Tieu luan cau truc roi rac

1.  Vương Hoàng Vân.
 Trần Quốc Văn.
 Trương Công Vinh.
 Võ Hoàng Tuấn.
 Trần Quốc Vương.
 Lê Phạm Anh Tuấn.
 Phạm Minh Tuấn.
 Đỗ Văn Tâm.
 Bùi Nguyên Thanh Tùng.
 Nguyễn Tấn Vũ.
 Nguyễn Thành Trung.
 Mai Công Toàn.

3. Tập hợp (set) là một khái niệm cơ bản (basic) của
toán học, ko đc định nghĩa một cách hình thức dựa
trên các khái niệm toán học khác.
Những vật, đối tượng toán học,... đc tụ tập theo
một tính chất chung nào đó tạo thành những tập
hợp.
VD, tập hợp các nguyên âm trong tiếng Anh, tập
hợp các số tự nhiên, số nguyên,...

4.  𝑥 ∈ 𝐴
 𝑥 ∉ 𝐴
 ∅
 ∪
 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛}
 𝐴 = {𝓍 ∈ ∪ | 𝑝(𝑥)}
 |𝐴|
 𝐴 = 𝑥 𝜖 𝑁 4 ≤ 2𝑥 ≤
6}, 𝐵 = {2, 3}, 𝐴 = 𝐵
Georg Cantor

5.  𝐴 ⊂ 𝐵, ∀𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ ∀𝑥 ∈ 𝐵.
 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐵 ⊃ 𝐴.
 ¬𝐴 ⊂ 𝐵 ∶ 𝐴 ⊄ 𝐵.
 Mọi tập hợp là tập con của chính nó.
 Tập ∅ là con của mọi tập hợp.

6.  Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐶 ⟹ 𝐴 ⊂ 𝐶.
 𝐴 = 𝐵 ⟺ 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴.

7. Định nghĩa 2.2.1: Phép toán hợp
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}.
VD: 𝐴 = 1, 2, 5 , 𝐵 = 1, 2, 3 , 𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 5 .
Biểu đồ Venn: Hợp của 2 tập hợp A và B

8. Định nghĩa 2.2.2: Phép toán giao
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 .
VD: 𝐴 = 1, 2, 5 , 𝐵 = 1, 2, 3 , 𝐴 ∩ 𝐵 = 1, 2 .
Giao của 2 tập hợp

9. Định nghĩa 2.2.3: Phần bù
𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ∉ 𝐴 .
Phần bù của tập A trong vũ trụ U

10. Định nghĩa 2.2.4: Phép toán trừ
𝐴 − 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑈 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 .
VD: 𝐴 = 1, 2, 5 , 𝐵 = 1, 2, 3 , 𝐴 − 𝐵 = 5 .
Hiệu của 2 tập hợp A và B

11. Định lý 2.3.1:
1. Luật đồng nhất: A ∪ ∅ = 𝐴
A ∩ 𝑈 = 𝐴
2 .Luật thống trị: A ∪ 𝑈 = 𝑈
A ∩ ∅ = ∅
3. Luật lũy đẳng: A ∪ 𝐴 = 𝐴
A ∩ 𝐴 = 𝐴
4. Luật bù: 𝐴 = A

12. 5.Luật giao hoán: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
6.Luật kết hợp: 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
7.Luật phân bổ: 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶
8.Luật De Morgan: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

13. Định nghĩa 2.4.1: Ánh xạ :
𝑓 : A → 𝐵
x ⟼ 𝑓(𝑥)
x
y=f(x)
A B
f
Hình 2.4.1: Ánh xạ f từ tập hợp A vào tập
hợp B

14. Định nghĩa 2.4.2:
-Hai ánh xạ bằng nhau: 𝑓 = 𝑔, nếu ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑓 𝑥 =
𝑔(𝑥)
Định nghĩa 2.4.3: Giả sử 𝑓: 𝐴 → 𝐵 là 1 ánh xạ, tập hợp
con ⊺ của 𝐴𝑥𝐵 bao gồm các cặp 𝑥, 𝑓 𝑥 với 𝑥 ∈ 𝐴
được gọi là đồ thị ( graph ) của ánh xạ 𝑓.

15. Định nghĩa 2.4.4:
1. 𝑓 𝐸 = 𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 = 𝑓(𝑥)} ( hay 𝑓 𝐸 =
𝑓 𝑥 𝑥 ∈ 𝐸}).
2. 𝑓1
𝐹 = 𝑥 ∈ 𝐴 𝑓(𝑥) ∈ 𝐹}.

16. Định lý 2.4.1:
1. 𝐸 ⊂ 𝑓1 𝑓 𝐸
2. 𝐹 ⊃ 𝑓(𝑓1 𝐹 )
Định lý 2.4.2:
1. 𝑓 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑓(𝐸1) ∪ 𝑓(𝐸2)
2. 𝑓(𝐸1 ∩ 𝐸2) ⊂ 𝑓 𝐸1 ∩ 𝑓(𝐸2)
3. 𝑓1 𝐸1 ∪ 𝐸2 = 𝑓1(𝐸1) ∪ 𝑓1(𝐸2)
4. 𝑓1
𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑓1
(𝐸1) ∩ 𝑓1
(𝐸2)

17. Định nghĩa 2.4.5:
- Giả sử 𝑋 và 𝐼 là 2 tập hợp khác rỗng, một ánh xạ
𝑓: 𝐼 → 𝑋 xác định một họ ( family ) các phần tử 𝑋 được
đánh số bởi 𝐼.
Ví dụ 2.4.4:Cho 𝐼 = 1,2,3 , 𝑋 = 𝑎, 𝑏 , khi đó 𝑃 𝑋 =
{∅, 𝑎 , 𝑏 , 𝑎, 𝑏 }.Ta định nghĩa ánh xạ 𝑓: 𝐼 → 𝑃 𝑋 ,với:
1 ⟼ 𝐴1 = {𝑏}
2 ⟼ 𝐴2 = {𝑎, 𝑏}
3 ⟼ 𝐴3 = {𝑎, 𝑏}
Thì 𝑓 xác định một họ (𝐴𝑖)𝑖 ∈ 𝐼 gồm 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, trong đó
𝐴2 = 𝐴3

18. Định nghĩa 2.5.1:
Ánh xạ 𝑓: 𝐴 → 𝐵 được gọi là đơn ánh
(injunction) nếu với mọi 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 thì 𝑓(𝑥1) ≠
𝑓(𝑥2).
Một đơn ánh còn được gọi là ánh xạ một đối
một ( one-to-one ).
Ví dụ 2.5.1:
1. Ánh xạ 𝑓 từ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 đến {1,2,3,4,5} với 𝑓 𝑎 = 4,
𝑓 𝑏 = 5, 𝑓 𝑐 = 1, 𝑓 𝑑 = 3 là 1 đơn ánh.

19. Định nghĩa 2.5.2:
Ánh xạ 𝑓: 𝐴 → 𝐵 được gọi là toàn ánh (surjection)
nếu 𝑓 𝐴 = 𝐵, nói cách khác nếu với mọi 𝑦 ∈ 𝐵 có ít
nhất một 𝑥 ∈ 𝐴 sao cho 𝑓(𝑥) = 𝑦. Một toàn ánh
𝑓: 𝐴 → 𝐵 còn được gọi là một ánh xạ từ A lên (onto)
B.
Ví dụ 2.5.2:
1. Ánh xạ 𝑓 từ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 đế𝑛 1,2,3 được xác định
bởi 𝑓 𝑎 = 3, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓 𝑐 = 1 𝑣à 𝑓 𝑑 = 3 là một
toàn ánh.

20.  Định nghĩa 2.6.1:
Giả sử f là một song ánh từ tập hợp A vào tập hợp
B, ánh xạ ngược của f là ánh xạ đặt tương ứng mỗi
y ∈ B với một phần tử duy nhất x ∈ A sao cho f(x)=
y. Ánh xạ ngược của f được kí hiệu là f’
 Ví dụ:
1. Xét song ánh từ {a,b,c} đến {1,2,3} sao cho f(a)=
2, f(b)=3 và f(c)=1. Ánh xạ ngược f’ từ {1,2,3} đến
{a,b,c} là f’(1)=c,f’(2)=a và f’(3)=c
2. Xét ánh xạ f(x)= x3 + 1 từ R đến R. Theo VD
2.5.3 f là 1 song ánh. Dễ dàng xác định được ánh
xạ ngược của f là f’(y) =3
𝑦 − 1

21.  Định nghĩa 2.6.2:
Cho 2 ánh xạ f: A B và g: BC. Ánh xạ
h: A  C
x | h(x)=g(f(x))
Được gọi là ánh xạ hợp (tích) của f và g, kí hiệu là
gof
 VD :
1.Giả sử f là ánh xạ từ tập hợp {a,b,c} vào chính nó
f(a)=b, f(b)=c và f(c)=a và g là ánh xạ từ {a,b,c} vào
{1,2,3} sao cho g(a)=3, g(b)=2 và g(c)=1. Khi đó
hàm hợp gof được xác định (gof)(a)=g(f(a))=g(b)=2,
(gof)(b)=g(f(b))=g(c)=1 và (gof)(c)=g(f(c))=g(a)=3
2. giả sử f(x)= 3x + 2 và g(x)= 2x +3 là hai ánh xạ từ
tập hợp các số nguyên Z. Thì
(gof)(x)=g(f(x))=g(3x+2) +3 = 6x +7

22. Định nghĩa 2.7.1
Giả sử f và g là hai hàm số với đối số x là các số thực.chúng ta nói
rằng f(x) là o(g(x)),và kí hiệu f(x)=o(g(x)),nếu có hằng số dương c và
số thực k sao cho |f(x)|<= C|g(x)| với mọi x >k.
Cg(x)
f(x)
g(x)
hình 2.7.1:f(x) là O(g(x))

23.  Ví dụ 2.7.1
Hàm số f(X)=x^2+2x+1 có độ tăng không quá hàm số g(x)=x^2.Thật
vậy, khi X>=0 thì x<=x^2. suy ra ,0<=x^2+2x+1<=x^2+2x^2+X^2=4X^2
với mọi x>=1.vì vậy nếu chọn c=4 và k=1,thì theo định nghĩa 2.7.1 ta
có f(x)=x^2+2x+1=o(x^2).

24.  Định lí 2.7.1 giả sử f1(x) là O(g1(x)) và f2(x) là O(g2(x)),thì (f1+f2)(x)
là O(max(|g1(x)|,|g2(x)|)).
 Chứng minh:từ định nghĩa 2.7.1 ta có các hằng số C1 C1 dương và
k1 k2 sao cho |f1(x)|<=C1|g1(x)| khi x>k1 và |f2(x)|<= C2|g2(x) |khi
x>= k2. Đặt C=C1+C2 và g(x)=max(|g1(x)|,|g2(x)|) và k=max(k1,k2)
thì với mọi x>=k ta có:
 |(f1+f2)(x)=|f1(x)+f2(x)
 <=|f1(x)|+|f2(x)|
<= C1|g1(x)| + C2|g2(x)|
<=C1|g(x)| +C2|g(x)|
=(C1+C2)|g(x)|
=C|g(x)|,
Vì vậy (f1+f2)(x) là :O(max(|g1(x)|,|g2(x)|)).

25.  Định lí 2.7.2
 Giả sử f1(x) là O(g1(x)) và f2(x) là O(g2(x)) thì (f1f2(x)) là
O(g1(x)g2(x)).
 Chứng minh :
Từ định nghĩa 2.7.1 ta có các hằng số C1,C2 dương và k1,k2 sao
cho|f1(x)|<=C1|g1(x)| khi x>=k1 và |f2(x)|<=C2|g2(x)| khi x>=k2. đặt
C=C1C2 và k=max(k1,k2).thì với mọi x>=k ta có:
|(f1f2)(x)|=|f1(x)f2(x)|
|f1(x)||f2(x)|
<=C1|g1(x)| C2|g2(x)|
=C1C2|g1(x)g2(x)
=c|g1(x)g2(x)|
Vì vậy (f1f2)(x) là O(g1(x)g2(x)).

26.  Ví dụ 2.7.2
 Xét hàm f(n)=3nlog2(n!)+(n^2+3 log2 n,với đối số n nguyên. Dể thấy
3n=O(n) và (n^2+3)=On^2,tù ví dụ 2.7.1 ta có log2(n!)=O(nlog2 n).
Từ đó theo định lí 2.7.2 ta có 3nlog2(n!)=O(n^2log2 n) và (n^2+3)
log2 n
=O(n^2log2 n). Vì vậy theo định ói 2.7.1 ta được
f(n)=3nlog2(n!)+(n^2+3)
Log2 n=O(max(n^2log2n,n^2 log2n)=O(n^2log2 n).

27.  Định nghĩa 2.7.2
 Giả sử f và g là hai hàm số . Chúng ta nói rằng f(x) là
…g(x),và kí hiệu f(x)=…g(x),nếu có hằng số dương C và số
thực K sao cho |f(X)|>=C|g(x)| với mọi x>=k.
 Khi f(x) là …g(x) ta nói f(x) có độ tăng itd nhất là g(x) hay
nói f(x) có bậc ít nhất là g(x).

28.  Định nghĩa 2.7.3 giả sử f và g là hai hàm số. Chúng ta nói
rằng f(x) là …g(x) và kí hiệu f(x)=…g(x), nếu f(X)=O(g(X))
và f(x)=…g(x).
 Khi )(f(x) là …g(x) ta nói f(x) có độ tăng là g(x) hay nói f(x)
có bậc là g(x).

29.  Ví dụ 2.7.3
 1.Từ các ví du 2.7.1 và 2.7.2 chúng ta suy ra f(x)=x^2+2x+1=..x^2
 2.