ejercicios numero 1

1.  Trasformar los siguientes coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
A) (2,8) primero lo hacemos por definición
휃 = tan−1(
푦
푥
) 푅2 = 푋2 + 푌2
8
2
휃 = tan−1(
) 푅2 = (2)² + (8)²
휃 = tan−1(4) 푅2 = 4 + 64
휃 = 75.96 푅 = √68
푅 = 2√17
Luego transformando a radiaciones se tiene que
휋 − 180
× −75 ∙ 96
×= 75 ∙ 96휋
180
(2√17,75 ∙96휋)
180
B) (5, −6)
휃 = tan−1(
−6
−5
)
휃 = 50.19° 푅2 = (−5)² + (−6)²
푅2 = 25 + 36
푅 = √61
√61, 50.19 휋
180
C) (√2,
1
5
) 푅2 = (√2) ² + (1
5
)²
휃 = tan−1(
1
5
√2
) 푅2 = 2 + 1
25
휃 = tan−1( −1
5√2
) 푅2 = 51
25
휃 = 8. 04° 푅 = √51
25
= 푅 = √51
5

2. Tenemos que entonces transformando a radiales
휋 − 180
×∙ 8.04
×= 8.04휋
180
(√51
5
, 8.04휋)
180
 Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r = +푠푒푛휃
푅 = 1 + 푠푒푛휃 (2,
휋
2
)
푠푖 푟 = 0
1 + 푠푒푛휃 = 0
푠푒푛휃 = −1 (0,0)
휃 = 푠푒푛−1 (−1)
휃 = − 휋
2
sen 휃 = 푦휋
2
= − 휋
2
A = 2
푍
휋
2
0
Producto notable
∫ (1 + 푠푒푛휃)2푑표
휋
2
0
A = ∫ (1 + 2푠푒푛휃휃 + 푠푒푛20)푑표
Luego por identidad trigonométrica
1 − 푐표푠2휃
푠푒푛2휃 =
2
A= ∫(1 + 2푠푒푛휃 + 1−푐표푠휃
2
) do
Por
A = ∫(
1 + 4푠푒푛휃 + 1 − 푐표푠2휃
2
) 푑표
Se reducen términos semejantes
A =
1
2
∫
(3 + 4푠푒푛휃 − 푐표푠2휃)푑표
휋
2
0
A =
1
2
[3휃 − 퐴푐표푠휃 − 푠푒푛2휃] ∫
휋
2
0
2

3. 퐴 =
1
2
[3 (
휋
2
) − 4 cos (
휋
2
) ° − 푠푒푛푡2 (
휋
2
) ° ] + 4 cos(0)
2
퐴 =
1
2
휋3
2
[
+ 4]
퐴 =
1
2
3휋 + 8
[
2
]
퐴 =
3휋 + 8
퐴
 Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares
퐴) (2,
휋
4
)
2
2
×= 푟푐표푠휃 ×= 2̕
(√
푦 = 푟푠푒푛휃 ×= √2
×= 2푐표푠 휋
4
푦 = 2푠푒푛 (
휋
4
) 푦 = 2√
2
2
푦 = √2 (√2, √2)
푏) (−8,
3휋
2
)
×= −8푐표푠 (
3휋
2
)
푦 = −8푠푒푛 (
3휋
2
) ×= 0 푦 = 8 (0,8)
퐶) (
−1
2
,
5휋
4
)
×=
−1
2
cos (
5휋
4
) ;×=
−1
2
−√2
2
(
2
4
) =×= √
푦 =
−1
2
푠푒푛 (
5휋
4
) ; 푦 =
−1
2
(−√
2
2
) = 푦 = √
2
4
2
4
(√
2
4
, √
)
 Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r= 4 cos(200)
푅 = 4푐표푠(2휃) Cambio de variable
4푐표푠(2휃) = 0 푢 = 2휃 휃 = 푢
2
푐표푠2휃 = 0
푐표푠푢휃 = 0

4. 푢 = 푐표푠 − ¹(0)
푚 =
휋
2
휃 =
5
4
휋 휃 =
7
4
휋 휃 =
휋
4
휃 =
3
4
휋
3휋
4
휋
4
5휋
4
7휋
4
퐴 = 0 (
1
2
휋
4
) ∫ [4푐표푠(2휃)]
−휋
4
2
푑표
휋
4
퐴 = 08 ∫ 푐표푠²2휃 푑표
−휋
4
휋
4
퐴 = 2(8) ∫ 푐표푠² 2휃 푑표
0
Por identidad trigonométrica
1 + 퐶푂푆2휃
퐴 = 16 ∫ [
2
]
휋
4
0
푑표
휋
4
퐴 = 8 ∫ (1 + 푐표푠 + 2휃)
0
푑표
퐴 = 8 [0+푠푒푛(2휃휃)
2
]
휋
4
0
퐴 = 8 [
휋
4
+ 푠푒푛 [2 (
휋
4
)] − (0)]
퐴 = 2휋푢² 퐴 = 8휋푢²
Transformar a coordenadas rectangulares
푅 = 2푐표푠 = (3휃) 푅 = 2푐표푠(2휃 + 휃) 푅 = 2[푐표푠2휃푐표푠휃 − 푠푒푛2휃푠푒푛표]

5. Por identidad trigonométrica
푟 = −2[(2푐표푠²휃 − 1)]푐표푠휃 − 2푐표푠0푠푒푛²휃
푟 = [(2푐표푠²휃 − 1)푐표푠휃 − 2푐표푠0푠푒푛²휃]
푟 = 2[(2푐표푠²휃 − 1)푐표푠휃 − 2푐표푠휃(1 − 푐표푠²휃)]
Propiedad distributiva
푟 = 2[2푐표푠³휃 − 푐표푠휃 − 2푐표푠휃 + 2푐표푠³휃]
푟 = 2[4푐표푠³휃 − 3푐표푠휃]
푅2 = 8푐표푠3휃 − 6푐표푠휃
푅² = 2푐표푠휃[4푐표푠²휃 − 3]
푅 = 2 (
×
푦
4 × ² − 3
) [
푟2
]
푅4 = 2 × [4 × ² − 3푟²]
(× ² + 4²)² = 2 × [4 × ² − 3(× ² + 4²)]
(× ² + 푦²)² = 2 × [퐴 × ² − 3 ×2− 3푦²]
(× ² + 푦²)² = 2 × [× ² − 3푦²]
 Transformar las siguientes ecuación de variable
× ² − 2푦² = 4(× +푦)²
×= 푐표푠휃 , 푦 = 푟푠푒푛휃
(푟푐표푠휃)² − 2(푟푠푒푛휃)² = 4[푟푐표푠휃 + 푟푠푒푛휃]²
푅2푐표푠휃 − 2푟2푠푒푛2 휃 = 4 [푟 (
×
푦
) + 푟 (
푦
×
2
)]
푅²[푐표푠²휃 − 2푠푒푛²휃] = 4(× +푦)²
푅² [(×
푟
) ² − 2 (푦
×
) ²] = 4(× +푦)²
푅² [
× ² − 2푦²
푟2
] = 4(× +푦)² × ² − 2푦² = 4(× +푦)²
×2 − 2푦2 = 4(×2+ 2 × 푦 + 푦2) ×2− 2푦2 = 4 ×2+ 8 × 푦 + 4푦2
3 × ² + 8 × 푦 + 64² = 0