Ένα φυλλάδιο με "ψυχαγωγικό" χαρακτήρα (μόνο σαδιστής θα έβρισκε χαρά σε κάτι τέτοιο) που εξετάζει προσεγγιστικά το τύλιγμα ενός νήματος γύρω από μία ακίδα/πρόκα και ορισμένα χαρακτηριστικά της κίνησης αυτής. Καλή διασκέδαση! :)

1. Ράβε - Ξύλωνε, δουλειά να μη σου λείπει...
4 Ιανουαρίου 2016
1. Σε ένα σημείο O στερεώνουμε, σε μία πρόκα, ένα αβαρές και μη εκτατό
νήμα μήκους L και σε ένα σημείο O , σε απόσταση L/4 κάτω από το σημείο
O, στερεώνουμε μία ακίδα. Στην άκρη του νήματος δένουμε ένα σώμα μάζας
m. Να βρείτε σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις ποια πρέπει να είναι
η ελάχιστη γωνία την οποία θα σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο έτσι
ώστε να:
-εκτελέσει οριακά ανακύκλωση γύρω από την ακίδα O .
-εκτελέσει οριακά δεύτερη ανακύκλωση γύρω από την ακίδα O , δηλαδή να τυ-
λιχτεί πλήρως γύρω από τα δύο σημεία.
Στη συνέχεια να εξετάσετε, θεωρώντας την μάζα της πρόκας απείρως μεγαλύ-
τερη αυτής του σώματος, μέχρι ποιο σημείο θα ξετυλιχτεί το νήμα αμέσως μετά
την κρούση του σώματος με την πρόκα, κατά την δεύτερη ανακύκλωσή του.
Επίσης να βρείτε με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξεύσουμε το σώμα από την
κατάσταση πλήρους τυλίγματος έτσι ώστε να ξετυλιχτεί πλήρως το νήμα.
Σημείωση: Σε περίπτωση που η γωνία που θα βρεθεί ξεπερνά τις 180◦ να
βρεθεί με ποια αρχική ταχύτητα πρέπει να εκτοξευθεί από κατακόρυφη θέση το
σώμα έτσι ώστε να εκτελέσει ανακύκλωση.
Θεωρείστε ότι το νήμα δεν χάνει ενέργεια κατά τις συγκρούσεις του με την
πρόκα και την ακίδα και ότι το μήκος του νήματος που τυλίγεται γύρω από τις
πρόκες είναι αμελητέο.
2. Να λύσετε την προηγούμενη άσκηση αν τα σημεία O και O απέχουν L/8.
Προβληματισμός: Θα μπορούσε να συμβεί ποτέ αυτό το που συμβαίνει στο
παραπάνω πρόβλημα, αν η απόσταση O O δεν ήταν κάποιο κλάσμα του μήκους
του νήματος της μορφής L/ν, όπου ν φυσικός αριθμός; Να δείξετε ότι αυτό
δε συμβαίνει όταν ν άρρητος (όπως στην απόδειξη ότι ο
√
2 είναι άρρητος).
1