Dokumen tersebut membahas teori-teori dasar dalam analisis struktur seperti hukum Hooke, teorema Betti, hukum timbal balik Maxwell, energi regangan, prinsip kerja virtual, teori momen area, dan metode unit beban untuk menghitung defleksi rangka batang.
1. Bab ini membahas analisis tegangan dan regangan bidang pada suatu struktur.
2. Dibahas transformasi tegangan dan regangan dengan merubah orientasi sumbu koordinat untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.
3. Nilai tegangan dan regangan ekstrim penting untuk mengetahui kekuatan struktur.
Dokumen tersebut membahas tentang tegangan normal dan geser pada penampang miring batang yang mendapat beban tarik. Tegangan normal dan geser dapat dihitung berdasarkan sudut penampang terhadap sumbu batang dan tegangan normal pada sumbu batang. Tegangan geser maksimum terjadi pada sudut 45 derajat.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, koefisien, dan fungsi. Fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel bebas dan terikat, yang dapat berupa fungsi linier, kuadrat, atau lainnya. Diuraikan pula cara menentukan kemiringan garis dan titik potong sumbu pada fungsi linier.
Dokumen tersebut membahas teori-teori dasar dalam analisis struktur seperti hukum Hooke, teorema Betti, hukum timbal balik Maxwell, energi regangan, prinsip kerja virtual, teori momen area, dan metode unit beban untuk menghitung defleksi rangka batang.
1. Bab ini membahas analisis tegangan dan regangan bidang pada suatu struktur.
2. Dibahas transformasi tegangan dan regangan dengan merubah orientasi sumbu koordinat untuk mendapatkan nilai ekstrimnya.
3. Nilai tegangan dan regangan ekstrim penting untuk mengetahui kekuatan struktur.
Dokumen tersebut membahas tentang tegangan normal dan geser pada penampang miring batang yang mendapat beban tarik. Tegangan normal dan geser dapat dihitung berdasarkan sudut penampang terhadap sumbu batang dan tegangan normal pada sumbu batang. Tegangan geser maksimum terjadi pada sudut 45 derajat.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, koefisien, dan fungsi. Fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel bebas dan terikat, yang dapat berupa fungsi linier, kuadrat, atau lainnya. Diuraikan pula cara menentukan kemiringan garis dan titik potong sumbu pada fungsi linier.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, koefisien, dan fungsi. Fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel bebas dan terikat, yang dapat berupa fungsi linier, kuadrat, atau lainnya. Diuraikan pula cara menentukan kemiringan garis dan titik potong sumbu pada fungsi linier.
1. Lingkaran Mohr digunakan untuk merepresentasikan tegangan dan regangan bidang pada suatu elemen. Lingkaran ini memiliki pusat dan jari-jari yang berhubungan dengan besaran tegangan normal maksimum dan minimum serta tegangan geser.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi matematika ekonomi. Fungsi merupakan hubungan matematis antara variabel bebas dan variabel terikat. Ada berbagai jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, pangkat, eksponensial, dan lainnya. Fungsi dibedakan berdasarkan derajatnya dan letak variabel-variabelnya.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, dan fungsi. Fungsi didefinisikan sebagai hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas. Ada dua jenis fungsi yaitu fungsi eksplisit dan implisit. Fungsi aljabar menggunakan operasi matematika sederhana seperti penjumlahan.
Dokumen tersebut membahas tentang osilator harmonik dalam mekanika kuantum, dimana disebutkan bahwa energi osilator harmonik hanya memiliki spektrum diskrit dan bukan malar, serta fungsi gelombangnya dapat ditulis menggunakan polinomial Hermite.
Osilasi terjadi ketika suatu sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya dan memiliki gerakan periodik. Contohnya adalah perahu kecil yang berayun, bandul jam, dan getaran senar gitar. Osilasi harmonis sederhana terjadi ketika sistem mengalami gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya, seperti benda pada pegas. Energi sistem tetap konstan dan terdiri dari energi kinetik dan potensial. Osilasi akan teredam jika terj
Rumus-rumus untuk IPhO berisi rumus-rumus matematika, fisika, dan rekomendasi umum untuk Olimpiade Fisika Internasional, termasuk derivasi, integral, dinamika, getaran, dan gelombang.
Bab I membahas Metode Energi, termasuk definisi energi, hukum konservasi energi, kerja, kerja luar dan dalam, serta energi regangan. Metode Kerja Maya juga dijelaskan sebagai cara untuk menghitung komponen perpindahan dan gaya dalam struktur dengan menggunakan prinsip kerja maya sama antara gaya luar dan dalam. Contoh penerapan metode ini pada batang dan balok diajukan.
1. Dokumen tersebut membahas tentang gerak harmonik sederhana, yang merupakan gerak bolak-balik suatu benda melalui titik keseimbangan dengan frekuensi getaran yang konstan.
2. Parameter-parameter gerak harmonik sederhana meliputi amplitudo, periode, frekuensi, dan tetapan fasa. Solusi umum dari persamaan gerakan berupa fungsi sinus atau kosinus.
3. Dokumen juga menjelaskan konsep energi pada sistem gerak harmon
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, koefisien, dan fungsi. Fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel bebas dan terikat, yang dapat berupa fungsi linier, kuadrat, atau lainnya. Diuraikan pula cara menentukan kemiringan garis dan titik potong sumbu pada fungsi linier.
1. Lingkaran Mohr digunakan untuk merepresentasikan tegangan dan regangan bidang pada suatu elemen. Lingkaran ini memiliki pusat dan jari-jari yang berhubungan dengan besaran tegangan normal maksimum dan minimum serta tegangan geser.
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi matematika ekonomi. Fungsi merupakan hubungan matematis antara variabel bebas dan variabel terikat. Ada berbagai jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, pangkat, eksponensial, dan lainnya. Fungsi dibedakan berdasarkan derajatnya dan letak variabel-variabelnya.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian konstanta, variabel, dan fungsi. Fungsi didefinisikan sebagai hubungan antara variabel terikat dengan variabel bebas. Ada dua jenis fungsi yaitu fungsi eksplisit dan implisit. Fungsi aljabar menggunakan operasi matematika sederhana seperti penjumlahan.
Dokumen tersebut membahas tentang osilator harmonik dalam mekanika kuantum, dimana disebutkan bahwa energi osilator harmonik hanya memiliki spektrum diskrit dan bukan malar, serta fungsi gelombangnya dapat ditulis menggunakan polinomial Hermite.
Osilasi terjadi ketika suatu sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya dan memiliki gerakan periodik. Contohnya adalah perahu kecil yang berayun, bandul jam, dan getaran senar gitar. Osilasi harmonis sederhana terjadi ketika sistem mengalami gaya pemulih yang sebanding dengan simpangannya, seperti benda pada pegas. Energi sistem tetap konstan dan terdiri dari energi kinetik dan potensial. Osilasi akan teredam jika terj
Rumus-rumus untuk IPhO berisi rumus-rumus matematika, fisika, dan rekomendasi umum untuk Olimpiade Fisika Internasional, termasuk derivasi, integral, dinamika, getaran, dan gelombang.
Bab I membahas Metode Energi, termasuk definisi energi, hukum konservasi energi, kerja, kerja luar dan dalam, serta energi regangan. Metode Kerja Maya juga dijelaskan sebagai cara untuk menghitung komponen perpindahan dan gaya dalam struktur dengan menggunakan prinsip kerja maya sama antara gaya luar dan dalam. Contoh penerapan metode ini pada batang dan balok diajukan.
1. Dokumen tersebut membahas tentang gerak harmonik sederhana, yang merupakan gerak bolak-balik suatu benda melalui titik keseimbangan dengan frekuensi getaran yang konstan.
2. Parameter-parameter gerak harmonik sederhana meliputi amplitudo, periode, frekuensi, dan tetapan fasa. Solusi umum dari persamaan gerakan berupa fungsi sinus atau kosinus.
3. Dokumen juga menjelaskan konsep energi pada sistem gerak harmon
2. • TIU :
Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser
menggunakan lingkaran Mohr
• TIK :
Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang
3. Tegangan Bidang
• Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan,
maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan
contoh-contoh dari tegangan bidang (plane stress)
• Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar
dengan tepi-tepi elemen
• Bila bahan berada dalam keadaan tegangan
bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan
y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z
tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal
permukaan tersebut
Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya
tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor.
Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia
4. Tegangan Bidang
Tegangan Normal
• Tegangan normal , mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di
mana tegangan normal tersebut bekerja
• Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan x
• Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan y
• Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan
Tegangan Geser
• Tegangan geser , memiliki dua subskrip, subskrip pertama
menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua
menunjukkan arah di muka tersebut
• Tegangan xy bekerja di muka x dalam arah sumbu y
• Tegangan yx bekerja di muka y dalam arah sumbu x
5. Tegangan Bidang
Perjanjian Tanda
• Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai
negatif untuk tegangan tekan
• Tegangan geser bernilai positif apabila bekerja di muka positif dalam
arah positif, atau bekerja di muka negatif dalam arah negatif.
Sedangkan tegangan geser bernilai negatif apabila bekerja dalam
muka dan arah yang tidak bertanda sama
xy = yx
Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang,
biasanya cukup digambarkan dalam bentuk dua dimensi
6. Tegangan Bidang
Tegangan di Potongan Miring
• Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen
kubus tadi, apabila elemen ini diputar
berlawanan jarum jam melalui sudut terhadap
sumbu xy
• Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu
x1,y1 dan z1
• Tegangan normal dan geser pada elemen baru
ini diberi notasi x1, y1, x1y1 dan y1x1
• Pada elemen ini berlaku pula hubungan
x1y1 y1x1
7. Tegangan Bidang
Tegangan di Potongan Miring
• Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x1
dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri
• Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat
free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka
• Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi Ao.
Stresses Forces
8. Tegangan Bidang
• Susun persamaan kesetimbangan
• Fx1 = 0
x1Aosec – xAocos – xyAosin – yAotan sin – xyAo tan cos = 0
• Fy1 = 0
x1y1Aosec + xAosin – xyAocos – yAotan cos + yxAo tan sin = 0
x1 x y xy
= cos 2 + sin 2 + 2 sin cos
x1y1= −(x− y)sin cos + xy(cos 2 − sin 2)
• Karena xy = yx, maka dua persamaan di atas dapat disederhanakan :
Jika = 0o
atau 90o ??
9. Tegangan Bidang
• Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri :
cos2
1
1 cos 2 sin2
1
1 cos 2 sin cos
1
sin 2
2 2 2
• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :
xy
x1
x y
cos 2 sin 2
x y
2 2
2
cos 2
xy
x1y1
x y
sin 2
Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini
mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya
10. Tegangan Bidang
• Dengan mengganti nilai menjadi +90o, maka akan diperoleh y1 :
• Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :
• Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang
bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan
bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut .
x1 y1 x y
xy
y1
x y
cos 2 sin 2
x y
2 2
11. Tegangan Bidang
• Jika semua tegangan yang bekerja di elemen xy adalah nol kecuali
tegangan normal x, maka elemen dikatakan berada dalam keadaan
tegangan uniaksial
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
2
x1
x
1 cos 2
2
x1y1
x
sin 2
x1 atau x1y1
maks = x
maks = 0.5x
12. Tegangan Bidang
• Apabila x= y = 0, namun xy dan yx ≠ 0 maka elemen dikatakan
berada dalam keadaan geser murni (pure shear)
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
x1 xy sin 2
x1y1 xy cos 2 x1
x1y1
x1 maks pada
= 45o
13. Tegangan Bidang
• Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada
tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan
tegangan biaksial
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
x1
x y
x y
cos 2
2 2
2
x1y1
x y
sin 2
14. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dari persamaan untuk tan 2p, maka dapat diperoleh pula hubungan
untuk sin 2p dan cos 2p sebagai berikut
• Dengan nilai R adalah :
p
xy
R
sin 2 p
cos 2
x y
2R
2
2
xy
2
R x y
15. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dari dua buah nilai p yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya
tegangan – tegangan utama sebagai berikut :
2
x y
2
x y
2
xy
2
1,2
• Dengan 1 merupakan tegangan utama maksimum, dan 2 adalah
tegangan utama minimum
• Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga
hubungan yang menyatakan 1 + 2 = x + y
Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama
16. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan
tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan
y itu sendiri (karena nilai tan 2p = 0, yang dipenuhi oleh p = 0o dan
90o)
• Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang
berorientasi 45o terhadap sumbu x (karena tan 2p = , yang dipenuhi
oleh p = 45o dan 135o). Jika xy positif, maka 1 = xy, da 2 = - xy
Elemen dalam keadaan Tegangan
Uniaksial dan Biaksial
Elemen dalam keadaan Geser Murni
17. nol.
Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dengan cara yang sama tegangan geser maksimum dan bidang dimana
tegangan tersebut bekerja dapat dicari dari persamaan transformasi
untuk x1y1 yang dideferensial terhadap dan menyamakannya dengan
• Diperoleh pula hubungan antara s dan p sebagai berikut :
d
• Yang menghasilkan
cos 2 2 sin 2 0
xy
y
x
dx1y1
xy
y
x
s
2
tan 2
s1 p1 45o
s2 p1 45o
18. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Besarnya tegangan geser maksimum yang diperoleh adalah :
• Dapat dibuktikan pula bahwa tegangan geser maksimum sama dengan
setengah selisih tegangan-tegangan utama
• Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan
normal yang besarnya sama dengan :
2
x y
2
xy
2
maks
1 2
2
maks
x y
2
ratarata