Документ посвящен геометрии многогранников, определяя их как тела, поверхность которых состоит из многоугольников, и рассматривает различные их свойства. Объясняется, что многогранник может быть выпуклым или невыпуклым, где выпуклый многогранник имеет определённые характеристики, включая теорему Эйлера. Теорема Эйлера устанавливает связь между числом вершин, граней и рёбер многогранника.

1. Урок - лекция
Геометрия 11

2.  Отрезки, соединяющие вершины
многогранника, не принадлежащие одной
грани, называются диагоналями.
Многогранником
называется тело,
поверхность которого
состоит из конечного
числа многоугольников,
называемых гранями.
Стороны и вершины этих многоугольников
называются ребрами и вершинами.

3. Многогранник называется
выпуклым, если вместе с
каждыми двумя своими точками
он содержит и соединяющий их
отрезок. В противном случае
многогранник называется невы-
пуклым.
На рис.1 приведен пример
выпуклого многогранника, на
рис.2 – невыпуклого.
Рис. 2
Рис. 1

4. 

Прямоугольный параллелепипед
Многогранник
называется
выпуклым, если
он расположен по
одну сторону от
плоскости каждой
его грани.

5. Невыпуклый многогранник



6. 1̊. Многогранник является
выпуклым тогда и только
тогда, когда он лежит по
одну сторону от плоскости
каждой своей грани.
2̊. Каждая грань выпуклого
многогранника является
выпуклым многоугольником
3̊. Плоскость, проходящая
через внутреннюю точку
выпуклого многогранника,
пересекает его по выпуклому
многоугольнику.
Рис. 3

7. Великим математиком, физиком и
астрономом Леонардом Эйлером
(1707 - 1783) (рис.4) была доказана
удивительная теорема.
Теорема Эйлера. Для любого
выпуклого многогранника
В + Г  Р = 2,
где В – число вершин,
Г – число граней,
Р – число ребер этого
многогранника.
Например, для n-угольной пирамиды
(рис.5)
В= n+1, Г= n+1, Р= 2n, следовательно,
В + Г - Р = n+1+ n+1- 2n=2.
Рис. 5
nAAMA ...21
Рис. 4