Дз

1. Äîìàøíåå çàäàíèå íîìåð 11
11.1) Êàæäûé èç 10 ó÷àñòíèêîâ ôîðóìà ïîñëàë ïî åãî îêîí÷àíèè ïîçäðàâè-
òåëüíûå îòêðûòêè ïÿòåðûì äðóãèì ó÷àñòíèêàì. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî
äâîå ïîñëàëè îòêðûòêè äðóã äðóãó.
11.2) Âíóòðè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 1 ñì ðàñïîëîæåíî
5 òî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íåêîòîðûìè äâóìÿ èç íèõ ìåíü-
øå 0,5 ñì.
11.3) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè b > a + c > 0, òî óðàâíåíèå ax2
+ bx + c = 0 èìååò
õîòÿ áû îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü. Ñóùåñòâåííî ëè óñëîâèå a + c > 0?
11.4h
) Äîêàçàòü, ÷òî 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1.
11.5) Äîêàçàòü, ÷òî åñëè x + 1
x ∈ Z, òî ∀n ∈ N ⇒ xn
+ 1
xn ∈ Z.
11.6h
) a) Äîêàçàòü, ÷òî 2n
> n;
á) 2m+n−1
> m · n.
11.7h
) Äîêàçàòü òîæäåñòâî
12
1·3 + 22
3·5 + · · · + n2
(2n−1)(2n+1) = n(n+1)
2(2n+1).
11.8h
) Íåñêîëüêî ïðÿìûõ äåëèò ïëîñêîñòü íà ÷àñòè. Äîêàçàòü, ÷òî ýòè ÷à-
ñòè ìîæíî ðàñêðàñèòü â äâà öâåòà òàê, ÷òî ãðàíè÷àùèå ÷àñòè áóäóò èìåòü
ðàçíûé öâåò.
11.9h
) Äîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî (1 + x2
1)(1 + x2
2) · . . . · (1 + x2
n) ìîæíî ïðåäñòà-
âèòü â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë (çäåñü ÷èñëà x1, x2, . . . , xn
- ïðîèçâîëüíûå íàòóðàëüíûå).
11.10) Ðåøèòü óðàâíåíèå 2x
+ 3x
= 5x
.
11.11h
) Ðåøèòü óðàâíåíèå 2
√
x2 − 16 +
√
x2 − 9 = 10
x−4.
11.12) Ïîêàçàòü, ÷òî ïîëèíîì Pn(x) = xn
− a1xn−1
− a2xn−2
− · · · − an, ãäå
∀j = 1, n ⇒ aj > 0 èìååò ðîâíî îäèí ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü.
11.13h
) Äîêàçàòü, ÷òî ∀a, b, c, d ∈ [0; 1] ∃x ∈ [0; 1] :
1
|x−a| + 1
|x−b| + 1
|x−c| + 1
|x−d| < 32.
1