transformadas de fourier

1. Transformada de Fourier
27 de octubre de 2021
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(x)eiwx
dx
1. Ejercicio 1.
f(x) =
(
1 si −a < x < a
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z a
−a
eiwx
dx =
1
√
2π
"
eiwx
iw
#a
−a
=
1
√
2π
(
eiwa
− e−iwa
iw
)
=
1
w
√
2π
2
(
eiwa
− e−iwa
2i
)
=
2
w
√
2π
sin(wa) =
s
2
π
sin(wa)
w
(1)
2. Ejercicio 2.
f(x) =
(
1 si −a < x < b
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
e−iwx
dx =
1
√
2π
Z b
a
e−iwx
dx =
1
√
2π
"
e−iwx
−iw
#b
a
=
"
i
w
√
2π
e−iwx
#b
a
=
i
w
√
2π
e−ibw
− e−iaw
. (2)
1

2. 3. Ejercicio 3.
f(x) =
(
1 − |x|
a
si −a x a
0 en otro caso.
f(x) =





x
a
+ 1 si −a x 0
1 − x
a
si 0 x a
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z 0
−∞
x
a
+ 1
e−iwx
dx +
Z ∞
0
1 −
x
a
e−iwx
dx
=
1
√
2π
Z 0
−a
x
a
+ 1
e−iwx
dx
Z a
0
1 −
x
a
e−iwx
dx
=
1
√
2π
(Z 0
−a
xe−iwx
a
+ e−iwx
!
dx +
Z a
0
e−iwx
−
xe−iwx
a
!
dx
)
=
1
√
2π
(
i
w
−
eiaw
aw2
+
1
aw2
#
+
−
i
w2
−
e−iwa
aw2
+
1
aw2
#)
=
1
√
2πaw2
{2 − 2 cos(aw)} =
4
aw2
√
2π
1
2
−
1
2
cos(aw)
=
2
aw2
s
2
π
sin2
aw
2
. (3)
4. ejercicio 4.
f(x) =
(
x si −a 0 a
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
xe−iwx
dx =
1
√
2π
Z a
−a
xe−iwx
dx =
1
√
2π
(
−xe−iwx
iw
#a
−a
+
Z a
−a
e−iwx
iw
dx
)
=
1
√
2π
(
−ae−iax
− aeiwa
iw
+
Z a
−a
e−iwx
iw
dx
)
=
1
√
2π
(
−a
iw
eiwa
+ e−iwa
+
e−iwx
w2
#a
−a
)
=
1
√
2π
(
−a
iw
eiwa
+ e−iwa
+
e−iwa
w2
−
e−iwa
w2
)
=
1
√
2π
(
2ai cos(wa)
w
−
2i sin(wa)
w2
)
=
s
2
π
i
aw cos(wa) − sin(wa)
w2
. (4)
2

3. 5. Ejercicio 5.
f(x) =
(
sin(x) si −π x π
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
sin(x)e−iwx
dx =
1
√
2π
Z π
−π
sin(x)e−iwx
dx
=
1
√
2π
Z π
−π
(sin(x) cos(wx) − i sin(x) sin(wx)) dx =
1
√
2π
Z π
−π
sin(x) cos(wx)dx
=
−i
√
2π
w cos(x) sin(wx) + w sin(x) cos(wx)
w2 − 1
#π
−π
=
−i
√
2π
(
−2 sin(πw)
w2 − 1
)
= i
s
2
π
sin(πw)
w2 − 1
. (5)
6. Ejercicio 10.
f(x) =
sin(ax)
x
con a 0,
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
sin(ax)e−iwx
x
dx =
1
√
2π
Z ∞
−∞
sin(ax) cos(wx) − i sin(wx) sin(ax)
x
dx
=
1
√
2π
Z ∞
−∞
sin(ax) cos(wx)
x
dx =
2
√
2π
Z ∞
0
sin(ax) cos(wx)
x
dx
=
2
√
2π
Z ∞
0
sin(x(a + w)) + sin(x(a − w))
x
dx =
2
√
2π
(
L
(
sin(x(a + w))
x
)
+ L
(
sin(x(a + w))
x
))
=
2
√
2π
(Z ∞
0
a + w
x2 + (w + a)2
dx +
Z ∞
0
a − w
x2 + (w − a)2
dx
)
=
1
√
2π
−
tan−1
x
w + a
+
x
w − a
∞
0









si |w| a ˆ
f(w) = 1
√
2π
π
2
− 0 − π
2
− 0
= 0
si |w| = a ˆ
f(w) = 1
√
2π
h
π
2
− 0 + lı́m|w|→0 tan−1
( x
w+a
)
i∞
0
= 1
√
2π
π
2
+
π
2
− π
2
= 1
2
q
π
2
si −a w a ˆ
f(w) = 1
√
2π
π
2
− 0 + π
2
− 0
= π
√
2π
=
q
π
2
(6)
3

4. 7. Ejercicio 13.
f(x) = e−a|x|
con a 0,
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
e−a|x|
e−iwx
dx =
1
√
2π
Z 0
−∞
eax
e−iwx
dx +
Z ∞
0
e−ax
e−iwx
dx
=
1
√
2π



ex(a−iw)
(a − iw)
#0
−∞
−
e−x(a+iw)
(a + iw)
#∞
0



=
1
√
2π
(
1
(a − iw)
+
1
(a + iw)
)
=
1
√
2π
a + iw + a − iw
a2 + w2
=
s
2
π
a
a2 + w2
. (7)
8. Ejercicio 14.
f(x) =
(
e−ax
si x 0 siendo a 0
0 si x 0
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
0
e−x(a+iw)
dx =
1
√
2π
−e−x(a+iw)
a + iw
#∞
0
=
1
√
2π
1
a + iw
. (8)
9. Ejercicio 15.
f(x) =
(
0 si x 0
eax
x 0 siendo a 0
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z 0
−∞
ex(a−iw)
dx =
1
√
2π
ex(a−iw)
a − iw
#0
−∞
=
1
√
2π
1
a − iw
. (9)
4

5. 10. Ejercicio 6.
f(x) =
(
sin(ax) si −b x b
0 en otro caso.
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
sin(ax)e−iwx
dx =
1
√
2π
Z b
−b
sin(ax) (cos(wx) − i sin(wx)) dx
=
−i
√
2π
Z b
−b
sin(ax) sin(wx)dx =
−i
2
√
2π
Z b
−b
(cos(x(a − w)) − cos(x(a + w)) dx
=
−i
2
√
2π
sin(x(a − w))
a − w
−
sin(x(a + w))
a + w
#b
−b
=
−i
2
√
2π
sin(b(a − w))
a − w
−
sin(b(a + w))
a + w
−
sin(−b(a − w))
a − w
−
− sin(−b(a + w))
a + w
!#
=
−2i
2
√
2π
sin(b(a − w))
a − w
−
sin(b(a + w))
a + w
#
=
2i
2
√
2π
(a + w) sin(b(a − w)) − (a − w) sin(b(a + w))
a2 − w2
#
=
i
2
s
2
π
a[sin(b(a − w)) − sin(b(a + w))] + w[sin(b(a − w)) + sin(b(a + w))]
a2 − w2
#
= i
s
2
π
w cos(ab) sin(wb) − a cos(ab) sin(wb)
a2 − w2
(10)
11. Ejercicio 23.
J0(w) =
1
√
2π
Z π
−π
eix sin ϕ
dϕ =
1
π
Z π
0
cos(x sin ϕ)dϕ +
i
2π
Z π
−π
sin(x sin ϕ)dϕ
Haciendo ϕ = arcsin(w) y dϕ = 1
√
1−w2 dw
=
1
π
Z 1
0
1
√
1 − w2
cos(wx)dw =
1
2π
Z 1
−1
cos(wx)
√
1 − w2
dw +
Z 1
−1
i
sin(wx)
√
1 − w2
dw
#
=
1
2π
Z 1
−1
1
√
1 − w2
eiwx
dw =
1
√
2π
Z 1
−1
1
2π
1
√
1 − w2
eiwx
dw
( 1
2π
1
√
1−w2 si |w| 1
0 si |w| ≥ 1
(11)
5

6. 12. Ejercicio 8.
f(x) = e−a|x|
con a 0,
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
e−a|x|
cos(wx)dx =
s
2
π
Z ∞
0
eax
cos(wx)dx
=
s
2
π
e−ax
w
sin(wx) −
ae−ax
w2
cos(wx)
#∞
−∞
−
a2
w2
Z ∞
0
e−ax
cos(wx)dx
=
s
2
π
a
w2
w2
a2 + w2
!
=
s
2
π
a
a2 + w2
(12)
13. Ejercicio 17.
f(x) = e−x2
2
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z 1
−1
e−x2
2 e−iwx
dx =
1
√
2π
Z 1
−1
e−x2
2 [cos(wx) − i sin(wx)]dx =
1
√
2π
Z 1
−1
e−x2
2 cos(wx)dx
=
1
√
2π
√
2π
1
√
2
e
−x2
2 =
1
√
2
e
−x2
2 (13)
14. Ejercicio 28.
f(x) = eiax
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
eiax
e−iwx
dx =
1
√
2π
Z ∞
−∞
e(a−w)ix
dx =
1
√
2π
[2πδ(a − w)]
=
√
2πδ(a − w) =
√
2πδ(w − a) (14)
6

7. 15. Ejercicio 29.
f(x) = F(af(x) + bg(x)) = aF(f(x)) + bF(g(x))
ˆ
f(w) = F̂(af + bg)(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
[af(x) + bg(x)]e−iwx
dx
=
1
√
2π
Z ∞
−∞
af(x)e−iwx
dx +
Z ∞
−∞
bg(x)e−iwx
dx
=
a
√
2π
Z ∞
−∞
[f(x)e−iwx
]dx +
b
√
2π
Z ∞
−∞
[g(x)e−iwx
]dx
= aF(f) + bF(g) (15)
16. Ejercicio 30.
f(x) = f′
(x)
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f′
(x)e−iwx
dx
haciendo u = e−iwx
y dv = f′
(x)dx,
=
1
√
2π
h
f(x)e−iwx
i∞
−∞
−
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(x)(−iw)e−iwx
dx =
iw
√
2π
Z ∞
−∞
f(x)e−iwx
dx
= iwF(f)(w) (16)
17. Ejercicio 31.
f(x) = f′′
(x)
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f′′
(x)e−iwx
dx
7

8. haciendo u = e−iwx
y dv = f′′
(x)dx,
=
1
√
2π
h
f′
(x)e−iwx
i∞
−∞
−
1
√
2π
Z ∞
−∞
f′
(x)(−iw)e−iwx
dx =
iw
√
2π
Z ∞
−∞
f′
(x)e−iwx
dx
= F − w2
F(f)(w) (17)
18. Ejercicio 32.
f(x) = f(n)
(x)
ˆ
f(x) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
f(n)
(x)e−iwx
dx
haciendo u = e−iwx
y dv = f(n)
(x)dx,
=
1
√
2π
h
e−ewx
f(n−1)
(n)
i∞
−∞
+
(iw)
√
2π
Z ∞
−∞
f(n−1)
e−iwx
dx =
(iw)k
√
2π
Z ∞
−∞
f(n−k)
e−iwx
dx,
donde 0 ≤ k ≤ n
=
(iw)n
√
2π
Z ∞
−∞
f(x)e−iwx
dx
F {fn
(x)} (w) = (iw)n
F {f(x)} (w) (18)
19. Ejercicio 33.
f(x) = xf(x)
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z ∞
−∞
xf(x)e−iwx
dx = F {xf(x)} (w) = i
d
dw
F {f(x)} (w)
= i
d
dw
i
√
2π
Z ∞
−∞
f(x)e−iwx
dx =
i
√
2π
Z ∞
−∞
∂
∂w
f(x)e−iwx
dx
=
i
√
2π
Z ∞
−∞
−ixf(x)e−ikx
dx =
1
√
2π
Z ∞
−∞
xf(x)e−iwx
dx (19)
8

9. 20. Ejercicio 37
f(x) = f(x − a)
ˆ
f(w) =
1
√
2π
Z 1
−1
f(x − a)e−iwx
dx =
1
√
2π
Z 1
−1
f(x)e−iw(x+a)
dx =
e−iwa
√
2π
Z 1
−1
f(x)e−iwx
dx
=
e−iwa
√
2π
Z 1
−1
f(x)e−iwx
dx =
e−iwa
√
2π
F {f(x)} (w) (20)
9