1. ‫پهلوزاده‬ ‫عبدالحمید‬
http://hamid.jgex.ir
‫الرحیم‬ ‫الرحمن‬ ‫ال‬ ‫بسم‬

2. ‫قوانین‬ ‫و‬ ‫:مقدمه‬
‫صورت‬ ‫به‬ ‫است‬ ‫مجاز‬ ‫و‬ ‫میشود‬ ‫خوانده‬ ‫قلعه‬ ‫یا‬ ‫رخ‬ ‫که‬ ‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫ای‬ ‫مهره‬ ‫شطرنج‬ ‫در‬
‫کند‬ ‫حرکت‬ ‫خواهد‬ ‫می‬ ‫که‬ ‫خالی‬ ‫خانه‬ ‫تعداد‬ ‫هر‬ ‫به‬ ‫قائم‬ ‫یا‬ ‫افقی‬.
‫حرکت‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫دهیم‬ ‫قرار‬ ‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫رخ‬ ‫تعدادی‬ ‫میخواهیم‬ ‫ما‬ ‫بحث‬ ‫این‬ ‫در‬
‫نکنند‬ ‫برخورد‬ ‫همدیگر‬ ‫به‬ ‫آنها‬ ‫از‬ ‫کدام‬ ‫هیچ‬ ، ‫ها‬ ‫رخ‬ ‫از‬ ‫کدام‬ ‫هر‬ ‫کردن‬.
‫مثال‬ ‫طور‬ ‫به‬:
‫میتوانیم‬ ‫طریق‬ ‫چند‬ ‫به‬ ‫ما‬5‫هیچ‬ ‫بطوریکه‬ ، ‫دهیم‬ ‫قرار‬ ‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫رخ‬
‫نکنند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫به‬ ‫کردن‬ ‫حرکت‬ ‫با‬ ‫کدام‬.
‫برای‬k‫که‬ ‫بیابیم‬ ‫را‬ ‫راههایی‬ ‫تعداد‬ ‫خواهیم‬ ‫می‬k‫شطرنح‬ ‫صفحه‬ ‫یک‬ ‫بر‬ ‫میتوانند‬ ‫رخ‬
‫هیچ‬ ‫یعنی‬ ،‫کنند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫به‬ ‫نتوانند‬ ‫آنها‬ ‫دوتای‬ ‫هیچ‬ ‫که‬ ‫قسمی‬ ‫به‬ ‫بگیرند‬ ‫قرار‬
‫نگیرند‬ ‫قرار‬ ‫ستون‬ ‫یک‬ ‫یا‬ ‫سطر‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫آنها‬ ‫دوتای‬.
‫با‬ ‫را‬ ‫تعداد‬ ‫این‬rk‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫روی‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫تاکیید‬ ‫بخواهید‬ ‫اگر‬ ‫یا‬c‫با‬ ‫میکنند‬ ‫کار‬
rk((c‫میدهند‬ ‫نشان‬.

3. ‫مثال‬ ‫یک‬ ‫بررسی‬:3 2 1
4
5 6
، ‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫هر‬ ‫برای‬r1‫است‬ ‫صفحه‬ ‫های‬ ‫خانه‬ ‫تعداد‬.‫در‬
‫اینجا‬r1=6.‫جفت‬ ‫در‬ ‫نمیکنند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫را‬ ‫رخهایی‬
‫میگیرند‬ ‫قرار‬ ‫زیر‬ ‫موضعهای‬.
(1,4) , (1,5) , (2,4) , ( 2,6) , ( 3,5) , (3,6) , (4,5) ,
( 4,6)
‫پس‬r2=8.
‫مکانهای‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ، ‫کار‬ ‫ادامه‬ ‫با‬(2,4,6) , (1,4,5)‫دست‬ ‫به‬
‫آوریم‬ ‫می‬r3=2‫بالخره‬ ‫و‬k≤4 ،rk=0
‫با‬r0=1‫رخی‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫چند‬(r(c,x‫صفحه‬ ‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫برای‬
‫میکنیم‬ ‫تعریف‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مقابل‬:
r(c , x ) = 1+ 6x + 8x2
+ 2x3
‫هر‬ ‫برای‬k≤0‫ضریب‬xk‫میتوان‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫تعدادراههایی‬k‫را‬ ‫رخی‬
‫دارد‬ ‫قرار‬ ‫مقابل‬ ‫صفحه‬ ‫در‬ ‫ندارند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫که‬.
، ‫داشت‬ ‫نخواهیم‬ ‫ای‬ ‫ساده‬ ‫کار‬ ‫شطرنج‬ ‫صفحه‬ ‫های‬ ‫خانه‬ ‫مورد‬ ‫به‬ ‫مورد‬ ‫بررسی‬ ‫با‬
‫باشد‬ ‫تر‬ ‫ساده‬ ‫کار‬ ‫که‬ ‫بگیریم‬ ‫پیش‬ ‫بهتر‬ ‫بررسی‬ ‫برای‬ ‫را‬ ‫دیگری‬ ‫راه‬ ‫باید‬.

4. ‫کار‬ ‫ادامه‬:
c
‫شطرنجی‬ ‫صفحه‬c‫از‬11‫نخورده‬ ‫هاشور‬ ‫خانه‬
‫که‬ ‫میکنیم‬ ‫توجه‬ ، ‫است‬ ‫شده‬ ‫تشکیل‬c‫یک‬ ‫از‬ ‫متشکل‬
‫صفحه‬ ‫زیر‬2×2‫ی‬c1‫هفت‬ ‫ی‬ ‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫یک‬ ‫یک‬ ‫و‬
‫ای‬ ‫خانه‬c2‫قرار‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫پایین‬ ‫گوشه‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫است‬
‫دارد‬.‫خانه‬ ‫زیرا‬ ‫هستند‬ ‫مجزا‬ ‫هم‬ ‫از‬ ‫ها‬ ‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫این‬
‫ندارند‬ ‫قرار‬ ‫ستون‬ ‫سطرو‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫ای‬.
c1
c2
r(c1,x) = 1 + 4x + 2x2
r(c2,x) = 1 + 7x + 10x2
+ 2x3
r(c,x) = 1 + 11x + 40x2
+ 56x3
+ 28x4
+ 4x5
= r(c1,x).r(c2,x)
، ‫بنابراین‬r(c,x) = r(c1,x) . r(c2 (,x‫این‬ ‫است‬ ‫بوده‬ ‫تصادفی‬ ‫آیا‬ ‫اما‬ ،
‫؟‬ ‫خیر‬ ‫یا‬ ‫رابطه‬

5. ‫محاسبه‬ ‫در‬r3‫برای‬c‫سه‬ ، ‫میتوانیم‬ ‫راه‬ ‫چند‬ ‫به‬ ‫بدانیم‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫لزم‬
‫صفحه‬ ‫بر‬ ‫ندارند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫را‬ ‫رخی‬c‫دهیم‬ ‫قرار‬.‫حالت‬ ‫سه‬
‫میدهد‬ ‫روی‬.
‫الف‬(‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫در‬ ‫رخ‬ ‫سه‬ ‫هر‬c2‫هستند‬2:‫راه‬
‫ب‬(‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫در‬ ‫رخ‬ ‫دو‬c2‫روی‬ ‫رخ‬ ‫یک‬ ‫و‬ ‫هستند‬c1 :(10( .(4( =
40
‫ج‬(‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫در‬ ‫رخ‬ ‫یک‬c2‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫روی‬ ‫رخ‬ ‫است،دو‬c1 :(7( .(2( =
14
‫به‬ ‫میتوان‬ ‫ندارند‬ ‫برخورد‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫را‬ ‫رخی‬ ‫سه‬ ، ‫نتیجه‬ ‫در‬56‫در‬ ‫راه‬
‫صفحه‬c‫دارد‬ ‫قرار‬.
‫که‬ ‫دیدیم‬ ‫قبل‬ ‫اسلید‬ ‫در‬ ‫و‬56‫ضریب‬x3
‫است‬.

6. ‫کلی‬ ‫قانون‬:
‫شطرنجی‬ ‫صفحه‬ ‫اگر‬ ، ‫کلی‬ ‫طور‬ ‫به‬c‫دو‬ ‫به‬ ‫دو‬ ‫های‬ ‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫از‬
‫مجزای‬c1 ،c2 ، ... ،cn‫آنگاه‬ ، ‫باشد‬ ‫شده‬ ‫ساخته‬:
r(c,x) = r(c1,x) . r(c2,x) . … . r(cn,x)
‫صفحه‬ ‫زیر‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫آن‬ ، ‫بزرگ‬ ‫شطرنجی‬ ‫صفحه‬ ‫یک‬ ‫داشتن‬ ‫فرض‬ ‫به‬
‫آنها‬ ‫رخی‬ ‫های‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫چند‬ ‫که‬ ‫میکنیم‬ ‫تفکیک‬ ‫کوچکتری‬ ‫های‬
‫کرد‬ ‫تعیین‬ ‫تجسس‬ ‫با‬ ‫بتوان‬ ‫را‬.

7. (*)
c
‫صفحه‬c‫کنید‬ ‫فرض‬ ، ‫میگیریم‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫را‬k≤1‫برای‬ ،
‫خانه‬ ‫هر‬c‫با‬ ‫که‬ ‫ای‬ ‫خانه‬ ‫نظیر‬ ،)*(، ‫است‬ ‫شده‬ ‫تعیین‬
‫دارد‬ ‫وجود‬ ‫بررسی‬ ‫برای‬ ‫امکان‬ ‫دو‬.
‫الف‬(
‫همه‬ ‫باید‬ ‫آنگاه‬ ، ‫میدهیم‬ ‫قرار‬ ‫معینی‬ ‫خانه‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫رخ‬ ‫یک‬
‫دیگر‬ ‫های‬ ‫خانه‬ ‫ی‬c‫خانه‬ ‫این‬ ‫ستون‬ ‫و‬ ‫سطر‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫را‬
‫ممکن‬ ‫مکانهای‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ، ‫دارند‬ ‫قرار‬ ‫معین‬k-1‫دیگر‬ ‫رخ‬
‫کنیم‬ ‫حذف‬.‫را‬ ‫باقیمانده‬ ‫کوچکتر‬ ‫صفحه‬ ‫زیر‬cs‫مینامیم‬.
‫ب‬(
، ‫نمیکنیم‬ ‫استفاده‬ ‫اصل‬ ‫معین‬ ‫خانه‬ ‫آن‬ ‫از‬k‫در‬ ‫را‬ ‫رخ‬
‫ی‬ ‫صفحه‬ ‫زیر‬ce)‫همان‬c‫از‬ ‫اولی‬ ‫معین‬ ‫خانه‬ ‫که‬
‫است‬ ‫شده‬ ‫حذف‬ ‫آن‬(.‫میدهیم‬ ‫قرار‬
‫حالتها‬ ‫همه‬ ‫شامل‬ ، ‫حالت‬ ‫دو‬ ‫این‬ ‫چون‬
‫هستند‬ ‫مجزا‬ ‫و‬:
cs
ce

8. ‫با‬ ‫برابر‬ ‫شطرنجی‬ ‫صفحه‬ ‫های‬ ‫خانه‬ ‫تعداد‬ ‫اگر‬n‫آنگاه‬ ، ‫باشد‬
‫معادله‬(1(‫برای‬k≥ n≥ 1‫مینویسیم‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫معتبر‬.
(2)
‫با‬ ‫مجموعیابها‬k=1‫در‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫صورت‬ ‫این‬ ‫غیر‬ ‫در‬ ‫زیرا‬ ، ‫میشوند‬ ‫شروع‬
‫معادله‬ ‫راست‬ ‫طرف‬ ‫در‬ ، ‫جمعوند‬ ‫نخستین‬2‫جمله‬ ‫با‬r-1(cs)x0
‫رو‬ ‫به‬ ‫رو‬
‫شویم‬.
(1)

9. *
‫تشکیل‬ ‫نحوه‬cs‫و‬ce
*
cs
ce

10. (*)
= x
(*)
+
= x2 + 2x + x
+
(*)
= X2
(1+2x) + 2x(1+4x+2x2
) + x( 1+3x+x2
)
+ x
+
= 3x+12x2
+7x3
+x(1+2x)+(1+4x+2x2
) = 1 + 8x + 16x2
+ 7x3
= x
(*(
+ + xx