ejercicios

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MATURÍN
TEORIA DE CONTROL
Maturín, Enero de 2017
Autor: Oscar Reale

2. 1) Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes
funciones:
a) 𝐭 𝟐
𝐞 𝐭
𝐜𝐨𝐬( 𝐭)
L{t2
et
cos(t)} = L{tn
f(t)} = (−1)n
dn
f(s)
dsn
= (−1)n
fn(s)
f(t) = et
cos(t);L{et
cos(t)} =
s + a
(s + a)2 + w2
; a = 1; w = 1
L{et
cos(t)} =
s + 1
(s + 1)2 + 1
L{t2
et
cos(t)} = (−1)1
f′(s);f(s) =
s + 1
(s + 1)2 + 1
f′(s) =
(1)(s + 1)2
+ 1 − 2(s + 1)(s + 1)
((s + 1)2 + 1)2
f′(s) =
s2
+ 2s + 1 + 1 − (2s − 2)(s + 1)
[(s + 1)2 + 1]2
=
s2
+ 2s − 2s2
− 2s + 2s
[(s+ 1)2 + 1]2
f′(s) =
−s2
+ 2s + 4
[(s + 1)2 + 1]2
L{t2
et
cos(t)} = (−1)[
−s2
+ 2s + 4
[(s + 1)2 + 1]
] =
s2
− 2s − 4
[(s + 1)2 + 1]2
b) 𝐞−𝟑𝐭
𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝐭+ 𝟒)
L{e−3t
cos(2t + 4)} = L{eat
f(t)} = f(s + a)
f(t) = cos(2t + 4) => 𝑐𝑜𝑠(wt + y)
L{cos(wt + y)} ;w = 2 ;y = 4
cos(wt + y) = cos(wt) + cos(y)− sen(wt). sen(y)
cos(wt + y) = cos(4)cos(2t) − sen(4)sen(2t) cos(4)y sen(4)Son Constantes
L{cos(wt + y)} = cos(4)L{cos(2t)} − sen(4)L{sen(2t)}
L{cos(2t)} =
s
s2 + w2
; L{sen(2t)} =
w
s2 + w2
L{cos(2t)} =
s
s2 + 22
; L{sen(2t)} =
2
s2 + 22
L{e−3t
cos(2t + 4)} = (cos4)
(s + 3)
[(s+ 3)2 + 22]
− (sen4)(
2
(s + 3)2 + 22
)

3. c) ∫ 𝒓. 𝐜𝐨𝐬( 𝒓) 𝒅𝒓
𝒕
𝒐
𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟
𝑡
0
} =
𝐹( 𝑠)
𝑠
= 𝐿 {∫ 𝐹( 𝑢) 𝑑𝑢
𝑡
0
}
𝐹( 𝑢) = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟 => 𝐿{ 𝐹(𝑢)} = 𝐹(𝑠)
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = 𝑟 = 𝑡 => 𝐿{ 𝑡. 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)} = 𝐿{ 𝑡 𝑛
. 𝐹( 𝑡)} = (−1) 𝑛
. 𝐹 𝑛( 𝑠)
𝐹( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠( 𝑡) => 𝐿{ 𝑐𝑜𝑠( 𝑡)} =
𝑠2
𝑠2 + 12
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = (−1).
𝑑
𝑑𝑠
(
𝑠2
𝑠2 + 12
) = (−1)[
2𝑠( 𝑠2
+ 1) − 2𝑠( 𝑠2)
𝑠2 + 1
]
𝐿{ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟)} = (−1)[
2𝑠3
+ 2𝑠 − 2𝑠3
𝑠2 + 1
] =
−2𝑠
𝑠2 + 1
= 𝐹( 𝑠)
𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠( 𝑟) 𝑑𝑟
𝑡
0
=}
1
𝑠
(
−2𝑠
𝑠2 + 1
) =
𝑠
𝑠2 + 1
d) 𝓛{ 𝐬𝐞𝐧 𝟐
𝐭}
r. ejθ
= r. cosθ + j. r. senθ
−r. e−jθ
= −r.cosθ + j. r.senθ
r(ejθ
− e−jθ
) = 2j. r.senθ → senθ =
(ejθ
− e−jθ
)
2j
;j = √−1
θ = t → sen t =
(ejθ
− e−jθ
)
2j
(sen t)2
= sen2
t = (
(ejθ
− e−jθ
)
2j
)
2
=
(ejt
) − (2ejt
)(e−jt
) + (e−jt
)
2
(2ji)2
sen2
t =
ej2t
− 2 + e−j2t
−4
= −
1
4
(ej2t
+ e−j2t
) +
1
2
ℒ{sen2
t} = −
1
2
(
s
s2 + 22
) +
1
2
(
1
s
)

4. e) 𝓛 = {| 𝐜𝐨𝐬 𝒕|}
Definición de valores absolutos
| 𝑥| = {
𝑥 𝑠; 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠; 𝑥 < 0
|cos 𝑡| = {
𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑖 cos 𝑡 = 0
−cos 𝑡 𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑡 < 0
ℒ{cos 𝑡} =
𝑠
𝑠2 + 𝑤2
; 𝑤 = 1
ℒ{cos 𝑡} =
𝑠
𝑠 + 1
𝑠𝑖cos 𝑡 ≥ 0
ℒ{cos 𝑡} = −
𝑠
𝑠2 + 𝑤2
𝑠𝑖 cos 𝑡 < 0
2) Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones:
a) 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬(𝐬+𝟏)
}
Aplicamos fracción parcial:
1
s(s + 1)
=
A
s
+
B
(s + 1)
1
s(s + 1)
=
A(s + 1) + B(s)
s(s + 1)
1 = As + A + Bs
1 = s(A + B) + A
Buscamos los valores de A y B:
A = 1 ; A+ B = 0
B = −A
B = −1

5. Sustituimos
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = ℒ−1
{
1
s
} − ℒ−1
{
1
s + 1
}
ℒ−1
= {
1
s(s + 1)
} = 1 − et
b) 𝓛−𝟏
= {
𝟑
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝓛−𝟏
{
𝟏
(𝒔−𝟏) 𝟐} = 𝟑𝒕𝒆 𝒕
c) 𝓛−𝟏
= {
𝟓
𝒔 𝟐( 𝒔−𝟓)
}
Aplicamos fracción parcial:
5
s2(s − 5)
=
A
s2
+
B
s
+
C
s − 5
5
s2(s − 5)
=
(s − 5)A + s(s − 5)B + s2
C
s2(s− 5)
5 = sA − 5A + (s2
− 5s)B + s2
C
5 = (B + C)s2
+ (A − 5B)s − 5A
Buscamos los valores de A, B y C
B + C = 0
C = −B
C =
1
5
A − 5B = 0
−5B = −A
−5B = 1
B = −
1
5
−5A = 5
A = −
5
5
A = −1

6. ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −ℒ−1
{
1
s2
} −
1
5
ℒ−1
{
1
s
} +
1
5
ℒ−1
{
1
s − 5
}
ℒ−1
= {
5
s2(s− 5)
} = −t −
1
5
+
1
5
e5t
d) 𝓛−𝟏
{
𝟏
( 𝐬−𝐚)( 𝐬−𝐛)
}
Aplicando fracciones parciales
1
(s − a)(s− b)
=
A
s − a
+
B
s − b
1
(s − a)(s− b)
=
A(s − b) + B(s − a)
(s − a)(s− b)
1 = s(A + B) + (−bA − aB)
Buscamos los valores de A y B
{
A + B = 0
−bA − aB = 1
{ bA + bB = 0
−bA − aB = 1
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − a
} +
1
b − a
ℒ−1
{
1
s − b
}
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} = −
1
b − a
eat
+
1
b − a
ebt
ℒ−1
{
1
(s − a)(s − b)
} =
ebt
− eat
b − a
( 𝑏 − 𝑎) 𝐵 = 1
𝐵 =
1
𝑏 − 𝑎
𝐴 = −𝐵
𝐴 = −
1
𝑏 − 𝑎

7. e) 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬 𝟐+𝟒𝐬+𝟐𝟗
}
s2
+ 4s + 29
s =
−b ± √b2 − 4ac
2a
s =
−4 ± √−100
2
; s = −2 ± j5 ;
s2
+ 4s + 29 = (s + 2 − j5)(s+ 2 + j5)
Aplicando fracciones parciales.
1
s2 + 4s + 29
=
k1
s + 2 − j5
+
k2
s + 2 + j5
1
s2 + 4s + 29
=
k1(s + 2 + j5) + k2(s + 2 − j5)
s2 + 4s + 29
1 = k1s + 2k1 + j5k1 + k2 s + 2k2 − j5k2
1 = (k1 + k2)s + 2(k1 + k2) + j5(k1 − k2)
Buscamos los valores de k1 y k2
ℒ−1
{
1
s2 + 4s + 29
} = k1ℒ−1
{
1
s + 2 − j5
} + k2ℒ−1
{
1
s + 2 + j5
}
ℒ−1
{
1
s2 + 4s + 29
} =
1
4
ℒ−1
{
1
s + 2 − j5
} + ℒ−1
{
1
s + 2 + j5
}
𝑘1 + 𝑘2 = 0
No satisface la ecuación
2( 𝑘1 + 𝑘2) = 1
2(2 𝑘1) = 1
4 𝑘1 = 1
𝑘1 =
1
4
𝑘1 − 𝑘2 = 0
Si satisface la ecuación
𝑘1 = 𝑘2 =
1
4

8. =
1
4
ℒ−1
{
s + 2 + j5 + s + 2 − j5
s2 + 4s + 29
} =
1
4
ℒ−1
{
2(s + 2)
s2 + 4s + 29
}
Competición de cuadrado
𝑠2
+ 4𝑠 + 29 + (
4
2
)
2
− (
4
2
)
2
= 0
𝑠2
+ 4𝑠 + 4 + 25 = 0
( 𝑠 + 2)2
+ 25 = 𝑠2
+ 4𝑠 + 29
1
4
ℒ−1
{
2( 𝑠 + 2)
( 𝑠 + 5)2 + 25
} =
1
2
ℒ−1
{
𝑠 + 2
( 𝑠 + 2)2 + 52
}
ℒ−1
{
1
𝑠2 + 4𝑠 + 29
} =
1
2
𝑒−2𝑡
cos(5𝑡)
f) 𝓛−𝟏
{
𝟐𝐬
( 𝐬 𝟐
+𝟏)
𝟐} = 𝟐𝓛−𝟏
{
𝐬
( 𝐬 𝟐
+𝟏)
𝟐}
ℒ−1
{
2s
(s2 + 1)2
} =
2t. sen (at)
2a
=
t. sen(at)
a
g) 𝓛−𝟏
{
𝟏+𝐞−𝐬
𝐬
} = 𝓛−𝟏
{
𝟏
𝐬
}+ 𝓛−𝟏
{
𝐞−𝐬
𝐬
}
ℒ−1
{
1 + e−s
s
} = 1 + u(t − a)
h) 𝓛−𝟏
{
𝐞−𝟓
𝐬 𝟒+𝟏
} = 𝓛−𝟏{ 𝐞−𝐚𝐬
𝐟( 𝐬)} = 𝐟( 𝐭 − 𝐚) 𝐮( 𝐭 − 𝐚)|
𝐚 = 𝟏
ℒ−1{f(s)} = f(s) → ℒ−1
{
1
s4 + 1
} ; f(s) =
1
s4 + 1
s4
+ 1 = (s2
+ √2 + 1)(s2
− √2+ 1)

9. 1
s4 + 1
=
k1s
s2 + √2+ 1
+
k2s
s2 − √2 + 1
1
s4 + 1
=
k1s (s2
+ (1 − √2)) + k2s (s2
+ (1 + √2))
s4 + 1
1 = k1s3
+ (1 − √2)k1s + k2s3
+ (1 + √2)k2s
1 = (k1 + k2)s3
+ k1(1 − √2)s + k2(1 + √2)s
k1 = k2
k1(1 − √2) + k2(1 + √2) = 0
k1(1 − √2) = −k2 (1 + √2)
k1 =
985
169
; k2 = −
985
169
ℒ−1
{
1
s4 + 1
} = ℒ−1
{
985
169
S
S2 + (√2 + 1)
−
985
169
S
(S2)(1 − √2)
}
ℒ−1
{
1
s4 + 1
} =
985
169
ℒ−1
{
S
S2 + (√2 + 1)
+
S
S2 + (1 − √2)
}
ℒ−1
{
1
s4 + 1
} =
985
169
(cos(√2 + 1)t − cos(1 − √2) t)
f(t − a)u(t − a)|
a = 1
=
985
169
(cos((√2 + 1)(t − 1))− cos((1 − √2)(t − 1))u(t − 1)
3) Hallar la transformada de Laplace de:
a) 𝐟( 𝐭) = {
𝟎 ; 𝐭 ≤
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝐭 ; 𝐭 >
𝟏
𝟐

10. Corte con los ejes
f(s) = 1 + t = l
para t = 0 → f(t) = 1 → (0;1)
para f(t) = 0 → t = 1 +
1
2
=
3
2
→ (
3
2
; 0)
ℒ = r (t −
1
2
)
ℒ = {f(t)} = ℒ {r (t −
1
2
)} +
3
2
ℒ {u (t −
1
2
)}
1
(s −
1
2
)
2
+
3
2
1
(s −
1
2
)
= f(s)
b) 𝒇( 𝐭) = {
𝐭 , 𝐭 ≤ 𝟐
𝟐 , 𝐭 > 2
f(t) = r(t) − r(t − 2) + 2u(t − 2)
ℒ{f(t)} = ℒ{r(t)} − ℒ{r(t − 2)} + 2ℒ{u(t − 2)}
f(s) =
1
s2
−
1
(s − 2)2
+
2
s − 2