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パターン認識と機械学習 〜指数型分布族とノンパラメトリック〜
- 2. 自己紹介 • 名前 • 小笠原光貴(Mitsuki OGASAHARA) • 入社年度 • 2014年度 • 所属 • (株)CyberZ 開発エンジニア • 学生時代の研究分野 • 自然言語処理・機械学習
- 3. 目次 • 2.4 指数型分布族 • 2.4.1 最尤推定と十分統計量 • 2.4.2 共役事前分布 • 2.4.3 無情報事前分布 • 2.5 ノンパラメトリック法 • 2.5.1 カーネル密度推定法 • 2.5.2 最近傍法
- 4. 2.4 指数型分布族(p.110) • 式(2.194)で定義される分布の族(集合) ! • 「ガウス分布」「多項分布」など、 PRMLに出てくる多くの分布が指数型分布族に含まれる → 式(2.194)で定義し直すことができる • ※ xはスカラーでもベクトルでも良い • ※ xは離散でも連続でも良い (2.194)
- 5. 2.4 指数型分布族(p.110) ! • : xに関する関数 • scaling constantとも呼ばれ(MLaPPより)、 「1」が入ることもある(ベルヌーイ分布、ガンマ分布) (2.194) h (x)
- 6. 2.4 指数型分布族(p.110) ! • : ηに関する関数 • 確率密度関数の積分値が1になるように 正規化するためのもの (2.194) g(⌘) g (⌘) Z h (x) exp ⌘T u (x) dx = 1 (2.195) Z(⌘) = 1 g (⌘) = Z h (x) exp ⌘T u (x) dx
- 7. ベルヌーイ分布は指数型分布族か？ ! • 無理やりexpの中に入れてみる ! ! ! • ηを式(2.198)のように定義する Bern(x|µ) = µx (1 µ)1 x (2.196) Bern(x|µ) = exp{ln µx (1 µ)1 x } = exp{x ln µ + (1 x) ln 1 µ} = exp{x(ln µ ln 1 µ) + ln 1 µ} = (1 µ) exp{ln( µ 1 µ )x} (2.197) (2.198)⌘ = ln( µ 1 µ )
- 8. ベルヌーイ分布は指数型分布族か？ ! • 最終的には、 ! • となり、式(2.194)と対応した Bern(x|µ) = µx (1 µ)1 x (2.196) (2.197) (2.194)
- 10. 2.4.1 最尤推定 • 指数型分布族の一般形の式(2.194)から、 最尤推定量ηを求める • 独立に同分布に従うデータ集合Xについて考えると、 この尤度関数は ! • 対数尤度関数は
- 12. 2.4.1 最尤推定 • 原則として、式(2.228)を解くとηは得られる ! ! • また、最尤推定値は に依存する(十分統計量) • 言い換えると、最尤推定を求めるためには、 の総和(または平均)のみがあればよい (2.228)
- 13. 最尤推定と真のパラメータ • ηの最尤推定値は式(2.228)を解くと得られる ! ! • の定義に基づくと、 ! ! • つまり、N→ の極限では、最尤推定値＝真の値 (2.228) g (⌘) Z h (x) exp ⌘T u (x) dx = 1 (2.195) (2.226)
- 14. 2.4.2 共役事前分布 • 指数型分布族の任意の分布について、 次の形で書ける共役事前分布が存在する ! • 導出は書いてないが、共役であることが確かめられる 尤度関数(2.227)と事前分布(2.229)をかけ、 事後分布を求める (2.229)
- 16. 2.4.2 共役事前分布 • 事前分布のパラメータを、 仮想観測値として解釈することもできる ! ! ! ! • c.f. p.71 二項分布の共役事前分布「ベータ分布」の パラメータを、仮想の観測として解釈した (2.230) 仮想の観測数 (Nに相当) 仮想の観測値 (u(x)に相当)
- 17. 2.4.3 無情報事前分布 • 事前分布を置きたいが、分布(やパラメータ)についての 知識がないとき • 一様分布を置けば良い？ ! • λが連続かつ範囲が決まってないとき、 λについての積分が発散してしまい、正規化できない →変則事前分布
- 18. 2.4.3 無情報事前分布 • 次のような平行移動不変性を持った分布を考える (例：正規分布) • ※平行移動不変性 • xを定数分移動しても、位置パラメータμを同じだけ移動すれば、 確率密度の形は変わらない (2.232) のとき とすると、 (2.233)
- 19. 2.4.3 無情報事前分布 • 平行移動不変性を持つ事前分布について考えると、 積分区間が平行移動しても、その確率は変わらない ! ! • よって、式(2.235)より定数となる (2.234) (2.235)
- 20. 2.4.3 無情報事前分布 • ガウス分布のμの場合、 σ_0^2→ の極限で無情報事前分布となる ! ! ! • 事後分布に、事前分布のパラメータが影響しなくなる (2.140) (2.141)
- 21. 2.5 ノンパラメトリック法 • パラメトリック • 密度関数(モデル)を選んで、パラメータをデータから推定する → モデルがデータを表すのに貧弱だと、予測精度は悪い • 例) ガウス分布をデータに当てはめて、μ・σ^2を推定した → データが多峰性だと、ガウス分布では捉えられない • ノンパラメトリック • 分布の形状に置く仮定が少ない • 例)多峰性だとか単峰性などの仮定は置かない
- 23. ヒストグラム密度推定法 • 1次元・２次元程度の簡単な可視化には役立つ、 簡便な方法 • このアプローチから、次の２つがわかる • ある値の確率密度を推定するには、近傍の観測点の値を考慮する 必要がある • 区間の幅は大きすぎても 小さすぎてもいけない • 小：データに影響しすぎる • 大：元の分布を全く再現できない • →モデルの複雑さの選択に似ている
- 24. ヒストグラム密度推定法の問題点 • 推定した密度が不連続である(区間と区間の間) • 次元の呪い • xの次元数をDとすると、区間の総数はM^D個
- 25. 2.5.1 カーネル密度推定法 • 未知の確率密度p(x)から得られた観測集合を使って、 p(x)の値を推定したい • xを含む小さな領域Rの確率をPとする ! • N個の観測値が得られたとして、K個の観測値が Rに含まれる確率は、二項分布に従う P = Z R p(x)dx p(K|N, P) = Bin(K|N, P) (2.242) (2.243)
- 26. 2.5.1 カーネル密度推定法 • 二項分布の期待値・分散より、次の関係式が得られる • Nが大きいとき、分散は小さくなり、期待値の関係から • また、Rが小さく、p(x)がR内で一定だと近似すると • 以上より、次の密度推定の関係式が得られる var K N = P(1 P) N E K N = P K ' NP P ' p(x)V p(x) = K NV (2.244) (2.245) (2.246)
- 27. 2.5.1 カーネル密度推定法 • 以上より、次の密度推定の関係式が得られる ! • 確率密度p(x)を推定するために、KとVを推定する • Kを固定でVを推定 → K近傍密度推定法 • Vを固定でKを推定 → カーネル密度推定法 p(x) = K NV (2.246)
- 28. 2.5.1 カーネル密度推定法 • Vを固定し、Kを推定したい • 確率密度p(x)を求めたい点をx、観測点をx_nとする • 一辺がhで、xを中心とする小さな超立方体の 中にある点の総数は ! • 一辺hの超立方体なので、Vはh^Dとなり、 K = KX n=1 k ✓ x xn h ◆ p(x) = 1 N KX n=1 1 hD k ✓ x xn h ◆ (2.248) (2.249)
- 29. 2.5.1 カーネル密度推定法 • 小さな超立方体の一辺hの大きさが 平滑化のためのパラメータになっている • hが固定になってしまう → データ密度が高い領域と低い領域で、不都合がある
- 30. 2.5.2 K近傍密度推定法 • Kを固定し、Vを推定したい • 確率密度p(x)を求めたい点をx、観測点をx_nとする • xを中心として、点がK個含まれるような超球を探すと Vは一意に定まり、確率密度は推定される 図は www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=DownLoad&file=2005-7244-20060130-3,4.pdf&type=cal より p(x) = K NV
- 32. まとめると… • カーネル密度推定法 • 領域の体積を固定する • 一辺の長さがhな超立方体に、観測点xnが何個あるかを求めた • hが平滑化パラメーター • K近傍法 • 領域内の、観測点xnの個数を固定する • 観測点xnがk個になるように、領域を広げた • kが平滑化パラメーター
- 34. K近傍法を使ったクラス分類 • ベイズの定理より、 ! • 確率密度p(x)は、先ほど求めたとおり ! • 事前分布は、全ての観測点のうちクラスに属する観測点 ! • 尤度は、そのクラスに属する観測点での確率密度より、 p(Ck|x) = p(x|Ck)p(Ck) p(x) p(x) = K NV p(Ck) = Nk N p(x|Ck) = Kk NkV
- 35. K近傍法を使ったクラス分類 • ベイズの定理に代入すると、 ! • よって、K近傍のうち、クラスC_kに属する点の数で 多数決を取ればよい • 特に、K=1のとき最近傍法と呼ばれる p(Ck|x) = p(x|Ck)p(Ck) p(x) = Kk K ◇に近い３つの点で多数決を取っている 最近傍法では、 最近傍法では、クラスの異なる点の対の 垂直二等分線になっている
- 36. 問題点 • あるxの確率密度p(x)を推定するにあたって、 全てのデータ点を保持する必要がある • データ点が増えると、近傍を探索していく時間が膨大に なる → 探索するための木構造を作る 本来は、最も近い3点を全探索する必要がある
- 37. おわり