1. Всероссийская олимпиада школьников по
информатике
Региональный этап, I тур
Разбор задач
Андрианов И. А.
Стрекаловский О. А.
Вологодский государственный педагогический университет
Факультет прикладной математики,
компьютерных технологий и физики
Вологда
2014 г.
1/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

2. Задача 1. POBEDA-2014
«POBEDA-2014»
Идея решения
Для того, чтобы нарисовать единичный квадрат, требуется
либо по одному треугольнику типа 1 и 2, либо по одному
треугольнику типа 3 и 4.
Таким образом, из a1 треугольников типа 1 и a2
треугольников типа 2 можно составить не более
min(a1, a2) квадратов, а из a3 треугольников типа 3 и a4
треугольников типа 4 — min(a3, a4) квадратов.
2/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

3. Задача 1. POBEDA-2014
Код на Pascal и С++ весьма очевиден
Pascal :
var
a , b , c , d , n , SquareSize : int64 ;
. . .
n := Min (a , b) + Min ( c , d ) ;
SquareSize := trunc ( s q r t (1.0 ∗ n ) ) ;
C++:
long long a1 , a2 , a3 , a4 ;
. . .
long long n = min ( a1 , a2 ) + min ( a3 , a4 ) ;
long squareSize = s q r t (( long double )n ) ;
3/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

4. Задача 1. POBEDA-2014
Аналогичный код на Java не проходит по точности большие
тесты из–за малой точности операции Math.sqrt() при больших
значениях аргумента
Способы решения:
Проверка полученного результата методом обратного
возведения в квадрат и корректировка значения, если
необходимо.
Применение метода Ньютона для вычисления
целочисленного корня из числа.1
1
http://e-maxx.ru/algo/roots_newton#2
4/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

5. Задача 1. POBEDA-2014
Вопросы по задаче?
5/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

6. Задача 2. Список школ
«Список школ»
Идея решения
При решении данной задачи необходимо сначала выделить
номера школ из каждой записи с названием школы и
сформировать массив, содержащий эти номера.
Используя полученный массив, определить, количество
школ и номера школ, которые встречаются в нем не более
пяти раз.
6/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

7. Задача 2. Список школ
Детали реализации на Pascal
Двигаемся по строке и выделям в ней последовательность
цифр, добавляя её в виде строки в массив строк с
номерами школ.
Отсортируем массив номеров школ в лексикографическом
(алфавитном) порядке.
Используя полученный массив, определяем количество
школ и номера школ, которые встречаются в нем не более
пяти раз последовательным проходом по нему.
7/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

8. Задача 2. Список школ
Детали реализации на Java/C++
Упростить поиск последовательности цифр в строке можно
с использованием регулярного выражения d+ (Java)
Для каждого номера школы хранить количество его
упоминаний в map<string, int>
Вывести из map все ключи, у которых значения ≤ 5
8/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

9. Задача 2. Список школ
Вопросы по задаче?
9/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

10. Задача 3. Межрегиональная олимпиада
«Межрегиональная олимпиада»
Идея решения
Отсортируем задачи по возрастанию времени окончания
их выполнения (start + time).
Пусть a[i] — максимальное количество баллов, которые
можно набрать, решая только задачи из числа «первых» i
задач.
Рассмотрим i–ю задачу. Пусть prev — это номер
последней задачи, которая заканчивается не позже, чем
выдается i–я задача (то есть startprev + timeprev ≤ starti,
a startprev+1 + timeprev+1 > starti).
Тогда a[i] = max(a[i − 1], a[prev] + cost[i]).
Из этого следует, что можно либо решить задачу с
номером i и какой-то набор задач с номерами не больше
prev, либо не решать задачу с номером i.
Ответом на поставленный вопрос будет число a[n].
10/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

11. Задача 3. Межрегиональная олимпиада
Детали реализации
Искать задачу prev можно полным перебором за O(N),
двоичным поиском за O(log N).
Получение списка решаемых задач
Для получения списка задач, решение которых позволит
набрать сумму a[n], будем хранить дополнительный
массив take, в котором укажем, какой выбор был сделан
на каждом шаге.
Если a[i] = cost[i] + a[prev], то take[i] := prev.
Это будет означать, что решается задача с номером i, а
предыдущая задача имеет номер не больше prev.
В противном случае take[i]:= –1.
Теперь, пройдя с конца по массиву take, можно
восстановить список решаемых задач.
11/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

12. Задача 3. Межрегиональная олимпиада
Вопросы по задаче?
12/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

13. Задача 4. Дом Мэра
«Дом Мэра»
Основная сложность задачи. . .
13/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

14. Задача 4. Дом Мэра
«Дом Мэра»
. . . разобрать все возможные случаи
13/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

15. Задача 4. Дом Мэра
Рассмотрим подробно случай, когда дом имеет координаты
xi ≥ 0, yi ≥ 0 (остальные случаи будут почти аналогичны).
Рассмотрим пути, выходящие из мэрии на Север.
Возможны два варианта пути:
1 Eдем на Север, затем поворачиваем направо (на Восток),
и затем налево (опять на Север); при этом любой отрезок
пути может иметь длину, равную 0.
2 Eдем на Север, пересекая горизонтальную улицу, на
которой будет расположен дом Мэра, затем поворачиваем
направо (на Восток), и затем еще раз направо (обратно на
Юг).
Сравнивая эти два пути, можно сказать, что если существует
первый путь, то он всегда короче второго (если он существует).
14/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

16. Задача 4. Дом Мэра
Выясним, как далеко мы сможем проехать из точки (0, 0) на
Север.
1 Найдём ближайший дом, который перекрывает нам путь
на Север (если такой существует).
2 Обозначим ординату (Y ) максимального удаления на
Север от мэрии за R.
3 Если дом находится на отрезке (0, R), то задача решена.
15/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

17. Задача 4. Дом Мэра
Далее выясним, как далеко мы сможем проехать из точки
(xi, yi) на Юг до оси X.
1 Найдём ближайший дом, который перекрывает нам путь
на Юг (если такой существует).
2 Обозначим ординату (Y ) максимального удаления на Юг
от дома за S.
16/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

18. Задача 4. Дом Мэра
Если S > R, то пути первого типа нет.
Иначе попытаемся найти минимальное значение t на отрезке
[S, R], т.ч. можно проехать из точки (0, t) в точку (xi, t)
17/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

19. Задача 4. Дом Мэра
1 Рассмотрим все здания, которые пересекаются с полосой
0 ≤ x ≤ xi.
2 Рассмотрим их проекции на ось Oy, найдем объединение
этих проекций (открытых интервалов), и найдем точку t на
оси Oy, не покрытую объединением интервалов.
1 Для этого можно отсортировать вместе начала и концы
интервалов и пройти по этим точкам, считая баланс:
«количество точек, открывающих интервалы» – «количество
точек, закрывающих интервалы».
2 Если при проходе по точкам в некоторый момент мы получаем
баланс = 0, то данная точка и есть искомая t.
3 Если мы нашли t, то сделаем повороты в нужные стороны
в точках (0, t) и (xi, t). Иначе пути первого вида нет.
18/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

20. Задача 4. Дом Мэра
Путь второго вида:
Eдем на Север, пересекая горизонтальную улицу, на которой
будет расположен дом Мэра, затем поворачиваем направо (на
Восток), и затем еще раз направо (обратно на Юг).
Если R ≤ yi, то пути второго вида также нет.
19/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

21. Задача 4. Дом Мэра
Далее выясним, как далеко мы сможем проехать из точки
(xi, yi) на Север.
1 Найдём ближайший дом, который перекрывает нам путь
на Север (если такой существует).
2 Обозначим ординату (Y ) максимального удаления на
Север от дома за S.
20/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

22. Задача 4. Дом Мэра
1 Рассмотрим отрезок [yi, min(R, S)] и найдем на нём
минимальную точку t, не покрытую объединением
проекций интервалов, рассмотренным выше.
2 Если такая точка t существует, то из всех путей,
выходящих из точки (0, 0) на Север, кратчайший путь
имеет повороты в точках (0, t) и (xi, t). В противном
случае таких путей нет.
3 Заметим, что если t = yi, то второй поворот не нужен.
21/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

23. Задача 4. Дом Мэра
Вопросы по задаче?
22/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике

24. Заключение
Спасибо за внимание!
23/23 Всероссийская олимпиада школьников по информатике