Dokumen ini membahas analisis tegangan dan regangan pada berbagai kondisi dengan menggunakan lingkaran Mohr, termasuk tegangan normal, geser, dan transformasi antara sistem sumbu. Penjelasan mencakup berbagai keadaan seperti tegangan uniaksial, murni, dan biaksial serta bagaimana memodelkan dan menghitung tegangan pada elemen kubus. Selain itu, juga dijelaskan mengenai tegangan utama dan tegangan geser maksimum serta relasinya dalam berbagai konfigurasi.

1. Analisis Tegangan dan Regangan
Bidang

2. • TIU :
 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan normal dan geser
menggunakan lingkaran Mohr
• TIK :
 Mahasiswa dapat menganalisis tegangan pada bidang

3. Tegangan Bidang
• Jenis-jenis tegangan yang timbul pada batang akibat tarik, tekan,
maupun torsi yang sudah dipelajari hingga saat ini adalah merupakan
contoh-contoh dari tegangan bidang (plane stress)
• Tinjau suatu elemen kubus dalam gambar, dengan sumbu xyz sejajar
dengan tepi-tepi elemen
• Bila bahan berada dalam keadaan tegangan
bidang dalam bidang xy, maka hanya muka x dan
y dari elemen yang mengalami tegangan, muka z
tidak bertegangan dan sumbu z adalah normal
permukaan tersebut
Tegangan bukanlah vektor karena tidak dapat dijumlahkan dengan aturan jajaran genjang. Sebenarnya
tegangan merupakan besaran yang lebih rumit daripada vektor dan dalam matematika disebut tensor.
Besaran tensor lainnya adalah regangan dan momen inersia

4. Tegangan Bidang
Tegangan Normal
• Tegangan normal , mempunyai subskrip yang menunjukkan muka di
mana tegangan normal tersebut bekerja
• Tegangan yang bekerja di muka x dari elemen dinotasikan x
• Tegangan yang bekerja di muka y dari elemen dinotasikan y
• Tegangan normal yang sama bekerja di muka yang berlawanan
Tegangan Geser
• Tegangan geser , memiliki dua subskrip, subskrip pertama
menunjukkan muka di mana tegangan bekerja, subskrip kedua
menunjukkan arah di muka tersebut
• Tegangan xy bekerja di muka x dalam arah sumbu y
• Tegangan yx bekerja di muka y dalam arah sumbu x

5. Tegangan Bidang
Perjanjian Tanda
• Tegangan normal bernilai positif untuk tegangan tarik, dan bernilai
negatif untuk tegangan tekan
• Tegangan geser bernilai positif apabila bekerja di muka positif dalam
arah positif, atau bekerja di muka negatif dalam arah negatif.
Sedangkan tegangan geser bernilai negatif apabila bekerja dalam
muka dan arah yang tidak bertanda sama
xy = yx
Untuk memudahkan penggambaran elemen tegangan bidang,
biasanya cukup digambarkan dalam bentuk dua dimensi

6. Tegangan Bidang
Tegangan di Potongan Miring
• Selanjutnya akan ditinjau tegangan pada elemen
kubus tadi, apabila elemen ini diputar
berlawanan jarum jam melalui sudut  terhadap
sumbu xy
• Elemen yang diputar ini terkait dengan sumbu
x1,y1 dan z1
• Tegangan normal dan geser pada elemen baru
ini diberi notasi x1, y1, x1y1 dan y1x1
• Pada elemen ini berlaku pula hubungan
x1y1 y1x1

7. Tegangan Bidang
Tegangan di Potongan Miring
• Potongan elemen tegangan yang mempunyai muka miring yang sama dengan muka x1
dari elemen miring, ditunjukkan pada gambar kiri
• Untuk menuliskan persamaan kesetimbangan potongan elemen tersebut, maka dibuat
free-body diagram yang menunjukkan gaya-gaya yang bekerja di semua muka
• Luas muka kiri (muka x negatif) diberi notasi Ao.
Stresses Forces

8. Tegangan Bidang
• Susun persamaan kesetimbangan
• Fx1 = 0
x1Aosec  – xAocos  – xyAosin  – yAotan  sin  – xyAo tan  cos  = 0
• Fy1 = 0
x1y1Aosec  + xAosin  – xyAocos  – yAotan  cos  + yxAo tan  sin  = 0
x1 x y xy
 =  cos 2 +  sin 2 + 2 sin  cos 
x1y1= −(x− y)sin  cos  + xy(cos 2 − sin 2)
• Karena xy = yx, maka dua persamaan di atas dapat disederhanakan :
Jika  = 0o
atau 90o ??

9. Tegangan Bidang
• Dari persamaan-persamaan dalam trigonometri :
cos2
 
1
1 cos 2 sin2
 
1
1 cos 2 sin cos 
1
sin 2
2 2 2
• Maka persamaan sebelumnya dapat dituliskan menjadi :
 xy
x1 
x y
cos 2  sin 2

x y
2 2
2
cos 2
xy
x1y1
  
x y
sin 2 
Persamaan ini disebut persamaan transformasi untuk tegangan bidang, karena persamaan ini
mentransformasikan komponen tegangan dari satu sistem sumbu ke sistem sumbu lainnya

10. Tegangan Bidang
• Dengan mengganti nilai  menjadi +90o, maka akan diperoleh y1 :
• Dan akhirnya akan didapatkan pula hubungan :
• Persamaan ini menunjukkan bahwa jumlah tegangan normal yang
bekerja di muka-muka yang saling tegak lurus dari elemen tegangan
bidang adalah konstan dan tidak bergantung pada sudut .
x1 y1  x y
 xy
y1 
x y
cos 2  sin 2

x y
2 2

11. Tegangan Bidang
• Jika semua tegangan yang bekerja di elemen xy adalah nol kecuali
tegangan normal x, maka elemen dikatakan berada dalam keadaan
tegangan uniaksial
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
2
x1
 
x
1 cos 2
2
x1y1
  
x
sin 2
x1 atau x1y1
maks = x
maks = 0.5x

12. Tegangan Bidang
• Apabila x= y = 0, namun xy dan yx ≠ 0 maka elemen dikatakan
berada dalam keadaan geser murni (pure shear)
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
x1 xy sin 2
x1y1 xy cos 2 x1
x1y1
x1 maks pada
 = 45o

13. Tegangan Bidang
• Bila elemen mengalami tegangan normal dalam arah x dan y, tanpa ada
tegangan geser maka elemen dikatakan berada dalam keadaan
tegangan biaksial
• Persamaan transformasi yang berkaitan adalah :
x1
 
x y

x y
cos 2
2 2
2
x1y1
  
x y
sin 2

14. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dari persamaan untuk tan 2p, maka dapat diperoleh pula hubungan
untuk sin 2p dan cos 2p sebagai berikut
• Dengan nilai R adalah :
p

xy
R
sin 2 p
cos 2 
x y
2R
2
2
xy

2
 
 
R   x y
 

15. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dari dua buah nilai p yang diperoleh, maka akan ditemukan besarnya
tegangan – tegangan utama sebagai berikut :
2
x y
2
x y
2
 xy


2



   
1,2 
• Dengan 1 merupakan tegangan utama maksimum, dan 2 adalah
tegangan utama minimum
• Dari persamaan tersebut dapat dilihat pula bahwa berlaku juga
hubungan yang menyatakan 1 + 2 = x + y
Tegangan geser adalah sama dengan nol di bidang-bidang utama

16. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Elemen-elemen yang berada dalam keadaan tegangan uniaksial dan
tegangan biaksial, memiliki bidang utama berupa bidang-bidang x dan
y itu sendiri (karena nilai tan 2p = 0, yang dipenuhi oleh p = 0o dan
90o)
• Elemen yang berada dalam geser murni, memiliki bidang utama yang
berorientasi 45o terhadap sumbu x (karena tan 2p = , yang dipenuhi
oleh p = 45o dan 135o). Jika xy positif, maka 1 = xy, da 2 = - xy
Elemen dalam keadaan Tegangan
Uniaksial dan Biaksial
Elemen dalam keadaan Geser Murni

17. nol.
Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Dengan cara yang sama tegangan geser maksimum dan bidang dimana
tegangan tersebut bekerja dapat dicari dari persamaan transformasi
untuk x1y1 yang dideferensial terhadap  dan menyamakannya dengan
• Diperoleh pula hubungan antara s dan p sebagai berikut :
d
• Yang menghasilkan
 cos 2  2 sin 2  0
xy
y
x
dx1y1
 

xy
y
x
s
2
 
tan 2  

s1 p1  45o

s2 p1  45o

18. Tegangan Utama & Tegangan Geser Maksimum
• Besarnya tegangan geser maksimum yang diperoleh adalah :
• Dapat dibuktikan pula bahwa tegangan geser maksimum sama dengan
setengah selisih tegangan-tegangan utama
• Bidang-bidang tegangan geser maksimum juga mengandung tegangan
normal yang besarnya sama dengan :
2
x y
2
 xy


2


 
maks 
 
1 2
2
maks
 
x y
2
ratarata