Time-Varying Temporal Dependene in Autoregressive Models - Francisco Blasques, Siem Jan Koopman, Andre Lucas. June 2014
•
0 likes•443 views
Time-Varying Temporal Dependene in Autoregressive Models - Francisco Blasques, Siem Jan Koopman, Andre Lucas. June 2014. International Association for Applied Econometrics Annual Conference
Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (19)
More from SYRTO Project
More from SYRTO Project (14)
Time-Varying Temporal Dependene in Autoregressive Models - Francisco Blasques, Siem Jan Koopman, Andre Lucas. June 2014
- 1. Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò ÙØÓÖ Ö ×× Ú ÅÓ Ð× º Ð ×ÕÙ × ËºÂº ÃÓÓÔÑ Ò º ÄÙ × ÎÍ ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ñ×Ø Ö Ñ¸ Ì Ò Ö Ò ÁÒ×Ø ØÙØ ¸ Ê Ì Ë ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ××Ó Ø ÓÒ ÓÖ ÔÔÐ ÓÒÓÑ ØÖ × ¾¼½ ÒÒÙ Ð ÓÒ Ö Ò ÉÙ Ò Å Öݸ ÍÒ Ú Ö× ØÝ Ó ÄÓÒ ÓÒ¸ ¾ ¹¾ ÂÙÒ ¾¼½ ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 2. ÅÓØ Ú Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ó × ÖÚ Ð Ø Ñ × Ö × y1, . . . , yT ¸ Û ÓÒ× Ö Ø ×Ø Ò Ö ÙØÓÖ Ö ×× Ú ÑÓ Ð Ó ÓÖ Ö ÓÒ ¸ Ø Ê´½µ ÑÓ Ð yt = ϕyt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), t = 1, . . . , T, Û Ö ϕ × Ø ÙØÓÖ Ö ×× Ú Ó ÒØ Û Ø ×Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ −1 < ϕ < 1 Ò Û Ö ut × Ø Ö Ò ÓÑ ÖÖÓÖ Û Ø Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ pu(ut; λ) Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ λº ÁÒ Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ× Ò ÓÒÓÑ × Ò Ò Ò ¸ Ø Ö × ÕÙ ×Ø ÓÖ ϕ ØÓ Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò ¸ Û Ú yt = ϕtyt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), t = 1, . . . , T, ÙØ Û Ø × Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø ÝÒ Ñ ×Ô Ø ÓÒ ÓÖ ϕt ¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 3. ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ì Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ô Ò Ò Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð¸ yt = ϕtyt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), t = 1, . . . , T, Ò ÑÓ ÐÐ ÜÔÐ ØÐÝ Ú Ø Ð Ò ÙÒ Ø ÓÒ ϕt = h(αt), Û Ö αt × ×Ô × ÒÓØ Ö ÝÒ Ñ ÔÖÓ ×׸ × Ý αt = Φαt−1 + ηt, ηt ∼ pη(ηt, λ), t = 1, . . . , T. Ï Ö Ö Ø × ×Ý×Ø Ñ Ó ÝÒ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ× × ÓÒ Ø ÓÒ Ð¸ Ò ÔÓ×× ÐÝ ÒÓÒÐ Ò Ö¸ ×Ø Ø ×Ô ÑÓ Ðº à ÐÑ Ò ÐØ Ö Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ñ Ø Ó × Ò Ù× º ¿ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 4. ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ì Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ô Ò Ò Ò Ò Ê´½µ ÔÖÓ ×× yt = h(αt)yt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), αt = Φαt−1 + ηt, Ì × Ö Ñ ÛÓÖ × × ÙØ Ò Ö Ò Ò ÒÚÓÐÚ º × Ø × ØÝÔ ÐÐÝ Ø × ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö¹ Ö Ú Ò ÑÓ Ð׺ ÇÒ Ó Ø Ò Ö Ð × ÓÒ ×Ø Ñ Ø ÓÒ Û Ø Ò Ý × Ò Ö Ñ ÛÓÖ ¸ ×Ô ÐÐÝ Û Ò ÓÒ ÓÒ× Ö× Ú ØÓÖ ÙØÓÖ Ö ×× Ú ÑÓ Ð× × Ø ÜØ Ò× Ú Ý × Ò Î Ê Ð Ø Ö ØÙÖ ¸ º º Ã Ý Ð ² à ÖÐ××ÓÒ¸ ÃÓÓÔ ² ÃÓÖÓР׸ Ò ÙÖ ¸ ÒÒÓÒ ² Ê Ð Ò¸ Ð Ö ² Å Ö Ò¸ ÖÖ ÖÓ Ã Ô Ø Ò Ó× ² Å Ö ÐÐ ÒÓ¸ Ø º » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 5. ÇÙÖ Ô Ô Ö Ï ÔÖ × ÒØ Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¹ Ö Ú Ò ÑÓ Ð ×Ô Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ô Ò Ò Ý Ò ÙØÓÖ Ö ×× Ú ÑÓ Ð׺ ÓÖ Ø Ê´½µ × Û Ú yt = h(ft; λ)yt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), ft = φ(yt−1 , ft−1 ; λ), Û Ö ÓØ h() Ò φ() Ö Ü ÙÒ Ø ÓÒ׸ ÓØ ÔÓ×× ÐÝ Ô Ò Ò ÓÒ Ü Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ λ¸ Û Ø xt = {xt, xt−1, xt−2, . . .} ÓÖ x = f, yº Ê´½µ ÑÓ Ð × ÒÓÛ Ò Ö Ð Ò Ü Ð ÙØ Û Ò ØÓ ×Ô Ý φ(yt−1 , ft−1 ; λ), pu(ut; λ), h(ft; λ). » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 6. Ì Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð ÓÖ Ø Ò Ö Ð Ò Ü Ð Ê´½µ ÑÓ Ð yt = h(ft; λ)yt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), ft = φ(yt−1 , ft−1 ; λ), Û Ø Ø Ð Ò Ö ÙÔ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ φ(yt−1 , ft−1 ; λ) = ω + αs(yt−1 , ft−1 ; λ) + βft−1, Û Ö ω¸ α Ò β Ö Ü Ó ÒØ× Ò s(·, ·) × Ø ÖÑ Ò ×Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ô ×Ø Ó × ÖÚ Ø ÓÒ׺ ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö¸ Û Ø s(·, ·) × Ø × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÖ ÔÖ Ø Ú ÐÓ ¹ Ò× ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ó yt¸ log p(yt|ft, yt−1 ; λ) ≡ log pu(ut; λ), × ut = yt − h(ft; λ)yt−1¸ Û Ø Ö ×Ô Ø ØÓ ftº » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 7. Ì Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð ÇÙÖ Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð × Ú Ò Ý yt = h(ft; λ)yt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), ft = ω + αs(yt−1 , ft−1 ; λ) + βft−1, Û Ø × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ st ≡ s(yt , ft ; λ) = ∂ log p(yt|ft, yt−1; λ) ∂ft . ÁÒ ×Ô Ö Ø Ó Ë ÑÓ Ð Ö Ð¸ ÃÓÓÔÑ Ò ² ÄÙ × ´¾¼¼ ¸½½¸½¿µº Ï Ý Ø × ÓÖ ÁØ × ÓÔØ Ñ Ð Ò ÃÙÐÐ ¹Ä Ð Ö × Ò× ¸ Ð Ø Ö ÙØ Û Ø ÓÙØ Ø Ó ÓÖ pu(ut; λ) Ò h(ft; λ) » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 8. Ì Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð ÇÙÖ Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ê´½µ ÑÓ Ð × Ú Ò Ý yt = h(ft; λ)yt−1 + ut, ut ∼ pu(ut; λ), ft = ω + αst−1 + βft−1, Û Ö Ð×Ó × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ st = ∂ log pu(ut; λ) ∂ft . Ô Ò × ÓÒ Ó h(ft; λ) → ft ÐÓ Ø´ftµ pu(ut; λ) ↓ ÆÓÖÑ Ð · ËØÙ ÒØ³× Ø · » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 9. × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ì Ð Ò Ö Ù×× Ò ÙÔ Ø Ò × yt = ft × yt−1 + ut, ut ∼ Æ(0, σ2 u), ft = ω + αst−1 + βft−1, Û Ø × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ st = ∂[c − 0.5(yt − ftyt−1)2/σ2 u] ∂ft = (yt − ftyt−1)(yt−1/σ2 u) = utyt−1/σ2 u. Ì Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò ÙØÓÖ Ö ×× Ú Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÔ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ × ft = ω + α ut−1yt−2 σ2 u + βft−1. » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 10. × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ï Ú Ø ÑÓ Ð yt = ft × yt−1 + ut, ft = ω + α ut−1yt−2 σ2 u + βft−1. ÁÒØ Ö ×Ø Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ ÙÔ Ø Ó ft Ö Ø× ØÓ ÖÖÓÖ ut−1 ÑÙÐØ ÔÐ Ý yt−2 Ò × Ð Ý σ−2 u º ÖÓÐ Ó yt−2 × ØÓ × Ò Ð Û Ø Ö ft × ÐÓÛ ÓÖ ÓÚ Ø× Ñ Òº ÙÔ Ø ×Ø Ò Ù × × ÖÓÐ Ó Ó × ÖÚ Ô ×Ø Ø Ò Ó Ô ×Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÐÙ º ÅÓÖ ÒØ Ö ×Ø Ò » ÒØÖ Ò× ÙÔ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ× ÓÖ ÓØ Ö pu Ò h ½¼ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 11. × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò −2 0 2 4 −0.2 0.4 1 −2 0 2 4 −2 0 2 4 N-GAS (β = 0.5) N-GAS (β = 1) t-GAS (β = 0.5) t-GAS (β = 1) yt−2yt−2 yt−2 yt−1 yt−1 yt−1 ft−1 ft ÙÖ ÍÔ Ø Ò ÓÖ ft h(f) = f Ò pu(u) = Æ ¸ غ ½½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 12. Ê Ù ÓÖÑ ÇÙÖ × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò ÑÓ Ð yt = ft × yt−1 + ut, ft = ω + α ut−1yt−2 σ2 u + βft−1, × Ø Ú ÐÝ ÒÓÒÐ Ò Ö ÊÅ ÑÓ Ð yt = ω + β yt−1 − ut−1 yt−1 yt−1 + ut + α yt−1 σ2 u ut−1. ÁØ × ÒÓÒÐ Ò Ö ÊÅ (2, 1) ËÓÑ Ñ ÒÓÖ Ð Ö × Ö ÕÙ Ö ØÓ Ó Ø Ò Ø × Ö ×ÙÐغ Ë Ñ Ð Ö Ö ×ÙÐØ× Ò Ó Ø Ò ÓÖ Ø ÓØ Ö × ×º ½¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 13. ÆÓÒÐ Ò Ö ÊÅ ÑÓ Ð× Ï Ú × ÓÛÒ Ø Ø ÓÙÖ × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò ÑÓ Ð × ÒÓÒÐ Ò Ö ÊÅ ÑÓ Ðº ÙØ Û Ø × Ò Û ËÓ Ñ ÒÝ ÓØ Ö ÒÓÒÐ Ò Ö ÊÅ ÑÓ Ð× Ì Ö × ÓÐ Ê ÌÓÒ ´½ ½µ yt = ϕt × yt−1 + ut, ϕt = ϕ + ϕ∗ I(yt−2 < γ), ËÑÓÓØ ÌÖ Ò× Ø ÓÒ Ò ² ÌÓÒ ´½ µ¸ Ì Ö ×Ú ÖØ ´½ µ yt = ϕt × yt−1 + ut, ϕt = γ1xt−2 + γ2(1 − xt−2), Û Ö xt = [1 + exp(−γ3 yt)]−1 º ½¿ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 14. ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Û Ø Ì Ê Ò ËÌ Ê ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 15. ÓÑÔ Ö ×ÓÒ Û Ø ÓÙÖ × ÑÓ Ð ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 16. ÈÖÓÔ ÖØ × Ë ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ð Ö ÒØ ØÝ Ò ÓÒÓÑ ØÖ ×º Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ ÓÒ× ×Ø Ò Ý Ò ×ÝÑÔØÓØ ÆÓÖÑ Ð Øݸ ÓÒ Ø ÓÒ× Ò ×Ø Ð × º ÇÔØ Ñ Ð ØÝ ÍÔ Ø Ò Ù× Ò × ÓÖ ÔÖÓÚ × ×Ø Ô ÐÓ× Ö ØÓ Ø ØÖÙ Ô Ø Ó Ø Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö¸ ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ò Ø ÃÙÐÐ ¹Ä Ð Ö × Ò× º Ê ×ÙÐØ ½ ÇÒÐÝ Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÔ Ø × × ÓÒ Ø × ÓÖ ÐÛ Ý× Ö Ù Ø ÐÓ Ð ÃÙÐÐ ¹Ä Ð Ö Ú Ö Ò º Ê ×ÙÐØ ¾ Ì Ù× Ó Ø × ÓÖ Ð × ØÓ ÓÒ× Ö ÐÝ ×Ñ ÐÐ Ö ÐÓ Ð ÃÄ Ú Ö Ò Ò ÑÔ Ö ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØ × ØØ Ò ×º ÆÓØ Ì × Ö ×ÙÐØ× ÓÐ Ò Ö ÐÐÝ ÓÖ ÒÝ Èº ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 17. ÇÔØ Ñ Ð Ç × ÖÚ Ø ÓÒ¹ Ö Ú Ò ÍÔ Ø Ã Ý Ó Ø Ú Ö Ø Ö Þ φ(·) Ø Ø ÔÓ×× ×× ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ × ÖÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº Å Ò ÉÙ ×Ø ÓÒ Á× Ø Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð ÓÖÑ ÓÖ Ø ÙÔ Ø ˜ft+1 = φ yt , ˜ft ; θ , ∀ t ∈ N, ˜f1 ∈ F ⊆ R, Ò×Û Ö Ì × Ô Ò × ÓÒ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ê ×ÙÐØ ½ ÇÒÐÝ Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÔ Ø × × ÓÒ Ø × ÓÖ ÐÛ Ý× Ö Ù Ø ÐÓ Ð ÃÙÐÐ ¹Ä Ð Ö Ú Ö Ò p Ò ˜pº Ê ×ÙÐØ ¾ Ì Ù× Ó Ø × ÓÖ Ð × ØÓ ÓÒ× Ö ÐÝ ×Ñ ÐÐ Ö ÐÓ Ð ÃÄ Ú Ö Ò Ò ÑÔ Ö ÐÐÝ Ö Ð Ú ÒØ × ØØ Ò ×º ÆÓØ Ê ×ÙÐØ× ÓÐ ÓÖ ÒÝ È ´ ÒÝ p Ò {ft} µ ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 18. Ò Ø ÓÒ× ÄÓ Ð Ë ÍÔ Ø × Ë¹ÙÔ Ø ˜ft+1 = φ yt , ˜ft ; θ = ω + αs(yt, ˜ft) + β ˜ft, ∀ t ∈ N, Æ ÛØÓÒ¹ Ë ÙÔ Ø ´ ω = 0¸ α > 0¸ β = 1 µ ˜ft+1 = αs(yt, ˜ft) + ˜ft, ∀ t ∈ N, ÄÓ Ð ÙÔ Ø ˜ft+1 Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó ˜ft ÄÓ Ð ÓÔØ Ñ Ð ØÝ Ê Ö× ØÓ ÐÓ Ð ÙÔ Ø × ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 19. Ò Ø ÓÒ Á Ê Ð Þ ÃÄ Ú Ö Ò ÃÄ Ú Ö Ò ØÛ Ò p(·|ft) Ò ˜p · | ˜ft+1; θ × Ú Ò Ý DKL p(·|ft) , ˜p · | ˜ft+1; θ = ∞ −∞ p(yt|ft) ln p(yt|ft) ˜p yt| ˜ft+1; θ yt. ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 20. Ò Ø ÓÒ Á Ê Ð Þ ÃÄ Ú Ö Ò ÃÄ Ú Ö Ò ØÛ Ò p(·|ft) Ò ˜p · | ˜ft+1; θ × Ú Ò Ý DKL p(·|ft) , ˜p · | ˜ft+1; θ = ∞ −∞ p(yt|ft) ln p(yt|ft) ˜p yt| ˜ft+1; θ yt. Ì Ö Ð Þ ÃÄ Ú Ö Ø ÓÒ ∆t−1 RKL Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÔ Ø ÖÓÑ ˜ft ØÓ ˜ft+1 × Ò × ∆t−1 RKL = DKL p(·|ft) , ˜p · | ˜ft+1; θ − DKL p(·|ft) , ˜p · | ˜ft; θ ½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 21. Ò Ø ÓÒ ÁÁ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÜÔ Ø ÃÄ Ú Ö Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÙÔ Ø Ò × Ñ ¸ Û Ð ×Ù Ø ØÓ Ö Ò ÓÑÒ ×׸ × ÓÙÐ Ú Ø Ò Ò Ý ØÓ ÑÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ö Ø ÓÒ ÇÒ Ú Ö ¸ Ø ÃÄ Ú Ö Ò × ÓÙÐ Ö Ù Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒº ¾¼ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 22. Ò Ø ÓÒ ÁÁ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÜÔ Ø ÃÄ Ú Ö Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ÙÔ Ø Ò × Ñ ¸ Û Ð ×Ù Ø ØÓ Ö Ò ÓÑÒ ×׸ × ÓÙÐ Ú Ø Ò Ò Ý ØÓ ÑÓÚ Ò ÓÖÖ Ø Ö Ø ÓÒ ÇÒ Ú Ö ¸ Ø ÃÄ Ú Ö Ò × ÓÙÐ Ö Ù Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒº Ì ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÝ ÜÔ Ø ÃÄ ´ Ãĵ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ñ Ø Ö ÙÔ Ø ÖÓÑ ˜ft ∈ ˜F ØÓ ˜ft+1 ∈ ˜F × Ú Ò Ý ∆t−1 CKL = F q( ˜ft+1| ˜ft, ft; θ) Y p(y|ft) ln ˜p(y| ˜ft; θ) ˜p(y| ˜ft+1; θ) dy d ˜ft+1, Û Ö q( ˜ft+1| ˜ft, ft; θ) ÒÓØ × Ø Ò× ØÝ Ó ˜ft+1 ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÓÒ ÓØ ˜ft Ò ftº ÓÖ Ú Ò pt¸ Ò ÙÔ Ø × ÃÄ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÓÒÐÝ ∆t−1 CKL ≤ 0º ¾¼ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 23. ØÓ ÓÙÖ × ÑÓ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÊÃÄ Ò ÃÄ ÇÙÖ × Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò ÑÓ Ð yt = ft × yt−1 + ut, ft = ω + α ut−1yt−2 σ2 u + βft−1, Û Ó Ø Ò ÊÃÄ ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ α > σ2 u |ω + (β − 1) ˜ft| |(yt−1 − ˜ft−1yt−2)yt−2| , Ì Ò Û × ÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ × ÓÙÐ Ú ÐÓ ÐÐÝ ×Ù ÒØ ÑÔ Ø ÓÒ Ø ÙÔ Ø Ò ÓÖ ftº × Ñ Ð Ö ÙØ Ö ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ × Ö Ú ÓÖ ÃÄ ÓÔØ Ñ Ð Øݺ ¾½ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 24. ¾¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 25. ÑÔ Ö Ð ÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ ÍÒ ÑÔÐÓÝÑ ÒØ ÁÒ×ÙÖ Ò Ð Ñ× Ï Ò ÐÝÞ Ø ÖÓÛØ Ö Ø Ó ÍË × ×ÓÒ ÐÐÝ Ù×Ø Û ÐÝ ÍÒ ÑÔÐÓÝÑ ÒØ ÁÒ×ÙÖ Ò Ð Ñ× ´ÍÁ µ ÓÖ ÖÓÙ ÐÝ Ø Ð ×Ø Ú ×º Å Ý Ö ´½ µ¸ Ò Ö×ÓÒ ² Å Ý Ö ´½ ¸ ¾¼¼¼µ¸ ÀÓÔ Ò ÝÒ ² Æ ÓÐ Ò ´½ µ Ò × Ò ÐØ Ö ´¾¼¼ µ Ú ×ØÙ Ø ÍÁ × Ö ×º Ì ÑÔÓÖØ Ò Ó ÓÖ ×Ø Ò ÍÁ × Ò Ð Ø Ý Ú Ò ² ÃÐ × Ò ´¾¼¼¾µ ÍÁ × Ð Ò Ò ØÓÖ ÓÖ × Ú Ö Ð Ð ÓÖ Ñ Ö Ø ÓÒ Ø ÓÒ× ÓÛ Ø Ý Ò Ù× ØÓ ÓÖ ×Ø Ò È ÖÓÛØ Ö Ø ×º À Ö Û ÓÒ× Ö Ú Ö ÓÙ× ÑÓ Ð× Ò Ó ×ÓÑ ÓÑÔ Ö ×ÓÒ× ÑÓÒ ×Ø Ø Ñº ¾¿ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 26. ÑÔ Ö Ð ÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ ÍÒ ÑÔÐÓÝÑ ÒØ ÁÒ×ÙÖ Ò Ð Ñ× ÅÓ Ð ÓÑÔ Ö ×ÓÒ ´Æµ ʹ Ë Ì Ê ËÌ Ê Ê´¾µ Ê´ µ ÄÄ ¿ ¿ ¿ Á ¹½¿ ¹½¿ ¾ ¹½¿ ¹½¾ ¼ ¹½¿ ¾½ ÊÅË ¼º ¼ ¼º ¾ ¼º ¾ ¼º ½º¾¼ ¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 27. ÑÔ Ö Ð Ö ×ÙÐØ× 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 −0.05 0 0.05 Uemployment Insurance Claims 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 0.4 0.5 0.6 Normal AR−GAS (Identity Link and Unit Scaling) ¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 28. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ× Ï Ú ÒØÖÓ Ù Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò Ò Ø Ê´½µ ÑÓ Ð yt = ft × yt−1 + ut, ft = ω + α ut−1yt−2 σ2 u + βft−1, Ò Ó × ÖÚ Ø ÓÒ¹ Ö Ú Ò ÔÔÖÓ ØÓ Ø Ñ ¹Ú ÖÝ Ò ÙØÓÖ Ö ×× Ú Ó ÒØ Ë ÑÓ Ð × Ø Ú Ö Ù ÓÖÑ ÒÓÒÐ Ò Ö ÊÅ ÑÓ Ð× Ø Ý Ò ÓÑÔ Ö Û Ø Ì Ê Ò ËÌ Ê ÑÓ Ð× Ø ÐØ Ö ×Ø Ñ Ø ft × ÓÔØ Ñ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ × Ò Ø ÃÄ × Ò× Û Ò × ÓÒ Ø × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ Û ÔÖÓÚ ×ÓÑ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ú Ò Ò ÑÔ Ö Ð ÐÐÙ×ØÖ Ø ÓÒ ÓÖ ÍÁ × ÔÖ × ÒØ ¾ » ½ Ð ×Õ٠׸ ÃÓÓÔÑ Ò Ò ÄÙ × Ì Ñ ¹Î ÖÝ Ò Ì ÑÔÓÖ Ð Ô Ò Ò
- 29. This project has received funding from the European Union’s Seventh Framework Programme for research, technological development and demonstration under grant agreement no° 320270 www.syrtoproject.eu This document reflects only the author’s views. The European Union is not liable for any use that may be made of the information contained therein.