HW2

1. Записать с помощью кванторов следующие утверждения и их отрицания.
1) Функция f (x) возрастает на интервале (a, b ) .
2) Функция f (x) непрерывна на интервале (a, b ) .
3) Множество A является собственным подмножеством множества B .
4) Точка x0 является точкой экстремума функции f (x) .
5) Функция f (x) достигает наибольшего значения на отрезке [a, b] в точке x0
.
6) Функция f (x) дифференцируема в точке x0 .
8) Функция f (x) ограничена на множестве R .
10) Множества A и B не пересекаются.
Записать с пом. Кванторов
В предложении замените многоточие словами « необходимо и
достаточно», « необходимо, но не достаточно»,
«достаточно, но не обходимо» так, чтобы получилось
верное утверждение. Записать отдельно необходимое,
достаточное, необх. И дост. Условие (что применимо)
(записать с помощью кванторов и предикатов).
«Для того, чтобы функция y = ax² + bx + c при всех целых х принимала
целые значения, …, чтобы 2а, а + в, с были целыми числами»
Следующие утверждения записать с помощью кванторов и предикатов,
либо доказать, либо опровергнуть:

2. а) Точка является серединой некоторого отрезка, концы которого
принадлежат разным сторонам данного угла, тогда и только тогда, когда она
расположена на биссектрисе данного угла»
б) Точка является серединой некоторого отрезка, концы которого
принадлежат разным сторонам данного угла, тогда и только тогда, когда она
расположена внутри данного угла.
в) Для делимости числа n² -1 ( n ≥ 5) на 24 достаточно, чтобы n было
простым числом.
г) Для делимости числа n² -1 ( n ≥ 5) на 24 необходимо и достаточно,
чтобы n было простым числом.
Доказать, что не эквивалентны формулы ∃x(P( x) ∧ Q( x) ) и ∃xP( x) ∧ ∃xQ( x) .