ejercicios de calculo vectorial resueltos

1. Ejercicio2
Asociar cada gráfica del campo vectorial con su ecuación. Las gráficas se marcan como:
a), b), c), d), e) y f).

4. 3.- En lossiguientesejercicioscalcularel módulode ||F || , luegodibujarvectoresque representen al
campo vectorial,tambiéndibujaralgunascurvasde nivel que orientanlaformade expansióndel campo
F.
𝐹( 𝑥, 𝑦) = √( 𝑦)2 + (−2𝑥)2
𝐹( 𝑥, 𝑦) = √ 𝑦2 + 4𝑥2 = | 𝑥|
𝐹( 𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 4𝑥2 = | 𝑥|2
Elipse

5. 𝐹( 𝑥, 𝑦) = √( 𝑥)2
𝐹( 𝑥, 𝑦) = √ 𝑥2 = | 𝑥|
𝐹( 𝑥, 𝑦) = 𝑥 = | 𝑥|

6. 𝐹( 𝑥, 𝑦) = √( 𝑦2 + 𝑥2)2 + (1)2
𝐹( 𝑥, 𝑦) = √ 𝑦4 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑥4 = | 𝑥|
𝐹( 𝑥, 𝑦) = 𝑦4 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑥4 = | 𝑥|2

7. 4Hallar lassiguientesoperacionesmedianteel usodel operadorNabla,realice uncomentarioparacada
soluciónencontrada.
𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 𝑧𝑖 − 2𝑥𝑧𝑗 + 𝑦𝑧𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [
𝜕(𝑦𝑧)
𝜕𝑦
−
𝜕(−2𝑥𝑧)
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(𝑦𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑧)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕(−2𝑥𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑧)
𝜕𝑦
] 𝑘

8. ( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [1𝑧 − 2𝑥] 𝑖 − [0 − 𝑥2] 𝑗 + [−2𝑧 − 0] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= ( 𝑧 − 2𝑥)𝑖 + 𝑥2 𝑗 − 2𝑧𝑘
𝛻 × ( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑧 − 2𝑥 𝑥2 −2𝑧2]
= [
𝜕(−2𝑧2)
𝜕𝑦
−
𝜕( 𝑥2)
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(−2𝑧2)
𝜕𝑥
−
𝜕( 𝑧 −2𝑥)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕( 𝑥2)
𝜕𝑥
−
𝜕( 𝑧 −2𝑥)
𝜕𝑦
] 𝑘
𝛻 × ( 𝛻 × 𝑓) = [
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 −1 −2
] = 0𝑖 − 2𝑗 + 2𝑥𝑘
𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 𝑧𝑖 − 2𝑥𝑧𝑗 + 𝑦𝑧𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [
𝜕(𝑦𝑧)
𝜕𝑦
−
𝜕(−2𝑥𝑧)
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(𝑦𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑧)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕(−2𝑥𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑧)
𝜕𝑦
] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [1𝑧 − 2𝑥] 𝑖 − [0 − 𝑥2] 𝑗 + [−2𝑧 − 0] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= ( 𝑧 − 2𝑥)𝑖 + 𝑥2 𝑗 − 2𝑧𝑘
𝛻.( 𝛻 × 𝑓) = (
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
)(( 𝑧 − 2𝑥)𝑖 + 𝑥2 𝑗 − 2𝑧𝑘)
𝛻. ( 𝛻 × 𝑓) = (
𝜕( 𝑧 − 2𝑥)
𝜕𝑥
,
𝜕(𝑥2)
𝜕𝑦
,
𝜕(−2𝑧)
𝜕𝑧
)
𝛻. ( 𝛻 × 𝑓) = −2𝑖 + 0𝑗 − 2𝑘)
𝛻. ( 𝛻 × 𝑓) = −4

9. 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 𝑦𝑖 + 𝑦𝑧2 𝑗 + 𝑥𝑦𝑧3 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑦 𝑦𝑧2 𝑥𝑦𝑧3]
= [
𝜕(𝑥𝑦𝑧3)
𝜕𝑦
−
𝜕(𝑦𝑧2)
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(𝑥𝑦𝑧3)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑦)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕(𝑦𝑧2)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑥2 𝑦)
𝜕𝑦
] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [ 𝑥𝑧3 − 2𝑦𝑧] 𝑖 − [ 𝑦𝑧3 − 0] 𝑗 + [2𝑧𝑦 − 𝑥2] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= ( 𝑥𝑧3 − 2𝑦𝑧) 𝑖 − ( 𝑦𝑧3) 𝑗 + (2𝑧𝑦 − 𝑥2)𝑘
𝛻 × ( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
( 𝑥𝑧3 −2𝑦𝑧) −( 𝑦𝑧3) 2𝑧𝑦 − 𝑥2
]
= [
𝜕(2𝑧𝑦 − 𝑥2)
𝜕𝑦
−
𝜕(−( 𝑦𝑧3))
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(2𝑧𝑦 − 𝑥2)
𝜕𝑥
−
𝜕( 𝑥𝑧3 −2𝑦𝑧)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕(− 𝑦𝑧3)
𝜕𝑥
−
𝜕( 𝑥𝑧3 −2𝑦𝑧)
𝜕𝑦
] 𝑘
𝛻 × ( 𝛻 × 𝑓) = [
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 −1 −2
] = 0𝑖 − 0𝑗 + 0𝑘
Sea 𝐹( 𝑥, 𝑦) =
𝑦
𝑥2+𝑦2
𝑖 −
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝑗. Encontrar el valor de la integral de línea.
La integral de líneaenuncampo conservativoenunatrayectoriacerradada como resultadocerodebido
que estano depende de latrayectoriasinodel campovectorial.
Antesde nada tenemosque versi el campovectorial esconservativomediante el 𝑟𝑜𝑡 = ∇ × 𝐹 = 0
𝑟𝑜𝑡 = ∇ × 𝐹 =
𝑖 𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑥
𝑥2 + 𝑦2
El campo vectorial esconservativoporque nosdael rotacional cero.
𝑟𝑜𝑡 = −
𝑦2 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 +
𝑦2 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑦2 = 0

10. ∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
𝑐1
𝐹( 𝑥, 𝑦) = sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
𝑟( 𝑡) = cos2(𝑡) 𝑖 + sin2(𝑡) 𝑗
𝑟′( 𝑡) = −2sin( 𝑡) cos( 𝑡) 𝑖 + sin(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑗
∫ 𝐹 ∙ 𝑇 𝑑𝑠
𝑐1
= ∫
𝐹
→ (
𝑟( 𝑡)
→ )∙
𝑟′( 𝑡)
→
|
𝑟′( 𝑡)
→ |
|
𝑟′( 𝑡)
→ |𝑑𝑡
𝑐1
= ∫
𝐹
→ (
𝑟′( 𝑡)
→ )
𝑐1
𝑑𝑡
∫ (sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
2𝜋
0
) ∙ (−2sin( 𝑡) cos( 𝑡) 𝑖 + sin(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑗)
∫ −sin2(𝑡)cos(𝑡) − sin(t)cos2(𝑡)
2𝜋
0
𝑑𝑡 = 0
∫ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
𝑐2
𝐹( 𝑥, 𝑦) = sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
𝑟( 𝑡) = cos(t) − sin(t) − 1.8
𝑟′( 𝑡) = −cos(t) − sin(t)

11. ∫ −2cos(𝑡)sin(𝑡)
2𝜋
0
= 0
𝐹( 𝑥, 𝑦) = sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
𝑟( 𝑡) = 0.5i − 𝑐𝑜 𝑠( 𝑡) 𝑗
𝑟′( 𝑡) = sin(t)j
∫ sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
2𝜋
0
∙ sin(𝑡)𝑗
∫ − sin( 𝑡) cos( 𝑡)
2𝜋
0
= 0
𝐹( 𝑥, 𝑦) = sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
𝑟( 𝑡) = sin(𝑡)𝑖
𝑟′( 𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑖
∫ sin(𝑡)𝑖 − cos(𝑡)𝑗
2𝜋
0
∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑡)𝑖
∫ sin(t)cos(t)
2𝜋
0
𝑑𝑡 = 0

12. 𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐1
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐1
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑎
𝑏
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
− ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑 𝑟 = 0
→ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐2
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐2
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑎
𝑏
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
− ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑 𝑟 = 0
→ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

13. 𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐3
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐3
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑎
𝑏
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
− ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑 𝑟 = 0
→ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐4
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑐4
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑎
𝑏
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
− ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
𝑊 = ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑 𝑟 = 0
→ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

14. 6 Mediante el uso del teorema de Green y dado:
Donde C es una circunferencia orientada en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Mostrar que I=0, si C no contiene al origen. ¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen?
(Graficar campo eléctrico,ycurvaC)
𝐼 = ∫
𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= 0
𝐼 = ∬(
𝑥2
+ 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
−
𝑥2
+ 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
)
𝑐
𝐼 = 0
𝑐: {
𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡
𝐼 = ∬ < 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡 >. < −𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡 >
2𝜋
0
𝐼 = −∬ 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 𝑎𝑡
2𝜋
0
𝐼 = −2𝜋
Verificarel Teoremade Stokes,desde losdosladosde laecuación.Graficarel campovectorial,la
superficie ylacurvaC. Considerarque Cestá orientadoensentidocontrarioalas manecillasdel reloj,
con ellose puede orientarel rotacional.

15. 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑗 + 4𝑥𝑦𝑘
𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2
𝑧 = 0
𝛻 × 𝑓 = ( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
4𝑥𝑧 𝑦 4𝑥𝑦]
= [
𝜕(4𝑥𝑧)
𝜕𝑦
−
𝜕(𝑦)
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕(4𝑥𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕(4𝑥𝑦)
𝜕𝑧
] 𝑗 + [
𝜕(𝑦)
𝜕𝑥
−
𝜕(4𝑥𝑧)
𝜕𝑦
] 𝑘
( 𝛻 × 𝑓) =
[
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥2 𝑧 −2𝑥𝑧 𝑦𝑧]
= [0 − 0]𝑖 − [4𝑦 − 0] 𝑗 + [0 − 0] 𝑘
∫∫(0𝑖 − 4𝑦𝑗 + 0𝑘)(0,0,−1)(4y)
∫∫16𝑦2 𝑑𝐴

16. ∫ ∫ 16𝑦2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑟=3
0
2𝜋
0
∫ ∫ 16𝑐𝑜𝑠𝜃2
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑟=3
0
2𝜋
0
72𝜋