Θετικές Επιστήμες & Υλικός Πολιτισμός των Μουσείων Γεωμετρία & Έκθεση Μαθηματικών Γεωμετρία & Ψηφιακή Πολιτιστική κληρονομιά

1. • Θετικές Επιστήμες & Υλικός Πολιτισμός των Μουσείων
• Γεωμετρία & Έκθεση Μαθηματικών
• Γεωμετρία & Ψηφιακή Πολιτιστική κληρονομιά
Αργύρη Παναγιώτα (Μ.Sc, M.Ed), Μαθηματικός Πρότυπο Γενικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης
Υποψήφια Διδάκτωρ , Τμήμα Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

3. • Ο σχεδιασμός εκπαιδευτικών δράσεων και δραστηριοτήτων για την ανάδειξη και προσέγγιση του υλικού
πολιτισμού των μουσείων μέσω της σύνδεσης με την σχολική μαθηματική γνώση του Γυμνασίου
συμφωνεί με τις απόψεις της Σύγχρονης Μουσειολογίας, της Θεωρίας του Υλικού Πολιτισμο και των
συγχρονων θεωριών μάθησης των μαθηματικών. (βλ. ενδεικτικά P. Vergo, 1989; E. Hooper-Greenhill,
1992; T. Bennett, 1995; S. M. Pearce, 1994; U. Eco, 1993).
• Η επινόηση και εφαρμογή σύγχρονων ανοικτών εναλλακτικών μεθόδων και στόχων, κατάλληλων για την
προσέγγιση και αξιοποίηση του υλικού πολιτισμού των μουσειακών χώρων έμμεσα παρέχουν και τη
δυνατότητα αντίστοιχου εμπλουτισμού, ανανέωσης αλλά και αναπροσανατολισμού των σχολικών
εκπαιδευτικών μεθόδων.
• Ο σχεδιασμός και η συστηματική εφαρμογή σύγχρονων μουσειοπαιδαγωγικών εκπαιδευτικών
προγραμμάτων με βάση το γνωστικό αντικείμενο μπορεί να λειτουργήσει και ως πρόκληση για τη
σχολική εκπαίδευση, η οποία διακρίνεται για τον παραδοσιακό προσανατολισμό της, σε σχέση με τον
οποίο, μεταξύ άλλων, μεγαλύτερη σημασία αποδίδεται στη διδακτέα ύλη από όσο στη μαθησιακή
διαδικασία (Νακου, 2006)

4. Μέλος της συντακτικής ομάδας εργασίας για την
εκπόνηση εκπαιδευτικού υλικού Γυμνασίου στα
πλαίσια του έργου: Δίκτυο Παυσανίας 2.0. Από το
Σχολείο στο Μουσείο (κωδικός ΜΙS 453683).
Φορέας υλοποίησης: Πολιτιστικό Ίδρυμα Ομίλου
Πειραιώς (ΠΙΟΠ), στα πλαίσια του Ειδικού
Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου
Μάθηση» του Υπουργείου Πολιτισμού, Παιδείας
και Θρησκευμάτων.
http://www.piop.gr/el/Programmes/Pafsanias.as
px

6. 1) Η κλωστή αρκετών κουκουλιών γίνεται ενιαία και μετά τυλίγεται στο “μαντζιλίκι”, ξύλινο χειροκίνητο
τροχό του :
1.1) Το γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζει η κλωστή που τυλίγεται γύρω από τον ξύλινο τροχό είναι :
Α. Τρίγωνο. Β. Τετράγωνο. Γ. Κανονικό Εξάγωνο. Δ. Ορθογώνιο.
1.2) Τα 6 σχηματιζόμενα τρίγωνα του παραπάνω γεωμετρικού σχήματος (Εικόνα 2) είναι :
Α. Ορθογώνια Β. Σκαληνά Γ. Ισόπλευρα Δ. Ισοσκελή
1.3) Στην περίπτωση που θέλουμε να μετρήσουμε το μήκος της κλωστής που έχουμε τυλίξει μία φορά
γύρω από το “μαντζιλίκι”, τότε στο σχηματιζόμενο γεωμετρικό σχήμα θα υπολογίσουμε :
Α. Την περίμετρο του, Β. Το εμβαδόν του, Γ. Το μήκος των ξύλων.
1.4) Αν γνωρίζετε ότι η απόσταση του κέντρου του τροχού Ο από μία κορυφή του π.χ την Δ είναι R =0,80m,
τότε το μήκος της κάθε πλευράς είναι :
A. Ίσο με R B. Διπλάσιο από το R Γ. Εξαπλάσιο από το R.

7. Απόπνιξη ονομάζεται το ξετύλιγμα της κλωστής των κουκουλιών, αφού προηγουμένως αυτά
τοποθετηθούν σε ζεστό νερό, με την βοήθεια απλών εργαλείων.
Με βάση τις γνώσεις σας απο την Χημεία να επιλέξετε με ποιες απο τις ακόλουθες λέξεις :
• Στερεό, υγρό , αέριο, υδρατμό, θα συμπληρωθούν ορθά οι παρακάτω προτάσεις.
• Βρασμός του νερού, είναι η μετατροπή του υγρού νερού σε ..................... από όλη τη μάζα του.
• Υγροποίηση του υδρατμού, είναι η μετατροπή του αέριου νερού σε ................ νερό.

8. 2) Υλικά αντικείμενα τυροκομίας στο Μουσείο Περιβάλλοντος στη Στυμφαλία. Το γάλα που προορίζεται για
την παραγωγή φέτας βράζεται μέσα στο ένα μεγάλο σκεύος το λεβέτι.
2.1) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση στις ακόλουθες ερωτήσεις :
-Τι γεωμετρικό στερεό σχήμα είναι το λεβέτι ;
Α. Κύκλος Β. Σφαίρα Γ. Κύλινδρος.
-Τι γεωμετρικό σχήμα είναι η βάση του σκεύους ;
Α. Κύκλος B. Ορθογώνιο Γ. Δεν μου θυμίζει κάτι.
-Για να υπολογίσουμε πόσο γάλα χωράει μέσα στο λεβέτι υπολογίζουμε:
Α. Τον όγκο του Β. Το εμβαδόν του Γ. Την περίμετρο του.
2.2) Ο μαθηματικός τύπος που θα χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε πόσο γάλα χωράει μέσα στο λεβέτι
είναι …..
2.3) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα ενός σκεύους που έχει διάμετρο βάσης 5dm και ύψος 3dm σε ml.

9. Ένα απο τα βασικά υλικά της κτηνοτροφίας που εκτίθενται στο Μουσείο είναι τα κουδούνια (κύπροι, τροκάνια
και κουδούνια, σε διαφορετικά μεγέθη, που κρέμονται από τον λαιμό των ζώων με δερμάτινες ή ξύλινες
λαιμαριές).
Παρατηρήστε τις δύο εικόνες οι οποίες περιγράφουν την κίνηση στο εσωτερικό των κουδουνιών.
Εικόνα 1 Εικόνα 2
Συμφωνείτε οτι τελικά στο εσωτερικό των κουδουνιών έχουμε ένα απλό εκρεμμές ;
1)Να επιλέξετε την σωστή απάντηση :
Πως ονομάζεται η κίνηση που εκτελεί το απλό εκκρεμές (αν απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας ανάμεσα
στις δύο ακραίες θέσεις Β και Γ) ;
A. Κυκλική Β.Ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη Γ. Ταλάντωση.
2) Κυκλώστε τρία απο τα παρακάτω φυσικά μεγέθη χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε την ταλάντωση :
Ταχύτητα , Συχνότητα , επιτάχυνση, δύναμη, πλάτος, βάρος, ενέργεια, περίοδος, διάστημα , μήκος.

10. 3) Η πλέον συνηθισμένη πρακτική αναγνώρισης των ζώων από τους κτηνοτρόφους είναι ο ήχος των
κουδουνιών.
Συμπληρώστε τακενά στην παρακάτω πρόταση που εξηγεί πως παράγεται ο ήχος των κουδουνιών :
Oι ...................... των σωμάτων στον αέρα δημιουργούν μηχανικά κύματα τα οποία διαδίδονται σε αυτόν και
ονομάζονται ...................... κύματα.
4) Ένας κτηνοτρόφος στην περιοχή της λίμνης ακούει τον ήχο του κουδουνιού απο ένα «βλαχοπρόβατο» του
κοπάδιου 20 sec μετά απο τη στιγμή που το βλέπει να πλησιάζει.Ο ήχος στον αέρα διαδίδεται με ταχύτητα
340 m/s.
4.1)Mε βάση τις γνώσεις σας απο την Φυσική γωρίζετε οτι η συχνότητα και το μήκος κύματος συνδέονται με
την ταχύτητα διάδοσης μέσω της γνωστής εξίσωσης της κυματικής υ=λ · f.
Να αναγνωρίζετε τα δεδομένα του παραπάνω προβλήματος :
4.2) Μπορείς να υπολογίσεις σε πόση απόσταση βρίσκεται το ζώο από το βοσκό;

11. Σας δίνονται τα παρακάτω στοιχεία να συμπληρώσετε την απόδοση του κάθε τύπου ελίας:
Α) ‘Αδρυαμιτιανή’ Απο 500 κιλά ελιές που συλλεγονται απο τον ελαιώνα παράγονται 100 κιλά λάδι στο
ελαιτριβείο.
Απόδοση = .............../ ..................= .............%
Β) ‘Λαδολιά’: Απο 350 κιλά ελιές που συλλεγονται απο τον ελαιώνα παράγονται 105 κιλά λάδι στο ελαιτριβείο.
Απόδοση = .............../ ..................= .............%
Στο Μουσείο Βιομηχανικής Ελαιουργίας Λέσβου παρουσιάζεται και η έννοια της
συνάρτησης και των τρόπων αναπαράστασής της (γραφική, λεκτική, πίνακας τιμών).

12. Για την σύνθλιψη του καρπού της ελιάς ,τα υλικά αντικείμενα του Μουσείου μαρτυρούν οτι αρχικά γινόταν χειρονακτικά
σε μεγάλες πέτρινες λεκάνες, στη συνέχεια με κυλινδρικό σπαστήρα, με κυλινδρικές μυλόπετρες, ανάμεσα σε λίθινη
βάση συμπίεσης με ξύλινο μοχλό, με ελαιόμυλους τύπου trapetum και mola olaeria, με κυλιδρικό χειροκίνητο
ελαιοτριβείο, ανάμεσα σε ξύλινες πλάκες συμπίεσης προσαρμοσμένες σε δύο μεγάλες βίδες κλπ.
1)Όμως η σύνθλιψη του ελαιοκάρπου με οποιοδήποτε μέσο και αν πραγματοποιηθεί και σε οποιαδήποτε εποχή και αν
αναφερόμαστε συνδέεται με το φυσικό μέγεθος της :
Α. Ταχύτητας Β. Πίεσης Γ. Ισχύος Δ.Επιτάχυνσης.
2) Αν διπλασιαστεί η δύναμη που ασκείται προς για την συμπίεση του ελαιοπολτού τότε η πίεση :
Α. Διπλασιάζεται Β.Τριπλασιάζεται Γ. Τετραπλασιάζεται.
3) Αν διπλασιαστεί το εμβαδόν της επιφάνειας πάνω στην οποία ασκείται η δύναμη για την σύνθλιψη του καρπού, τότε
η άσκηση της πίεσης :
Α. Διπλασιάζεται Β. Τετραπλασιάζεται Γ.Υποδιπλασιάζεται.

13. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω εκφράσεις :
1)Ένα απο τα κριτήρια ποιότητας του ελαιολάδου είναι η οξύτητα του. Όταν στην ετικέτα του ελαιολάδου
ανάγραφετε οξύτητα 2% , σημαίνει οτι σε........ γραμμάρια ελαιολάδου περιέχονται ..............γραμμάρια οξέα.
2)Το εξευγενισμένο λάδι (ραφινέ ) προκύπτει με την εξουδετέρωση των οξέων του ελαιολάδου. Όταν
αναμειγνύουμε ένα διάλυμα ......................... με ένα διάλυμα βάσης, τα ιόντα Η+ και τα ιόντα ΟΗ- συνδέονται
μεταξύ τους σχηματίζοντας μόρια................:
Η+(aq) + ΟΗ-(aq) → ............(l). Η αντίδραση αυτή ονομάζεται εξουδετέρωση, ακριβώς διότι «εξουδετερώνονται»,
«εξαφανίζονται», τόσο οι ιδιότητες του οξέος όσο και αυτές της βάσης.

14. 1) Σύμφωνα με τους μηχανισμούς μετατροπής της υδραυλικής ενέργειας του Μουσείου Υδροκίνησης και με βάση τις γνώσεις
σας απο την Φυσική, να σημπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις με μία απο τις λέξεις που σημειώνονται μέσα στην
παρένθεση.
.
1.1 )Μονάδα μέτρησης της ενέργειας είναι το.............(Αmber, Joule, KW, Volt)
1.2) Η ενέργεια είναι δυνατόν να .......................................(κινείται, μετατοπίζεται, μεταφέρεται)
από ένα σώμα σε άλλο ή να..............................(κινείται , μετασχηματίζεται, χάνεται) από μια μορφή σε άλλη, όμως η συνολική
της ποσότητα διατηρείται .....................(μηδέν, σταθερή)
1.3) Η υδραυλική ενέργεια του νερόμυλου μετατρέπεται σε.................................(χημική, ηλεκτρική, κινητική) και σε
.............................(δυναμική, μηχανική, χημική) ενέργεια.
1.4) H κινητική ενέργεια δίνεται απο τον τύπο και οφείλεται στην ..............................(δύναμη, σύσταση, κίνηση) του νερού.
Η κινητική ενέργεια εξαρτάται απο την ....................(συσταση, δύναμη, μάζα, κίνηση) και την .......................( συσταση,
ταχύητητα, δύναμη, κίνηση) του νερού.
1.5) Η δυναμική ενέργεια δίνεται απο τον τύπο και εξαρτάται απο τη ...............(συσταση, δύναμη, μάζα, κίνηση, ταχύτητα) του
νερού και απο το ............................(ύψος,σημείο, χώρο )απο το οποίο πέφτει το νερό στον υδροτροχό

15. Οδηγός εκπαιδευτικού (Μουσείο Βιομηχανικής Ελαιουργίας Λέσβου)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MBEL_gymn_odi
gos_web.pdf
(ΙSBN 978-960-244-172-5)
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις θετικές
επιστήμες σελ. 19-23:
Φύλλα εργασίας (Μουσείο Βιομηχανικής Ελαιουργίας Λέσβου)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MBEL_gymn_fyll
a_web WATERMARK.pdf
Οδηγός εκπαιδευτικού (Υπαίθριο Μουσείο Υδροκίνησης)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/YMY_gymn_odig
os_web.pdf
(ΙSBN 978-960 -244-174-9)
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις θετικές
επιστήμες σελ. 19-23:
Φύλλα εργασίας (Υπαίθριο Μουσείο Υδροκίνησης)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/YMY_gymn_fylla
_web.pdf
1.3)
Οδηγός εκπαιδευτικού (Μουσείο Ελιάς και Ελληνικού Λαδιού)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MEEL_gymn_odi
gos_web.pdf
(ΙSBN 978-960-244-176-3)
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις θετικές
επιστήμες σελ. 17-21:
Φύλλα εργασίας (Μουσείο Ελιάς και Ελληνικού Λαδιού)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MEEL_gymn_fylla
__web WATERMARK.pdf
Οδηγός εκπαιδευτικού (Μουσείο Περιβάλλοντος Στυμφαλίας)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MPEST_g
ymn_odigos_web.pdf
(ΙSBN 978-960-244-178-7)
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις
θετικές επιστήμες σελ. 18-22:
Φύλλα εργασίας (Μουσείο Περιβάλοντος Στυμφαλίας)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/MPEST_g
ymn_fylla__web WATERMARK.pdf
Οδηγός εκπαιδευτικού (Μουσείο Πλινθιμοκεραμοποιίας Τσαλαπάτα)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/tsalapata
_gymn_odigos_web.pdf
ΙSBN 978-960-244-182-4
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις
θετικές επιστήμες σελ. 18-22:
Φύλλα εργασίας (Μουσείο Πλινθιμοκεραμοποιίας)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/tsalapata
_gymn_fylla_web WATERMARK.pdf
Οδηγός εκπαιδευτικού (Μουσείο Μετάξης)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/metaxis_
gymn_odigos_web.pdf
(ΙSBN 978-960-24 4-180-0)
Σαν ένδειξη γραφής εκπαιδευτικού υλικού παρατίθεται το φύλλο εργασίας για τις θετικές
επιστήμες σελ. 18-22:
Φύλλα εργασίας (Μουσείο Μετάξης)
http://www.piop.gr/el/Programs/Pafsanias/~/media/Files/Pafsanias/Museums/metaxis_gymn_fy
lla_web.pdf
Αργύρη, Π. (2017). «Η διδασκαλία των θετικών επιστημών στο Μουσείο» Πρακτικά 9ης Διεθνούς Μαθηματικής Εβδομάδας, σελ. 100-111, ISBN 978-960-89672-8-1,
Θεσσαλονίκη,Μάρτιος 2017: Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ), Παράρτημα Κεντρικής Μακεδονίας. Πρόσβαση στο άρθρο: http://bit.ly/2Mmqx8Q
Αργύρη, Π., (2017). «Δίκτυο Παυσανίας 2.0 για την σύνδεση του Μουσείου με την σχολική γνώση μέσω καινοτόμων εκπαιδευτικών προγραμμάτων» . 2ο Πανελλήνιο Συνέδριο
«Εκπαίδευση στον 21ο αιώνα : Θεωρία και Πράξη. Αναζητώντας το ελκυστικό και αποτελεσματικό σχολείο», Αθήνα, 19 - 21 Μαΐου 2017: Μουσείο Σχολικής Ζωής και Εκπαίδευσης
https://www.ekedisy.gr/praktika-2ou-panelliniou-synedriou/

16. ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΕΠΙΣΚΕΨΗ ΕΚΘΕΣΗ ΣΤΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΑΡΧΑΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ
ΚΩΣΤΑ ΚΟΤΣΑΝΑ
• Η εκπαιδευτική επίσκεψη εντάσσεται στα πλαίσια διδασκαλίας της Γεωμετρίας και των δημιουργικών
ερευνητικών εργασιών. Αποτελεί μία καινοτόμο προσέγγιση για την διερεύνηση μαθηματικών
αποτελεσμάτων μέσα απο την αξιοποίηση του υλικού πολιτισμού του Μουσείου. Στοχεύει γενικότερα
στην ενσωμάτωση των μορφών άτυπης μάθησης στην διδασκαλία.
• Επιδιώκεται να αναπτυχθεί μία αμφίδρομη σχέση μεταξύ Μουσείου και Σχολείου. Η εξόρμηση των
μαθητών ξεκινά από την μαθηματική σχολική γνώση και ανοίγεται μέσω του μουσείου σε δρόμους
ευρύτερης καλλιέργειας της προσωπικότητας των μαθητών. Όμως το Μουσείο επιστρέφει και πάλι στο
σχολείο, καθώς οι μαθητές ως αυριανοί πολίτες της σύγχρονης κοινωνίας, οφείλουν να καταθέσουν και να
παρουσιάσουν όσα αποκόμισαν από τη συνάντησή τους με τα επιτεύγματα του ανθρώπινου πολιτισμού.
• Το περιεχόμενο της εκπαιδευτικής επίσκεψης θα αξιοποιηθεί ώστε οι μαθητές να συντάξουν ερευνητική
εργασία για τις μαθητικές και γεωμετρικές έννοιες των εκθεμάτων του Μουσείου και ψηφιακές
δημιουργίες της μουσειακής συλλογής, όπως και τεχνήματα με βασικό χαρακτηριστικό τον αρχαίο
ελληνικό πολιτισμό.

17. • Ρολόι του Κτησιβίου
Μαθηματικό πρόβλημα:
Είστε στην Αρχαία Αθήνα και παρατηρείτε το προσφάτως κατασκευασμένο ρολόι του
Κτησιβίου. Ωστόσο, αμφιβάλλετε για την αποτελεσματικότητά του (όντας μαθηματικός
υψηλής νοημοσύνης). Γνωρίζετε πως για να λειτουργήσει το μηχάνημα, πρέπει να το
γεμίσουμε με συγκεκριμένη ποσότητα νερού, το οποίο καθώς κινείται μέσα στο
εσωτερικό του, επιτυγχάνει την περιστροφή ενός κυλίνδρου με κυκλική βάση κατά 360ᵒ
στη διάρκεια ενός έτους. Βλέπετε πως το σύστημα, λόγω βλάβης, έχει απώλεια 5
σταγόνων νερού των 0,2 ml ανά 2 μέρες. Ξέρετε πως μια δεδομένη στιγμή, το μηχάνημα
πρέπει να περιέχει συνολικά 4 λίτρα νερού.
Αν έχουν μείνει στο σύστημα 2,5 λίτρα νερού και το έχουμε τροφοδοτήσει την πρώτη
στιγμή ενός νέου έτους (00:00, 1η Ιανουαρίου), ποια είναι η ημερομηνία, ποια η ώρα,
κατά πόσες μοίρες έχει περιστραφεί ο κύλινδρος και πότε θα πρέπει να ξαναγεμίσουμε το
μηχάνημα (απάντηση με βάση το Γρηγοριανό ημερολόγιο); Δεδομένο πως κάθε έτος
αποτελείται από 12 μήνες των 30 ημερών.

18. Η πολιορκητική τεχνολογία των αρχαίων Ελλήνων:
Η ελέπολις του Επιμάχου
Κατά την αρχαιότητα οι διαμάχες μεταξύ των πόλεων κρατών ήταν ένα σύνηθες φαινόμενο. Μία τέτοια
περίπτωση είναι και η διαμάχη Αθηναίων Ροδίων το 304 π.Χ. Τότε οι Αθηναίοι με στρατηγό τον Δημήτριο τον
Πολιορκητή πολιόρκησαν την οχυρωμένη πόλη της Ρόδου.
• Συνολικά έχουν 2000 οπλίτες.
• Στην κατοχή του είχε 10 πολιορκητικούς πύργους όπως αυτοί ου Επιμάχου.
• Κάθε πύργος έχει 9 ορόφους εκ των οποίων ο καθένας χωρά 20 οπλίτες. Όμως όσο περισσότερους οπλίτες έχει
ένας πύργος τόσο δυσκολότερο είναι για αυτόν να κινηθεί.
• Συγκεκριμένα κάθε οπλίτης μειώνει την ταχύτητα του πύργου κατά 0,1 μέτρα το λεπτό.
• Επιπλέον οι πολιορκημένοι με τα βέλη και τους πύργους τους μπορούν να καταστρέψουν έναν πολιορκητικό
πύργο σε 20 λεπτά.
• Αν η εμβέλεια την τοξωτών και των πύργων είναι 500 μέτρα, οι πύργοι έχουν σταθερή ταχύτητα και επίσης
ένας άδειος πύργος κινείται με υ=50 μέτρα το λεπτό.
Να υπολογίσετε το μέγιστο πλήθος οπλιτών που μπορεί να έχει ένας πύργος ώστε να καταφέρει να φτάσει στα
εχθρικά τείχη και πόσοι θα μείνουν πεζοί;

19. Ο Αλέξανδρος και ο Πυθίας ήταν 2 αγαπημένα αδέλφια που εργάζονταν μαζί για την κατασκευή ενός νέου
στάβλου στο χωράφι του πατέρα τους. Για να ολοκληρώσουν το έργο τους χρησιμοποιούν μία ανυψωτική
μηχανή. Στόχος τους είναι να σηκώσουν μία πέτρα μάζας 50kg. Αν η πέτρα κινείται με επιτάχυνση α=2 m/s^2
και η δύναμη που ασκεί ο Αλέξανδρος είναι διπλάσια από αυτή που ασκεί ο Πυθίας.
Α. Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί ο καθένας τους, η ταχύτητα και η θέση τους μετά από 5s.
Β. Στο 5ο δευτερόλεπτο σπάει το σχοινί και η πέτρα εκτελεί ελεύθερη πτώση. Να υπολογιστεί σε πόσο χρόνο
φτάνει στο έδαφος.
Γ. Αν ο χρόνος αντίδρασης του Αλέξανδρου και του Πυθία είναι 1s, τότε θα προλάβουν να απομακρυνθούν κατά
5m αν η επιτάχυνσή τους είναι 2m/s^2
Δίνεται ότι g=10m/s^2
ΑΝΥΨΩΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ

20. Απάντηση:
Α. Για όλο το σύστημα ισχύει από Β’ Newton:
ΣF=mα => FΑ +FΠ –w =mα => 3FΠ= mα + mg => FΠ= 200Ν
Άρα F_A= 2F_Π=400Ν
Για την ταχύτητα ισχύει U=at => U=10 m/s
Και Δx= 〖at〗^2 => x=25m
Β. Αφού το σώμα έχει U=10 m/s θα κινηθεί με επιβράδυνση g=10m/s2 μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του.
Έχουμε ΔU=gt => 10t=15 => t=1.5s
Άρα h=x+ Ut - 〖at〗^2 => h= 40- 11,25=> h= 28,75
Άρα για την ελεύθερη πτώση: h=〖gt〗^2 => 28,75= 〖5t〗^2 => t=2,3s
Γ. Ο Αλέξανδρος και ο Πυθίας έχουν 1,3s να μετακινηθούν κατά 5m
Άρα Δx’=〖at〗^2 => Δx’=1,32 => Δx’= 1,74m
Άρα δεν θα προλάβουν.

21. ΠΑΡΑΘΕΜΑ
Ο «ιστός» της αποτελούνταν από δύο γιγάντια ξύλα σε σχήμα Λ. Η άρθρωσή της εξασφαλιζόταν από δύο
βαθουλώματα στο έδαφος. Η σταθεροποίησή της σε διάφορες κλίσεις επιτυγχανόταν από δύο «επίτονους»
(σχοινιά) που τανύονταν με πολύσπαστα και χειροκίνητα βαρούλκα έλξης.
Το φορτίο ανυψωνόταν ή καταβιβαζόταν με τη βοήθεια «τρίσπαστου» και ενός οριζόντιου άξονα, του «πηνίου»,
(όπου τυλιγόταν το σχοινί ανύψωσης του φορτίου) και περιστρεφόταν με τη βοήθεια κινητών μοχλοβραχιόνων
(γύρω από ειδικά έδρανα, τα « χελώνια» που προσαρμόζονταν πάνω στις δοκούς του ιστού). Για την μείωση των
τριβών ο άξονας έφερε εκατέρωθεν μικρούς αξονίσκους που εδράζονταν στα «χελώνια».
ΠΗΓΕΣ: «Βιτρούβιος, Περί αρχιτεκτονικής Χ»

22. SΤΕM-A-Αrt-M-Museum
Στα πλαίσια του Ευρωπαϊκού έργου Open School for Open Societies : OSOS project has received funding from the European
Union´s Horizon 2020 Framework Programme for Research and Innovation under the grant agreement No.741572, δημιουργία
ψηφιακής κοινότητας για την σύνδεση της τέχνης και του υλικού πολιτισμού των Μουσείων με τις θετικές επιστήμες.
• https://portal.opendiscoveryspace.eu/en/community/stem-art-m-museum-853954
Εκπαιδευτικό υλικό στην κοινότητα
• https://portal.opendiscoveryspace.eu/en/search-resources-in-community/853954
Math Stories in Museums
http://portal.opendiscoveryspace.eu/en/community/math-stories-museums-849333
Mathematical tour on Art
• http://portal.opendiscoveryspace.eu/en/community/mathematical-tour-art-849332

24. Εισαγωγή
Η έκθεση Μαθηματικών ‘ Όλα είναι αριθμός’ (‘Everything is Νumber’)
http://creations2018.ea.gr/exhibition/ του Eugen Jost διοργανώθηκε από την
Ελληνογερμανική Αγωγή & την Ελληνική Μαθηματική Εταιρία, συμμετέχοντας στον
εορτασμό του 2018 ως έτους Μαθηματικών από το Υπουργείο Παιδείας Έρευνας
και Θρησκευμάτων σε συνεργασία με το Τμήμα Μαθηματικών και Φυσικών
Επιστημών του Πανεπιστημίου του Bayreuth (http://mathematik-kalender.uni-
bayreuth.de/index.php?id=2731).

25.  Η έκθεση αποτελείται από 35 μοναδικούς πίνακες ζωγραφικής
 παρουσιάζουν μαθηματικά φαινόμενα και προβλήματα
 αφηγούνται την ιστορία της εξέλιξης της μαθηματικής επιστήμης από την αρχαιότητα μέχρι
σήμερα
 Ειδικότερα, η έκθεση περιλαμβάνει 10 πίνακες ζωγραφικής που αναφέρονται στην άνθιση της
μαθηματικής σκέψης στην Αρχαία Ελλάδα

26. Εκθέσεις Μαθηματικών & Μάθηση
Τα σχεδιασμένα περιβάλλοντα άτυπης μάθησης, όπως είναι τα μουσεία με τα μαθηματικά
εκθέματα, είναι ένα περιβάλλον στο οποίο μπορεί να συμβεί πλούσια μαθηματική σκέψη
και συλλογιστική έξω από την τάξη (National Research Council, 2005).
Καλλιέργεια των
μαθηματικών δεξιοτήτων
των μαθητών
Περιβάλλοντα για
συνδέσεις των
μαθηματικών με εμπειρίες
από την καθημερινή ζωή
Περιβάλλοντα άτυπης
μάθησης- κοινωνική
μεσολάβηση

27. Σύνδεση των μαθηματικών γνώσεων των πινάκων με την ύλη του αναλυτικού προγράμματος
Ένταξη διερευνητικών προσεγγίσεων με την υλοποίηση δραστηριοτήτων, που έχουν σχεδιαστεί με
βάση την μαθηματική σχολική γνώση της γεωμετρίας και ανάλογα με την θεματολογία του κάθε
πίνακα,
Προτάσεις και παραγωγή διδακτικού υλικού για την αξιοποίηση των πινάκων ζωγραφικής στην
διδασκαλία της γεωμετρίας στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση στα πλαίσια του αναλυτικού
προγράμματος σπουδών
ΕΚΘΕΣΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ
ΣΧΟΛΙΚΗ ΤΑΞΗ

28. Στόχοι :
Οι πίνακες ζωγραφικής
ως αντικείμενο διδασκαλίας για τη μελέτη και αιτιολόγηση ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων.
Διδακτική μεθοδολογία
Αναγνώριση γεωμετρικών εννοιών και εφαρμογή υπολογιστικών μεθόδων με βάση τους πίνακες
ζωγραφικής
Καλλιέργεια και εξάσκηση ευελιξίας της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών

29. Πρόταση διδακτικής μεθοδολογικής προσέγγισης

30. Γεωμετρικές κατασκευές α) με κανόνα & διαβήτη β) geogebra
•Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο και να υπολογίσετε το εμβαδόν του.
•Στην συνέχεια με κορυφές τα μέσα του αρχικού τετραγώνου να κατασκευάσετε ένα δεύτερο
τετράγωνο και να υπολογίσετε το εμβαδόν του.
•Όμοία να κατασκευάσετε ένα νέο τετράγωνο και με κορυφές τα μέσα του δεύτερου
τετραγώνου να κατασκευάσετε ένα τρίτο τετράγωνο και να υπολογίσετε το εμβαδόν του.
•Να επαναλαβετε την διαδικασία τουλάχιστον 5 φορές
Γεωμετρική κατασκευή τετραγώνων με Geogebra

31. Ερωτήσεις
• Τι παρατηρείτε για τα εμβαδά των σχηματιζόμενων τετραγώνων ;
• Αν η πλευρά του αρχικού τετραγώνου είναι 4 , μπορείτε να υπολογίσετε τα εμβαδά των E1, E2,
E3,… των σχηματιζόμενων τετραγώνων ;
• Μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα Ε1+Ε2+Ε3+….;

32. «Κρυμμένος
πυθαγόρας»
«Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο
Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις»

33. Φύλλο δραστηριοτήτων
oΥπάρχουν ίσα τρίγωνα ; Να αιτιολογήσετε
oΝα αποδείξετε το σχηματιζόμενο τετράπλευρο που προκύπτει από τα μέσα των πλευρών
τετραγώνου είναι ρόμβος.
oΑν η πλευρά του τετραγώνου είναι α, μπορείτε να βρείτε την περίμετρο του σχηματιζόμενου
ρόμβου; Ποιο βασικό θεώρημα θα χρησιμοποίησετε;
oΑν θεωρήσουμε τα μέσα των πλευρών του ρόμβου, τι είδους γεωμετρικό σχήμα προκύπτει. Να
αιτιολογήστε.
oΜπορείτε να διερευνήσετε άλλες περιπτώσεις σχηματιζόμενων τετραπλεύρων από το αρχικό
τετράγωνο.
•Σχεδιάζοντας ορθογώνια
•Ιδιότητες Ρόμβου
•Ιδιότητες Ρόμβου

34. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου Γεωμετρία Α Λυκείου
Ασκήσεις εμπέδωσης σχολικό βιβλίο Α Λυκείου (5.4)
5. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με κέντρο Ο. Παίρνουμε δύο σημεία Ε και Ζ της ΑΓ, ώστε ΟΕ = ΟΖ = ΟΒ = ΟΔ. Να
αποδείξετε ότι το ΔΕΒΖ είναι τετράγωνο.
6. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ και Ν αντίστοιχα
τέτοια, ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ. Να αποδείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο.
Αποδεικτικές ασκήσεις σχολικό βιβλίο Α Λυκείου (5.4)
2. Η σχέση δύο καθέτων τμημάτων που έχουν άκρα τις απέναντι πλευρές ενός τετραγώνου

35. Έκθεση Μαθηματικών "Όλα είναι αριθμός"
• Στα πλαίσια του Ευρωπαϊκού έργου Open School for Open Societies : OSOS project has received
funding from the European Union´s Horizon 2020 Framework Programme for Research and Innovation
under the grant agreement No.741572, δημιουργία ψηφιακής κοινότητας για την σύνδεση των
εκπαιδευτικών επισκέψεων στα μουσεία με την διδασκαλία των θετικών επιστημών και παραγωγή
εκπαιδευτικού υλικού.
https://portal.opendiscoveryspace.eu/en/community/ekthesi-mathimatikon-ola-einai-arithmos-851239
Αργύρη, Π., Σωτηρίου, Σ., (2018). «Η έκθεση Μαθηματικών : Όλα είναι αριθμός στη σχολική τάξη της Γεωμετρίας». Πρακτικά
Συνεδρίου του 35ου Συνεδρίου Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. ISSN: 1105-7955, σελ.202-211. Αθήνα, 6-8 Δεκεμβρίου 2018:
Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε.Μ.Ε). Πρόσβαση στο άρθρο http://bit.ly/2mGcuCt
Argyri P., Smyrnaiou Z. (2019). International Conference: ‘Conditions for Deeper Learning in Science’ http://www.eden-
online.org/eden_conference/athens/ http://deeperlearning.ea.gr/ 29-30 Ιουνίου 2019, Αθήνα. Art objects as research tools for
cognitive approaches in geometrical thinking. Πρόσβαση στον τόμο των Πρακτικών: Proceedings http://deeperlearning.ea.gr/wp-
content/uploads/2019/09/Proceedings_Deeper_Learning2019.pdf p.91 -101.

37. Μπορείτε να φανταστείτε ένα μάθημα χωρίς υλικό πολιτιστικής κληρονομιάς; Είναι σχεδόν
αδύνατο να διδαχθεί οποιοδήποτε θέμα χωρίς αυτό και έχει οριστεί αποτελεσματικά ως "ένας
ιδανικός τρόπος να δοθεί νόημα στο μέλλον με την καλύτερη κατανόηση του παρελθόντος"
(Textes adoptes par Comité des Ministers du Conseil de l'Europe , 1998).
Εκπαίδευση & Πολιτιστική κληρονομιά

38. Η Europeana είναι η ψηφιακή πλατφόρμα πολιτιστικής κληρονομιάς της Ευρώπης. Σήμερα παρέχει
πρόσβαση σε περίπου 57 εκατομμύρια ψηφιοποιημένα στοιχεία από περισσότερες από 3500 ευρωπαϊκές
βιβλιοθήκες, μουσεία, αρχεία και γκαλερί. Αυτή η τεράστια βάση δεδομένων αντιπροσωπεύει μια μεγάλη
γκάμα μέσων μαζικής ενημέρωσης, θεματική και γλωσσική ποικιλία - μπορείτε να βρείτε εικόνες / κείμενο /
ήχο / βίντεο / 3D περιεχόμενο στην τέχνη, την αρχιτεκτονική, τους χάρτες, τις ταινίες, τη φυσική ιστορία,
τη μόδα και πολλά άλλα σε περισσότερες από 37 γλώσσες.
http://www.europeana.eu/portal/en

39. https://teachwitheuropeana.eun.org/
https://teachwitheuropeana.eun.org/learning-scenarios/
Η αποστολή της Europeana είναι να μετασχηματίσει τον κόσμο με τον πολιτισμό, να ξεκλειδώσει τους θησαυρούς
πολιτιστικής κληρονομιάς και να τους διαθέσει στο διαδίκτυο, ώστε όλοι οι άνθρωποι να μπορούν να τους
χρησιμοποιήσουν για ψυχαγωγικούς, επαγγελματικούς ή εκπαιδευτικούς σκοπούς.
Το project Europeana DSI-4 (http://fcl.eun.org/europeana-dsi4 ), που υλοποιείται και υποστηρίζεται απο το
Ευρωπαϊκό Σχολικό Δίκτυο (www.eun.org ), έχει ως στόχο να ενθαρρύνει τους εκπαιδευτικούς να μοιραστούν την
εμπειρία τους.

40. Gateway to the Taj Machal, Agra:
Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο, συμμετρία
• Το κτήριο είναι συμμετρικό ως προς τον κάθετο
άξονα συμμετρίας που φέραμε, ενώ συμμετρία
παρατηρείται και στα παράθυρα.
• Εντοπίζονται 6 ορθογώνια παραλληλόγραμμα.
Τα κέντρα του μπλε και του μεγαλύτερου
κόκκινου ταυτίζονται στο σημείο Κ (όπου
τέμνονται οι διαγώνιοι), το οποίο είναι και
σημείο φυγής.
Κ
Πηγή: https://www.europeana.eu/en/item/9200579/fsnn5gdj

41. Ισοσκελή τρίγωνα, συμμετρία, παραλληλόγραμμα
• Το κτήριο είναι συμμετρικό ως προς τον
κάθετο άξονα συμμετρίας που φέραμε,
ενώ συμμετρία παρατηρείται και στα
παράθυρα.
• Εντοπίζουμε 3 ορθογώνια
παραλληλόγραμμα εκ των οποίων τα δύο
είναι μεταξύ τους ίσα λόγω του άξονα
συμμετρίας.
• Η διάμεσος του τριγώνου είναι και ύψος
(και μεσοκάθετος) της βάσης του, άρα το
τρίγωνο είναι ισοσκελές. Εάν την
προεκτείνουμε, ταυτίζεται με τον άξονα
συμμετρίας.
Πηγή:
https://www.europeana.eu/el/item/2020704/resource
_document_rce_beeldbank_837866ec_3f22_11e4_9d
c7_3b4bf4a0ed46_e7755a58_9118_55bc_125d_dcc43
bde2802

42. Ορθογώνια τρίγωνα, τραπέζια
Α Β
• Σχηματίζονται δύο ορθογώνια τρίγωνα και
τραπέζια μεταξύ των σκαλωσιών.
• Το δοκάρι ΑΒ ενώνει τα μέσα των 2 πλευρών του
κόκκινου τριγώνου και συνεπώς είναι παράλληλο
στην τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της.
• Το ανοιχτό μπλε ευθύγραμμο τμήμα (προέκταση
δοκαριού) είναι η διάμεσος που φέρεται από την
ορθή γωνία του τριγώνου και είναι ίση με το μισό
της υποτείνουσας.
• Η απόσταση των βαρυκέντρων Γ, Δ από τις
κορυφές των τριγώνων είναι τα 2/3 της
αντίστοιχης διαμέσου.
Πηγή: https://www.europeana.eu/en/item/08547/sgml_eu_php_obj_z0006650
Γ
Δ

43. Aν για το γραμμοσκιασμένο τετράπλευρο ισχύει πως η
προέκταση των μη παράλληλων πλευρών δημιουργεί
τρίγωνο πλευρών, Ζ, 2Χ, 2Υ:
Να εκφραστεί
α) Η μικρή βάση του τραπεζίου συναρτήσει της
μεγάλης βάσης.
Β) Η διάμεσος του τραπεζιού συνατήσει της μικρής
βάσης
Χ
Υ
Ζ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Πατήστε εδώ για να δείτε την εικόνα

44. Οι παραπάνω κύκλοι (Ο,ρ) και (Κ,ρ) είναι ίσοι και εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο Ε. Έστω
ΟΑ και ΟΒ εφαπτόμενα τμήματα από το Ο προς τον κύκλο 2.
Α) Να αποδείξετε ότι το ΑΟΚ= 30ο
Β) Να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΕΚΒ.
https://blog.europeana.eu/2018/08/travelling-texts-information-networks-of-the-past/

45. Panagiota Argyri (2020). /Innovative Teaching Pathways in Learning Science, Technology, Engineering and Mathematics (STEM). Rīgā,
Latvia: Lambert Academic Publishing. ISBN: 978-620-2-79393-3
Argyri, P. (2020). Geometry and digital cultural heritage as unique linking for development students’ knowledge, skills and attitudes“. IUL
Research Journal. Vol. 1, num. 2, December 2020 - “Innovation in learning STEM” (accepted)
Argyri, P. (2020). Digital Cultural Heritage in STEM lessons: The case study of Geometry. Upcoming presentation to CASE & GSO4SCHOOL
International Conference (www.project-case.eu/case-conference/conference-programme/)
Αργύρη, Π., (2014). Φωτογραφίζοντας την γεωμετρία στη ζωη μας. Πρακτικά Πανελλήνιου Συνεδρίου "Νέος Παιδαγωγός", σελ. 1594-
1601, ΙSBN: 978-960-99435-5-0, Αθήνα, 3&4 Μαΐου 2014: Νέος Παιδαγωγός. Πρόσβαση στο άρθρο: http://bit.do/geoph
Αργύρη, Π., Λαλαζήση, Χ., (2014). Διαθεματική Προσέγγιση Μαθηματικών και Τέχνης. 1ο Συνέδριο «Μαθηματικά στα Πρότυπα
Πειραματικά Γυμνάσια- Λύκεια : Δυνατότητες και Προοπτικές», σελ. 127-144, Αθήνα, ISSN:2241-9355, 11-12 Απριλίου 2014: Διοικούσα
Επιτροπή των Πρότυπων Πειραματικών Σχολείων (Δ.Ε.Π.Π.Σ).Το πρόγραμμα του συνεδρίου http://depps.minedu.gov.gr/wp-
content/uploads/2014/09/Programma_Synedriou_PPS-II.pdf?x56436
Περίληψη εισήγησης http://bit.ly/2oNwHHe (σελ.11). Πρόσβαση στο άρθρο : http://bit.ly/2n9Un7Z
Αργύρη, Π., Λαλαζήση, Χ., (2014). «Η διδακτική μεθοδολογία μίας ερευνητικής εργασίας ως παράγοντας διαμόρφωσης στάσεων και
βελτίωσης της επίδοσης των μαθητών για το μάθημα της Γεωμετρίας». Πρακτικά 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ένωσης Ερευνητών
Διδακτικής των Μαθηματικών (Ε.Ν.Ε.Δ.Ι.Μ) , σελ. 1-11, ISSN: 1792-8494, Φλώρινα, 14-16 Μαρτίου 2014: Ε.Ν.Δ.Ι.Μ. Πρόσβαση στο
άρθρο http://bit.ly/2oyzF2a

46. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Επιλέξτε αντικείμενo/α της ψηφιακής πολιτικής κληρονομίας από την πλατφόρμα Europeana με την
αντίστοιχη αναφορά του*
https://www.europeana.eu/en/collections
https://www.europeana.eu/en
* Προσοχή στα δικαιώματα διαμοιρασμού ή επεξεργασίας
Να διατυπώσετε ένα πρόβλημα που μπορεί να αξιοποιηθεί στην διδακαλία των θετικών επιστημών, το
οποίο και να λύσετε.
ΟΜΑΔΑ_1
ΟΜΑΔΑ_2
ΟΜΑΔΑ_3
ΟΜΑΔΑ_4
ΟΜΑΔΑ_5

47. Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας!