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ベキ零行列とジョルダン標準形
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固有値が3重解の時の,3次ジョルダン標準形の導出をしました. 間違い等あれば,教えてください.
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ベキ零行列とジョルダン標準形
1.
ベキ零行列と ジョルダン標準形 HANPENROBOT
2.
目次 §0 ジョルダン標準形が難しい理由
§1 ベキ零行列の標準形 §2 ジョルダン標準形
3.
§0 ジョルダン標準形が難しい理由 場合分けが多い!
だから,ごちゃごちゃして分かりにくい. でも,ベキ零行列の標準形を使うと スッキリとジョルダン標準形が分かります.
4.
§1 ベキ零行列の標準形 픹は3次正方行列で픹3=핆と픹2≠핆とします.
픹の標準形を求めます. ベクトル합をうまくえらぶと, 합≠할,픹합≠할,픹2합≠할とできます.(証明は後で) 行列픹2합픹합합は正則です (正則性の証明はカンタンなので,やってみてね!).
5.
§1 ベキ零行列の標準形 行列の積픹픹2합픹합합を計算しよう!
픹픹2합픹합합=픹3합픹2합픹합=할픹2합픹합 =픹2합픹합합 010001000 ∴픹2합픹합합−1픹픹2합픹합합= 010001000
6.
§1 ベキ零行列の標準形 つまり,픹~
010001000 といえますね! ゆえに,픹の標準形は 010001000 です
7.
§2 ジョルダン標準形 3次正方行列픸のジョルダン標準形をもとめます.
픸は次の仮定をみたすとします. 仮定 固有多項式はφ픸푥=푥−훼3とする. 最小多項式푚픸푥=φ픸푥とする. すなわち,푚픸픸=픸−훼피3=할
8.
§2 ジョルダン標準形 仮定から,픸−훼피は
(픸−훼피)3=핆と(픸−훼피)2≠핆をみたすベキ零行列です. 픸−훼피に§1の議論を適用すると・・・ 픸−훼피~ 010001000 ですね!
9.
§2 ジョルダン標準形 という訳で,픸のジョルダン標準形は・・・
픸~ 훼100훼100훼 です. ジョルダン標準形は,シンプルに導出できますね!
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