nh÷ sau:
3
8
(x + y)(y + z)(z + x) 3 p
(x + y)(y + z)(z + x) 2xyz(x + y + z)
Tr÷îc h¸t, ta s³ chùng minh:
9
8
(x + y)(y + z)(z + x) (x + y + z)(xy + yz + zx) (1)
Ta câ ¯ng thùc (x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) xyz
85](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-85-2048.jpg)
![Do â, (1) , (x + y + z)(xy + yz + zx) 9xyz
i·u n y óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM th¼ V T 3 3 p
xyz:3 3 p
x2y2z2 = V P.
Vªy (1) ÷ñc chùng minh.
L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ:
(x + y + z)(xy + yz + zx) 3(x + y + z) 3 p
x2y2z2 (2)
Tø (1) v (2) ta suy ra:
3
8
(x + y)(y + z)(z + x) (x + y + z) 3 p
x2y2z2
B¥y gií, ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc:
3 p
(x + y)(y + z)(z + x) 2 3 p
xyz
hay
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz
Nh÷ng i·u n y l¤i óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM:
p
xy:2
(x + y)(y + z)(z + x) 2
p
zx = 8xyz
p
yz:2
Do â ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z.2
4.12 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
a
3a b + c
+
b
3b c + a
+
c
3c a + b
1
Líi gi£i.
D¹ th§y b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau:
4a
3a b + c
1 +
4b
3b c + a
1 +
4c
3c a + b
1 1
a + b c
3a b + c
+
b + c a
3b c + a
+
c + a b
3c a + b
1
B§t ¯ng thùc cuèi còng óng v¼ theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz:
a + b c
3a b + c
=
(a + b c)2
(3a b + c)(a + b c)
[(a + b c)]2
(3a b + c)(a + b c)
=
(a + b + c)2
(a + b + c)2 = 1 .
Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.13 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a(b + c)
(a + b)(a + c)
+
b(c + a)
(b + c)(b + a)
+
c(a + b)
(c + a)(c + b)
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau:
a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2
(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
1 +
4abc
(a + b)(b + c)(c + a)
1 +
2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2)
2(a2 + b2 + c2)
8abc(a2 + b2 + c2)
(a + b)(b + c)(c + a)
2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2)
Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ:
2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2
9abc
a + b + c
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc:
8abc(a2 + b2 + c2)
(a + b)(b + c)(c + a)
9abc
a + b + c
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi
86](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-86-2048.jpg)
![Do c b 1 n¶n c 3.
Do a b 3 n¶n a 1.
Vªy ta câ 0 a 1 b 3 c 4.2
4.16 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
(a + b + c)3
3(a2 + b2 + c2)
ab(a + b)
a2 + b2 +
bc(b + c)
b2 + c2 +
ca(c + a)
c2 + a2
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau:
(a + b + c)3
3(a2 + b2 + c2)ab(a + b)
a2 + b2 +
3(a2 + b2 + c2)bc(b + c)
b2 + c2 +
3(a2 + b2 + c2)ca(c + a)
c2 + a2
a3 + 3ab(a + b) + 6abc 3ab(a + b) +
3c2ab(a + b)
a2 + b2
a3 + 6abc 6abc
c(a + b)
2(a2 + b2)
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
6abc
c(a + b)
2(a2 + b2)
6abc
c(a + b)
(a + b)2 = 6abc
c
a + b
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc:
a3 + 6abc 6abc
c
a + b
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi
(a3 + 6abc)(a + b)(b + c)(c + a) 6abc[a3 + a2(b + c) + 3abc]
hay
a3(a + b)(b + c)(c + a) 6abc[a3 + a2(b + c) + 3abc (a + b)(b + c)(c + a)]
hay
a3(a + b)(b + c)(c + a) 6abc(a3 + abc)
hay
a3[(a + b)(b + c)(c + a) 6abc] 6a2b2c2
i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM:
p
ab:2
a3[(a + b)(b + c)(c + a) 6abc] 3abc(2
p
bc:2
p
ca 6abc) = 6a2b2c2
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.17 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc:
P =
a2 + b
b + c
+
b2 + c
c + a
+
c2 + a
a + b
Líi gi£i.
Ta câ:
P + 1 =
a2 + b
b + c
+ a +
b2 + c
c + a
+ b +
c2 + a
a + b
+ c
=
a(a + b + c) + b
b + c
+
b(a + b + c) + c
c + a
+
c(a + b + c) + a
a + b
=
a + b
b + c
+
b + c
c + a
+
c + a
a + b
p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ ngay P + 1 3, suy ra P 2.
88](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-88-2048.jpg)
![Vªy min P = 2 , a = b = c =
1
3
.2
4.18 Cho a; b; c; d 0 tho£ m¢n a + b + c + d = 4. Chùng minh r¬ng:
a2bc + b2cd + c2da + d2ab 4
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc AM - GM li¶n ti¸p, ta câ:
(ab + cd)(ac + bd) =
p
(ab + cd)(ac + bd)
2
ab + cd + ac + bd
2
2
=
1
4
:[(a + d)(b + c)]2
[(a + d)(b + c)]2 =
p
(a + d)(b + c)
4
a + b + c + d
2
4
= 16
Tø ¥y suy ra:
(ab + cd)(ac + bd) 4
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc:
(bc + da)(bd + ac) 4
Ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau:
V T (ab + cd)(ac + bd) = bd(a c)(b d)
V T (bc + da)(bd + ac) = ac(a c)(b d)
D¹ th§y trong 2 biºu thùc tr¶n câ mët biºu thùc khæng d÷ìng n¶n
V T maxf(ab + cd)(ac + bd); (bc + da)(bd + ac)g 4
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = d = 1.2
4.19 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a3 + abc
b3 + c3 + abc
+
b3 + abc
c3 + a3 + abc
+
c3 + abc
a3 + b3 + abc
2
Líi gi£i.
Do b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n ho¡ abc = 1. Ta câ thº vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n
chùng minh d÷îi d¤ng:
a + 1
b + c + 1
+
b + 1
c + a + 1
+
c + 1
c + a + 1
2
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
(a + 1)2
V T =
(a + 1)(b + c + 1)
+
(b + 1)2
(b + 1)(c + a + 1)
+
(c + 1)2
(c + 1)(c + a + 1)
(a + b + c + 3)2
2(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) + 3
Ta s³ chùng minh:
(a + b + c + 3)2
2(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) + 3
2
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) + 6(a + b + c) + 9 4(ab + bc + ca) + 6(a + b + c) + 6
hay
3 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2)
Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ:
2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2
9abc
a + b + c
=
9
a + b + c
Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh:
9
a + b + c
3
89](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-89-2048.jpg)
2b
8
abc(a2 + b2 + c2 + 1)
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh:
(a + c)(b + 1)
[2b2 + 2 + (a + c)2](a + c)2b
8
hay
8(b + 1) [2b2 + 2 + (a + c)2](a + c)b 0
K¸t hñp vîi gi£ thi¸t a + b + c = 3, ta suy ra c¦n ph£i chùng minh:
8(b + 1) [2b2 + 2 + (3 b)2](3 b)b 0
hay
3b4 15b3 + 29b2 25b + 8 0
hay
(b 1)2(3b2 9b + 8) 0 (luæn óng)
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2
4.22 Cho x; y; z 2 [1; 2]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc:
Q = (x + y + z)
1
x
+
1
y
+
1
z
Líi gi£i.
Ta câ:
Q = 3 +
x
y
+
x
z
+
y
x
+
y
z
+
z
x
+
z
y
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû x y z. Khi â th¼
(x y)(y z) 0
hay
y2 + xz xy + yz
hay
y
x
+
z
y
1 +
z
x
v
y
z
+
x
y
1 +
x
z
V¼ vªy
Q 5 + 2
x
z
+
z
x
D¹ th§y 1
x
z
2 n¶n (x 2z)(x z) 0 hay
x
z
+
z
x
5
2
.
Tø â suy ra Q 10.
Vªy maxQ = 10 , x = y = 2; z = 1 ho°c x = 2; y = z = 1 v c¡c ho¡n và.2
4.23 Cho a;rb; c 0. Chùng minh r¬ng:
a
b + c
+
r
b
c + a
+
r
c
a + b
+
ab
(a + b)2 +
bc
(b + c)2 +
ca
(c + a)2
9
4
Líi gi£i.
91](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-91-2048.jpg)
![Sû döng b§t ¯ng thùc Holder còng vîi ¡nh gi¡ 3abc 0, ta câ:
r
a
b + c
s
=
a3
a2(b + c)
s
(a + b + c)3
a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)
s
(a + b + c)3
(a + b + c)(ab + bc + ca)
=
a + b + c
p
ab + bc + ca
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz li¶n ti¸p, ta câ:
ab
(a + b)2
ab
2(a2 + b2)
=
(a + b)2
4(a2 + b2)
3
4
4(a + b + c)2
8(a2 + b2 + c2)
3
4
=
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
3
4
Cëng theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
r
a
b + c
+
ab
(a + b)2
a + b + c
p
ab + bc + ca
+
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
3
4
Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh
a + b + c
p
ab + bc + ca
+
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
3
4
9
4
hay
a + b + c
p
ab + bc + ca
2
+
a + b + c
p
ab + bc + ca
2
+
(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2)
3
i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM:
s
V T 3 3
(a + b + c)4
p
2(ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2)]2
[2
s
3 3
(a + b + c)4
[2(ab + bc + ca) + (a2 + b2 + c2)]2 = 3
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2
4.24 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
ab
(a + b)2 +
bc
(b + c)2 +
ca
(c + a)2
4abc
(a + b)(b + c)(c + a)
+
1
4
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau:
4ab
(a + b)2 +
4bc
(b + c)2 +
4ca
(c + a)2
16abc
(a + b)(b + c)(c + a)
1
4ab
(a + b)2 + 1 +
4bc
(b + c)2 + 1 +
4ca
(c + a)2 + 1 +
16abc 2(a + b)(b + c)(c + a)
(a + b)(b + c)(c + a)
0
(a b)2
(a + b)2 +
(b c)2
(b + c)2 +
(c a)2
(c + a)2
2a(b c)2 + 2b(c a)2 + 2c(a b)2
(a + b)(b + c)(c + a)
0
(b c)2
b + c
1
b + c
2a
(c + a)(a + b)
0
(b c)2
b + c
:
(a b)(a c)
(a + b)(b + c)(c + a)
0
(a b)(b c)(c a)
(a + b)(b + c)(c + a)
:
b c
b + c
0
(a b)(b c)(c a)
(a + b)(b + c)(c + a)
:
(a b)(b c)(a c)
(a + b)(b + c)(c + a)
0
(a b)2(b c)2(c a)2
(a + b)2(b + c)2(c + a)2
0 (luæn óng)
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
92](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-92-2048.jpg)
![4.25 Cho a; b; c 0. Chrùng minh r¬ng:
2a
b + c
+
r
2b
c + a
+
r
2c
a + b
(a + b + c)2
a2 + b2 + c2
Líi gi£i.
Líi gi£i 1.
p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ:
p
2a(b + c) b + c + 2a
2
Tø â suy ra r
2a
b + c
=
4a
p
2a(b + c)
2
4a
b + c + 2a
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc: r
2b
c + a
4b
r c + a + 2b
2c
a + b
4c
a + b + 2c
Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
V T
4a
b + c + 2a
+
4b
c + a + 2b
+
4c
a + b + 2c
Ta s³ chùng minh
4a
b + c + 2a
+
4b
c + a + 2b
+
4c
a + b + 2c
(a + b + c)2
a2 + b2 + c2
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
4a
b + c + 2a
=
4a2
ab + ac + 2a2
4(a + b + c)2
2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca)
=
2(a + b + c)2
a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
2
a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca
1
a2 + b2 + c2
hay
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc.
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
Líi gi£i 2.
p dön grb§t ¯ng thùc Holder, ta câ:
2a
b + c
+
r
2b
c + a
+
r
2c
a + b
!2
a2(b + c)
2
+
b2(c + a)
2
+
c2(a + b)
2
(a + b + c)3
hay
V T2
2(a + b + c)3
a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)
Ta s³ chùng minh
2(a + b + c)3
a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)
(a + b + c)4
(a2 + b2 + c2)2
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi
2(a2 + b2 + c2)2 (a + b + c)[a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)]
hay
2(a4 + b4 + c4) + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) + 2abc(a + b + c)
Ta câ hai c¡ch º chùng minh b§t ¯ng thùc n y.
C¡ch 1: Sû döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ:
93](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-93-2048.jpg)
![a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2)
Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh
a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 3abc(a + b + c)
hay
(a2 + b2 + c2)2 3abc(a + b + c)
Ta câ ¡nh gi¡
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
3
n¶n
(a2 + b2 + c2)2
(a + b + c)4
9
Ta c¦n chùng minh
(a + b + c)4
9
3abc(a + b + c)
hay
(a + b + c)3 27abc
hay
a + b + c 3 3 p
abc
i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM.
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c. 2
C¡ch 2: Sû döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ:
ab(a2 + b2)
(a2 + b2)2
2
=
a4 + b4
2
+ a2b2
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc
bc(b2 + c2)
b4 + c4
2
+ b2c2
ca(c2 + a2)
c4 + a4
2
+ c2a2
Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2
Ta c¦n chùng minh
2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2
i·u n y óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM:
(a4 + b2c2) + (b4 + c2a2) + (c4 + a2b2) 2a2bc + 2b2ca + 2c2ab = 2abc(a + b + c)
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.26 Cho a; b; c 2 [0; 1]. Chùng minh r¬ng:
2(a3 + b3 + c3) (a2b + b2c + c2a) 3
Líi gi£i.
Gi£ sû c = minfa; b; cg th¼:
2c3 b2c + c2a
hay
2c3 (b2c + c2a) 0
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh:
2(a3 + b3) a2b 3
94](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-94-2048.jpg)
![Ta câ mët bê · cì b£n:
Vîi m; n; p; x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng b§t k¼, ta luæn câ b§t ¯ng thùc:
m3
x
+
n3
y
+
p3
z
(m + n + p)3
3(x + y + z)
D§u = x£y ra , m = n = p; x = y = z.
Bê · n y câ thº chùng minh d¹ d ng b¬ng b§t ¯ng thùc Holder nh÷ sau:
m3
x
+
n3
y
+
p3
z
(x + y + z)(1 + 1 + 1) (m + n + p)3
Chia c£ hai v¸ cho 3(x + y + z), ta câ ngay i·u ph£i chùng minh.
Trð l¤i vîi b i to¡n. p döng bê · tr¶n, ta câ:
V T
(a + b + c)3
3[12 + a3 + b3 + c3 + 2b2(a + c) + 2c2(b + a) + 2a2(c + b)]
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh:
(a + b + c)3
3[12 + a3 + b3 + c3 + 2a2(c + b) + 2b2(a + c) + 2c2(b + a)]
1
3
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau:
(a + b + c)3 12 + a3 + b3 + c3 + 2b2(a + c) + 2c2(b + a) + 2a2(c + b)
a2(c + b) + b2(a + c) + c2(b + a) + 6abc 12
(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc 12
B§t ¯ng thùc cuèi còng óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM th¼:
(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc 6 6 p
a6b6c6 + 6abc = 12abc = 12
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2
4.31 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
8
1
a
+
1
b
+
1
c
+ 9 10(a2 + b2 + c2)
Líi gi£i.
Gi£ sû a = maxfa; b; cg, d¹ th§y a 2 [1; 3).
B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi
8
a
+
8
b
+
8
c
+ 42a + 42b + 42c 117 10a2 + 10b2 + 10c2
hay
10b2 + 42b
69
2
+
8
b
+
10c2 + 42c
69
2
+
8
c
10a2 42a + 48
8
a
hay
(2b 1)2(16 5b)
b
+
(2c 1)2(16 5c)
c
(a 2)2(20a 4)
a
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
V T =
(1 2b)2
b
165b
+
(1 2c)2
c
16 5c
[2(1 b c)]2
b
16 5b
+ c
165c
=
4(a 2)2
b
16 5b
+
c
16 5c
Ta s³ chùng minh:
(a 2)2
b
16 5b
+
c
16 5c
(a 2)2(5a 1)
a
Ta câ:
b
16 5b
+
c
16 5c
b
16 5a
+
c
16 5a
=
3 a
16 5a
97](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-97-2048.jpg)
![Do â:
(a 2)2
b
16 5b
+
c
16 5c
(a 2)2
3 a
16 5a
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh:
(a 2)2
3 a
16 5a
(a 2)2(5a 1)
a
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi:
(a 2)2(16a 5a2) (a 2)2(5a2 + 16a 3)
hay
3(a 2)2 0 (luæn óng)
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , (a; b; c) =
2;
1
2
;
1
2
v c¡c ho¡n và.2
4.32 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3
vuut
a3 +
1
4
abc + b3
+
vuut
b3
b3 +
1
4
abc + c3
+
vuut
c3
c3 +
1
4
abc + a3
2
Líi gi£i.
Do b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n ho¡ abc = 1. Ta câ thº vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n
chùng minh d÷îi d¤ng: r
a
a + 1
4 + b
+
vuut
b
b +
1
4
+ c
+
vuut
c
c +
1
4
+ a
2
hay r
a
4a + 4b + 1
+
r
b
4b + 4c + 1
+
r
c
4c + 4a + 1
1
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
V T2 =
s
(4a + 4c + 1)a
(4a + 4b + 1)(4a + 4c + 1)
#2
[(4a + 4c + 1)]
a
(4a + 4b + 1)(4a + 4c + 1)
=
(8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c)
(4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1)
Ta s³ chùng minh:
(8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c)
(4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1)
1
hay
(8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c) (4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1)
Ta câ nhªn x²t:
V T = 64(a + b + c)(ab + bc + ca) + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c)
= 64[(a + b)(b + c)(c + a) + abc] + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c)
= 64(a + b)(b + c)(c + a) + 64 + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) (do abc = 1)
V P = 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(a + b)(b + c) + 16(a + b)(c + a) + 16(b + c)(c + a)
+4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a) + 1
= 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(3ab + 3bc + 3ca + a2 + b2 + c2) + 8(a + b + c) + 1
= 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(a + b + c)2 + 16(ab + bc + ca) + 8(a + b + c) + 1
98](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-98-2048.jpg)
![n¶n
V P V T = 8(a + b + c)2 + 5(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 63
B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh:
8(a + b + c)2 + 5(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 63 0
hay
16(a + b + c)2 + 15(a + b + c) + 8[(a + b + c)2 3(ab + bc + ca)] 189
B§t ¯ng thùc n y óng tø c¡c b§t ¯ng thùc sau:
16(a + b + c)2 16(3 3 p
abc)2 = 144 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM)
15(a + b + c) 45 3 p
abc = 45 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM)
(a + b + c)2 3(ab + bc + ca)
Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.33 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
3 p
b + c a + 3 p
c + a b + 3 p
a + 3 p
a + b c 3 p
b + 3 p
c
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ:
( 3 p
c + a b + 3 p
a + b c)3 (1 + 1)(1 + 1):2a = 8a
Do â
3 p
c + a b + 3 p
a + b c 2 3 p
a
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc
3 p
a + b c + 3 p
b + c a 2 3 p
b
3 p
b + c a + 3 p
c + a b 2 3 p
c
Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
2( 3 p
b + c a + 3 p
c + a b + 3 p
a + 3 p
a + b c) 2( 3 p
b + 3 p
c)
hay
3 p
b + c a + 3 p
c + a b + 3 p
a + b c 3 p
a + 3 p
b + 3 p
c
¥y ch½nh l i·u ph£i chùng minh. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.34 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
(b + c a)2
(b + c)2 + a2 +
(c + a b)2
(c + a)2 + b2 +
(a + b c)2
(a + b)2 + c2
3
5
Líi gi£i.
V¼ b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa a + b + c = 3. Khi §y, b§t ¯ng thùc c¦n chùng
minh trð th nh:
(3 2a)2
(3 a)2 + a2 +
(3 2b)2
(3 b)2 + b2 +
(3 2c)2
(3 c)2 + c2
3
5
B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi:
4a2 12a + 9
2a2 6a + 9
+
4b2 12b + 9
2b2 6b + 9
+
4c2 12c + 9
2c2 6c + 9
3
5
Ta câ nhªn x²t:
4x2 12x + 9
2x2 6x + 9
+
18x 23
25
=
36x3 54x2 + 18
25(2x2 6x + 9)
=
18
25
:
(x 1)2(2x + 1)
2x2 6x + 9
0; 8x 0
99](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-99-2048.jpg)
![3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca)
p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ:
(a2 + b2 + c2)2 (ab + bc + ca)2 3(ab2c + bc2a + ca2b) = 3abc(a + b + c) 3(abc)2
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi:
a2 + b2 + c2
p
3abc
hay
a
bc
+
b
ca
+
c
ab
p
3
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c =
p
3.2
4.36 Cho x; y; z; t l c¡c sè thüc tho£ m¢n jx + y + z tj 1 v c¡c ho¡n và. Chùng minh
r¬ng:
x2 + y2 + z2 + t2 1
Líi gi£i.
Tø gi£ thi¸t jx + y + z tj 1, ta suy ra:
x2 + y2 + z2 + t2 + 2(xy + xz + yt xt yt zt) 1
T÷ìng tü èi vîi c¡c ho¡n và, ta công câ:
x2 + y2 + z2 + t2 + 2(yz + yt + zt yx zx tx) 1
x2 + y2 + z2 + t2 + 2(zt + zx + tx zy ty xy) 1
x2 + y2 + z2 + t2 + 2(tx + ty + xy tz xz yz) 1
Cëng theo v¸ bèn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
4(x2 + y2 + z2 + t2) 4
hay
x2 + y2 + z2 + t2 1
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z = t =
1
2
.2
4.37 Cho a; b; c 2 R. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc:
P = (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4
4
7
(a4 + b4 + c4)
Líi gi£i.
°t a =
y + z x
2
; b =
z + x y
2
; c =
x + y z
2
th¼:
P = z4 + x4 + y4
1
28
[(y + z x)4 + (z + x y)4 + (x + y z)4]
°t Q = (y + z x)4 + (z + x y)4 + (x + y z)4.
Ta câ ¯ng thùc:
(u + v)4 + (u v)4 = 2(u4 + v4 + 6u2v2)
Ta ¡p döng ¯ng thùc tr¶n nh÷ sau:
(x + y + z)4 + (x + y z)4 = 2[(x + y)4 + z4 + 6z2(x + y)2]
(z + x y)4 + (z + y x)4 = 2[(x y)4 + z4 + 6z2(x y)2]
Cëng theo v¸ hai ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
Q + (x + y + z)4 = (x + y + z)4 + (x + y z)4 + (z + x y)4 + (z + y x)4
= 4[(x4 + y4 + 6x2y2) + z4 + 3z2(2x2 + 2y2)]
= 4[x4 + y4 + z4 + 6(x2y2 + y2z2 + z2x2)]
101](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-101-2048.jpg)
![a4
b2 +
b4
c2 +
c4
a2
(a3b2 + b3c2 + c3a2)(a2 + b2 + c2) (a3 + b3 + c3)3 (Theo Holder)
(a3b2 + b3c2 + c3a2)(a + b + c) (a2b + b2c + c2a)2 (Theo Cauchy - Schwarz)
3(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) (Theo Chebychev)
Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2
4.39 Cho a; b; c; d 0. Chùng minh r¬ng:
a +
1
a
b +
1
b
c +
1
c
d +
1
d
a +
1
b
b +
1
c
c +
1
d
d +
1
a
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: Q
(a2 + 1)
Q
(ab + 1)
, [
Q
(a2 + 1)]2 [
Q
(ab + 1)]2
,
Q
(a2 + 1)(b2 + 1)
Q
(ab + 1)2
B§t ¯ng thùc cuèi còng óng theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz.
Do â ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = d.2
4.40 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng:
(a + b2)(b + c2)(c + a2) 8
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ:
(a + b2)(a + 1) (a + b)2
T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc:
(b + c2)(b + 1) (b + c)2
(c + a2)(c + 1) (c + a)2
Nh¥n theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc:
(a + b2)(b + c2)(c + a2)(a + 1)(b + 1)(c + 1) [(a + b)(b + c)(c + a)]2
Ta ch¿ c¦n chùng minh:
[(a + b)(b + c)(c + a)]2
(a + 1)(b + 1)(c + 1)
8
Ta câ thº chùng minh b¬ng c¡ch ch¿ ra: 8
(a + b)(b + c)(c + a) 8 (1)
(a + b)(b + c)(c + a)
(a + 1)(b + 1)(c + 1)
:
1 (2)
Hai i·u n y câ thº chùng minh ìn gi£n nh÷ sau:
Tø gi£ thi¸t ab + bc + ca = 3, ta d¹ d ng suy ra:
(a + b + c)2 3(ab + bc + ca) = 9 hay a + b + c 3
3 = ab + bc + ca 3 3 p
a2b2c2 hay abc 1 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM)
Chùng minh (1):
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc = 3(a + b + c) abc 8
Chùng minh (2):
103](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-103-2048.jpg)
![Ta câ:
(a + b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1)
= 3(a + b + c) abc (a + b + c + ab + bc + ca + abc + 1)
= 2(a + b + c) 2abc 4 0
Do â
(a + b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1)
hay
(a + b)(b + c)(c + a)
(a + 1)(b + 1)(c + 1)
1
Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2
3.5 B i 5.1 ¸n b i 5.40
5.1 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng:
a(bc + ca 2ab)
(2a + b)2 +
b(ca + ab 2bc)
(2b + c)2 +
c(ab + bc 2ca)
(2c + a)2
0
Líi gi£i.
Ta th§y:
a(bc + ca 2ab)
(2a + b)2 =
a[(2b2 + bc) + (2ac + bc) 2(2ab + b2)]
(2a + b)2
=
ab(2b + c)
(2a + b)2 +
ca
2a + b
2ab
2a + b
Do â:
a(bc + ca 2ab)
(2a + b)2 =
ab(2b + c)
(2a + b)2 +
ca
2a + b
2ab
2a + b
=
ab(2b + c)
(2a + b)2 +
ab
2b + c
2ab
2a + b
= ab(2b + c)
1
(2a + b)2
2
(2a + b)(2b + c)
+
1
(2b + c)2
= ab(2b + c)
1
2a + b
1
2b + c
2
0
Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c ho°c (a; b; c) = (0; 1; 2) v c¡c ho¡n và.2
5.2 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng:
a2 + b2 + c2
ab + bc + ca
+
8abc
(a + b)(b + c)(c + a)
2
Líi gi£i.
Líi gi£i 1.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c 0.
Ta câ mët bê · quen thuëc:
Vîi x y 0 v z 0 th¼ ta luæn câ b§t ¯ng thùc:
x
y
x + z
y + z
D§u = x£y ra , x = y ho°c z = 0.
104](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-104-2048.jpg)
![, (a + b + c)4 3(ab + bc + ca)(2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca)
D¹ th§y b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM GM cho 2 sè.
Ph²p chùng minh ho n t§t.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z. 2
B§t ¯ng thùc tr¶n công l mët h» qu£ trüc ti¸p suy ra tø b§t ¯ng thùc Iran 1996. Thªt vªy, sû
döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ:
V T =
X 1
x2 + xy + y2
X 4(xy + yz + zx)
(y2 + yz + z2 + xy + yz + zx)2 =
X 4(xy + yz + zx)
(y + z)2(x + y + z)2
Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh:
1
(x + y)2 +
1
(y + x)2 +
1
(z + x)2
9
4(xy + yz + zx)
Nh÷ng ¥y l b§t ¯ng thùc Iran 1996 quen thuëc.
5.16 Chùng minh vîi måi sè thüc a; b; c ta câ b§t ¯ng thùc sau:
2(1 + abc) +
p
2(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (1 + a)(1 + b)(1 + c)
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi:
p
2(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (b + c)(1 + a) + (1 bc)(a 1)
,
p
((1 + a)2 + (a 1)2)((b + c)2 + (1 bc)2) (1 + a)(b + c) + (a 1)(bc 1)
K¸t qu£ n y óng theo Cauchy Schwarz.
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: 2
Công câ thº ¡p döng Cauchy Schwarz nh÷ sau:
2(1 + abc) +
p
2(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = 2(1 + abc) +
p
2[(ab + bc + ca 1)2 + (a + b + c abc)2]
(ab + bc + ca 1) + (a + b + c abc) + 2(1 + abc)
= (1 + a)(1 + b)(1 + c)
Ta câ i·u ph£i chùng minh.2
115](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-115-2048.jpg)
![5.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a + b + c = 3.Chùng minh:
12(
1
a
+
1
b
+
1
c
) 4(a3 + b3 + c3) + 21
Líi gi£i. Gi£ sû c l sè lîn nh§t trong 3 sè a; b; c: °t t =
a + b
2
vîi t 2 (0; 1]
X²t f(a; b; c) = V T V P. D¹ th§y f(a; b; c) f(t; t; c) v¼ (a + b)2ab
(a + b)4
4
4.
L¤i câ:
f(t; t; c) = 3(2t 1)2(
1
3 2t
+
8
t
+ 2t 30)
º chùng minh f(t; t; c) 0 ta s³ i chùng minh: g(t) = 4t3 26t2 + 45t 24 08t 2 (0; 1]
Ta th§y g(t) çng bi¸n n¶n g(t) g(1) = 1 0:
Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh.
D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 0:5; c = 2 v c¡c ho¡n và.2
5.18 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng:
a(b + c)
b2 + c2 +
b(c + a)
c2 + a2 +
c(a + b)
a2 + b2 + 3 4
ab
ab + c2 +
bc
bc + a2 +
ca
ca + b2
Gi£i
p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz , ta câ:
4bc
bc + a2 =
4bc(b + c)
(b + c)(bc + a2)
= bc(b + c)
(1 + 1)2
b(c2 + a2) + c(a2 + b2)
bc(b + c)
1
b(c2 + a2)
+
1
c(a2 + b2)
=
c(b + c)
c2 + a2 +
b(b + c)
a2 + b2
Do â: X
cyc
4bc
bc + a2
X
cyc
c(b + c)
c2 + a2 +
X
cyc
b(b + c)
a2 + b2 =
X
cyc
b(a + b)
b2 + c2 +
X
cyc
c(c + a)
b2 + c2
=
X
cyc
b(a + b)
b2 + c2 +
c(c + a)
b2 + c2
=
X
cyc
b(a + b) + c(c + a)
b2 + c2
=
X
cyc
a(b + c) + b2 + c2
b2 + c2
=
X
cyc
a(b + c)
b2 + c2 + 1
=
X
cyc
a(b + c)
b2 + c2 + 3
¯ng thùc x£y ra , a = b = c.2
5.19 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c; x; y; z tho£ m¢n:
(a + b + c)(x + y + z) = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = 4
Chùng minh r¬ng:
abcxyz
1
36
116](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-116-2048.jpg)
![Líi gi£i.
Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ:
4(ab + bc + ca)(xy + yz + xz) = [(a + b + c)2 (a2 + b2 + c2)][(x + y + z)2 (x2 + y2 + z2)]
= 20 (a + b + c)2:(x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2)(x + y + z)2
20 2
p
(a + b + c)2:(x2 + y2 + z2):(a2 + b2 + c2)(x + y + z)2 = 4
) (ab + bc + ca)(xy + yz + xz) 1
M°t kh¡c ta l¤i câ:
(ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c); (xy + yz + xz)2 3xyz(x + y + z)
) (ab + bc + ca)2:(xy + yz + xz)2 9abcxyz(a + b + c)(x + y + z)
) abcxyz
1
36
Ph²p chùng minh ho n t§t.
¯ng thùc khæng x£y ra.2
5.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n abc = 1: Chùng minh:
a + b + c
3
r
5
a2 + b2 + c2
3
Líi gi£i.
Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc d÷îi d¤ng thu¦n nh§t:
(a + b + c)5 81abc(a2 + b2 + c2)()
Rã r ng ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc (*) vîi måi a,b,c d÷ìng.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû c = min(a; b; c).
Ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau:
8abc(a2 + b2) c(a + b)4
8abc3 2c3(a + b)2
Do vªy, ta ch¿ c¦n chùng minh:
8(a + b + c)5 81c(a + b)2(2c2 + (a + b)2)(1)
°t a + b = 2t v chu©n ho¡ cho a + b + c = 3. Thay c = 3 2t v o (1), ta ÷ñc:
3 t2(3 2t)((3 2t)2 + 2t2)
, 4t5 14t4 + 18t3 9t2 + 1 0
, (t 1)2(4t3 6t2 + 2t + 1) 0
B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng v¼ t 1 ( Do c = min(a; b; c) ).
Ph²p chùng minh ho n t§t.
117](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-117-2048.jpg)
![Sû döng 2 b§t ¯ng thùc quen thuëc:
1
x
+
1
y
4
x + y
v
x
y
+
y
x
2 suy ra:
1
b
c
+
1
b
a
+
b
a
b
c
+
b
cb
a
2 + 2 = 4
Chùng minh ho n t§t.
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2
5.37 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thuëc o¤n [0; 1] thäa m¢n xyz = (1 x)(1 y)(1 z). T¼m
gi¡ trà nhä nh§t cõa:
F = x2 + y2 + z2
Líi gi£i 1.
Tø gi£ thi¸t suy ra:
xy + yz + zx = 2xyz + (x + y + z) 1
Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ:
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2(xy + yz + zx)
= (x + y + z)2 4xyz 2(x + y + z) + 2
4
27
:(x + y + z)3 + (x + y + z)2 2(x + y + z) + 2
°t t = x + y + z; t 2 [0; 3] ta ÷ñc:
F = x2 + y2 + z2 =
4
27
:t3 + t2 2t + 2
=
1
27
:(2a 3)2:(
15
4
a) +
3
4
3
4
Vªy MinP = 3
4 .
¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z =
1
2
. 2
Líi gi£i 2.
°t a = sin2; b = sin2](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-128-2048.jpg)
![) 19:xyz 11(xy + yz + zx) 27x2y2z2 + 3 19xyz 11(xy + yz + zx) xyz + 3 0(1)
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû r¬ng z = min(x; y; z) ) z
x + y + z
3
=
1
3
. Suy ra:
(1) , xy:(18z 11) 11z:(x + y) + 3 (
x + y
2
)2(18z 11) 11z:(1 z) + 3
Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh:
(
1 z
2
)2(18z 11) 11z:(1 z) + 3 0
, (2z + 1):(3z 1)2 0
B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng do z 0.
Ph²p chùng minh ho n t§t.
D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z =
1
3
.2
Líi gi£i 2.
B i to¡n n y câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n.
°t x =
a
3
; y =
b
3
; z =
c
3
th¼ b i to¡n ÷ñc vi¸t l¤i th nh:
Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3.Chùng minh r¬ng:
1
9 ab
+
1
9 bc
+
1
9 ca
3
8
Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ:
ab
(a + b)2
4
=
(3 c)2
4
Tø â suy ra:
1
9 ab
4
c2 + 6c + 27
M°t kh¡c tø gi£ thi¸t d¹ th§y a; b; c 2 (0; 3] n¶n ta câ ¡nh gi¡ sau:
4
c2 + 6c + 27
9 c
64
=
(c 1)2(c 3)
64(c2 + 6c + 27)
0
Suy ra:
1
9 ab
4
c2 + 6c + 27
9 c
64
X¥y düng c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü ta công câ:
1
9 bc
9 a
64
;
1
9 ca
9 b
64
Cëng theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc:
1
9 ab
+
1
9 bc
+
1
9 ca
27 (a + b + c)
64
=
3
8
131](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-135-2048.jpg)
![M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart th¼
1
1
1
9
+
+
a + b
b + c
c + a
2 (a + b + c)
Vªy º chùng minh b i to¡n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
a2 + b2 + c2 +
9abc
a + b + c
2 (ab + bc + ca)
¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur d¤ng ph¥n thùc. B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra
khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2
6.14 Cho a; b; c d÷ìng v a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng:
8 (2 a) (2 b) (2 c) (a + bc) (b + ca) (c + ab)
Líi gi£i.
Ta câ 2 (2 a) = 4 2a = b2 + c2 + (a2 2a + 1) b2 + c2
T÷ìng tü ta câ 2 (2 b) a2 + c2; 2 (2 c) a2 + b2
Suy ra 8 (2 a) (2 b) (2 c) (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2)
Cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2) (a + bc) (b + ca) (c + ab)
Chùng minh b§t ¯ng thùc n y khæng khâ kh«n, xin d nh cho b¤n åc.2
6.15 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng:
1
a2 (1 + a)
+
1
b2 (1 + b)
+
1
c2 (1 + c)
3
4abc
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart ta câ:
P bc
a (1 + a)
=
P b2c2
abc (1 + a)
P
(
bc)2
4abc
P
M°t kh¡c d¹ th§y (
bc)2 3abc (a + b + c)
Vªy
P bc
a (1 + a)
3
4
Do â:
1
a2 (1 + a)
+
1
b2 (1 + b)
+
1
c2 (1 + c)
3
4abc
¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c =
1
3
.2
6.16 Cho a; b; c; l 3 sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng:
2 (a2 + b2 + c2) + 3 3 p
a2b2c2 (a + b + c)2
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng a2 + b2 + c2 + 3 3 p
a2b2c2 2 (ab + bc + ca)
M 3 3 p
a2b2c2
9abc
a + b + c
Do â ta ch¿ c¦n chùng minh a2 + b2 + c2 +
9abc
a + b + c
2 (ab + bc + ca)
Nh÷ng ¥y l BT Schur d¤ng ph¥n thùc. Vªy, b§t ¯ng thùc ¦u b i ÷ñc chùng minh. ¯ng
thùc x£y ra t¤i a = b = c.2
6.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng:
a2b2 (a b)2 + b2c2 (b c)2 + c2a2 (c a)2 [(a b) (b c) (c a)]2
140](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-152-2048.jpg)
![Do â, V T
(a b)2
b
+
(a b)2
a + c
= (a b)2
1
b
+
1
a + c
4 (a b)2
a + b + c
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2
6.24 Cho a; b; c l 3 sè thüc khæng ¥m thäa m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng:
P 1
a2 bc + 1
1
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i
P ab + bc + ca
a2 bc + 1
1
,
P
1 2
ab + bc + ca
a2 bc + 1
1
,
P a2 + ab + ac
a2 bc + 1
1 p döng BT Cauchy-Schwart câ
P a2 + ab + ac
a2 bc + 1
= (a + b + c)
P a2
a3 abc + a
(a + b + c)3
P
(a3 abc + a)
M°t kh¡c vîi ab + bc + ca = 1
th¼ d¹ th§y
(a + b + c)3
P
(a3 abc + a)
= 1
Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh, ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c =
1
3
.2
6.25 Cho 3 sè a; b; c 0.Chùng minh r¬ng:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+
81
4
P a2b
(2a + b)2
13
4
(a + b + c)
Líi gi£i.
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart ta câ
P a2b
(2a + b)2
(a + b + c)2
P (2a + b)2
b
=
x2
5x + 4y
( vîi x = a + b + c v y =
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
Ta ch¿ c¦n chùng minh y +
81x2
4 (5x + 4y)
13
4
x
, 4x + 5y +
81x2
4 (5x + 4y)
18x
Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM. ¯ng thùc x£y ra
khia = b = c. 2
6.26 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c th£o m¢na + b + c = 1.Chùng minh r¬ng:
5 (a2 + b2 + c2) 6 (a3 + b3 + c3) + 1
Líi gi£i.
çng bªc 2 v¸ ta câ
5 (a2 + b2 + c2) (a + b + c) 6 (a3 + b3 + c3) + (a + b + c)3
Hay 2 (a3 + b3 + c3) + 6abc 2 [2 (b2 + c2) + b (a2 + c2) + c (a2 + b2)]
Nh÷ng ¥y ch½nh l BT Schur bªc 3. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
143](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-155-2048.jpg)
![6.27 Cho c¡c sè thùc a; b; c 1.Chùng minh r¬ng:
p
a 1 +
p
b 1 +
p
c 1
p
a (bc + 1)
Líi gi£i.
Ta câ bc
p
b 1 +
2
p
c 1
Hay
p
bc
p
b 1 +
p
c 1
p
a 1
Vªy,
p
b 1 +
p
c 1
p
bc +
p
a 1
p
a (bc + 1).2
6. 28 Cho a; b; c l å d i 3 c¤nh mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
P a r
a2 +
13
5
bc
r
5
2
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Hoder ta câ P
a (5a2 + 13bc) :
P a
p
5a2 + 13abc
:
P a
p
5a2 + 13abc
(a + b + c)3
Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh (a + b + c)3
1
2
P
a (5a2 + 13bc)
V¼ a; b; c l ë d i 3 c¤nh tam gi¡c n¶n tçn t¤ x; y; z d÷ìng sao cho a = x+y; b = y +z; c = z +x
Thay v o v khai triºn ta ÷ñc
x3 + y3 + z3 + 3xyz x2 (x + y) + y2 (x + z) + z2 (x + y)
Nh÷ng ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ PCM. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
6. 29 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 +b2 +c2 = a+b+c. Chùng minh r¬ng:
a + b + c
p
2
2
p
a2b + b2c + c2a +
p
ab2 + bc2 + ca2
Líi gi£i.
Ta câ:
p
a2b + b2c + c2a +
p
ab2 + bc2 + ca2
p
2 [ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)]
Ta ch¿ c¦n chùng minh:
(a + b + c)4 8ab (a + b) + 8bc (b + c) + 8ca (c + a)
, (a + b + c)4 8ab (a2 + b2 + c2 c) + 8cb (a2 + b2 + c2 a) + 8ac (a2 + b2 + c2 b)
, (a + b + c)4 + 24abc 4 (2ab + 2bc + 2ca) (a2 + b2 + c2)
, (a2 + b2 + c2 2ab 2bc 2ca)2 + 24abc 0.
Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh, ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 0.2
6. 30 Cho c¡c sè thüc a; b; c . CMR:
2 (1 + abc) +
p
2 (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) (1 + a) (1 + b) (1 + c)
Líi gi£i.
p§Bt ¯ng thùc ¢ cho ÷ñc vi¸t l¤i
2 q
(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) (b + c) (1 + a) + (1 bc) (a 1)
,
(1 + a)2 + (a 1)2
(b + c)2 + (1 bc)2
(b + c) (1 + a) + (1 bc) (a 1)
Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo BT Cauchy-Schwart.2
144](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-156-2048.jpg)
![3.7 B i 7.1 ¸n b i 7.40
7.1 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc sau:
A = jx + 2000j + jx + y + 4j + j2x + y 6j
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc cì b£n: jaj + jbj + jcj ja + b + cj
Ta câ:
A = jx + 2000j + jx + y + 4j + j6 2x yj j(x + 2000) + (x + y + 4) + (6 2x y)j = 2010
¯ng thùc x£y ra khi
8
:
x + 2000 0
x + y + 4 0
6 2x y 0
Câ væ sè c°p (x; y) thäa m¢n, v½ dö (1; 1); (2; 1):::.2
7.2 Cho a; b;2 [0; 2]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc sau:
P =
8 + 6(a + b) + (a + b)2
4 + 2(a + b) + ab
Líi gi£i.
Tr÷îc h¸t, ta câ thº dü o¡n gi¡ trà lîn nh§t cõa P l 3 khi (a; b) = (2; 0) ho°c (0; 2):
Do a 2 [0; 2] n¶n a(a 2) 0 hay a2 2a. T÷ìng tü ta câ b2 2b:
V¼ vªy,
P =
8 + 6(a + b) + (a + b)2
4 + 2(a + b) + ab
=
8 + 6(a + b) + a2 + b2 + 2ab
4 + 2(a + b) + ab
8 + 8(a + b) + 2ab
4 + 2(a + b) + ab
= 2 +
4(a + b)
4 + 2(a + b) + ab
Ta c¦n chùng minh
4(a + b)
4 + 2(a + b) + ab
1 hay (a 2)(b 2) 0
Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng do a; b 2.2
7.3 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng:
bc
p
a2 + 3
+
ca
p
b2 + 3
+
ab
p
c2 + 3
3
2
Líi gi£i.
Do (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) n¶n ab + bc + ca 3.
bc
Ta câ:
p
a2 + 3
bc
p
a2 + ab + bc + ca
=
bc p
(a + b)(a + c)
1
2
(
bc
a + b
+
bc
c + a
)
T÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i. Cëng 3 v¸ b§t ¯ng thùc vøa chùng minh, suy ra:
bc
p
a2 + 3
+
ca
p
b2 + 3
+
ab
p
c2 + 3
a + b + c
2
=
3
2
:
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: 2
148](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-160-2048.jpg)
![Ta s³ chùng minh nhªn x²t: Vîi 2 sè x; y d÷ìng,
(x4 + y4)3
x6 + x6
4x3y3
Thªt vªy,
(x4 + y4)3
x6 + x6 =
x12 + y12 + 3x4y4(x4 + y4)
x6 + y6 =
(x6 + y6)2 + x4y4(x2 y2)2 + 2x4y4(x4 + y4)
x6 + y6
(x6 + y6)2 + 2x4y4(x4 + y4)
x6 + y6
p
2x4y4(x4 + y4)
x6 + y6
2(x6 + y6)
4x3y3
L§y x =
p
a; y =
p
b, khi â
(a2 + b2)3
a3 + y3
p
ab.
4ab
T÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i, ta câ
P (a2 + b2)3
a3 + b3
4
P
p
ab 12(AM GM:)
ab
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1. 2
7.7 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng v k 2 [0; 2] Chùng minh r¬ng
a2 bc
b2 + c2 + ka2 +
b2 ac
a2 + c2 + kb2 +
c2 ab
a2 + b2 + kc2
0
Líi gi£i.
C¦n chùng minh:
(a2 bc)(b + c)
(b2 + c2 + ka2)(b + c)
+
(b2 ac)(a + c)
(a2 + c2 + kb2)(a + c)
+
(c2 ab)(a + b)
(a2 + b2 + kc2)(a + b)
0
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b, khi â:
(a2 bc)(b + c) (b2 ac)(a + c) = (ab + c2)(a b) + c(a2 b2) 0
(b2 + c2 + ka2)(b + c) (a2 + c2 + kb2)(a + c) = (b a)(a2 + b2 + c2 (k 1)(ab + bc + ca)) 0
Ta câ c¡c bë sè còng chi·u :
(a2 bc)(b + c); (b2 ac)(a + c); (c2 ab)(a + b)
v
1
(b2 + c2 + ka2)(b + c)
;
1
(a2 + c2 + kb2)(a + c)
;
1
(a2 + b2 + kc2)(a + b)
p döng b§t ¯ng thùc Chebychev vîi chó þ (a2bc)(b+c)+(b2ac)(a+c)+(c2ab)(a+b) = 0,
ta câ i·u ph£i chùng minh.
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
7.8 Cho a; b; c; l 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
a + b c
3b + c a
+
b + c a
3c + a b
+
c + a b
3a + b c
1
Líi gi£i.
Do a, b, c l 3 c¤nh cõa tam gi¡c, °t a = x + y; b = y + z; c = z + x, b§t ¯ng thùc trð th nh:
y
y + 2z
+
z
z + 2x
+
x
x + 2y
1
B§t ¯ng thùc tr¶n câ thº chùng minh ìn gi£n b¬ng Cauchy Schwarz:
y
y + 2z
+
z
z + 2x
+
x
x + 2y
(x + y + z)2
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx
= 1
¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
150](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-162-2048.jpg)
![V¼ vªy ta câ:
xy + yz + xz xyz x(y + z) + (2 x) xyz
= 2 x(1 + yz y z) = 2 a(1 b)(1 c)
2
¯ng thùc x£y khi (x; y; z) = (1; 1; 1); (0;
p
2;
p
2) v c¡c ho¡n và.2
7.12 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng:
a2
p
b + c
+
b2
p
c + a
+
c2
p
a + b
b2
p
b + c
+
c2
p
c + a
+
a2
p
a + b
Líi gi£i.
Gi£ sû a b c. Khi â, a + b a + c b + c.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh ch¿ l h» qu£ cõa b§t ¯ng thùc ho¡n và vîi 3 bë sè câ i·u ki»n
nh÷ tr¶n:
a b c
1
b + c
1
a + c
1
a + b
Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
7.13 Cho 3 sè thùc d÷ìng x; y; z 1 thäa m¢n x + y + z = xyz. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa
biºu thùc:
T =
y 2
x2 +
z 2
y2 +
x 2
z2
Líi gi£i.
Ta câ
T =
X
(
y 2
x2 +
1
x
)
X1
x
=
X
(
(x 1) + (y 1)
x2 +
1
x
)
X1
x
=
X
[(x 1)(
1
x2 +
1
z2 )]
X1
x
(x 1)(
2
xz
)
X1
x
=
X1
x
2
M°t kh¡c :
P 1
x
r
3
P 1
xy
=
p
3. V¼ vªy, T
p
3 2
¯ng thùc x£y ra khi x = y = z =
p
3: .2
7.14 Cho a; b; c 0; a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc:
P =
1 + a2
1 + b2 +
1 + b2
1 + c2 +
1 + c2
1 + a2
Líi gi£i.
Líi gi£i 1.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a =maxfa; b; cg: Ta câ:
152](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-164-2048.jpg)
![7.17 Cho a; b; c 0 v a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc:
r
(
P = 3
1
ab
1)(
1
bc
1)(
1
ac
1)
Líi gi£i.
°t a =
1
x
; b =
1
y
; c =
1
z
, khi â ta câ: xy + yz + zx = xyz v xyz 27
Ta s³ chùng minh:
(
1
ab
1)(
1
bc
1)(
1
ac
1) = (xy 1)(yz 1)(zx 1) 512
, x2y2z2 xyz(x + y + z) + xy + yz + zx 1 512
, 2x2y2z2 2xyz(x + y + z) + 2xyz 2:513
, x2y2z2 + [(xy + yz + zx)2 2xyz(x + y + z)] + 2xyz 1026
, x2y2z2 + x2y2 + y2z2 + z2x2 + 2xyz 1026
M°t kh¡c, theo AM GM, ta câ:
x2y2 + y2z2 + z2x2 3 3 p
x4y4z4 243; x2y2z2 729; v xyz 27
Vªy P 8. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c =
1
3
.2
7.18 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c câ t½ch b¬ng 1. Chùng minh b§t ¯ng thùc sau:
a + b + c
3
r
a3 + b3 + c3
10
3
Líi gi£i.
¥y l mët b i to¡n r§t khâ. Ta s³ sû döng bê · sau:
Bê ·: Vîi måi sè thùc d÷ìng a; b; c th¼:
(a + b + c)6
729
5
abc(a3 + b3 + c3 + 2abc) .
Quay trð l¤i b i to¡n. Tø bê · tr¶n vîi chó þ abc = 1, ta câ :
a + b + c
3
r
a3 + b3 + c3 + 2
6
5
M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ:
a3 + b3 + c3 + 2 = 3
a3 + b3 + c3
3
r
(a3 + b3 + c3)3
+ 1 + 1 5 5
27
Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: .2
7.19 Cho x; y; z 0 tho£ x + y + z = 1. T¼m GTLN cõa biºu thùc:
P = xny + ynz + znx vîi n 2 N
Líi gi£i.
Vîi n = 1 th¼ maxP =
1
3
:
Vîi n 1.
Khæng m§t têng qu¡t, gi£ sû x = max fx; y; zg, th¸ th¼:
155](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-167-2048.jpg)
![Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c =
1
3
.2
7.23 Cho a; b; c 0 v a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng:
ab
ab + c
+
bc
bc + a
+
ac
ac + b
3
4
Líi gi£i.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
X ab
(c + a)(c + b)
3
4
X
, 3(a + b)(b + c)(c + a) 4[
ab(a + b)]
Düa v o 2 ¯ng thùc quen thuëc:
(a + b + c)(ab + bc + ca) abc = (a + b)(b + c)(c + a
(a + b + c) + (ab + bc + ca) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc
ta ÷a b§t ¯ng thùc ph½a tr¶n v· d¤ng:
(ab + bc + ca)(a + b + c) 9abc
,
1
a
+
1
b
+
1
c
9
Nh÷ng ¥y l¤i l mët b§t ¯ng thùc óng, do a + b + c = 1
Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c =
1
3
.2
7.24 Cho a; b; c 0 thäa a + b + c = 9. Chùng minh r¬ng:
r
1 +
a
r
1 +
7
b2 + b
7
c2 + c
r
1 +
7
a2
p
3
6
7
p
a +
(
p
b +
p
c) +
3
2
Líi gi£i.
Ta câ:
r
1 +
a
r
1 +
7
b2 + b
7
c2 + c
r
1 +
7
a2 =
r
a2 +
7a2
b2 +
r
b2 +
7b2
c2 +
r
c2 +
7c2
a2
r
(a + b + c)2 + 7(
a
b
+
b
c
+
c
a
)2
p
81 + 7:9 = 12
p
3
6
7
p
a +
(
p
b +
p
c) +
3
2
7:
p
3(a + b + c)
p
3:
6
+
3
2
=
21
2
+
3
2
= 12
Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 3.2
158](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-170-2048.jpg)
![[27 a(b + c a) b(c + a b) c(a + b c)] (a + b + c)3 93a3b3c3:
Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM, ta câ:
27 a(b + c a) b(c + a b) c(a + b c) [a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c)]3 :
Do â ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc:
(a + b + c) [2(ab + bc + ca) a2 b2 c2] 9abc:
hay
a2 + b2 + c2 +
9abc
a + b + c
2(ab + bc + ca)
Nh÷ng ¥y l¤i ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur quen thuëc. Ta câ i·u ph£i chùng minh.
Líi gi£i 4.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c:
Ta vi¸t b§t ¯ng thùc l¤i nh÷ sau:
, (a + b + c)3 [abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)] + abc [27abc (a + b + c)3 0
, (a + b + c)3 [(a b)2(a + b c) + c(a c)(b c)] abc(a + b + c)[(a b)2 + (a c)(b c)] 0
, (a b)2:M + (a c)(b c):N 0
vîi M = (a + b + c)3(a + b c) abc(a + b + c) v N = (a + b + c)3c abc(a + b + c).
Ta ch¿ c¦n chùng minh M;N ·u khæng ¥m l ÷ñc. Thªt vªy, ta câ:
M = (a + b + c)3(a + b c) abc(a + b + c) = (a + b + c)
(a + b + c)2(a + b c) abc
(a + b + c)(a2:a abc) 0:
N = (a + b + c)3:c abc(a + b + c) = c(a + b + c)
(a + b + c)2 ab
= c(a + b + c)
a2 + b2 + c2 + 2(bc + ca) + ab
0:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
7.28 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n
1
a2 +
1
b2 +
1
c2 = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa:
1
p
5a2 + 2ab + 2b2
+
1
p
5c2 + 2bc + 2c2
+
1
p
5c2 + 2ca + 2a2
Líi gi£i.
Ta câ ¡nh gi¡: 5a2 + 2ab + 2b2 (2a + b)2. (B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: (a b)2)
Tø ¡nh gi¡ tr¶n , ta câ:
P
P 1
2a + b
=
1
9
P 9
a + a + b
1
3
(
1
a
+
1
b
+
1
c
)
M°t kh¡c, ta câ:
1
a
+
1
b
+
1
c
r
3(
1
a2 +
1
b2 +
1
c2 ) =
p
3
V¼ vªy, P
1
p
3
:
161](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-173-2048.jpg)
![B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi:
a
t
2
+ tx
+
b
t
+ ty
2
+
c
t
+ tz
2
4
Nh÷ng ta câ:
a
t
2
+ tx
+
b
t
+ ty
2
+
c
t
+ tz
2
1
3
a + b + c
t
2
+ t (x + y + z)
4
3
(a + b + c) (x + y + z)
= 4:
Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2
7.38 P
Cho a; b; c l å P
d i 3 c¤nh mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:
abc [2
a2 (b + c) 2
a3 + 3abc] (a + b + c) (b + c a) (c + a b) (a + b c) (ab + bc + ca)
Líi gi£i.
p döng h¬ng ¯ng thùc:
(a + b c) (c + a b) (b + c a) =
P
a2 (b + c)
P
a3 2abc
Suy ra Q
b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi
2abc
(b + c a) + 7a2b2c2 (a + b + c)
Q
(b + c a) (ab + bc + ca)
Tuy nhi¶n, ta câ mQ
ët sè ¯ng thùc tam gi¡c sau ¥y:
16S2 = (a + b + c)
(b + c a)
abc = 4SR
S = pr
Tø â d¹ d ng ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng:
4
r
R
+ 7 4
P
sinAsinB
, 4
P
cosA + 3
P
sinAsinB
, 4
P
cosAcosB 3
Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng v¼
P
cosA
3
2
.
Vªy, ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2
7.39 Cho a; b; c l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m thäa m¢n (a + b) (b + c) (c + a) = 2. Chùng minh
r¬ng:
(a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) 1
Líi gi£i.
Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ sû c l sè n¬m giúa a v b, Khi â (a c) (b c) 0.
Ta câ:
(a + b)2 [(b + c) (c + a)]2 = 4
t֓ng ֓ng
(a + b)2 (c2 + ab + ca + cb) = 4
Hìn núa,
(c2 + ab + bc + ca) 4 (c2 + ab) (bc + ca)
Do vªy
(c2 + ab) (bc + ca) (a + b)2 1
166](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-178-2048.jpg)
![T֓ng ֓ng
c (a + b)3 (c2 + ab) 1
Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh
(a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) c (a + b)3 (c2 + ab)
t֓ng ֓ng
ab [(a c) (b c) 2ac 2bc] 0
Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc câ khi v ch¿ khi a = 0; b = c = 1 v c¡c ho¡n và.2
7.40 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng:
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)
5
16
(a + b + c + 1)2
Líi gi£i.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ:
(a + b + c + 1)2 =
a:1 +
1
p
2
:
p
2(b + c) +
1
p
2
p
2
:
!2
(a2 + 1)[3 + 2(b + c)2]:
Khi â ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau:
5
16 [3 + 2(b + c)2] (b2 + 1)(c2 + 1)
Hay:
16b2c2 + 6(b2 + c2) + 1 20ab:
B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM:
16b2c2 + 1 8bc; 6(b2 + c2) 12bc
D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c =
1
2
.2
167](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-179-2048.jpg)
![xny + ynz + znx = xn1xy + yn1yz + zn1zx
an1ab + bn1ac + cn1bc
= b(an + acbn2 + cn)
b(an + an1c + cn)
b(a + c)n
= b(a + c)n
=
1
n
nb(a + c)n
1
n
n(a + b + c)
n + 1
n+1
=
nn
(n + 1)n+1
D§u = x£y ra khi(x; y; z) l hoan và cõa
n
n + 1
;
1
n + 2
.2
; 0
8.6 Cho a; b; cl c¡c sè thüc thäa m¢n 3a2 + 2b2 + c2 6. T¼m GTLN v GTNN cõa biºu
thùc sau:
P = 2(a + b + c) abc
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
[2(a + b + c) abc]2 = [a(2 bc) + 2(b + c)]2 (a2 + 2) [(2 bc)2 + 2(b + c)2] = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
L¤i theo b§t ¯ng thùc
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) =
1
6
(3a2 + 6)(2b2 + 4)(c2 + 2)
1
6
3a2 + 2b2 + c2 + 12
3
3
36
t֓ng ֓ng [2(a + b + c) abc]2 36 ) 6 2(a + b + c) abc 6
D§u = x£y ra khi v ch¿ khi:
(
a(b + c) = 2 bc
3a2 + 6 = 2b2 + 4 = c2 + 2 = 6
t֓ng ֓ng
a = 0; b = 1; c = 2
a = 0; b = 1; c = 2
Vªy:
Min(2(a + b + c) abc) = 6 , a = 0; b = 1; c = 2
Max(2(a + b + c) abc) = 6 , a = 0; b = 1; c = 2:.2
8.7 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a + b + c = 1.Chùng minh r¬ng:
1
p
ab
+
1
p
bc
+
1
p
ca
2 +
r
22 +
1
abc
Líi gi£i. Nh¥n
p
abc cho méi v¸, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng l :
p
a +
p
b +
p
abc +
p
c 2
p
22abc + 1:
B¼nh ph÷ìng hai v¸, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng l
a + b + c + 2
p
ab +
p
bc +
26abc + 1 + 4
p
ca
p
abc(22abc + 1):
V¼ a + b + c = 1 n¶n b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi
170](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-182-2048.jpg)
![p
ab +
p
bc +
p
ca 13abc + 2
p
abc(22abc + 1):
p döng AM-GM cho ba sè d÷ìng a; b; c ta câ ngay i·u sau
abc
a + b + c
3
3
=
1
27
:
Nh÷ vªy, ta câ
p
abc(22abc + 1) 2
2
s
abc
22
27
+ 1
=
14
3
p
3
(abc)1=2:
Ta công câ theo AM-GM
p
ab +
p
bc +
qp
p
ca 3 3
ab
p
bc
p
ca = 3(abc)1=3:
Nâi c¡ch kh¡c, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
3(abc)1=3 13abc +
14
3
p
3
(abc)1=2:
Hay t÷ìng ÷ìng vîi (rót gån (abc)1=3hai v¸)
3 13(abc)2=3 +
14
3
p
3
(abc)1=6:
V¼ abc 127n¶n b§t ¯ng thùc tr¶n l mët b§t ¯ng thùc óng, thªt vªy, ta câ
13(abc)2=3 +
14
3
p
3
(abc)1=6 13
1
27
2=3
+
14
3
p
3
1
27
1=6
= 3:
Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2
8.8 (USA TST 2011)Cho a; b; c 2 [0; 1] thäa m¢n a + b; b + c; c + a 1. chùng minh:
1 (1 a)2 + (1 b)2 + (1 c)2 +
p
2abc
2
p
a2 + b2 + c2
Líi gi£i. Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc nh÷ sau:
a2 + b2 + c2 + 2 +
p
2abc
2
p
a2 + b2 + c2
2(a + b + c):
p döng AM-GM, ta câ
2(a + b + c)
(a + b + c)2
2
+ 2:
N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc
a2 + b2 + c2 +
p
2abc
2
p
a2 + b2 + c2
(a + b + c)2
2
;
Hay
p
2abc
4
p
a2 + b2 + c2
2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2):
171](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-183-2048.jpg)
![B§t ¯ng thùc ¢ cho l thu¦n nh§t, do â ta câ thº chu©n ho¡ a2 + b2 + c2 = 2.
B§t ¯ng thùc trð th nh:
4abc 2(ab + bc + ca) 2
Hay
2abc + 1 ab + bc + ca
Gi£ sû câ 1 sè lîn hìn 1, ch¯ng h¤n l a, ta câ b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng:
4bc(a 1) + (a b c)2 0
X²t tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i, b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng:
(1 a)(1 bc) + a(1 b)(1 c) 0
Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2
8.9 Cho 3 sè a; b; c thäa m¢n i·u ki»n a + b + c + abc = 0; a; b 2 [1 1]. Chùng minh r¬ng:
p
a + 1 +
p
b + 1 +
p
c + 1 3
Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, câ thº gi£ sû ab 0 theo nguy¶n l½ Dirichlet.
Khi â, tø gi£ thi¸t ta ÷ñc:
(1 + c) (1 + c)(1 + ab) = (1 a)(1 b)
)
p
1 + c
p
(1 a)(1 b)
p dönpg b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz:
(1 a)(1 b) +
p
1 + a +
p
1 + b
p
(1 a + 1 + a + 1)(1 b + 1 + 1 + b) = 3
B i to¡n ÷ñc chùng minh.2
8.10 Cho a; b; c l c¡rc sè d÷ìng. Chùng minh:
a + 2b
3
+
r
b + 2c
3
+
r
c + 2a
3
p
a +
p
b +
p
c
Líi gi£i. B¼nh ph÷ìng hai v¸, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: Pp
(a + 2b)(b + 2c) 3
Pp
ab
p döng b§t ¯ng thùcCauchySchawrz, ta câ: p
(a + 2b)(b + 2c)
q
(
p
ab + 2
p
bc)2 =
p
ab + 2
p
bc
Lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü rçi cëng v¸ theo v¸, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. 2
8.11 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xy + yz + zx = 3. Chùng minh r¬ng:
1
xyz
+
4
(x + y)(y + z)(z + x)
3
2
Líi gi£i.
Líi gi£i 1. Tr÷îc ti¶n, ta d¹ d ng câ xyz 1:.p döng AM-GM li¶n töc, ta s³ câ
172](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-184-2048.jpg)
![1
xyz
+
4
(x + y)(y + z)(z + x)
=
1
2xyz
+
1
2xyz
+
4
(x + y)(y + z)(z + x)
1
2xyz
+
p
p
2
2 xyz(x + y)(y + z)(z + x)
=
1
2xyz
+
p
p
2
2 (xy + xz) (yz + yx) (zx + zy)
1
2
+
p
s
2
2 xy + xz + yz + yx + zx + zy
3
3
=
3
2
:
Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2
Líi gi£i 2. D¹ th§y xyz 1.Sû döng AM-GM ta câ:
4xyz
(xy + xz)(yz + yx)(zx + zy)
4xyz
xy + xz + yz + yx + zx + zy
3
3 =
xyz
2
Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh:
1
xyz
+
xyz
2
3
2
:
Nh÷ng BT n y óng v¼:
V T =
1
2xyz
+
1
2xyz
+
xyz
2
1
2
+ 1 =
3
2
:T rue
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
8.12 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: P a r
b2 +
bc
4
+ c2
2
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi
a
p
4b2 + bc + 4c2
+
b
p
4c2 + ca + 4a2
+
c
p
4a2 + ab + 4b2
1:
p döng li¶n ti¸p b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz, ta câ
X a
p
4b2 + bc + 4c2
(a + b + c)2
P
p
4b2 + bc + 4c2
a
(a + b + c)2
p
(
P
P
a) [
a(4b2 + bc + 4c2)]
:
Nâi tâm l¤i, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng:
(a + b + c)3
X
a(4b2 + bc + 4c2):
Khai triºn ra, ta s³ câ ngay b§t ¯ng thùc
a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a):
¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur. Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2
173](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-185-2048.jpg)
![Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz :
p
x
V T2 = (
p
xy +
p
y
p
yz +
p
z
p
zx)2 (x + y + z)(xy + yz + zx)
Ta ch¿ c¦n i chùng minh
8(x + y + z)(xy + yz + zx) 9(x + y)(y + z)(z + x)True
Ta câ i·u ph£i chùng minh .¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z.2
8.16 Cho a; b; c 0 thäa m¢nra + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc:
ab
ab + c
+
r
bc
bc + a
+
r
ca
ca + b
Líi gi£i. prdöng b§t ¯ng thùc AM-GM,Ta câ:
ab
ab + c
=
r
ab
ab + c(a + b + c)
=
r
ab
(c + a)(c + b)
1
2
(
a
c + a
+
b
a + c
)
Suyrra:
ab
ab + c
+
r
bc
bc + a
+
r
ca
ca + b
1
2
(
a
c + a
+
b
c + b
+
a
b + a
+
c
b + c
+
b
a + b
+
c
b + c
) =
3
2
.2
8.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa
biºu thùc
P =
1 + a2
1 + b2 +
1 + b2
1 + c2 +
1 + c2
1 + a2
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t tø gi£ thi¸t, ta suy ra 0 a; b; c 1, tø â câ a2; b2; c2 1.
Ta vi¸t l¤i biºu thùc P nh÷ sau:
P =
X 1
1 + a2 +
X a2
1 + b2 ;
tø â k¸t hñp vîi hai ¡nh gi¡ sau:
1
a2
1 + 1 a2
1 + a2 + 1 a2 =
2 a2
2
;
a2
1 + b2
a2;
ta suy ra
P
X2 a2
2
+
X
a2 = 3 +
1
2
X
a2:
M°t kh¡c, º þ r¬ng do a; b; c 2 [0; 1] n¶n a2 + b2 + c2 a + b + c = 1, do vªy m
P 3 +
1
2
=
7
2
:
Cuèi còng vîi a = b = 0 v c = 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P =
7
2
n¶n ta k¸t luªn
7
2
l gi¡ trà lîn
nh§t cõa biºu thùc P.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.18 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a +
p
b + 4 p
c = 3. Chùng minh r¬ng
A =
p
1 + a4 + (a b)2 +
p
1 + b2 + (b c)2 +
p
1 + c + (c a)2 3
p
2
175](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-211-2048.jpg)
![r
2. Chùng minh 3
abc + abd + acd + bcd
4
4 p
abcd.
Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ ngay i·u ph£i chùng minh:
r
3
abc + abd + acd + bcd
4
q
3
4 p
a3b3c3d3 = 4 p
abcd:
3. Chùng minh
r
ab + ac + ad + bc + bd + cd
6
r
3
abc + abd + acd + bcd
4
.
B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
(abc + bcd + cda + dab)2
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)3
27
:
B§t ¯ng thùc n y mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£
sû a b c d. Vîi i·u ki»n â, ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ
(abc + bcd + cda + dab)2 (ab + bc + cd + da)(abc2 + bcd2 + cda2 + dab2)
= (ab + bc + cd + da)[ac(bc + da) + bd(ab + cd)]: ()
M°t kh¡c, tø a b c d ta suy ra ac bd v
bc + da (ab + cd) = (a c)(b d) 0;
hay bc + da ab + cd. Do vªy theo b§t ¯ng thùc Chebyshev, ta câ
ac(bc + da) + bd(ad + cd)
1
2
(ac + bd)(bc + da + ab + cd): ()
K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta ÷ñc
(abc + bcd + cda + dab)2
1
2
(ac + bd)(bc + da + ab + cd)2
=
1
4
:2(ac + bd)(bc + da + ab + cd)(bc + da + ab + cd):
¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ
(abc + bcd + cda + dab)2
1
4
2(ac + bd) + 2(ab + bc + cd + da)
3
3
=
2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)3
27
:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
8.20 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng
a
p
a2 + 3bc
+
b
p
b2 + 3ca
+
c
p
c2 + 3ab
9
4
Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, do b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, n¶n
177](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-213-2048.jpg)
![khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c = maxfa; b; cg.
p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
a
p
a2 + 3bc
+
b
p
b2 + 3ca
+
c
p
c2 + 3ab
(a + b + c)2
p
a2 + 3bc + b
a
p
b2 + 3ca + c
p
c2 + 3ab
:
M°t kh¡c công theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz th¼
p
a2 + 3bc + b
a
p
b2 + 3ca + c
p
c2 + 3ab =
p
a3 + 3abc +
p
a
p
b
p
b3 + 3abc +
p
c
p
c3 + 3abc
p
(a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 9abc);
do â ta suy ra
a
p
a2 + 3bc
+
b
p
b2 + 3ca
+
c
p
c2 + 3ab
(a + b + c)2
p
(a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 9abc)
:
Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
(a + b + c)3
a3 + b3 + c3 + 9abc
9
4
:
Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc
12[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] 5(a3 + b3 + c3) + 57abc:
º þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a3 + b3 + c3 3abc, do vªy
6(a3 + b3 + c3 + 9abc) 5(a3 + b3 + c3) + 57abc:
Do vªy ta ch¿ c¦n chùng minh
2[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] a3 + b3 + c3 + 9abc;
hay (3cab)(ab)2+(a+bc)(ca)(cb) 0. Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ n y óng do c = maxfa; b; cg
v do a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.21 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng
a
p
b
+
b
p
c
+
c
p
a
a + b + c
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
a
p
b
+
b
p
c
+
c
p
a
(a + b + c)2
p
b + b
a
p
c + c
p
a
:
Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
p
b + b
a
p
c + c
p
a a + b + c:
178](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-214-2048.jpg)
![B¼nh ph÷ìng hai v¸ v chó þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz:
p
b + b
(a
p
c + c
p
a)2 (ab + bc + ca)(a + b + c);
ta c¦n chùng minh
a + b + c ab + bc + ca:
Ti¸p töc b¼nh ph÷ìng hai v¸ v º þ tîi ¡nh gi¡ cì b£n (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), ta c¦n
ph£i kiºm tra ¡nh gi¡ sau
ab + bc + ca 3:
Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ tr¶n óng do ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = 3. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u
÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.22 Cho x; y l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n xy + x + y = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu
thùc
P =
3x
y + 1
+
3y
x + 1
+
xy
x + y
x2 y2
Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta suy ra x =
3 y
y + 1
. Th¸ v o P, khai triºn v rót gån, ta ÷ñc
P =
(y 3) y (y4 + 2y3 + 12y2 + 14y + 19)
4 (y + 1)2 (y2 + 3)
=
(y 3) y
(y 1)4 + 6 (y + 1) (y2 + 3)
4 (y + 1)2 (y2 + 3)
:
Tø â, ta sû döng ¡nh gi¡ hiºn nhi¶n (y 1)4 0 º câ
P
(y 3) y:6 (y + 1) (y2 + 3)
4 (y + 1)2 (y2 + 3)
=
3
2
y (y 3)
y + 1
:
¸n ¥y chó þ r¬ng
y (y 3)
y + 1
1 =
(y 1)2
y + 1
0;
do vªy ta suy ra P
3
2
.
Cuèi còng vîi x = 1 v y = 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P =
3
2
n¶n ta suy ra
3
2
l gi¡ trà lîn nh§t
cõa biºu thùc P.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.23 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong o¤n [0; 1]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc
P =
a
1 + bc
+
b
1 + ac
+
c
1 + ab
abc
Líi gi£i. Chó þ r¬ng tø gi£ thi¸t ta câ abc 0 v
a
1 + bc
a
1 + abc
2a
2 + abc
;
179](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-215-2048.jpg)
![do vªy ta suy ra
P
2(a + b + c)
2 + abc
:
¸n ¥y trø 2 v o méi v¸ º câ
P 2
2(a + b + c abc 2)
2 + abc
=
2[(1 a)(1 b) + (1 c)(1 ab)]
2 + abc
;
nh÷ng º þ r¬ng (1 a)(1 b) + (1 c)(1 ab) 0 do a; b; c 2 [0; 1]. Do vªy ta suy ra
P 2 0;
hay P 2.
Cuèi còng vîi a = b = 1 v c = 0 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 2 n¶n ta k¸t luªn 2 l gi¡ trà lîn
nh§t cõa biºu thùc P.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) (ab + bc + ca 1)2
Líi gi£i. º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau
(b2 + 1)(c2 + 1) (b + c)2 + (bc 1)2;
do vªy (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc 1)2]. ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc
Cauchy - Schwarz º câ
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) [a(b + c) + bc 1]2 = (ab + bc + ca 1)2:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
8.25 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng (0; 1]. Chùng minh r¬ng
1
1 + xy
+
1
1 + yz
+
1
1 + xz
5
x + y + z
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh
têng qu¡t, ta gi£ sû 0 z y x 1. Khi â:
1 + yz 1 + zx 1 + xy:
Do vªy ta câ ¡nh gi¡
1
1 + xy
+
1
1 + yz
+
1
1 + xz
x + y + z
1 + yz
:
M°t kh¡c º þ r¬ng
x + y + z
1 + yz
=
x 1 (y 1)(z 1) yz
1 + yz
+ 2;
180](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-216-2048.jpg)
![Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ
(
9
4
+
27
4
)(a + 3b) (
3
2
p
a +
9
2
p
b)2;
tø â suy ra
p
a + 3b
p
a + 3
p
b
2
. Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc
1
p
a + 3b
+
1
p
b + 3c
+
1
p
c + 3a
2
p
a + 3
p
b
+
2
p
a + 3
p
b
+
2
p
a + 3
p
b
: ()
L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ ¡nh gi¡
1
p
a
+
1
p
b
+
1
p
b
+
1
p
b
16
p
a + 3
p
b
;
hay
1
p
a
+
3
p
b
16
p
a + 3
p
b
. Cëng ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta suy ra
1
p
a
+
1
p
b
+
1
p
c
1
p
a + 3
p
b
+
1
p
b + 3
p
c
+
1
p
c + 3
p
a
: ()
K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v () cho ta
1
p
a + 3b
+
1
p
b + 3c
+
1
p
c + 3a
1
2
1
p
a
+
1
p
b
+
1
p
c
= 1:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
8.28 Cho x; y; z l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc
a; b; c thay êi tho£ m¢n 0 a b c, ta luæn câ
(ax + by + cz)(
x
a
+
y
b
+
z
c
)
(a + c)2
4ac
(x + y + z)2
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
4(ax + by + cz)(cx +
acy
b
+ az) [(a + c)(x + y + z)]2:
p döng ¡nh gi¡ cì b£n 4uv (u + v)2, ta câ
4(ax + by + cz)(cx +
acy
b
+ az) (ax + by + cz + cx +
acy
b
+ az)2:
Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
ax + by + cz + cx +
acy
b
+ az (a + c)(x + y + z):
Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc y(cb)(ba) 0. Tuy nhi¶n ¥y l ¡nh gi¡
óng do 0 a b c. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
182](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-218-2048.jpg)
![Cuèi còng vîi a = b = c =
1
2
(tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 25 n¶n ta k¸t luªn 25 l gi¡ trà nhä
nh§t cõa biºu thùc P.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.34 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng
(a b c)2
2a2 + (b + c)2 +
(b c a)2
2b2 + (c + a)2 +
(c a b)2
2c2 + (a + b)2
1
2
Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa a+b+c = 3.
Khi â b§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i th nh
(3 2a)2
3a2 6a + 9
+
(3 2b)2
3b2 6b + 9
+
(3 2c)2
3c2 6c + 9
1
2
Theo nguy¶n l½ Dirichlet, trong ba sè a; b; c luæn câ hai sè n¬m còng ph½a so vîi 1 tr¶n tröc sè.
Gi£ sû hai sè â l b v c. Th¸ th¼
(b 1)(c 1) 0;
tø â suy ra b2 + c2 1 + (b + c 1)2 = 1 + (2 a)2: ()
M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ
(3 2b)2
3b2 6b + 9
+
(3 2c)2
3c2 6c + 9
(6 2b 2c)2
3(b2 + c2 2b 2c + 6)
=
4a2
3(b2 + c2 + 2a)
()
K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta suy ra
(3 2b)2
3b2 6b + 9
+
(3 2c)2
3c2 6c + 9
4a2
3[1 + (2 a)2 + 2a]
=
4a2
3(a2 2a + 5)
Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
(3 2a)2
3a2 6a + 9
+
4a2
3(a2 2a + 5)
1
2
:
Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc ¡nh gi¡ óng sau:
(a 1)2(13a2 18a + 45) 0:
Ph²p chùng minh ho n t§t.2
Líi gi£i 2. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh:
X
a2 + (b + c)2 2a(b + c)
#
2a2 + (b + c)2 1
5
2
;
Xa(a + 2b + 2c)
2a2 + (b + c)2
5
2
:
187](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-223-2048.jpg)
![p
1 + b + c + b
a
p
1 + c + a + c
p
1 + a + b =
p
a + ab + ac +
p
a
p
b
p
b + bc + ba +
p
c
p
c + ca + cb
p
(a + b + c)[a + b + c + 2(ab + bc + ca)];
do vªy ta suy ra
p
1 + b + c + b
a
p
1 + a + b
p
1 + c + a + c
p
(a + b + c)[a + b + c + 2(ab + bc + ca)]
a + b + c
=
r
1 +
2(ab + bc + ca)
a + b + c
:
Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
ab + bc + ca a + b + c:
B¼nh ph÷ìng hai v¸ v º þ tîi ¡nh gi¡ cì b£n (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), ta ÷ñc
ab + bc + ca 3:
Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ tr¶n óng do ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = 3. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u
÷ñc chùng minh xong.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.36 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng
a3 + b3 + c3 a + b + c
Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
a3 + 1 + 1 3a:
Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü cho b v c v cëng l¤i, ta ÷ñc
a3 + b3 + c3 + 6 3(a + b + c):
M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a + b + c 3 3 p
abc = 3, do vªy
a3 + b3 + c3 + 6 a + b + c + 6:
Rót gån 6 ð hai v¸ ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
8.37 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 1. Chùng minh r¬ng
1
1 a2 +
1
1 b2 +
1
1 c2 +
1
1 bc
+
1
1 ca
+
1
1 ab
9
Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
a2
1 a2 +
b2
1 b2 +
c2
1 c2 +
bc
1 bc
+
ca
1 ca
+
ab
1 ab
3:
189](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-225-2048.jpg)
![3.9 B i 9.1 ¸n b i 9.40
9.1 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng [0; 1]. Chùng minh r¬ng
2(x3 + y3 + z3) (x2y + y2z + z2x) 3
Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, ta suy ra
(1 x2)(1 y) 0;
hay 1 + x2y x2 + y. Cëng ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta suy ra
3 + x2y + y2z + z2x x2 + y2 + z2 + x + y + z: ()
M°t kh¡c, công tø gi£ thi¸t ta câ
x(1 + 2x)(1 x) 0;
hay x2 + x 2x3. Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc
x2 + y2 + z2 + x + y + z 2(x3 + y3 + z3): ()
K¸t hñp () v (), ta suy ra
3 + x2y + y2z + z2x 2(x3 + y3 + z3);
tø â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
9.2 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong o¤n
1
2
. Chùng minh r¬ng
; 1
2
a + b
1 + c
+
b + c
1 + a
+
c + a
1 + b
3
Líi gi£i. °t x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. Khi â x; y; z 2
3
2
v ta c¦n chùng minh
; 2
2
x + y 2
z
+
y + z 2
x
+
z + x 2
y
3:
Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc ð v¸ tr¡i. Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc â nh÷ sau
(x + y + z 2)
1
x
+
1
y
+
1
z
5:
°t s = x + y + z, khi â theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc, ta câ
1
x
+
1
y
+
1
z
9
s
:
Nh÷ vªy, ta c¦n chùng minh
9(s 2)
s
5;
193](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-229-2048.jpg)
![Líi gi£i. Sû döng ¡nh gi¡ cì b£n (x + y)2 2(x2 + y2), ta ÷ñc
p
a + b c +
(
p
b + c a)2 2(a + b c + b + c a) = 4b;
tø â suy ra
p
a + b c +
p
b. Cëng b§t ¯ng thùc tr¶n vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü
p
b + c a 2
kh¡c, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.
B i to¡n k¸t thóc.2
9.4 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng [1; 2]. Chùng minh r¬ng
a3 + b3 + c3 5abc
Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t
t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2 a b c 1.
°t f(a; b; c) = a3 + b3 + c3 5abc. X²t hi»u sau
f(a; b; c) f(a; b; 1) = c3 5abc 1 + 5ab = (c 1)(1 + c + c2 5ab):
º þ r¬ng c 1 0 v
1 + c + c2 5ab 1 + c 4c2 = 4(c 1)2 3c + 1 0;
do vªy (c 1)(1 + c + c2 5ab) 0 hay f(a; b; c) f(a; b; 1).
Ti¸p töc x²t hi»u sau:
f(a; b; 1) f(a; 1; 1) = (b 1)(1 + b2 + b 5a);
v vîi chó þ (1+b2+b5a) 14b+b2 = (b1)(b2)b1 0, ta suy ra f(a; b; 1) f(a; 1; 1).
Nh÷ vªy
f(a; b; c) f(a; 1; 1) = a3 5a + 2 = (a 2)(a2 + 2a 1);
tø â ta suy ra f(a; b; c) 0, hay a3 + b3 + c3 5abc.
B i to¡n k¸t thóc.2
Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t
t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2 a b c 1. Khi â d¹ th§y
(b a)(b c) 0;
hay b2 b(a + c) ac. Tø ¥y ta suy ra
b3 b [b(a + c) ac] = b2(a + c) abc
[b(a + c) ac] (a + c) abc = b(a + c)2 ac(a + c) abc:
195](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-231-2048.jpg)
![Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng
a3 + c3 + b(a + c)2 ac(a + c) abc 5abc;
hay
(a c)2(a + c) + b(a + c)2 6abc:
L÷u þ r¬ng do a; b; c 2 [1; 2] n¶n a 2 2c b + c, tø â d¨n ¸n
0 a c b:
V nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc ¡nh gi¡ tr¶n v¼
(a c)2(a + c) + b(a + c)2 b(a c)(a + c) + b(a + c)2 = 2ab(a + c) 2ab(2c + c) = 6abc:
Chùng minh ho n t§t2
Líi gi£i 3. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
5:
B§t ¯ng thùc n y mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû
1 a b c 2. Khi â ta câ ¡nh gi¡
(a b)(b2 c2) 0;
tø ¥y suy ra b3 ab2 + bc2 c2a hay
b2
ca
b
c
+
c
a
c
b
:
M°t kh¡c ta công câ
a2
bc
a2
ca
=
a
c
;
v
c2
ab
2c
ab
2c
b
:
Tø c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta thu ÷ñc
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
b
c
+
c
b
+
a
c
+
c
a
V¼ b c 2 n¶n
2b
c
1 v
c
b
1
1
2
. Do vªy
2b
c
1
c
b
1
2
0;
hay
b
c
+
c
b
5
2
. Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ
a
c
+
c
a
5
2
. Tø hai ¡nh gi¡ n y, ta ÷ñc
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
b
c
+
c
b
+
a
c
+
c
a
5:
196](https://image.slidesharecdn.com/xuctu-141108204641-conversion-gate01/75/Xuctu-com-tuyen-tap-bat-dang-thuc-232-2048.jpg)
Xuctu.com tuyen-tap-bat-dang-thuc
- 3. Möc löc Líinâi ¦u 4 C¡c th nh vi¶n tham gia bi¶n so¤n 5 1 C¡c b§t ¯ng thùc kinh iºn 6 1.1 B§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n (AM-GM). . . . . . . . . 6 1.2 B§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh i·u ho (AM-HM). . . . . . . 6 1.3 B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 B§t ¯ng thùc Holder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 B§t ¯ng thùc Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 B§t ¯ng thùc Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 B§t ¯ng thùc Schur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 B§t ¯ng thùc Vornicu - Schur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 B§t ¯ng thùc Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.10 Ba ti¶u chu©n SOS th÷íng g°p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Mët sè ¡nh gi¡ quen thuëc 9 3 Tuyºn tªp b§t ¯ng thùc 10 3.1 B i 1.1 ¸n b i 1.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 B i 2.1 ¸n b i 2.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 B i 3.1 ¸n b i 3.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 B i 4.1 ¸n b i 4.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5 B i 5.1 ¸n b i 5.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.6 B i 6.1 ¸n b i 6.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7 B i 7.1 ¸n b i 7.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.8 B i 8.1 ¸n b i 8.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.9 B i 9.1 ¸n b i 9.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.10 B i 10.1 ¸n b i 10.40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3
- 4. Líi nâi ¦u Biºn v¨n m¢i nh§p nhæ vîi nhúng con sâng d¤t v o bí, thuy·n v¨n m¢i l¶nh ¶nh theo tøng con sâng i v o ¤i d÷ìng, v trong §t li·n cuëc sèng v¨n câ nhi·u b§t cªp cán ang x£y ra,: : : , t§t c£ nhúng i·u â ·u l c¡c b§t ¯ng thùc trong ph¤m trò °c thò cõa tøng l¾nh vüc. Trong to¡n håc công vªy nâi ¸n b§t ¯ng thùc l chóng ta nâi ¸n mët lîp b i to¡n khâ m ©n chùa b¶n trong câ nhi·u líi gi£i µp l¤ k¼ l m say m bi¸t bao nhi¶u ng÷íi. Trong thíi ¤i cæng ngh» thæng tin vîi vi»c k¸t nèi internet b¤n câ thº giao l÷u håc häi ÷ñc r§t nhi·u v· c¡c ph÷ìng ph¡p l m b i b§t ¯ng thùc, ho°c håc häi vîi nhi·u cuèn s¡ch v· b§t ¯ng thùc ang b y b¡n tr¶n thà tr÷íng nh÷ng º câ mët cuèn s¡ch b§t ¯ng thùc hay vîi sü hëi tö tinh hoa ki¸n thùc cõa nhi·u ng÷íi th¼ i·u â ch½nh l iºm m¤nh cõa cuèn s¡ch b§t ¯ng thùc m c¡c b¤n ang c¦m tr¶n tay. Tuyºn Tªp B§t ¯ng Thùc vîi kho£ng bèn tr«m b i to¡n b§t ¯ng thùc chån låc ÷ñc gûi tîi tø c¡c b¤n tr´, c¡c th¦y cæ gi¡o y¶u to¡n tr¶n måi mi·n cõa tê quèc, ð â bao gçm c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc mîi s¡ng t¤o, c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc khâ, c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc hay v thó và m c¡c b¤n tr´ muèn chia s´ vîi måi ng÷íi. i·u â t¤o n¶n sü h§p d¨n, t½nh cªp nhªt v thíi ¤i cõa cuèn s¡ch n y. B¤n åc h¢y nh¥m nhi vîi nhúng líi gi£i hay, nhúng þ t÷ðng ëc ¡o, nhúng s¡ng ki¸n l¤ k¼ trong c¡ch gi£i tøng b i to¡n º tø â rót kinh nghi»m håc tªp cho m¼nh, gióp cho b¤n th¶m y¶u, th¶m tin v o vi»c gi£i nhi·u b i to¡n b§t ¯ng thùc. Vîi tinh th¦n l m vi»c nghi¶m tóc, ham håc häi nhâm bi¶n tªp xin ÷ñc gûi líi c£m ìn s¥u sc tîi t§t c£ c¡c b¤n ¢ tham gia gûi b i v gi£i b i, çng thíi công xin b y tä sü c£m ìn v k½nh trång tîi th¦y gi¡o Ch¥u Ngåc Hòng - THPT Ninh H£i - Ninh Thuªn ¢ nhi»t t¼nh cè v¨n k¾ thuªt latex. Nhâm bi¶n tªp công xin gûi líi c£m ìn tîi ban qu£n trà di¹n n http://forum.mathscope.org/index.php ¢ cê vô, ëng vi¶n anh em trong qu¡ tr¼nh l m vi»c º ng y hæm nay chóng ta câ mët cuèn s¡ch hay, câ gi¡ trà cao v· ki¸n thùc chuy¶n mæn m l¤i ho n to n mi¹n ph½ v· t i ch½nh. TUYšN TŠP B‡T NG THÙC ch½nh thùc ÷ñc ph¡t h nh tr¶n cëng çng m¤ng nhúng ng÷íi y¶u to¡n, º tø â thêi mët luçng giâ mîi em l¤i nhi·u i·u mîi l¤ cho håc sinh, l t i li»u tham kh£o húu ½ch cho gi¡o vi¶n trong vi»c gi£ng d¤y v håc tªp b§t ¯ng thùc. Do thíi gian g§p rót v tr¼nh ë câ h¤n, dò r§t cè gng song nhúng sai sât l khâ tr¡nh khäi r§t mong nhªn ÷ñc sü thæng c£m, chia s´, gâp þ cõa c¡c b¤n º nhâm bi¶n tªp ho n thi»n cuèn s¡ch tèt hìn. Måi þ ki¸n âng gâp xin gûi v· àa ch¿ hoangquan9@gmail. Thay m°t nhâm bi¶n so¤n, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nëi, ng y 10 th¡ng 8 n«m 2011 ¤i di»n nhâm bi¶n so¤n Chõ bi¶n Ho ng Minh Qu¥n-Batigoal 4
- 5. C¡c th nh vi¶ntham gia bi¶n so¤n Nëi dung Ho ng Minh Qu¥n - THPT Ngåc T£o - H Nëi. T«ng H£i Tu¥n - THPT Nguy¹n ùc C£nh - TP. Th¡i B¼nh. L¶ ùc C£nh - THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong-Nam ành. o Th¡i Hi»p - PTNK - HQG HCM. Ph¤m Tu§n Huy - PTNK - HQG HCM. Ph¤m Quang H÷ng - THPT Cao B¡ Qu¡t - H Nëi. Ph¤m Ti¸n Kha - THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong - TP. HCM. Nguy¹n V«n Kh¡nh - THPT Chuy¶n Bc Ninh - TP. Bc Ninh. Nguy¹n Thà Nguy¶n Khoa - THCS Nguy¹n Tri Ph÷ìng - TP. Hu¸. M¤c ùc Tr½ - H£i D÷ìng. LATEX Hé trñ k¾ thuªt Latex 1. Ch¥u Ngåc Hòng - THPT Ninh H£i -Ninh Thuªn. 2. C¡c th nh vi¶n trong nhâm bi¶n so¤n. Tr¼nh b y b¼a Ho ng Minh Qu¥n - THPT Ngåc T£o - H Nëi. 5
- 6. 1 C¡c b§t¯ng thùc kinh iºn 1.1 B§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n (AM-GM). N¸u a1; a2; : : : ; an l c¡c sè thüc khæng ¥m, th¼ a1 + a2 + : : : + an n n p a1a2 : : : an: ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = : : : = an. 1.2 B§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh i·u ho (AM-HM). N¸u a1; a2; : : : ; an l c¡c sè thüc d÷ìng, th¼ a1 + a2 + : : : + an n n 1 a1 + 1 a2 + : : : + 1 an : ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = : : : = an. Thüc ch§t ¥y l mët h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz. Hai tr÷íng hñp th÷íng ÷ñc sû döng nh§t cõa b§t ¯ng thùc n y l khi n = 3 hay n = 4. Vîi n = 3, ta câ a + b + c 3 3 1 a + 1 b + 1 c ; 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c : Vîi n = 4, ta câ a + b + c + d 4 4 1 a + 1 b + 1 c + 1 d ; 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 16 a + b + c + d : 1.3 B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz. D¤ng sì c§p cõa nâ ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: N¸u a1; a2; : : : ; an v b1; b2; : : : ; bn l c¡c sè thüc tuý þ, th¼ (a1b1 + a2b2 + : : : + anbn)2 (a21 + a22 + : : : + a2 n)(b1 + b2 + : : : + b2 n): ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 b1 = a2 b2 = : : : = an bn , trong â ta sû döng quy ÷îc: n¸u m¨u b¬ng 0 th¼ tû công b¬ng 0. Trong ¡nh gi¡ tr¶n, chån ai = xi p yi ,bi = p yi vîi xi; yi 2 R; yi 0, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz d¤ng ph¥n thùc: N¸u x1; x2; : : : ; xn l c¡c sè thüc v y1; y2; : : : ; yn, l c¡c sè thüc d÷ìng, th¼ x21 y1 + x22 y2 + : : : + x2 n yn (x1 + x2 + : : : + xn)2 y1 + y2 + : : : + yn : ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x1 y1 = x2 y2 = : : : = xn yn . 6
- 7. 1.4 B§t ¯ngthùc Holder. Cho xij (i = 1; 2; : : : ;m; j = 1; 2; : : : ; n) l c¡c sè thüc khæng ¥m. Khi â ta câ Ym i=1 Xn j=1 xij ! 1 m Xn j=1 Ym i=1 x 1 m ij ! : Têng qu¡t hìn, n¸u p1; p2; : : : ; pn l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n p1 + p2 + : : : + pn = 1, th¼ Ym i=1 Xn j=1 xij !pi Xn j=1 Ym i=1 xpi ij ! : 1.5 B§t ¯ng thùc Chebyshev. Cho hai d¢y sè thüc a1 a2 : : : an v b1; b2; : : : ; bn. Khi â 1. N¸u b1 b2 : : : bn th¼ n Xn i=1 aibi Xn i=1 ai ! Xn i=1 bi ! ; 2. N¸u b1 b2 : : : bn th¼ n Xn i=1 aibi Xn i=1 ai ! Xn i=1 bi ! . 1.6 B§t ¯ng thùc Minkowski. Cho hai d¢y sè d÷ìng a1; a2; : : : ; an v b1; b2; : : : ; bn. Vîi måi r 1, ta câ Xn i=1 (ai + bi)r #1 r Xn i=1 ari !1 r + Xn i=1 bri !1 r : vuut Tr÷íng hñp r = 2 l tr÷íng hñp th÷íng ÷ñc sû döng nh§t cõa b§t ¯ng thùc Minkowski. Khi â ta câ Xn i=1 (ai + bi)2 vuut Xn i=1 a2i + vuut Xn i=1 b2i : 1.7 B§t ¯ng thùc Schur. Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c. Khi â vîi måi sè thüc d÷ìng r, ta câ ar(a b)(a c) + br(b a)(b c) + cr(c a)(c b) 0: ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c, ho°c a = 0 v b = c, ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. Hai tr÷íng hñp th÷íng ÷ñc sû döng nh§t cõa b§t ¯ng thùc Schur l r = 1 v r = 2. Vîi r = 1, ta câ b§t ¯ng thùc Schur bªc ba a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a); (a + b + c)3 + 9abc 4(a + b + c)(ab + bc + ca); (b c)2(b + c a) + (c a)2(c + a b) + (a b)2(a + b c) 0; 7
- 8. a2 + b2+ c2 + 9abc a + b + c 2(ab + bc + ca); a b + c + b c + a + c a + b + 4abc (a + b)(b + c)(c + a) 2: Vîi r = 2, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc Schur bªc bèn a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2): 1.8 B§t ¯ng thùc Vornicu - Schur. Vîi måi sè thüc a; b; c v x; y; z 0, b§t ¯ng thùc x(a b)(a b) + y(b c)(b a) + z(c a)(c b) 0 óng n¸u mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñc tho£ m¢n 1. a b c v x y; 2. a b c v z y; 3. a b c v x + z y; 4. a b c 0 v ax by; 5. a b c 0 v cz by; 6. a b c 0 v ax + cz by; 7. x; y; z l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c; 8. x; y; z l b¼nh ph÷ìng ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c; 9. ax; by; cz l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c; 10. ax; by; cz l b¼nh ph÷ìng ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c; 11. Tçn t¤i mët h m lçi t : I ! R+, trong â I l tªp x¡c ành cõa a; b; c, sao cho x = t(a); y = t(b); z = t(c). 1.9 B§t ¯ng thùc Bernoulli. N¸u 1 ho°c 0 th¼ (1 + x) 1 + x; 8x 1. N¸u 0 1 th¼ (1 + x) 1 + x; 8x 1. 8
- 9. 1.10 Ba ti¶uchu©n SOS th÷íng g°p. Gi£ sû a b c v câ: Sa(b c)2 + Sb(c a)2 + Sc(a b)2 0(Sa; Sb; Sc l c¡c h m chùa bi¸n a; b; c). Khi â b§t ¯ng thùc óng n¸u thäa m¢n mët trong c¡c ti¶u chu©n. 1.Sb 0; Sb + Sc 0; Sb + Sa 0. 2.Vîi a; b; c 0 thäa m¢n Sb 0; Sc 0; a2Sb + b2Sa 0. 3.Sb 0; Sc 0; Sa(b c) + Sb(a c) 0 2 Mët sè ¡nh gi¡ quen thuëc 1 Vîi måi sè thüc a; b, ta luæn câ 2(a2 + b2) (a + b)2 Chùng minh. º þ r¬ng 2(a2 + b2) (a + b)2 = (a b)2 0; do â ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b. 2 2 Vîi måi sè thüc a; b; c, ta luæn câ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Chùng minh. º þ r¬ng a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) = 1 2 [(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 0; do vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2 L÷u þ. Tø ¡nh gi¡ n y ta suy ra (a + b + c)2 3(ab + bc + ca); v 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2: 3 Vîi måi sè thüc d÷ìng a; b; c, ta luæn câ 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c Chùng minh. ¥y l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc · cªp ð tr¶n. Líi gi£i câ thº sû döng b§t ¯ng thùc AM-HM ho°c Cauchy - Schwarz. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2 9
- 10. 3 Tuyºn tªpb§t ¯ng thùc 3.1 B i 1.1 ¸n b i 1.40 1.1 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng: 8x + 8y + 8z 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Líi gi£i. °t a = 2x; b = 2y; c = 2z. Khi â i·u ki»n ¢ cho ÷ñc vi¸t l¤i th nh a; b; c 0; abc = 2x+y+z = 64; v ta c¦n chùng minh a3 + b3 + c3 4(a2 + b2 + c2): º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc a3 + 32 6a2 = (a 4)2(a + 2); tø â sû döng gi£ thi¸t a 0 ta suy ra a3 + 32 6a2. Thi¸t lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü cho b v c v cëng v¸ theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc thu ÷ñc, ta câ a3 + b3 + c3 + 96 6(a2 + b2 + c2): Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng 6(a2 + b2 + c2) 4(a2 + b2 + c2) + 96; hay 2(a2 + b2 + c2) 96. Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc n y óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM cho ba sè: 2(a2 + b2 + c2) 2:3 3 p a2b2c2 = 6 3 p 4096 = 96: Nh÷ vªy ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 1.2 Cho a; b; c l c¡c sè thüc tho£ m¢n a 4; b 5; c 6 v a2 + b2 + c2 = 90. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = a + b + c Líi gi£i. °t a = m+ 4; b = n + 5; c = p + 6, khi â m; n; p 0 v tø gi£ thi¸t a2 + b2 + c2 = 90 ta suy ra m2 + n2 + p2 + 8m + 10n + 12p = 13: º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau (m+ n + p)2 + 12(m+ n + p) = (m2 + n2 + p2 + 8m+ 10n + 12p) + 2(mn + np + pm + 2m+ n): ¸n ¥y ta sû döng c¡c gi£ thi¸t ¢ cho º câ (m + n + p)2 + 12(m + n + p) 13; tø â ta suy ra m+ n + p 1. Thay m = a 4; n = b 5; p = c 6 ta suy ra a + b + c 10 hay P 16. 10
- 11. Cuçi còng, vîia = 4; b = 5; c = 7 (tho£ m¢n c¡c i·u ki»n ¢ cho) ta câ P = 16 n¶n ta k¸t luªn 16 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. Ph²p chùng minh ho n t§t. 2 1.3 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n xy + yz + 3zx = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = x2 + y2 + z2 Líi gi£i. °t a = p 17 4 9 + 3 v b = 3 + p 17 4 , khi â a = 3b v a+1 = 2b2 = c = p 17 4 13 + 3 . p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta thu ÷ñc c¡c b§t ¯ng thùc sau x2 + b2y2 2bxy; by2 + z2 2byz; a(z2 + x2) 2azx: ¸n ¥y ta cëng v¸ theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc thu ÷ñc º câ (a + 1)(x2 + z2) + 2b2y2 2b(xy + yz) + 2azx; hay c(x2 + y2 + z2) 2b(xy + yz + 3zx). Tø â ta thay c¡c gi¡ trà cõa xy + yz + 3zx, b v c º ÷ñc P = x2 + y2 + z2 p 17 3 2 : Cuèi còng, vîi x = z = 1 4 p 17 v y = r p 17 51 13 34 (tho£ m¢n gi£ thi¸t) th¼ P = p 17 3 2 n¶n ta k¸t luªn p 17 3 2 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.4 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: a7 + b7 a5 + b5 + b7 + c7 b5 + c5 + c7 + a7 c5 + a5 1 3 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta câ ¯ng thùc sau 2(a7 + b7) (a2 + b2)(a5 + b5) = (a b)2(a + b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4); do vªy tø gi£ thi¸t a; b 0 ta suy ra a7 + b7 a5 + b5 a2 + b2 2 : Ho n to n t÷ìng tü ta công câ b7 + c7 b5 + c5 b2 + c2 2 v c7 + a7 c5 + a5 c2 + a2 2 . ¸n ¥y ta cëng v¸ theo v¸ ba b§t ¯ng thùc thu ÷ñc º câ a7 + b7 a5 + b5 + b7 + c7 b5 + c5 + c7 + a7 c5 + a5 a2 + b2 + c2: 11
- 12. Nh÷ vªy ºk¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng a2 + b2 + c2 1 3 : Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc tr¶n óng do a2 + b2 + c2 1 3 = a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 3 = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 3 0: Nh÷ vªy ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 1.5 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: b2c a3(b + c) + c2a b3(c + a) + a2b c3(a + b) 1 2 (a + b + c) Líi gi£i. Ta ¡p döng AM-GM cho ba sè nh÷ sau: b2c a3(b + c) + b + c 4bc + 1 2b s 3 3 b2c a3(b + c) : (b + c) 4bc : 1 2b = 3 2a ; tø â ta suy ra b2c a3(b + c) 3 2a 3 4b 1 4c : Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra b2c a3(b + c) + c2a b3(c + a) + a2b c3(a + b) 3 2 3 4 1 4 (a + b + c) = 1 2 (a + b + c): Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.6 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m. Chùng minh r¬ng: p 3(a b)(b c)(c a) (a + b + c)3 6 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a = max fa; b; cg. Vîi a b c th¼ v¸ ph£i l biºu thùc khæng d÷ìng, trong khi v¸ tr¡i l biºu thùc khæng ¥m n¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh hiºn nhi¶n óng. Do vªy ta x²t tr÷íng hñp a c b. Khi â b¼nh ph÷ìng hai v¸ ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng sau: (a + b + c)6 108[(a b)(b c)(c a)]2: º þ r¬ng c¡c bi¸n khæng ¥m, v vîi vi»c sp thù tü nh÷ tr¶n th¼ [(a b)(b c)(c a)]2 = [(a b)(c b)(a c)]2 (a c)2a2c2: ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ 4(a c)2a2c2 = (a c)2:2ac:2ac [(a c)2 + 2ac + 2ac]3 27 = (a + c)6 27 ; tø â ta suy ra [(a b)(b c)(c a)]2 (a + c)6 108 ; 12
- 13. v nh÷ vªyta ¢ chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc ban ¦u v¼ (a + b + c)6 (a + c)6 108[(a b)(b c)(c a)]2: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.7 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng: 2(a + b + c) p a2 + 3 + p b2 + 3 + p c2 + 3 Líi gi£i. D¹ th§y b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau (2a p a2 + 3) + (2b p b2 + 3) + (2c p c2 + 3) 0; a2 1 2a + p a2 + 3 + b2 1 2b + p b2 + 3 + c2 1 2c + p c2 + 3 0; a2 1 a 2 + r 1 + 3 a2 + b2 1 b 2 + r 1 + 3 b2 + c2 1 c 2 + r 1 + 3 c2 0: C¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ·u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t ta ho n to n câ thº gi£ sû a b c. Khi â khæng khâ º ta suy ra a2 1 a b2 1 b c2 1 c v 1 2 + q 1 + 3 a2 1 2 + q 1 + 3 b2 1 2 + q 1 + 3 b2 : Nh÷ vªy theo b§t ¯ng thùc Chebyshev ta ÷ñc a2 1 a 2 + q 1 + 3 a2 + b2 1 b 2 + r 1 + 3 b2 + c21 c 2 + r 1 + 3 c2 1 3 Xa2 1 a 0 BB@ X 1 2 + r 1 + 3 a2 1 CCA Nh÷ng theo gi£ thi¸t ta l¤i câ Xa2 1 a = (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c = 0 n¶n ta suy ra a2 1 a 2 + q 1 + 3 a2 + b2 1 b 2 + r 1 + 3 b2 + c2 1 c 2 + r 1 + 3 c2 0, v v¼ vªy b§t ¯ng thùc ¢ cho công óng. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: ab p c2 + 3 + bc p a2 + 3 + ca p b2 + 3 3 2 13
- 14. Líi gi£i. Tr÷îch¸t º þ r¬ng ab + bc + ca (a + b + c)2 3 = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 6 0; do â tø gi£ thi¸t ta suy ra ab + bc + ca 3. Nh÷ vªy ab p c2 + 3 ab p c2 + ab + bc + ca = ab p (c + a)(b + c) : ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ ab p c2 + 3 1 2 ab c + a + ab b + c : Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra d¢y c¡c ¡nh gi¡ sau ab p c2 + 3 + bc p a2 + 3 + ca p b2 + 3 1 2 ab c + a + bc c + a + bc a + b + ca a + b + ca b + c + ab b + c ; ab p c2 + 3 + bc p a2 + 3 + ca p b2 + 3 a + b + c 2 ; tø â vîi l÷u þ a + b + c = 3 ta suy ra b§t ¯ng thùc ¢ cho l óng. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.9 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: b + c a + c + a b + a + b c 2 4(ab + bc + ca) 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 Líi gi£i 1. D¹ th§y r¬ng b§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)]2 4(a + b + c)(a2b2 + b2c2 + c2a2) X a2b2(a + b)2 + 2abc[ X a(a + b)(a + c)] 4 nX a3b3 + abc[ X o ab(a + b)] Tuy nhi¶n º þ r¬ng X X a2b2(a + b)2 4( a3b3) = X a2b2(a b)2 0 v 2abc[ X a(a + b)(a + c)] 4 n abc[ X o = 2abc[a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b)] X ab(a + b)] 0; do â b§t ¯ng thùc ban ¦u l óng. Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b = max fa; b; cg. Ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau b + c a + c + a b + a + b c 2 = a b + b a + a c + b c + c b + c a 2 4 a b + b a + a c b c + c b + c a : 14
- 15. Nh÷ vªy ºk¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng a b + b a + a c b c + c b + c a (ab + bc + ca) 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 : Tuy nhi¶n b¬ng ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta ÷ñc (b a)(b c) ca 0; l mët ¡nh gi¡ óng do ta ¢ gi£ sû b = max fa; b; cg. Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 Líi gi£i 3. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b n¬m giúa a v c. Ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau: 4(ab + bc + ca) 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ab + bc + ca ca + ca 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 2 : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng b + c a + c + a b + a + b c ab + bc + ca ca + ca 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 : Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta ÷ñc b§t ¯ng thùc (a b)(b c) b2 0; tuy nhi¶n ¥y l¤i l mët ¡nh gi¡ óng do ta ¢ gi£ sû b n¬m giúa a v c. Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 Nhªn x²t. Líi gi£i ¦u ti¶n khæng mang nhi·u þ ngh¾a lm, v¼ nâ ìn thu¦n ch¿ l bi¸n êi t÷ìng ÷ìng k±m theo mët chót tinh þ trong sû döng c¡c ¡nh gi¡ quen thuëc v cì b£n. Ð ¥y ta b n th¶m v· hai líi gi£i b¬ng AM-GM. Ta nh ªn th§y r¬ng ph¡t biºu cõa b i to¡n câ d¤ng Chùng minh r¬ng A2 4BC (ð ¥y b + c A = a + c + a b + a + b c 2 , B = ab + bc + ca v C = 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 . Nhªn x²t n y kh¡ °c bi»t, nâ gióp ta li¶n t÷ðng ¸n mët ¡nh gi¡ quen thuëc sau b¬ng AM-GM: (x + y)2 4xy 8x; y 0: Do vªy, mët c¡ch tü nhi¶n ta ngh¾ ra hai h÷îng º gi£i quy¸t b i to¡n tr¶n b¬ng AM-GM: 1. Biºu di¹n A = X +Y , vîi X v Y l hai ¤i l÷ñng th½ch hñp, sau â ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ A2 4XY , tø â i chùng minh XY BC; ho°c 15
- 16. 2. Biºu di¹nBC = B D :CD, vîi D l mët ¤i l÷ñng th½ch hñp, sau â ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ 4BC B D + CD 2 , tø â i chùng minh A B D + CD. Ð ¥y ta hiºu cöm tø th½ch hñp l nh÷ th¸ n o? L÷u þ r¬ng mët trong nhúng i·u c¦n º þ trong måi chùng minh b§t ¯ng thùc l c¦n ph£i ìn gi£n ho¡ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Ta câ thº t¼m c¡ch gi£m bªc, chu©n ho¡ i·u ki»n, : : :, nh÷ng tüu chung l¤i, ta luæn muèn b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð n¶n ìn gi£n nh§t câ thº, º tø â ¡p döng nhµ nh ng c¡c ¡nh gi¡ quen thuëc ho°c bi¸n êi t÷ìng ÷ìng. Ð ¥y ta t¼m c¡ch thu gån ¡nh gi¡ sau còng theo kiºu tri»t ti¶u mët l÷ñng ¡ng kº c¡c ph¦n tû chung, tùc l ð ¡nh gi¡ XY BC ho°c A B D + CD, c¡c ¤i l÷ñng X; Y;D ÷ñc chån sao cho ð hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc câ nhi·u ph¦n tû chung º ta rót gån. Cö thº: H÷îng 1. Tr÷îc ti¶n ta vi¸t l¤i A v khai triºn t½ch BC nh÷ sau: A = b a + c a + c b + a b + a c + b c = X + Y; BC = a c + c b + b a + a b + b c + c a + ca b2 + ab c2 + bc a2 : º þ r¬ng trong BC câ ph¦n tû ca b2 , n¶n ta c¦n câ a b v c b ð X v Y t÷ìng ùng: X = a b + : : : ; Y = c b + : : : M°t kh¡c, trong BC câ ph¦n tû a b , m ð Y ¢ câ c b n¶n ta c¦n ph¦n tû a c ð trong X: X = a b + a c + : : : ; Y = c b + : : : Ti¸p töc, trong BC câ ph¦n tû ab c2 , n¶n ta c¦n câ a c v b c ð X v Y t÷ìng ùng: X = a b + a c + : : : ; Y = c b + b c + : : : Ti¸p töc nh÷ vªy ta s³ t¼m ÷ñc hai ¤i l÷ñng X; Y ch¯ng h¤n nh÷ sau: X = a b + b a + a c ; Y = b c + c b + c a ; v ta câ ÷ñc líi gi£i thù hai. C¦n l÷u þ r¬ng ¥y khæng ph£i l c¡ch chån duy nh§t. H÷îng 2. X²t hi»u sau A B D CD = b + c a + c + a b + a + b c ab + bc + ca D D 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 : º þ r¬ng trong hi»u tr¶n th¼ h» sè cõa bi¸n b b¬ng 1 c + 1 a c + a D ; nh÷ vªy º t¼m c¡ch thu gån b§t ¯ng thùc, t¤i sao ta khæng cho h» sè cõa bi¸n b b¬ng khæng? Cö thº, n¸u chån D = ca th¼ 16
- 17. A B D CD = b + c a + c + a b + a + b c ab + bc + ca ca ca 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = (a b)(b c) b2 ; v nh÷ vªy ta ¢ câ líi gi£i thù ba. 1.10 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = ab + bc + ca + 5 2 p ab + (b + c) [(a + b) p bc + (c + a) p ca] Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau: 2(a + b)2 + 2ab = (a + b)2 2 + (a + b)2 2 + (a + b)2 2 + (a + b)2 2 r + 2ab 5 5 ab(a + b)8 8 v (a + b)3 (2 p ab)3 = 8( p ab)3; tø â k¸t hñp hai b§t ¯ng thùc n y º câ 2(a + b)2 + 2ab 5(a + b) p ab: Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta suy ra p ab + (b + c) 5[(a + b) p bc + (c + a) p ca] 4(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) ¸n ¥y ta cëng th¶m 2(ab + bc + ca) v o méi v¸ º câ p ab + (b + c) 2(ab + bc + ca) + 5[(a + b) p bc + (c + a) p ca] 4(a + b + c)2; tø â ta suy ra P 2(a + b + c)2 = 2. Cuèi còng, vîi a = b = c = 1 3 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 2 n¶n ta suy ra 2 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.11 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 1 a + 1 b + 1 c 16(a+b+c). Chùng minh r¬ng: 1 (a + b + 2 p a + c)3 + 1 (b + c + 2 p b + a)3 + 1 (c + a + 2 p c + b)3 8 9 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau: a + b + r a + c 2 + r a + c 2 r 3 3 (a + b)(a + c) 2 ; tø â ta suy ra 1 (a + b + 2 p a + c)3 2 27(a + b)(a + c) : 17
- 18. Cëng v¸ theov¸ b§t ¯ng thùc n y vîi hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü cho ta 1 (a + b + 2 p a + c)3 + 1 (b + c + 2 p b + a)3 + 1 (c + a + 2 p c + b)3 4(a + b + c) 27(a + b)(b + c)(c + a) : Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc, ta l¤i câ (a + b)(b + c)(c + a) 8 9 (a + b + c)(ab + bc + ca); do vªy 1 (a + b + 2 p a + c)3 + 1 (b + c + 2 p b + a)3 + 1 (c + a + 2 p c + b)3 1 6(ab + bc + ca) :() ¸n ¥y ta sû döng gi£ thi¸t v ¡nh gi¡ cì b£n (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) º câ 16(a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c 3(a + b + c) ab + bc + ca ; tø â suy ra ab + bc + ca 3 16 . K¸t hñp vîi () ta suy ra 1 (a + b + 2 p a + c)3 + 1 (b + c + 2 p b + a)3 + 1 (c + a + 2 p c + b)3 8 9 : Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 Nhªn x²t. 1. Câ thº th§y ¡nh gi¡ ban ¦u a+b+ r a + c 2 + r a + c 2 r 3 3 (a + b)(a + c) 2 ch½nh l iºm m§u chèt º gi£i quy¸t b i to¡n. Thüc ra ¡nh gi¡ n y khæng khâ ngh¾ tîi v¼ · b i ¢ ng¦m gñi þ cho chóng ta ph£i ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho ba sè. 2. Sau khi ¡nh gi¡ b¬ng AM-GM, ta câ thº sû döng luæn gi£ thi¸t º ÷a v· b§t ¯ng thùc thu¦n nh§t sau: (a + b + c) (a + b)(b + c)(c + a) 3(ab + bc + ca) 8abc(a + b + c) : B§t ¯ng thùc n y câ thº ÷ñc chùng minh b¬ng nhi·u c¡ch kh¡c nhau. 1.12 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng: 5(a + b + c) 7 + 8abc Líi gi£i. Tr÷îc h¸t tø gi£ thi¸t ta câ a + b + c = 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c ; tø â suy ra a + b + c = 3. Công tø gi£ thi¸t ta câ ab+bc+ca = abc(a+b+c), tø ¥y ta suy ra b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh 5(a + b + c)2 7(a + b + c) + 8(ab + bc + ca): 18
- 19. º þ r¬ngta câ ¡nh gi¡ cì b£n sau: (a + b + c)2 3(ab + bc + ca); do vªy º câ k¸t luªn cho b i to¡n ta c¦n ch¿ ra r¬ng 5(a + b + c)2 7(a + b + c) + 8(a + b + c)2 3 ; hay a + b + c 3, l mët ¡nh gi¡ óng do ta ¢ chùng minh ð tr¶n. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 1.13 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 1 a + 1 b + 1 c 16(a+b+c). Chùng minh r¬ng: 1 2 + a2 + 1 2 + b2 + 1 2 + c2 1 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a2 2 + a2 + b2 2 + b2 + c2 2 + c2 1: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a2 2 + a2 + b2 2 + b2 + c2 2 + c2 (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 6 : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 6 1: Thüc hi»n ph²p khai triºn t÷ìng ÷ìng ta ÷ñc ab + bc + ca 3. Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc n y óng nhí v o gi£ thi¸t cõa b i to¡n. L÷u þ r¬ng tø gi£ thi¸t ta câ ab + bc + ca = abc(a + b + c); v theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc th¼ abc(a + b + c) (ab + bc + ca)2 3 , tø â ta suy ra ab + bc + ca (ab + bc + ca)2 3 ; hay ab + bc + ca 3. Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 1.14 Cho a; b; c; d l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a+b+c+d = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = 1 a2 + b2 + c2 + d2 + 1 abc + 1 bcd + 1 cda + 1 dab Líi gi£i. K½ hi»u X l têng ho¡n và. Tr÷îc h¸t ta sû döng AM-GM v gi£ thi¸t º câ c¡c ¡nh gi¡ sau: abcd a + b + c + d 4 4 = 1 256 ; ab + ac + ad + bc + bd + cd 3(a + b + c + d)2 8 = 3 8 : K¸t hñp c¡c ¡nh gi¡ n y vîi b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta suy ra ÷ñc c¡c b§t ¯ng thùc sau: 19
- 20. 1. 1 a2+ b2 + c2 + d2 + X 1 4ab 72 a2 + b2 + c2 + d2 + X 4ab = 49 (a + b + c + d)2 + 2 X ab 49 1 + 2: 3 8 = 28; 2. 7 X 1 4ab 7:62 X 4ab 7:36 4: 3 8 = 168: M°t kh¡c ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho bèn sè ta l¤i câ X a bcd r 4 1 4abcd vuut 4 1 1 256 = 64: K¸t hñp ba b§t ¯ng thùc vøa chùng minh ð tr¶n, ta suy ra 1 a2 + b2 + c2 + d2 + 2 X 1 ab + X a bcd 28 + 168 + 64 = 260: Hìn núa, sû döng gi£ thi¸t a + b + c + d = 1 ta suy ra P = 1 a2 + b2 + c2 + d2 + (a + b + c + d) 1 abc + 1 bcd + 1 cda + 1 dab = 1 a2 + b2 + c2 + d2 + 2 X 1 ab + X a bcd : Do vªy P 260. Cuèi còng, vîi a = b = c = d = 1 4 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 260 n¶n ta suy ra 260 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.15 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng: 18 1 x3 + 1 + 1 y3 + 1 + 1 z3 + 1 (x + y + z)3 Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, d¹ th§y b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: 18 3 x3 x3 + 1 y3 y3 + 1 z3 z3 + 1 (x + y + z)3; 18 x2 x2 + yz + y2 y2 + zx + z2 z2 + xy + (x + y + z)3 54: () p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ x2 x2 + yz + y2 y2 + zx + z2 z2 + xy (x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx : 20
- 21. Nh÷ vªy n¸uk½ hi»u V T() l v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc () th¼ ta câ V T() 18(x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + (x + y + z)3: ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ s V T() 2 18(x + y + z)5 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (x + y + z)5 81 2 (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx): Tr÷îc h¸t ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau: (x+y+z)6 = [(x2+y2+z2)+(xy+yz +zx)+(xy+yz +zx)]3 27(x2+y2+z2)(xy+yz +zx)2: Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc ta câ (xy + yz + zx)2 3xyz(x + y + z), do â (x + y + z)6 81xyz(x2 + y2 + z2)(x + y + z); hay (x + y + z)5 81(x2 + y2 + z2) do xyz = 1. Nh÷ vªy ta c¦n ch¿ ra r¬ng 2(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx: Tuy nhi¶n b¬ng ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc 1 2 [(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 0; l mët b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ¢ ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.16 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a4 + b4 + c4 = 3. Chùng minh r¬ng: a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 3 2 Líi gi£i. Ta s³ i chùng minh a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 3 2 r a4 + b4 + c4 4 3 ; tø â sû döng gi£ thi¸t º suy ra k¸t luªn cho b i to¡n. Thªt vªy, ¡p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 2 [a2(b + c)2 + b2(c + a)2 + c2(a + b)2] (a2 + b2 + c2)3: Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc, ta câ 2(a2 + b2) (a + b)2; 21
- 22. tø ¥y tathi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü º câ a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 2 [2a2(b2 + c2) + 2b2(c2 + a2) + 2c2(a2 + b2)] (a2 + b2 + c2)3; hay a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 1 2 s (a2 + b2 + c2)3 a2b2 + b2c2 + c2a2 : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh ta c¦n ch¿ ra r¬ng s (a2 + b2 + c2)3 a2b2 + b2c2 + c2a2 r a4 + b4 + c4 3 4 3 : Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc (a2 + b2 + c2)6 27(a4 + b4 + c4)(a2b2 + b2c2 + c2a2)2: Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc tr¶n óng n¸u ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM nh÷ sau: (a2 + b2 + c2)6 = [(a4 + b4 + c4) + (a2b2 + b2c2 + c2a2) + (a2b2 + b2c2 + c2a2)]3 27(a4 + b4 + c4)(a2b2 + b2c2 + c2a2)2 Ph²p chùng minh ¸n ¥y ho n t§t.2 1.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: a a + b + 1 + b b + c + 1 + c c + a + 1 1 Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, ta th§y r¬ng c¡c b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh a 4 c + b 4 a + c 4 b 1; a(4 a)(4 b) + b(4 b)(4 c) + c(4 c)(4 a) (4 a)(4 b)(4 c); a2b + b2c + c2a + abc 4: B§t ¯ng thùc tr¶n mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c n¬m giúa a v b. Khi â a(a c)(b c) 0: Thüc hi»n ph²p khai triºn ta ÷ñc a2b+c2a a2c+abc. Tø ¥y ta cëng th¶m ¤i l÷ñng (b2c+abc) v o hai v¸ º ÷ñc a2b + b2c + c2a + abc a2c + b2c + 2abc = c(a + b)2: ¸n ¥y ta ¡p döng AM-GM nh÷ sau: c(a + b)2 = 1 2 2c(a + b)(a + b) (2c + a + b + a + b)3 2:27 = 4; tø â suy ra a2b + b2c + c2a + abc 4, tùc l b§t ¯ng thùc ban ¦u ¢ ÷ñc chùng minh. 22
- 23. B i to¡n ho nt§t.2 1.18 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: 25 27 (1 4ab)2 + (1 4bc)2 + (1 4ca)2 3 Líi gi£i. 1. Chùng minh (1 4ab)2 + (1 4bc)2 + (1 4ca)2 3. Tr÷îc h¸t ta câ p ab; 1 = a + b + c a + b 2 tø â suy ra 1 4ab. ¸n ¥y ta sû döng gi£ thi¸t c¡c bi¸n khæng ¥m º câ 0 1 4ab 1; tø â m (1 4ab)2 1. Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i ta câ ngay i·u ph£i chùng minh. 2. Chùng minh (1 4ab)2 + (1 4bc)2 + (1 4ca)2 25 27 . D¹ th§y b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: 3 8(ab + bc + ca) + 16(a2b2 + b2c2 + c2a2) 25 27 ; ab + bc + ca 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 7 27 : º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau ab 2a2b2 5 9 ab 1 9 7 81 = 2 ab 1 9 2 ; do â ta suy ra ab 2a2b2 5 9 ab 1 9 + 7 81 . ¸n ¥y ta thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i º câ ab + bc + ca 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 5 9 ab + bc + ca 1 3 7 27 : Hìn núa, theo mët k¸t qu£ quen thuëc ta câ ab+bc+ca (a + b + c)2 3 = 1 3 , do vªy ta suy ra ab + bc + ca 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 7 27 ; tùc l b§t ¯ng thùc ban ¦u ¢ ÷ñc chùng minh. Tâm l¤i ta ¢ chùng minh ÷ñc 25 27 (1 4ab)2 + (1 4bc)2 + (1 4ca)2 3. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.18 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n xy + yz + zx = 1. Chùng minh r¬ng: 1 1 + xy + z2 + 1 1 + yz + x2 + 1 1 + zx + y2 9 5 Líi gi£i. °t x = 1 a ; y = 1 b ; z = 1 c . Khi â sû döng gi£ thi¸t xy + yz + zx = 1, ta th§y r¬ng 23
- 24. 1 1 +xy + z2 = xy + yz + zx x2 + xy + xz + 2yz = 1 ab + 1 bc + 1 ca 1 a2 + 1 ab + 1 ac + 2 bc = a(a + b + c) 2a2 + ab + bc + ca ; do â b§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi X a 2a2 + ab + bc + ca 9 5(a + b + c) : Nh¥n c£ hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc n y vîi ab + bc + ca v chó þ r¬ng a(ab + bc + ca) 2a2 + ab + bc + ca = a 2a3 2a2 + ab + bc + ca ; ta ÷ñc 2 X a3 2a2 + ab + bc + ca + 9(ab + bc + ca) 5(a + b + c) a + b + c: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ X a3 2a2 + ab + bc + ca ( X a2)2 X a(2a2 + ab + bc + ca) = ( X a2)2 6abc + ( X a)(2 X a2 X ab) : (1) M°t kh¡c, tø b§t ¯ng thùc cì b£n (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c), ta l¤i câ 3abc (ab + bc + ca)2 a + b + c : (2) K¸t hñp (1) v (2), ta suy ra X a3 2a2 + ab + bc + ca X ( a2)2( X a) X 2( ab + bc + ca)2 + ( X a)2(2 X a2 X ab) : = X ( X a2)( a) 2 X a2 + 3 X ab : Cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh 2(a2 + b2 + c2)(a + b + c) 2(a2 + b2 + c2) + 3(ab + bc + ca) + 9(ab + bc + ca) 5(a + b + c) a + b + c: Sau khi khai triºn v rót gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0: B i to¡n ÷ñc chùng minh xong.2 24
- 25. 1.19 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1 a + 1 b + 1 c . Chùng minh r¬ng: (b + c a)(c + a b)(a + b c) 1 Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a b c. Khi â a + b c 0 v c + a b 0. N¸u b+ca 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng do (b+ca)(c+ab)(a+bc) 0 1. Do â ta ch¿ c¦n gi£i quy¸t b i to¡n trong tr÷íng hñp b+ca 0. Lóc n y ta °t x = b+ca; y = c + a b; z = a + b c. Khi â ta vi¸t l¤i i·u ki»n nh÷ sau x; y; z 0; x + y + z = 2 x + y + 2 y + z + 2 z + x ; v ta c¦n chùng minh xyz 1: Ta s³ gi£i quy¸t b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng xyz 1. Khi â sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta suy ra x + y + z = 2 x + y + 2 y + z + 2 z + x 1 p xy + 1 p yz + 1 p zx ; hay p x + p y + p z p xyz(x + y + z). Hìn núa, ta công câ xyz 1 n¶n p x + p y + p z x + y + z: Tuy nhi¶n theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta l¤i câ p x x + 1 2 . Ta thi¸t lªp th¶m hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü núa º câ x + y + z + 3 2 p x + p y + p z x + y + z; hay x + y + z 3. Nh÷ng ¥y l mët ¡nh gi¡ sai v¼ theo mët k¸t qu£ quen thuëc, ta câ x + y + z = 2 x + y + 2 y + z + 2 z + x 9 x + y + z ; d¨n tîi x + y + z 3. M¥u thu¨n n y chùng tä i·u gi£ sû ban ¦u l sai, do vªy xyz 1. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a b c. Khi â a + b c 0 v c + a b 0. N¸u b+ca 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng do (b+ca)(c+ab)(a+bc) 0 1. Do â ta ch¿ c¦n gi£i quy¸t b i to¡n trong tr÷íng hñp b+ca 0. Lóc n y ta °t x = b+ca; y = c + a b; z = a + b c. Khi â ta vi¸t l¤i i·u ki»n nh÷ sau x; y; z 0; x + y + z = 2 x + y + 2 y + z + 2 z + x ; v ta c¦n chùng minh xyz 1: 25
- 26. Ta s³ gi£iquy¸t b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng. Thªt vªy, gi£ sû r¬ng xyz 1. Khi â, tø gi£ thi¸t, ta suy ra (x + y + z)2(xy + yz + zx) = 2(x + y + z)2 + 2(xy + yz + zx) + xyz(x + y + z): () Tuy nhi¶n, theo b§t ¯ng thùc AM-GM v theo i·u gi£ sû ð tr¶n, ta câ c¡c ¡nh gi¡ xy + yz + zx 3 3 p x2y2z2 3; x + y + z 3 3 p xyz 3; do vªy ta suy ra 2(x + y + z)2(xy + yz + zx) 3 2(x + y + z)2; 2(x + y + z)2(xy + yz + zx) 9 2(xy + yz + zx); (x + y + z)2(xy + yz + zx) 9 xyz(x + y + z): Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n l¤i, ta ÷ñc (x + y + z)2(xy + yz + zx) 2(x + y + z)2 + 2(xy + yz + zx) + xyz(x + y + z); tr¡i vîi (). M¥u thu¨n n y chùng tä i·u gi£ sû ban ¦u l sai, do vªy xyz 1. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: 1 5a2 + ab + bc + 1 5b2 + bc + ca + 1 5c2 + ca + ab 3 7 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ 1 5a2 + ab + bc + 1 5b2 + bc + ca + 1 5c2 + ca + ab = X cyc (b + c)2 (b + c)2(5a2 + ab + bc) 4(a + b + c)2 X cyc (b + c)2(5a2 + ab + bc) : Theo â, ta c¦n chùng minh r¬ng 4(a + b + c)2 X cyc (b + c)2(5a2 + ab + bc) 3 7 : Sû döng gi£ thi¸t a + b + c = 3, ta th§y r¬ng b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi X 28(a + b + c)4 27[ cyc (b + c)2(5a2 + ab + bc)]: Sau khi khai triºn v rót gån, ta ÷ñc 28 X a4 + 58 X cyc a3b + 85 X cyc ab3 156 X a2b2 + 15abc(a + b + c): 26
- 27. º chùng minhb§t ¯ng thùc n y, tr÷îc h¸t ta chó þ ¸n c¡c ¡nh gi¡ cì b£n sau (thu ÷ñc b¬ng b§t ¯ng thùc AM-GM): X cyc a3b + X cyc ab3 2 X a2b2; X a4 + X cyc ab3 X cyc a3b + X cyc ab3 2 X a2b2; X a4 X a2b2 abc(a + b + c): Tø â ta suy ra 58 X cyc a3b + 58 X cyc ab3 116 X a2b2; 27 X a4 + 27 X cyc ab3 54 X a2b2; X a4 + 14 X a2b2 15abc(a + b + c): Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.21 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: b + c 2a2 + bc + c + a 2b2 + ca + a + b 2c2 + ab 6 a + b + c Líi gi£i. Nh¥n c£ hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc cho 4(a + b + c), ta ÷ñc 4(b + c)(a + b + c) 2a2 + bc + 4(c + a)(a + b + c) 2b2 + ca + 4(a + b)(a + b + c) 2c2 + ab 24: Do 4(b + c)(a + b + c) 2a2 + bc = (a + 2b + 2c)2 2a2 + bc a2 2a2 + bc n¶n ta câ X(a + 2b + 2c)2 2a2 + bc 24 + X a2 2a2 + bc : B§t ¯ng thùc n y ÷ñc suy ra b¬ng c¡ch cëng hai b§t ¯ng thùc a2 2a2 + bc + b2 2b2 + ca + c2 2c2 + ab 1; (a + 2b + 2c)2 2a2 + bc + (b + 2c + 2a)2 2b2 + ca + (c + 2c + 2b)2 2c2 + ab 25: Do a2 2a2 + bc = 1 2 bc 2(2a2 + bc) n¶n b§t ¯ng thùc thù nh§t t÷ìng ÷ìng vîi bc 2a2 + bc + ca 2b2 + ca + ab 2c2 + ab 1; óng v¼ theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz X bc 2a2 + bc X bc 2 X bc(2a2 + bc) = 1: 27
- 28. B¥y gií tas³ chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai. ¥y l b§t ¯ng thùc èi xùng n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû c = minfa; b; cg. °t t = b + c 2 , ta s³ chùng minh (a + 2b + 2c)2 2a2 + bc + (b + 2c + 2a)2 2b2 + ca 2(3t + 2c)2 2t2 + tc : () Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ (a + 2b + 2c)2 2a2 + bc + (b + 2c + 2a)2 2b2 + ca [b(a + 2b + 2c) + a(b + 2c + 2a)]2 b2(2a2 + bc) + a2(2b2 + ca) = 2(4t2 ab + 2tc)2 2a2b2 3abtc + 4t3c : V¼ tc ab t2 n¶n 2a2b2 3abtc (2t4 3t3c) = (t2 ab)(2t2 + 2ab 3tc) 0; tø â d¨n ¸n (a + 2b + 2c)2 2a2 + bc + (b + 2c + 2a)2 2b2 + ca 2(4t2 ab + 2tc)2 2a2b2 3abtc + 4t3c 2(3t2 + 2tc)2 2t4 3t3c + 4t3c = 2(3t + 2c)2 2t2 + tc : M°t kh¡c, ta l¤i câ (c + 2c + 2b)2 2c2 + ab (4t + c)2 t2 + 2c2 : () K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta ÷a b i to¡n v· vi»c chùng minh 2(3t + 2c)2 2t2 + tc + (4t + c)2 t2 + 2c2 25: Sau khi thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng c(31t + 16c)(t c)2 t(2t + c)(t2 + 2c2) 0: B i to¡n ÷ñc chùng minh xong.2 1.22 Cho a; b; c; d l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a2+b2+c2+d2 = 1. Chùng minh r¬ng: a b2 + 1 + b c2 + 1 + c d2 + 1 + d a2 + 1 p a + b 4(a p b + c p c + d p d)2 5 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a b2 + 1 + b c2 + 1 + c d2 + 1 + d a2 + 1 = a3 a2b2 + a2 + b3 b2c2 + b2 + c3 c2d2 + c2 + d3 d2a2 + d2 p a + b (a p b + c p d)2 p c + d a2 + b2 + c2 + d2 + a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2 : 28
- 29. Nh÷ vªy, ºk¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng a2 + b2 + c2 + d2 + a2b2 + b2c2 + c2d2 + a2d2 5 4 ; hay (a2 + c2)(b2 + d2) 1 4 . Tuy nhi¶n ¥y l¤i l ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM-GM: (a2 + c2)(b2 + d2) (a2 + c2 + b2 + d2)2 4 = 1 4 ; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 1.23 Cho x,y,z l c¡c sè thüc thuëc o¤n [0; 1]. Chùng minh r¬ng: x 3 p 1 + y3 + y 3 p 1 + z3 + z 3 p 1 + x3 3 3 p 1 + xyz Líi gi£i. Do x; y; z 2 [0; 1] n¶n ta câ x 3 p 1 + y3 + y 3 p 1 + z3 + z 3 p 1 + x3 1 3 p 1 + y3 + 1 3 p 1 + z3 + 1 3 p 1 + x3 : º þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc Holder, ta ÷ñc ¡nh gi¡ sau vîi måi sè thüc d÷ìng a; b; c: (a + b + c)3 9(a3 + b3 + c3); hay (a + b + c) 3 p 9(a3 + b3 + c3). Sû döng ¡nh gi¡ n y, ta câ 1 3 p 1 + y3 + 1 3 p 1 + z3 + 1 3 p 1 + x3 s 9 3 1 1 + y3 + 1 1 + x3 + 1 1 + z3 : Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 1 1 + y3 + 1 1 + x3 + 1 1 + z3 3 1 + xyz : () º þ r¬ng vîi hai sè thüc a; b thay êi trong o¤n [0; 1] ta luæn câ 1 1 + a2 + 1 1 + b2 2 1 + ab = (ab 1)(a b)2 (1 + a2)(1 + b2)(1 + ab) 0: Sû döng ¡nh gi¡ n y, ta ÷ñc 1 1 + x3 + 1 1 + y3 + 1 1 + z3 + 1 1 + xyz 2 1 + p x3y3 + 2 1 + p z4xy 4 1 + xyz : Do vªy ¡nh gi¡ () ÷ñc chùng minh, d¨n ¸n b§t ¯ng thùc ban ¦u óng. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b a + b + c 2 29
- 30. Líi gi£i 1.p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b (a + b + c)2 2(a + b + c) = a + b + c 2 : Ph²p chùng minh ho n t§t. 2 Líi gi£i 2. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng, ta câ a2 b + c + b + c 4 a: Cëng v¸ theo v¸ ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta ÷ñc: a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b + a + b + c 2 a + b + c; tø â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 3. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a b c. Khi â ta câ 1 b + c 1 a + c 1 a + b : Nh÷ vªy, theo b§t ¯ng thùc Chebyshev, ta câ a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b 1 3 :(a2 + b2 + c2):( 1 a + b + 1 b + c + 1 a + c ): ¸n ¥y ta ¡p döng hai ¡nh gi¡ cì b£n x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 3 v 1 x + 1 y + 1 z 9 x + y + z º câ a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b 1 3 : (a + b + c)2 3 : 9 2(a + b + c) = a + b + c 2 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.25 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: 4 p 3 + a4 + 4 p 3 + b4 + 4 p 3 + c4 4 p 108(a + b + c) Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ (1 + 3)(1 + 3)(1 + 3)(a4 + 3) (a + 3)4; tø â suy ra 4 p 3 + a4 3 + a 4 p 64 . Thi¸t lªp c¡c ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc 4 p 3 + a4 + 4 p 3 + b4 + 4 p 3 + c4 9 + a + b + c 4 p 64 : Hìn núa, theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 9 + a + b + c = 3 + 3 + 3 + (a + b + c) 4 4 p 27(a + b + c); 30
- 31. nh÷ vªy 4p 3 + a4 + 4 p 3 + b4 + 4 p 3 + c4 4 4 p 27(a + b + c) 4 p 64 = 4 p 108(a + b + c): Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.26 Cho a; b l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n ab 1. Chùng minh r¬ng: 1 1 + a2 + 1 1 + b2 2 1 + ab Líi gi£i. Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc d¢y c¡c ¡nh gi¡ sau: 2 + a2 + b2 a2b2 + a2 + b2 + 1 2 1 + ab ; 2 + 2ab + a3b + b3a + a2 + b2 2a2b2 2a2 2b2 2 0; (ab 1)(a b)2 0: ¡nh gi¡ cuèi còng óng do ab 1, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.27 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: c + ab a + b + a + bc b + c + b + ac a + c 2 Líi gi£i. º þ r¬ng ta câ c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b); do vªy b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (c + a)(c + b) a + b + (b + a)(b + c) a + c + (a + b)(a + c) b + c 2: p döng ¡nh gi¡ cì b£n x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, ta th§y ¡nh gi¡ tr¶n óng do (c + a)(c + b) a + b + (b + a)(b + c) a + c + (a + b)(a + c) b + c b + c + a + b + c + a = 2: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.28 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 2x + 3y + z = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = x3 + y3 + z3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ p 2 + 3 P(2 p 3 + 1)2 = (x3 + y3 + z3)(2 p 2 + 3 p 3 + 1)(2 p 2 + 3 p 3 + 1) (2x + 3y + z)3 = 1: 31
- 32. Nh÷ vªy P 1 (2 p 2 + 3 p 3 + 1)2 . Cuèi còng, vîi x = p 2 p 2 + 3 2 p 3 + 1 ,y = p 3 p 2 + 3 2 p 3 + 1 v z = 1 p 2 + 3 2 p 3 + 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 1 p 2 + 3 (2 p 3 + 1)2 n¶n ta k¸t luªn 1 p 2 + 3 (2 p 3 + 1)2 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 1.29 Cho a; b; c l c¡c sè thüc tho£ m¢n a2 +ab+b2 = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t v gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = a2 ab 3b2 Líi gi£i. Vîi b = 0 th¼ tø gi£ thi¸t ta suy ra a2 = 3, tø â biºu thùc P câ gi¡ trà l 3. Vîi b6= 0, x²t biºu thùc Q = P 3 = a2 ab 3b2 a2 + ab + b2 = x2 x 3 x2 + x + 1 ; trong â x = a b . Tø ¥y ta suy ra (Q 1)x2 + (Q + 1)x + Q + 3 = 0: Coi â l mët ph÷ìng tr¼nh theo ©n x. X²t bi»t thùc cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n, ta th§y r¬ng º ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m th¼ (Q + 1)2 4(Q 1)(Q + 3) 0; tø ¥y ta suy ra p 3 3 4 3 Q 3 + 4 p 3 3 . Hìn núa, do P = 3Q n¶n ta câ p 3 P 3 + 4 3 4 p 3: Cuèi còng, vîi a = p 2 p 3 v b = p 2 + p 3 th¼ P = 3 4 p 3; vîi a = p 2 + p 3 v b = p 2 p 3 th¼ P = 3 + 4 p 3 n¶n ta k¸t luªn 3 4 p 3 v 3 + 4 p 3 l¦n l÷ñt l gi¡ trà nhä nh§t v gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 1.30 Cho a; b; c l c¡c sè thüc tho£ m¢n a2 + 2b2 = 3c2. Chùng minh r¬ng: 1 a + 2 b 3 c Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta suy ra (3c)2 = (a2 + 2b2)(1 + 2). Tø ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz º câ (3c)2 (a + 2b)2; tø â suy ra 3c a + 2b. () Hìn núa, công theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ 1 a + 1 b + 1 b 9 a + 2b : () 32
- 33. K¸t hñp hai¡nh gi¡ () v (), ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.31 Cho x; y; z l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = xy + yz + zx + 5 x + y + z Líi gi£i. º þ r¬ng P = (x + y + z)2 x2 y2 z2 2 + 5 x + y + z = (x + y + z)2 2 + 5 x + y + z 3 2 ; tø â °t t = x + y + z, ta ÷a b i to¡n v· vi»c t¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc Q = t2 + 10 t : º þ r¬ng tø ¡nh gi¡ x2 +y2 +z2 (x+y +z)2 3(x2 +y2 +z2), ta suy ra p 3 t 3, do vªy t2 + 10 t 37 3 = (t 3)(3t2 + 9t 10) 3t 0: Nh÷ vªy Q 37 3 , v v¼ P = Q 2 3 2 n¶n P 37 6 3 2 = 14 3 : Cuèi còng, vîi x = y = z = 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 14 3 n¶n ta k¸t luªn 14 3 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 1.32 Cho x; y l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 2y x. Chùng minh r¬ng: 1 x3(2y x) + x2 + y2 3 Líi gi£i. Ta th§y r¬ng 1 x3(2y x) + x2 + y2 = 1 x2(2xy x2) + +x2 + (y2 + x2 x2); v v¼ x2 + y2 2xy theo b§t ¯ng thùc AM-GM n¶n 1 x3(2y x) + x2 + y2 1 x2(2xy x2) + x2 + (2xy x2): ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM mët l¦n núa º câ 1 x3(2y x) s + x2 + y2 3 3 1 x2(2xy x2) :x2:(2xy x2) = 3: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 33
- 34. 1.33 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n ab + bc + ca = 2abc. Chùng minh r¬ng: 1 a(2a 1)2 + 1 b(2b 1)2 + 1 c(2c 1)2 1 2 Líi gi£i. °t m = 1 a ; n = 1 b ; p = 1 c . Khi â i·u ki»n ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi m + n + p = 2 (º þ r¬ng tø ¥y ta câ m; n; p 2), v b§t ¯ng thùc ¢ cho ÷ñc vi¸t l¤i th nh m3 (2 m)2 + n3 (2 n)2 + p3 (2 p)2 1 2 : p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ m3 (2 m)2 + 2 m 8 + 2 m 8 3m 4 ; tø â suy ra m3 (2 m)2 m 1 2 . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü cho n v p v cëng l¤i, ta ÷ñc m3 (2 m)2 + n3 (2 n)2 + p3 (2 p)2 m + n + p 3 2 = 1 2 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.34 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a + 2b + 3c = 4. Chùng minh r¬ng: (a2b + b2c + c2a + abc)(ab2 + bc2 + ca2 + abc) 8 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 8(a2b + b2c + c2a + abc)(ab2 + bc2 + ca2 + abc) = 4(a2b + b2c + c2a + abc):2(ab2 + bc2 + ca2 + abc) (a2b + b2c + c2a + 2ab2 + 2bc2 + 2ca2 + 3abc)2: Hìn núa, ta công câ (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = 9abc + 2a2b + 2ac2 + 4a2c + 2b2c + 4b2a + 4c2b 2(a2b + b2c + c2a + 2ab2 + 2bc2 + 2ca2 + 3abc); do vªy 8(a2b + b2c + c2a + abc)(ab2 + bc2 + ca2 + abc) (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) 2 2 . M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 4(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a) = (a + 2b)(4b + 8c)(c + 2a) 3a + 6b + 9c 3 3 = (a + 2b + 3c)3 = 64: Nh÷ vªy, ta suy ra 8(a2b + b2c + c2a + abc)(ab2 + bc2 + ca2 + abc) 64 4:2 2 = 64; hay (a2b + b2c + c2a + abc)(ab2 + bc2 + ca2 + abc) 8. 34
- 35. Ph²p chùng minhho n t§t.2 1.35 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ac c + 3a + 2b a + b + c 6 Líi gi£i. Sû döng ¡nh gi¡ cì b£n 9 x + y + z 1 x + 1 y + 1 z , ta câ 9 a + 3b + 2c = 9 (a + c) + (b + c) + 2b 1 a + c + 1 b + c + 1 2b : Tø â ta suy ra 9ab a + 3b + 2c ab a + c + ab b + c + a 2 . Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ 9bc b + 3c + 2a bc b + a + bc c + a + b 2 ; v 9ca c + 3a + 2b ca c + b + ca a + b + c 2 : Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta thu ÷ñc 9ab a + 3b + 2c + 9bc b + 3c + 2a + 9ca c + 3a + 2b ca + ab b + c + ab + bc a + c + bc + ca b + a + a + b + c 2 = 3(a + b + c) 2 ; tø ¥y ta ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.36 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 1 a + b + 4 + 1 b + c + 4 + 1 c + a + 4 1 2 Líi gi£i 1. °t x = p a; y = p b; z = p c. Khi â ta ph£i chùng minh 1 x2 + y2 + 4 + 1 y2 + z2 + 4 + 1 z2 + x2 + 4 1 2 vîi x; y; z 0 v xyz = 1. Do 1 x2 + y2 + 4 = 1 x2 + y2 x2 + y2 + 4 = 1 (x + y)2 + (x y)2 2(x2 + y2 + 4) n¶n b§t ¯ng thùc n y câ thº ÷ñc vi¸t l¤i th nh X (x + y)2 x2 + y2 + 4 + X (x y)2 x2 + y2 + 4 2: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû x y z. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ X (x + y)2 x2 + y2 + 4 [(x + y) + (y + z) + (z + x)]2 X (x2 + y2 + 4) ; v X (x y)2 x2 + y2 + 4 [x y + y z + x z]2 X (x2 + y2 + 4) : 35
- 36. Tø ¥y ta÷a b i to¡n v· chùng minh 2(x + y + z)2 + 2(x z)2 2(x2 + y2 + z2) + 12; hay 2(x z)2 + 4(xy + yz + zx 3) 0. Tuy nhi¶n ¥y l¤i l ¡nh gi¡ óng do (x z)2 0 v theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ xy + yz + zx 3 3 p x2y2z2 = 3; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 2. °t x = 3 p a; y = 3 p b; z = 3 p c. Khi â x; y; z 0; xyz = 1 v ta c¦n chùng minh 1 x3 + y3 + 4 + 1 y3 + z3 + 4 + 1 z3 + x3 + 4 1 2 Vîi chó þ ta câ ¡nh gi¡ x3 + y3 xy(x + y), çng thíi l¤i câ 4 = 4xyz, ta ÷a b i to¡n v· vi»c chùng minh 1 xy(x + y + 4z) + 1 yz(y + z + 4x) + 1 zx(z + x + 4y) 1 2 ; hay x + y x + y + 4z + y + z y + z + 4x + z + x z + x + 4y 1: p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ x + y x + y + 4z + y + z y + z + 4x + z + x z + x + 4y 4(x + y + z)2 X (x + y)(x + y + 4z) = 4(x + y + z)2 2(x2 + y2 + z2) + 10(xy + yz + zx) ; nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 4(x + y + z)2 2(x2 + y2 + z2) + 10(xy + yz + zx); hay x2 + y2 + z2 xy + yz + zx. Tuy nhi¶n ¥y l¤i l mët ¡nh gi¡ óng, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 1.37 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: r 3 1 a r + 6b + 3 1 b r + 6c + 3 1 c + 6a 1 abc Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder ta câ r 3 1 a r + 6b + 3 1 b r + 6c + 3 1 c !3 + 6a 1 a + 6b + 1 b + 6c + 1 c + 6a 1 p 3 :3 1 p 3 :3 = 9 1 a + 1 b + 1 c + 6a + 6b + 6c : () 36
- 37. Hìn núa, sûdöng ¡nh gi¡ cì b£n xy + yz + zx (x + y + z)2 3 , ta câ abc 1 a + 1 b + 1 c + 6a + 6b + 6c = ab + bc + ca + 6abc(a + b + c) ab + bc + ca + 2(ab + bc + ca)2 = 3; do vªy 1 a + 1 b + 1 c + 6a + 6b + 6c 3 abc . K¸t hñp vîi ¡nh gi¡ () ð tr¶n, ta ÷ñc r 3 1 a r + 6b + 3 1 b r + 6c + 3 1 c !3 + 6a 27 abc ; tø â ta l§y c«n bªc ba hai v¸ º thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 1.38 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 1 1 + a + b + 1 1 + b + c + 1 1 + a + c 1 Líi gi£i. °t x = p a; y = p b; z = p c. Khi â ta ph£i chùng minh 1 x2 + y2 + 1 + 1 y2 + z2 + 1 + 1 z2 + x2 + 1 1 vîi x; y; z 0 v xyz = 1. Do 1 x2 + y2 + 1 = 1 x2 + y2 x2 + y2 + 1 = 1 (x + y)2 + (x y)2 2(x2 + y2 + 1) n¶n b§t ¯ng thùc n y câ thº ÷ñc vi¸t l¤i th nh X (x + y)2 x2 + y2 + 1 + X (x y)2 x2 + y2 + 1 4: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû x y z. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ X (x + y)2 x2 + y2 + 1 [(x + y) + (y + z) + (z + x)]2 X (x2 + y2 + 1) ; v X (x y)2 x2 + y2 + 1 [x y + y z + x z]2 X (x2 + y2 + 1) : Tø ¥y ta ÷a b i to¡n v· chùng minh (x + y + z)2 + (x z)2 2(x2 + y2 + z2) + 3: M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta l¤i câ 3 = 3 3 p x2y2z2 xy + yz + zx; do vªy ta ch¿ cán ph£i chùng minh (x + y + z)2 + (x z)2 2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx: 37
- 38. Sau khi thugån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng (x y)(y z) 0: B i to¡n do â ÷ñc chùng minh xong.2 1.39 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a3 b(c + 2) + b3 c(a + 2) + c3 a(b + 2) 1 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ a3 b(c + 2) + b 3 + c + 2 9 a: Lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc a3 b(c + 2) + b3 c(a + 2) + c3 a(b + 2) + a + b + c 3 + a + b + c + 6 9 a + b + c; hay a3 b(c + 2) + b3 c(a + 2) + c3 a(b + 2) 5(a + b + c) 9 2 3 : M°t kh¡c công theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a + b + c 3 3 p abc = 3, do vªy a3 b(c + 2) + b3 c(a + 2) + c3 a(b + 2) 5 3 2 3 = 1: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 1.40 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a = maxfa; b; cg. Khi â thüc hi»n bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc d¢y b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh a(a b)(a c) + b(b a)(b c) + c(c a)(c b) 0; (a b)(a2 ac b2 + bc) + c(a c)(b c) 0; (a b)2(a + b c) + c(a c)(b c) 0: ¡nh gi¡ cuèi còng óng do a = maxfa; b; cg, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 38
- 39. 3.2 B i 2.1¸n b i 2.40 2.1 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a (b + c)2 + b (a + c)2 + c (a + b)2 9 4(a + b + c) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi (a + b + c) a (b + c)2 + b (a + c)2 + c (a + b)2 9 4 : °t k = a b + c + b a + c + c a + b . Ta th§y r¬ng (a+b+c) a (b + c)2 + b (a + c)2 + c (a + b)2 = a2 (b + c)2 + b2 (a + c)2 + c2 (a + b)2 + a b + c + b a + c + c a + b ; v theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc th¼ a2 (b + c)2 + b2 (a + c)2 + c2 (a + b)2 k2 3 , do vªy (a + b + c) a (b + c)2 + b (a + c)2 + c (a + b)2 k2 3 + k Ta l¤i câ chó þ r¬ng k 3 2 theo b§t ¯ng thùc Nesbitt, do â (a + b + c) a (b + c)2 + b (a + c)2 + c (a + b)2 9 4:3 + 3 2 = 9 4 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.2 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a p a2 + 8bc + b p b2 + 8ac + c p c2 + 8ab 1 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz ta câ a p a2 + 8bc + b p b2 + 8ac + c p c2 + 8ab (a + b + c)2 p a2 + 8bc + b a p b2 + 8ac + c p c2 + 8ab : M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ p a2 + 8bc + b a p b2 + 8ac + c p c2 + 8ab = p a3 + 8abc + p a p b p b3 + 8abc + p c p c3 + 8abc p (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24abc); do vªy a p a2 + 8bc + b p b2 + 8ac + c p c2 + 8ab (a + b + c)2 p (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24abc) = s (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 24abc : 39
- 40. Nh÷ vªy, ºk¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 24abc; hay (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ p ab:2 (a + b)(b + c)(c + a) 2 p bc:2 p ca = 8abc; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.3 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n çng thíi c a v 3a2+4b2+5c2 = 12. Chùng minh r¬ng: 1 a + 1 b + 1 c 3 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta câ 4a2 + 4b2 + 4c2 = 12 + a2 c2 12; nh÷ vªy a2 + b2 + c2 3. Tø ¥y ta công câ a + b + c p 3(a2 + b2 + c2) 3; v v¼ vªy ta chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc ban ¦u v¼ 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c 9 3 = 3: B i to¡n k¸t thóc.2 2.4 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a b + b c + c a a + c b + c + b + a c + a + c + b a + b Líi gi£i 1. °t X = a b 2 1 + ; Y = 1 + b c 2 ; Z = 1 + c a 2 : Sû döng b§t ¯ng thùc Holder, ta thu ÷ñc 1 + a b 1 + b c 1 + c a 1 + 3 r a b : b c : c a !3 = 8; tø â ta suy ra XY Z 1. B¥y gií ta thüc hi»n bi¸n êi b§t ¯ng thùc ¢ cho nh÷ sau a b a + c b + c + b c b + a c + a + c a c + b a + b 0; c(a b) b(b + c) + a(b c) c(c + a) + b(c a) a(a + b) 0; 40
- 41. a b 1 1 + b c + b c 1 1 + c a + c a 1 1 + a b 0: º þ r¬ng a b 1 1 + b c = 2X 1 1 2Y = X 1 Y ; do vªy b§t ¯ng thùc cuèi câ thº vi¸t l¤i th nh X 1 Y + Y 1 Z + Z 1 X 0; t÷ìng ÷ìng X Y + Y Z + Z X 1 X + 1 Y + 1 Z : Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 3 XX Y = X X Y + X Y + Z X 3 X r 3 ZX Y 2 = 3 3 p XY Z X 1 Y = 3 X 1 Y : Nh÷ vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 2. Thüc hi»n bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ c¡ch 1, ta c¦n chùng minh c(a b) b(b + c) + a(b c) c(c + a) + b(c a) a(a + b) 0: Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b l sè n¬m giúa a v c. Khi â (ba)(bc) 0. º þ r¬ng b(c a) = c(a b) a(b c); v¼ vªy b§t ¯ng thùc tr¶n câ thº vi¸t l¤i th nh c(a b) 1 b(b + c) 1 a(a + b) + a(b c) 1 c(c + a) 1 a(a + b) 0; t÷ìng ÷ìng c[(a b)2(a + b) + b(a b)(a c)] ab(a + b)(b + c) + [(b c)(a c)(a + c) + a(b c)2] c(c + a)(a + b) 0: B§t ¯ng thùc cuèi n y óng do (a b)(a c) = (a b)2 (b a)(b c) 0; v (b c)(a c) = (b c)2 (b a)(b c) 0; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 Nhªn x²t. 41
- 42. 1. L÷u þr¬ng b§t ¯ng thùc sau óng vîi a; b; c v k l c¡c sè thüc d÷ìng: a b + b c + c a ka + c kb + c + kb + c kc + a + kc + b ka + b : Vîi k = 1, ta thu ÷ñc b i to¡n tr¶n. 2. Ri¶ng vîi tr÷íng hñp k = 1, ta câ thº chùng minh b i to¡n düa tr¶n b§t ¯ng thùc sau (¥y l mët b i trong Belarusian Mathematical Olympiad 1998): Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng a b + b c + c a a + b b + c + b + c a + b + 1: Vi»c chùng minh công nh÷ ¡p döng xin º d nh cho b¤n åc. 2.5 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: p a + p b + p c ab + bc + ca Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi a2 + b2 + c2 + 2 p a + 2 p b + 2 p c a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 9: p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ a2 + 2 p a 3a: Lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc a2 + b2 + c2 + 2 p a + 2 p b + 2 p c 3(a + b + c) = 9: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.6 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: 1 abc + 4 (a + b)(b + c)(c + a) p 3 2 9 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 1 abc + 4 (a + b)(b + c)(c + a) = 1 2abc + 1 2abc + 4 (a + b)(b + c)(c + a) s 3 3 1 a2b2c2(a + b)(b + c)(c + a) s = 3 3 1 abc(ab + ac)(bc + ba)(ca + cb) : M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ hai ¡nh gi¡: a2b2c2 (ab + bc + ca)3 27 ; v (ab + bc)(bc + ca)(ca + ab) 8(ab + bc + ca)3 27 ; 42
- 43. tø â sûdöng gi£ thi¸t ta suy ra abc 1 3 p 3 v (ab + bc)(bc + ca)(ca + ab) 8 27 . Do vªy 1 abc + 4 (a + b)(b + c)(c + a) 3 s 3 p 3 8 27:3 = p 3 2 9 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.7 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x + y + z = 0, trong â câ hai sè còng d§u. Chùng minh r¬ng: (x2 + y2 + z2)3 (x3 + y3 + z3)2 6 Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû x; y l hai sè còng d§u, tùc l xy 0. Vîi i·u ki»n z = x y, ta câ (x2 + y2 + z2)3 (x3 + y3 + z3)2 = 8(x2 + y2 + xy)3 9x2y2(x + y)2 : Nh÷ vªy, n¸u ta °t x2 + y2 = m v xy = n (º þ r¬ng m 2n) th¼ ta c¦n chùng minh 8(m + n)3 9n2(m + 2n) 6; hay 4m3 + 4n3 + 12m2n + 12n2m 27n2m + 54n3: B§t ¯ng thùc tr¶n mang t½nh thu¦n nh§t giúa c¡c bi¸n, do â ta cho n = 1, lóc n y m 2 v ta c¦n chùng minh 4m3 + 12m2 15m 50 0: Tuy nhi¶n b¬ng bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta ÷ñc (m2) m 5 2 2 0. ¥y l mët ¡nh gi¡ óng do m 2, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.8 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi trong o¤n [0; 1]. Chùng minh r¬ng: p abc + p (1 a)(1 b)(1 c) 1 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta câ p abc + p (1 a)(1 b)(1 c) p (a + 1 a)[bc + (1 b)(1 c)] = p 2bc b c + 1: Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 2bc b + c: Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ p bc b + c; 2bc 2 do â b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. 43
- 44. B i to¡n k¸tthóc.2 2.9 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: p (ab + bc + ca) 2 p 3: 3 p (a + b)(b + c)(c + a) Líi gi£i. º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc: M°t kh¡c, theo c¡c ¡nh gi¡ quen thuëc, ta câ a + b + c p 3(ab + bc + ca); v abc r (ab + bc + ca)3 27 ; do vªy p 3(ab + bc + ca) (a + b)(b + c)(c + a) (ab + bc + ca) r (ab + bc + ca)3 27 = p (ab + bc + ca)3 8 p 3 3 : Tø ¥y, l§y c«n bªc ba hai v¸, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 2.10 Cho a; b; c l c¡c sè thüc æi mët ph¥n bi»t. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 a2 2ab + b2 + a2 + c2 a2 2ac + c2 + b2 + c2 b2 2bc + c2 5 2 Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh (a + b)2 + (a b)2 (a b)2 + (b + c)2 + (b c)2 (b c)2 + (c + a)2 + (c a)2 (c a)2 5; a + b a b 2 + b + c b c 2 + c + a c a 2 2: °t x = a + b a b ; y = b + c b c ; z = c + a c a . º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc xy + yz + zx = (a + b)(b + c) (a b)(b c) + (b + c)(c + a) (b c)(c a) + (c + a)(a + b) (c a)(a b) = (a + b)(b + c)(c a) + (b + c)(c + a)(a b) + (c + a)(a + b)(b c) (a b)(b c)(c a) = 1 Hìn núa, ta công câ (x + y + z)2 0, do vªy x2 + y2 + z2 2(xy + yz + zx) = 2: Tø ¥y ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. 44
- 45. B i to¡n k¸tthóc.2 2.11 Cho a; b l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a + b 4 5 . Chùng minh r¬ng: r 1 a 1 + a + r 1 b 1 + b 1 r 1 a b 1 + a + b Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh 1 a 1 + a + 1 b 1 + b + 2 s (1 a)(1 b) (1 + a)(1 + b) 1 a b 1 + a + b r + 1 + 2 1 a b 1 + a + b ; 2(1 ab) 1 + ab + a + b + 2 r 1 + ab a b 1 + ab + a + b 2 1 + a + b + 2 r 1 a b 1 + a + b : °t u = ab; v = a + b. Khi â u; v 0 v ta c¦n chùng minh 2(1 u) 1 + u + v + 2 r 1 + u v 1 + u + v 2 1 + v + 2 r 1 v 1 + v : Thüc hi»n bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta ÷ñc d¢y b§t ¯ng thùc sau 1 + u v 1 + u + v 1 v 1 + v u(2 + v) (1 + v)(1 + v + u) r 1 + u v 1 + u + v + r 1 v 1 + v ! ; 2uv (1 + u + v)(1 + v) u(2 + v) (1 + v)(1 + v + u) r 1 + u v 1 + u + v + r 1 v 1 + v ! : N¸u u = 0 th¼ b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng. N¸u u 0, b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi 2v 2 + v r 1 + u v 1 + u + v + r 1 v 1 + v : () º þ r¬ng vîi u 0, ta câ ¡nh gi¡ 1 + u v 1 + u + v 1 v 1 + v ; do vªy r 1 + u v 1 + u + v + r 1 v 1 + v r 2 1 v 1 + v r 1 + = 2 2 1 + v : Hìn núa, ta l¤i câ v 4 5 theo gi£ thi¸t n¶n r 1 + u v 1 + u + v + r 1 v 1 + v s 1 + 2 2 1 + 4 5 = 2 3 : Ngo i ra công do v 4 5 1 n¶n 2v 2 + v = 2 2 v + 1 2 3 ; do vªy ¡nh gi¡ () óng, công câ ngh¾a b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. 45
- 46. B i to¡n ho nt§t.2 2.12 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a + a + b + c 6(a2 + b2 + c2) a + b + c Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b l sè h¤ng n¬m giúa a v c. Khi â ta bi¸n êi b§t ¯ng thùc nh÷ sau X a2 b + b 2a 6(a2 + b2 + c2) a + b + c 2(a + b + c); X(a b)2 b 6(a2 + b2 + c2) a + b + c 2(a + b + c): p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ X(a b)2 b [(a b) + (b c) + (a c)]2 b + c + a = 4(a c)2 a + b + c : Do â ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc 2(a c)2 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2: Sau khi thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng do b n¬m giúa a v c 2(b c)(b a) 0: B i to¡n ho n t§t.2 2.13 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x2 + y2 + z2 = 1. Chùng minh r¬ng: 1 x3 + y3 + z3 3xyz 1 Líi gi£i 1. Chó þ r¬ng ta câ ¯ng thùc (x3 + y3 + z3 3xyz)2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2 = (1 + 2t)(1 t)(1 t); trong â t = xy + yz + zx. ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ (x3 + y3 + z3 3xyz)2 [(1 + 2t) + (1 t) + (1 t)]3 27 = 1; do vªy 1 x3 + y3 + z3 3xyz 1. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 Líi gi£i 2. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ (x3 + y3 + z3 3xyz)2 = [x(x2 yz) + y(y2 zx) + z(z2 xy)]2 (x2 + y2 + z2)[(x2 yz)2 + (y2 zx)2 + (z2 xy)2]: 46
- 47. Hìn núa, tal¤i câ (x2 yz)2 + (y2 zx)2 + (z2 xy)2 = (x2 + y2 + z2)2 (xy + yz + zx)2 (x2 + y2 + z2)2; do vªy (x3 + y3 + z3 3xyz)2 (x2 + y2 + z2)3 = 1: Tø â ta suy ra 1 x3 + y3 + z3 3xyz 1. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.14 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: xyz (1 + 3x)(z + 6)(x + 8y)(y + 9z) 1 74 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau: z + 6 = z + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 7 7 p z; 1 + 3x = 1 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 r x6 7 7 26 ; x + 8y = x + 4y 3 + 4y 3 + 4y 3 + 4y 3 + 4y 3 + 4y 3 r xy6: 7 7 46 36 ; y + 9z = y + 3z 2 + 3z 2 + 3z 2 + 3z 2 + 3z 2 + 3z 2 r yz6: 7 7 36 26 : Nh¥n c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n vîi nhau, ta ÷ñc r z: (z + 6)(1 + 3x)(x + 8y)(y + 9z) 74 7 x6 26 :xy6: 46 36 :yz6: 36 26 = 74xyz; tø â suy ra xyz (1 + 3x)(z + 6)(x + 8y)(y + 9z) 1 74 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.15 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a + b ab + c2 + b + c bc + a2 + a + c ac + b2 1 a + 1 b + 1 c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a2 b(a2 + c2) + b2 a(b2 + c2) (a + b)2 b(a2 + c2) + a(b2 + c2) = (a + b)2 (a + b)(ab + c2) ; tø ¥y ta suy ra a + b ab + c2 a2 b(a2 + c2) + b2 a(b2 + c2) . Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü rçi cëng l¤i, ta ÷ñc a + b ab + c2 + b + c bc + a2 + a + c ac + b2 a2 b(a2 + c2) + b2 a(b2 + c2) + b2 c(b2 + a2) + c2 b(a2 + c2) + a2 c(a2 + b2) + c2 a(b2 + c2) = 1 a + 1 b + 1 c : 47
- 48. Ph²p chùng minhho n t§t.2 2.16 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n khæng câ b§t k¼ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: a(b + c) b2 + bc + c2 + b(a + c) a2 + ac + c2 + c(a + b) a2 + ab + b2 2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a(b + c) b2 + bc + c2 + b(a + c) a2 + ac + c2 + c(a + b) a2 + ab + b2 = a2 a(b + c) abc b + c + b2 b(a + c) abc a+c + c2 c(a + b) abc a+b (a + b + c)2 2(ab + bc + ca) abc b + c abc c + a abc a + b : Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a + b + c)2 4(ab + bc + ca) 2abc:( 1 a + b + 1 b + c + 1 a + c ); hay a2 + b2 + c2 + 2abc:( 1 a + b + 1 b + c + 1 a + c ) 2(ab + bc + ca): p döng ¡nh gi¡ cì b£n 1 x + 1 y + 1 z 9 x + y + z , ta câ a2 + b2 + c2 + 2abc:( 1 a + b + 1 b + c + 1 a + c ) a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c : Cæng vi»c cuèi còng ch¿ c¦n chùng minh a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c 2(ab + bc + ca); hay a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a). Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ n y óng theo b§t ¯ng thùc Schur bªc ba n¶n b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 1. Chùng minh r¬ng: a b2 + c2 + b a2 + c2 + c a2 + b2 p 3 2 3 Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, ta câ a b2 + c2 + b a2 + c2 + c a2 + b2 = a 1 a2 + b 1 b2 + c 1 c2 : º þ r¬ng ta câ ¡nh gi¡ a 1 a2 p 3 2 3 a2 = p 3 + 2)(a a(a p 3 1)2 2(1 a2) 0; 48
- 49. do vªy a 1 a2 p 3 2 3 a2. Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc a 1 a2 + b 1 b2 + c 1 c2 p 3 2 3 (a2 + b2 + c2); do vªy a b2 + c2 + b a2 + c2 + c a2 + b2 p 3 2 3 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.18 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: p x + y + z p x y + z + p y x + z + p z x + y p 3 2 3 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh thu¦n nh§t, do â ta chu©n hâa x+y+z = 1. p p p çng thíi, ta °t a = x; b = y; c = z. Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh a 1 a2 + b 1 b2 + c 1 c2 p 3 2 3 : Tuy nhi¶n ¥y l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.17 . 2 2.19 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n khæng câ b§t k¼ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: a3 (2a2 + b2)(2a2 + c2) + b3 (2b2 + a2)(2b2 + c2) + c3 (2c2 + a2)(2c2 + b2) 1 a + b + c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ (2a2 + b2)(2a2 + c2) = (a2 + a2 + b2)(a2 + c2 + a2) (a2 + ab + ac)2 = a2(a + b + c)2: Nh÷ vªy a3 (2a2 + b2)(2a2 + c2) a (a + b + c)2 . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü rçi cëng l¤i, ta ÷ñc a3 (2a2 + b2)(2a2 + c2) + b3 (2b2 + a2)(2b2 + c2) + c3 (2c2 + a2)(2c2 + b2) a + b + c (a + b + c)2 = 1 a + b + c : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 2.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 a + b + b2 + c2 b + c + c2 + a2 c + a 3(a2 + b2 + c2) a + b + c Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh 2(a2 + b2 + c2) + c(a2 + b2) a + b + a(b2 + c2) b + c + b(c2 + a2) c + a 3(a2 + b2 + c2); c[(a + b)2 2ab] a + b + a[(b + c)2 2bc] b + c + b[(c + a)2 2ca]) c + a a2 + b2 + c2; 2ab + 2bc + 2ca a2 + b2 + c2 + 2abc 1 a + b + 1 b + c + 1 a + c : 49
- 50. ¡nh gi¡ cuèicòng l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.16 , do vªy ta k¸t thóc chùng minh.2 2.21 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng: xy 1 + z + yz 1 + x + xz 1 + y 1 4 Líi gi£i. Chó þ r¬ng xy 1 + z = xy (x + z) + (y + z) ; v theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc th¼ 4 (x + z) + (y + z) 1 x + z + 1 y + z ; do vªy xy 1 + z 1 4 xy x + z + xy y + z . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü rçi cëng l¤i, ta ÷ñc xy 1 + z + yz 1 + x + xz 1 + y 1 4 xy + yz x + z + yz + zx x + y + zx + xy y + z = x + y + z 4 ; tø ¥y ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 2.22 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: ( a b + b c + c a p 3(a2 + b2 + c2) )(a + b + c) 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ a b + b c + c a (a + b + c)2 ab + bc + ca ; do vªy ( a b + b c + c a )(a+b+c) (a + b + c)3 ab + bc + ca . Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a + b + c)3 3(ab + bc + ca) p 3(a2 + b2 + c2); hay (a+b+c)6 27(a2 +b2 +c2)(ab+bc+ca)2. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ (a + b + c)6 = [(a2 + b2 + c2) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)]3 27(a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca)2; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.23 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a p 3(a2 + b2 + c2) + a + b + c 2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta ÷ñc a2 b + b2 c + c2 a r ( + a + b + c 2 a2 b + b2 c + c2 a )(a + b + c): 50
- 51. Nh÷ vªy, ºk¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng ( a2 b + b2 c + c2 a )(a + b + c) 3(a2 + b2 + c2): Thªt vªy, ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwartz, ta câ a2 b + b2 c + c2 a (a2 + b2 + c2)2 a2b + b2c + c2a : Cæng vi»c cuèi còng ch¿ c¦n chùng minh (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a); hay (a3 + ab2) + (b3 + bc2) + (c3 + ca2) 2(a2b + b2c + c2a). Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 2.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thuëc kho£ng (0; 1) tho£ m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 (1 a2)(1 b2) + b2 + c2 (1 b2)(1 c2) + c2 + a2 (1 a2)(1 c2) 9 2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau X a2 + b2 (1 a2)(1 b2) + 1 2 6; X(1 + a2)(1 + b2) (1 a2)(1 b2) 12: º þ r¬ng ta câ (1 a2)(1 b2) (1 ab)2 = (a b)2; do vªy (1 a2)(1 b2) (1 ab)2. M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ (1 + a2)(1 + b2) (1 + ab)2; do vªy ta suy ra (1 + a2)(1 + b2) (1 a2)(1 b2) (1 + ab)2 (1 ab)2 : ¸n ¥y ta thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i º câ X(1 + a2)(1 + b2) (1 a2)(1 b2) X(1 + ab)2 (1 ab)2 : Ta ¡p döng ti¸p b§t ¯ng thùc AM-GM º suy ra X(1 + a2)(1 + b2) (1 a2)(1 b2) s 3 3 (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) (1 ab)(1 bc)(1 ca) 2 : Do vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) 8(1 ab)(1 bc)(1 ca): 51
- 52. °t x =ab; y = bc; z = ca. Khi â x; y; z 0; x + y + z = 1 v ta c¦n chùng minh (1 + x)(1 + y)(1 + z) 8(1 x)(1 y)(1 z); t÷ìng ÷ìng 9xyz 7(xy + yz + zx) 2: Theo mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 2.35 , ta câ x2 + y2 + z2 + 9xyz x + y + z 2(xy + yz + zx); tø â sû döng gi£ thi¸t x + y + z = 1 º suy ra 9xyz 4(xy + yz + zx) 1. Cæng vi»c cuèi còng l chùng minh 4(xy + yz + zx) 1 7(xy + yz + zx) 2; hay xy + yz + zx 1 3 . Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ xy + yz + zx (x + y + z)2 3 = 1 3 ; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.25 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: 1 + a3 + b3 + 3 p 1 + b3 + c3 + 3 p 1 + a3 + c3 3 p 27 + 2(a + b + c)3 3 p Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ (1 + a3 + b3)[27 + (a + b + c)3 + (a + b + c)3]2 [9 + a(a + b + c)2 + b(a + b + c)2]3; tø â ta suy ra 1 + a3 + b3: 3 p [27 + 2(a + b + c)3]2 9 + (a + b)(a + b + c)2: 3 p Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc 3 p [27 + 2(a + b + c)3]2( 3 p 1 + a3 + b3 + 3 p 1 + b3 + c3 + 3 p 1 + a3 + c3) 27 + 2(a + b + c)3; tø â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 Nhªn x²t. B§t ¯ng thùc tr¶n l h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc Minkowsky mð rëng: 3 p a3 + b3 + c3 + 3 p d3 + e3 + f3 + 3 p g3 + h3 + k3 3 p (a + d + g)3 + (b + e + h)3 + (c + f + k)3: C¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ líi gi£i cõa b i to¡n tr¶n. 2.26 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng: bc (a + b)(a + c) + ca (b + c)(b + a) + ab (c + a)(c + b) 2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) 52
- 53. Líi gi£i. B§t¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 bc (a + b)(a + c) ca (b + c)(b + a) ab (c + a)(c + b) 1 2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) : M°t kh¡c, º þ r¬ng ta câ c¡c ¯ng thùc sau: 1 bc (a + b)(a + c) ca (b + c)(b + a) ab (c + a)(c + b) = 2abc (a + b)(b + c)(c + a) ; 1 2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) = ab + bc + ca (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; do â ta c¦n chùng minh 2abc (a + b)(b + c)(c + a) ab + bc + ca (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; hay 2(a + b) (c + a)(c + b) + 2(b + c) (a + b)(a + c) + 2(c + a) (b + c)(b + a) 1 a + 1 b + 1 c : º þ r¬ng 1 c 2(a + b) (c + a)(c + b) = (c a)(c b) c(c + a)(c + b) ; do â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (a b)(a c) a(a + b)(a + c) + (b a)(b c) b(b + a)(b + c) + (c a)(c b) c(c + a)(c + b) 0: Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ n y óng theo b§t ¯ng thùc Vornicu - Schur, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.27 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 4 p 2a2 + bc + 4 p 2b2 + ac + 4 p 2c2 + ab ab + bc + ca 4 p 3 : q p a + p b + p c Líi gi£i. °t x = 1 a ; y = 1 b ; z = 1 c . Khi â x; y; z 0 v xyz = 1. çng thíi ta công câ 4 p r 2a2 + bc = 4 2 x2 + 1 yz r = 4 2yz + x2 x ; v ab + bc + ca = x + y + z. Theo â, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh r X 4 2yz + x2 x (x + y + z) 4 p 3 s 1 p x + 1 p y + 1 p z ; hay r X 4 2yz + x2 x !4 (x + y + z)4 3 1 p x + 1 p y + 1 p z 2 : 53
- 54. p döng b§t¯ng thùc Holder, ta câ 3(2yz + x2 + 2zx + y2 + 2xy + z2) 1 p x + 1 p y + 1 p z 2 X 4 r 2yz + x2 x !4 : Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 3(2yz + x2 + 2zx + y2 + 2xy + z2) (x + y + z)4 3 ; hay x + y + z 3. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM-GM x + y + z 3 3 p xyz = 3; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.28 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m æi mët ph¥n bi»t. Chùng minh r¬ng: (ab + bc + ca) 1 (a b)2 + 1 (b c)2 + 1 (c a)2 4 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a b c 0. Khi â ta °t a b = x; b c = y. Tø ¥y ta suy ra x; y 0 v ab + bc + ca ab = (c + y)(c + x + y) y(x + y): çng thíi, công tø ph²p °t tr¶n, ta câ 1 (a b)2 + 1 (b c)2 + 1 (c a)2 = 1 x2 + 1 y2 + 1 (x + y)2 : Nh÷ vªy, ta ÷a b i to¡n v· vi»c chùng minh y(x + y) 1 x2 + 1 y2 + 1 (x + y)2 4; hay y(x + y) x2 + x y + y x + y 3: °t t = x y . Khi â t 0 v ta c¦n chùng minh t + 1 t2 + t + 1 t + 1 3: Sau khi bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc mët ¡nh gi¡ hiºn nhi¶n óng (t2 t 1)2 0; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 54
- 55. 2.29 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a b + b c + c a + 3 ab + bc + ca + a + b + c Líi gi£i. Do abc = 1 n¶n tçn t¤i c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z sao cho a = x y ; b = y z ; c = z x : Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh xz y2 + xy z2 + yz x2 + 3 x z + y x + z y + x y + y z + z x ; t÷ìng ÷ìng x3y3 + y3z3 + z3x3 + 3x2y2z2 xyz[xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x)]: Tuy nhi¶n ¥y l mët h» qu£ trüc ti¸p cõa b§t ¯ng thùc Schur bªc 3: m3 + n3 + p3 + 3mnp mn(m + n) + np(n + p) + pm(p + m); ð ¥y m = xy,n = yz v p = zx. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 2.30 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: P a + b ab + c2 P 1 a Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: P 1 a P a + b ab + c2 = (a c)(b c) abc + c3 + (b a)(c a) abc + a3 + (a b)(c b) abc + b3 0 °t 1 abc + a3 = x; 1 abc + b3 = y; 1 abc + c3 = z: B§t ¯ng thùc ÷ñc ÷a v· d¤ng Vornicu Schur: x(a c)(b c) + y(b a)(c a) + z(a b)(c b) 0() Gi£ sû a b c, th¸ th¼ abc + c3 abc + b3. 1 Suy ra abc + c3 1 abc + b3 hay z y M°c kh¡c, theo i·u gi£ sû th¼ b c, do â a b a c. K¸t hñp vîi z y 0, suy ra z(a c) y(a b). Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc () nh÷ sau: x(a b)(b c) + (b c)[z(a c) y(a b)] 0 B§t ¯ng thùc n y óng theo c¡c i·u gi£ sû. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u b¬ng x£y ra khi a = b = c.2 2.31 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 1. T¼m max cõa biºu thùc: P = x3 + y3 + z3 3xyz Líi gi£i. Ta câ: P = x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy yz zx). Suy ra P2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2 p döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho 3 sè khæng ¥m: 55
- 56. P2 = (x+ y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)2 = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 xy yz zx)(x2 + y2 + z2 xy yz zx) (x + y + z)2 + (x2 + y2 + z2 xy yz zx) + (x2 + y2 + z2 xy yz zx) 3 3 = (x2 + y2 + z2)3 = 1 (theo gi£ thi¸t) . Suy ra P 1. Vªy maxP = 1 , (x+y +z)2 = x2 +y2 +z2 xy yz zx , x = 1; y = z = 0 v c¡c ho¡n và.2 2.32 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a2 b + c + b2 a + c + c2 a + b a2 a + b + b2 b + c + c2 c + a Líi gi£i. C¡ch 1 Ta câ: P a2 b2 a + b = a b + b c + c a = 0 Suy ra P 2a2 a + b = P a2 + b2 a + b Khi â ta c¦n chùng minh: P 2c2 a + b P a2 + b2 a + b B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: P 2c2 a2 b2 a + b 0 hay P c2 a + b a2 a + b + a2 b + c c2 b + c 0 hay P (c a)2(c + a) (a + b)(b + c) 0 (óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c C¡ch 2 B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: P a2 1 b + c 1 a + c 0 hay (a2(a2 c2) + b2(b2 a2) + c2(c2 b2) 0 hay 1 2 [(a2 b2)2 + (b2 c2)2 + (c2 a2)2] 0 (óng) . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 2.34 Cho x; y; z 0. Chùng minh r¬ng: a2 + bc (b + c)2 + b2 + ac (a + c)2 + c2 + ab (a + b 2 3 2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: P a2 + bc (b + c)2 1 2 0 hay 56
- 57. P 2a2 b2 c2 (b + c)2 0 Gi£ sû a b c. Khi â ta câ hai d¢y còng chi·u: 8 : 2a2 b2 c2 2b2 a2 c2 2c2 a2 b2 1 (b + c)2 1 (a + c)2 1 (a + b)2 p döng b§t ¯ng thùc Chebychep cho hai d¢y tr¶n: P (2a2 b2 c2): 1 (b + c)2 [ P (2a2 b2 c2)] : P 1 (b + c)2 = 0: P 1 (b + c)2 = 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 2.35 Cho a; b 0. Chùng minh r¬ng: (a2 + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 2(a + b)2 Líi gi£i. º þ r¬ng a2 + b2 = (a + b)2 2ab. °t a2 + b2 = x; ab = y B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: x(x + 2y) + (y + 1)2 2(x + 2y) Khai triºn v rót gån, ta ÷ñc: x2 + y2 + 1 2x 2y + 2xy 0 hay (x + y 1)2 0 (óng) Ph²p chr ùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a2 + b2 + ab = 1 (ch¯ng h¤n a = b = 1 3 ).2 2.36 Cho a; b; c 2 R. Chùng minh r¬ng: a3 b3 (a b)3 + b3 c3 (b c)3 + c3 a3 (c a)3 9 4 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: P a2 + b2 + ab (a b)2 9 4 Nhªn th§y r¬ng: a2 + ab + b2 (a b)2 = 1 4 (a + b)2 + 3 4 (a b)2 (a b)2 3 4 (a b)2 (a b)2 = 3 4 Thöc hi»n t÷ìng tü cho hai b§t ¯ng thùc cán l¤i. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a + b + c = 0.2 2.37 Cho a; b 0. Chùng minh r¬ng: 1 a2 + 1 b2 + 4 a2 + b2 32(a2 + b2) (a + b)4 Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng: 1 a2 + 1 b2 + 4 a2 + b2 = a2 + b2 a2b2 + 4 a2 + b2 r a2 + b2 2 a2b2 : 4 a2 + b2 = 4 ab 57
- 58. Ta s³ chùngminh: 4 ab 32(a2 + b2) (a + b)4 hay 8ab(a2 + b2) (a + b)4 p döng b§t ¯ng thùc 4xy (x + y)2: 8ab(a2 + b2) = 4:2ab:a2 + b2) (a2 + b2 + 2ab)2 = (a + b)4 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b.2 2.38 Cho a; b 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chùng minh r¬ng: a + b + c 3 Líi gi£i. C¡ch 1: Theo nguy¶n l½ Dirichlet, trong ba sè a; b; c t s³ câ hai sè còng ph½a vîi 1 tr¶n tröc sè. G¿£ sû hai sè â l a v b. Th¸ th¼: (a 1)(b 1) 0 hay ab a + b 1 . M°t kh¡c, theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng: 4 c2 = a2 + b2 + abc 2ab + abc = ab(2 + c) hay (2 c)(2 + c) ab(2 + c) hay 2 c ab K¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc ab a + b 1 (chùng minh tr¶n), suy ra: 2 c ab a + b 1 hay a + b + c 3 . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 C¡ch 2: °t a = 2x p (x + y) (x + z) ; b = 2y p (y + z) (y + x) ; c = 2z p (z + y) (z + x) Suy ra: a + b + c = P p p 2x y + z (x + y) (y + z) (z + x) V¼ th¸ b§t ¯ng thùc a + b + c 3 s³ t÷ìng ÷ìng vîi: P 2x p (x + y)(y + z)(z + x) p y + z 3 ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur vîi c¡c bi¸n p y + z; p y + x; p z + x. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 C¡ch 3: Gi£ sû tçn t¤i mët sè (cho sè â l a) trong ba sè a; b; c lîn hìn 2. Khi â, v¼ a; b; c d÷ìng n¶n: a2 + b2 + c2 + abc = 4 4 + b2 + c2 + abc 4 (væ l½!) Do â a; b; c 2 (0; 2] Tø gi£ thi¸t suy ra: a2 + abc + b2c2 4 = 4 + b2c2 4 b2 c2 58
- 59. hay a+ bc 2 2 = (4 b2)(4 c2) 4 Do b; c 2 n¶n suy ra: a + b + c = r (4 b2) (4 c2) 4 bc 2 + b + c p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: r (4 b2) (4 c2) 4 bc 2 + b + c 1 2 (4 b2 + 4 c2) bc 2 + b + c = 3 b + c 2 2 1 3 . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 Nhªn x²t: B§t ¯ng thùc a + b + c 3 công óng vîi i·u ki»n a2 + b2 + c2 + 3 2 abc = 9 2 . 2.39 Cho x; y; z 0. Chùng minh r¬ng: 1 x + 1 y + 1 z 36 9 + x2y2 + y2z2 + z2x2 Líi gi£i. °t xy = a; yz = b; xz = c, b§t ¯ng thùc trð th nh: p abc (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 9) 36 p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: a + b + c 3 3 p p (abc)4 abc = 3 12 q 3 3 p (abc)2:3:3:3 = 12 12 a2 + b2 + c2 + 9 3 3 p (abc)2 + 9 = 3 3 p (abc)2 + 3 + 3 + 3 4 4 p (abc)2 Nh¥n v¸ theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 + 9) 3 3 p p (abc)2 = 36: abc:12 12 p abc . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 2.40 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: 4 a2 + b2 + 1 4 b2 + c2 + 1 4 c2 + a2 + 1 3(a + b + c)2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder: 4 a2 + b2 + 1 4 b2 + c2 + 1 4 c2 + a2 + 1 r 3 64 (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) + 1 3 p döng b§t ¯ng thùc AM-GM v b§t ¯ng thùc 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2: r 3 64 (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) + 1 3 12 2(a2 + b2 + c2) + 1 3 = 27 = 9(a2 + b2 + c2) 3(a + b + c)2 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = r 1 3 .2 3.3 B i 3.1 ¸n b i 3.40 3.1 Cho a; b; c; x; y; z 0 thäa m¢n x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng: ax + by + cz + 2 p (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) a + b + c Líi gi£i. 59
- 60. p döng b§t¯ng thùc Cauchy-Schwarz: ax + by + cz + 2 p (xy + yz + zx)(ab + bc + ca) pP a2: P x2 + p 2 P xy:2 P ab p ( P a2 + 2 P P ab)( x2 + 2 P xy) = a + b + c (do x + y + z = 1) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a x = b y = c z = 1 a + b + c = a + b + c x + y + z = a + b + c hay a + b + c = 1. 2 3.2 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a3 + b3 + c3 = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa: P = a4b4 + b4c4 + c4a4 Líi gi£i. Ta chùng minh gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc l 3. °t a3 = x; b3 = y; c3 = z, suy ra x + y + z = 3. p döng AM-GM 3a4b4 a3b3(a3 + b3 + 1) Khi â, ta ch¿ c¦n chùng minh: xy(x + y + 1) + yz(y + z + 1) + zx(z + x + 1) 9 ÷a v· d¤ng çng bªc, ta c¦n chùng minh 3 P xy(x + y) + (x + y + z)(xy + yz + zx) (x + y + z)3 Sau khi khai triºn, b§t ¯ng thùc trð th nh: x3 + y3 + z3 + 3xyz P xy(x + y) óng theo b§t ¯ng thùc Schur. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 3.3 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: P = a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b Líi gi£i. C¡ch 1: Gi£ sû a b c. Ta s³ câ hai d¢y còng chi·u: 8 a2 b2 c2 1 b + c : 1 a + c 1 a + b p döng l¦n l÷ñt b§t c¡c b§t ¯ng thùc Chebychep, gi£ thi¸t a2 + b2 + c2 = 1 v b§t ¯ng thùc P 1 x P9 x , ta câ: P = a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b 1 3 (a2 + b2 + c2) 1 b + c + 1 c + a + 1 a + b 3 2 (a + b + c) L¤i theo b§t ¯ng thùc: 3 = 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 Suy ra: a + b + c p 3 . Do â: P 3 2(a + b + c) p 3 2 . Vªy minP = p 3 2 , a = b = c = 1 p 3 . 60
- 61. C¡ch 2: pdöng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz v gi£ thi¸t: P a2 b + c = P a4 a2(b + c) (a2 + b2 + c2)2 a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) = 1 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc AM-GM: P a(b2 + c2) = P r 1 2 s :2a2(b2 + c2)(b2 + c2) 3 1 2 2a2 + 2b2 + 2c2 3 2 = 2 p 3 Suy ra: P 1 2 p 3 = p 3 2 Vªy minP = p 3 2 , a = b = c = 1 p 3 .2 3.4 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 1 a(b + a) + 1 b(c + 1) + 1 c(c + a) 3 3 p abc:(1 + 3 p abc) Líi gi£i. C¡ch 1: Nh¥n v¸ tr¡i vîi abc + 1, ta câ: 1 a(b + a) + 1 b(c + 1) + 1 c(c + a) = P bc 1 + b + 1 a(1 + b) = P b(1 + c) 1 + b + 1 + a a(1 + b) 1 = P b(1 + c) 1 + b + P 1 + a a(1 + b) 3 = P p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: s P 3 3 abc(1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) s + 3 3 (1 + a)(1 + b)(1 + c) abc(1 + a)(1 + b)(1 + c) 3 = 3 ( 3 p abc)2 3 p abc + 1 3 p abc = 3(abc + 1) 3 p abc( 3 p abc + 1) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 C¡ch 2: Theo b§t ¯ng thùc Holder th¼: (1 + a)(1 + b)(1 + c) (1 + 3 p abc)3 . p döng b§t¯ng thùc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) v b§t ¯ng thùc tr¶n: P 1 a(b + 1) 2 3 P 1 ab(1 + b)(1 + c) = 3(a + b + c + ab + bc + ca) abc(1 + b)(1 + c)(1 + a) = 3 abc 3(abc + 1) abc(1 + a)(1 + b)(1 + c) 3 abc 3(abc + 1) abc(1 + 3 p abc)3 = 3 3 3 p abc(1 + 3 p abc) abc(1 + 3 p abc)3 = 9 3 p a2b2c2(1 + 3 p abc)2 Khai c«n hai v¸, suy ra: 1 a(b + a) + 1 b(c + 1) + 1 c(c + a) 3 3 p abc:(1 + 3 p abc) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 C¡ch 3: °t abc = k. Th¸ th¼ luæn tçn t¤i x; y; z 0 sao cho a = ky x ; b = kz y ; c = kx z . Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 61
- 62. 1 ky x kz y + 1 + 1 kz y kx z + 1 + 1 kx z ky x + 1 3 k(k + 1) hay x y + kz + y z + kx + z x + ky 3 k + 1 . Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz v b§t ¯ng thùc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx): x y z (x + y + z)2 (x + y + z)2 + + = y + kz z + kx x + ky x(y + kz) + y(z + kx) + z(x + ky) (k + 1)(xy + yz + zx) 3 k + 1 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.5 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: 1 2 + a2 + b2 + 1 2 + b2 + c2 + 1 2 + c2 + a2 3 4 Líi gi£i. Gi£ sû a b c. Tr÷íng hñp 1: a2 + b2 6 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: P a2 + b2 a2 + b2 + 2 3 2 , P (a + b)2 (a + b)2 + 2(a + b)2 a2 + b2 3 2 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz : P (a + b)2 (a + b)2 + 2(a + b)2 a2 + b2 4(a + b + c)2 P (a + b)2 + P 2(a + b)2 a2 + b2 Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 + 2(a + b)2 a2 + b2 + 2(b + c)2 b2 + c2 + 2(c + a)2 c2 + a2 24 Ta l¤i câ: 12 P (a + b)2 = 4 3 (a + b + c)2 P (a + b)2 = 1 3 P (a b)2 v 12 P 2(a + b)2 a2 + b2 = P 2(a b)2 a2 + b2 N¶n b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi: P (a b)2( 6 a2 + b2 1) 0 (óng) Tr÷íng hñp 2: a2 + b2 6. Khi â ta câ: 1 a2 + b2 + 2 1 8 v 1 a2 + c2 + 2 + 1 b2 + c2 + 2 1 a2 + 2 + 1 b2 + 2 1 8 b2 + 1 b2 + 2 1 8 + 1 2 ( v¼ 0 b2 6) Khi â : P 1 a2 + b2 + 2 3 4 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.6 Cho a; b; c 0 thäa m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng: 1 a2 + 1 + 1 b2 + 1 + 1 c2 + 1 3 2 Líi gi£i. 62
- 63. Gi£ sû a b c. Suy ra: ab 1 Suy ra: (a b)2(ab 1) 0 hay 1 1 + a2 + 1 1 + b2 2 1 + ab Vªy ta c¦n chùng minh: 2 1 + ab + 1 1 + c2 3 2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: 3 ab ab + 1 2c2 c2 + 1 hay c2 + 3 ab 3abc2 hay c2 + ca + bc 3abc2 hay a + b + c 3abc i·u n y óng v¼: 8 : 3 p (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) = 9 ab + bc + ca 3 (abc)2 hay a + b + c 3 3abc . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 3.7 Cho a; b; c 0 thäa m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng: 1 2abc + ab2 + 1 2abc + bc2 + 1 2abc + ca2 a + b + c 3 Líi gi£i. Nh¥n abc cho 2 v¸ cõa b§t ¯ng thùc, ta c¦n chùng minh: ca 2ca + ba + ab 2ab + cb + bc 2bc + ac abc(a + b + c) 3 °t bc = x; ca = y; ab = z, suy ra x + y + z = 3, b§t ¯ng thùc trð th nh: y 2y + z + z 2z + x + x 2x + y xy + yz + zx 3 °t x2 + y2 + z2 = m, xy + yz + zx = n, suy ra m + 2n = 9. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: y 2y + z + z 2z + x + x 2x + y (x + y + z)2 2m + n V¼ vªy ta c¦n chùng minh: (x + y + z)2 2m + n n 3 hay (m + 2n)2 3n(2m + n) (do m + 2n = 9) Hay tùc l m2 + n2 2mn (óng theo AM-GM) . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 63
- 64. 3.8 Cho a;b; c 2 R. Chùng minh r¬ng: 2(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) (a b)2(b c)2(c a)2 Líi gi£i. Ta câ h¬ng ¯ng thùc sau: (x2 + y2)(m2 + n2) = (xm + yn)2 + (xn ym)2 p döng h¬ng ¯ng thùc tr¶n, ta câ: 2(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) = (a + b)2 + (a b)2 h (c2 + ab)2 + c2(a b)2 i = (a + b)(c2 + ab) + c(a b)22 + c(a b)(a + b) (c2 + ab)(a b) 2 = (a + b)(c2 + ab) + c(a b)22 + (a b)2(b c)2(c a)2 (a b)2(b c)2(c a)2 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi (a + b)(c2 + ab) = c(a b)2.2 3.9 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3b 1 + ab2 + b3c 1 + bc2 + c3a 1 + ca2 abc(a + b + c) 1 + abc Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P a3b 1 + ab2 : P 1 + ab2 ab (a + b + c)2 hay P a3b 1 + ab2 : abc + 1 abc (a + b + c) (a + b + c)2 hay a3b 1 + ab2 + b3c 1 + bc2 + c3a 1 + ca2 abc(a + b + c) 1 + abc Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.10 Cho a; b; c 2 [0; 2] thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: A = a3 + b3 + c3 9 Líi gi£i. C¡ch 1 Ta câ ¯ng thùc sau: A = a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 3(a + b)(b + c)(c + a) = 27 3(3 a)(3 b)(3 c) = 27 9(ab + bc + ca) + 3abc M°t kh¡c, do a; b; c 2 [0; 2] n¶n (2 a)(2 b)(2 c) 0, hay: 8 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) abc 0 Suy ra: 2(ab + bc + ca) abc 4(a + b + c) 8 = 4 Suy ra: 9(ab + bc + ca) 9 2 abc 18 . Do â: A 27 9 2 abc 18 + 3abc = 9 3 2 abc 9 (do a; b; c 0) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2; b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và. C¡ch 2 Gi£ sû a = max fa; b; cg 64
- 65. Suy ra 3= a + b + c 3a, hay a 2 [1; 2], hay (a 1)(a 2) 0 Ta câ: A = a3 + b3 + c3 a3 + 3bc(b + c) + b3 + c3 = a3 + (b + c)3 = a3 + (3 a)3 = (a 1)(a 2) + 9 9 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2; b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 3.11 Cho d¢y sè d÷ìng an . Chùng minh r¬ng: 1 a1 + 2 a1 + a2 + : : : + n a1 + a2 + ::: + an 4 1 a1 + :::: + 1 an Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: 12 a1 + 22 a2 + ::: + i2 ai (1 + 2 + ::: + i)2 a1 + a2 + ::: + ai Th¸ l¦n l÷ñt i = 1; 2; 3; :::; n rçi cëng v¸ theo v¸: A Pn i=1[ i (1 + 2 + ::: + i)2 :( 12 a1 + 22 a2 + ::: + i2 ai )] = Pn i=1 (Bi: i2 ai ) = T Trong â: Bi = i (1 + 2 + ::: + i)2 + i + 1 [1 + 2 + ::: + (i + 1)]2 + ::: + n (1 + 2 + ::: + n)2 = 4: i [i(i + 1)]2 + i + 1 [(i + 1)(i + 2)]2 + ::: + n [n(n + 1)]2 = 4: 1 i(i + 1)2 + ::: + 1 n(n + 1)2 = 4 1 i + 1 1 i 1 i + 1 + ::: + 1 n + 1 1 n 1 n + 1 = 4( 1 i2 C) 4: 1 i2 Do C = 1 i ( 1 i 1 i + 1 ) + ::: + 1 n ( 1 n 1 n + 1 ) + 1 (n + 1)2 0 Suy ra: Bi:i2 4 Suy ra: Bi: i2 ai 4 ai Suy ra: A T 4( 1 a1 + :::: + 1 an ) Ph²p chùng minh ho n t§t.2 3.12 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: a3 + b3 + c3 3abc [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: 65
- 66. a3 + b3+ c3 3abc 2 [ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 6abc] hay (a + b + c) [(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] 4 [c(a b)2 + a(b c)2 + b(c a)2] hay (3a b c)(b c)2 + (3b c a)(c a)2 + (3c a b)(a b)2 0 (1) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c. X²t hai tr÷íng hñp: Tr÷íng hñp 1: c a + b 3 B§t ¯ng thùc (1) câ thº bi¸n ði th nh: (c + a b)(b c)2 + (b + c a)(c a)2 + (a + b 3c)(b c)(a c) 0 B§t ¯ng thùc n y óng theo i·u gi£ sû. Tr÷íng hñp 2: c a + b 3 Suy ra b a + b 3 a + c 3 Bi¸n êi b§t ¯ng thùc (1) th nh: (b + c a)(a b)2 + (a + b c)(b c)2 + (3b c a)(a b)(b c) 0 B§t ¯ng thùc n y công óng theo i¶u gi£ sû. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a + b = 3c ho°c a + c = 3b.2 3.13 Cho a; b; c 2 R. Chùng minh r¬ng: S = a21 + a1 + a2 2 2 + ::: + a1 + a2 + ::: + an n 2 4(a21 + a22 + ::: + a2 n) Líi gi£i. °t k = p k p k 1 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: a21 1 + a22 2 + ::: + a2 k k (1 + 2 + ::: + k) (a1 + a2 + :: + ak)2 Suy ra: a1 + a2 + ::: + ak k 2 (1 + 2 + :: + k) k2 a21 1 + a22 2 + ::: + a2 k k Suy ra: S Pn k=1 ck a2 k k vîi ck = Pnk i=0 1 + 2 + :: + k+i (k + i)2 Suy ra: ck = p k k2 + p k + 1 (k + 1)2 + ::: + p n n2 = 1 k p k + 1 (k + 1) p k + 1 + ::: + 1 n p n Ta l¤i câ: 1 2 p k 1 r k + 1 2 + r k 1 2 = r k + 1 2 r k 1 2 v r (k 1 2 ):(k + 1 2 ) k Suy ra: 66
- 67. 1 k p k 2 0 BB@ 1 r k 1 2 1 r k + 1 2 1 CCA Suy ra: ck 2 0 BB@ 1 r k 1 2 1 r n + 1 2 1 CCA 2 r k 1 2 Suy ra: ck k 2 r k 1 2 r k :2 1 2 = 4 Suy ra: S 4(a21 + a22 + ::: + a2 n) Ph²p chùng minh ho n t§t.2 3.14 (VMO 2002) Cho a; b; c l c¡c sè thüc thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 9. Chùng minh r¬ng: 2(a + b + c) abc 10 Líi gi£i. C¡ch 1: Theo gi£ thi¸t: 8 : jaj; jbj; jcj 3 ja + b + cj 3 p 3 p 3 jabcj 3 Ta câ thº gi£ sû a; b; c6= 0 v a b c. X²t c¡c tr÷íng hñp sau: c 0: Th¸ th¼ p 3 10 2(a + b + c) abc abc 3 a b 0 c. Suy ra abc 0. Suy ra 2(a + b + c) 2c 6 10 + abc hay 2(a + b + c) abc 10 a 0 b c Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: (2b + 2c a)2 (b2 + c2 + a2)[22 + 22 + (1)2] = 9:9 = 81 Suy ra: 2b + 2c a 9 Do â: 2(a + b + c) = 2b + 2c a + 3a 9 + 3a Ta c¦n chùng minh: 9 + 3a abc + 10 hay 3a 1 abc Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ bc b2 + c2 2 = 9 a2 2 Tùc ta ph£i chùng minh: 67
- 68. 3a 1 9 a2 2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: (a + 1)2(a 2) 0 (óng do a 0) 0 a b c Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta co: 2b + 2c + a 9 Ta công suy ra ÷ñc: 2(a + b + c) 9 + a Vªy ta c¦n chùng minh: 9 + a 10 + abc hay a 1 + abc Vîi a 1 th¼ b§t ¯ng thùc hi»n nhi¶n óng. Vîi a 1 th¼ c b 1. Khi â b§t ¯ng thùc công óng. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi b = c = 2; a = 1 v c¡c ho¡n và. C¡ch 2: °t P = 2(a + b + c) abc. Suy ra P2 = [2(a + b + c) abc]2 = [2(a + b) + z(2 ab)]2 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P2 [(a + b)2 + c2)[4 + (2 ab)2] = 72 20ab + (ab)2 + 2(ab)3 °t t = ab. Ta s³ chùng minh: 100 72 20t + t2 + 2t3 hay (t + 2)2(t 3:5) 0 (*) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû jaj jbj jcj. Suy ra: 3jcj 9 Suy ra: a2 + b2 6 Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼: 6 a2 + b2 2ab hay ab 3 3:5 Suy ra (*) óng. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v£ ch¿ khi b = c = 2; a = 1 v c¡c ho¡n và.2 3.15 Cho a; b; c 0 v khæng câ hai sè n o trong chóng çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: r a2 + bc 3 r b2 + ca b2 + c2 + 3 r c2 + ab c2 + a2 + 3 a2 + b2 9 3 p abc a + b + c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùPc AM-GM: a(b2 + c2) a2 + bc = a(b2 + c2) a2 + bc r abc(b2 + c2) + b + c 3 3 a2 + bc Suy ra: 68
- 69. r a2 +bc 3 b2 + c2 3 3 p abc(a2 P + bc) a(b2 + c2) r b2 + ca T÷ìng tü vîi 3 r c2 + ab c2 + a2 v 3 a2 + b2 , ta câ: r a2 + bc 3 r b2 + ca b2 + c2 + 3 r c2 + ab c2 + a2 + 3 a2 + b2 3 3 p abc(a2 +Pb2 + c2 + ab + bc + ca) a(b2 + c2) Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: 3(a2 + b2P+ c2 + ab + bc + ca) a(b2 + c2) 9 a + b + c hay P (a + b + c)[(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)] 3[ a(b2 + c2)] Gi£ sû a b c. Bi¸n êi b§t ¯ng thùc tr¶n th nh: a(a b)2 + c(b c)2 + (a + c b)(a b)(b c) 0 (óng theo i·u gi£ sû) . Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v£ ch¿ khi a = b = c.2 3.16 Cho a; b; c 2 R thäa m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 + 9 4 a2b2c2 21 4 Líi gi£i. Tø · b i suy ra b + c6= 0 v a = 3 bc b + c . Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû: bc ca ab . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 3 bc b + c 2 1 + 9 4 b2c2 + b2 + c2 21 4 °t b + c = S v bc = P. Ta ÷ñc: (3 P)2(4 + 9P2) + 4S2(S2 2P) 21S2 hay 9P4 54P3 + 85P2 24P + 36 + 4S4 8S2P 21S2 0 hay (9P4 54P3 + 117P2 108P + 36) + (4S4 8S2P 32P2 21S2 + 84P) 0 hay 9(P2 3P + 2)2 + (S2 4P)(4S2 + 8P 21) 0 B§t ¯ng thùc n y óng v¼ 4S2 + 8P 16P + 8P 21 24 21 0. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 ho°c a = 1 2 p 2 ; b = p 2.2 3.17 Cho a; b; c 2 [0; 1]. Chùng minh r¬ng: c = a2 + b2 + c2 1 + a2b + b2c + c2a Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: (1 a2)(1 b2)(1 c2) + a2b2c2 + a2b(1 b) + b2c(1 c) + c2b(1 b) 0 B§t ¯ng thùc n y óng theo gi£ thi¸t. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 0; b = c = 1 v c¡c ho¡n và.2 69
- 70. 3.18 Cho a;b; c 0 thäa m¢n a + b + c 1 2 . Chùng minh r¬ng: 1 a a2 + 1 b b2 + 1 c c2 108 5 Líi gi£i. C¡ch 1: Tø gi£ thi¸t suy ra 0 a; b; c 1 2 X²t hi»u sau: 1 a a2 36 5 + 144(6a 1) 25 = (6a 1)(6a 5) 5(a a2) + 144(6a 1) 25 = (6a 1) 5 6a 5 a a2 + 144 5 = (6a 1) 5 144a2 + 174a 25 5(a a2) = (6a 1)2(25 24a) 25(a a2) 0 Suy ra: 1 a a2 36 5 144(6a 1) 25 Mët c¡ch t÷ìng tü: 1 b b2 36 5 144(6b 1) 25 1 c c2 36 5 144(6c 1) 25 Cèng v¸ theo v¸: 1 a a2 + 1 b b2 + 1 c c2 108 5 144 25 6a + 6b + 6c 3 25 108 25 (do a + b + c 1 2 ) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 6 . C¡ch 2: Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P 1 a a2 9 a + b + c a2 b2 c2 °t a + b + c = x. Th¸ th¼ x 1 2 v a2 + b2 + c2 x2 3 . Do â ta ch¿ c¦n chùng minh: 9 x x2 3 108 5 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: (2x 1)(2x 5) 0 (óng do x 1 2 ) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 6 .2 3.19 Cho a; b; c; d 0 thäa a + b + c + d = 3. Chùng minh r¬ng: ab 3b + c + d + 3 + bc 3c + d + a + 3 + cd 3d + a + b + 3 + da 3a + b + c + 3 1 3 Líi gi£i. Vîi a + b + c + d = 3, b§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t th nh: ab 4b + 2c + 2d + a + bc 4c + 2d + 2a + b + cd 4d + 2a + 2b + c + da 4a + 2b + 2c + d 1 3 70
- 71. p döng b§t¯ng thùc Cauchy-Schwarz: ab 4b + 2c + 2d + a 1 9 2ab 2b + d + ab 2c + a bc 4c + 2d + 2a + b 1 9 2bc 2c + a + bc 2d + b cd 4d + 2a + 2b + c 1 9 2cd 2d + b + cd 2a + c da 4a + 2b + 2c + d 1 9 2da 2a + c + da 2b + d Cëng v¸ theo v¸, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = d = 3 4 . 2 3.20 Cho a; b; c 0, Chùng minh r¬ng: a3 b(c + a) + b3 c(a + b) + c2 b + c a + b 2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: a3 b(c + a) + b 2 + c + a 4 3a 2 b3 c(a + b) + c 2 + a + b 4 3b 2 c2 b + c + b + c 4 c Cëng v¸ theo v¸: a3 b(c + a) + b3 c(a + b) + c2 b + c + a 2 + b + c 3a 2 + 3b 2 + c hay a3 b(c + a) + b3 c(a + b) + c2 b + c a + b 2 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.21 Cho x; y; z 0 thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: P = 1 x + 1 y + 1 z + 3(x + y + z) 2 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t suy ra 0 a; b; c p 3 Ta chùng minh b§t ¯ng thùc sau: 1 a + 3 2 a a2 + 9 4 Thªt vªy, b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: (a 1)2 (4 a) 0 (óng) T÷ìng tü vîi b v c, rçi cëng v¸ theo v¸, ta câ: P = 1 x + 1 y + 1 z + 3(x + y + z) 2 a2 + b2 + c2 + 27 4 = 15 2 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 3.22 (Iran 1996) Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: (ab + bc + ca) 1 (a + b)2 + 1 (b + c)2 + 1 (c + a)2 9 4 Líi gi£i. 71
- 72. °t a +b = x; b + c = y; c + a = z. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: (2xy + 2yz + 2zx x2 y2 z2) 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 9 hay 2 P sym x y P sym x2 y2 + 2 P sym xy z2 12 0 hay P sym(x y)2 2 xy 1 z2 0 Gi£ sû x y z. Th¸ th¼: 2 yz 1 x2 0 hay (x y)2 2 yz 1 x2 0 L¤i câ: (y z)(y + z x) 0 Suy ra; x z x y y z M°t kh¡c: 2 zx 1 y2 2 z(z + y) 1 y2 0 Suy ra: (z x)2 2 zx 1 y2 + (x y)2 2 xy 1 z2 (x y)2 2y2 z3x 1 z2 + 2 xy 1 z2 Vªy ta c¦n chùng minh: 2y2 z3x 1 z2 + 2 xy 1 z2 0 hay y3 + z3 xyz 0 hay (y + z)(y z)2 + yz(y + z x) 0 (óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c ho°c a = 0; b = c v c¡c ho¡n và.2 3.23 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a b + 2c 2 + b c + 2a 2 + c a + 2b 2 1 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc x2 + y2 + z2 1 3 (a + b + c)2: a b + 2c 2 + b c + 2a 2 + c a + 2b 2 1 3 a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 2 L¤i theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz v b§t ¯ng thùc (x + y + z)2 3(xy + yz + zx): a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b = a2 ab + 2ac + b2 bc + 2ab + c2 ac + 2bc (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) 1 Suy ra: a b + 2c 2 + b c + 2a 2 + c a + 2b 2 1 3 a b + 2c + b c + 2a + c a + 2b 2 1 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯n thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 72
- 73. 3.24 Cho a;b; c; d 0 thäa m¢n (a+b+c+d) 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 20. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: A = (a2 + b2 + c2) 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t suy ra: P a + b + c d = 16 p döng h¬ng ¯ng thùc: (a + b + c d)2 + (b + c + d a)2 + (c + d + a b)2 + (d + a + b c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: (a2 + b2 + c2 + d2):( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 d2 ) = 1 4 : hX (a + b + c d)2 i : X 1 a2 1 4 : Xa + b + c d d 2 = 1 4 Xa + b + c d 2 4 = 1 4 :122 = 36 Vªy minA = 36 , a = c = p 5 2 3 :b = p 5 2 3 :d. 2 Nhªn x²t: Ta câ h¬ng ¯ng thùc ¡ng chó þ sau: (a + b + c d)2 + (b + c + d a)2 + (c + d + a b)2 + (d + a + b c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2) Tø â n¸u câ t¡m sè thüc d÷ìng a; b; c; d; x; y; z; t th¼ ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz v h¬ng ¯ng thùc tr¶n: [(a + b + c + d)(x + y + z + t) 2(at + bx + cy + dz)]2 = [a(x + y + z t) + b(y + z + t x) + c(z + t + x y) + d(t + x + y z)]2 (a2 + b2 + c2 + d2)[(x + y + z t)2 + (y + z + t x)2 + (z + t + x y)2 + (y + x + y z)2] = 4(a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) hay (a + b + c + d)(x + y + z + t) 2(at + bx + cy + dz) 2 p (a2 + b2 + c2 + d2)(x2 + y2 + z2 + t2) B i to¡n tr¶n l tr÷íng hñp ri¶ng khi a = 1 t ; b = 1 x ; c = 1 y ; d = 1 z . 3.25 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 64abc(a + b + c)3 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Líi gi£i. Ta chùng minh b§t ¯ng thùc sau: (a + b)(b + c)(c + a) 8 9 (a + b + c)(ab + +bc + ca) Thªt vªy, sau khi khai triºn, rót gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng sau: c(a b)2 + b(a c)2 + a(b c)2 0 (óng) p döng b§t ¯ng thùc tr¶n: 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 27: 64 81 :(a + b + c)2:(ab + bc + ca)2 hay 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 64 3 (a + b + c)2(ab + bc + ca)2 73
- 74. p döng b§t¯ng thùc (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c): 64 3 (a + b + c)2(ab + bc + ca)2 64 3 :(a + b + c)2:3abc:(a + b + c) = 64abc:(a + b + c)3 Suy ra: 64abc(a + b + c)3 27[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.26 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a3 + b3 = c3. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 c2 6(c a)(c b) Líi gi£i. °t x = a c ; y = b c . Theo gi£ thi¸t th¼ x3 + y3 = 1 v 0 x; y 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: x2 + y2 + 1 6(1 x)(1 y) Tø gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc AM-GM cho ba sè d÷ìng: x3y3 = (1 x)(1 y)(1 + x + x2)(1 + y + y2) (1 x)(1 y):3x:3y = (1 x)(1 y)9xy Suy ra: p (1 x)(1 y xy 3 Do â: x2 + y2 1 = x2(1 x) + y2(1 y) 2xy p (1 x)(1 y) 6(1 x)(1 y) ¯ng thùc khæng x£y ra. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 3.27 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: (a + b + c)4 16(a2b2 + b2c2 + c2a2) Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a = max fa; b; cg. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: (a + b + c)4 16a2(b + c)2 = 16(a2b2 + a2c2 + 2a2bc) 16(a2b2 + b2c2 + a2c2) Ph²p chùng mnh ho n t§t, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 3.28 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: p a2 + 3bc b + c a + p b2 + 3ac a + c b + c p c2 + 3ab a + b a + b + c Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM: P a(b2 + 3bc) (b + c) p b2 + 3bc P 2a(b2 + 3bc) b2 + 3bc + (b + c)2 = P 2a(a2 + 3bc) a2 + b2 + c2 + 5bc X²t hi»u sau: P 2a(a2 + 3bc) a2 + b2 + c2 + 5bc = a P a(a2 + bc b2 c2) a2 + b2 + c2 + 5bc = P a(b + c)(a2 + bc b2 c2) (b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc) = P a3(b + c) a(b3 + c3) (b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc) = P ab(a2 b2) + ac(a2 b2) (b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc) = ab P (a2 b2) 1 (b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc) 1 (a + c)(a2 + b2 + c2 + 5ac) 74
- 75. = ab(a2 b2)(a b)(a2 + b2 + c2 + 5ac + 5bc) (a + c)(b + c)(a2 + b2 + c2 + 5bc)(a2 + b2 + c2 + 5ac) 0 Do â: p a2 + 3bc b + c a + p b2 + 3ac a + c b + c p c2 + 3ab a + b a + b + c Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.29 Cho x; y; z 0 tho£n m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng: p 2(2 + (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) 2 P x3y3 + P x3) Líi gi£i. °t x3 = a; y3 = b; z3 = c. Th¸ th¼ abc = 1. B§t «ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: p 2(2 + (a + b)(b + c)(c + a) 2 P ab + P a) hay p 2(a + 1)(b + 1)(c + 1) (a + b)(b + c)(c + a) 2 hay [(a + b)(b + c)(c + a)]2 8(a + 1)(b + 1)(c + 1) Theo b§t ¯ng thùc Holder th¼: (a + b)2 a + 1 b 2 (a + 1)4 hay a2(a + b)2(c + 1)2 (a + 1)4 Lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü: b2(b + c)2(a + 1)2 (b + 1)4 c2(c + a)(b + 1)2 (c + 1)4 Nh¥n v¸ theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n: a2b2c2(a + b)2(b + c)2(c + a)2(a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2 (a + 1)4(b + 1)4(c + 1)4 hay [(a + b)(b + c)(c + a)]2 (a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2 L¤i theo b§t ¯ng thùc AM-GM: (a + 1)2(b + 1)2(c + 1)2 = [(a + 1)(b + 1)(c + 1)][(a + 1)(b + 1)(c + 1)] p abc:[(a + 1)(b + 1)(c + 1)] 8 = 8(a + 1)(b + 1)(c + 1) Do â: [(a + b)(b + c)(c + a)]2 8(a + 1)(b + 1)(c + 1) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.2 3.30 Cho z; y; z 0. Chùng minh r¬ng: i) 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 1 1 + xy ii) Cho xyz = 1. Chùng minh r¬ng: 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 + 1 (z + 1)2 + 2 (1 + x)(1 + y)(1 + z) 1 Líi gi£i. i) Ti¸n h nh quy çng, thu gån, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: x3y + xy3 + 1 x2y2 + 2xy 75
- 76. hay xy(x y)2 + (xy 1)2 0 (óng) ii) °t x = ab c2 ; y = bc a2 ; z = ca b2 B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: c4 (ab + c2)2 + b4 (ac + b2)2 + a4 (bc + a2)2 + 2a2b2c2 (ab + c2)(bc + a2)(ca + b2) 1 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: (ab + c2)2 (a2 + c2):(b2 + c2) (ab + c2)(bc + a2)(ca + b2) (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) Do â: c4 (ab + c2)2 + b4 (ac + b2)2 + a4 (bc + a2)2 + 2a2b2c2 (ab + c2)(bc + a2)(ca + b2) c4(a2 + b2) + b4(a2 + c2) + a4(c2 + b2) + 2a2b2c2 (a2 + b2)(a2 + c2)(c2 + b2) = 1 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.2 3.31 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: p a2 + bc + b a p b2 + ac + c p c2 + ab p 2(a + b + c) Líi gi£i. Ta chùng minh bê · sau: Cho x; y; z 0. Khi â: P x4 + xyz(x + y + z) 2 P x2y2 Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ b§t ¯ng thùc quen thuëc sau: xyz (x + y z)(y + z x)(z + x y) Suy ra: xyz(x + y + z) (x + y z)(y + z x)(z + x y)(x + y + z) Khai triºn v chuyºn v¸ b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ bê · c¦n chùng minh. Trð l¤i b i to¡n: B¼nh ph÷ìng hai v¸ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh: P a4 + abc P a + 2 P p (a2 + bc)(b2 + ca) 2 ab P a2b2 + 4abc P a p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: 2 P p (a2 + bc)(b2 + ca) 2 ab P ab(ab + c p ab) = 2 P a2b2 + 2abc Pp ab p döng bê · tr¶n: P a4 + abc P a 2 P a2b2 2 P a2b2 + 2abc Pp ab 4abc P a Cëng v¸ theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.32 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a(a + b)(a + c) (b + c)3 + b(b + c)(b + a) (c + a)3 + c(c + a)(c + b) (a + b)3 (a + b + c)4 6(ab + bc + ca)2 Líi gi£i. Chu©n hâa ab + bc + ca = 3. Ta c¦n chùng minh: 76
- 77. P a(a2 +3) (b + c)3 (a + b + c)4 54 hay P a3 (b + c)3 + 3 P a (b + c)3 (a + b + c)4 54 p döng b§t ¯ng thùc Holder: [ P a(b + c)]3P a3 (b + c)3 P ( p a)4 a [ P a(b + c)]3P a (b + c)3 (a + b + c)4 (1 + 1 + 1) ( P p a)2 ( a P a)3 pP P ab ( P a)2 ) ( p a)4 ( a P a)4 K¸t hñp c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.33 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 1 (b + c)(b2 + bc + c2) + 1 (a + b)(a2 + ab + b2) + 1 (a + c)(a2 + ac + c2) 4 (a + b)(b + c)(c + a) Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM: 1 (b + c)(b2 + bc + c2) = ab + bc + ac (b + c)(b2 + bc + c2)(ab + bc + ac) 4(ab + bc + ac) (b + c)3(a + b + c)2 T÷ìng tü vîi c¡c ph¥n thùc cán l¤i, tø â ta c¦n chùng minh: P (a + b)(a + c) (b + c)2 (a + b + c)2 ab + bc + ac Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: 2a b + c + 2b a + c + 2c a + b (a + b + c)2 ab + bc + ac Do â ta c¦n chùng minh: P (a + b)(a + c) (b + c)2 P 2a(b + c) (b + c)2 hay P (a b)(a c) (b + c)2 0 B§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Vonicur-Schur. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.34 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a(b + c a) a2 + 2bc + b(c + a b) b2 + 2ac + c(a + b c) c2 + 2ab 0 Líi gi£i. Gi£ sû a b c. Tr÷íng hñp 1: a b + c. B§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. Tr÷íng hñp 2: a b + c. Suy ra: b b2 + ac a a2 + bc = (a b)(ab ac bc) (b2 + ac)(a2 + 2bc) 0 Suy ra: b(a + c b) b2 + 2ac + a(b + c a) a2 + 2bc 2ac a2 + bc 0 Tø â suy ra b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. 77
- 78. Ph²p chùng minhho n t§t. 2 3.35 Cho a; b; c 0 thäa a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: a 3 p ab + b 3 p bc + c 3 p ca 3 Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM: a 3 p ab = 3 p a4b p ab + a 3 2a T÷ìng tü: b 3 p bc p bc + b 3 2b c 3 p ca 2c p ca + c 3 Do â ta ch¿ c¦n chùng minh: p ab + b a p bc + c p ca 3 hay p ab + b a p bc + c p ca (a + b + c)2 Bi¸n êi b§t ¯ng thùc tr¶n th nh b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: P (a b p ab p ca + 2 p bc)2 0 (óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 3.36 Cho a; b; c l ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: P b + c a + (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc 7 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: bc(b + c) abc + 2 P ab(a + b) P a3 2abc abc 4 hay 2 P ab(a + b) P a3 + 9abc ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur theo c¡c bi¸n a + b c; b + c a; c + a b. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.37 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: P s a2 b2 + (c + a)2 3 p 5 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: P s a2 5(b2 + (c + a)2) 3 5 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: [(b2 + (c + a)2] = (1 + 4)[b2 + (c + a)2] [b + 2(c + a)]2 Suy ra: P s a2 5(b2 + (c + a)2) P a b + 2(c + a) Ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau: a b + 2(c + a) + b c + 2(a + b) + c a + 2(b + c) 3 5 hay 78
- 79. b + 2c b + 2(c + a) + c + 2a c + 2(a + b) + a + 2b a + 2(b + c) 9 5 Thªt vªy: P 1 2 a b + 2(c + a) = P b + 2c b + 2(c + a) = P (b + 2c)2 (b + 2c)(b + 2c + 2a) 9(a + b + c)2 P (b + 2c)(b + 2c + 2a) = 9 5 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.38 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 4(a3 + b3 + c3) a2 + b2 + c2 + 9(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)2 4(a + b + c) Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: (a3 + b3 + c3)(a + b + c) (a2 + b2 + c2)2 Suy ra: 4(a3 + b3 + c3) a2 + b2 + c2 4(a2 + b2 + c2) a + b + c L¤i câ: 8(a + b + c)(ab + bc + ca) = 8(a + b)(b + c)(c + a) + 8abc 9(a + b)(b + c)(c + a) N¶n 4(a3 + b3 + c3) a2 + b2 + c2 + 9(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)2 4(a2 + b2 + c2) a + b + c + 8(ab + bc + ca) a + b + c = 4(a + b + c) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.39 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3b a4 + a2b2 + b4 + b3c b4 + b2c2 + c4 + c3a c4 + c2a2 + a4 1 Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM; P a3b a4 + a2b2 + b4 P a3b 2a3b + b4 = P a3 2a3 + b3 Ta c¦n chùng minh: P a3 2a3 + b3 1 hay P a3 a3 + 2c3 1 Thªt vªy. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P a3 a3 + 2c3 P a3 2 P a6 + 2 P a3b3 = 1 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.40 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: (a + b + c)3 abc + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 28 Líi gi£i. Ta câ b§t ¯ng thùc sau: (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 24abc 79
- 80. Thªt vªy. Saukhi khai triºn v rót gon, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: P c(a b)2 0 (óng) p döng b§t ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n chùng minh: (a + b + c)3 abc + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 a3 + b3 + c3 + 24abc abc + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 28 hay P a2 bc + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 4 p döng b§t ¯ng thùc Chebychep; P a2 bc + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 3(a2 + b2 + c2) ab + bc + ca + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 Ta c¦n chùng minh: 3(a2 + b2 + c2) ab + bc + ca + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 4 B§t ¯ng thùc n y ÷ñc t¤o bði hai b§t ¯ng thùc luæn óng sau: 2(a2 + b2 + c2) ab + bc + ca 2 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + ab + bc + ca a2 + b2 + c2 2 (theo b§t ¯ng thùc AM-GM) Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thóc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 3.4 B i 4.1 ¸n b i 4.40 4.1 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 3 p abc + ja bj + jb cj + jc aj 3 a + b + c 3 Líi gi£i. Gi£ sû a b c. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: 3 p abc + 2a 2c 3 a + b + c 3 hay 3 p abc + a b 3c 3 0 Ta câ: f0(a) = 1 3 + 1 2 3 p bc 1 a2 0 n¶n h m f(a) çng bi¸n. Suy ra: f(a) f(b) = 3 p b2c c 0 Ph²p chùng minh ho¡n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 Nhªn x²t: B i to¡n têng qu¡t: Vîi måi a1; a2; :::; an 0 th¼ n n p a1a2:::an + P i6=j jai aj j Pn i=1 ai 4.2 Cho a; b; c l ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: (2b2 + 2c2 a2)(2c2 + 2a2 b2)(2a2 + 2b2 c2) (2a2 + bc)(2b2 + ca)(2c2 + ab) Líi gi£i. Do a; b; c l ba c¤nh tam gi¡c n¶n (2a2 + bc)2 (2a2 + 2b2 c2)(2a2 + 2c2 b2) = [(b + c)2 a2](b c)2 0 Suy ra: 80
- 81. (2a2 + bc)2 (2a2 + 2b2 c2)(2a2 + 2c2 b2) T÷ìng tü: (2b2 + ca)2 (2b2 + 2c2 a2)(2b2 + 2a2 c2) (2c2 + ab)2 (2c2 + 2a2 b2)(2c2 + 2b2 a2) Nh¥n v¸ theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 4.3 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: ab (a + b)2 + bc (b + c)2 + ca (c + a)2 1 4 + 4abc (a + b)(b + c)(c + a) Líi gi£i. Chu©n hâa c = 1. Ta c¦n chùng minh: (a b)2 4(a + b)2 + 4ab (a + b)(a + 1)(b + 1) a (a + 1)2 + b (b + 1)2 hay (a b)2 4(a + b) + 1 (a + 1)2 + 1 (b + 1)2 2ab (a + 1)(b + 1) a + b (a + 1)(b + 1) 4ab (a + b)(a + 1)(b + 1) hay (a b)2 (a + b)2 + 4(a b)2 (a + 1)2(b + 1)2 4(a b)2 (a + 1)(b + 1)(a + b) K¸t qu£ n y hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM cho hai sè d÷ìng. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi câ hai bi¸n b¬ng nhau.2 4.4 Cho a; b; c 0 thäa a2 + b2 + c2 + abc = 4. Chùng minh r¬ng: P bc a a2 + b2 + c2 Líi gi£i. °t x = ab c ; y = bc a ; z = ca b . Theo gi£ thi¸t th¼ xy + yz + zx + xyz = 4. Suy ra P x x + 2 = 1 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: x + y + z xy + yz + zx p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P x x + 2 [ P x (x + 2)] ( P x)2 ] Suy ra: P x(x + 2) (x + y + z)2 hay x + y + z xy + yz + zx Ph²p chùng minh ho n t¥t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 4.5 Cho a; b; c 0 thäa a2 + b2 = 2(a + b) + 1. T¼m gi¡ tri nhä nh§t, gi¡ trà lîn nh§t cõa P = a2 + b2 Líi gi£i. °t a2 + b2 = x 0. p Theo gi£ thi¸t v b§t ¯ng thùc a + b 2(a2 + b2): p 2x + 1 x = 2(a + b) + 1 2 81
- 82. Suy ra: p 2x + 1 0 x 2 Suy ra: p 2 1 x 1 + p 2 Do â: p 2 x 3 + 3 2 p 2 Vªy: p 2 , a = b = min(a2 + b2) = 3 2 r 3 2 p 2 p 2 , a = b = max(a2 + b2) = 3 + 2 r 3 2 + p 2 .2 4.6 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: r 3 r 2a3 a2 + b2 + 3 r 2b3 b2 + c2 + 3 2c3 c2 + a2 3 Líi gi£i. Ta câ: a + b + c p 3(a2 + b2 + c2) = 3 8(x + y + z)(xy + yz + zx) 9(x + y)(y + z)(z + x) 2a3 a2 + b2 = 2a:(a2 + c2): a2 (a2 + b2)(a2 + c2) Sû döng c¡c ¯ng thùc b§t ¯ng thùc tr¶n v b§t ¯ng thùc Holder: s 3 s 2a3 a2 + b2 + 3 s 2b3 b2 + c2 + 3 2c3 c2 + a2 3 X a2 (a2 + b2)(a2 + c2) : X (2a): X (a2 + c2) = X a2 (a2 + b2)(a2 + c2) : X (2a): X (a2 + c2) = 9(a + b + c) 27 Suy ra: r 3 r 2a3 a2 + b2 + 3 r 2b3 b2 + c2 + 3 2c3 c2 + a2 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc c£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 4.7 Cho a; b; c 0 thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 3(a4b4 + b4c4 + c4a4) a2 + b2 + c2 + 8a3 (bc + a)3 + 8b3 (ac + b)3 + 8c3 (ba + c)3 6[ Líi gi£i. Ta câ: 3(a4b4 + b4c4 + c4a4) a2 + b2 + c2 3a2b2c2(a2 + b2 + c2) a2 + b2 + c2 = 3 V¼ vªy ta c¦n chùng minh: P a3 (a + bc)3 3 8 hay P a6 (a2 + 1)3 3 8 (do abc = 1) hay 82
- 83. P x3 (x+ 1)3 3 8 (vîi x = a2; y = b2; x = c2; xyz = 1) ¥y l b§t ¯ng thùc Vietnam TST 2005. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: P 2: x3 (x + y)3 + 1 8 3 2 : P x2 (x + y)2 Do â ta ch¿ c¦n chùng minh: x2 (x + y)2 + y2 (y + z)2 + z2 (z + x)2 3 4 Tr÷îc h¸t ta chùng minh: 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 1 xy + 1 Thªt vªy. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: 1 (x + 1)2 1 (xy + 1) x y + 1 = y (xy + 1)(x + y) n¶n 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 y (xy + 1)(x + y) + x (xy + 1)(x + y) = 1 xy + 1 Cuèi còng, ta c¦n chùng minh: 1 xy + 1 + 1 (z + 1)2 3 4 hay z z + 1 + 1 (z + 1)2 3 4 B§t ¯ng thùc n y óng v¼: z z + 1 + 1 (z + 1)2 3 4 = (z 1)2 4(z + 1)2 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 Nhªn x²t: B§t ¯ng thùc 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 1 xy + 1 r§t thæng döng trong vi»c chùng minh b§t ¯ng thùc. H¢y l§y v½ dö l b i b§t ¯ng thùc trong China MO 2004: Vîi x; y; z; t 0 thäa m¢n xyzt = 1. Chùng minh r¬ng: 1 (x + 1)2 + 1 (y + 1)2 + 1 (z + 1)2 + 1 (t + 1)2 1 Sû döng k¸t qu£ tr¶n, ta câ ngay: P 1 (x + 1)2 1 xy + 1 + 1 zt + 1 = 1. (do xyzt = 1) . 2 4.8 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a 4 a2 + 7 + 4 b2 + 7 + 4 c2 + 7 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: 83
- 84. P a2 a2+ 7 + P 1 a + b (a + b + c)2 24 + 9 2(a + b + c) °t a + b + c = x p 3(a2 + b2 + c2) = 3. Ta chùng minh: x2 12 + 9 2x 15 8 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: (x 3) x p 17 2 3 + 3 x p 17 2 3 3 0 (óng, do x 3) Do â: P a2 a2 + 7 + P 1 a + b (a + b + c)2 24 + 9 2(a + b + c) 15 8 Suy ra: P 1 a + b 15 8 P a2 a2 + 7 = P 7 a2 + 7 9 8 Ta c¦n chùng minh: P 7 a2 + 7 9 8 4 a2 + 7 hay P 1 a2 + 7 3 8 B§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: P 1 x2 + 7 P 9 a2 + 21 = 3 8 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 84
- 85. 4.9 Cho x;y; z 0 tho£ m¢n x + y + z = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: M = x + y xyz Líi gi£i. Ta câ: M = x + y xyz = 1 yz + 1 xz p döng c¡c b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz v AM - GM, ta ÷ñc: M 4 xz + yz = 4 p z(x + y) 2 4 z + x + y 2 2 = 16 Vªy minM = 16 , z = 1 2 ; x = y = 1 4 . 2 4.10 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n x4+y4+z4 = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: N = x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: N2 (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (z + x)2 + (x + y)2] = 6(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx) Ta câ mët k¸t qu£ quen thuëc: xy + yz + zx x2 + y2 + z2 Do â N2 12(x2 + y2 + z2) L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: N4 144:3(x4 + y4 + z4) = 1296 Tø ¥y suy ra N 6. Vªy maxN = 6 , x = y = z = 1.2 4.11 Cho x; y; z 0. Chùng minh r¬ng: 16xyz(x + y + z) 3 3 p (x + y)(y + z)(z + x) 4 Líi gi£i. Líi gi£i 1. p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: (x + y)(z + x) = x(x + y + z) 3 + x(x + y + z) 3 + x(x + y + z) 3 r x3(x + y + z)3yz + yz 4 4 27 p yz y + z 2 Nh¥n theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: r x3y3z3(x + y + z)3 (x + y)(y + z)(z + x) 8 4 27 , 3 3 p (x + y)(y + z)(z + x) 4 16xyz(x + y + z) . Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z.2 Líi gi£i 2. Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh nh÷ sau: 3 8 (x + y)(y + z)(z + x) 3 p (x + y)(y + z)(z + x) 2xyz(x + y + z) Tr÷îc h¸t, ta s³ chùng minh: 9 8 (x + y)(y + z)(z + x) (x + y + z)(xy + yz + zx) (1) Ta câ ¯ng thùc (x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) xyz 85
- 86. Do â, (1), (x + y + z)(xy + yz + zx) 9xyz i·u n y óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM th¼ V T 3 3 p xyz:3 3 p x2y2z2 = V P. Vªy (1) ÷ñc chùng minh. L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: (x + y + z)(xy + yz + zx) 3(x + y + z) 3 p x2y2z2 (2) Tø (1) v (2) ta suy ra: 3 8 (x + y)(y + z)(z + x) (x + y + z) 3 p x2y2z2 B¥y gií, ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: 3 p (x + y)(y + z)(z + x) 2 3 p xyz hay (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz Nh÷ng i·u n y l¤i óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM: p xy:2 (x + y)(y + z)(z + x) 2 p zx = 8xyz p yz:2 Do â ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z.2 4.12 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: a 3a b + c + b 3b c + a + c 3c a + b 1 Líi gi£i. D¹ th§y b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: 4a 3a b + c 1 + 4b 3b c + a 1 + 4c 3c a + b 1 1 a + b c 3a b + c + b + c a 3b c + a + c + a b 3c a + b 1 B§t ¯ng thùc cuèi còng óng v¼ theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz: a + b c 3a b + c = (a + b c)2 (3a b + c)(a + b c) [(a + b c)]2 (3a b + c)(a + b c) = (a + b + c)2 (a + b + c)2 = 1 . Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.13 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a(b + c) (a + b)(a + c) + b(c + a) (b + c)(b + a) + c(a + b) (c + a)(c + b) (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: a(b + c)2 + b(c + a)2 + c(a + b)2 (a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) 1 + 4abc (a + b)(b + c)(c + a) 1 + 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) 2(a2 + b2 + c2) 8abc(a2 + b2 + c2) (a + b)(b + c)(c + a) 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ: 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 9abc a + b + c B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: 8abc(a2 + b2 + c2) (a + b)(b + c)(c + a) 9abc a + b + c i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi 86
- 87. 8(a + b+ c)(a2 + b2 + c2) 9(a + b)(b + c)(c + a) hay 8(a3 + b3 + c3) a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) + 18abc hay 8(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 18abc B§t ¯ng thùc n y óng tø c¡c b§t ¯ng thùc sau: 7(a3 + b3 + c3) 21abc (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM) a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (Theo b§t ¯ng thùc Schur) Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.14 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: b + c a + c + a b + a + b c 3 + (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca) abc(a + b + c) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: bc(b + c) + ca(c + a) + ab(a + b) + 3abc abc 6 + (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca) abc(a + b + c) (a + b + c)(ab + bc + ca) abc (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca) abc(a + b + c) 6 2(ab + bc + ca)2 abc(a + b + c) 6 (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) B§t ¯ng thùc cuèi còng óng theo mët k¸t qu£ quen thuëc: (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.15 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c tho£ m¢n a+b+c = 6; ab+bc+ca = 9; a b c. Chùng minh r¬ng: 0 a 1 b 3 c 4 Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc AM - GM: c(6 c) = c(a + b) = ac + bc = 9 ab 9 (a + b)2 2 = 36 (6 c)2 2 Suy ra c 4. D§u = khæng x£y ra v¼ a b. Do â c 4. Ta câ: (b a)(b c) 0 Tø â suy ra b2 + 9 2b(a + c) = 2b(6 b) hay (b 1)(b 3) 0 hay 1 b 3 . Vîi c¡ch l m t÷ìng tü, ta ÷ñc (a 1)(a 3) 0 v (c 1)(c 3) 0. 87
- 88. Do c b 1 n¶n c 3. Do a b 3 n¶n a 1. Vªy ta câ 0 a 1 b 3 c 4.2 4.16 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: (a + b + c)3 3(a2 + b2 + c2) ab(a + b) a2 + b2 + bc(b + c) b2 + c2 + ca(c + a) c2 + a2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: (a + b + c)3 3(a2 + b2 + c2)ab(a + b) a2 + b2 + 3(a2 + b2 + c2)bc(b + c) b2 + c2 + 3(a2 + b2 + c2)ca(c + a) c2 + a2 a3 + 3ab(a + b) + 6abc 3ab(a + b) + 3c2ab(a + b) a2 + b2 a3 + 6abc 6abc c(a + b) 2(a2 + b2) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: 6abc c(a + b) 2(a2 + b2) 6abc c(a + b) (a + b)2 = 6abc c a + b B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: a3 + 6abc 6abc c a + b i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi (a3 + 6abc)(a + b)(b + c)(c + a) 6abc[a3 + a2(b + c) + 3abc] hay a3(a + b)(b + c)(c + a) 6abc[a3 + a2(b + c) + 3abc (a + b)(b + c)(c + a)] hay a3(a + b)(b + c)(c + a) 6abc(a3 + abc) hay a3[(a + b)(b + c)(c + a) 6abc] 6a2b2c2 i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM: p ab:2 a3[(a + b)(b + c)(c + a) 6abc] 3abc(2 p bc:2 p ca 6abc) = 6a2b2c2 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.17 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = a2 + b b + c + b2 + c c + a + c2 + a a + b Líi gi£i. Ta câ: P + 1 = a2 + b b + c + a + b2 + c c + a + b + c2 + a a + b + c = a(a + b + c) + b b + c + b(a + b + c) + c c + a + c(a + b + c) + a a + b = a + b b + c + b + c c + a + c + a a + b p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ ngay P + 1 3, suy ra P 2. 88
- 89. Vªy min P= 2 , a = b = c = 1 3 .2 4.18 Cho a; b; c; d 0 tho£ m¢n a + b + c + d = 4. Chùng minh r¬ng: a2bc + b2cd + c2da + d2ab 4 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM - GM li¶n ti¸p, ta câ: (ab + cd)(ac + bd) = p (ab + cd)(ac + bd) 2 ab + cd + ac + bd 2 2 = 1 4 :[(a + d)(b + c)]2 [(a + d)(b + c)]2 = p (a + d)(b + c) 4 a + b + c + d 2 4 = 16 Tø ¥y suy ra: (ab + cd)(ac + bd) 4 T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc: (bc + da)(bd + ac) 4 Ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau: V T (ab + cd)(ac + bd) = bd(a c)(b d) V T (bc + da)(bd + ac) = ac(a c)(b d) D¹ th§y trong 2 biºu thùc tr¶n câ mët biºu thùc khæng d÷ìng n¶n V T maxf(ab + cd)(ac + bd); (bc + da)(bd + ac)g 4 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = d = 1.2 4.19 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3 + abc b3 + c3 + abc + b3 + abc c3 + a3 + abc + c3 + abc a3 + b3 + abc 2 Líi gi£i. Do b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n ho¡ abc = 1. Ta câ thº vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh d÷îi d¤ng: a + 1 b + c + 1 + b + 1 c + a + 1 + c + 1 c + a + 1 2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: (a + 1)2 V T = (a + 1)(b + c + 1) + (b + 1)2 (b + 1)(c + a + 1) + (c + 1)2 (c + 1)(c + a + 1) (a + b + c + 3)2 2(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) + 3 Ta s³ chùng minh: (a + b + c + 3)2 2(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) + 3 2 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) + 6(a + b + c) + 9 4(ab + bc + ca) + 6(a + b + c) + 6 hay 3 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) Theo b§t ¯ng thùc Schur, ta câ: 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 9abc a + b + c = 9 a + b + c Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: 9 a + b + c 3 89
- 90. hay 3 3p abc a + b + c i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.20 Cho as; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3 5a2 + (b + c)2 + s b3 5b2 + (c + a)2 + s c3 5c2 + (a + b)2 r a + b + c 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: V T s (a + b + c) a2 5a2 + (b + c)2 + b2 5b2 + (c + a)2 + c2 5c2 + (a + b)2 Ta s³ chùng minh: a2 5a2 + (b + c)2 + b2 5b2 + (c + a)2 + c2 5c2 + (a + b)2 1 3 Ta câ: a2 5a2 + (b + c)2 = 1 9 : (3a)2 a2 + b2 + c2 + 4a2 + 2bc L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta ÷ñc: (3a)2 a2 + b2 + c2 + 4a2 + 2bc a2 a2 + b2 + c2 + a2 2a2 + bc + a2 2a2 + bc = a2 a2 + b2 + c2 + 2a2 2a2 + bc Do â: a2 5a2 + (b + c)2 1 9 a2 a2 + b2 + c2 + 2a2 2a2 + bc = 1 9 1 + 2a2 2a2 + bc B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: 1 9 1 + 2a2 2a2 + bc 1 3 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: 1 + 2a2 2a2 + bc 3 4 bc 2a2 + bc 3 bc 2a2 + bc 1 B§t ¯ng thùc cuèi còng óng v¼ theo Cauchy - Schwarz th¼: bc 2a2 + bc = b2c2 2a2bc + b2c2 (ab + bc + ca)2 a2b2 + 2abc(a + b + c) = 1 Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.21 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: (a + c)(b + 1) abc(a2 + b2 + c2 + 1) Líi gi£i. Ta câ: (a c)2 4ac (a c)2 2b2 + 2 + (a + c)2 Tø â suy ra 90
- 91. (a + c)2 4ac 1 2(a2 + b2 + c2 + 1) 2b2 + 2 + (a + c)2 1 hay (a + c)2 4ac 2(a2 + b2 + c2 + 1) 2b2 + 2 + (a + c)2 hay [2b2 + 2 + (a + c)2](a + c)2b 8 abc(a2 + b2 + c2 + 1) B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + c)(b + 1) [2b2 + 2 + (a + c)2](a + c)2b 8 hay 8(b + 1) [2b2 + 2 + (a + c)2](a + c)b 0 K¸t hñp vîi gi£ thi¸t a + b + c = 3, ta suy ra c¦n ph£i chùng minh: 8(b + 1) [2b2 + 2 + (3 b)2](3 b)b 0 hay 3b4 15b3 + 29b2 25b + 8 0 hay (b 1)2(3b2 9b + 8) 0 (luæn óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2 4.22 Cho x; y; z 2 [1; 2]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: Q = (x + y + z) 1 x + 1 y + 1 z Líi gi£i. Ta câ: Q = 3 + x y + x z + y x + y z + z x + z y Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû x y z. Khi â th¼ (x y)(y z) 0 hay y2 + xz xy + yz hay y x + z y 1 + z x v y z + x y 1 + x z V¼ vªy Q 5 + 2 x z + z x D¹ th§y 1 x z 2 n¶n (x 2z)(x z) 0 hay x z + z x 5 2 . Tø â suy ra Q 10. Vªy maxQ = 10 , x = y = 2; z = 1 ho°c x = 2; y = z = 1 v c¡c ho¡n và.2 4.23 Cho a;rb; c 0. Chùng minh r¬ng: a b + c + r b c + a + r c a + b + ab (a + b)2 + bc (b + c)2 + ca (c + a)2 9 4 Líi gi£i. 91
- 92. Sû döng b§t¯ng thùc Holder còng vîi ¡nh gi¡ 3abc 0, ta câ: r a b + c s = a3 a2(b + c) s (a + b + c)3 a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) s (a + b + c)3 (a + b + c)(ab + bc + ca) = a + b + c p ab + bc + ca p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz li¶n ti¸p, ta câ: ab (a + b)2 ab 2(a2 + b2) = (a + b)2 4(a2 + b2) 3 4 4(a + b + c)2 8(a2 + b2 + c2) 3 4 = (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) 3 4 Cëng theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: r a b + c + ab (a + b)2 a + b + c p ab + bc + ca + (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) 3 4 Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh a + b + c p ab + bc + ca + (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) 3 4 9 4 hay a + b + c p ab + bc + ca 2 + a + b + c p ab + bc + ca 2 + (a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) 3 i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM: s V T 3 3 (a + b + c)4 p 2(ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2)]2 [2 s 3 3 (a + b + c)4 [2(ab + bc + ca) + (a2 + b2 + c2)]2 = 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 4.24 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: ab (a + b)2 + bc (b + c)2 + ca (c + a)2 4abc (a + b)(b + c)(c + a) + 1 4 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: 4ab (a + b)2 + 4bc (b + c)2 + 4ca (c + a)2 16abc (a + b)(b + c)(c + a) 1 4ab (a + b)2 + 1 + 4bc (b + c)2 + 1 + 4ca (c + a)2 + 1 + 16abc 2(a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(b + c)(c + a) 0 (a b)2 (a + b)2 + (b c)2 (b + c)2 + (c a)2 (c + a)2 2a(b c)2 + 2b(c a)2 + 2c(a b)2 (a + b)(b + c)(c + a) 0 (b c)2 b + c 1 b + c 2a (c + a)(a + b) 0 (b c)2 b + c : (a b)(a c) (a + b)(b + c)(c + a) 0 (a b)(b c)(c a) (a + b)(b + c)(c + a) : b c b + c 0 (a b)(b c)(c a) (a + b)(b + c)(c + a) : (a b)(b c)(a c) (a + b)(b + c)(c + a) 0 (a b)2(b c)2(c a)2 (a + b)2(b + c)2(c + a)2 0 (luæn óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 92
- 93. 4.25 Cho a;b; c 0. Chrùng minh r¬ng: 2a b + c + r 2b c + a + r 2c a + b (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: p 2a(b + c) b + c + 2a 2 Tø â suy ra r 2a b + c = 4a p 2a(b + c) 2 4a b + c + 2a T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc: r 2b c + a 4b r c + a + 2b 2c a + b 4c a + b + 2c Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: V T 4a b + c + 2a + 4b c + a + 2b + 4c a + b + 2c Ta s³ chùng minh 4a b + c + 2a + 4b c + a + 2b + 4c a + b + 2c (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: 4a b + c + 2a = 4a2 ab + ac + 2a2 4(a + b + c)2 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) = 2(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc 2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 1 a2 + b2 + c2 hay a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 Líi gi£i 2. p dön grb§t ¯ng thùc Holder, ta câ: 2a b + c + r 2b c + a + r 2c a + b !2 a2(b + c) 2 + b2(c + a) 2 + c2(a + b) 2 (a + b + c)3 hay V T2 2(a + b + c)3 a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) Ta s³ chùng minh 2(a + b + c)3 a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) (a + b + c)4 (a2 + b2 + c2)2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi 2(a2 + b2 + c2)2 (a + b + c)[a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b)] hay 2(a4 + b4 + c4) + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) + 2abc(a + b + c) Ta câ hai c¡ch º chùng minh b§t ¯ng thùc n y. C¡ch 1: Sû döng b§t ¯ng thùc Schur, ta câ: 93
- 94. a4 + b4+ c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 3abc(a + b + c) hay (a2 + b2 + c2)2 3abc(a + b + c) Ta câ ¡nh gi¡ a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 3 n¶n (a2 + b2 + c2)2 (a + b + c)4 9 Ta c¦n chùng minh (a + b + c)4 9 3abc(a + b + c) hay (a + b + c)3 27abc hay a + b + c 3 3 p abc i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM - GM. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c. 2 C¡ch 2: Sû döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: ab(a2 + b2) (a2 + b2)2 2 = a4 + b4 2 + a2b2 T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc bc(b2 + c2) b4 + c4 2 + b2c2 ca(c2 + a2) c4 + a4 2 + c2a2 Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 Ta c¦n chùng minh 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + a2b2 + b2c2 + c2a2 i·u n y óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM: (a4 + b2c2) + (b4 + c2a2) + (c4 + a2b2) 2a2bc + 2b2ca + 2c2ab = 2abc(a + b + c) Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.26 Cho a; b; c 2 [0; 1]. Chùng minh r¬ng: 2(a3 + b3 + c3) (a2b + b2c + c2a) 3 Líi gi£i. Gi£ sû c = minfa; b; cg th¼: 2c3 b2c + c2a hay 2c3 (b2c + c2a) 0 B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: 2(a3 + b3) a2b 3 94
- 95. N¸u a b 0, ta câ: 2(a3 + b3) a2b = 2a3 + b3 + b(b2 a2) 2 + 1 + 0 = 3 N¸u b a 0, ta câ: 2(a3 + b3) a2b = a3 + 2b3 + a2(a b) 2 + 1 + 0 = 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1 ho°c a = b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 4.27 Cho 8 : x; y; z 0 x maxfy; zg . T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: M = x y + 2 r 1 + y z r 1 + + 3 3 z x Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: 1 + y z r 2 y z 1 + z x r 2 z x Tø â ta suy ra: M x y + 2 r p 2: 4 y z r + 3 3 p 2: 6 z x = 1 p 2 x y r + 4 4 y z r + 6 6 z x + 1 1 p 2 x y p 2) 6 + (3 3 p 2 3 r z x L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: 1 p 2 x y r + 4 4 y z r + 6 6 z x 1 p 2 r :11 11 x y : y z : z x = 11 p 2 Tø gi£ thi¸t x maxfy; zg, ta suy ra: 8 : x y 1 z 1 x Do â: 8 1 : 1 p 2 x y 1 1 p 2 (3 3 p p 2) 6 2 3 r z x 3 3 p 2 3 p 2 Tø ¥y ta suy ra: M 1 p 2 x y r + 4 4 y z r + 6 6 z x + 1 1 p 2 x y + (3 3 p 2 3 r p 2) 6 z x 11 p 2 + 1 1 p 2 + 3 3 p 2 3 p 2 = 1 + 2 p 2 + 3 3 p 2. Vªy minM = 1 + 2 p 2 + 3 3 p 2 , x = y = z.2 4.28 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: r 3 a: a + b 2 : a + b + c 3 a + p ab + 3 p abc 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: 95
- 96. 3a r 3 a: a + b 2 : a + b + c 3 = 3 vuut 3 a:a:a a: a + b 2 : a + b + c 3 a a + 2a a + b + 3a a + b + c = 1 + 2a a + b + 3a a + b + c p ab 3 q 3 a: a+b 2 : a+b+c 3 vuuut = 3 3 a: p ab:b a: a + b 2 : a + b + c 3 a a + p ab a + b 2 + 3b a + b + c 2 + 3b a + b + c 3 3 p abc r 3 a: a + b 2 : a + b + c 3 vuut = 3 3 abc a: a + b 2 : a + b + c 3 a a + 2b a + b + 3c a + b + c = 1 + 2b a + b + 3c a + b + c Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: 3a r 3 a: a + b 2 : a + b + c 3 + p ab 3 r 3 a: a + b 2 : a + b + c 3 + 3 3 p abc q 3 a: a+b 2 : a+b+c 3 9 hay a + p ab + 3 p abc 3 r a: 3 a + b 2 : a + b + c 3 ¥y ch½nh l i·u ph£i chùng minh. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.29 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: 8 + p ab a + b 2 ! : 3 r a: a + b 2 : a + b + c 3 3(a + p ab + 3 p abc) Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ: vuut 3 a 3 + a 3 + a 3 a 3 + p ab 3 + b 3 ! a 3 + b 3 + c 3 a + p ab + 3 p abc 3 B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: 8 + p ab a + b 2 ! : 3 r a: a + b 2 : a + b + c 3 vuut 9 3 a 3 + a 3 + a 3 a 3 + p ab 3 + b 3 ! a 3 + b 3 + c 3 hay 8 + p ab a + b 2 ! : 3 r a + b 2 9 r 3 a + p ab + b 3 i·u n y óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM: 8 + p ab a + b 2 ! : 3 r a + b 2 = 3 + 3 + p ab + b) a + b 2(a + # : 3 r a + b 2 s 32: 3 3 p ab + b) a + b 2(a + : a + b 2 = 9 r 3 a + p ab + b 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.30 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a3 4 + 2b2(a + c) + c3 + b3 4 + 2c2(b + a) + a3 + c3 4 + 2a2(c + b) + b3 1 3 Líi gi£i. 96
- 97. Ta câ mëtbê · cì b£n: Vîi m; n; p; x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng b§t k¼, ta luæn câ b§t ¯ng thùc: m3 x + n3 y + p3 z (m + n + p)3 3(x + y + z) D§u = x£y ra , m = n = p; x = y = z. Bê · n y câ thº chùng minh d¹ d ng b¬ng b§t ¯ng thùc Holder nh÷ sau: m3 x + n3 y + p3 z (x + y + z)(1 + 1 + 1) (m + n + p)3 Chia c£ hai v¸ cho 3(x + y + z), ta câ ngay i·u ph£i chùng minh. Trð l¤i vîi b i to¡n. p döng bê · tr¶n, ta câ: V T (a + b + c)3 3[12 + a3 + b3 + c3 + 2b2(a + c) + 2c2(b + a) + 2a2(c + b)] B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b + c)3 3[12 + a3 + b3 + c3 + 2a2(c + b) + 2b2(a + c) + 2c2(b + a)] 1 3 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: (a + b + c)3 12 + a3 + b3 + c3 + 2b2(a + c) + 2c2(b + a) + 2a2(c + b) a2(c + b) + b2(a + c) + c2(b + a) + 6abc 12 (a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc 12 B§t ¯ng thùc cuèi còng óng v¼ theo b§t ¯ng thùc AM - GM th¼: (a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc 6 6 p a6b6c6 + 6abc = 12abc = 12 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2 4.31 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: 8 1 a + 1 b + 1 c + 9 10(a2 + b2 + c2) Líi gi£i. Gi£ sû a = maxfa; b; cg, d¹ th§y a 2 [1; 3). B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi 8 a + 8 b + 8 c + 42a + 42b + 42c 117 10a2 + 10b2 + 10c2 hay 10b2 + 42b 69 2 + 8 b + 10c2 + 42c 69 2 + 8 c 10a2 42a + 48 8 a hay (2b 1)2(16 5b) b + (2c 1)2(16 5c) c (a 2)2(20a 4) a p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: V T = (1 2b)2 b 165b + (1 2c)2 c 16 5c [2(1 b c)]2 b 16 5b + c 165c = 4(a 2)2 b 16 5b + c 16 5c Ta s³ chùng minh: (a 2)2 b 16 5b + c 16 5c (a 2)2(5a 1) a Ta câ: b 16 5b + c 16 5c b 16 5a + c 16 5a = 3 a 16 5a 97
- 98. Do â: (a 2)2 b 16 5b + c 16 5c (a 2)2 3 a 16 5a B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: (a 2)2 3 a 16 5a (a 2)2(5a 1) a i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: (a 2)2(16a 5a2) (a 2)2(5a2 + 16a 3) hay 3(a 2)2 0 (luæn óng) Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , (a; b; c) = 2; 1 2 ; 1 2 v c¡c ho¡n và.2 4.32 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a3 vuut a3 + 1 4 abc + b3 + vuut b3 b3 + 1 4 abc + c3 + vuut c3 c3 + 1 4 abc + a3 2 Líi gi£i. Do b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n ho¡ abc = 1. Ta câ thº vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh d÷îi d¤ng: r a a + 1 4 + b + vuut b b + 1 4 + c + vuut c c + 1 4 + a 2 hay r a 4a + 4b + 1 + r b 4b + 4c + 1 + r c 4c + 4a + 1 1 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: V T2 = s (4a + 4c + 1)a (4a + 4b + 1)(4a + 4c + 1) #2 [(4a + 4c + 1)] a (4a + 4b + 1)(4a + 4c + 1) = (8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c) (4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1) Ta s³ chùng minh: (8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c) (4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1) 1 hay (8a + 8b + 8c + 3)(8ab + 8bc + 8ca + a + b + c) (4a + 4b + 1)(4b + 4c + 1)(4c + 4a + 1) Ta câ nhªn x²t: V T = 64(a + b + c)(ab + bc + ca) + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) = 64[(a + b)(b + c)(c + a) + abc] + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) = 64(a + b)(b + c)(c + a) + 64 + 8(a + b + c)2 + 24(ab + bc + ca) + 3(a + b + c) (do abc = 1) V P = 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(a + b)(b + c) + 16(a + b)(c + a) + 16(b + c)(c + a) +4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a) + 1 = 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(3ab + 3bc + 3ca + a2 + b2 + c2) + 8(a + b + c) + 1 = 64(a + b)(b + c)(c + a) + 16(a + b + c)2 + 16(ab + bc + ca) + 8(a + b + c) + 1 98
- 99. n¶n V P V T = 8(a + b + c)2 + 5(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 63 B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: 8(a + b + c)2 + 5(a + b + c) 8(ab + bc + ca) 63 0 hay 16(a + b + c)2 + 15(a + b + c) + 8[(a + b + c)2 3(ab + bc + ca)] 189 B§t ¯ng thùc n y óng tø c¡c b§t ¯ng thùc sau: 16(a + b + c)2 16(3 3 p abc)2 = 144 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM) 15(a + b + c) 45 3 p abc = 45 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.33 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: 3 p b + c a + 3 p c + a b + 3 p a + 3 p a + b c 3 p b + 3 p c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ: ( 3 p c + a b + 3 p a + b c)3 (1 + 1)(1 + 1):2a = 8a Do â 3 p c + a b + 3 p a + b c 2 3 p a T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc 3 p a + b c + 3 p b + c a 2 3 p b 3 p b + c a + 3 p c + a b 2 3 p c Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: 2( 3 p b + c a + 3 p c + a b + 3 p a + 3 p a + b c) 2( 3 p b + 3 p c) hay 3 p b + c a + 3 p c + a b + 3 p a + b c 3 p a + 3 p b + 3 p c ¥y ch½nh l i·u ph£i chùng minh. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.34 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: (b + c a)2 (b + c)2 + a2 + (c + a b)2 (c + a)2 + b2 + (a + b c)2 (a + b)2 + c2 3 5 Líi gi£i. V¼ b§t ¯ng thùc l thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa a + b + c = 3. Khi §y, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: (3 2a)2 (3 a)2 + a2 + (3 2b)2 (3 b)2 + b2 + (3 2c)2 (3 c)2 + c2 3 5 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: 4a2 12a + 9 2a2 6a + 9 + 4b2 12b + 9 2b2 6b + 9 + 4c2 12c + 9 2c2 6c + 9 3 5 Ta câ nhªn x²t: 4x2 12x + 9 2x2 6x + 9 + 18x 23 25 = 36x3 54x2 + 18 25(2x2 6x + 9) = 18 25 : (x 1)2(2x + 1) 2x2 6x + 9 0; 8x 0 99
- 100. Do â: 4x2 12x + 9 2x2 6x + 9 23 18x 25 ; 8x 0 Sû döng nhªn x²t tr¶n, ta câ ngay: 4a2 12a + 9 2a2 6a + 9 + 4b2 12b + 9 2b2 6b + 9 + 4c2 12c + 9 2c2 6c + 9 69 18(a + b + c) 25 = 3 5 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 Líi gi£i 2 B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi: 1 2a(b + c) (b + c)2 + a2 + 1 2b(c + a) (c + a)2 + b2 + 1 2c(a + b) (a + b)2 + c2 3 5 hay a(b + c) (b + c)2 + a2 + b(c + a) (c + a)2 + b2 + c(a + b) (a + b)2 + c2 6 5 p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: (b + c)2 + a2 = 3(b + c)2 4 + (b + c)2 4 + a2 3(b + c)2 4 + a(b + c) = (b + c): 3b + 3c + 4a 4 Tø â suy ra: a(b + c) (b + c)2 + a2 a(b + c) (b + c): 3b + 3c + 4a 4 = 4a 3b + 3c + 4a p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: 1 a + 27 a + b + c = 1 a + 9 a + b + c 3 102 a + 9(a + b + c) 3 = 100 3b + 3c + 4a Do â: 4a 3b + 3c + 4a 4a 100 : 1 a + 27 a + b + c = 1 25 + 27a 25(a + b + c) Vªy tâm l¤i, ta thu ÷ñc: a(b + c) (b + c)2 + a2 1 25 + 27a 25(a + b + c) T÷ìng tü, ta công chùng minh ÷ñc: b(c + a) (c + a)2 + b2 1 25 + 27b 25(a + b + c) c(a + b) (a + b)2 + c2 1 25 + 27c 25(a + b + c) Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: a(b + c) (b + c)2 + a2 + b(c + a) (c + a)2 + b2 + c(a + b) (a + b)2 + c2 27(a + b + c) 25(a + b + c) + 3 25 = 6 5 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.35 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n 1 bc + 1 ca + 1 ab 1. Chùng minh r¬ng: a bc + b ca + c ab p 3 . Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t 1 bc + 1 ca + 1 ab 1, ta suy ra: a + b + c abc Ta câ mët k¸t qu£ quen thuëc: 100
- 101. 3(a2 + b2+ c2) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ: (a2 + b2 + c2)2 (ab + bc + ca)2 3(ab2c + bc2a + ca2b) = 3abc(a + b + c) 3(abc)2 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: a2 + b2 + c2 p 3abc hay a bc + b ca + c ab p 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = p 3.2 4.36 Cho x; y; z; t l c¡c sè thüc tho£ m¢n jx + y + z tj 1 v c¡c ho¡n và. Chùng minh r¬ng: x2 + y2 + z2 + t2 1 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t jx + y + z tj 1, ta suy ra: x2 + y2 + z2 + t2 + 2(xy + xz + yt xt yt zt) 1 T÷ìng tü èi vîi c¡c ho¡n và, ta công câ: x2 + y2 + z2 + t2 + 2(yz + yt + zt yx zx tx) 1 x2 + y2 + z2 + t2 + 2(zt + zx + tx zy ty xy) 1 x2 + y2 + z2 + t2 + 2(tx + ty + xy tz xz yz) 1 Cëng theo v¸ bèn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: 4(x2 + y2 + z2 + t2) 4 hay x2 + y2 + z2 + t2 1 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , x = y = z = t = 1 2 .2 4.37 Cho a; b; c 2 R. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4 4 7 (a4 + b4 + c4) Líi gi£i. °t a = y + z x 2 ; b = z + x y 2 ; c = x + y z 2 th¼: P = z4 + x4 + y4 1 28 [(y + z x)4 + (z + x y)4 + (x + y z)4] °t Q = (y + z x)4 + (z + x y)4 + (x + y z)4. Ta câ ¯ng thùc: (u + v)4 + (u v)4 = 2(u4 + v4 + 6u2v2) Ta ¡p döng ¯ng thùc tr¶n nh÷ sau: (x + y + z)4 + (x + y z)4 = 2[(x + y)4 + z4 + 6z2(x + y)2] (z + x y)4 + (z + y x)4 = 2[(x y)4 + z4 + 6z2(x y)2] Cëng theo v¸ hai ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: Q + (x + y + z)4 = (x + y + z)4 + (x + y z)4 + (z + x y)4 + (z + y x)4 = 4[(x4 + y4 + 6x2y2) + z4 + 3z2(2x2 + 2y2)] = 4[x4 + y4 + z4 + 6(x2y2 + y2z2 + z2x2)] 101
- 102. Ta câ mëtk¸t qu£ quen thuëc: mn + np + pm m2 + n2 + p2 Do â Q 28(x4 + y4 + z4) (x + y + z)4 28(x4 + y4 + z4) Suy ra P = z4 + x4 + y4 1 28 Q x4 + y4 + z4 (x4 + y4 + z4) = 0 Vªy min P = 0 , x = y = z = 0, hay a = b = c = 0.2 4.38 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a 4 p r a3 + b3 + c3 3: 4 abc : p a2 + b2 + c2 Líi gi£i. Mô 4 hai v¸, ta ÷ñc: a2 b + b2 c + c2 a 4 3(a3 + b3 + c3)(a2 + b2 + c2)2 abc p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: a2 b + b2 c + c2 a = a4 a2b + b4 b2c + c4 c2a (a2 + b2 + c2)2 a2b + b2c + c2a Ta s³ chùng minh a2 b + b2 c + c2 a 3 3(a3 + b3 + c3)(a2b + b2c + c2a) abc hay a2 b + b2 c + c2 a 6 9(a3 + b3 + c3)2(a2b + b2c + c2a)2 (abc)2 Ta câ bê · sau: Vîi x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng b§t k¼, ta luæn câ b§t ¯ng thùc: (x + y + z)6 27(x2 + y2 + z2)(xy + yz + zx)2 D§u = x£y ra , x = y = z. Bê · n y câ thº chùng minh d¹ d ng b¬ng AM - GM nh÷ sau: 3 p 27(x2 + y2 + z2)(xy + yz + zx)2 = 3 3 p (x2 + y2 + z2)(xy + yz + zx)2 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 Lªp ph÷ìng hai v¸, ta câ ngay i·u ph£i chùng minh. Trð l¤i vîi b i to¡n. p döng bê · tr¶n, ta câ: a2 b + b2 c + c2 a 6 27 a4 b2 + b4 c2 + c4 a2 a2b c + b2c a + c2a b 2 Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: 27 a4 b2 + b4 c2 + c4 a2 a2b c + b2c a + c2a b 2 9(a3 + b3 + c3)2(a2b + b2c + c2a)2 (abc)2 hay 3 a4 b2 + b4 c2 + c4 a2 (a3b2 + b3c2 + c3a2)2 (a3 + b3 + c3)2(a2b + b2c + c2a)2 B§t ¯ng thùc n y óng tø c¡c b§t ¯ng thùc sau: 102
- 103. a4 b2 + b4 c2 + c4 a2 (a3b2 + b3c2 + c3a2)(a2 + b2 + c2) (a3 + b3 + c3)3 (Theo Holder) (a3b2 + b3c2 + c3a2)(a + b + c) (a2b + b2c + c2a)2 (Theo Cauchy - Schwarz) 3(a3 + b3 + c3) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) (Theo Chebychev) Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c.2 4.39 Cho a; b; c; d 0. Chùng minh r¬ng: a + 1 a b + 1 b c + 1 c d + 1 d a + 1 b b + 1 c c + 1 d d + 1 a Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: Q (a2 + 1) Q (ab + 1) , [ Q (a2 + 1)]2 [ Q (ab + 1)]2 , Q (a2 + 1)(b2 + 1) Q (ab + 1)2 B§t ¯ng thùc cuèi còng óng theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz. Do â ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = d.2 4.40 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n ab + bc + ca = 3. Chùng minh r¬ng: (a + b2)(b + c2)(c + a2) 8 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: (a + b2)(a + 1) (a + b)2 T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc: (b + c2)(b + 1) (b + c)2 (c + a2)(c + 1) (c + a)2 Nh¥n theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: (a + b2)(b + c2)(c + a2)(a + 1)(b + 1)(c + 1) [(a + b)(b + c)(c + a)]2 Ta ch¿ c¦n chùng minh: [(a + b)(b + c)(c + a)]2 (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 Ta câ thº chùng minh b¬ng c¡ch ch¿ ra: 8 (a + b)(b + c)(c + a) 8 (1) (a + b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1) : 1 (2) Hai i·u n y câ thº chùng minh ìn gi£n nh÷ sau: Tø gi£ thi¸t ab + bc + ca = 3, ta d¹ d ng suy ra: (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) = 9 hay a + b + c 3 3 = ab + bc + ca 3 3 p a2b2c2 hay abc 1 (Theo b§t ¯ng thùc AM - GM) Chùng minh (1): (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc = 3(a + b + c) abc 8 Chùng minh (2): 103
- 104. Ta câ: (a+ b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 3(a + b + c) abc (a + b + c + ab + bc + ca + abc + 1) = 2(a + b + c) 2abc 4 0 Do â (a + b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1) hay (a + b)(b + c)(c + a) (a + 1)(b + 1)(c + 1) 1 Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2 3.5 B i 5.1 ¸n b i 5.40 5.1 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: a(bc + ca 2ab) (2a + b)2 + b(ca + ab 2bc) (2b + c)2 + c(ab + bc 2ca) (2c + a)2 0 Líi gi£i. Ta th§y: a(bc + ca 2ab) (2a + b)2 = a[(2b2 + bc) + (2ac + bc) 2(2ab + b2)] (2a + b)2 = ab(2b + c) (2a + b)2 + ca 2a + b 2ab 2a + b Do â: a(bc + ca 2ab) (2a + b)2 = ab(2b + c) (2a + b)2 + ca 2a + b 2ab 2a + b = ab(2b + c) (2a + b)2 + ab 2b + c 2ab 2a + b = ab(2b + c) 1 (2a + b)2 2 (2a + b)(2b + c) + 1 (2b + c)2 = ab(2b + c) 1 2a + b 1 2b + c 2 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c ho°c (a; b; c) = (0; 1; 2) v c¡c ho¡n và.2 5.2 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n khæng câ hai sè n o çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 8abc (a + b)(b + c)(c + a) 2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c 0. Ta câ mët bê · quen thuëc: Vîi x y 0 v z 0 th¼ ta luæn câ b§t ¯ng thùc: x y x + z y + z D§u = x£y ra , x = y ho°c z = 0. 104
- 105. Bê · n ycâ thº chùng minh d¹ d ng b¬ng c¡ch x²t hi»u nh÷ sau: x y x + z y + z = z(x y) y(y + z) 0 (do x y 0 v z 0) p döng bê · tr¶n, ta câ: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a2 + b2 + 2c2 c2 + ab + bc + ca = a2 + b2 + 2c2 (a + c)(b + c) B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: a2 + b2 + 2c2 (a + c)(b + c) + 8abc (a + b)(b + c)(c + a) 2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: (a2 + b2 + 2c2)(a + b) + 8abc 2(a + b)(b + c)(c + a) a3 + a2b + ab2 + b3 + 2ac2 + 2bc2 + 8abc 2a2b + 2b2c + 2c2a + 2ab2 + 2bc2 + 2ca2 + 4abc a3 a2b ab2 + b3 2ac2 + 4abc 2bc2 0 (a + b)(a b)2 2c(a b)2 0 (a + b 2c)(a b)2 0 B§t ¯ng thùc cuèi còng óng do gi£ sû a b c. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c ho°c a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 Líi gi£i 2. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c 0. Ta câ hai ¯ng thùc sau: a2 + b2 + c2 ab bc ca = (a b)(a c) (a + b)(b + c)(c + a) 8abc = (b + c)(a b)(a c) Do â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau: ab + bc + ca + (a b)(a c) ab + bc + ca + (a + b)(b + c)(c + a) (b + c)(a b)(a c) (a + b)(b + c)(c + a) 2 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: (a b)(a c) ab + bc + ca (b + c)(a b)(a c) (a + b)(b + c)(c + a) 0 hay 1 ab + bc + ca 1 (a + b)(a + c) (a b)(a c) 0 Ta d¹ th§y ngay r¬ng b§t ¯ng thùc s³ óng theo b§t ¯ng thùc Vornicu Schur n¸u ta ch¿ ra ÷ñc: 1 ab + bc + ca 1 (a + b)(a + c) 1 ab + bc + ca 1 (b + c)(b + a) i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: 1 (a + b)(a + c) 1 (b + c)(b + a) hay (b + c)(b + a) (a + b)(a + c) hay b a (óng theo gi£ sû) Vªy ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c ho°c a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 5.3 Cho x; y l c¡c sè thüc. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = 4(2x + y) 13 (x2 + 5)(y2 + 5) Líi gi£i. 105
- 106. Ta th§y r¬ng: max P = 4 21 , x = 4; y = 1 2 n¶n ta s³ chùng minh P 4 21 vîi d§u = x£y ra , x = 4; y = 1 2 . 2 Thªt vªy: 4(2x + y) 13 (x2 + 5)(y2 + 5) 4 21 B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi: 168x + 84y 273 4x2y2 + 20x2 + 20y2 + 100 hay 4(x2y2 4xy + 4) + 16x2 + 4y2 + 289 + 16xy 136x 68y + 4(x2 8x + 16) + 4(4y2 4y + 1) 0 hay 4(xy 2)2 + (4x + 2y 17)2 + 4(x 4)2 + 4(2y 1)2 0 (luæn óng) Vªy max P = 4 21 , x = 4; y = 1 2 .2 5.4 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n 12a2 + 3b2 + 2c2 = 20. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: M = (a + b)(1 + c) Líi gi£i. °t m = 1 p 5 ; n = 4 p 5 ; p = 2; k = p 5 3 . p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: M2 (m + n) a2 m + b2 n (1 + p) 1 + c2 p = N p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: N = (m + n)(1 + p) k : a2 m + b2 n k + kc2 p (m + n)(1 + p) 4k : a2 m + b2 n + k + kc2 p 2 Theo c¡ch °t m; n; p; k nh÷ tr¶n, ta s³ câ: a2 m + b2 n + k + kc2 p = npa2 + pmb2 + kmnc2 mnp + k = p 5 12 :(12a2 + 3b2 + 2c2) + p 5 3 p 5 = 2 Cuèi còng, ta thu ÷ñc: M2 N (m + n)(1 + p) 4k p 5)2 = 45 :(2 Tø â suy ra: p 5 M 3 p 5 , a = Vªy maxM = 3 1 p 5 ; b = 4 p 5 ; c = 2.2 5.5 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a2 3a2 + (b + c)2 + b2 3b2 + (c + a)2 + c2 3c2 + (a + b)2 1 2 Líi gi£i. 106
- 107. p döng b§t¯ng thùc cauchySchawrz, ta câ: P a2 3a2 + (b + c)2 = P a2 a2 + b2 + c2 + 2a2 + 2bc P a2 4a2 + 4b2 + 4c2 + P a2 8a2 + 8bc = 1 4 + P a2 8a2 + 8bc Ta c¦n chùng minh: P a2 a2 + bc 2 , P bc a2 + bc 1 Ta câ : P bc a2 + bc (ab + bc + ca)2 a2b2 + b2c2 + c2a2 + abc(a + b + c) 1 t÷ìng ÷ìng abc(a + b + c) 0 óng Ph²p chùng minh ho n t§t.2 5.6 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 5 1 a4 + 1 b4 + 1 c4 + a c2 + b a2 + c b2 2 a b2 + b c2 + c a2 + a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi: 5 1 a4 + 1 b4 + 1 c4 + a c2 + b a2 + c b2 2 a b2 + b c2 + c a2 + 2(a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ca) Sû döng b§t ¯ng thùc AM - GM còng vîi gi£ thi¸t abc = 1, ta câ: 1 a4 + 1 b4 = b4c4 + 1 b4 2c2 T÷ìng tü, ta chùng minh ÷ñc: 1 b4 + 1 c4 2a2 1 c4 + 1 a4 2b2 Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: 2 1 a4 + 1 b4 + 1 c4 2(a2 + b2 + c2) hay 4 1 a4 + 1 b4 + 1 c4 4(a2 + b2 + c2) Ti¸p töc ¡p döng b§t¯ng thùc AM - GM, ta câ: 1 a4 + c2 + 1 b4 + a2 + 1 c4 + b2 2c a2 + 2b b2 + 2b c2 Cëng theo v¸ hai b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: 5 1 a4 + 1 b4 + 1 c4 3(a2 + b2 + c2) + 2 a b2 + b c2 + c a2 B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: a2 + b2 + c2 + a c2 + b a2 + c b2 2(ab + bc + ca) L¤i ¡p döng AM - GM, ta câ: a2 + c b2 + bc = a2 + c b2 + ab2c2 3ca X¥y düng c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü, ta ÷ñc: b2 + a c2 + ca 3ab 107
- 108. c2 + b a2 + ab 3bc Cëng theo v¸ ba b§t ¯ng thùc n y, ta ÷ñc: a2 + c b2 + bc + b2 + a c2 + ca + c2 + b a2 + ab 3(ab + bc + ca) hay a2 + c b2 + b2 + a c2 + c2 + b a2 2(ab + bc + ca) ¥y ch½nh l i·u ph£i chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2 5.7 Cho a; b; c 0 tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a2b + b2c + c2a + 1 6 p a3 + b3 + c3 3 + 1 6 p 3 Líi gi£i. Ta câ mët bê · quen thuëc: Vîi x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng b§t k¼, ta luæn câ b§t ¯ng thùc: (x + y + z)3 27 4 (xy2 + yz2 + zx2 + xyz) D§u = x£y ra , x = y = z. p döng bê · tr¶n v k¸t hñp vîi gi£ thi¸t abc = 1, ta câ: (a2b + b2c + c2a)3 27 4 (a2b5c2 + b2c5a2 + c2a5b2 + a3b3c3) = 27 4 (a3 + b3 + c3 + 1) Tø ¥y suy ra: r a3 + b3 + c3 + 1 a2b + b2c + c2a 3 3 4 Ta s³ chùng minh: r a3 + b3 + c3 + 1 3 3 4 + 1 6 p a3 + b3 + c3 3 + 1 6 p 3 p döng b§t ¯ng thùc AM - GM, ta câ: a3 + b3 + c3 + 1 = 3: a3 + b3 + c3 3 s + 1 4 4 a3 + b3 + c3 3 3 Do â: r a3 + b3 + c3 + 1 3 3 4 r a3 + b3 + c3 3 4 3 B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: r a3 + b3 + c3 3 4 3 + 1 6 p a3 + b3 + c3 3 + 1 6 p 3 r a3 + b3 + c3 °t t = 12 3 p abc = 1, b§t ¯ng thùc trð th nh: 12 3t3 + 1 6 p 3t2 3 + 1 6 p 3 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: 3 6 p 3t5 3 6 p 3t2 t2 + 1 0 hay (t 1)(3 6 p 3t4 + 3 6 p 3t3 + 3 6 p 3t2 t 1) 0 (luæn óng v¼ t 1). Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u = x£y ra , a = b = c = 1.2 108
- 109. 5.8 Cho x;y; z l ba sè thüc d÷ìng thäa m¢n x5 + y5 + z5 = 3: Chùng minh r¬ng: x4 y3 + y4 z3 + z4 x3 3 Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: x4 y3 + y4 z3 + z4 x3 (x5 + y5 + z5)2 x6y4 + y6z4 + z6x4 9 x6y4 + y6z4 + z6x4 Vªy n¶n ta c¦n chùng minh: x6y4 + y6z4 + z6x4 3 Tø b§t ¯ng thùc quen thuëc: (a + b + c)2 3 ab + bc + ca ta câ: x5y5 + y5z5 + z5x5 3 Suy ra: 15 X (x5 + 3x5y5 + x10) Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM: x5 + 3x5y5 + x10 5x6y3 L m t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i ta ÷ñc: 15 5(x6y4 + y6z4 + z6x4) hay x6y4 + y6z4 + z6x4 3 B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.2 5.9 Cho ba sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xy + yz + zx 3xyz. Chùng minh r¬ng: x2 + 3 p 3 p y2 + 3 p z2 p x + p y + p z Líi gi£i. 109
- 110. Tø gi£ thi¸txy + yz + zx 3xyz ta câ 1 x + 1 y + 1 z 3 p döng b§t ¯ng thùc AM GM: 3 1 x + 1 y + 1 z 3 3 p xyz ! xyz 1 °t a = 6 p x; b = 6 p y; a = 6 p z (x; y; z 0) B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 vîi a; b; c l c¡c sè d÷ìng sao cho abc 1 Theo b§t ¯ng thùc Chebyshev ta câ: 3(a4 + b4 + c4) (a3 + b3 + c3)(a + b + c) L¤i câ theo AM GM: a + b + c 3 3 p abc 3 K¸t hñp hai i·u tr¶n cho ta i·u ph£i chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1:.2 5.10 Cho a; b; c l c¡c sè thüc æi mët kh¡c nhau. Chùng minh r¬ng: a2b2 + 1 (a b)2 + b2c2 + 1 (b c)2 + c2a2 + 1 (c a)2 3 2 Líi gi£i. Ta chó þ tîi bi¸n êi sau: Xa2b2 + 1 (a b)2 = 1 2 : X(1 ab)2 + (1 + ab)2 (a b)2 = 1 2 X(1 ab)2 :( (a b)2 + X(1 + ab)2 (a b)2 ) ¸n ¥y sû döng 2 b§t ¯ng thùc quen thuëc: x2 + y2 + z2 2(xy + yz + zx); x2 + y2 + z2 xy + yz + zx ta câ: 1 2 X(1 ab)2 :( (a b)2 + X(1 + ab)2 (a b)2 ) 1 2 (2: X(1 ab)(1 bc) (a b)(b c) + X(1 + ab)(1 + bc) (a b)(b c) ) 110
- 111. B¬ng ph²p quyçng v khai triºn trüc ti¸p ta câ 2 ¯ng thùc sau: (1 ab)(1 bc) (a b)(b c) + (1 bc)(1 ca) (b c)(c a) + (1 ca)(1 ab) (c a)(a b) = 1 (1 + ab)(1 + bc) (a b)(b c) + (1 + bc)(1 + ca) (b c)(c a) + (1 + ca)(1 + ab) (c a)(a b) = 1 Suy ra: 1 2 (2: X(1 ab)(1 bc) (a b)(b c) + X(1 + ab)(1 + bc) (a b)(b c) ) = 3 2 Ph²p chùng minh ho n t§t.2 5.11 Cho a; b l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: a + b + a2b2 ab + 54ab (a + b)ab + 6ab + 1 9 Líi gi£i 1. Sû döng ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r. °t x = 1 a ; y = 1 b ; z = ab; x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r = 1 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: x + y + z + 54 xy + yz + xz + 6 9 , pq + 6p 9q Ta câ b§t ¯ng thùc quen thuëc sau: p2q + 3pr 4q2 , p2q + 3p 4q2 , p 3 + p 9 + 16q3 2q M°t kh¡c vîi q 3 d¹ th§y: 3 + p 9 + 16q3 2q 9q q + 6 Nh÷ vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.12 Chùng minh vîi måi sè thüc a; b; c khæng ¥m ta câ b§t ¯ng thùc sau: (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2)(a + b + c)2 8(a2b2 + b2c2 + c2a2)2 111
- 112. Líi gi£i. °ta2 = x; b2 = y; c2 = z(x; y; z 0): B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: p x + (x + y)(y + z)(z + x)( p y + p z)2 8(xy + yz + zx)2 Theo b§t ¯ng thùc AM GM: X p xy 2 X 4xy x + y Suy ra: ( p x + p y + p z)2 = X x + X p xy 2 X x + X 4xy x + y M°t kh¡c ta l¤i câ: X (x + y)(y + z)(z + x)( x + X 4xy x + y ) 8(xy + yz + zx)2 = X xy(x y)2 0 Vªy b§t ¯ng thùc chùng minh xong. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 5.13 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thãa m¢n x + y + z = xyz. Chùng minh r¬ng: y x p y2 + 1 + z y p z2 + 1 + x z p x2 + 1 3 2 Líi gi£i 1. Tø gi£ thi¸t x + y + z = xyz suy ra 1 xy + 1 yz + 1 zx = 1: °t 1 x = a; 1 y = b; 1 z = c khi â ab + bc + ca = 1: B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh : a p 1 + b2 + b p 1 + c2 + c p 1 + a2 3 2 Theo b§t ¯ng thùc AM GM v Cauchy Schwarz ta câ: Xp 1 + b2 = X a p (a + b)(b + c) X 2a 2b + a + c 2(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 3(ab + bc + ca) = 2: (a + b + c)2 (a + b + c)2 + (ab + bc + ca) 2: (a + b + c)2 (a + b + c)2 + (a + b + c)2 3 = 3 2 112
- 113. B§t ¯ng thùcchùng minh xong. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = p 3. 2 Líi gi£i 2. V¼ x; y; z l c¡c sè d÷ìng thäa m¢n x+y +z = xyz n¶n ta °t x = tanA; y = tanB; z = tanC vîi A;B;C l 3 gâc cõa mët tam gi¡c nhån v A + B + C = . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: tanB p tan2B + 1 tanA + tanC tanB p tan2C + 1 + tanA tanC p tan2A + 1 3 2 , cosAsinB sinA + cosBsinC sinB + cosCsinA sinC 3 2 Sû döng ành l½ h m sè Sine v Cosine º ÷a v· 3 c¤nh tam gi¡c ta ÷ñc: Xb2 + c2 a2 2ac 3 2 , a3 + b3 + c3 + ab2 + bc2 + ca2 3abc + a2b + b2c + c2a Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n luæn óng do ab2 + bc2 + ca2 3abc ( theo AM GM ) v a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a ( theo b§t ¯ng thùc ho¡n và ). B§t ¯ng thùc chùng minh xong. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = p 3.2 5.14 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thäa m¢n a; b; c 1; a2 + b2 + c2 = 4.Chùng minh: 1 a + 1 b + 1 c 9 2( p a2 1 + p b2 1 + p c2 1) Líi gi£i. °t p a2 1 = x; p b2 1 = y; p c2 1 = z ta vi¸t l¤i gi£ thi¸t th nh: x2 +y2 +z2 = 1: B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: (x + y + z)( 1 p x2 + 1 + 1 p y2 + 1 + 1 p z2 + 1 ) 9 2 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: X x p x2 + 1 s X 3x2 2x2 + y2 + z2 s 3 4 X ( x2 x2 + y2 + x2 x2 + z2 ) = 3 2 X y + z p x2 + 1 s X 3(y + z)2 2x2 + y2 + z2 s 3 X ( y2 x2 + y2 + z2 x2 + z2 ) = 3 113
- 114. B§t ¯ng thùc÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 2 p 3 .2 5.15 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng ming r¬ng: 1 x2 + xy + y2 + 1 y2 + yz + z2 + 1 z2 + zx + x2 9 (x + y + z)2 Líi gi£i. Nh¥n c£ 2 v¸ vîi x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz ta ÷ñc: Xx2 + y2 + z2 + xy + yz + xz x2 + xy + y2 9(x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz) (x + y + z)2 º þ r¬ng: Xx2 + y2 + z2 + xy + yz + xz x2 + xy + y2 = 3 + Xz(x + y + z) x2 + xy + y2 N¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: X z 3 + (x + y + z)( x2 + xy + y2 ) 9(x2 + xy + y2 + yz + xz + z2) (x + y + z)2 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: z x2 + xy + y2 + x z2 + zy + y2 + y x2 + xz + z2 (x + y + z)2 zx2 + zy2 + xz2 + xy2 + yx2 + yz2 + 3xyz = (x + y + z)2 (x + y + z)(xy + yz + xz) = x + y + z xy + yz + xz Vªy ta c¦n chùng minh: 3 + (x + y + z)2 xy + yz + xz 9(x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz) (x + y + z)2 , 3 + (x + y + z)2 xy + yz + xz 9((x + y + z)2 (xy + yz + xz)) (x + y + z)2 , (x + y + z)2 xy + yz + xz 3(2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca) (x + y + z)2 ) 114
- 115. , (a +b + c)4 3(ab + bc + ca)(2(a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca) D¹ th§y b§t ¯ng thùc tr¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM GM cho 2 sè. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z. 2 B§t ¯ng thùc tr¶n công l mët h» qu£ trüc ti¸p suy ra tø b§t ¯ng thùc Iran 1996. Thªt vªy, sû döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: V T = X 1 x2 + xy + y2 X 4(xy + yz + zx) (y2 + yz + z2 + xy + yz + zx)2 = X 4(xy + yz + zx) (y + z)2(x + y + z)2 Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh: 1 (x + y)2 + 1 (y + x)2 + 1 (z + x)2 9 4(xy + yz + zx) Nh÷ng ¥y l b§t ¯ng thùc Iran 1996 quen thuëc. 5.16 Chùng minh vîi måi sè thüc a; b; c ta câ b§t ¯ng thùc sau: 2(1 + abc) + p 2(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (1 + a)(1 + b)(1 + c) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: p 2(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (b + c)(1 + a) + (1 bc)(a 1) , p ((1 + a)2 + (a 1)2)((b + c)2 + (1 bc)2) (1 + a)(b + c) + (a 1)(bc 1) K¸t qu£ n y óng theo Cauchy Schwarz. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: 2 Công câ thº ¡p döng Cauchy Schwarz nh÷ sau: 2(1 + abc) + p 2(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = 2(1 + abc) + p 2[(ab + bc + ca 1)2 + (a + b + c abc)2] (ab + bc + ca 1) + (a + b + c abc) + 2(1 + abc) = (1 + a)(1 + b)(1 + c) Ta câ i·u ph£i chùng minh.2 115
- 116. 5.17 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a + b + c = 3.Chùng minh: 12( 1 a + 1 b + 1 c ) 4(a3 + b3 + c3) + 21 Líi gi£i. Gi£ sû c l sè lîn nh§t trong 3 sè a; b; c: °t t = a + b 2 vîi t 2 (0; 1] X²t f(a; b; c) = V T V P. D¹ th§y f(a; b; c) f(t; t; c) v¼ (a + b)2ab (a + b)4 4 4. L¤i câ: f(t; t; c) = 3(2t 1)2( 1 3 2t + 8 t + 2t 30) º chùng minh f(t; t; c) 0 ta s³ i chùng minh: g(t) = 4t3 26t2 + 45t 24 08t 2 (0; 1] Ta th§y g(t) çng bi¸n n¶n g(t) g(1) = 1 0: Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 0:5; c = 2 v c¡c ho¡n và.2 5.18 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a(b + c) b2 + c2 + b(c + a) c2 + a2 + c(a + b) a2 + b2 + 3 4 ab ab + c2 + bc bc + a2 + ca ca + b2 Gi£i p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz , ta câ: 4bc bc + a2 = 4bc(b + c) (b + c)(bc + a2) = bc(b + c) (1 + 1)2 b(c2 + a2) + c(a2 + b2) bc(b + c) 1 b(c2 + a2) + 1 c(a2 + b2) = c(b + c) c2 + a2 + b(b + c) a2 + b2 Do â: X cyc 4bc bc + a2 X cyc c(b + c) c2 + a2 + X cyc b(b + c) a2 + b2 = X cyc b(a + b) b2 + c2 + X cyc c(c + a) b2 + c2 = X cyc b(a + b) b2 + c2 + c(c + a) b2 + c2 = X cyc b(a + b) + c(c + a) b2 + c2 = X cyc a(b + c) + b2 + c2 b2 + c2 = X cyc a(b + c) b2 + c2 + 1 = X cyc a(b + c) b2 + c2 + 3 ¯ng thùc x£y ra , a = b = c.2 5.19 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c; x; y; z tho£ m¢n: (a + b + c)(x + y + z) = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = 4 Chùng minh r¬ng: abcxyz 1 36 116
- 117. Líi gi£i. Sûdöng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: 4(ab + bc + ca)(xy + yz + xz) = [(a + b + c)2 (a2 + b2 + c2)][(x + y + z)2 (x2 + y2 + z2)] = 20 (a + b + c)2:(x2 + y2 + z2) (a2 + b2 + c2)(x + y + z)2 20 2 p (a + b + c)2:(x2 + y2 + z2):(a2 + b2 + c2)(x + y + z)2 = 4 ) (ab + bc + ca)(xy + yz + xz) 1 M°t kh¡c ta l¤i câ: (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c); (xy + yz + xz)2 3xyz(x + y + z) ) (ab + bc + ca)2:(xy + yz + xz)2 9abcxyz(a + b + c)(x + y + z) ) abcxyz 1 36 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc khæng x£y ra.2 5.20 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n abc = 1: Chùng minh: a + b + c 3 r 5 a2 + b2 + c2 3 Líi gi£i. Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc d÷îi d¤ng thu¦n nh§t: (a + b + c)5 81abc(a2 + b2 + c2)() Rã r ng ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc (*) vîi måi a,b,c d÷ìng. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû c = min(a; b; c). Ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau: 8abc(a2 + b2) c(a + b)4 8abc3 2c3(a + b)2 Do vªy, ta ch¿ c¦n chùng minh: 8(a + b + c)5 81c(a + b)2(2c2 + (a + b)2)(1) °t a + b = 2t v chu©n ho¡ cho a + b + c = 3. Thay c = 3 2t v o (1), ta ÷ñc: 3 t2(3 2t)((3 2t)2 + 2t2) , 4t5 14t4 + 18t3 9t2 + 1 0 , (t 1)2(4t3 6t2 + 2t + 1) 0 B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng v¼ t 1 ( Do c = min(a; b; c) ). Ph²p chùng minh ho n t§t. 117
- 118. ¯ng thùc x£yra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.21 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n ab + bc + ca = 3: Chùng minh: a + b + c abc + 2 r a2b2 + b2c2 + c2a2 3 Líi gi£i 1. °t x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 3(p r)2 4(9 2rp) Theo b§t ¯ng thùc Schur bªc 4 ta câ: r (4q p2)(p2 q) 6p M°t kh¡c h m sè f(p; r) = 3(p r)2 4(9 2rp) çng bi¸n theo r n¶n ta câ: p 3(p r)2 3 (12 p2)(p2 3) 6p 2 9 2p 4 (12 p2)(p2 3) 6p = (p 3)(p 1)(p + 1)(p + 3)(p2 12)2 12p2 0 B§t ¯ng thùc n y óng v¼ p 3: Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 Líi gi£i 2. Gi£ sû b l sè n¬m giúa a v c. Khi â, sû döng b§t ¯ng thùc ìn gi£n 4xy (x+y)2, ta s³ quy b i to¡n v· chùng minh b§t ¯ng thùc m¤nh hìn l : ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) a2b2 + b2c2 + c2a2 b + b(ab + bc + ca) T÷ìng ÷ìng vîi: ca(a b)(b c) b 0 Nh÷ng ¡nh gi¡ tr¶n óng theo i·u gi£ sû. Ta câ i·u ph£i chùng minh.2 5.22 Cho 3 sè thüc d÷ìng thay êi a; b; c sao cho:a + b + c = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: A = (a + b + c)2 + (ab + bc + ca) 1 + a2b + b2c + c2a a2b + b2c + c2a + 81 (a + b) (b + c) (c + a) + abc 118
- 119. Líi gi£i. Sûdöng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau: (1) 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = X (a3 + X ab2 + X a2b) 3(a2b + b2c + c2a) ) a2 + b2 + c2 a2b + b2c + c2a (2) abc (a + b + c)3 27 = 1 (3) (a + b)(b + c)(c + a) 8(a + b + c)3 27 = 8 °t a2 + b2 + c2 = t ) ab + bc + ca = 9 t 2 . X²t f(t) = t + 9 t 2 :(3 + 1 t ) vîi t 3 Ta câ: f0(t) = 2(t3 2t2 9) 4t2 Gi£i ph÷ìng tr¼nh f0(t) = 0 ta ÷ñc t = 3: ) f(t) f(3) = 13(4): Tø (2); (3) v (4), suy ra MinA = 22 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.23 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m sao cho khæng tçn t¤i 2 sè çng thíi b¬ng 0 v thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 2. Chùng minh: 1 a2 b2 + bc + c2 + 1 b2 c2 + ca + a2 + 1 c2 a2 + ab + b2 1 2 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t a2 + b2 + c2 = 2 ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh th nh: a2 + bc b2 + bc + c2 + b2 + ca c2 + ca + a2 + c2 + ab a2 + ab + b2 2 ¥y l mët k¸t qu£ quen thuëc, chùng minh nâ nh÷ sau: X²t hi»u: a2 + bc b2 + bc + c2 2 = P (a2 + bc)(c2 + ca + a2)(c2 + ca + a2 Q ) (a2 + ab + b2) = P a6 + P a5(b + c) P a4(b2 + c2) P a3b3 Q (a2 + ab + b2) ¸n ¥y sû döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: a5b + 3b5a 4a2b4 119
- 120. Ho n to n t÷ìngtü vîi sè h¤ng cán l¤i rçi cëng theo v¸ ta ÷ñc: ) a5(b + c) + b5(c + a) + c5(a + b) a4(b2 + c2) + b4(a2 + c2) + c4(a2 + b2)(1) M°t kh¡c d¹ th§y r¬ng: a6 + b6 + c6 a3b3 + b3c3 + c3a3(2) Tø 2 b§t ¯ng thùc (1) v (2) suy ra: P a6 + P a5(b + c) P a4(b2 + c2) P a3b3 Q (a2 + ab + b2) 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 1; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 5.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m sao cho ab + bc + ca 0: Chùng minh r¬ng: a3 + abc b2 + c2 + b3 + abc c2 + a2 + c3 + abc a2 + b2 a + b + c Líi gi£i. º þ r¬ng: a3 + abc b2 + c2 a = a3 + abc ab2 ac2 b2 + c2 = a(a b)(a c) b2 + c2 Vªy n¶n b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: a(a b)(a c) b2 + c2 + b(b c)(b a) c2 + a2 + c(c a)(c b) a2 + b2 0 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c khi â d¹ th§y r¬ng: a b2 + c2 b c2 + a2 c a2 + b2 N¶n theo b§t ¯ng thùc V ornicu Schur ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 5.25 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m sao cho ab + bc + ca 0: Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 a(b2 + c2) b + c + b(c2 + a2) c + a + c(a2 + b2) a + b Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 2abc( 1 b + c + 1 c + a + 1 a + b ) 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) Theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: 2abc( 1 b + c + 1 c + a + 1 a + b ) 9abc a + b + c 120
- 121. Vªy ta c¦nchùng minh: a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c 2(ab + bc + ca) Nh÷ng ¥y l¤i l b§t ¯ng thùc Schur d¤ng ph¥n thùc. Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 5.26 Cho a; b; c; d l c¡c sè d÷ìng thäa m¢n a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chùng minh: (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) abcd Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû d a c b. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz d¹ th§y: 2(a + b) a + b + c + d p 4(a2 + b2 + c2 + d2) = 2 ) a + b 1 X²t 2 sè a v b ta câ ¡nh gi¡ sau: 1 a a : 1 b b p 2 p a2 + b2 !2 1 p 2(a2 + b2) a b) 0 , (a b)2(1 a b) + 2ab( Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc khi a = b = c d tùc l chùng minh: (1 a)(1 b) cd , 2 2a 2b + 2ab 2cd , (a + b 1)2 + (c d)2 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.27 Chùng minh vîi c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z ta câ b§t ¯ng thùc sau: xyz + x2 + y2 + z2 + 5 3(x + y + z) Líi gi£i 1. Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: xyz + xyz + 1 3 3 p x2y2z2 9xyz x + y + z M°t kh¡c theo Schur bªc 2 d¤ng ph¥n thùc: 9xyz x + y + z 2(xy + yz + xz) x2 y2 z2 121
- 122. Nh÷ vªy tac¦n ph£i chùng minh: 2(x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + xz) x2 y2 z2 + 9 6(x + y + z) , (x + y + z)2 + 9 6(x + y + z) B§t ¯ng thùc tr¶n óng theo AM GM.2 Líi gi£i 2. °t x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1(a; b; c 1). B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: abc + ab + bc + ca + a2 + b2 + c2 0 Do (abc)2 0, n¶n gi£ sû ab 0. K¸t hñp vîi c 1 ta câ: ab(c + 1) 0(1) L¤i câ: a2 + b2 + c2 + bc + ca = (a + c 2 )2 + (b + c 2 )2 + c2 2 (2) Tø (1) v (2) ta câ i·u ph£i chùng minh.2 Líi gi£i 3. Ta sû döng ph÷ìng ph¡p dçn bi¸n. °t f(x; y; z) = abc + a2 + b2 + c2 + 5 3(a + b + c) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû c = minfa; b; cg: Ta câ: f(a; b; c) f p ab; = p ab; c p a 2 p b a + b + 2 p ab 3 f(a; b; c) f a + b 2 ; a + b 2 ; c = (a b)2 4 (2 c) Tø §y ta th§y r¬ng: - N¸u c 1 th¼ f(a; b; c) f p ab; p ab; c - N¸u c 1 th¼ f(a; b; c) f a + b 2 ; a + b 2 ; c tùc l ta ch¿ c¦n chùng minh b i to¡n trong tr÷íng hñp câ hai bi¸n b¬ng nhau. X²t f(x; x; c) = x2(c + 2) 6x + c2 3c + 5 Xem f(x; x; c) 0 l mët b§t ph÷ìng tr¼nh bªc hai ©n x, b§t ph÷ìng tr¼nh n y câ: 0 = (c 1)2(c + 1) 0 N¶n suy ra f(x; x; c) 0 8x; c 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.28 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c = 3. Chùng minh: a b + b c + c a r a2 + b2 + c2 3 + 2 122
- 123. Líi gi£i 1. °t x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r, d¹ th§y q 3 Theo b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: a b + b c + c a (a + b + c)2 ab + bc + ca = 9 q L¤i câ a2 + b2 + c2 = p2 2q. Vªy ta c¦n chùng minh: 9 q r p2 2q 3 + 2 , ( 9 q 2)2 9 2q 3 , (3 q)(9 2q)(q + 9) 3q2 0 B§t ¯ng thùc tr¶n óng do q 3. Líi gi£i 2. Nh¥n hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc vîi a + b + c ta ÷ñc: a2 b + a2 b + a2 b + ab c + bc a + ca b + a + b + c p 3(a2 + b2 + c2) + 6 D¹ d ng chùng minh ÷ñc theo AM GM: ab c + bc a + ca b 3 Vªy º chùng minh b§t ¯ng thùc ban ¦u ta c¦n chùng minh: a2 b + b2 c + c2 a p 3(a2 + b2 + c2) , X ( a2 b 2a + b) p 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c) , X(a b)2 b X (a b)2 p 3(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) , X (a b)2( 1 b 1 p 3(a2 + b2 + c2) + (a + b + c) ) 0 B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng vîi a; b; c 0.2 Líi gi£i 3. Tr÷îc h¸t ta câ mët bê · quen thuëc: x y + y z + z x 9(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 p dung bê · tr¶n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: 9(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 r a2 + b2 + c2 3 + 2 123
- 124. °t x = q a2+b2+c2 3 1 B§t ¯ng thùc trð th nh: 3x2 x + 2 , (x 1)(3x + 2) 0 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.29 Chùng minh vîi a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng ta câ b§t ¯ng thùc sau: a2 (b + c)2 + b2 (c + a)2 + c2 (a + b)2 + 10abc (a + b)(b + c)(c + a) 2 Líi gi£i. °t a b + c = x; b c + a = y; c a + b = z. Khi â ta câ c¡c ¯ng thùc v b§t ¯ng thùc quen thuëc sau: 8 xy + yz + zx + 2xyz = 1 x + y + z 3 : 2 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: x2 + y2 + z2 + 10xyz 2 Tø i·u ki»n x + y + z 3 2 ta câ: x2 + y2 + z2 + 6xyz + 4xyz x2 + y2 + z2 + 9xyz x + y + z + 4xyz M°t kh¡c theo Schur ta l¤i câ: x2 + y2 + z2 + 9xyz x + y + z 2(xy + yz + zx) ) x2 + y2 + z2 + 10xyz 2(xy + yz + zx) + 4xyz = 1 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 5.30 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1. Chùng minh: p 3 8 (a b)(b c)(c a) p 3 8 Líi gi£i. Rã r¬ng b i to¡n s³ ÷ñc chùng minh n¸u ta chùng minh ÷ñc: j(a b)(b c)(c a)j p 3 18 Ta câ b÷îc dü o¡n nh÷ sau: B§t ¯ng thùc l èi xùng n¶n ta dü o¡n ¯ng thùc x£y ra khi câ mët sè b¬ng 0, v¼ ð ¥y khæng 124
- 125. thº x£y ratr÷íng hñp câ hai sè b¬ng nhau ÷ñc v¼ khi â (a b)(b c)(c a) = 0 v ta gi£ sû c = 0 º thu ÷ñc jab(a b)j p 3 18 ; a+b = 1. Gi£ h» n y ta t¼m ÷ñc a = 3+ p 3 6 ; b = 3 p 3 6 ; c = 0. V ta câ líi gi£i b¬ng AM GM nh÷ sau: Gi£ sû a b c: Khi â sû döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: j(a b)(b c)(c a)j = (a c)(b c)(a b) (a + c):b:(a + c b) = 1 2 : p 3 + 1 (a + c):b( p 3 1)(a + c b) 1 2 : p 3 + 1 (a + c) + b( p 3 1) + (a + c b) 3 #3 = 1 2 : p 3(a + b + c) 3 #3 = p 3 18 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 3+ p 3 6 ; b = 3 p 3 6 ; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 5.31 Cho a; b; c l c¡c sè d÷ìng thäa m¢n abc = 1. Chùng minh: a3 4 + 2b2(a + c) + c3 + b3 4 + 2c2(a + b) + a3 + c3 4 + 2a2(b + c) + b3 1 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Holder ta câ: X a3 4 + 2b2(a + c) + c3 (a + b + c)3 3(12 + 2a2(b + c) + 2b2(a + c) + 2c2(a + b) + a3 + b3 + c3) Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau: (a + b + c)3 12 + 2a2(b + c) + 2b2(a + c) + 2c2(a + b) + a3 + b3 + c3 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi : a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) 6 Nh÷ng ¡nh gi¡ tr¶n hiºn nhi¶n óng theo AM GM Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.32 Cho a l sè thüc thäa m¢n a5 a3 + a 2 = 0. Chùng minh: S = a16 + a12 + 7a8 + 12a4 + 12 a12 + 7a8 + 7a4 + 12 3 p 4 Líi gi£i. 125
- 126. Tø gi£ thi¸tta câ: 2 a = a4 a2 + 1 0 ) a 0. Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM: a3 + 2 = a5 + a 2a3 Do d§u ¯ng thùc x£y ra khæng thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh tr¶n n¶n suy ra a 3 p 2(1) B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng : a16 + a12 + 7a8 + 12a4 + 12 a14 + 7a10 + 7a6 + 12a2 , (a4 a2 + 1)(a12 7a6 + 12) 0 , a12 7a6 + 12 0 M°t kh¡c do a6= 1 ta l¤i câ ¡nh gi¡ sau: (a 1)2 0 , 2(a2 + 1) a 4 , (a2 + 1)(a4 a2 + 1) 4 , a6 + 1 4 Suy ra a 6 p 3(2) Tø (1) v (2) ta câ i·u ph£i chùng minh.2 5.33 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a + b + c ab + ac + bc. Chùng minh r¬ng a b + b c + c a a + b + c Líi gi£i. p döng trüc ti¸p b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ a b + b c + c a = a2 ab + b2 bc + c2 ca (a + b + c)2 ab + bc + ca (a + b + c)2 a + b + c = a + b + c ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.34 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ac = 1. Chùng minh r¬ng : a + b + c + ab b + c + bc c + a + ca a + b p 3 2 3 Líi gi£i. Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc th nh: (a + b + c)( b b + c + c c + a + a a + b ) p 3 2 3 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: (a + b + c)( b b + c + c c + a + a a + b ) (a + b + c)3 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = s (a2 + b2 + c2 + 2)3 (a2 + b2 + c2 + 1)2 126
- 127. °t a2 +b2 + c2 = t. Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: s (t + 2)3 (t + 1)2 = vuut ( t + 1 2 + t + 1 2 + 1)3 (t + 1)2 vuut 27( t + 1 2 )( t + 1 2 ) (t + 1)2 = p 3 2 3 Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.35 Cho c¡c sè a; b; c d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: a3 (1 + b)(1 + c) + b3 (1 + a)(1 + c) + c3 (1 + a)(1 + b) 3 4 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: a3 (1 + b)(1 + c) + 1 + b 8 + 1 + c 8 3a 4 Ho n to n t÷ìng tü ta công câ: b3 (1 + c)(1 + a) + 1 + c 8 + 1 + a 8 3b 4 v c3 (1 + a)(1 + b) + 1 + a 8 + 1 + b 8 3a 4 Cëng theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc: a3 (1 + b)(1 + c) + b3 (1 + a)(1 + c) + c3 (1 + a)(1 + b) + 3 + a + b + c 4 3(a + b + c) 4 ) a3 (1 + b)(1 + c) + b3 (1 + a)(1 + c) + c3 (1 + a)(1 + b) 2(a + b + c) 3 4 2 3 3 p abc 3 4 = 3 4 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.36 Cho a; b; c l c¡c sè d÷ìng v 1 a + 1 c = 2 b . Chùng minh r¬ng: a + b 2a b + b + c 2c b 4 Líi gi£i. Do a; b; c 0, ta vi¸t l¤i gi£ thi¸t th nh: b a + b c = 2. Ta câ : a + b 2a b + b + c 2c b = 1 + b a 2 b a + 1 + b c 2 b c = b a b c 1 + + b c b a 1 + = 1 b c + 1 b a + b ab c + b cb a 127
- 128. Sû döng 2b§t ¯ng thùc quen thuëc: 1 x + 1 y 4 x + y v x y + y x 2 suy ra: 1 b c + 1 b a + b a b c + b cb a 2 + 2 = 4 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 5.37 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thuëc o¤n [0; 1] thäa m¢n xyz = (1 x)(1 y)(1 z). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: F = x2 + y2 + z2 Líi gi£i 1. Tø gi£ thi¸t suy ra: xy + yz + zx = 2xyz + (x + y + z) 1 Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 4xyz 2(x + y + z) + 2 4 27 :(x + y + z)3 + (x + y + z)2 2(x + y + z) + 2 °t t = x + y + z; t 2 [0; 3] ta ÷ñc: F = x2 + y2 + z2 = 4 27 :t3 + t2 2t + 2 = 1 27 :(2a 3)2:( 15 4 a) + 3 4 3 4 Vªy MinP = 3 4 . ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 2 . 2 Líi gi£i 2. °t a = sin2; b = sin2
- 129. ; c =sin2 . Tø gi£ thi¸t xyz = (1 x)(1 y)(1 z) suy ra cot2:cot2
- 130. :cot2 = 1 Ta s³ chùng minh: x2 + y2 + z2 3 4 , 1 (1 + cot2)2 + 1 (1 + cot2
- 131. )2 + 1 (1 + cot2 )2 3 4 °t cot2 = a; cot2
- 132. = b; cot2 = c th¼ xyz = 1. 1 Sû döng b§t ¯ng thùc quen thuëc: (1 + x)2 + 1 (1 + x)2 1 1 + xy ta ÷ñc: 1 (1 + x)2 + 1 (1 + x)2 + 1 (1 + z)2 1 1 + xy + 1 (1 + z)2 = z z + 1 + 1 (1 + z)2 128
- 133. Ta c¦n chùngminh: z z + 1 + 1 (1 + z)2 3 4 , (z 1)2 0 Chùng minh ho n t§t.2 5.38 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: p x + y + z:( p x y + z + p y x + z + p z y + x ) p 3 2 3 Líi gi£i. V¼ b§t ¯ng thùc ð d¤ng thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa x + y + z = 3. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: p x 3 x + p y 3 y + p z 3 z 3 2 Theo AM GM ta câ: x2 + p x + p x 3 p x x(3 x) , 2 ) p x 3 x x 2 Ho n to n t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i ta ÷ñc: p x 3 x + p y 3 y + p z 3 z x + y + z 2 = 3 2 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c x = y = z.2 5.39 Cho a; b; c 1 thäa m¢n a + b + c + 2 = abc. Chùng minh r¬ng: bc p b2 1 + ab p a2 1 + ca p c2 1 p 3 2 3 abc Líi gi£i 1. Tø gi£ thi¸t, chia c£ 2 v¸ cho abc6= 1 ta ÷ñc 1 ab + 1 bc + 1 ca + 2 abc = 1. Ta câ nhªn x²t sau: N¸u câ 3 sè x; y; z 0 thäa m¢n x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1 th¼ khi â tçn t¤i tam gi¡c ABC nhån sao cho x = cosA; y = cosB; z = cosC. Theo nhªn x²t tr¶n, ¡p döng v o b i to¡n ta th§y tçn t¤i tam gi¡c ABC nhån sao cho: 1 bc = cos2A; 1 ca = cos2B; 1 ab = cos2C. B§t ¯ng thùc ban ¦u l¤i trð th nh: r 1 cos2Bcos2C cos2A + r 1 cos2Ccos2A cos2B + r 1 cos2Acos2B cos2C p 3 2 3 129
- 134. Sû döng b§t¯ng thùc Cauchy Schwarz ta câ: X r 1 cos2Bcos2C cos2A r 3(3 Xcos2Bcos2C cos2A M°t kh¡c, theo AM GM d¹ th§y: cos2Bcos2C cos2A + cos2Ccos2A cos2B + cos2Acos2B cos2C cos2A + cos2B + cos2C Nh÷ vªy, cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh: sin2A + sin2B + sin2C 9 4 Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 2.2 Líi gi£i 2. °t t = 1 a + 1 b + 1 c Tø g¿a thi¸t ¡p döng AM GM ta câ: 1 = 2 abc + 1 ab + 1 bc + 1 ca 2t3 27 + t2 3 ) t 3 2 () B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: p (3c 3)(c + 1) + bc ab p (3a 3)(a + 1) + ca p (3b 3)(b + 1) 9 2 abc: Công theo AM GM ta l¤i câ: X p (3c 3)(c + 1) ab X ab(2c 1) = 6abc X ab 9 2 abc , 2 X ab 3abc , t 3 2 (óng theo i·u ki»n ()) Chùng minh ho n t§t.2 5.40 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n x + y + z = 1.Chùng minh r¬ng: 1 1 xy + 1 1 yz + 1 1 zx 27 8 Líi gi£i 1. B¯ng ph²p quy çng v khai triºn trüc ti¸p, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: 19:xyz 11(xy + yz + zx) 27x2y2z2 + 3 0 Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: xyz = xyz:(x + y + z)3 27:x2y2z2 130
- 135. ) 19:xyz 11(xy + yz + zx) 27x2y2z2 + 3 19xyz 11(xy + yz + zx) xyz + 3 0(1) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû r¬ng z = min(x; y; z) ) z x + y + z 3 = 1 3 . Suy ra: (1) , xy:(18z 11) 11z:(x + y) + 3 ( x + y 2 )2(18z 11) 11z:(1 z) + 3 Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: ( 1 z 2 )2(18z 11) 11z:(1 z) + 3 0 , (2z + 1):(3z 1)2 0 B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng do z 0. Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 3 .2 Líi gi£i 2. B i to¡n n y câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n. °t x = a 3 ; y = b 3 ; z = c 3 th¼ b i to¡n ÷ñc vi¸t l¤i th nh: Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3.Chùng minh r¬ng: 1 9 ab + 1 9 bc + 1 9 ca 3 8 Theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: ab (a + b)2 4 = (3 c)2 4 Tø â suy ra: 1 9 ab 4 c2 + 6c + 27 M°t kh¡c tø gi£ thi¸t d¹ th§y a; b; c 2 (0; 3] n¶n ta câ ¡nh gi¡ sau: 4 c2 + 6c + 27 9 c 64 = (c 1)2(c 3) 64(c2 + 6c + 27) 0 Suy ra: 1 9 ab 4 c2 + 6c + 27 9 c 64 X¥y düng c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü ta công câ: 1 9 bc 9 a 64 ; 1 9 ca 9 b 64 Cëng theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc: 1 9 ab + 1 9 bc + 1 9 ca 27 (a + b + c) 64 = 3 8 131
- 136. Ph²p chùng minhho n t§t. Ngo i ra b i to¡n n y cán câ kh¡ nhi·u c¡ch gi£i, v½ dö nh÷ sû döng h m bªc nh§t ho°c sû döng ¡nh gi¡ sau: 1 1 xy + 1 1 yz + 1 1 zx 3 1 xy + yz + zx 3 3.6 B i 6.1 ¸n b i 6.40 6.1 Cho c¡c sè a; b; c khæng ¥m thäa m¢n: a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca). Chùng minh r¬ng: r 1 + a b + c + r 1 + b c + a + r 1 + c a + b 1 + 2 p 2 Líi gi£i. ¦u ti¶n ta s³ chùng minh bê · sau: p N¸u xy khæng ¥m th¼ 1 + x + p 1 + y 1 + p 1 + x + y Chùng minh b¬ng c¡ch b¼nh ph÷ìng 2 v¸, cuèi còng ta ÷ñc: xy 0 (óng) Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c.Ta câ: a2 + b2 c(a + b) ) c2 c(a + b) ) c a + b °t x = a b + c ; y = b c + a ; z = c a + b th¼ xy + yz + zx + 2xyz = 1(1). Ngo i ra, tø h» thùc ¦u b i ta công câ ÷ñc x + y + z = 2 + 3xyz(2) Tø (1) v (2) suy ra x + y = 2z2 + 6z + 2 3z2 + 2z + 1 p döng bê · tr¶n, ta câ: p 1 + x + p 1 + y 1 + p 1 + x + y Nh÷ vªy, ta ch¿ c¦n chùng minh: p 1 + x + y + p 2 p 1 + z 2 Hay: r z2 + 8z + 3 3z2 + 2z + 1 + p 2(3) p 1 + z 2 Ta luæn câ (z 1)3 0 n¶n theo AM GM r z2 + 8z + 3 3z2 + 2z + 1 + p 1 + z 2 p 1 + z + p 2 p 1 + z 2 Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 0; y = z = 1 hay a = 0; b = c v c¡c ho¡n và.2 6.2 Cho c¡c sè a; b; c d÷ìng thäa m¢n: a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: a p 7b2 + b + c + b p 7c2 + c + a + c p 7a2 + a + b 1 132
- 137. 6.3 Cho x1 x2 :::: xn 0 thäa m¢n P xi 400 v P x2i 104. Chùng minh r¬ng: p x1 + p x2 10 Líi gi£i. °t xi = 25yi vîi måi i = 1; 2; : : : ; n. Khi â b i to¡n ÷ñc chuyºn v· chùng minh: p y1 + p y2 2 vîi y1 y2 yn 0 thäa m¢n y1 + y2 + + yn 16 v y2 1 + y2 2 + + y2n 16. N¸u y1 4 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. X²t tr÷íng hñp y1 4: Do yi y2 vîi måi 2 i n n¶n 16 y2 1 +y2 2 + +y2n y2 1 +y2 2 +y2y3 + +y2yn = y2 1 +y2(y2 +y3 + +yn) y2 1 +y2(16y1) Tø ¥y ta câ: y2 16 y2 1 16 y1 () Hìn núa, tø ¡nh gi¡ tr¶n ta công suy ra ÷ñc y1 1. Thªt vªy, do y2 y1 4 n¶n 16 y2 1 + y2(16 y1) y2 1 + y1(16 y1) = 16y1 v ta d¹ d ng thu ÷ñc y1 1. B¥y gií, sû döng b§t ¯ng thùc (*) thu ÷ñc ð tr¶n, ta câ thº ÷a b i to¡n v· chùng minh: p y1 + s 16 y2 1 16 y1 2 vîi 1 y1 4. Thªt vªy, ta °t p y1 = t; 1 t 2. B§t ¯ng thùc trð th nh: r 16 t4 16 t2 2 t , 16 t4 (2 t)2(16 t2) , (2 + t)(4 + t2) (2 t)(4 t)(4 + t) B§t ¯ng thùc tr¶n óng do 4 + t2 4 + t v 2 + t 3 3(2 t) (4 t)(2 t). Ph²p chùng minh ho n t§t.2 6.4 Cho tam gi¡c ABC. Chùng minh r¬ng: cosA + cosB + cosC + 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC p 3 + 2 3 2 Líi gi£i. °t f(A;B;C) = cosA + cosB + cosC + 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC p 3 + (2 3 2 ) trong â A;B;C l 133
- 138. ë lîn 3gâc cõa tam gi¡c ABC v A + B + C = . X²t hi»u : f(A;B;C) f(A; B + C 2 ; B + C 2 ) = (cosB + cosC 2cos B + C 2 ) + ( 1 sinB + 1 sinC 2 sinB+C 2 ) = 2cos B + C 2 (cos B C 2 1) + ( 1 sinB + 1 sinC 2 sinB+C 2 ) M°t kh¡c chó þ r¬ng sinB; sinC l c¡c sè d÷ìng cho n¶n theo b§t ¯ng thùc AM GM : 1 sinB + 1 sinC 2 sinB+C 2 4 sinB + sinC 2 sinB+C 2 = 4(1 cosBC 2 ) sinB + sinC Do â ta câ : f(A;B;C) f(A; B + C 2 ; B + C 2 ) 2(1 cos B C 2 )( 2 sinB + sinC cos B + C 2 ) = 2(1 cos B C 2 ): 2 :cosB+C 2 :cosBC 2 sinB + sinC 1 sinB+C 0 Vªy n¶n f(A;B;C) f(A; B+C 2 ; B+C 2 ) Tùc l ta ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc trong tr÷íng hñp tam gi¡c ABC c¥n t¤i A, khi â B = 2 A 2 ) cosB = cosC = sin A 2 ; sinB = sinC = cos A 2 . Ta câ : f(A; B + C 2 ; B + C 2 ) = (cosA + 2sin A 2 3 2 ) + ( 1 sinA + 2 cosA 2 p 3) 2 = (2sinA 2 1)2 2 + 1 + 4sinA p 3sinA 2 2 sinA D¹ th§y r¬ng: 1 sin( A 2 + 3 ) ) 8sin A 2 p 3sinA + 4sin2A 2 2 ) 1 + 4sin A 2 p 3sinA 4sin2A 2 2 4sin A 2 + 1 = (2sin A 2 1)2 Vªy ta ÷ñc : f(A; B + C 2 ; B + C 2 ) (2sin A 2 1)2( 1 sinA 1 2 ) 0 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi A = B = C = 3 .2 6.5 Cho tam gi¡c ABC khæng vuæng. Chùng minh r¬ng: 3tan2Atan2Btan2B5(tan2A+tan2B+tan2C) 9+tan2Atan2B+tan2Btan2C+tan2Ctan2A Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 4tan2Atan2Btan2B 4(tan2A + tan2B + tan2C) 8 (1 + tan2A)(1 + tan2B)(1 + tan2C) , 4 Y ( 1 cos2A X 1 1) 4( cos2A 3) 8 Q 1 cos2A 134
- 139. , Q 4 cos2A ( X 1 cos2Acos2B ) Q 1 cos2A , cos2A + cos2B + cos2C 3 4 , 1 + cos2A 2 + 1 + cos2B 2 + cos2C 3 4 , 2(cos2A + cos2B) + 4cos2C + 1 0 , 2cos(A B)cos(A + B) + 4cos2C + 1 0 , 4cos2C 4cos(A B)cosC + 1 0 , (2cosC cos(A B))2 + sin2(A B) 0 B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng. Chùng minh ho n t§t.2 6.6 Cho x 2 (0; 2 ). Chùng minh: ( sinx x )3 cosx Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: sin x 3 p cos x x 0 °t f(x) = sin x 3 p cos x x vîi x 2 (0; 2 ) Ta câ: f0(x) = cos x: 3 p cos x + sin2 x: 1 3 p cos2 x 3 p cos2 x 1 , f0(x) = 3 cos2 x + sin2 x 3 3 p cos4 x 3 3 p cos4 x , f0(x) = 2 cos2 x 3 3 p cos4 x + 1 3 3 p cos4 x , f0(x) = ( 3 p cos2 x 1)2(2 3 p cos2 x + 1) 3 3 p cos4 x 0 Khi â f(x) çng bi¸n trong x 2 (0; 2 ) ) f(x) f(0) = 0 Ph²p chùng minh ho n t§t. 2 6.7 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng, a; b; c l 3 c¤nh v S l di»n t½ch cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: p xy + yz + zxS xa2 + yb2 + zc2 4 Líi gi£i. Gi£ sû BC l c¤nh lîn nh§t trong tam gi¡c ABC. Gåi H l ch¥n ÷íng cao h¤ tø A xuèng BC. Ta câ: xa2 + yb2 + zc2 = xBC2 + y(HC2 + HA2) + z(HB2 + HA2) = xBC2 + (y + z)AH2 + yHC2 + zHB2(1) 135
- 140. p döng b§t¯ng thùc CauchySchwarz ta câ: yHC2 + zHB2 1 y + 1 z (HB + HC)2 = a2 Suy ra: yHC2 + zHB2 yza2 y + z (2) Tø (1) v (2) suy ra: xa2 + yb2 + zc2 (xy + yz + zx) a2 y + z + (y + z)AH2 p xy + yz + zx:AH:a 2 p xy + yz + zxS = 4 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC ·u.2 ¥y l mët h» qu£ cõa b§t ¯ng thùc Finsler Hadwinger. 6.8 Chùng minh r¬ng trong tam gi¡c ABC ta luæn câ: 1=a(b2 + c2 a2) + b(c2 + a2 b2) + c(a2 + b2 c2) 2abc p p 2= p p a + p p b + p p c p 3p vîi p l nûa chu vi. 3=0; 4 r ha 0; 5 vîi a2 + b2 c2 4=a4 + b4 + c4 16 bi¸t SABC = 1 5=ab lc + bc la + ac lb 6R vîi la; lb; lc l c¡c ÷íng ph¥n gi¡c t÷ìng ùng méi gâc. 6=sinA:sinB + sinB:sinC + sinC:sinA 9:( r R)2 Líi gi£i. 1/ Chia c£ 2 v¸ cho 2abc v ¡p döng ành lþ Cosine, ta câ b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: cosA + cosB + cosC 1 M°t kh¡c, ta câ ¯ng thùc quen thuëc sau: cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 D¹ th§y sin A 2 ; sin B 2 ; sin C 2 0 do A;B;C l 3 gâc cõa tam gi¡c n¶n suy ra: cosA + cosB + cosC 1 ¥y ch½nh l i·u ph£i chùng minh. p 2/ Sû döng b§t ¯ng thùc a + p b + p c p a + b + c ta câ: p p a + p p b + p p c p 3p (a + b + c) = p p 136
- 141. L¤i câ theoCauchy Schwarz: p p a + ( p p a + p p a)2 3(3p (a + b + c)) = 3p ) p p a + p p a + p p a p 3p B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. 3/ Ta câ: S = pr = 1 2 c:h ) r h = c a + b + c Do a + b c n¶n ta ÷ñc r h 1 2 M°t kh¡c ta l¤i câ: c2 a2 + b2 (a + b)2 2 ) a + b c p 2 Tø â ta ÷ñc: r h c p 2 + 1) c( = p 2 1 0; 4 Chùng minh ho n t§t. 4/ Sû döng cæng thùc Heron ta câ: SABC = p(p a)(p b)(p c) = 1 Suy ra: 16 = (a + b + c)(a + b c)(a + c b)(b + c a) = (a + b)2 c2 c2 (a b)2 a2 + b2 + 2ab c2 :c2 K¸t hñp vîi AM GM ta ÷ñc: 16 2a2:c2 + 2b2c2 c4 (a4 + c4) + (b4 + c4) c4 = a4 + b4 + c4 Chùng minh ho n t§t. 5/ Theo cæng thùc ÷íng ph¥n gi¡c, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: ab lc + bc la + ac lb 6: abc 4S = 3abc 2S , 1 ala + 1 blb + 1 clc 3 2S , X b + c p bc a p (a + b + c)(b + c a) 3 2S , p bc X(b + c) p (a + b c)(a + c b) abc 6 Ta s³ chùng minh: p (a + b c)(a + c b) 2a (b + c) p bc , b + c 2 p bc 2a p (a + b c)(a + c b) 137
- 142. , (b +c)2 4bc 1 a2 a2 (b c)2 1 , (b c)2( 1 4bc 1 a2 (b c)2) ) 0 Suy ra: p (a + b c)(a + c b) 2abc (b + c) Ho n to n t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i ta câ i·u ph£i chùng minh. 6/ Theo ành l½ h m sè Sine ta câ: sinAsinB = ab 4R2 ; sinB sinC = bc 4R2 ; sinC sinA = ca 4R2 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh: ab + bc + ca 36r2 Tø h» thùc quen thuëc r2 = (p a)(p b)(p c) p ) 36r2 = (p a)(p b)(p c) p = 9(a + b c)(b + c a)(c + a b) M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc Schur th¼: 9abc 9(a + b c)(b + c a)(c + a b) Cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc i·u n y óng theo b§t ¯ng thùc AM GM: a + b + c 3 3 p abc ab + bc + ca 3 3 p a2b2c2 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi tam gi¡c ABC ·u.2 6.9 Gi£ sû a; b; c l 3 sè thüc ph¥n bi»t. Chùng minh r¬ng
- 146. a + b a b + b + c b c + c + a c a
- 150. 1. Líi gi£i. °t x = a + b a b ; y = b + c b c ; z = c + a c a th¼ ab + bc + ca = 1. Khi â theo b§t ¯ng thùc C S ta câ: (x + y + z)2 3 (xy + yz + zx) = 3. Suy ra jx + y + zj p 3 1. 2 6.10 Cho a; b; c l ë d i 3 c¤nh tam gi¡c thäa m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a 5 a + b + c + abc 138
- 151. Líi gi£i. °tp = a + b + c; q = ab + bbc + ca; r = abc: Ta câ p2 3q = 3 Hìn núa a; b; c l 3 c¤nh tam gi¡c n¶n a2 + b2 + c2 2 (ab + bc + ca) ) p2 4q = 4 B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi p3 + (p2 + 6) r 4p 4pq p3 Theo b§t ¯ng thùc Schur ta câ : r 9 = 4p p3 9 Do â p3 + (p2 + 6) r p3 + (p2 + 6) 4p p3 9 (1) M p3 + (p2 + 6) 4p p3 9 = p (p2 4) (p2 3) 9 0 (2) Tø (1) ; (2).2 6.11 Cho ba a; b; c; x; y; z l 6 sè d÷ìng thäa m¢n ax + by + cz = 1. Chùng minh r¬ng: x + y + z p a + b + p b + c + p c + a Líi gi£i. Ta câ x = ax yz + b z + c y b z + c y T÷ìng tü, câ y a z + c x ; z a y + b x Suy ra x + y + z b + c x + c + a y + a + b z ) (x + y + z) x + b + c x + y + c + a y + z + a + b z Theo BT AM-GM ta câ x + b + c x + y + c + a y + z + a + b z p b + c + 2 2 p c + a + 2 p a + b Vªy x + y + z p b + c + p c + a + p a + b. 2 6.12 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: 4a2b2c2 (a3 + b3 + c3 + abc) (a + b c) (b + c a) (c + a b) Líi gi£i. Gi£ sû a b c, n¸u b + c a 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. N¸u b + c a 0 th¼ a; b; c l 3 c¤nh cõa tam gi¡c. Ta câ: a3 + b3 + c3 + abc a + b + c R2 Khai triºn h (a + b) ! OC + (c + b) ! OA + (a + c) ! OB i2 0 vîi O l t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh.2 6.13 Co a; b; c l 3 sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 a + b + b2 + c2 b + c + c2 + a2 c + a 3 (a2 + b2 + c2) a + b + c Líi gi£i. B§t ¯ng th ùc t÷ìng ÷ìng vîi a2 + b2 (a + b + c) a + b + b2 + c2 b + c + c2 + a2 c + a 3 (a2 + b2 + c2) , a2 + b2 + c2 + 2abc 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a 2 (ab + bc + ca) 139
- 152. M°t kh¡c theob§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart th¼ 1 1 1 9 + + a + b b + c c + a 2 (a + b + c) Vªy º chùng minh b i to¡n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c 2 (ab + bc + ca) ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur d¤ng ph¥n thùc. B i to¡n ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 6.14 Cho a; b; c d÷ìng v a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: 8 (2 a) (2 b) (2 c) (a + bc) (b + ca) (c + ab) Líi gi£i. Ta câ 2 (2 a) = 4 2a = b2 + c2 + (a2 2a + 1) b2 + c2 T÷ìng tü ta câ 2 (2 b) a2 + c2; 2 (2 c) a2 + b2 Suy ra 8 (2 a) (2 b) (2 c) (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2) Cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2) (a + bc) (b + ca) (c + ab) Chùng minh b§t ¯ng thùc n y khæng khâ kh«n, xin d nh cho b¤n åc.2 6.15 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a + b + c = 1: Chùng minh r¬ng: 1 a2 (1 + a) + 1 b2 (1 + b) + 1 c2 (1 + c) 3 4abc Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart ta câ: P bc a (1 + a) = P b2c2 abc (1 + a) P ( bc)2 4abc P M°t kh¡c d¹ th§y ( bc)2 3abc (a + b + c) Vªy P bc a (1 + a) 3 4 Do â: 1 a2 (1 + a) + 1 b2 (1 + b) + 1 c2 (1 + c) 3 4abc ¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c = 1 3 .2 6.16 Cho a; b; c; l 3 sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: 2 (a2 + b2 + c2) + 3 3 p a2b2c2 (a + b + c)2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng a2 + b2 + c2 + 3 3 p a2b2c2 2 (ab + bc + ca) M 3 3 p a2b2c2 9abc a + b + c Do â ta ch¿ c¦n chùng minh a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c 2 (ab + bc + ca) Nh÷ng ¥y l BT Schur d¤ng ph¥n thùc. Vªy, b§t ¯ng thùc ¦u b i ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c.2 6.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: a2b2 (a b)2 + b2c2 (b c)2 + c2a2 (c a)2 [(a b) (b c) (c a)]2 140
- 153. Líi gi£i. N¸uabc = 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. X²t abc 0, b§td¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau a b c 2 + b c a 2 + c a b 2 a b c + b c a + c a b 2 Ta câ P a b c 2 = P a b c 2 + 2 P a b c : b c a Nh÷ng P a b c : b c a = a (a b) (a c) + b (b c) (b a) + c (c a) (c b) abc 0 N¶n P a b c 2 P a b c 2 . B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c.2 6.18 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thäa m¢n a2 +b2 +c2 = 1: T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = P 1 1 ab Líi gi£i. X²t P 3 2 = 1 2 2ab 1 2 + 1 2 2bc 1 2 + 1 2 2ac 1 2 = P ab 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab P ab 2c2 + a2 + b2 M°t kh¡c Theo BT Cauchy-Schwart ta câ P ab 2c2 + a2 + b2 1 4 P (a + b)2 a2 + c2 + b2 + c2 1 4 P a2 a2 + c2 + b2 b2 + c2 = 3 4 . Do â GTLN cõa P l 9 2 khi a = b = c = r 1 3 .2 6.19 Cho x; y; z Thäa m¢n yz x + zx y + xy z = 1. T¼m GTLN cõa A = 1 1 x + 1 1 y + 1 1 z Líi gi£i. Ta °t r yz x = a; r xz y = b; r xy z = c Ta câ z = ab; y = ac; x = bc v a2 + b2 + c2 = 1. 1 Khi â A = 1 ab + 1 1 bc + 1 1 ca . Theo b i tr¶n th¼ GTLN cõa A l 9 2 khi x = y = z = 1 3 . 2 6.20 Cho a; b; c 0. CMR: a3 + b3 + c3 + 6abc 3 p abc (a + b + c)2 Líi gi£i. Ta x²t hai tr÷íng hñp Tr÷íng hñp 1: 3 p abc ab + bc + ca a + b + c Khi â theo BT Schur câ a3 + b3 + c3 + 6abc (ab + bc + ca) (a + b + c) 3 p abc (a + b + c)2 141
- 154. Tr÷íng hñp 2:3 p abc ab + bc + ca a + b + c . Chu©n hâa a + b + c = 3, b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi 27 9 (ab + bc + ca) + 9abc 9 3 p abc Hay 3 + abc 3 p abc + ab + bc + ca. abc ab + bc + ca. Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh 3 + abc 4 3 p Theo gi£ thi¸t ð tr¶n ta câ 3 3 p abc. D¹ th§y vîi abc 1 th¼ b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng. Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra t¤i a = b = c.2 6.21 Cho 3 sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng : P a bc (c2 + c2) + a 3 1 + 2abc Líi gi£i. B¥t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi P bc (b2 + c2) bc (b2 + c2) + a 6abc 1 + 2abc hay P b2 + c2 abc (b2 + c2) + a2 6 1 + 2abc Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû a b c th¼ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 1 v abc (b2 + c2) + a2 1 abc (c2 + a2) + b2 1 abc (a2 + b2) + c2p döng BBT Chebyshev ta câ V T 2 3 (a2 + b2 + c2) P 1 abc (b2 + c2) + a2 2: 9 2abc (a2 + b2 + c2) + a2 + b2 + c2 = V P B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh, ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 6.22 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: P a a + 2b + 2c 3 5 Líi gi£i. °t a + 2b + 2c = x; b + 2c + 2a = y; c + 2b + 2a = z 2y + 2z 3x Suy ra a = 5 :b = 2x + 2z 3y 5 ; z = 2x + 2y 3z 5 B§t ¯ng thùc ÷ñc ÷a v· d¤ng x y + x z + y x + y z + z x + z y 6 Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo BT AM-GM. ¯ng thùc x£y ra khia = b = c.2 6.23 Cho a; b; c d÷ìng, Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a a + b + c + 4 (a b)2 a + b + c . Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi P a2 b 2a + b 4 (a b)2 a + b + c hay P (a b)2 b 4 (a b)2 a + b + c p döng BT Cauchy-Schwart ta câ: (b c)2 c + (c a)2 a (a b)2 a + c 142
- 155. Do â, VT (a b)2 b + (a b)2 a + c = (a b)2 1 b + 1 a + c 4 (a b)2 a + b + c B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2 6.24 Cho a; b; c l 3 sè thüc khæng ¥m thäa m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: P 1 a2 bc + 1 1 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i P ab + bc + ca a2 bc + 1 1 , P 1 2 ab + bc + ca a2 bc + 1 1 , P a2 + ab + ac a2 bc + 1 1 p döng BT Cauchy-Schwart câ P a2 + ab + ac a2 bc + 1 = (a + b + c) P a2 a3 abc + a (a + b + c)3 P (a3 abc + a) M°t kh¡c vîi ab + bc + ca = 1 th¼ d¹ th§y (a + b + c)3 P (a3 abc + a) = 1 Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh, ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 .2 6.25 Cho 3 sè a; b; c 0.Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a + 81 4 P a2b (2a + b)2 13 4 (a + b + c) Líi gi£i. Theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwart ta câ P a2b (2a + b)2 (a + b + c)2 P (2a + b)2 b = x2 5x + 4y ( vîi x = a + b + c v y = a2 b + b2 c + c2 a Ta ch¿ c¦n chùng minh y + 81x2 4 (5x + 4y) 13 4 x , 4x + 5y + 81x2 4 (5x + 4y) 18x Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM. ¯ng thùc x£y ra khia = b = c. 2 6.26 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c th£o m¢na + b + c = 1.Chùng minh r¬ng: 5 (a2 + b2 + c2) 6 (a3 + b3 + c3) + 1 Líi gi£i. çng bªc 2 v¸ ta câ 5 (a2 + b2 + c2) (a + b + c) 6 (a3 + b3 + c3) + (a + b + c)3 Hay 2 (a3 + b3 + c3) + 6abc 2 [2 (b2 + c2) + b (a2 + c2) + c (a2 + b2)] Nh÷ng ¥y ch½nh l BT Schur bªc 3. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 143
- 156. 6.27 Cho c¡csè thùc a; b; c 1.Chùng minh r¬ng: p a 1 + p b 1 + p c 1 p a (bc + 1) Líi gi£i. Ta câ bc p b 1 + 2 p c 1 Hay p bc p b 1 + p c 1 p a 1 Vªy, p b 1 + p c 1 p bc + p a 1 p a (bc + 1).2 6. 28 Cho a; b; c l å d i 3 c¤nh mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: P a r a2 + 13 5 bc r 5 2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Hoder ta câ P a (5a2 + 13bc) : P a p 5a2 + 13abc : P a p 5a2 + 13abc (a + b + c)3 Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh (a + b + c)3 1 2 P a (5a2 + 13bc) V¼ a; b; c l ë d i 3 c¤nh tam gi¡c n¶n tçn t¤ x; y; z d÷ìng sao cho a = x+y; b = y +z; c = z +x Thay v o v khai triºn ta ÷ñc x3 + y3 + z3 + 3xyz x2 (x + y) + y2 (x + z) + z2 (x + y) Nh÷ng ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur n¶n ta câ PCM. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 6. 29 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 +b2 +c2 = a+b+c. Chùng minh r¬ng: a + b + c p 2 2 p a2b + b2c + c2a + p ab2 + bc2 + ca2 Líi gi£i. Ta câ: p a2b + b2c + c2a + p ab2 + bc2 + ca2 p 2 [ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)] Ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b + c)4 8ab (a + b) + 8bc (b + c) + 8ca (c + a) , (a + b + c)4 8ab (a2 + b2 + c2 c) + 8cb (a2 + b2 + c2 a) + 8ac (a2 + b2 + c2 b) , (a + b + c)4 + 24abc 4 (2ab + 2bc + 2ca) (a2 + b2 + c2) , (a2 + b2 + c2 2ab 2bc 2ca)2 + 24abc 0. Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh, ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 0.2 6. 30 Cho c¡c sè thüc a; b; c . CMR: 2 (1 + abc) + p 2 (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) (1 + a) (1 + b) (1 + c) Líi gi£i. p§Bt ¯ng thùc ¢ cho ÷ñc vi¸t l¤i 2 q (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) (b + c) (1 + a) + (1 bc) (a 1) , (1 + a)2 + (a 1)2 (b + c)2 + (1 bc)2 (b + c) (1 + a) + (1 bc) (a 1) Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo BT Cauchy-Schwart.2 144
- 157. 6. 31 Choc¡c sè thüc d÷ìng a; b; c; d . T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: A = b (a + c) c (a + b) + c (b + d) d (b + c) + d (c + a) a (c + d) + a (d + b) b (d + a) Líi gi£i. Ta câ: A = (a + c) b c (a + b) + d d (c + d) + (b + d) c d (b + c) + a b (d + a) = (abc + abd + acd + bcd) a + c ac (a + b) (c + d) + b + d bd (b + c) (d + a) = 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 2 664 1 a + 1 c 1 1 + a b 1 d + 1 c + 1 b + 1 d 1 1 + c b 1 d + 1 a 3 775 Theo BT AM-GM ta câ: 1 a + 1 c 1 1 + a b 1 d + 1 c 4 1 a + 1 c 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 2 1 b + 1 d 1 1 + c b 1 d + 1 a 4 1 b + 1 d 1 a + 1 b + 1 c + 1 d 2 do â A 4:Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa A l 4 khi a = c v b = d..2 6. 32 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¬ng: P 1 8a2 + bc 1 ab + bc + ca Líi gi£i. p döng BT Cauchy-Schwart ta câ: P 1 8a2 + bc = P b2c2 8a2b2c2 + b3c3 (ab + bc + ca)2 24a2b2c2 + a3b3 + b3c3 + c3a3 Do vªy ta ch¿ c¦n chùng minh (ab + bc + ca)2 24a2b2c2 + a3b3 + b3c3 + c3a3 1 ab + bc + ca , abc (a + b) (b + c) (c + a) := 8a2b2c2 Nh÷ng b§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng theo BT AM-GM. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c..2 6. 33 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: a2b 2a + b + b2c 2b + c + c2a 2c + a 1 Líi gi£i. Nhªn x²t th§y a2b 2a + b 2ab + a2 9 (1) Thªt vªy, (1), a3 + ab2 2a2b( luæn óng theo BT AM-GM). T÷ìng tü, ta câ b2c 2b + c 2bc + b2 9 ; c2a 2c + a 2ac + c2 9 Cëng 3 v¸ cõa 3 b§t ¯ng thùc còng chi·u vîi i·u ki»n a + b + c = 3 ta ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n 145
- 158. chùng minh.¯ng thùccâ khi a = b = c = 1.2 6. 34 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a2 +b2 +c2 = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = a b2 + c2 + b a2 + c2 + c a2 + b2 Líi gi£i. V¼ a2 + b2 + c2 = 1 n¶n a; b; c 2 (0; 1). Suy ra 1 a2; 1 b2; 1 c2 l c¡c sè d÷ìng. Ta câ: b2 + c2 a 2 = a2 (1 a2)2 a4 = 2a2 (1 a2) (1 a2) 2a4 (2a2 + 1 a2 + 1 a2) 54a4 = 4 27a4 Suy ra a b2 + c2 p 3a2 2 3 . Chùng minh t÷ìng tü ta câ b c2 + a2 p 3b2 2 3 v c a2 + b2 p 3c2 2 3 . Cëng v¸ 3 b§t ¯ng thùc còng chi·u vîi i·u ki»n a2 + b2 + c2 = 1 ta câ P p 3 2 3 . Vªy, gi¡ trà nhä nh§t cõa P l p 3 2 3 , ¤t ÷ñc khi a = b = c = p 3 3 ..2 6. 35 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y thäa m¢n x2 +y2 = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: A = (1 + x) a + 1 y + (1 + y) 1 + 1 x Líi gi£i. Ta câ A = 2 + x + y + 1 x + 1 y + x y + y x 4 + x + y + 1 x + 1 y M°t kh¡c, câ x + 1 2x p 2 y + 1 2y p 2 1 2 1 x + 1 y 2 x + y 2 p 2 (x2 + y2) = p 2 . Tø â suy ra A 4 + 3 p 2 Vªy, GTNN cõa A l 4 + 3 p 2 khi x = y = p 2 2 ..2 6. 36 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m x; y; z. Chùng minh r¬ng: 1 (x y)2 + 1 (y z)2 + 1 (z x)2 4 xy + yz + zx Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû z = min fx; y; zg. Khi â ta câ c¡c ¡nh gi¡ (z x)2 = z2 + x2 2xz x2 (y x)2 = y2 + z2 2yz y2 xy + yz + zx xy Vªy, ta câ 1 (x y)2 + 1 (y z)2 + 1 (z x)2 4 xy + yz + zx 1 (x y)2 + 1 x2 + 1 y2 4 xy = (x2 + y2 3xy) x2y2 (y z2) 0. 146
- 159. ¯ng thùc x£yra khi v ch¿ khi x y = p 5 2 3 ; z = 0. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 6. 37 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a 2b + c + b 2c + a + c 2a + c 1 Líi gi£i. p döng BT Cauchy-Schwart ta câ a2 V T = 2ab + ac + b2 2bc + ab + c2 2ac + bc (a + b + c)2 3 (ab + bc + ca) 1. ¯ng th÷c x£y ra khi a = b = c..2 6. 38 Cho c¡c sè thüc x; y; z thäa m¢n x2 + y2 + z2 = 2. T¼m GTLN cõa : P = x3 + y3 + z3 3xyz Líi gi£i. Ta câ P2 = (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2 xy yz zx) = (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx) (x2 + y2 + z2 xy yz zx) (x2 + y2 + z2 xy yz zx) p (x2 + y2 + z2)3 = 8 ) P 2 2. p 2 khi x; y; z l ho¡n và cõa bë Vªy,GTLN cõa P l 2 0; 0; . 2 p 2 6. 39 Cho c¡c sè thüc a; b; c; d thuëc 0; 1 2 . Chùng minh r¬ng: (a + b + c + d)4 (1 a) (1 b) (1 c) (1 a) abcd (4 a b c d)4 Líi gi£i. Nhªn x²t: vîi 0 a; b 1 2 ta câ: 1 a 1 1 b 1 2 a + b 2 1 Thªt vªy, d¹ th§y b§t «ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vâi (a b)2 (1 a b) 0. Vªy, ¡p döng t÷ìng tü vîi c; d v a + b 2 ; c + d 2 , ta câ PCM. ¯ng thùc câ khi a = b = c = d..2 6. 40 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c. Chùng minh r¬ng: a2 b2 bc + c2 + b2 a2 ac + c2 + c2 a2 ab + b2 2 Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c. Khi â a2 b2 bc + c2 a2 b2 b2 c2 ac + a2 b2 a2 c2 a2 ab + b2 0 Tø â suy ra V T a2 b2 + b2 a2 2 ¯ng thùc câ khi a = b; c = 0 v c¡c ho¡n và..2 147
- 160. 3.7 B i 7.1¸n b i 7.40 7.1 T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc sau: A = jx + 2000j + jx + y + 4j + j2x + y 6j Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc cì b£n: jaj + jbj + jcj ja + b + cj Ta câ: A = jx + 2000j + jx + y + 4j + j6 2x yj j(x + 2000) + (x + y + 4) + (6 2x y)j = 2010 ¯ng thùc x£y ra khi 8 : x + 2000 0 x + y + 4 0 6 2x y 0 Câ væ sè c°p (x; y) thäa m¢n, v½ dö (1; 1); (2; 1):::.2 7.2 Cho a; b;2 [0; 2]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc sau: P = 8 + 6(a + b) + (a + b)2 4 + 2(a + b) + ab Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, ta câ thº dü o¡n gi¡ trà lîn nh§t cõa P l 3 khi (a; b) = (2; 0) ho°c (0; 2): Do a 2 [0; 2] n¶n a(a 2) 0 hay a2 2a. T÷ìng tü ta câ b2 2b: V¼ vªy, P = 8 + 6(a + b) + (a + b)2 4 + 2(a + b) + ab = 8 + 6(a + b) + a2 + b2 + 2ab 4 + 2(a + b) + ab 8 + 8(a + b) + 2ab 4 + 2(a + b) + ab = 2 + 4(a + b) 4 + 2(a + b) + ab Ta c¦n chùng minh 4(a + b) 4 + 2(a + b) + ab 1 hay (a 2)(b 2) 0 Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng do a; b 2.2 7.3 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: bc p a2 + 3 + ca p b2 + 3 + ab p c2 + 3 3 2 Líi gi£i. Do (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) n¶n ab + bc + ca 3. bc Ta câ: p a2 + 3 bc p a2 + ab + bc + ca = bc p (a + b)(a + c) 1 2 ( bc a + b + bc c + a ) T÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i. Cëng 3 v¸ b§t ¯ng thùc vøa chùng minh, suy ra: bc p a2 + 3 + ca p b2 + 3 + ab p c2 + 3 a + b + c 2 = 3 2 : ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: 2 148
- 161. 7.4 Cho haisè thüc a; b 0 thäa m¢n a + b = 2. Chùng minh r¬ng: aabb + 3ab 4 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM GM suy rëng, ta câ: a a + b a + b a + b b a a a+b b b a+b Do x + y = 2 n¶n: a2 + b2 2 a a 2 b b 2 hay aabb ( a2 + b2 2 )2 = (2 ab)2 V¼ vªy, aabb + 3ab 4 (2 ab)2 + 3ab 4 = ab(ab 1) 0 v¼ ab ( a + b 2 )2 = 1 Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi(a; b) = (1; 1); (2; 0); (0; 2)::2 7.5 Cho hai sè thüc a b 0. Chúng minh r¬ng: (2a + 1 2a )b (2b + 1 2b )a Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng ln(1 + 4a) a ln(1 + 4b) b X²t h m sè f(x) = ln(1 + 4x) x vîi x 0 Ta câ: f0(x) = 4xln4x (1 + 4x)ln(1 + 4x) x2(1 + 4x) 0, do â f(x) nghàch bi¸n tr¶n kho£ng (0;+ /). K¸t hñp a b 0 n¶n ln(1 + 4a) a ln(1 + 4b) b ¯ng thùc x£y ra khi a = b: 2 7.6 Cho a; b; c d÷ìng v abc = 1. Chùng minh b§t ¯ng thùc sau: (a2 + b2)3 a3 + b3 + (b2 + c2)3 b3 + c3 + (c2 + a2)3 c3 + a3 12 Líi gi£i. Líi gi£i 1: °t a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z , ta câ xyz = 1. Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: P (x2 + y2)3 x3y3(x3 + y3) 12 hay P (x2 + y2)3 x2y2(x + y)xy(x2 xy + y2) 12 M°t kh¡c, ta câ xy(x2 xy + y2) (x2 + y2)2 4 n¶n: X (x2 + y2)3 x2y2(x + y)xy(x2 xy + y2) 2 X 2(x2 + y2) x2y2(x + y) 2 Xx + y x2y2 s 6 3 (x + y)(y + z)(z + x) x4y4z4 6 3 p 8xyz = 12 Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1.2 Líi gi£i 2: 149
- 162. Ta s³ chùngminh nhªn x²t: Vîi 2 sè x; y d÷ìng, (x4 + y4)3 x6 + x6 4x3y3 Thªt vªy, (x4 + y4)3 x6 + x6 = x12 + y12 + 3x4y4(x4 + y4) x6 + y6 = (x6 + y6)2 + x4y4(x2 y2)2 + 2x4y4(x4 + y4) x6 + y6 (x6 + y6)2 + 2x4y4(x4 + y4) x6 + y6 p 2x4y4(x4 + y4) x6 + y6 2(x6 + y6) 4x3y3 L§y x = p a; y = p b, khi â (a2 + b2)3 a3 + y3 p ab. 4ab T÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i, ta câ P (a2 + b2)3 a3 + b3 4 P p ab 12(AM GM:) ab ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1. 2 7.7 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng v k 2 [0; 2] Chùng minh r¬ng a2 bc b2 + c2 + ka2 + b2 ac a2 + c2 + kb2 + c2 ab a2 + b2 + kc2 0 Líi gi£i. C¦n chùng minh: (a2 bc)(b + c) (b2 + c2 + ka2)(b + c) + (b2 ac)(a + c) (a2 + c2 + kb2)(a + c) + (c2 ab)(a + b) (a2 + b2 + kc2)(a + b) 0 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b, khi â: (a2 bc)(b + c) (b2 ac)(a + c) = (ab + c2)(a b) + c(a2 b2) 0 (b2 + c2 + ka2)(b + c) (a2 + c2 + kb2)(a + c) = (b a)(a2 + b2 + c2 (k 1)(ab + bc + ca)) 0 Ta câ c¡c bë sè còng chi·u : (a2 bc)(b + c); (b2 ac)(a + c); (c2 ab)(a + b) v 1 (b2 + c2 + ka2)(b + c) ; 1 (a2 + c2 + kb2)(a + c) ; 1 (a2 + b2 + kc2)(a + b) p döng b§t ¯ng thùc Chebychev vîi chó þ (a2bc)(b+c)+(b2ac)(a+c)+(c2ab)(a+b) = 0, ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 7.8 Cho a; b; c; l 3 c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: a + b c 3b + c a + b + c a 3c + a b + c + a b 3a + b c 1 Líi gi£i. Do a, b, c l 3 c¤nh cõa tam gi¡c, °t a = x + y; b = y + z; c = z + x, b§t ¯ng thùc trð th nh: y y + 2z + z z + 2x + x x + 2y 1 B§t ¯ng thùc tr¶n câ thº chùng minh ìn gi£n b¬ng Cauchy Schwarz: y y + 2z + z z + 2x + x x + 2y (x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = 1 ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 150
- 163. 7.9 Cho a;b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a + b + c 0. Chùng minh r¬ng: a 4a + 4b + c + b 4b + 4c + a + c 4c + 4a + b 1 3 Líi gi£i. Ta câ: 4a(a + b + c) 4a + 4b + c = a + 3ac 4a + 4b + c B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: ac 4a + 4b + c + ab 4b + 4c + a + bc 4c + 4a + b a + b + c 9 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz d¤ng Engel, ta câ: ca 4a + 4b + c = ca (2b + c) + 2(2a + b) ca 9 ( 1 2b + c + 2 2a + b ) T÷ìng tü, cëng c¡c v¸ b§t ¯ng thùc ta câ: P ca 4a + 4b + c 1 9 P ( ca 2b + c + 2ca 2a + b ) = 1 9 P ca ( 2b + c + P 2ab 2b + c ) = a + b + c 9 . ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c a = 2b; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 7.10 Cho xyz = 1, x; y; z 0. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = 1 x2 + 2y2 + 3 + 1 y2 + 2z2 + 3 + 1 z2 + 2x2 + 3 Líi gi£i. p döng 2 b§t ¯ng thùc ìn gi£n: x2 + y2 2xy v y2 + 1 2y, ta câ: 1 x2 + 2y2 + 3 1 2(xy + y + 1) T÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i, suy ra: P 1 2 (Chó þ ¯ng thùc P 1 xy + y + 1 = 1 khi xyz = 1) ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1.2 7.11 Cho x; y; z khæng ¥m thäa m¢n x2 + y2 + z2 + xyz = 4. Chùng minh r¬ng: 0 xy + yz + xz xyz 2 Líi gi£i. Chùng minh b§t ¯ng thùc v¸ tr¡i: Tø gi£ thi¸t ta th§y r¬ng câ ½t nh§t mët trong 3 sè x; y; z 1. (V¼ i·u ng÷ñc l¤i væ lþ). Gi£ sû x 1. Khi â ta câ: xy + yz + xz xyz = x(y + z) + yz(1 x) 0 ¯ng thùc x£y ra khi (x; y; z) = (2; 0; 0) v c¡c ho¡n và. Chùng minh b§t ¯ng thùc v¸ ph£i: Theo nguy¶n l½ Dirichle, tçn t¤i 2 sè còng n¬m v· 1 b¶n so vîi 1. Gi£ sû 2 sè â l y; z. Khi â:(1 y)(1 z) 0. Ta câ: 4 = x2 + y2 + z2 + xyz x2 + 2yz + xyz hay yz(2 + x) 4 x2 hay yz 2 x. 151
- 164. V¼ vªy tacâ: xy + yz + xz xyz x(y + z) + (2 x) xyz = 2 x(1 + yz y z) = 2 a(1 b)(1 c) 2 ¯ng thùc x£y khi (x; y; z) = (1; 1; 1); (0; p 2; p 2) v c¡c ho¡n và.2 7.12 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: a2 p b + c + b2 p c + a + c2 p a + b b2 p b + c + c2 p c + a + a2 p a + b Líi gi£i. Gi£ sû a b c. Khi â, a + b a + c b + c. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh ch¿ l h» qu£ cõa b§t ¯ng thùc ho¡n và vîi 3 bë sè câ i·u ki»n nh÷ tr¶n: a b c 1 b + c 1 a + c 1 a + b Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 7.13 Cho 3 sè thùc d÷ìng x; y; z 1 thäa m¢n x + y + z = xyz. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: T = y 2 x2 + z 2 y2 + x 2 z2 Líi gi£i. Ta câ T = X ( y 2 x2 + 1 x ) X1 x = X ( (x 1) + (y 1) x2 + 1 x ) X1 x = X [(x 1)( 1 x2 + 1 z2 )] X1 x (x 1)( 2 xz ) X1 x = X1 x 2 M°t kh¡c : P 1 x r 3 P 1 xy = p 3. V¼ vªy, T p 3 2 ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = p 3: .2 7.14 Cho a; b; c 0; a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = 1 + a2 1 + b2 + 1 + b2 1 + c2 + 1 + c2 1 + a2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a =maxfa; b; cg: Ta câ: 152
- 165. a2 + 1 b2 + 1 = a2 + 1 b2(a2 + 1) b2 + 1 a2 + 1 b2(a2 + 1) 2 T÷ìng tü vîi c¡c sè h¤ng cán l¤i, ta thu ÷ñc: P a2 + b2 + c2 + 3 a2(b2 + 1) + b2(c2 + 1) + c2(a2 + 1) 2 = a2 + b2 + c2 (a2b2 + b2c2 + c2a2) 2 + 3 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 2 + 3 = 7 2 : ¯ng thùc x£y ra khi = 1; b = 0; c = 0 v c¡c ho¡n và.2 Líi gi£i 2. Cho a = 1; b = c = 0. Khi â, gi¡ trà lîn nh§t dü o¡n l 7 2 . Düa tr¶n dü o¡n â, ta câ líi gi£i nh÷ sau: Gi£ sû c = min fa; b; cg, ta câ a b + b c + c a 3 = a b + b a + 2 b c + c a 2 b a = (a b)2 ab + (a c)(b c) ac 0 Tø â ta câ: P 3 = 1 + a2 1 + b2 + 1 + b2 1 + c2 + 1 + c2 1 + a2 3 = (a2 b2)2 (1 + a2)(1 + b2) + (a2 c2)(b2 c2) (1 + a2)(1 + c2) ; Vîi gi£ sû c n¬m giúa a; b, ta ÷ñc (a2 c2)(b2 c2) 0 suy ra P 3 (a2 b2)2 (1 + a2)(1 + b2) Nh÷ vªy, º chùng minh gi¡ trà lîn nh§t l 7 2 . Ta c¦n chùng minh: (a2 b2)2 (1 + a2)(1 + b2) 1 2 hay 2(a2 b2)2 (1 + a2)(1 + b2) Sû döng gi£ thi¸t, ta suy ra 0 a; b 1, tø â suy ra b§t ¯ng thùc tr¶n óng v¼: 2(a2 b2)2 2 max fa4; b4g 2 max fa2; b2g max f1 + a2; 1 + b2g (1 + a2)(1 + b2): B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh..2 Nhªn x²t: B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü, ta câ k¸t qu£ têng qu¡t sau: Vîi måi sè thüc khæng ¥m a; b; c câ têng b¬ng 1 v vîi måi k 1, ta câ: P = 1 + ak 1 + bk + 1 + bk 1 + ck + 1 + ck 1 + ak 7 2 7.15 Cho x; y; z d÷ìng thäa m¢n xy + yz + 3xz = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa x2 + y2 + z2 Líi gi£i. Nhúng b i d¤ng n y, chóng ta câ thº gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p c¥n b¬ng h» sè vîi b§t ¯ng thùc 153
- 166. AM GM;Cauchy Schwarzho°c b§t ¯ng thùc Holder. Ð ¥y s³ dòng b§t ¯ng thùc AM GM. C¡ch cán l¤i xin d nh cho b¤n åc. Ta câ: x2 + y2 + z2 =(ax2 + 1 2 y2) + (az2 + 1 2 y2) + (1 a)x2 + (1 a)z2 r 2 a 2 xy + 2 r a 2 yz + 2(1 a)xz C¦n t¼m a sao cho r a 2 = 1 3 (1 a), ta t¼m ÷ñc gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc.2 Nhªn x²t: B¥y gií ta ÷a ra 2 b i to¡n d¤ng t÷ìng tü v công r§t thó và, v ph¦n chùng minh s³ d nh cho c¡c b¤n. 1: Cho c¡c sè thùc khæng ¥m x1; x2; x3 thäa m¢n x1 + x2 + x3 = a.(a l h¬ng sè ¢ bi¸t) T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa: f = k1xy + k2yz + k3xz (vîi k1; k2; k3 l h¬ng sè) 2: Cho x1; :::; xn 0; x1 + ::: + xn = k(k l h¬ng sè). T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: a1xm1 + a2xm2 + ::: + anxmn 7.16 cho a; b; c 0; abc = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: T = ab a + b + ab + bc b + c + bc + ca c + a + ca Líi gi£i. º þ vîi i·u ki»n abc = 1, ta câ: ab a + b + ab = 1 1 a + 1 b + 1 p döng b§t ¯ng thùc quen thuëc x3 + y3 xy(x + y), ta ÷ñc: 1 a + 1 b r + 1 3 1 ab r 3 1 a r + 3 1 b ! + 1 = 3 p c r 3 1 a r + 3 1 b ! + 1 suy ra 1 1 a + 1 b + 1 1 3 p c r 3 1 a r + 3 1 b ! + 1 = 3 p ab 3 p ab + 3 p bc + 3 p ca L m t÷ìng tü vîi c¡c biºu thùc cán l¤i, ta câ T 1. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 154
- 167. 7.17 Cho a;b; c 0 v a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: r ( P = 3 1 ab 1)( 1 bc 1)( 1 ac 1) Líi gi£i. °t a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z , khi â ta câ: xy + yz + zx = xyz v xyz 27 Ta s³ chùng minh: ( 1 ab 1)( 1 bc 1)( 1 ac 1) = (xy 1)(yz 1)(zx 1) 512 , x2y2z2 xyz(x + y + z) + xy + yz + zx 1 512 , 2x2y2z2 2xyz(x + y + z) + 2xyz 2:513 , x2y2z2 + [(xy + yz + zx)2 2xyz(x + y + z)] + 2xyz 1026 , x2y2z2 + x2y2 + y2z2 + z2x2 + 2xyz 1026 M°t kh¡c, theo AM GM, ta câ: x2y2 + y2z2 + z2x2 3 3 p x4y4z4 243; x2y2z2 729; v xyz 27 Vªy P 8. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 .2 7.18 Cho c¡c sè d÷ìng a; b; c câ t½ch b¬ng 1. Chùng minh b§t ¯ng thùc sau: a + b + c 3 r a3 + b3 + c3 10 3 Líi gi£i. ¥y l mët b i to¡n r§t khâ. Ta s³ sû döng bê · sau: Bê ·: Vîi måi sè thùc d÷ìng a; b; c th¼: (a + b + c)6 729 5 abc(a3 + b3 + c3 + 2abc) . Quay trð l¤i b i to¡n. Tø bê · tr¶n vîi chó þ abc = 1, ta câ : a + b + c 3 r a3 + b3 + c3 + 2 6 5 M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc AM GM ta câ: a3 + b3 + c3 + 2 = 3 a3 + b3 + c3 3 r (a3 + b3 + c3)3 + 1 + 1 5 5 27 Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1: .2 7.19 Cho x; y; z 0 tho£ x + y + z = 1. T¼m GTLN cõa biºu thùc: P = xny + ynz + znx vîi n 2 N Líi gi£i. Vîi n = 1 th¼ maxP = 1 3 : Vîi n 1. Khæng m§t têng qu¡t, gi£ sû x = max fx; y; zg, th¸ th¼: 155
- 168. 8 : y x ) ynz xn1yz z x ) znx zxn znx z2xn1 n 1 ) n 1 n 1 2 ) n 1 n :z z 2 Ta câ: P = xny + ynz + znx xny + xn1yz + 1 2 :znx + 1 2 :znx xny + xn1yz + zxn 2 + z2xn1 2 = xn1(x + z) y + z 2 xn1(x + z) y + n 1 n z = nn: 2 664 x n : x n ::: x | {z n} n1 : x + z n : y + n 1 n :z 3 775 (1) Theo b§t ¯ng thùc AM GM th¼: x n : x n ::: x | {z n} n1 : x + z n : y + n 1 n :z 2 64 (n 1): x n + x + z n + y + n 1 n :z n + 1 3 n+1 75 Tø â em th¸ v o (1), ta ÷ñc: P nn (n + 1)n+1 ¯ng thùc x£y ra khi x = y = n + 1 n ; z = 0 v c¡c ho¡n và.2 7.20 Cho a, b, c thäa m¢n 1 2 a; b; c 2.Chùng minh r¬ng: a a + b + b b + c + c c + a 22 15 Líi gi£i. X²t :f(a; b; c) = a a + b + b b + c + c c + a . Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû a = maxfa; b; cg .Ta câ: f(a; b; c) f(a; b; p ab) = ( p ab c)2( p a p b (b + c)(c + a) ) 1 p a + p b 0 °t r a b = x ) ( 1 2 x 2), ta câ: f(x) = x2 x2 + 1 + 2 x + 1 ) f0(x) = 2x (x2 + 1)2 2 (x + 1)2 = 2(x 1)(1 x3) (x2 + 1)2(x + 1)2 0 Vªy f(x) nghàch bi¸n ) minf(x) = f(2) = 22 15 156
- 169. 7.21 Cho a;b; c d÷ìngpv a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: a2 + abc c + ab + p b2 + abc a + bc + p c2 + abc b + ac 1 p abc 2 Líi gi£i. Ta câ: a2 + abc = a(a + b)(a + c) v c + ab = (b + c)(c + a) V¼ th¸ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng: P p a(a + b)(a + c) (b + c)(c + a) 1 p abc 2 : hay p bc(a + b)(a + c) (b + c)(c + a) P a 1 2 : Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta ÷ñc: p bc(a + b)(a + c) b(a + c) + c(a + b) 2 = ab + ac + 2bc 2 : Theo â ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: P a(ab + ac + 2bc) (b + c)(c + a) 1: B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi P a(a + b)(ab + ac + 2bc) (a + b)(b + c)(c + a)(a + b + c): Khai triºn v rót gån ta ÷ñc P a3(b + c) + P a2b2 + 5 P a2bc P a3(b + c) + 2 P a2b2 + 4 P a2bc hay a2b2 + b2c2 + c2a2 abc(a + b + c): B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 . 2 7.22 Cho a; b; c d÷ìng thäa m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: ab + bc + ca 2abc 7 27 Líi gi£i. Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc d÷îi d¤ng: (ab + bc + ca)(a + b + c) 2abc 7 27 °t a + b + c = k, sû döng b§t ¯ng thùc quen thuëc: (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc hay (k 2a)(k 2b)(k 2c) abc. Sau khi bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc: 4k(ab + bc + ca) k3 + 9abc , (a + b + c)(ab + bc + ca) 1 4 + 9abc 4 M°t kh¡c, theo AM GM ta câ: abc ( a + b + c 3 )3. V¼ vªy (ab + bc + ca)(a + b + c) 2abc 1 4 + abc 4 7 27 157
- 170. Ta câ i·uph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 .2 7.23 Cho a; b; c 0 v a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: ab ab + c + bc bc + a + ac ac + b 3 4 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: X ab (c + a)(c + b) 3 4 X , 3(a + b)(b + c)(c + a) 4[ ab(a + b)] Düa v o 2 ¯ng thùc quen thuëc: (a + b + c)(ab + bc + ca) abc = (a + b)(b + c)(c + a (a + b + c) + (ab + bc + ca) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc ta ÷a b§t ¯ng thùc ph½a tr¶n v· d¤ng: (ab + bc + ca)(a + b + c) 9abc , 1 a + 1 b + 1 c 9 Nh÷ng ¥y l¤i l mët b§t ¯ng thùc óng, do a + b + c = 1 Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 .2 7.24 Cho a; b; c 0 thäa a + b + c = 9. Chùng minh r¬ng: r 1 + a r 1 + 7 b2 + b 7 c2 + c r 1 + 7 a2 p 3 6 7 p a + ( p b + p c) + 3 2 Líi gi£i. Ta câ: r 1 + a r 1 + 7 b2 + b 7 c2 + c r 1 + 7 a2 = r a2 + 7a2 b2 + r b2 + 7b2 c2 + r c2 + 7c2 a2 r (a + b + c)2 + 7( a b + b c + c a )2 p 81 + 7:9 = 12 p 3 6 7 p a + ( p b + p c) + 3 2 7: p 3(a + b + c) p 3: 6 + 3 2 = 21 2 + 3 2 = 12 Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 3.2 158
- 171. 7.25 Cho a,b,cd÷ìng thäa m¢n a + b + c = abc. Chùng minh r¬ng: ab c(1 + ab) + bc a(1 + bc) + ca b(1 + ca) p 3 4 3 Líi gi£i. °t a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z ) xy + yz + zx = 1 hay x yz + 1 + y zx + 1 + z xy + 1 p 3 4 3 X²t tr÷íng hñp: x y z ) yz + 1 zx + 1 xy + 1 Sû döng b§t ¯ng thùc Chebyshev câ : x yz + 1 + y zx + 1 + z xy + 1 1 3 (x + y + z)( 1 yz + 1 + 1 zx + 1 + 1 xy + 1 ) 3 4 (x + y + z) p 3 4 3 X²t tr÷íng hñp:x z y. B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh t÷ìng tü. ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1 p 3 hay a = b = c = p 3.2 7.26 Cho a; b; c 0 v a + b + c = p 3. Chùng minh r¬ng: 1 p a2 + 1 + 1 p b2 + 1 + 1 p c2 + 1 p 3 2 3 Líi gi£i. Sû döng ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n, ta s³ chùng minh: 1 p a2 + 1 p 3 8 5 3 8 a() Thªt vªy () , p 3(5 p 3a) p a2 + 1 8 p 3a3 + 84a2 30 , 9a4 30 p 3a + 11 0 , (a 1 p 3 p 3a + 33) 0 )2(9a2 24 B§t ¯ng thùc tr¶n óng do a 2 (0; p 3). T÷ìng tü vîi c¡c b§t ¯ng thùc cán l¤i. Cëng v¸ vîi v¸ ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 p 3 .2 7.27 Cho a; b; c 0. Chùng minh: (a + b + c)3(a + b c)(b + c a)(c + a b) 27a2b2c2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû b a c. D¹ th§y ta ch¿ c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc thùc khi a; b; c l ë d i 3 c¤nh cõa 1 tam gi¡c. °t 2 v¸ cõa b§t ¯ng thùc ban ¦u l¦n l÷ñt l VT (v¸ tr¡i) v VP (v¸ ph£i). p döng b§t ¯ng thùc AM GM, ta ÷ñc: 159
- 172. 3V T =3(a + b + c)(a + b c)(c + a b) (a + b + c)2(b + c a) 3(a + b + c)(a + b c)(c + a b) + (a + b + c)2(b + c a) 2 #2 : Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh: 3(a + b + c)(a + b c)(c + a b) + (a + b + c)2(b + c a) 2 9abc: Rót gån mët chót: 3(a + b + c)(a + b c)(c + a b) + (a + b + c)2(b + c a) = 2(a + b + c)(a2 b2 c2 + 4bc) Nh÷ vªy, ta c¦n chùng minh: (a + b + c)(a2 b2 c2 + 4bc) 9abc Do i·u gi£ sû, ta câ (a c)(a b) 0 hay a2 + bc a(b + c). Suy ra: (a + b + c)(a2 b2 c2 + 4bc) (a + b + c) ab + bc + ca b2 c2 + 2bc = (a + b + c)(ab + bc + ca) (b c)2(a + b + c) Hìn núa ta câ ¯ng thùc: (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc = a(b c)2 + b(c a)2 + c(a b)2 V¼ vªy, ta c¦n ch¿ ra r¬ng: a(b c)2 + b(c a)2 + c(a b)2 (b c)2(a + b + c) i·u n y óng do vîi i·u gi£ sû b a c th¼: (b c)2 = max (a b)2; (b c)2; (c a)2 Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. Líi gi£i 2. °t: x = a + b c; y = a + c b; z = b + c a B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng: 27(x + y)2(y + z)2(z + x)2 64xyz(x + y + z)3 M ta câ: 81(x + y)2(y + z)2(z + x)2 64(x + y + z)2(xy + yz + zx)2 64:3(x + y + z)3xyz ¥y l i·u ph£i chùng minh. Líi gi£i 3. Ta th§y r¬ng n¸u (b+ca)(c+ab)(a+bc) 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng v¼ v¸ tr¡i cõa nâ l sè ¥m, trong khi v¸ ph£i l¤i l mët sè d÷ìng. Tø lþ luªn n y suy ra, ta ch¿ c¦n x²t tr÷íng hñp (b + c a)(c + a b)(a + b c) 0 l õ. Khi â d¹ th§y b + c a 0; c + a b 0; a + b c 0: B¥y gií, ta nh¥n 27abc v o hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc v vi¸t l¤i nâ nh÷ sau: 27abc(a + b + c)3(b + c a)(c + a b)(a + b c) 93a3b3c3 hay 160
- 173. [27 a(b+ c a) b(c + a b) c(a + b c)] (a + b + c)3 93a3b3c3: Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM, ta câ: 27 a(b + c a) b(c + a b) c(a + b c) [a(b + c a) + b(c + a b) + c(a + b c)]3 : Do â ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc: (a + b + c) [2(ab + bc + ca) a2 b2 c2] 9abc: hay a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c 2(ab + bc + ca) Nh÷ng ¥y l¤i ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur quen thuëc. Ta câ i·u ph£i chùng minh. Líi gi£i 4. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû a b c: Ta vi¸t b§t ¯ng thùc l¤i nh÷ sau: , (a + b + c)3 [abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)] + abc [27abc (a + b + c)3 0 , (a + b + c)3 [(a b)2(a + b c) + c(a c)(b c)] abc(a + b + c)[(a b)2 + (a c)(b c)] 0 , (a b)2:M + (a c)(b c):N 0 vîi M = (a + b + c)3(a + b c) abc(a + b + c) v N = (a + b + c)3c abc(a + b + c). Ta ch¿ c¦n chùng minh M;N ·u khæng ¥m l ÷ñc. Thªt vªy, ta câ: M = (a + b + c)3(a + b c) abc(a + b + c) = (a + b + c) (a + b + c)2(a + b c) abc (a + b + c)(a2:a abc) 0: N = (a + b + c)3:c abc(a + b + c) = c(a + b + c) (a + b + c)2 ab = c(a + b + c) a2 + b2 + c2 + 2(bc + ca) + ab 0: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 7.28 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa: 1 p 5a2 + 2ab + 2b2 + 1 p 5c2 + 2bc + 2c2 + 1 p 5c2 + 2ca + 2a2 Líi gi£i. Ta câ ¡nh gi¡: 5a2 + 2ab + 2b2 (2a + b)2. (B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: (a b)2) Tø ¡nh gi¡ tr¶n , ta câ: P P 1 2a + b = 1 9 P 9 a + a + b 1 3 ( 1 a + 1 b + 1 c ) M°t kh¡c, ta câ: 1 a + 1 b + 1 c r 3( 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ) = p 3 V¼ vªy, P 1 p 3 : 161
- 174. ¯ng thùc x£yra khi a = b = c = 1 p 3 .2 7.29 Cho c¡c sè thüc a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 6v ab + bc + ac = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = a6 + b6 + c6 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t d¹ d ng suy ra: 8 : a + b + c = 0 a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab + bc + ca)2 = 9 a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 18 Tø â, ta câ: a6 + b6 + c6 3a2b2c2 = (a2 + b2 + c2)(a4 + b4 + c4 a2b2 b2c2 c2a2) = 54 . Nh÷ vªy, ta ch¿ c¦n t¼m cüc trà cõa P = a2b2c2. D¹ d ng câ P 0. D§u b¬ng x£y ra khi a = 0; b = p 3; c = p 3. Cæng vi»c cán l¤i ta c¦n t¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P. p döng Cauchy Schwarz, ta ÷ñc: 6 = a2 + b2 + c2 a2 + (b + c)2 2 = 3a2 2 . Suy ra 2 a 2. B¬ng c¡ch t÷ìng tü ta công câ 2 b; c 2. Suy ra: (a 2)(b 2)(c 2) 0 v (a + 2)(b + 2)(c + 2) 0 Khai triºn v düa v o c¡c ¯ng thùc ¢ câ, ta ÷ñc 2 abc 2 suy ra a2b2c2 4. D§u b¬ng x£y ra khi a = 2; b = c = 1 ho°c a = 2; b = c = 1. ¸n ¥y b i to¡n ÷ñc gi£i quy¸t.2 Nhªn x²t: Ta câ mët b i to¡n t÷ìng tü nh÷ng thó và hìn nh÷ sau: Cho a; b; c l c¡c sè thüc thäa m¢n çng thíi a+b+c = 0 v a2 +b2 +c2 = 3. Chùng minh r¬ng: a5b + b5c + c5a 3 7.30 Cho c¡c sè khæng ¥m a; b; c tho£ m¢n a+b+c = 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P = 1 b2 + bc + c2 + 3a + 1 c2 + ca + a2 + 3b + 1 a2 + ab + b2 + 3c Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t ta suy ra b2 + bc + c2 + 3a = (a + b)2 + (a + b)(a + c) + (a + c)2. Tø â °t x = a + b; y = b + c; z = c + a, ta i t¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 1 x2 + xy + y2 + 1 y2 + yz + z2 + 1 z2 + zx + x2 vîi x + y + z = 2. Tr¶n thüc t¸ ta câ b§t ¯ng thùc r§t quen thuëc sau v câ l³ công khæng c¦n ph£i chùng minh l¤i: 1 x2 + xy + y2 + 1 y2 + yz + z2 + 1 z2 + zx + x2 9 (x + y + z)2 . Vªy ta câ P 9 4 . ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 3 .2 162
- 175. 7.31 Cho c¡csè thüc x; y; z 0 tho£ m¢n xy + yz + zx = 3.Chùng minh b§t ¯ng thùc: 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 3 2 Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc AM GM, ta câ: 3 = xy + yz + xz 3 3 p x2y2z2 hay xyz 1 V (xz + yz)(xy + zx)(zy + xy) xz + yz + xy + zx + zy + xy 3 3 = 8. Tø 2 b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ: 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) = 1 2xyz + 1 2xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 1 2 + 2 s 2 (xz + yz)(yx + zx)(zy + xy) 3 2 B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1.2 7.32 Cho a; b; c; d thäa m¢n: ( a; b; c; d 0 a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Chùng minh r¬ng : abcd (1 a)(1 b)(1 c)(1 d): Líi gi£i. Ta i chùng minh: (1 a)(1 b) cd. Thªt vªy, b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi: 1 a b + ab cd , a2 + b2 + c2 + d2 2a 2b + 2ab 2cd + 1 0 , (a + b 1)2 + (c d)2 0 T÷ìng tü, ta câ: (1c)(1d) ab. Nh¥n 2 v¸ cõa 2 b§t ¯ng thùc vøa chùng minh, ta ÷ñc k¸t luªn. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = d = 1 2 : 2 7.33 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: ( a b + c )2 + ( b c + a )2 + ( c a + b )2 + 10abc (a + b)(b + c)(c + a) 2 Líi gi£i. °t x = 2a b + c ; y = 2b c + a ; z = 2c a + b . Tø ¯ng thùc (a+b)(b+c)(c+a) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc, ta câ ¯ng thùc sau : xy + yz + zx + xyz = 4ab (b + c)(a + c) + 4bc (c + a)(a + b) + 4ca (b + c)(a + b) + 8abc (a + b)(b + c)(c + a) = 4 163
- 176. B§t ¯ng thùcc¦n chùng minh trð th nh: x2 + y2 + z2 + 5xyz 8. ¸n ¥y n¸u ¡nh gi¡ x2 + y2 + z2 xy + yz + zx th¼ t§t nhi¶n khæng i tîi k¸t qu£. V¼ vªy, ta ngh¾ ¸n mèi quan h» vîi xyz, tø â ta s³ ngh¾ ¸n b§t ¯ng thùc Schur (chó þ ¸n d§u = x£y ra ð 2 iºm ) câ d¤ng: x2 + y2 + z2 + 9xyz x + y + z 2(xy + yz + zx) M°t kh¡c, ta câ: 4 = xy + yz + zx + xyz t2 3 + t33 27 , 1 27 ((t) 3)(t + 6)2 0 ) t 3 vîi t = x + y + z. Tø â, ta vi¸t l¤i v¸ tr¡i b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh d÷îi d¤ng: x2 + y2 + z2 + 5xyz = x2 + y2 + z2 + 9 3 xyz + 2xyz x2 + y2 + z2 + 9xyz x + y + z + 2xyz 2(xy + yz + zx + xyz) = 8: ¯ng thùc x£y ra khi x = y = z = 1 ho°c x = 0; y = z = 2 v c¡c ho¡n và . Suy ra a = b = c ho°c a = 0; b = c v c¡c ho¡n và. 2 7.34 Chùng minh r¬ng vîi måi a; b; c 0 ta ·u câ : a3 + b3 + c3 3abc 2 b + c 2 3 a Líi gi£i. °t f(a; b; c) = a3 + b3 + c3 3abc 2 b + c 2 3 a . Ta câ: f(a; b; c) f a; b + c 2 ; b + c 2 = 3(b c)2(b + c) 4 + 3a(b c)2 4 0 Do â, f(a; b; c) f a; b + c 2 ; b + c 2 . M°t kh¡c f a; b + c 2 ; b + c 2 = 3a a b + c 2 2 0. Vªy, ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 7.35 Cho a; b; c l c¡c sè d÷ìng tho£: a + b + c = 3. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: F = a3 + b3 ab + 3 + b3 + c3 bc + 3 + c3 + a3 ca + 3 Líi gi£i. Ta câ 2 b§t ¯ng thùc sau: a3 x + b3 y + c3 z (a + b + c)3 3(x + y + z) 164
- 177. v ab +bc + ca (a + b + c)2 3 = 3 p döng b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ: F = a3 ab + 3 + b3 bc + 3 + c3 ca + 3 + b3 ab + 3 + c3 bc + 3 + a3 ca + 3 2(a + b + c)3 3(ab + bc + ca + 9) 3 2 V¼ vªy, gi¡ trà nhä nh§t cõa F = 3 2 . Nhªn x²t: Tø b i to¡n tr¶n, ta ÷a ra mët b§t ¯ng thùc têng qu¡t câ nhi·u ùng döng: Cho ai; bi(i = 1; 2; :::; k) l c¡c sè thüc d÷ìng v sè nguy¶n n 2. Ta câ b§t ¯ng thùc sau: an1 b1 + an2 b2 + ::: + ank bk (a1 + a2 + ::: + ak)n kn2(b1 + b2 + ::: + bn) . B§t ¯ng thùc n y câ thº chùng minh trüc ti¸p b¬ng b§t ¯ng thùc Holder. Vi»c chùng minh s³ º l¤i cho b¤n åc. 7. 36 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: 2 (a2 + 1) (b2 + 1) (c2 + 1) (abc + 1) (a + 1) (b + 1) (c + 1) Líi gi£i. Nhªn x²t vîi méi sè th÷c d÷ìng a ta câ (a2 + 1)3 (a3 + 1) (a + 1)3. ¯ng thùc câ khi a = 1. Chùng minh b§t ¯ng thóc n y kh¡ ìn gi£n, xin d nh cho b¤n åc. p döng cho b v c ta câ (b2 + 1)3 (b3 + 1) (b + 1)3 (c2 + 1)3 (c3 + 1) (c + 1)3 Tø â suy ra V T (a + 1) (b + 1) (c + 1) 3 p (a3 + 1) (b3 + 1) (c3 + 1) M°t kh¡c theo BT Hoder ta câ 3 p (a3 + 1) (b3 + 1) (c3 + 1) abc + 1. vªy, ta câ V T V P. ¯ng thùc câ khi a = b = c = 1.2 7.37 Cho c¡c sè thüc a; b; c; x; y; z thäa m¢n (a + b + c) (x + y + z) = 3 v (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = 4. Chùng minh r¬ng: ax + by + cz 0 Líi gi£i. s °t t = 4 a2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2 th¼: a2 + b2 + c2 = 2t2 x2 + y2 + z2 = 2 t2 165
- 178. B§t ¯ng thùcc¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: a t 2 + tx + b t + ty 2 + c t + tz 2 4 Nh÷ng ta câ: a t 2 + tx + b t + ty 2 + c t + tz 2 1 3 a + b + c t 2 + t (x + y + z) 4 3 (a + b + c) (x + y + z) = 4: Vªy, b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2 7.38 P Cho a; b; c l å P d i 3 c¤nh mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng: abc [2 a2 (b + c) 2 a3 + 3abc] (a + b + c) (b + c a) (c + a b) (a + b c) (ab + bc + ca) Líi gi£i. p döng h¬ng ¯ng thùc: (a + b c) (c + a b) (b + c a) = P a2 (b + c) P a3 2abc Suy ra Q b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi 2abc (b + c a) + 7a2b2c2 (a + b + c) Q (b + c a) (ab + bc + ca) Tuy nhi¶n, ta câ mQ ët sè ¯ng thùc tam gi¡c sau ¥y: 16S2 = (a + b + c) (b + c a) abc = 4SR S = pr Tø â d¹ d ng ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng: 4 r R + 7 4 P sinAsinB , 4 P cosA + 3 P sinAsinB , 4 P cosAcosB 3 Nh÷ng b§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng v¼ P cosA 3 2 . Vªy, ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c.2 7.39 Cho a; b; c l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m thäa m¢n (a + b) (b + c) (c + a) = 2. Chùng minh r¬ng: (a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) 1 Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ sû c l sè n¬m giúa a v b, Khi â (a c) (b c) 0. Ta câ: (a + b)2 [(b + c) (c + a)]2 = 4 t÷ìng ÷ìng (a + b)2 (c2 + ab + ca + cb) = 4 Hìn núa, (c2 + ab + bc + ca) 4 (c2 + ab) (bc + ca) Do vªy (c2 + ab) (bc + ca) (a + b)2 1 166
- 179. T÷ìng ÷ìng c(a + b)3 (c2 + ab) 1 Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh (a2 + bc) (b2 + ca) (c2 + ab) c (a + b)3 (c2 + ab) t÷ìng ÷ìng ab [(a c) (b c) 2ac 2bc] 0 Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc câ khi v ch¿ khi a = 0; b = c = 1 v c¡c ho¡n và.2 7.40 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) 5 16 (a + b + c + 1)2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: (a + b + c + 1)2 = a:1 + 1 p 2 : p 2(b + c) + 1 p 2 p 2 : !2 (a2 + 1)[3 + 2(b + c)2]: Khi â ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc sau: 5 16 [3 + 2(b + c)2] (b2 + 1)(c2 + 1) Hay: 16b2c2 + 6(b2 + c2) + 1 20ab: B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM: 16b2c2 + 1 8bc; 6(b2 + c2) 12bc D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 2 .2 167
- 180. 3.8 B i 8.1¸n b i 8.40 8.1 T¼m h¬ng sè k tèt nh§t (lîn nh§t) º b§t ¯ng thùc sau óng vîi måi sè thüc a; b; c khP æng ¥m: P 2 a3 + k (ab + bc + ca) ( a) ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) + k (a2 + b2 + c2) (a + b + c) Líi gi£i. Cho c = 0; a = b = t 0 ) 4t3 + 2kt3 2t3 + 4kt3 ) k 1 ) kmax = 1 Khi P k = 1 ta c¦n chùng minh: 2 a3 + (a + b + c)(ab + bc + ca) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + (a + b + c)(a2 + b2 + c2) t÷ìng ÷ìng a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ( óng theo b§t ¯ng thùc Schur).2 8.2 Cho x; y; z 0 thäa m¢n x2 + y2 + z2 1.Chùng minh: x3 y + y3 z + z3 x 1 Líi gi£i. Líi gi£i 1. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ: x3 y + y3 z + z3 x (x2 + y2 + z2)2 xy + yz + zx : 2 + y2 + z2 1 M°t kh¡c, ta công câ x2 + y2 + z2 xy + yz + zx v theo i·u ki»n n¶n ta suy ra: x3 y + y3 z + z3 x 1: Ph²p chùng minh ho n t§t. 2 Líi gi£i 2. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: x3 y + x3 y + y2 3x2 Thi¸t lªp 2 biºu thùc t÷ìng tü, sau â cëng v¸ theo v¸, ta ÷ñc: 2 x3 y + y3 z + z3 x + x2 + y2 + z2 3 (x2 + y2 + z2) hay x3 y + y3 z + z3 x x2 + y2 + z2 1 B i to¡n ÷ñc chùng minh.¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 p 3 . 2 Líi gi£i 3. Sû döng b§t ¯ng thùc Holder ta câ: x3 y + y3 z + z3 x x3 y + y3 z + z3 x (y2 + z2 + x2) (x2 + y2 + z2)3 Do â: x3 y + y3 z + z3 x x2 + y2 + z2 1 B i to¡n ÷ñc chùng minh.¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 p 3 .2 8.3 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a3 + b3 + c3 = 3. Chùng minh r¬ng: a c + b a + c b a + b + c 168
- 181. Líi gi£i. Tøi·u ki»n suy ra 1 abc. Ta câ: a c + a c + c b r a2 3 3 bc 3a T÷ìng tü: b a + b a + a c 3b c b + c b + b a 3c Cëng 3 b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ i·u ph£i chùng minh.2 8.4 Cho a; b; c l ba sè thüc khæng ¥m , chùng minh r¬ng: a2 2a2 + bc + b2 2b2 + ac + c2 2c2 + ab 1 Líi gi£i. Ta vi¸t l¤i: 2a2 2a2 + bc + 2b2 2b2 + ac + 2c2 2c2 + ab 2 t÷ìng ÷ìng 1 2a2 2a2 + bc + 1 2b2 2b2 + ac + 1 2c2 2c2 + ab 1 t÷ìng ÷ìng bc 2a2 + bc + ac 2b2 + ac + ab 2c2 + ab 1 M theo CauchySchawrz, ta câ: bc 2a2 + bc + ac 2b2 + ac + ab 2c2 + ab (bc + ac + ab)2 a2b2 + c2b2 + a2c2 + 2abc(a + b + c) = 1 Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.5 Cho x; y; z khæng ¥m thäa m¢n x + y + z = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa P = xny + ynz + znx; n 2 Líi gi£i. Gåi (a; b; c)l mët ho¡n và cõa bë (x; y; z) sao cho a b c ) an1 bn1 cn1; ab ac bc Ta câ: 169
- 182. xny + ynz+ znx = xn1xy + yn1yz + zn1zx an1ab + bn1ac + cn1bc = b(an + acbn2 + cn) b(an + an1c + cn) b(a + c)n = b(a + c)n = 1 n nb(a + c)n 1 n n(a + b + c) n + 1 n+1 = nn (n + 1)n+1 D§u = x£y ra khi(x; y; z) l hoan và cõa n n + 1 ; 1 n + 2 .2 ; 0 8.6 Cho a; b; cl c¡c sè thüc thäa m¢n 3a2 + 2b2 + c2 6. T¼m GTLN v GTNN cõa biºu thùc sau: P = 2(a + b + c) abc Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: [2(a + b + c) abc]2 = [a(2 bc) + 2(b + c)]2 (a2 + 2) [(2 bc)2 + 2(b + c)2] = (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) L¤i theo b§t ¯ng thùc (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) = 1 6 (3a2 + 6)(2b2 + 4)(c2 + 2) 1 6 3a2 + 2b2 + c2 + 12 3 3 36 t÷ìng ÷ìng [2(a + b + c) abc]2 36 ) 6 2(a + b + c) abc 6 D§u = x£y ra khi v ch¿ khi: ( a(b + c) = 2 bc 3a2 + 6 = 2b2 + 4 = c2 + 2 = 6 t÷ìng ÷ìng a = 0; b = 1; c = 2 a = 0; b = 1; c = 2 Vªy: Min(2(a + b + c) abc) = 6 , a = 0; b = 1; c = 2 Max(2(a + b + c) abc) = 6 , a = 0; b = 1; c = 2:.2 8.7 Cho a; b; c 0 thäa m¢n a + b + c = 1.Chùng minh r¬ng: 1 p ab + 1 p bc + 1 p ca 2 + r 22 + 1 abc Líi gi£i. Nh¥n p abc cho méi v¸, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng l : p a + p b + p abc + p c 2 p 22abc + 1: B¼nh ph÷ìng hai v¸, ta ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng l a + b + c + 2 p ab + p bc + 26abc + 1 + 4 p ca p abc(22abc + 1): V¼ a + b + c = 1 n¶n b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi 170
- 183. p ab + p bc + p ca 13abc + 2 p abc(22abc + 1): p döng AM-GM cho ba sè d÷ìng a; b; c ta câ ngay i·u sau abc a + b + c 3 3 = 1 27 : Nh÷ vªy, ta câ p abc(22abc + 1) 2 2 s abc 22 27 + 1 = 14 3 p 3 (abc)1=2: Ta công câ theo AM-GM p ab + p bc + qp p ca 3 3 ab p bc p ca = 3(abc)1=3: Nâi c¡ch kh¡c, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 3(abc)1=3 13abc + 14 3 p 3 (abc)1=2: Hay t÷ìng ÷ìng vîi (rót gån (abc)1=3hai v¸) 3 13(abc)2=3 + 14 3 p 3 (abc)1=6: V¼ abc 127n¶n b§t ¯ng thùc tr¶n l mët b§t ¯ng thùc óng, thªt vªy, ta câ 13(abc)2=3 + 14 3 p 3 (abc)1=6 13 1 27 2=3 + 14 3 p 3 1 27 1=6 = 3: Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 8.8 (USA TST 2011)Cho a; b; c 2 [0; 1] thäa m¢n a + b; b + c; c + a 1. chùng minh: 1 (1 a)2 + (1 b)2 + (1 c)2 + p 2abc 2 p a2 + b2 + c2 Líi gi£i. Vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc nh÷ sau: a2 + b2 + c2 + 2 + p 2abc 2 p a2 + b2 + c2 2(a + b + c): p döng AM-GM, ta câ 2(a + b + c) (a + b + c)2 2 + 2: N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc a2 + b2 + c2 + p 2abc 2 p a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 2 ; Hay p 2abc 4 p a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2): 171
- 184. B§t ¯ng thùc¢ cho l thu¦n nh§t, do â ta câ thº chu©n ho¡ a2 + b2 + c2 = 2. B§t ¯ng thùc trð th nh: 4abc 2(ab + bc + ca) 2 Hay 2abc + 1 ab + bc + ca Gi£ sû câ 1 sè lîn hìn 1, ch¯ng h¤n l a, ta câ b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng: 4bc(a 1) + (a b c)2 0 X²t tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i, b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng: (1 a)(1 bc) + a(1 b)(1 c) 0 Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.2 8.9 Cho 3 sè a; b; c thäa m¢n i·u ki»n a + b + c + abc = 0; a; b 2 [1 1]. Chùng minh r¬ng: p a + 1 + p b + 1 + p c + 1 3 Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, câ thº gi£ sû ab 0 theo nguy¶n l½ Dirichlet. Khi â, tø gi£ thi¸t ta ÷ñc: (1 + c) (1 + c)(1 + ab) = (1 a)(1 b) ) p 1 + c p (1 a)(1 b) p dönpg b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz: (1 a)(1 b) + p 1 + a + p 1 + b p (1 a + 1 + a + 1)(1 b + 1 + 1 + b) = 3 B i to¡n ÷ñc chùng minh.2 8.10 Cho a; b; c l c¡rc sè d÷ìng. Chùng minh: a + 2b 3 + r b + 2c 3 + r c + 2a 3 p a + p b + p c Líi gi£i. B¼nh ph÷ìng hai v¸, b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: Pp (a + 2b)(b + 2c) 3 Pp ab p döng b§t ¯ng thùcCauchySchawrz, ta câ: p (a + 2b)(b + 2c) q ( p ab + 2 p bc)2 = p ab + 2 p bc Lªp c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü rçi cëng v¸ theo v¸, ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. 2 8.11 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xy + yz + zx = 3. Chùng minh r¬ng: 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 3 2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. Tr÷îc ti¶n, ta d¹ d ng câ xyz 1:.p döng AM-GM li¶n töc, ta s³ câ 172
- 185. 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) = 1 2xyz + 1 2xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 1 2xyz + p p 2 2 xyz(x + y)(y + z)(z + x) = 1 2xyz + p p 2 2 (xy + xz) (yz + yx) (zx + zy) 1 2 + p s 2 2 xy + xz + yz + yx + zx + zy 3 3 = 3 2 : Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 Líi gi£i 2. D¹ th§y xyz 1.Sû döng AM-GM ta câ: 4xyz (xy + xz)(yz + yx)(zx + zy) 4xyz xy + xz + yz + yx + zx + zy 3 3 = xyz 2 Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh: 1 xyz + xyz 2 3 2 : Nh÷ng BT n y óng v¼: V T = 1 2xyz + 1 2xyz + xyz 2 1 2 + 1 = 3 2 :T rue Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.12 Cho a; b; c 0. Chùng minh r¬ng: P a r b2 + bc 4 + c2 2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi a p 4b2 + bc + 4c2 + b p 4c2 + ca + 4a2 + c p 4a2 + ab + 4b2 1: p döng li¶n ti¸p b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz, ta câ X a p 4b2 + bc + 4c2 (a + b + c)2 P p 4b2 + bc + 4c2 a (a + b + c)2 p ( P P a) [ a(4b2 + bc + 4c2)] : Nâi tâm l¤i, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng: (a + b + c)3 X a(4b2 + bc + 4c2): Khai triºn ra, ta s³ câ ngay b§t ¯ng thùc a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a): ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur. Ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 173
- 186. 8.13 Cho 3sè khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 + p 12abc 1 Líi gi£i. Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng (a + b + c)2 2(ab + bc + ca) + p 12abc 1 t÷ìng ÷ìng ab + bc + ca p 3abc t÷ìng ÷ìng (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) t÷ìng ÷ìng , (ab bc)2 r + (bc ca)2 + (ca ab)2 0 ùng Líi gi£i 2. °t x = bc a ; y = r ca b ; z = r ab c Khi â a = yz; b = zx; c = xy v xy + yz + zx = 1 B§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng x2y2 + y2z2 + z2x2 + 2 p 3xyz 1 , x + y + z p 3() Tø i·u ki»n ta th§y tçn t¤i tam gi¡c ABC nhån sao cho : 2 ; y = tan B 2 ; z = tan C 2 x = tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 () , tan A p 3 B§t ¯ng thùc tr¶n hiºn nhi¶n óng, ta câ i·u ph£i chùng minh.2 8.14 Cho a; b; c l 3 sè thüc khæng çng thíi b¬ng 0. Chùng minh r¬ng: P 3a + b
- 190. p a2 +2b2 + c2
- 194. 6 Líi gi£i.p döng Cauchy Schwarz, ta câ ngay
- 198. X 3a +b p a2 + 2b2 + c2
- 202. vuut 3 X (3a + b)2 a2 + 2b2 + c2 ! : Ti¸p töc dòng Cauchy Schwarz, ta s³ ngay i·u ph£i chùng minh X (3a + b)2 a2 + 2b2 + c2 X 9a2 a2 + b2 + c2 + b2 b2 = 12: N¶n
- 206. X 3a +b p a2 + 2b2 + c2
- 210. vuut 3 X (3a + b)2 a2 + 2b2 + c2 ! p 3 12 = 6: .2 8.15 (IRan 2011)T¼m sè thüc k nhä nh§t sao cho vîi måi sè thüc x; y; z khæng ¥m ta câ b§t ¯ng thùc: x p y + y p z + z p x k p (x + y)(y + z)(z + x) Líi gi£i. Cho x = y = z ta câ gi¡ trà nhä nh§t cõa k l p 2 4 3 .Ta i chùng minh gi¡ trà â cõa k l óng 174
- 211. Sû döng b§t¯ng thùc Cauchy Schwarz : p x V T2 = ( p xy + p y p yz + p z p zx)2 (x + y + z)(xy + yz + zx) Ta ch¿ c¦n i chùng minh 8(x + y + z)(xy + yz + zx) 9(x + y)(y + z)(z + x)True Ta câ i·u ph£i chùng minh .¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z.2 8.16 Cho a; b; c 0 thäa m¢nra + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: ab ab + c + r bc bc + a + r ca ca + b Líi gi£i. prdöng b§t ¯ng thùc AM-GM,Ta câ: ab ab + c = r ab ab + c(a + b + c) = r ab (c + a)(c + b) 1 2 ( a c + a + b a + c ) Suyrra: ab ab + c + r bc bc + a + r ca ca + b 1 2 ( a c + a + b c + b + a b + a + c b + c + b a + b + c b + c ) = 3 2 .2 8.17 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = 1 + a2 1 + b2 + 1 + b2 1 + c2 + 1 + c2 1 + a2 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t tø gi£ thi¸t, ta suy ra 0 a; b; c 1, tø â câ a2; b2; c2 1. Ta vi¸t l¤i biºu thùc P nh÷ sau: P = X 1 1 + a2 + X a2 1 + b2 ; tø â k¸t hñp vîi hai ¡nh gi¡ sau: 1 a2 1 + 1 a2 1 + a2 + 1 a2 = 2 a2 2 ; a2 1 + b2 a2; ta suy ra P X2 a2 2 + X a2 = 3 + 1 2 X a2: M°t kh¡c, º þ r¬ng do a; b; c 2 [0; 1] n¶n a2 + b2 + c2 a + b + c = 1, do vªy m P 3 + 1 2 = 7 2 : Cuèi còng vîi a = b = 0 v c = 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 7 2 n¶n ta k¸t luªn 7 2 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.18 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n a + p b + 4 p c = 3. Chùng minh r¬ng A = p 1 + a4 + (a b)2 + p 1 + b2 + (b c)2 + p 1 + c + (c a)2 3 p 2 175
- 212. Líi gi£i 1.p döng b§t ¯ng thùc Minkowski, ta câ A q ( p 1 + a4 + p 1 + b2 + p 1 + c)2 + (ja bj + jb cj + jc aj)2 q 9 + (a2 + b + p c)2 ¸n ¥y ta sû döng ¡nh gi¡ cì b£n sau vîi måi ba sè thüc d÷ìng x; y; z x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 3 () º câ A s 9 + (a + p b + 4 p c)4 9 = p 2: p 9 + 9 = 3 Ph²p chùng minh ho n t§t.2 Líi gi£i 2. Tø biºu di¹n cõa A ta suy ra A p 1 + a4 + p 1 + b2 + p 1 + c: ¸n ¥y ta sû döng ¡nh gi¡ cì b£n sau vîi måi hai sè thüc d÷ìng x; y x2 + y2 (x + y)2 2 º câ A 1 + a2 p 2 + 1 + b p 2 + p c p 2 1 + = 3 + a2 + b + p c p 2 : Ti¸p töc sû döng ¡nh gi¡ () ð tr¶n, ta suy ra A 3 + p b + 4 p c)2 p 3 2 (a + p 2: = 3 Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.19 Cho a; b; c; d l c¡c sè thüc khæng ¥m. Chùng minh r¬ng a + b + c + d 4 r ab + ac + ad + bc + bd + cd 6 r 3 abc + abd + acd + bcd 4 4 p abcd Líi gi£i. 1. Chùng minh a + b + c + d 4 r ab + ac + ad + bc + bd + cd 6 . º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau: 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c): Tø ¥y ta ¡p döng ¡nh gi¡ cì b£n xy (x + y)2 4 º câ 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) 3(a + b + c + d)2 4 ; v do â ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. 176
- 213. r 2. Chùngminh 3 abc + abd + acd + bcd 4 4 p abcd. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ ngay i·u ph£i chùng minh: r 3 abc + abd + acd + bcd 4 q 3 4 p a3b3c3d3 = 4 p abcd: 3. Chùng minh r ab + ac + ad + bc + bd + cd 6 r 3 abc + abd + acd + bcd 4 . B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi (abc + bcd + cda + dab)2 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)3 27 : B§t ¯ng thùc n y mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû a b c d. Vîi i·u ki»n â, ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ (abc + bcd + cda + dab)2 (ab + bc + cd + da)(abc2 + bcd2 + cda2 + dab2) = (ab + bc + cd + da)[ac(bc + da) + bd(ab + cd)]: () M°t kh¡c, tø a b c d ta suy ra ac bd v bc + da (ab + cd) = (a c)(b d) 0; hay bc + da ab + cd. Do vªy theo b§t ¯ng thùc Chebyshev, ta câ ac(bc + da) + bd(ad + cd) 1 2 (ac + bd)(bc + da + ab + cd): () K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta ÷ñc (abc + bcd + cda + dab)2 1 2 (ac + bd)(bc + da + ab + cd)2 = 1 4 :2(ac + bd)(bc + da + ab + cd)(bc + da + ab + cd): ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ (abc + bcd + cda + dab)2 1 4 2(ac + bd) + 2(ab + bc + cd + da) 3 3 = 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)3 27 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.20 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng a p a2 + 3bc + b p b2 + 3ca + c p c2 + 3ab 9 4 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, do b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, n¶n 177
- 214. khæng m§t t½nhtêng qu¡t, ta gi£ sû c = maxfa; b; cg. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a p a2 + 3bc + b p b2 + 3ca + c p c2 + 3ab (a + b + c)2 p a2 + 3bc + b a p b2 + 3ca + c p c2 + 3ab : M°t kh¡c công theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz th¼ p a2 + 3bc + b a p b2 + 3ca + c p c2 + 3ab = p a3 + 3abc + p a p b p b3 + 3abc + p c p c3 + 3abc p (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 9abc); do â ta suy ra a p a2 + 3bc + b p b2 + 3ca + c p c2 + 3ab (a + b + c)2 p (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 9abc) : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a + b + c)3 a3 + b3 + c3 + 9abc 9 4 : Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng ta thu ÷ñc 12[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] 5(a3 + b3 + c3) + 57abc: º þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a3 + b3 + c3 3abc, do vªy 6(a3 + b3 + c3 + 9abc) 5(a3 + b3 + c3) + 57abc: Do vªy ta ch¿ c¦n chùng minh 2[ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)] a3 + b3 + c3 + 9abc; hay (3cab)(ab)2+(a+bc)(ca)(cb) 0. Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ n y óng do c = maxfa; b; cg v do a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 8.21 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng a p b + b p c + c p a a + b + c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a p b + b p c + c p a (a + b + c)2 p b + b a p c + c p a : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng p b + b a p c + c p a a + b + c: 178
- 215. B¼nh ph÷ìng haiv¸ v chó þ r¬ng theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz: p b + b (a p c + c p a)2 (ab + bc + ca)(a + b + c); ta c¦n chùng minh a + b + c ab + bc + ca: Ti¸p töc b¼nh ph÷ìng hai v¸ v º þ tîi ¡nh gi¡ cì b£n (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), ta c¦n ph£i kiºm tra ¡nh gi¡ sau ab + bc + ca 3: Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ tr¶n óng do ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = 3. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 8.22 Cho x; y l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n xy + x + y = 3. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = 3x y + 1 + 3y x + 1 + xy x + y x2 y2 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t, ta suy ra x = 3 y y + 1 . Th¸ v o P, khai triºn v rót gån, ta ÷ñc P = (y 3) y (y4 + 2y3 + 12y2 + 14y + 19) 4 (y + 1)2 (y2 + 3) = (y 3) y (y 1)4 + 6 (y + 1) (y2 + 3) 4 (y + 1)2 (y2 + 3) : Tø â, ta sû döng ¡nh gi¡ hiºn nhi¶n (y 1)4 0 º câ P (y 3) y:6 (y + 1) (y2 + 3) 4 (y + 1)2 (y2 + 3) = 3 2 y (y 3) y + 1 : ¸n ¥y chó þ r¬ng y (y 3) y + 1 1 = (y 1)2 y + 1 0; do vªy ta suy ra P 3 2 . Cuèi còng vîi x = 1 v y = 1 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 3 2 n¶n ta suy ra 3 2 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.23 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong o¤n [0; 1]. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = a 1 + bc + b 1 + ac + c 1 + ab abc Líi gi£i. Chó þ r¬ng tø gi£ thi¸t ta câ abc 0 v a 1 + bc a 1 + abc 2a 2 + abc ; 179
- 216. do vªy tasuy ra P 2(a + b + c) 2 + abc : ¸n ¥y trø 2 v o méi v¸ º câ P 2 2(a + b + c abc 2) 2 + abc = 2[(1 a)(1 b) + (1 c)(1 ab)] 2 + abc ; nh÷ng º þ r¬ng (1 a)(1 b) + (1 c)(1 ab) 0 do a; b; c 2 [0; 1]. Do vªy ta suy ra P 2 0; hay P 2. Cuèi còng vîi a = b = 1 v c = 0 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 2 n¶n ta k¸t luªn 2 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.24 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) (ab + bc + ca 1)2 Líi gi£i. º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau (b2 + 1)(c2 + 1) (b + c)2 + (bc 1)2; do vªy (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc 1)2]. ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz º câ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) [a(b + c) + bc 1]2 = (ab + bc + ca 1)2: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.25 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng (0; 1]. Chùng minh r¬ng 1 1 + xy + 1 1 + yz + 1 1 + xz 5 x + y + z Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 0 z y x 1. Khi â: 1 + yz 1 + zx 1 + xy: Do vªy ta câ ¡nh gi¡ 1 1 + xy + 1 1 + yz + 1 1 + xz x + y + z 1 + yz : M°t kh¡c º þ r¬ng x + y + z 1 + yz = x 1 (y 1)(z 1) yz 1 + yz + 2; 180
- 217. n¶n tø gi£thi¸t ta suy ra x + y + z 1 + yz 2. Nh÷ vªy 1 1 + xy + 1 1 + yz + 1 1 + xz 2: () Hìn núa, ta công câ ¯ng thùc 1 x + y 1 + xy + 1 y + z 1 + yz + 1 z + x 1 + zx = (1 x)(1 y) 1 + xy + (1 y)(1 z) 1 + yz + (1 z)(1 x) 1 + zx ; tø ¥y ta k¸t hñp vîi gi£ thi¸t º câ x + y 1 + xy + y + z 1 + yz + z + x 1 + zx 3: () Cëng v¸ theo v¸ hai ¡nh gi¡ () v (), ta ÷ñc x + y + z 1 + xy + x + y + z 1 + yz + x + y + z 1 + xz 5; v do â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc ban ¦u. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.26 Cho x; y l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n x + y 4. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = 3x2 + 4 4x + 2 + y3 y2 Líi gi£i. Ta vi¸t l¤i biºu thùc P nh÷ sau: P = 2x2 + (x2 + 4) 4x + 2y3 + (y3 + y3 + 8) 4y2 : Tø ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM º câ x2 + 4 4x v y3 + y3 + 8 6y2, do vªy P 2x2 + 4x 4x + 2y3 + 6y2 4y2 = x + y 2 + 5 2 : ¸n ¥y ta sû döng gi£ thi¸t x + y 4 º ÷ñc P 9 2 . Cuèi còng, vîi x = 2 v y = 2 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 9 2 n¶n ta k¸t luªn 9 2 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.27 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 1 p a + 1 p b + 1 p c = 2. Chùng minh r¬ng 1 p a + 3b + 1 p b + 3c + 1 p c + 3a 1 181
- 218. Líi gi£i. pdöng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ ( 9 4 + 27 4 )(a + 3b) ( 3 2 p a + 9 2 p b)2; tø â suy ra p a + 3b p a + 3 p b 2 . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc 1 p a + 3b + 1 p b + 3c + 1 p c + 3a 2 p a + 3 p b + 2 p a + 3 p b + 2 p a + 3 p b : () L¤i ¡p döng b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ ¡nh gi¡ 1 p a + 1 p b + 1 p b + 1 p b 16 p a + 3 p b ; hay 1 p a + 3 p b 16 p a + 3 p b . Cëng ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta suy ra 1 p a + 1 p b + 1 p c 1 p a + 3 p b + 1 p b + 3 p c + 1 p c + 3 p a : () K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v () cho ta 1 p a + 3b + 1 p b + 3c + 1 p c + 3a 1 2 1 p a + 1 p b + 1 p c = 1: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.28 Cho x; y; z l c¡c sè thüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng vîi måi sè thüc a; b; c thay êi tho£ m¢n 0 a b c, ta luæn câ (ax + by + cz)( x a + y b + z c ) (a + c)2 4ac (x + y + z)2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 4(ax + by + cz)(cx + acy b + az) [(a + c)(x + y + z)]2: p döng ¡nh gi¡ cì b£n 4uv (u + v)2, ta câ 4(ax + by + cz)(cx + acy b + az) (ax + by + cz + cx + acy b + az)2: Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng ax + by + cz + cx + acy b + az (a + c)(x + y + z): Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc y(cb)(ba) 0. Tuy nhi¶n ¥y l ¡nh gi¡ óng do 0 a b c. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 182
- 219. 8.29 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng a2 (a + c)2 + b2 (b + a)2 + c2 (c + b)2 3 4 Líi gi£i. °t x = c a ; y = a b ; z = b c . Khi â x; y; z 0, xyz = 1 v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 1 1 + x 2 + 1 1 + y 2 + 1 1 + z 2 3 4 : º þ r¬ng ta câ ¯ng thùc sau 1 1 + x 2 + 1 1 + y 2 1 1 + xy = xy(x y)2 + (1 xy)2 (1 + x2)(1 + y2)(1 + xy) ; tø â ta sû döng gi£ thi¸t cõa x; y; z º câ 1 1 + x 2 + 1 1 + y 2 1 1 + xy = z z + 1 : Nh÷ vªy º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng z z + 1 + 1 (1 + z)2 3 4 : Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc mët ¡nh gi¡ hiºn nhi¶n óng (z 1)2 0; do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 8.30 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n xyz = 1. Chùng minh r¬ng 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 3 8 Líi gi£i 1. Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc sau: 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 + 5 (x + 1)(y + 1)(z + 1) 1: () °t a = 1 x + 1 ; b = 1 y + 1 ; c = 1 z + 1 ;m = x + y + z; n = xy + yz + zx. Khi â a; b; c; m; n 0 v tø gi£ thi¸t xyz = 1, ta suy ra abc = (1 a)(1 b)(1 c); hay 2abc = n m + 1. B¶n c¤nh â º þ r¬ng ta công câ ¯ng thùc sau: a3 + b3 + c3 3abc = m3 3mn: Trð l¤i vi»c chùng minh b§t ¯ng thùc (), ta th§y r¬ng nâ t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: a3 + b3 + c3 + 5abc 1; 183
- 220. a3 + b3+ c3 3abc + 8abc 1; m3 3mn + 4(n m + 1) 1; m3 4m + 3 n(3m 4): () º chùng minh ¡nh gi¡ (), ta x²t c¡c tr÷íng hñp cõa m nh÷ sau: Tr÷íng hñp 1. m 1. Khi â m3 4m + 3 = (1 m)(3 m m2) 0 n(3m 4). Tr÷íng hñp 2. 1 m 4 3 . Khi â º þ r¬ng do 2abc = n m + 1 n¶n n m 1 0, do vªy m3 4m + 3 n(3m 4) m3 4m + 3 + (4 3m)(m 1) = (m 1)3 0: Tr÷íng hñp 3. m 4 3 . Khi â tø ¡nh gi¡ cì b£n (x + y + z)2 3(xy + yz + zx); ta suy ra m2 3n. Do vªy m3 4m + 3 (3m 4)n m3 4m + 3 m2(3m 4) 3 = (2m 3)2 3 0: Tâm l¤i, trong måi tr÷íng hñp, ¡nh gi¡ () luæn óng. Tø â b§t ¯ng thùc () ÷ñc chùng minh xong. ¸n ¥y ta sû döng ¡nh gi¡ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz = 8 º câ 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 + 5 8 1; v do vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc b§t ¯ng thùc ban ¦u. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 2. p döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ 3 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 2 1 (1 + x)2 + 1 (1 + y)2 + 1 (1 + z)2 3 : M°t kh¡c theo mët k¸t qu£ ¢ chùng minh ð b i 8.13 th¼ 1 (1 + x)2 + 1 (1 + y)2 + 1 (1 + z)2 3 4 ; do vªy ta suy ra 3 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 2 27 64 ; 184
- 221. t÷ìng ÷ìng 1 (1 + x)3 + 1 (1 + y)3 + 1 (1 + z)3 3 8 : Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.31 Cho x; y; z l c¡c sè thüc tho£ m¢n 2x2 + y2 + xy 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = x2 + y2 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t ta °t Q = x2 + y2 2x2 + y2 + xy : Vîi y = 0 th¼ Q = 1 2 , tø â P = Q(2x2 + y2 + xy) 1 2 . Vîi y6= 0, ta chia c£ tû v m¨u cõa biºu thùc Q cho y2 º câ Q = x y 2 + 1 2 x y 2 + x y + 1 = t2 + 1 2t2 + t + 1 ; trong â t = x y . Tø ¥y ta thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng º thu ÷ñc (2Q 1)t2 + Qt + Q 1 = 0: Xem biºu thùc tr¶n l ph÷ìng tr¼nh theo ©n t. ¸ ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m, ta c¦n câ 4 = Q2 + 12Q 4 0; tø â suy ra p 2 7 6 2 Q p 2 7 6 + 2 . Do vªy P = Q(2x2 + y2 + xy) p 2 7 6 2 : So s¡nh 1 2 v p 2 7 6 2 , ta suy ra P p 2 7 6 2 . Cuèi còng, vîi x = r p 2 14 4 + v y = r p 2 14 8 5 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = p 2 7 6 2 n¶n ta k¸t luªn p 2 7 6 2 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.32 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng 1 a2 + bc + 1 b2 + ac + 1 c2 + ab a + b + c 2abc 185
- 222. Líi gi£i. pdöng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ p bc: a2 + bc 2a Nh÷ vªy 1 a2 + bc 1 p bc 2a . Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc 1 a2 + bc + 1 b2 + ac + 1 c2 + ab 1 p bc 2a + 1 p ca 2b + 1 2c p ab = p bc + p ca + p ab 2abc : Cuèi còng, ta ch¿ c¦n chùng minh p bc + p ca + p ab a + b + c; tuy nhi¶n ¥y l¤i l mët ¡nh gi¡ cì b£n. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.33 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 3 4 . T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = (a + b)(b + c)(c + a) + 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 1 a2 + 4 4 a ; tø â ta suy ra 1 a2 4 a 4. Cëng ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, çng thíi l÷u þ r¬ng ta câ ¡nh gi¡ cì b£n sau: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc; ta ÷ñc P 8abc + 4 a + 4 b + 4 c 12 = 8abc + 1 2a + 1 2b + 1 2c + 7 2 1 a + 1 b + 1 c : ¸n ¥y ta ¡p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 8abc + 1 2a + 1 2b + 1 2c 4: çng thíi ta công câ ¡nh gi¡ 1 a + 1 b + 1 c 9 a + b + c . Tø ¥y P 4 + 63 2(a + b + c) : L¤i l÷u þ r¬ng (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 9 4 n¶n a + b + c 3 2 , do vªy P 4 + 63 3 = 25: 186
- 223. Cuèi còng vîia = b = c = 1 2 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 25 n¶n ta k¸t luªn 25 l gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 8.34 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng (a b c)2 2a2 + (b + c)2 + (b c a)2 2b2 + (c + a)2 + (c a b)2 2c2 + (a + b)2 1 2 Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa a+b+c = 3. Khi â b§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i th nh (3 2a)2 3a2 6a + 9 + (3 2b)2 3b2 6b + 9 + (3 2c)2 3c2 6c + 9 1 2 Theo nguy¶n l½ Dirichlet, trong ba sè a; b; c luæn câ hai sè n¬m còng ph½a so vîi 1 tr¶n tröc sè. Gi£ sû hai sè â l b v c. Th¸ th¼ (b 1)(c 1) 0; tø â suy ra b2 + c2 1 + (b + c 1)2 = 1 + (2 a)2: () M°t kh¡c theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ (3 2b)2 3b2 6b + 9 + (3 2c)2 3c2 6c + 9 (6 2b 2c)2 3(b2 + c2 2b 2c + 6) = 4a2 3(b2 + c2 + 2a) () K¸t hñp hai ¡nh gi¡ () v (), ta suy ra (3 2b)2 3b2 6b + 9 + (3 2c)2 3c2 6c + 9 4a2 3[1 + (2 a)2 + 2a] = 4a2 3(a2 2a + 5) Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (3 2a)2 3a2 6a + 9 + 4a2 3(a2 2a + 5) 1 2 : Thüc hi»n ph²p bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc ¡nh gi¡ óng sau: (a 1)2(13a2 18a + 45) 0: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 Líi gi£i 2. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh: X a2 + (b + c)2 2a(b + c) # 2a2 + (b + c)2 1 5 2 ; Xa(a + 2b + 2c) 2a2 + (b + c)2 5 2 : 187
- 224. Chó þ r¬ngtheo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ (2a2 + (b + c)2)(2 + 4) 4(a + b + c)2: Do â ta suy ra Xa(a + 2b + 2c) 2a2 + (b + c)2 3 2 Xa(a + 2b + 2c) (a + b + c)2 = 3 2 (a + b + c)2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)2 : Cuèi còng, c¦n ph£i ch¿ ra r¬ng (a + b + c)2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)2 5 3 : Tuy nhi¶n b§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi mët ¡nh gi¡ cì b£n: (a + b + c)2 3(ab + bc + ca); do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 3. Sû döng ¡nh gi¡ cì b£n (b + c)2 2(b2 + c2), ta suy ra 2a2 + (b + c)2 2(a2 + b2 + c2): Nh÷ vªy (a b c)2 2a2 + (b + c)2 (a b c)2 2(a2 + b2 + c2) . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü, ta suy ra (a b c)2 2a2 + (b + c)2 + (b c a)2 2b2 + (c + a)2 + (c a b)2 2c2 + (a + b)2 (a b c)2 + (b c a)2 + (c a b)2 2(a2 + b2 + c2) : Cuèi còng, ta c¦n ch¿ ra r¬ng (a b c)2 + (b c a)2 + (c a b)2 a2 + b2 + c2; hay a2 + b2 + c2 ab + bc + ca. ¥y l mët ¡nh gi¡ óng, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. Ph²p chùng minh ho n t§t.2 8.35 Cho a; b; c l c¡rc sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng a2 a2 + b + c + r b2 b2 + c + a + r c2 c2 + a + b p 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ (a2 + b + c)(1 + b + c) (a + b + c)2; tø â ta câ a2 a2 + b + c p 1 + b + c a + b + c a . Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü, ta suy ra s a2 a2 + b + c + s b2 b2 + c + a + s c2 c2 + a + b p 1 + b + c + b a p 1 + c + a + c p 1 + a + b a + b + c : M°t kh¡c công theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz th¼ 188
- 225. p 1 +b + c + b a p 1 + c + a + c p 1 + a + b = p a + ab + ac + p a p b p b + bc + ba + p c p c + ca + cb p (a + b + c)[a + b + c + 2(ab + bc + ca)]; do vªy ta suy ra p 1 + b + c + b a p 1 + a + b p 1 + c + a + c p (a + b + c)[a + b + c + 2(ab + bc + ca)] a + b + c = r 1 + 2(ab + bc + ca) a + b + c : Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng ab + bc + ca a + b + c: B¼nh ph÷ìng hai v¸ v º þ tîi ¡nh gi¡ cì b£n (a + b + c)2 3(ab + bc + ca), ta ÷ñc ab + bc + ca 3: Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ tr¶n óng do ab + bc + ca a2 + b2 + c2 = 3. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 8.36 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng a3 + b3 + c3 a + b + c Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ a3 + 1 + 1 3a: Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü cho b v c v cëng l¤i, ta ÷ñc a3 + b3 + c3 + 6 3(a + b + c): M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a + b + c 3 3 p abc = 3, do vªy a3 + b3 + c3 + 6 a + b + c + 6: Rót gån 6 ð hai v¸ ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 8.37 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 1. Chùng minh r¬ng 1 1 a2 + 1 1 b2 + 1 1 c2 + 1 1 bc + 1 1 ca + 1 1 ab 9 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a2 1 a2 + b2 1 b2 + c2 1 c2 + bc 1 bc + ca 1 ca + ab 1 ab 3: 189
- 226. p döng b§t¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ X a2 X bc 1 a2+ 1 bc ( X a2 + X bc)2 X a2(1 a2) + X bc(1 bc) = ( X a2 + X bc)2 X a2(b2 + c2) + X bc(a2 + b2 + c2 bc) : Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng ( X a2 + X bc)2 3 X a2(b2 + c2) + 3 X bc(a2 + b2 + c2 bc): Khai triºn v rót gån, ta thu ÷ñc a2(a b)(a c) + b2(b a)(b c) + c2(c a)(c b) 0: Tuy nhi¶n ¥y ch½nh l b§t ¯ng thùc Schur bªc bèn n¶n â l mët ¡nh gi¡ óng. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 8.38 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + (a b)2 26 + (b c)2 6 + (c a)2 2009 Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh: 2(a2 + b2 + c2) 2ab + 2bc + 2ac + (a b)2 13 + (b c)2 3 + 2(c a)2 2009 ; (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (a b)2 13 + (b c)2 3 + 2(c a)2 2009 ; 12(a b)2 13 + 2(b c)2 3 + 2007(c a)2 2009 0: ¡nh gi¡ cuèi còng hiºn nhi¶n óng cho måi sè thüc a; b; c, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 8.39 Cho a; b; c l c¡c sè thüc tho£ m¢n çng thíi a b c,a+b+c = 6 v ab+bc+ca = 9. Chùng minh r¬ng 0 a 1 b 3 c 4 Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, tø gi£ thi¸t ta câ a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 2(ab + bc + ca) = 62 9:2 = 18: ¦u ti¶n, ta chùng minh a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng, nhí sû döng ¡nh gi¡ 9 = ab + bc + ca a(b + c) + (b + c)2 4 = a(6 a) + (6 a)2 4 : 190
- 227. ¡nh gi¡ n yt÷ìng ÷ìng vîi 3a2 4 3a 0; tø â ta suy ra 0 a 4, do vªy 0 a b c. Khi â ta công câ 18 = a2 + b2 + c2 ac + bc + c2 = c(a + b + c) = 6c; hay c 3. B¥y gií ta s³ chùng minh c 4 b¬ng ph£n chùng. Gi£ sû r¬ng c 4, khi â c2 4c. Tø ¥y ta suy ra 18 = a2 + b2 + c2 (a + b)2 2 + 4c = (6 c)2 2 + 4c; t÷ìng ÷ìng c2 2 2c 0; hay 0 c 4, tr¡i vîi i·u gi£ sû. M¥u thu¨n n y chùng tä i·u gi£ sû l sai, do vªy c 4, công câ ngh¾a a b c 4. Ta ti¸p töc chùng minh a 1 công b¬ng ph£n chùng. Gi£ sû r¬ng 1 a b c 4, khi â ta câ c¡c ¡nh gi¡ (a 1)(a 4) 0; (b 1)(b 4) 0; (c 1)(c 4) 0 Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta s³ ÷ñc a2 + b2 + c2 5(a + b + c) 12; tø â k¸t hñp vîi i·u ki»n º câ 18 5:6 12 = 18. i·u væ l½ n y chùng tä i·u gi£ sû l sai, do vªy a 1. Tø a 1 v c 4, ta suy ra b = 6 a c 6 4 1 = 1. Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta ch¿ cán ph£i ch¿ ra r¬ng b 3. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, tùc l b 3, khi â ta câ (b 3)(c 3) 0; t÷ìng ÷ìng bc 3(b + c) 9 = 3(6 a) 9 = 9 3a: Tø ¥y ta suy ra 9 = ab + bc + ca = a(b + c) + bc a(b + c) + 9 3a; hay a(b + c 3) 0: Tuy nhi¶n â l¤i l mët ¡nh gi¡ sai, do vªy i·u gi£ sû ban ¦u cõa chóng ta l sai, n¶n b 3. Tâm l¤i, ta ¢ chùng minh ÷ñc 0 a 1 b 3 c 4, do vªy b i to¡n k¸t thóc.2 191
- 228. 8.40 Cho a;b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng r 3 a b + c r + 3 b a + c r + 3 c a + b 2 Líi gi£i. °t a = x3; b = y3; c = z3. Khi â x; y; z 0 v b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh s 3 s x3 y3 + z3 + 3 y3 s z3 + x3 + 3 z3 x3 + y3 2: Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh r¬ng s 3 x3 y3 + z3 s x2 y2 + z2 : () Thªt vªy, b§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau x6 (y3 + z3)2 x6 (y2 + z2)3 ; (y2 + z2)3 (y3 + z3)2; 3y2z2(y2 + z2) 2y3z3: Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ cuèi còng óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM: 3y2z2(y2 + z2) 6y3z3 2y3z3; do vªy b§t ¯ng thùc () ÷ñc chùng minh. Tø â ta suy ra s 3 s x3 y3 + z3 + 3 y3 s z3 + x3 + 3 z3 x3 + y3 s x2 y2 + z2 + s y2 z2 + x2 + s z2 x2 + y2 : () M°t kh¡c, theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta suy ra s x2 y2 + z2 = x2 p x2(y2 + z2) 2x2 x2 + y2 + z2 : ( ) K¸t hñp () vîi ( ) v hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta suy ra s 3 s x3 y3 + z3 + 3 y3 s z3 + x3 + 3 z3 x3 + y3 2(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 = 2: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 192
- 229. 3.9 B i 9.1¸n b i 9.40 9.1 Cho x; y; z l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng [0; 1]. Chùng minh r¬ng 2(x3 + y3 + z3) (x2y + y2z + z2x) 3 Líi gi£i. Sû döng gi£ thi¸t, ta suy ra (1 x2)(1 y) 0; hay 1 + x2y x2 + y. Cëng ¡nh gi¡ n y vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü kh¡c, ta suy ra 3 + x2y + y2z + z2x x2 + y2 + z2 + x + y + z: () M°t kh¡c, công tø gi£ thi¸t ta câ x(1 + 2x)(1 x) 0; hay x2 + x 2x3. Thi¸t lªp hai b§t ¯ng thùc t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc x2 + y2 + z2 + x + y + z 2(x3 + y3 + z3): () K¸t hñp () v (), ta suy ra 3 + x2y + y2z + z2x 2(x3 + y3 + z3); tø â ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 9.2 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong o¤n 1 2 . Chùng minh r¬ng ; 1 2 a + b 1 + c + b + c 1 + a + c + a 1 + b 3 Líi gi£i. °t x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. Khi â x; y; z 2 3 2 v ta c¦n chùng minh ; 2 2 x + y 2 z + y + z 2 x + z + x 2 y 3: Tr÷îc h¸t ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc ð v¸ tr¡i. Ta vi¸t l¤i b§t ¯ng thùc â nh÷ sau (x + y + z 2) 1 x + 1 y + 1 z 5: °t s = x + y + z, khi â theo mët ¡nh gi¡ quen thuëc, ta câ 1 x + 1 y + 1 z 9 s : Nh÷ vªy, ta c¦n chùng minh 9(s 2) s 5; 193
- 230. hay s 9 2 . Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ theo i·u ki»n, ta câ s = x + y + z 3 2 + 3 2 + 3 2 = 9 2 ; do vªy b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B¥y gií ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc ð v¸ ph£i. B§t ¯ng thùc n y t÷ìng ÷ìng vîi x y + y x + y z + z y + z x + x z 3 + 2 x + 2 y + 2 z : Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 3 2 x y z 2. Khi â º þ r¬ng x y + y x x 2 + 2 x = (2 y)(x2 2y) 2xy 0; do â x y + y x x 2 + 2 x . Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ y z + z y y 2 + 2 y ; v z x + x z x 2 + 2 x : Cëng v¸ theo v¸ c¡c ¡nh gi¡ tr¶n l¤i, ta ÷ñc x y + y x + y z + z y + z x + x z x + 4 x + y 2 + 2 y : Cuèi còng, ta c¦n ch¿ ra r¬ng x + 4 x + y 2 + 2 y 3 + 2 x + 2 y + 2 z ; t÷ìng ÷ìng x + 2 x + y 2 3 + 2 z : ¥y l mët ¡nh gi¡ óng v¼ l h» qu£ cõa hai ¡nh gi¡ sau x + 2 x 3 = (x 1)(x 2) 3 0; y 2 1 2 z : Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. Tâm l¤i c£ hai b§t ¯ng thùc ¢ ·u ÷ñc chùng minh ho n t§t. B i to¡n k¸t thóc.2 9.3 Cho a; b; c l ë d i ba c¤nh cõa mët tam gi¡c. Chùng minh r¬ng p a + b c + p b + c a + p c + a b p a + p b + p c 194
- 231. Líi gi£i. Sûdöng ¡nh gi¡ cì b£n (x + y)2 2(x2 + y2), ta ÷ñc p a + b c + ( p b + c a)2 2(a + b c + b + c a) = 4b; tø â suy ra p a + b c + p b. Cëng b§t ¯ng thùc tr¶n vîi hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü p b + c a 2 kh¡c, ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh. B i to¡n k¸t thóc.2 9.4 Cho a; b; c l c¡c sè thüc thay êi trong kho£ng [1; 2]. Chùng minh r¬ng a3 + b3 + c3 5abc Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2 a b c 1. °t f(a; b; c) = a3 + b3 + c3 5abc. X²t hi»u sau f(a; b; c) f(a; b; 1) = c3 5abc 1 + 5ab = (c 1)(1 + c + c2 5ab): º þ r¬ng c 1 0 v 1 + c + c2 5ab 1 + c 4c2 = 4(c 1)2 3c + 1 0; do vªy (c 1)(1 + c + c2 5ab) 0 hay f(a; b; c) f(a; b; 1). Ti¸p töc x²t hi»u sau: f(a; b; 1) f(a; 1; 1) = (b 1)(1 + b2 + b 5a); v vîi chó þ (1+b2+b5a) 14b+b2 = (b1)(b2)b1 0, ta suy ra f(a; b; 1) f(a; 1; 1). Nh÷ vªy f(a; b; c) f(a; 1; 1) = a3 5a + 2 = (a 2)(a2 + 2a 1); tø â ta suy ra f(a; b; c) 0, hay a3 + b3 + c3 5abc. B i to¡n k¸t thóc.2 Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2 a b c 1. Khi â d¹ th§y (b a)(b c) 0; hay b2 b(a + c) ac. Tø ¥y ta suy ra b3 b [b(a + c) ac] = b2(a + c) abc [b(a + c) ac] (a + c) abc = b(a + c)2 ac(a + c) abc: 195
- 232. Nh÷ vªy, ºk¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng a3 + c3 + b(a + c)2 ac(a + c) abc 5abc; hay (a c)2(a + c) + b(a + c)2 6abc: L÷u þ r¬ng do a; b; c 2 [1; 2] n¶n a 2 2c b + c, tø â d¨n ¸n 0 a c b: V nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc ¡nh gi¡ tr¶n v¼ (a c)2(a + c) + b(a + c)2 b(a c)(a + c) + b(a + c)2 = 2ab(a + c) 2ab(2c + c) = 6abc: Chùng minh ho n t§t2 Líi gi£i 3. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a2 bc + b2 ca + c2 ab 5: B§t ¯ng thùc n y mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n, do â khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 1 a b c 2. Khi â ta câ ¡nh gi¡ (a b)(b2 c2) 0; tø ¥y suy ra b3 ab2 + bc2 c2a hay b2 ca b c + c a c b : M°t kh¡c ta công câ a2 bc a2 ca = a c ; v c2 ab 2c ab 2c b : Tø c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta thu ÷ñc a2 bc + b2 ca + c2 ab b c + c b + a c + c a V¼ b c 2 n¶n 2b c 1 v c b 1 1 2 . Do vªy 2b c 1 c b 1 2 0; hay b c + c b 5 2 . Ho n to n t÷ìng tü, ta công câ a c + c a 5 2 . Tø hai ¡nh gi¡ n y, ta ÷ñc a2 bc + b2 ca + c2 ab b c + c b + a c + c a 5: 196
- 233. Ph²p chùng minhho n t§t.2 9.5 Cho a; b; c l c¡c sèthüc khæng ¥m thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng 1 + 4a b + c 1 + 4b a + c 1 + 4c b + a 25 Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh (4a + b + c)(4b + c + a)(4c + a + b) 25(a + b)(b + c)(c + a); a3 + b3 + c3 + 7abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a): ¡nh gi¡ cuèi còng óng do abc 0 v b§t ¯ng thùc Schur bªc ba, do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 9.6 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng ab2 + bc2 + ca2 2 + abc Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh ho¡n và giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû b n¬m giúa a v c. Tø â ta câ ¡nh gi¡ a(b c)(b a) 0; hay ab2 + ca2 a2b + abc. Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng a2b + bc2 2: Thay a2 + c2 bði 3 b2, çng thíi thüc hi»n bi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta ÷ñc ¡nh gi¡ b3 + 2 3b: ¥y l mët ¡nh gi¡ óng bði theo AM-GM, b3 + 1 + 1 3 3 p b3 = 3b. Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 9.7 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thay êi b§t k¼. Chùng minh r¬ng (2a + b + c)2 2a2 + (b + c)2 + (a + 2b + c)2 2b2 + (c + a)2 + (a + b + 2c)2 2c2 + (a + b)2 8 Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh thu¦n nh§t n¶n ta chu©n hâa a + b + c = 3. Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh a2 + 6a + 9 3a2 6a + 9 + b2 + 6b + 9 3b2 6b + 9 + c2 + 6c + 9 3c2 6c + 9 8: 197
- 234. º þ r¬ngta câ ¡nh gi¡ sau a2 + 6a + 9 3a2 6a + 9 = 1 3 1 + 2(4a + 3) 2 + (a 1)2 4(a + 1) 3 : Thi¸t lªp hai ¡nh gi¡ t÷ìng tü v cëng l¤i, ta ÷ñc a2 + 6a + 9 3a2 6a + 9 + b2 + 6b + 9 3b2 6b + 9 + c2 + 6c + 9 3c2 6c + 9 4(a + b + c + 3) 3 = 8: Ph²p chùng minh ho n t§t.2 Líi gi£i 2. Chó þ r¬ng 3 (2a + b + c)2 2a2 + (b + c)2 = 2(b + c a)2 2a2 + (b + c)2 ; do â ta c¦n ph£i chùng minh (b + c a)2 2a2 + (b + c)2 + (c + a b)2 2b2 + (c + a)2 + (a + b c)2 2c2 + (a + b)2 1 2 : Tuy nhi¶n ¥y l mët k¸t qu£ ¢ ÷ñc chùng minh ð b i 8.18 . 2 Líi gi£i 3. °t x = b + c a ; y = c + a b ; z = a + b c . Khi â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh (x + 2)2 x2 + 2 + (y + 2)2 y2 + 2 + (z + 2)2 z2 + 2 8; hay (x 1)2 x2 + 2 + (y 1)2 y2 + 2 + (z 1)2 z2 + 2 1 2 : p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ: (x 1)2 x2 + 2 + (y 1)2 y2 + 2 + (z 1)2 z2 + 2 (x + y + z 3)2 x2 + y2 + z2 + 6 Nh÷ vªy, º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng 2(x + y + z 3)2 x2 + y2 + z2 + 6; hay (x + y + z 6)2 + 2(xy + yz + zx 12) 0. Tuy nhi¶n ¥y l mët ¡nh gi¡ óng nhí ¡nh gi¡ sau: (x + y + z 6)2 0 v ¡nh gi¡ câ ÷ñc theo b§t ¯ng thùc AM-GM: xy + yz + zx = (b + c)(c + a) ab + (b + c)(c + a) ab + (b + c)(c + a) ab s 3 3 (a + b)(b + c)(c + a) abc 2 12; 198
- 235. do vªy b§t¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 9.8 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng tho£ m¢n 13x + 5y + 12z = 9. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P = xy 2x + y + 3yz 2y + z + 6xz x + z Líi gi£i. Ta vi¸t l¤i biºu thùc P nh÷ sau: P = 1 2 y + 1 x + 1 2 3x + 1 3y + 1 1 3x + 1 6z : º þ r¬ng ta câ ¡nh gi¡ cì b£n sau a + b + c 9 1 1 a + 1 b + 1 c ; tø â ta ¡p döng º câ P 2y + x + 6z + 3y + 12x + 6z 9 = 13x + 5y + 12z 9 = 1: Cuèi còng, vîi x = y = z = 3 10 (tho£ m¢n i·u ki»n) th¼ P = 1 n¶n ta k¸t luªn 1 l gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc P. B i to¡n k¸t thóc.2 9.9 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m tho£ m¢n a + b + c = 1. Chùng minh r¬ng 10(a3 + b3 + c3) 9(a5 + b5 + c5) 1 Líi gi£i. D¢y b§t ¯ng thùc sau l t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh: 10a3 9a5 a + 10b3 9b5 b + 10c3 9c5 c 0; a(1 a2)(9a2 1) 0: º þ r¬ng ta câ ¡nh gi¡ sau (1 + a)(9a2 1) 8 3 :(3a 1) = 1 3 :(3a + 5)(3a 1)2 0; tø â ta ÷a b i to¡n v· vi»c chùng minh a(1 a)(3a 1) + b(1 b)(3b 1) + c(1 c)(3c 1) 0; hay 4(a2 + b2 + c2) 3(a3 + b3 + c3) 1. Sû döng gi£ thi¸t ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc 4(a2 + b2 + c2)(a + b + c) 3(a3 + b3 + c3) (a + b + c)3: 199
- 236. Thüc hi»n ph²pbi¸n êi t÷ìng ÷ìng, ta thu ÷ñc ¡nh gi¡ cì b£n sau ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 6abc: Do vªy b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 9.10 Cho a; b; c l c¡c sè thüc trong kho£ng [1; 2]. Chùng minh r¬ng (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) 10 Líi gi£i 1. Tr÷îc h¸t ta câ (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) = 3 + a b + b a + b c + c b + c a + a c : B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 2 a b c 1. Tø ¥y ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau a c + 1 a b + b c = a b 1 b c 1 0; c a + 1 b a + c b = b a c 1 b 0: 1 Nh÷ vªy ta suy ra (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) 5 + 2( a c + c a ); v do â º k¸t thóc chùng minh, ta c¦n ch¿ ra r¬ng a c + c a 5 2 ; hay (2a c)(a 2c) 0. Tuy nhi¶n ¥y l ¡nh gi¡ óng do 2a c v a 2 2c, n¶n b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc. 2 Nhªn x²t: Khi c¡c bi¸n a; b; c thuëc o¤n[m; n] n o â, ta th÷íng hay ¡nh gi¡ (a m)(b m)(c m) 0 ho°c (a n)(b n)(c b) 0 º t¼m ra c¡c mèi li¶n h» kh¡c. ¡nh gi¡ tr¶n câ thº ÷ñc xem l õ m¤nh (khæng ph£i t§t c£ tr÷íng hñp ·u dòng ÷ñc), v¼ d§u b¬ng x£y ra khi mët bi¸n b¬ng m ho°c n. (câ hi»u qu£ khi chùng minh b§t ¯ng thùc èi xùng m d§u b¬ng ¤t t¤i bi¶n). Líi gi£i 2. B§t ¯ng thùc ban ¦u mang t½nh èi xùng giúa c¡c bi¸n n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû 1 a b c 2. D¹ th§y b§t ¯ng thùc ban ¦u t÷ìng ÷ìng vîi méi b§t ¯ng thùc trong d¢y sau: (a + b + c)(ab + bc + ca) 10abc; ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 7abc; 200
- 237. (a b)(b c)(c + a) + b(2a c)(2c a) 0: Tuy nhi¶n ¡nh gi¡ cuèi còng óng do a b c, çng thíi c 2 2a v a 2 2c. Tø â ta suy ra b§t ¯ng thùc ban ¦u ÷ñc chùng minh xong. B i to¡n k¸t thóc.2 9.11 Cho x; y; z l c¡c sè thüc d÷ìng.Chùng minh vîi måi 0 a b c, ta câ: (ax + by + cz)( x a + y b + z c ) (a + c)2 4ac (x + y + x)2. Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: 4ac(ax + by + cz)( x a + y b + z c ) (ax + by + cz) + ac( x a + y b + z c ) !2 Khi â ta c¦n chùng minh: ax + by + cz + ac( x a + y b + z c ) (a + c)(x + y + z) T÷ìng ÷ìng vîi: ay + cy by + acy b , y(a b)(b c) 0 .2 9.12 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n ab + bc + ca = 1. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 + 3 a + b + c abc 5 2 Líi gi£i. Bi¸n êi nh÷ sau: a2 + b2 + c2 + 3 = a2 + b2 + c2 + 3(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c) + (b + c)(c + a) + (c + a)(a + b) a + b + c abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) abc = (a + b)(b + c)(c + a) Ta ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng: 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a 5 2 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû c = max fa; b; cg Khi â:(a + b)2 2c(a + b) 2 ) a + b 2. B¥y gií º þ: 1 a + b a2(a + b) a(a + b) = = a + b a + b c + a a2 + 1 a2 + 1 2 1 b + c a + b b(a + b) 2 Ta quy v· chùng minh: 2 x + x(4 x) 5 vîi a + b = x T÷ìng ÷ìng:(x 1)2(x 2) 0 (óng) Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra ch¿ khi c = 1; a = 1; b = 0 v c¡c ho¡n và.2 9.13 Cho ba sè thùc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 3. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 + 3abc 2(a + b + c) Líi gi£i. ¦u ti¶n ta x²t tr÷íng hñp a2 + b2 + c2 = 3 Khi â, ta câ: 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 ) 3 a + b + c p 3 201
- 238. B§t ¯ng thùcc¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: a + b + c 3abc 3 (a + b + c) Hay 1 3 (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 3abc 3 (a + b + c) Ta câ: 1 3 (a+b+c)(a2+b2+c2)3abc a3 + b3 + c3 3abc 3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 3 V : 3 (a + b + c) = 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 3 + a + b + c = 2(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 3 + a + b + c Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b + c)(a + b + c + 3) 6 p p i·u n y hiºn nhi¶n óng do 3( 3 + 3) 6 D§u b¬ng ch¿ x£y ra khi a = b = c = 1 N¸u a2 + b2 + c2 3 th¼ tçn t¤i k 1 sao cho: (ka)2 + (kb)2 + (kc)2 = 3 Theo tr¶n, ta câ: k2(a2 + b2 + c2) + 3k3abc 2k(a + b + c) hay k(a2 + b2 + c2) + 3k2abc 2(a + b + c) M k 1 n¶n a2 + b2 + c2 + 3abc k(a2 + b2 + c2) + 3k2abc Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.2 9.14 Cho ba sè thüc a; b; c 2 [0; 1]. Chùng minh r¬ng: a 1 + bc + b 1 + ac + c 1 + ab + abc 5 2 Líi gi£i. Ta câ c¡c b§t ¯ng thùc sau: (1 a)(1 bc) + (1 b)(1 c) 0 , abc + 2 a + b + c P a 1 + bc P a 1 + abc Nh÷ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: x + 2 x + 1 + x 5 2 vîi x = abc T÷ìng ÷ìng: (x 1)(2x + 1) 0 ¯ng thùc ch¿ x£y ra khi a = b = c = 1.2 9.15 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a+b+c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: M = 1 + a2 1 + b2 + 1 + b2 1 + c2 + 1 + c2 1 + a2 Líi gi£i. °t x = a2 + 1; y = b2 + 1; z = c2 + 1 Tø gi£ thi¸t ta câ: a; b; c 2 [0; 1] ) x; y; z 2 [1; 2] T¼m Max: M = x y + y z + z x Khæng m§t t½nh têng qu¡t: Gi£ sû x y z ) (y x)(y z) 0 , x y + y z x z + 1 Do x; y; z 2 [1; 2] , (2x z)(2z x) 0 , x z + z x 5 2 do â: M 5 2 + 1 = 7 2 .2 9.16 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1.Chùng minh r¬ng: 1 a + b2 + c3 + 1 b + c2 + a3 + 1 c + a2 + b3 1 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc CauchySchwarz, ta câ: (a + b2 + c3)(a + 1 + 1 c ) (a + b + c)2 202
- 239. Do â X cyc 1 a + b2 + c3 X cyc a + 1 + 1 c (a + b + c)2 = P a + P ab + 3 (a + b + c)2 v¼ abc = 1 B¥y gií chóng ta ch¿ c¦n chùng minh: X cyc P a + P ab + 3 (a + b + c)2 1 , (a + b + c)2 a + b + c + ab + bc + ca + 3 T÷ìng ÷ìng a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a + b + c + 3 B§t ¯ng thùc cuèi óng v¼: (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 3 3 3 p abc(a + b + c) 3 = a + b + c v ab + bc + ca 3 3 p a2b2c2 = 3. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 C¥u häi mð:C¡c b¤n câ thº gi£i quy¸t b i n y theo c¡ch tr¶n ÷ñc khæng? V¼ sao? Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1.Chùng minh r¬ng: a a + b2 + c3 + b b + c2 + a3 + c c + a2 + b3 1 9.17 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 1. Chùng minh r¬ng: 1 1 a2 + 1 1 b2 + 1 1 c2 9 2 Líi gi£i. Chóng ta ÷a b§t ¯ng thùc v· : ab 1 ab + bc 1 bc + ca 1 ca 3 2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwaz: ab 2ab 2ab = 1 ab (1 + c2) + (a b)2 1 + c2 1 2 : (a + b)2 (c2 + a2) + (c2 + b2) 1 2 :( a2 c2 + a2 + b2 c2 + b2 ) T÷ìng tü ta câ : P ab 1 ab 3 2 .2 9.18 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a3 + b3 + c3 = 3. Chùng minh r¬ng: 4( 1 a + 1 b + 1 c ) + 5(a2 + b2 + c2) 27 Líi gi£i. Ta câ ¡nh gi¡ sau: 4 a + 5a2 2a3 7 = (a 1)2(4 + a 2a2) a 0 B§t ¯ng thùc tr¶n óng do a 3 p 3 n¶n 4+a2a2 = a2 4 a2 + 1 a 2 a2 4 3 p 9 + 1 3 p 3 2 0: Do â ta câ: 4 a + 5a2 2a3 + 7: T÷ìng tü ta câ: 4 b + 5b2 2b3 + 7; 4 c + 5c2 2c3 + 7: Cëng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n l¤i, ta ÷ñc: 4 1 a + 1 b + 1 c + 5 a2 + b2 + c2 2(a3 + b3 + c3) + 21 = 27: 203
- 240. Ta câ i·uph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 9.19 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c 6. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: ab a + 3b + 2c + bc b + 3c + 2a + ac c + 3a + 2b Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: 9 a + 3b + 2c = (1 + 1 + 1)2 b + c + c + a + 2b 1 b + c + 1 c + a + 1 2b Do â: ab a + 3b + 2c 1 9 ab b + c + ab c + a + ab 2b X¥y düng c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü, rçi cëng l¤i ta ÷ñc: A P 1 9 ab b + c + ab c + a + a + b + c 18 M°t kh¡c: P ab b + c + ab c + a = a + b + c n¶n A a + b + c 6 1 Nh÷ vªy, gi¡ trà lîn nh§t cõa A = 1 khi a = b = c = 2.2 9.20 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¯ng: a p a2 + b2 + b p b2 + c2 + c p a2 + c2 3 p 2 Líi gi£i. °t x = a2; r y = b2; z = c2. Khi â ta c¦n chùng minh: x x + y + r y y + z + r z z + x 3 p 2 p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz: Pr x x + y 2 P ( (x + z)) P x (x + y)(x + z) = 4(x + y + z)(xy + yz + xz) (x + y)(y + z(z + x) . Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh: 8(x + y + z)(xy + yz + xz) 9(x + y)(y + z)(x + z) ¥y l b§t ¯ng thùc quen thuëc . Vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 9.21 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; zc thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¯ng: x3 + 1 p x4 + y + z + y3 + 1 p y4 + z + x + z3 + 1 p z4 + x + y p xy + yz + zx 2 Líi gi£i. º þ r¬ng x4 + y + z = x [x3 + yz(y + z)] p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: P sym x3 + 1 2 p x4 + y + z p xy + yz + zx = P sym x3 + 1 2 p x3 + yz(y + z) p x2(y + z) + xyz P sym x3 + 1 x3 + yz(y + z) + x2(y + z) + xyz = P sym x3 + 1 (x2 + yz)(x + y + z) = P sym x3 + xyz (x2 + yz)(x + y + z) = P sym x x + y + z = 1.i·u ph£i chùng minh. 2 9.22 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¯ng: a4 (b 1)2 + b4 (c 1)2 + c4 (a 1)2 48 204
- 241. Líi gi£i. pdöng b§t ¯ng thùc Cauchy-swachz, ta câ: a4 (b 1)2 + b4 (c 1)2 + c4 (a 1)2 1 3 P a2 b 1 2 Ta chùng minh: 1 3 48 P a2 b 1 2 , P a2 b 1 12 Ta câ: b b2 + 4 4 ) b 1 b2 4 ) a2 b 1 4: a2 b2 Tø â ta câ: P a2 b 1 4 P a2 b2 12 (óng theo AM-GM2 9.23 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n:a + b + c = 3. Chùng minh r¯ng: a b2 + 1 + b c2 + 1 + c a2 + 1 3 2 Líi gi£i. p döng k¾ thuªt Cauchy ng÷ñc d§u ta câ: a 1 + b2 = a ab2 1 + b2 a ab2 2b = a ab 2 T÷ìng tü vîi 2 b§t ¯ng thùc cán l¤i, ta câ: a 1 + b2 + b 1 + c2 + c 1 + a2 a + b + c ab + bc + ca 2 3 2 . ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 9.24 Cho c¡c sè thüc d÷ìrng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3 . Chùng minh r¯ng: a + 3 a + bc + r b + 3 b + ac + r c + 3 c + ab p 2 3 Líi gi£i. Ta câ: r 2(a + 3) a + bc = s 2 a + b a2 + bc + a + c a2 + bc r a + b a2 + bc + r a + c a2 + bc Nh÷ vªy v¸ tr¡i khæng nhä hìn: P cyc p a + b 1 p a + bc + 1 p b + ca M 1 p a + bc + 1 p b + ca r 8 a + bc + b + ca = p p 2 2 (c + 1)(a + b) Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh: P 1 p c + 1 3 p 2 B§t ¯ng thùc n y ÷ñc suy ra tø 2 b§t ¯ng thùc: P 1 p c + 1 9 p c + 1 + p b + 1 + p a + 1 V p a + 1 + p b + 1 + p c + 1 p 3(a + b + c + 3) = 3 p 2 ¯ng thùc x£y ra ch¿ khi a = b = c = 1.2 NHŠN X’T: B§t ¯ng thùc têng quat sau công óng vîi cung i·u ki»n v k 0 a + 1 a + bc k + b + 1 b + ca k + c + 1 c + ab k 3 Chùng minh tr÷íng hñp têng qu¡t: Sû döng b§t ¯ng thùc cæsi cho 3 sè, ta ch¿ c¦n chùng minh: 205
- 242. (a + 1)(b+ 1)(c + 1) (a + bc)(b + ac)(c + ab) Sû döng b§t ¯ng thùc cæ si cho 2 sè : p (ab + c)(ac + b) . (a + 1)(b + c) = (ab + c) + (ac + b) 2 p (ab + c)(bc + a) (b + 1)(a + c) = (ab + c) + (bc + a) 2 p (ac + b)(bc + a) (c + 1)(a + b) = (ac + b) + (bc + a) 2 Nh¥n v¸ theo v¸ ta ch¿ c¦n chùng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8 '. Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1.2 9.25 Cho c¡c sè thüc khæng ¥m x; y; zc thäa m¢n x + y + z = 3.T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: x2 + x + 2y + 3z Líi gi£i. Ta câ: x2 + x + 2y + 3z x2 + x + 3(y + z) = x(x 2) + 9 3:(3 2) + 9 = 12 D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi x = 3; y = z = 0. 2 9.26 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¯ng: (b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) 2 3 (a2 + b2 + c2)2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 2(a4 + b4 + c4) + 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) 3ab(a2 + b2) + 3bc(b2 + c2) + 3ca(c2 + a2) Ta t¡ch ra º chùng minh ìn gi£n vîi 2 bi¸n nh÷ sau a4 + b4 + 4a2b2 3ab(a2 + b2) , (a b)4 + ab(a b)2 0 T÷ìng tü ta công câ: a4 + c4 + 4a2c2 3ac(a2 + c2) v b4 + c4 + 4b2c2 3bc(b2 + c2) Vªy b§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 9.27 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¯ng: a2 ab + b2 p b4 + c4 + b2 bc + c2 p c4 + a4 + c2 ca + a2 p b4 + c4 p 2 2 3 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: s (a2 ab + b2)(b2 bc + c2)(c2 ca + a2) p V T 3 3 (c4 + a4)(b4 + c4)(c4 + a4) N¶n ta ch¿ c¦n chùng minh: 8[(a2 ab + b2)(b2 bc + c2)(c2 ca + a2)]2 (c4 + a4)(b4 + c4)(c4 + a4) Ta câ b§t «ng thùc: 2(a2 ab + b2)2 a4 + b4 , (a b)4 0 Nh¥n 3 b§t ¯ng thùc n y l¤i ta ÷ñc: 8[(a2 ab + b2)(b2 bc + c2)(c2 ca + a2)]2 (c4 + a4)(b4 + c4)(c4 + a4) . Ph²p chùng minh ho n t§t.2 206
- 243. 9.28 Cho c¡csè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¯ng: r 15 15 32ab (3a + b)(5a + 3b) r + 6 3 a 5a + 3b 18 Líi gi£i. p döng AM-GM ta câ: V T 4a 3a + b + 8b 5a + 3b + 13 + 8a 5a + b + 2 B¥y gií ta chùng minh: 4a 3a + b + 8(a + b) 5a + 3b 3 Tùc l 8(a + b)(3a + b) (5a + 3b)2 , (a b)2 0. (Luæn óng)2 9.29 Cho hai sè thüc d÷ìng a; b thäa m¢n a9 + b9 = 2. Chùng minh r¯ng: a2 b + b2 a 2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: a3 + b3 2ab , 3(a3 + b3)4 8:3a3b3(a3 + b3) T÷ìng ÷ìng 3(a3 + b3)4 8((a3 + b3)3 a9 b9) T÷ìng ÷ìng 3(a3 + b3)4 + 16 8(a3 + b3)3 óng theo Cæ si 4 sè).¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 1.2 9.30 Cho hai sè thüc d÷ìng a; b . Chùng minh r¯ng: ( p a + p b)( 1 p a + 3b + 1 p b + 3a ) 2 Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: p a 2 p a + 3b 6 a a + b + a + b a + 3b p b 2 p a + 3b 6 1 2 + 2b a + 3b Cëng l¤i ta ÷ñc: p a + p b p a + 3b 6 3 4 + a 2(a + b) L m t÷ìng tü cëng l¤i câ ngay: p a + ( p b)( 1 p a + 3b + 1 p b + 3a ) 2 .2 9.31 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2 4. Chùng minh r¯ng: P ab + 1 (a + b)2 3 Líi gi£i. Ta câ: 207
- 244. P 4ab +4 (a + b)2 P 4ab + a2 + b2 + c2 + (a + b + c)2 (a + b)2 = 2 P (c + a)(b + c) (a + b)2 + 6 Nh÷ vªy ch¿ c¦n chùng minh: P (a + b)(b + c) (c + a)2 3 B§t ¯ng thùc cuèi óng theo AM-GM. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = p 3 3 .2 9.32 Cho ba sè thüc a; b; c æi mët kh¡c nhau. Chùng minh r¯ng: ( a + b a c )2 + ( b + c b a )2 + ( c + a c b )2 1 Líi gi£i. °t x = a + b a c ; y = b + c b a ; z = c + a c b Khi â: xyz = (x 1)(y 1)(z 1) = (a + b)(b + c)(c + a) (a c)(b a)(c b) Suy ra: xy + yz + zx = x + y + z 1 Tø b§t ¯ng thùc: (x + y + z 1)2 0, ta ÷ñc: x2 + y2 + z2 2(x + y + z xy yz zx) 1 Hay x2 + y2 + z2 1 . Ph²p chùng minh ho n t§t. 2 9.33 Cho hai sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 2. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: P = ab p ab + 2c + bc p bc + 2a + ca p ca + 2b Líi gi£i. Theo b§t ¬ng thùc AM-GM: ab p ab + 2c = ab p ab + c(a + b + c) = ab p (b + c)(c + a) ab 2(b + c) + ab 2(c + a) L t÷ìng tü cho c¡c biºu thùc cán l¤i, vîi chó þ: ab 2(b + c) + ca 2(b + c) = a 2 Ta t¼m ÷ñc max cõa P = 1 ¤t ÷ñc khi v ch¿ khi a = b = c.2 9.34 Cho hai sè thüc d÷ìng a; b; cthäa m¢n 1 a + 1 b + 1 c = 1 . Chùng minh r¯ng: a2 a + bc + b2 b + ca + c2 c + ab a + b + c 4 Líi gi£i. Tø gi£ thi¸t ta câ: ab + bc + ca = abc V T = P a3 a2 + abc = P a3 (a + b)(a + c) Ta câ: a3 (a + b)(a + c) + a + b 8 + b + c 8 3 4 (a + b + c) Do â ta câ: a2 a + bc + b2 b + ca + c2 c + ab a + b + c 4 208
- 245. Ph²p chùng minhho n t§t.2 9.35 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢na + b + c = 3. Chùng minh r¯ng: P 1 1 + ab 9 p a + 2( p b + p c) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: P ab 1 + ab 3 9 p a + 2( p b + p c) p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: P ab 1 + ab P ab p ab 2 = 1 2 Pp ab B¥y gií ta ch¿ c¦n chùng minh: Pp ab + 9 p a + p b + p c 6 º ìn gi£n ta °t x = p a; y = p b; z = p c.Khi â: x2 + y2 + z2 = 3 v : xy + yz + zx + 9 x + y + z 6 T÷ìng ÷ìng xy + yz + zx + (x2 + y2 + z2) p 3(x2 + y2 + z2) x + y + z 2(x2 + y2 + z2) (em thu¦n nh§t b§t ¯ng thùc). Do b§t ¯ng thùc thu¦n nh§t n¶n chu©n hâa a + b + c = 1. °t xy + yz + zx = A. Ta câ:x2 + y2 + z2 = 1 2A;A 1 3 2 5 B§t ¯ng thùc ÷ñc vi¸t l¤i: A + (1 2A) p 3(1 2A) 1 2(1 2A) T÷ìng ÷ìng 3(1 2A)3 (2 5A)2 t÷ìng ÷ìng 0 (1 3A)(1 + A 8A2) B§t ¯ng thùc cuèi óng v¼ 1 3A 0; 1 + A 8A2 1 9A2 0 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 9.36 Cho hai sè thüc x; y thäa m¢n xy6= 0 v xy(x+y) = x2xy+y2. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc: A = 1 x3 + 1 y3 Líi gi£i. Vîi chó þ: A = 1 x3 + 1 y3 = x3 + y3 x3y3 = (x + y)(x2 xy + y2) x3y3 = 1 x + 1 y 2 °t a = 1 x ; b = 1 y .i·u ki»n cõa b i to¡n câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau : a + b = a2 ab + b2 v ta c¦n t¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc :A = (a + b)2 vîi ¡nh gi¡: a2 ab + b2 = 1 4 (a + b)2 + 3 4 (a b)2 1 4 (a + b)2 Ta thu ÷ñc :a + b 1 4 (a + b)2hay l 0 a + b 4 Tø â suy ra A 16: Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa A l 16 ¤t ÷ñc khi a = b hay x = y = 1 2 .2 209
- 246. 9.37 Cho baisè thüc d÷ìng x; y; zc thäa m¢nxy + yz + zx = xyz . Chùng minh r¯ng: 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 3 x2y + 3 y2z + 3 z2x Líi gi£i. °t a = 1 x ; b = 1 y ; c = 1 z th¼ a + b + c = 1 B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi: a2 + b2 + c2 3(a2b + b2c + c2a) , (a2 + b2 + c2)(a + b + c) 3(a2b + b2c + c2a) (do a + b + c = 1). , (a3+ab2)+(b3+bc2)+(c3+ca2) 2a2b+2b2c+2c2a(óng theo bt Cauchy cho 2 sè d÷ìng).2 9.38 Cho hai sè thüc d÷ìng a; b; c . Chùng minh r¯ng: 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 2 3 p abc (a + b + c + 3 p abc)2 (a + b)(b + c)(c + a) Líi gi£i. p döng b§t ¯ng thùc cauchySchawrz, ta câ: 1 1 1 1 + + + a + b b + c c + a 2 3 p abc = P c2 c2(a + b) + 3 p 3 2 abc (a + b + c + 2abc p abc)2 (a + b)(b + c)(c + a) . Ph²p chùng minh ho n t§t.2 9.39 Cho hai sè thüc a; b; c thäa m¢n p a2 + b2 + c2 = 3 p ab + bc + ac . Chùng minh r¯ng: a + b + c p 3 Líi gi£i. D¹ th§y ab + bc + ca a2 + b2 + c2 Tø â ta câ: 2 p a2 + b2 + c2 3 p a2 + b2 + c2 t÷ìng ÷ìng vîi (a2 + b2 + c2)3 (a2 + b2 + c2)2 t÷ìng ÷ìng a2 + b2 + c2 1 t÷ìng ÷ìng 1 a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 3 hay a + b + c p 3.2 9.40 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c còng lîn hìn 2 v th£o m¢n 1 x + 1 y + 1 z = 1. Chùng minh r¯ng: xyz + 9 4:(x + y + z) Líi gi£i. Trong 3 sè x; y; z ph£i câ 2 sè còng lîn hìn ho°c còng nhä hìn so vîi 3, gi£ sû â l x v y. Khi â (x 3)(y 3) 0 , xy + 9 3(x + y) M°t kh¡c tø gi£ thi¸t suy ra xyz = xy + z + zx 210
- 247. Do vªy tacâ xyz + 9 z(x + y) + 3(x + y) Ta c¦n chùng minh z(x + y) + 3(x + y) 4(x + y + z) Hay z x + y x + y 4 Gi£ sû ng÷ñc l¤i z x + y x + y 4 th¼ khi â: 1 = 1 x + 1 y + 1 z 1 x + 1 y + x + y 4 x + y 4 x + y + x + y 4 x + y = 1(væ lþ) Do vªy ta câ i·u ph£i chùng minh.2 3.10 B i 10.1 ¸n b i 10.40 10.1 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c . Chùng minh r¯ng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 4abc a2b + b2c + c2a + abc 2 Líi gi£i. Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû b l sè n¬m giúa a v c. Khi â ta câ: a2b + b2c + c2a + abc = b(c + a)2 + c(a b)(c b) b(c + a)2 Ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 4ca (c + a)2 2 , a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 2(c2 + a2) (c + a)2 , a2 + b2 + c2 c2 + a2 2(ab + bc + ca (c + a)2 , b2 c2 + a2 + a2 + c2 (c + a)2 d 2b c + a , (ab + bc a2 c2)2 0 B§t ¯ng thùc n y hiºn nhi¶n óng . ¯ng thùc ch¿ x£y ra khi a = b = c.2 10.2 Cho hai sè thüc d÷ìng x; y thäa m¢nx + y = 2. Chùng minh r¯ng: (x4 + y4)(x2 + y2)4 6 32 x10y10 Líi gi£i. C¡ch gi£ 1: (x4 + y4)(x2 + y2)4x10y10 = 1 8 (x4 + y4)(x3y + xy3)4:(2x2y2)3 6 1 8 : ((x + y)4)8 88 = 32 (Theo cæ si 8 sè) C¡ch gi£i 2: B§t ¯ng thùc tr¶n thüc ch§t l h» qu£ cõa 2 b§t ¯ng thùc sau: 1) x6y6(x4 + y4) 2 2) xy(x2 + y2) 2 (x2 + y2 + 2xy)2 Chùng minh 2): Ta câ:xy(x2 + y2) 8 = 2 211
- 248. Chùng minh 1):Ta câ:x6y6(x4 + y4) x4y4(x4 + y4 + 2x2y2)2 8 = (xy(x2 + y2))4 8 2 Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc ch¿ x£y ra khi x = y = 1.2 10.3 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: a3b2 + b3c2 + c3a2 3 Líi gi£i. Gåi (x; y; z) l mët ho¡n và cõa (a; b; c) sao cho x y z. Khi â theo b§t ¯ng thùc ho¡n và ta câ: a3b2 + b3c2 + c3a2 x3y2 + x2yz2 + z3y2 do 2 d¢y x; y; z v x2y2; z2x2; y2z2 ìn i»u còng chi·u. Nh÷ vªy ta s³ chùng minh: x3y2 + yx2z2 + z3y2 3 p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: 2x3y2 y(x4 + x2y2) 2z3y2 y(z4 + z2y2) Ch¿ cán c¦n chùng minh (vîi chó þ x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2 = 3): y(x4 + x2y2) + y(z4 + z2y2) + 2yz2x2 6 , y(x2 + z2)(x2 + y2 + z2) 6 , y(3 y2) 2 , (y 1)2(y + 2) 0 B§t ¯ng thùc cuèi luæn óng, n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z hay a = b = c = 1.2 10.4 Cho ba sè thüc d÷ìngra; b; c thäa m¢n a + b + c = 1. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa ab c + ab + r bc a + bc + r ca b + ca 3 2 Líi gi£i. Vîi gi£ thi¸t ar+ b + c = 1 th¼: ab c + ab = r ab 1 a b + ab = r ab (1 a)(1 b) = r ab (b + c)(c + a) Theo b§t ¯ng thùc AMr-GM ta câ: ab c + ab = r ab (b + c)(c + a) 1 2 a c + a + b b + c T÷ìng tü ta côngrcâ: bc a + bc 1 2 b a + b + c c + a ; r ca b + ca 1 2 c b + c + a a + b Cërng v¸ vîi v¸ cõa 3 b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc: ab c + ab + r bc a + bc + r ca b + ca 1 2 a c + a + b b + c + b b + a + c c + b + c c + a + a a + b = 3 2 â ch½nh l i·u c¦n chùng minh. 212
- 249. ¯ng thùc x£yra khi v ch¿ khi a = b = c = 1 3 .2 10.5 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: (a2 + b2 + c2)2 3(a3b + b3c + c3a) Líi gi£i. Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 2(a2 b2 c2)2 6(a3b b3c c3a) P + + + + 0 , (a2 2ab + bc c2 + ca)2 0 i·u n y hiºn nhi¶n óng. B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. D§u ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c trong bë 3 sè sau v c¡c ho¡n và (a; b; c) = k sin2 4 7 ; sin2 2 7 ; sin2 7 .2 Líi gi£i 2. Ta ¢ bi¸t vîi måi sè thüc x; y; z th¼ (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) chån x = a2 + bc ab; y = b2 + ca bc; z = c2 + ab ca ta thu ÷ñc P (a2 + bc ab)]2 3 [ P (a2 bc ab)(b2 + ca bc) M°t kh¡c, ta th§y r¬ng P (a2 + bc ab) = a2 + b2 + c2 v P (a2 bc ab)(b2 + ca bc) = a3b + b3c + c3a N¶n ta câ (a2 + b2 + c2)2 3(a3b + b3c + c3a): Ph²p chùng minh ho n t§t. D§u ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c trong bë 3 sè sau v c¡c ho¡n và (a; b; c) = k sin2 4 7 ; sin2 2 7 ; sin2 7 .2 Líi gi£i 3. B¬ng c¡ch x²t hi»u hai v¸ cõa b§t ¯ng thùc, ta ÷ñc X a2 2 3 X a2b = X 1 2 a2 3 4 + p 5 4 ! :ab + p 5 2 ca + p 5 4 1 4 ! :b2 + 3 4 p 5 4 ! :bc 1 4 + p 5 4 ! :c2 #2 = X 1 3 :a2 1 2 + p 15 6 ! :ab + p 15 3 :ca + p 15 6 1 6 ! :b2 + 1 2 p 15 6 ! :bc 1 6 + p 15 6 ! :c2 #2 = X 1 4 :a2 3 8 + p 29 8 ! :ab + p 29 4 :ca + p 29 8 1 8 ! :b2 + 3 8 p 29 8 ! :bc 1 8 + p 29 8 ! c2 #2 0: Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh. 213
- 250. D§u ¯ng thùcx£y ra khi a = b = c ho°c trong bë 3 sè sau v c¡c ho¡n và (a; b; c) = k sin2 4 7 ; sin2 2 7 ; sin2 7 .2 10.6 Cho ba sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xy + yz + zx = 3. Chùng minh r¬ng: 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 3 2 Líi gi£i. Theo B§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) = 1 2xyz + 1 2xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 1 2xyz + p p 2 2 xyz(x + y)(y + z)(z + x) : M°t kh¡c, công theo B§t ¯ng thùc AM-GM ta th§y r¬ng: xyz = p xy:yz:zx s xy + yz + zx 3 3 = 1 v xyz(x + y)(y + z)(z + x) = (xz + yz)(yx + zx)(zy + xy) xz + yz + yx + zx + zy + xy 3 3 = 8: Tø â 1 xyz + 4 (x + y)(y + z)(z + x) 1 2xyz + p p 2 2 xyz(x + y)(y + z)(z + x) : 1 2 + p 2 p 8 2 = 3 2 : B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.2 10.7 Cho ba sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n x + y + z 3 2 . T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: P = r x2 + 1 y2 + 4 z2 + r y2 + 1 z2 + 4 x2 + r z2 + 1 x2 + 4 y2 Líi gi£i. Sû döng l¦n l÷ñt b§t ¯ng thùc Mincopski, Cauchy-Schwarz, AM-GM v k¸t hñp vîi gi£ thi¸t, ta câ: 214
- 251. P s (x + y + z)2 + 1 x + 1 y + 1 z 2 + 2 x + 2 y + 2 z 2 s (x + y + z)2 + 81 (x + y + z)2 + 324 (x + y + z)2 = s (x + y + z)2 + 81 16(x + y + z)2 + 6399 16(x + y + z)2 r 2: 9 4 + 6399:4 16:9 = 27 2 : ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 2 . Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa P l 27 2 khi x = y = z = 1 2 .2 10.8 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c Chùng minh r¬ng: ab a + 9b + 6c + bc b + 9c + 6a + ca c + 9a + 6b a + b + c 16 Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ: 16 a + 9b + 6c = (1 + 3)2 (3c + a) + 3(3b + c) 1 3c + a + 3 3b + c : Tø â ta suy ra ab a + 9b + 6c 1 16 ab 3c + a + 3ab 3b + c Chùng minh t÷ìng tü vîi 2 biºu thùc cán l¤i, sau â cëng v¸ vîi v¸, ta câ: ab a + 9b + 6c + bc b + 9c + 6a + ca c + 9a + 6b 1 16 ab 3c + a + 3ab 3b + c + bc 3a + b + 3bc 3c + a + ca 3b + c + 3ca 3a + b = a + b + c 16 : B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.9 Cho a;rb; c d÷ìng v a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng 2a2 + 2 a + 1 + b4 + r 2b2 + 2 b + 1 + c4 + r 2c2 + 2 c + 1 + a4 6 Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc Minkowski, k¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc AM-GM v gi£ thi¸t, ta ÷ñc 215
- 252. r 2a2 + 2 a + 1 + b4 + r 2b2 + 2 b + 1 + c4 + r 2c2 + 2 c + 1 + a4 s 2(a + b + c)2 + 2 1 p a + 1 + 1 p b + 1 + 1 p c + 1 2 + (a + b + c)2 = s 27 + 2 1 p a + 1 + 1 p b + 1 + 1 p c + 1 2 vuut 27 + 2 3 6 p (a + 1)(b + 1)(c + 1) #2 = s 27 + 18 3 p (a + 1)(b + 1)(c + 1) r 27 + 54 a + 1 + b + 1 + c + 1 = 6: Nh÷ vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 10.10 Cho tam gi¡c ABC nhån. Chùng minh r¬ng A B cos 2 + cos B C 2 + cos C A 2 p 2 2 a + b p a2 + b2 + b + c p b2 + c2 + c + a p c2 + a2 Líi gi£i. B¬ng 1 sè ph²p bi¸n êi l÷ñng gi¡c trong tam gi¡c, ta câ: cos A B 2 = cos A B 2 cos A + B 2 sin C 2 = cosA + cosB r 2 1 cosC 2 = b2 + c2 a2 2bc + a2 + c2 b2 2ac vuut 2 1 a2 + b2 c2 2ab 2 = (a + b)(c2 (a b)2) abc r c2 (a b)2 2 ab = q c2 (a b)2 2c (a + b) p ab Ta s³ chùng minh 216
- 253. (a + b) q c2 (a b)2 p 2c ab a + b p 2(a2 + b2) , 2abc2 c2 (a b)2 a2 + b2 , 2ab(a b)2 c2 (a b)2 (a b)2 , a2 + b2 c2: B§t ¯ng thùc cuèi luæn óng do ABC l tam gi¡c nhån. Vªy: cos A B 2 a + b p 2(a2 + b2) Thi¸t lªp 2 biºu thùc t÷ìng tü v cëng v¸ vîi v¸, ta câ: cos A B 2 + cos B C 2 + cos C A 2 p 2 2 a + b p a2 + b2 + b + c p b2 + c2 + c + a p c2 + a2 : â ch½nh l i·u m ta c¦n chùng minh.2 10.11 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a2 b + b2 c + c2 a p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + p c2 + a2 ac Líi gi£i. C¡ch 1: Sû döng B§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: a2 ab + b2 b p a2 ab + b2 + b 2 Tuìng tü ta công câ b2 bc + c2 c p b2 bc + c2 + c 2 c2 ca + a2 a p c2 ca + a2 + a 2 Cëng v¸ vîi v¸ ba b§t ¯ng thùc tr¶n, ta ÷ñc: a2 b + b2 c + c2 a 2 p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + a b c p c2 + a2 ac L¤i câ theo B§t ¯ng thùc Mikowsyki, ta câ: p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + p c2 + a2 ac s a b 2 + b c 2 + c a 2 2 + 3 4 (a + b + c)2 = a + b + c: Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 C¡ch 2: Ta vi¸t b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l¤i nh÷ sau: 2 a2 b + b2 c + c2 a 2 p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + p c2 ca + a2 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ: 217
- 254. a2 b + b2 c + c2 a (a + b + c)2 a + b + c = a + b + c Vªy º chùng minh b i to¡n ta c¦n chùng minh b§t ¯ng thùc m¤nh hìn sau ¥y : a2 b + b2 c + c2 a + a + b + c 2 p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + p c2 ca + a2 hay l : a2 ab + b2 b + + b b2 bc + c2 c + c + c2 ca + a2 a + a 2 p a2 ab + b2 + p b2 bc + c2 + p c2 ca + a2 B§t ¯ng thùc cuèi còng hiºn hi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM n¶n ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.12 Cho ba sè thüc a; b; c 2 (0; 1). Chùng minh r¬ng: (a a2)(b b2)(c c2) (a bc)(b ca)(c ab) Líi gi£i. Ta câ: (a a2)(b b2)(c c2) = abc abc2 + abc:(ab + bc + ca) abc:(a + b + c) v : (a bc)(b ca)(c ab) = abc abc2 + abc:(a2 + b2 + c2) (a2b2 + b2c2 + c2a2) Khi â, b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi: , abc:(a2 + b2 + c2) (a2b2 + b2c2 + c2a2) abc:(a + b + c) abc:(a + b + c) , abc:(a2 + b2 + c2) abc:(ab + bc + ca) (a2b2 + b2c2 + c2a2) abc:(a + b + c) , abc:[(a b)2 + (b c)2 + (c a)2] b2:(c a)2 + c2:(a b)2 + a2:(b c)2 , Sa:(b c)2 + Sb:(c a)2 + Sc:(a b)2 0 (1): Vîi: Sa = a2 abc; Sb = b2 abc; Sc = c2 abc: M : Sa + Sb + Sc = a2 + b2 + c2 3a2b2c2 3:(abc) 2 3 3(abc)2 0:(do: abc 2 (0; 1)). V : Sa:Sb + Sb:Sc + Sc:Sa = P a2b2 + 3a2b2c2 2abc:(ab + bc + ca) 0: (v¼: a2b2 + a2b2c2 2a2b2c; b2c2 + a2b2c2 2b2c2a; c2a2 + a2b2c2 2c2a2b) N¶n theo ành l½ S.O.S ta câ B§t ¯ng thùc (1) óng. Do â ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.13 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa: P = a + b a + b + c + b + c b + c + 4a + c + a c + a + 16b Líi gi£i. °t 218
- 255. 8 : a+ b + c = x b + c + 4a = y c + a + 16b = z ) 8 : a = y x 3 b = z x 15 c = 21x 5y z 15 ) 8 : a + b = 5y + z 6x 15 b + c = 4x y 3 c + a = 16x z 15 Khi â ta câ: P = y 3x + 4x 3y + z 15x + 16x 15z 4 5 Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: y 3x + 4x 3y = 1 3 ( y x + 4x y ) 4 3 v z 15x + 16x 15z = 1 15 ( z x + 16x z ) 8 15 Do â: P 4 3 + 8 15 4 5 = 16 15 : ¯ng thùc x£y ra , 4x = 2y = z , a = 5b 3 = 5c 7 . Vªy gi¡ trà nhä nh§t cõa P l 16 15 .2 10.14 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n abc = 1 Chùng minh r¬ng: a p b2 + 3 + b p c2 + 3 + c p a2 + 3 3 2 Líi gi£i. Líi gi£i 1. Theo b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: ab + bc + ca 3 M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ a p b2 + 3 a p b2 + ab + bc + ca = a p (b + a)(b + c) 2a a + 2b + c Thi¸t lªp 2 biºu thùc t÷ìng tü, rçi cëng v¸ vîi v¸, ta câ: a p b2 + 3 + b p c2 + 3 + c p a2 + 3 2a a + 2b + c + 2b b + 2c + a + 2c c + 2a + b M theo b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: 2a a + 2b + c + 2b b + 2c + a + 2c c + 2a + b 2(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 3 (ab + bc + ca) = 2(a + b + c)2 (a + b + c)2 + (ab + bc + ca) 3 2 : Do â ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 Líi gi£i 2. V¼ a2b2c2 = 1 n¶n ta câ thº thay bë (a; b; c) bði x y ; z x ; y z : Khi â ta ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng çng bªc l 219
- 256. x p 3xy+ yz + y p 3yz + zx + z p 3zx + xy 3 2 Sû döng b§t ¯ng thùcHolder, ta câ P x p 3xy + yz 2 P [ x(3xy + yz)] (x + y + z)3 Vªy, ta c¦n chùng minh ÷ñc (x + y + z)3 27 4 (x2y + y2z + z2x + xyz) Gi£ sû z l sè n¬m giúa 3 sè x; y; z. Khi â ta câ: x(z x)(z y) 0 , xz2 + x2y x2z + xyz Sû döng ¡nh gi¡ tr¶n v k¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc AM-GM, ta ÷ñc: x2y + y2z + z2x + xyz z(x + y)2 AMGM 4 27 z + 2: x + y 2 3 = 4(x + y + z)3 27 : B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 10.15 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: 2(a3 + b3 + c3) abc + 9(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 33 Líi gi£i. Líi gi£i 1. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 2 (a3 + b3 + c3 3abc) abc 9 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 , (a2 + b2 + c2 ab bc ca) a + b + c abc 9 a2 + b2 + c2 0 , (a2 + b2 + c2 ab bc ca) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc 0 ¥y l 1 i·u hiºn nhi¶n óng theo AM-GM, do â ph²p chùng minh cõa ta ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 Líi gi£i 2. °t p = a + b + c; q = ab + bc + ac; r = abc B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: 2 p3 3pq + 3r r + 9 p2 p2 2q 33 , 2 p(p2 3q) r + 9 p2 p2 2q 27 Ta câ r pq 9 n¶n: 2 p(p2 3q) r + 9 p2 p2 2q 18 p2 3q q + 9 1 + 2q p2 2q Ta s³ chùng minh 18 p2 3q q + 9 1 + 2q p2 2q 27 , p2 q + p p2 2q 4 , (p2 3q)2 0 B§t ¯ng thùc cuèi óng, vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. 220
- 257. ¯ng thùc x£yra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.16 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a + b + c 3 p abc + 8abc (a + b)(b + c)(c + a) 4 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau a + b 2 3 p abc + b + c 2 3 p abc + c + a 2 3 p abc + 8abc (a + b)(b + c)(c + a) 4 Hiºn nhi¶n óng theo b§t ¯ng thùc AM-GM. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.17 Cho ba sè thüc d÷ìng x; y; z. Chùng minh r¬ng: x + y + z 3 p xyz + 4xyz x2y + y2z + z2x + xyz 4 Líi gi£i. Gi£ sû z l sè n¬m giúa 3 sè x; y; z. Khi â ta câ: x(z x)(z y) 0 , xz2 + x2y x2z + xyz Sû döng ¡nh gi¡ tr¶n v k¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc AM-GM, ta ÷ñc: x2y + y2z + z2x + xyz z(x + y)2 AMGM 4 27 z + 2: x + y 2 3 = 4(x + y + z)3 27 : Sû döng k¸t qu£ tr¶n, v theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: x + y + z 3 p xyz + 4xyz x2y + y2z + z2x + xyz 3: 3 p x + y + z 3 xyz + 27xyz (x + y + z)3 AMGM 4: B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z.2 10.18 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: a + 1 b + 1 + b + 1 c + 1 + c + 1 a + 1 25 3 3 p 4ab + 4bc + 4ca Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 3 3 p 4(ab + bc + ca) 2+2+(ab+bc+ca) abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 = (a+1)(b+1)(c+1): Vªy, ta c¦n chùng minh ÷ñc a + 1 b + 1 + b + 1 c + 1 + c + 1 a + 1 25 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Hay l (a + 1)2(c + 1) + (b + 1)2(a + 1) + (c + 1)2(b + 1) 25 , ab2 + bc2 + ca2 + (a + b + c)2 + 3(a + b + c) + 3 25 , ab2 + bc2 + ca2 4 B¥y gií ta gi£ sû b l sè n¬m giúa 3 sè a; b; c. Khi â ta câ: 221
- 258. a(b a)(b c) 0 , ab2 + a2c abc + a2b Sû öng ¡nh gi¡ tr¶n, k¸t hñp vîi b§t ¯ng thùc AM-GM, ta ÷ñc: ab2 + bc2 + ca2 a2b + bc2 + abc = b(a2 + ac + c2) b(a + c)2 4 27 b + 2: a + c 2 3 = 4(a + b + c)3 27 = 4: Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi (a; b; c) l mët ho¡n và cõa (0; 1; 2).2 10.19 Cho ba sè thüc a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 2. Chùng minh r¬ng: p 2 ja3 + b3 + c3 abcj 2 Líi gi£i. °t t = ab th¼ ta câ t = ab; jtj a2 + b2 2 a2 + b2 + c2 2 = 1 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: 2 a3 + b3 + c(c2 ab) (a + b)2 + c2 h (a2 ab + b2)2 + (c2 ab)2 i = 2(1 + t) h (c2 ab)2 + (2 c2 ab)2 i = 2(1 + t) 2c4 + 2a2b2 + 4 4c2 4ab = 4(1 + t) t2 2t + 2 + c2(c2 2) 4(t + 1)(t2 2t + 2) Do â ta ch¿ c¦n chùng minh (t + 1)(t2 2t + 2) 2 , t2(t 1) 0 . B§t ¯ng thùc cuèi luæn óng, ph²p chùng minh ho n t§t. p ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 0; c = 2.2 10.20 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a4 + b4 + c4 ab + bc + ca + 3abc a + b + c 2 3 (a2 + b2 + c2) Líi gi£i. Tr÷îc h¸t, ta câ 2 b§t ¯ng thùc phö sau: Ta câ: a3 + b3 + c3 a + b + c + 1 3 (ab + bc + ca) 2 3 (a2 + b2 + c2) , 3(a3 + b3 + c3) + (a + b + c)(ab + bc + ca) 2(a + b + c)(a2 + b2 + c2) , a3 + b3 + c3 + 3abc ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Luæn óng theo Schur bªc 3. 222
- 259. Ta công câ: a4 + b4 + c4 ab + bc + ca + 2 3 (ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 , 3(a4 + b4 + c4) + 2(ab + bc + ca)2 3(a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca) , a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) B§t ¯ng thùc cuèi óng do sû döng Schur bªc 4 v v¼ a4 +b4 +2a2b2 = (a2 +b2)2 2ab(a2 +b2): Trð l¤i b i to¡n, b§t ¯ng thùc cõa b i to¡n m ta c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi a4 + b4 + c4 ab + bc + ca + a3 + b3 + c3 a + b + c a3 + b3 + c3 3abc a + b + c + 2 3 (a2 + b2 + c2) , a4 + b4 + c4 ab + bc + ca + a3 + b3 + c3 a + b + c + ab + bc + ca 5 3 (a2 + b2 + c2) Thªt vªt b§t ¯ng thùc n y óng sau khi cëng v¸ theo v¸ cõa 2 b§t ¯ng thùc phö m ta ¢ chùng minh ð tr¶n. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.21 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c; d; e. Chùng minh r¬ng: a6b + b6c + c6d + d6e + e6a abcde(a2 + b2 + c2 + d2 + e2) Líi gi£i. N¸u abcde = 0 th¼ b§t ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng. Vîi abcde6= 0 ta câ b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng vîi a5 cde + b5 dea + c5 eab + d5 abc + e5 bcd a2 + b2 + c2 + d2 + e2 Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ a5 cde + a5 cde r + c2 + d2 + e2 5 5 a5 cde : a5 cde :c2:d2:e2 = 5a2 Thüc hi»n t÷ìng tü cho c¡c h¤ng tû cán l¤i, sau â cëng v¸ theo v¸ ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = d. 2 10.22 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a a2 + bc + b b2 + ac + c c2 + ab 3(a + b + c) 2(ab + bc + ca) Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: a2(b + c) a2 + bc + b2(c + a) b2 + ca + c2(a + b) c2 + ab + abc P 1 a2 + bc 3(a + b + c) 2 Ta nhªn th§y r¬ng b§t ¯ng thùc n y ÷ñc suy trüc ti¸p tø 2 k¸t qu£ sau: 1) a2(b + c) a2 + bc + b2(c + a) b2 + ca + c2(a + b) c2 + ab a + b + c 2) 2 a2 + bc + 2 b2 + ca + 2 c2 + ab 1 ab + 1 bc + 1 ca Chùng minh 1): °t (x; y; z) (a1; b1; c1) , ta chuyºn b§t ¯ng thùc th nh: x + y z2 + xy + y + z x2 + yz + z + x y2 + zx 1 x + 1 y + 1 z Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû x y z, khi â ta câ: 223
- 260. V P V T = 1 z x + y z2 + xy + 1 x z + x y2 + zx + 1 y y + z x2 + yz = (z x)(z y) z3 + xyz + (y2 x2)(y x)(zx + yz xy) xy(x2 + yz)(y2 + zx) 0: Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc 1) ÷ñc chùng minh. Chùng minh 2): p döng b§t ¯ng thùc AM-GM: 4 a2 + bc 2 a p bc 1 ab + 1 ac Cëng v¸ theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc t÷ìng tü ta câ b§t ¯ng thùc 2) ÷ñc chùng minh. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.23 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a + b + c = 3. Chùng minh r¬ng: 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 a2 + b2 + c2 Líi gi£i. C¡ch 1. Sû döng h¬ng ¯ng thùc quen thuëc (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Ta ÷a b§t ¯ng thùc v· d¤ng 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)2 Theo b§t ¯ng thùc AM-GM v gi£ thi¸t ta câ 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 + 2(ab + bc + ca) 1 ab + 1 bc + 1 ca + 2 p 3abc(a + b + c) = 3 1 abc + p abc + p abc 9 = (a + b + c)2: Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 C¡ch 2. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 1 ab + 1 bc + 1 ca = a + b + c abc = 3 abc V¼ th¸ ta c¦n ph£i chùng minh 3 abc a2 + b2 + c2 Hay abc(a2 + b2 + c2) 3 ¸n ¥y ta câ hai h÷îng t§n cæng. H÷îng 1. Dçn bi¸n Gi£ sû c = minfa; b; cg th¼ 3 = a + b + c 3c, tùc c 1 d¨n ¸n a + b 2 1 °t f(a; b; c) = abc(a2 + b2 + c2) Ta câ 224
- 261. f (a; b;c) f a + b 2 ; a + b 2 ; c = c ab(a2 + b2) (a + b)4 8 + abc2 (bc + ca)2 4 M theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ (a + b)4 = (a2 + b2 + 2ab)2 8ab(a2 + b2) (bc + ca)2 4bc:ca = 4abc2 n¶n ta câ f (a; b; c) f a + b 2 ; a + b 2 ; c cuèi còng ta ch¿ cán chùng minh f a + b 2 ; a + b 2 ; c 3 °t x = a + b 2 1; tø gi£i thi¸t ta rót ra ÷ñc c = 3 2x. X²t f a + b 2 ; a + b 2 ; c 3 = (4x5 14x4 + 8x3 9x2 1) = (x 1)2[2x(x 1)(2x 1) + 1] 0 Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh.2 H÷îng 2. Dòng b§t ¯ng thùc cê iºn Ta vi¸t b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh l¤i nh÷ sau 27 3:abc(a + b + c)(a2 + b2 + c2) Sû döng b§t ¯ng thùc quen thuëc (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Ta ÷a b§t ¯ng thùc v· chùng minh 27 (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca)2 Thªt vªy, theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca)2 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca + ab + bc + ca 3 3 = 27 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 C¡ch 3. °t x = ab + bc + ca: Khi â sû döng c¡c b§t ¯ng thùc quen thuëc (a + b + c)2 3(ab + bc + ca); (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Ta câ 0 x 3 v abc x2 9 V¼ th¸ 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = 1 a + 1 b + 1 c 2 2 1 ab + 1 bc + 1 ca = x2 a2b2c2 6 abc Ta s³ chùng minh x2 6abc (9 2x)a2b2c2 Thªt vªy V T V P x2 2x2 3 x2(9 2x) 81 = x2(x 3)2(2x + 3) 81 0 B i to¡n ÷ñc chùng minh ho n to n. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 10.24 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: a + b + c a2b2 + b2c2 + c2a2 Líi gi£i. 225
- 262. C¡ch 1. °tx = a2; y = b2; z = c2 th¼ x + y + z = 3 v b§t ¯ng thùc trð th nh p x + p y + p z xy + yz + zx T÷ìng ÷ìng vîi 2 p x + p y + p z + x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 Theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ p x + p x + x2 3x V¼ th¸ m V T 3(x + y + z) = (x + y + z)2 B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 C¡ch 2. Sû döng b§t ¯ng thùc Holder, ta câ p x + p y + p z 2 (x2 + y2 + z2) (x + y + z)3 = 27 Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh ÷ñc (x2 + y2 + z2):(xy + yz + zx)2 27 Thªt vªy, theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼ (x2 + y2 + z2)(xy + yz + zx)2 x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + xy + yz + zx 3 3 = 27 Chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 10.25 Cho ba sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬ng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 2(ab + bc + ca) Líi gi£i. Trong 3 sè a; b; c th¼ luæn tçn t¤i 2 sè n¬m còng ph½a so vîi 1. Gi£ sû 2 sè â l a v b. Khi â ta câ: c(a 1)(b 1) 0 M°t kh¡c, ta th§y r¬ng: a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 2ab 2bc 2ca = (a b)2 + (c 1)2 + 2c(a 1)(b 1) 0: â ch½nh l i·u ta c¦n chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 10.26 Cho ba sè thüc a; b; c. Chùng minh r¬ng: (2 + a2)(2 + b2)(2 + c2) 9(ab + bc + ca) Líi gi£i. Ta câ: (2 + a2)(2 + b2)(2 + c2) = 4 (a2 + b2 + c2) + 2 (a2b2 + b2c2 + c2a2) + 8 + a2b2c2 º þ r¬ng ta câ c¡c b§t ¯ng thùc sau: a2 + b2 + c2 + a2b2c2 + 2 a2 + b2 + c2 + 3 3 p a2b2c2 a2 + b2 + c2 + 9abc a + b + c Schur 2 (ab + bc + ca) : 226
- 263. v : 3 (a2+ b2 + c2) 3 (ab + bc + ca). 2 (a2b2 + b2c2 + c2a2 + 3) 2 (2ab + 2bc + 2ca). Cëng v¸ theo v¸ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n ta thu ngay i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.27 Cho ba sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n x + y + z = 1. Chùng minh r¬ng: x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 9 10 Líi gi£i. C¡ch 1: Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: x2 + 1 = x2 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 r x2 10 10 r 99 = 10 5 x 39 Thi¸t lªp 2 biºu thùc t÷ìng tü, sau â cëng v¸ theo v¸, ta ÷ñc: x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 3 10 5 p (3x)4 + 5 p (3y)4 + 5 p (3z)4 . M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM, ta nhªn th§y r¬ng: 3x + 3x + 3x + 3x + 1 5 5 p (3x)4. T÷ìng tü vîi y; z, v chó þ x + y + z = 1, ta suy ra: 5 p (3x)4 + 5 p (3y)4 + 5 p (3z)4 3 Tø â: x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 9 10 B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 3 .2 C¡ch 2: Ta câ: x 1 + x2 72x 100 + 3 50 Thªt vªy, b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi 1 b§t ¯ng thùc luæn óng (vîi måi x d÷ìng) sau: (4x + 3)(3x 1)2 0 T÷ìng tü vîi y; z, sau â cëng v¸ vîi v¸, ta câ: x 1 + x2 + y 1 + y2 + z 1 + z2 72 100 (x + y + z) + 9 50 = 9 10 : Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1 3 . 2 10.28 Cho ba sè thüc khæng ¥m a; b; c thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 1. Chùng minh r¬ng: a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab p 2 Líi gi£i. Ta s³ chùng minh r¬ng: (a + b + c)2 2(1 + bc)2 227
- 264. Thªt vªy, k¸thñp vîi gi£ thi¸t a2 + b2 + c2 = 1 th¼ b§t ¯ng thùc tr¶n s³ t÷ìng ÷ìng vîi: 2(ab + bc + ca) 1 + 4bc + 2b2c2 , 2a(b + c) a2 + (b + c)2 + 2b2c2 , (b + c a)2 + 2b2c2 0 B§t ¯ng thùc cuèi luæn óng. Tø â ta suy ra: a 1 + bc p 2 a a + b + c T÷ìng tü 2 biºu thùc cán l¤i v cëng v¸ theo v¸ ta ÷ñc: a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab p 2 a a + b + c + p 2 b a + b + c + c p 2 a + b + c = p 2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 1 p 2 ; c = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. 2 10.29 Cho a; b; c l ë d i 3 c¤nh cõa 1 tam gi¡c. Chùng minh r¬ng:r abc a + b c + r abc b + c a + r abc c + a b ab + bc + ca Líi gi£i. Líi gi£i 1. °t x = b + c a; y = c + r a b; z = a + b c, b§t ¯ng thùc khi â t÷ìng ÷ìng vîi (x + y)(y + z)(z + x) 8 1 p x + 1 p y + 1 p z x + y + z: B¼nh ph÷ìng hai v¸ v quy çng, ta ÷ñc p (x + y)(y + z)(z + x) xy + p yz + p zx 2 8xyz(x + y + z)2: °t ti¸p m = p x; n = p y; p = p z, b§t ¯ng thùc trð th nh (m2 + n2)(n2 + p2)(p2 + m2) 8m2n2p2 m2 + n2 + p2 mn + np + pm 2 : º þ rng ta câ nhªn x²t sau: Vîi x y 0 v z 0 th¼ ta câ x y x + z y + z Tø nhªn x²t suy ra m2 + n2 2mn m2 + n2 + p2 2mn + p2 m2 + p2 2mp m2 + n2 + p2 2mp + n2 p2 + n2 2pn m2 + n2 + p2 2pn + m2 Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh (m2 + n2 + p2)(mn + mp + np)2 (m2 + 2np)(n2 + 2mp)(p2 + 2mn) , (m n)2(m p)2(n p)2 0 B§t ¯ng thùc cuèi luæn óng, vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 Líi gi£i 2. Theo B§t ¯ng thùc Schur bªc 4, ta câ abc(a + b + c) P (a + b c)c3 M°t kh¡c, theo B§t ¯ng thùc Holder ta câ: 228
- 265. P (a +b c)c3 = P c3 r 1 a + b c 2 P (a + b + c)3 P 1 p a + b c 2 K¸t hñp 2 i·u tr¶n, ta suy ra abc(a + b + c) X (a + b + c)3 P 1 p a + b c 2 , r abc a + b c + r abc b + c a + r abc c + a b a + b + c â ch½nh l i·u c¦n chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 10.30 Cho k 1. Chùng minh r¬ng: kk (k + 1)k1 Líi gi£i. V¼ k = 1 th¼ b§t ¯ng thùc trð th nh ¯ng thùc n¶n ta ch¿ c¦n x²t k 1 L§y Logarit Nepe hai v¸, ta ÷ñc k ln k (k 1) ln(k + 1): Hay vi¸t l¤i d÷îi d¤ng ln k k 1 ln(k + 1) k : ¸n ¥y câ thº th§y ngay l ta c¦n chùng minh h m sau nghàch bi¸n f(x) = ln x x 1 vîi x 1: L§y ¤o h m f(x) ta câ f0(x) = 1 1 x ln x (x 1)2 = g(x) (x 1)2 : L§y ¤o h m g(x), ta câ g0(x) = 1 x2 1 x 0: Suy ra g(x) lim x!1+ g(x) = 0: Suy ra f0(x) 0: Tø â ta câ ngay h m f(x) nghàch bi¸n tr¶n (1;+1): Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh. 2. 10.31 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n abc = 1. Chùng minh r¬ng: 1 a(a + b) + 1 b(b + c) + 1 c(c + a) 3 2 Líi gi£i. Vi¸t b§t ¯ng thùc l¤i th nh bc a + b + ca b + c + ab c + a 3 2 : 229
- 266. Dòng b§t ¯ngthùc ho¡n và, ta câ (ho°c công câ thº chùng minh b¬ng ph¥n t½ch d¤ng M(a b)2 + N(a c)(b c) 0) bc a + b + ca b + c + ab c + a ab a + b + bc b + c + ca c + a : Nh÷ vªy (b÷îc cuèi dòng AM-GM) bc a + b + ca b + c + ab c + a 1 2 bc a + b + ca b + c + ab c + a + 1 2 ab a + b + bc b + c + ca c + a = 1 2 b(c + a) a + b + c(a + b) b + c + a(b + c) c + a 3 2 r 3 b(c + a) a + b c(a + b) b + c a(b + c) c + a = 3 2 : Ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 10.32 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n 1 a + b + 1 + 1 b + c + 1 + 1 c + a + 1 1 . Chùng minh r¬ng: a + b + c ab + bc + ca Líi gi£i. C¡ch 1: Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: (a + b + 1)(a + b + c2) (a + b + c)2 Suy ra: 1 X 1 a + b + 1 X a + b + c2 (a + b + c)2 , (a + b + c)2 2(a + b + c) + a2 + b2 + c2 , ab + bc + ca a + b + c hay ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1.2 C¡ch 2: Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ: 2 X (1 1 a + b + 1 ) = X a + b a + b + 1 (a + b + b + c + c + a)2 (a + b)(a + b + 1) + (b + c)(b + c + 1) + (c + a)(c + a + 1) , a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca + a + b + c (a + b + c)2 , ab + bc + ca a + b + c hay ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 C¡ch 3: Gi£ sû tçn t¤i c¡c sè d÷ìng a,b,c sao cho: 230
- 267. P 1 a+ b + 1 1 v a + b + c ab + bc + ca. Khi â ta câ: 1 a + b + 1 ab + bc + ca a + b + c a + b + c + ab + bc + ca a + b + c = ab + bc + ca (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca Suy ra: X ab + bc + ca (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca 1 , 1 X 1 2(ab + bc + ca) (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca , 1 X a2 + ab + b2 (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca 3 4 X (a + b)2 (a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca 3(a + b + c)2 P [(a + b)(a + b + c) + ab + bc + ca] = 3(a + b + c)2 2(a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) 1 i·u cuèi còng l væ l½, do â b i to¡n cõa ta óng. Ph²p chùng minh ho n t§t. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1. 2 10.33 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: a + b + c 3 (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 12(a + b + c) + 3 p abc Líi gi£i. C¡ch 1: Ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi 2(a + b + c)2 6(a + b + c) a2 + b2 + c2 ab bc ca 6(a + b + c) 3 p abc Hay: (a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) 6 3 p abc(a + b + c) Chu©n hâa cho a + b + c = 3; b§t ¯ng thùc trð th nh 3 + ab + bc + ca 6 3 p abc Sû ¡nh gi¡ ab + bc + ca p 3abc(a + b + c) = 3 p abc ta ÷a b i to¡n v· chùng minh 1 + p abc 2 3 p abc °t t = 6 p abc 1; ta câ b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi t3 + 1 2t2 hay l (1 t)(1 + x x2) 0 B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. 2 C¡ch 2: 231
- 268. Nh¥n 12(a +b + c) cho hai v¸, ta s³ ÷ñc b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng l a2 + b2 + c2 + 5(ab + bc + ca) 6 3 p abc(a + b + c): Hay vi¸t l¤i l (a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) 6 3 p abc(a + b + c): p döng AM-GM hai l¦n ta s³ câ ngay i·u ph£i chùng minh p 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2 + 3ab + bc + ca) 2(a + b + c) 6 3 p abc(a + b + c): ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2 10.34 Cho c¡c sè thüc d÷ìng x; y; z thäa m¢n xy + yz + zx = 3. Chùng minh r¬ng: x + 2y 2x + 4y + 3z2 + y + 2z 2y + 4z + 3x2 + z + 2x 2z + 4x + 3y2 1 Líi gi£i. V¼ x + 2y 2x + 4y + 3z2 = 1 3 z2 3(2x + 4y + 3z2) N¶n b§t ¯ng thùc tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi x2 2y + 4z + 3x2 + y2 2z + 4x + 3y2 + z2 2x + 4y + 3z2 1 3 Sû döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ P z2 2x + 4y + 3z2 p x3 + p y3 + p z3 2 3(x3 + y3 + z3) + 6(xy + yz + zx) Vªy, ta c¦n ch¿ ra r¬ng p x3 + p y3 + p z3 2 3(x3 + y3 + z3) + 6(xy + yz + zx) 1 3 hay l q (xy)3 + q (yz)3 + q (zx)3 xy + yz + zx Thªtqvªy, sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ: (xy)3 + q (yz)3 + q (zx)3 = q (xy)3 + p xy + q (yz)3 + p yz + q (zx)3 + p zx p xy + p yz + p zx 2 (xy + yz + zx) p xy + p yz + p zx (xy + yz + zx) + (xy + yz + zx) p 3 (xy + yz + zx) = (xy + yz + zx) + 3 3 = (xy + yz + zx) B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1. 2 10.35 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a; b; c. Chùng minh r¬nrg: a2 4a2 + ab + 4b2 + r b2 4b2 + bc + 4c2 + r c2 4c2 + ca + 4a2 1 Líi gi£i. C¡ch 1: 232
- 269. Sû döng b§t¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ : P r a2 4a2 + ab + 4b2 P [ (4a2 + ac + 4c2)] P a2 (4a2 + ab + 4b2)(4a2 + ac + c2) Do â ta i chùng minh: P [ (4a2 + ac + 4c2)] P a2 (4a2 + ab + 4b2)(4a2 + ac + c2) 1 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi: (8 P a2 + P ab) [8 P a2b2 + abc(a + b + c)] Q (4a2 + ab + 4b2) Hay: 66a2b2c2 8abc(a3 + b3 + c3) + 8(a3b3 + b3c3 + c3a3) + 3abc [a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b)] i·u n y óng theo AM-GM. Vªy b i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1. 2 C¡ch 2: º þ r¬ng: (x + 1)2(4x2 + x + 4) 4(x2 + x + 1)2 = x(x 1)2 0 N¶n ta câ: 1 p 4x2 + x + 4 1 2 x + 1 x2 + x + 1 : Thi¸t lªp 2 biºu thùc t÷ìng tü, rçi cëng v¸ theo v¸, ta ÷ñc: 1 p 4x2 + x + 4 + 1 p 4y2 + y + 4 + 1 p 4z2 + z + 4 1 2 x + 1 x2 + x + 1 + y + 1 y2 + y + 1 + z + 1 z2 + z + 1 Nh÷ vªy ta c¦n chùng minh x + 1 x2 + x + 1 + y + 1 y2 + y + 1 + z + 1 z2 + z + 1 2 T÷ìng ÷ìng vîi x2 x2 + x + 1 + y2 y2 + y + 1 + z2 z2 + z + 1 1: B§t ¯ng thùc n y luæn óng theo Vasile Cirtoaje. B i to¡n ÷ñc chùng minh xong. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1. 2 10.36 Cho a; b; c l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n a2 + b2 + c2 = 3. Chùng minh r¬ng: (a b)(b c)(c a) + 2 2 3 (ab + bc + ca): Líi gi£i. Ta s³ chùng minh b§t ¯ng thùc m¤nh hìn l nh÷ sau 2 2 3 (ab + bc + ca) j(a b)(b c)(c a)j : ¸n ¥y, ta câ thº gi£ sû a b c 0: º þ r¬ng 2 2 3 (ab + bc + ca) = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 3 : N¶n ta c¦n chùng minh (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 3 j(a b)(b c)(c a)j : p döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ 233
- 270. (a b)2+ (b c)2 + (c a)2 3 q (a b)2(b c)2(c a)2: 3 Nh÷ vªy ta c¦n ch¿ ra r¬ng q 3 (a b)2(b c)2(c a)2: j(a b)(b c)(c a)j : Hay tùc l (sau khi ¢ x²t tr÷íng hñp hai bi¸n b¬ng nhau) 1 j(a b)(b c)(c a)j B§t ¯ng thùc n y óng v¼ theo AM-GM v i·u gi£ sû ta câ j(a b)(b c)(c a)j = (a b)(a c)(b c) ab(a b) = q ab ab (a b)2 vuut ab + ab + (a b)2 3 !3 = s a2 + b2 3 3 1: Nh÷ vªy, ta câ i·u ph£i chùng minh. 2 10.37 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: (a3 + b3 + c3)2 (a4 + b4 + c4)(ab + bc + ca) Líi gi£i. Ta câ ¯ng thùc (a3 + b3 + c3)2 (a4 + b4 + c4)(ab + bc + ca) = 1 2 P [(a2 b2)2 + c4](a b)2 0 Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c. 2 10.38 Cho a; b; c; d l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: s 4: 16 r 32a(a + b)(a + b + c) 3(a + b + c + d)3 + 4 24bcd (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d) 5 Líi gi£i. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: s 16: 16 32a(a + b)(a + b + c) 3(a + b + c + d)3 s = 16: 16 2a a + b : 3(a + b) 2(a + b + c) : 3(a + b) 2(a + b + c) : 4(a + b + c) 3(a + b + c + d) : 4(a + b + c) 3(a + b + c + d) : 4(a + b + c) 3(a + b + c + d) 2a a + b + 2: 3(a + b) 2(a + b + c) + 3: 4(a + b + c) 3(a + b + c + d) + 10 = 2a a + b + 3(a + b) a + b + c + 4(a + b + c) a + b + c + d + 10: (1) M°t kh¡c, công theo b§t ¯ng thùc AM-GM th¼: 234
- 271. s 4: 4 24bcd (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d) r = 4: 4 2b a + b : 3c a + b + c ; 4d a + b + c + d 2b a + b + 3c a + b + c + 4d a + b + c + d + 1: (2) Cëng v¸ theo v¸ (1) v (2) suy ra i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = d. 2 10.39 Cho x; y; z; t l c¡c sè thüc khæng ¥m. Chùng minh r¬ng: 3(x2 + y2 + z2 + t2) + 4 p xyzt (x + y + z + t)2 Líi gi£i. Ta chùng minh b§t ¯ng thùc t÷ìng ÷ìng (Tukervici): x4 + y4 + z4 + t4 + 2xyzt x2y2 + y2z2 + z2x2 + t2x2 + t2y2 + z2t2 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû t = min fx; y; z; tg N¸u t = 0 th¼ ta câ: x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 , (x2 y2)2 + (y2 z2)2 + (z2 x2)2 0 N¸u t 0 ,chu©n ho¡ t = 1. Ta c¦n chùng minh: x4 + y4 + z4 + 2xyz + 1 x2y2 + y2z2 + z2x2 + x2 + y2 + z2 M°t kh¡c, ta câ b§t ¯ng thùc vîi 3 bi¸n d÷ìng: x2 + y2 + z2 + 2xyz + 1 2(xy + yz + zx) n¶n ta c¦n ch¿ ra r¬ng x4 + y4 + z4 x2y2 y2z2 z2x2 2(x2 + y2 + z2 xy yz zx) , (x y)2[(x + y)2 2] + (y z)2[(y + z)2 2] + (z x)2[(z + x)2 2] 0 Nh÷ vªy, ph²p chùng minh ho n t§t. Câ 2 tr÷íng hñp cõa ¯ng thùc :x = y = z = t ho°c x = y = z; t = 0.2 10.40 Cho a; b; c l c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng: (a + b + c) 1 a + 1 b + 1 c 9 + 8: (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (a + b + c)2 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi: (b c)2 bc + (c a)2 ca + (a b)2 ab 8: (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 (a + b + c)2 , X (b c)2 a(a + b + c)2 8abc 0 Khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû a b c Ta câ: Sb + Sa = (a + b)(a + b + c)2 16abc 4c(a + b)2 16abc 0 Sb + Sc = (b + c)(a + b + c)2 16abc 4a(b + c)2 16abc 0 2Sb Sb + Sc 0 ) Sb 0 N¶n theo ành l½ S.O.S ta câ i·u ph£i chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c.2 235