Принципові відмінності досконалої (повної) конкуренції від інших форм організ...
творча робота сафронюк
1. Міністерство освіти і науки України
Управління освіти і науки Сумської обласної державної
адміністрації
Сумський обласний інститут післядипломної педагогічної
освіти
Кафедра педагогіки та інноваційних технологій
Особливості вивчення
математики
в профільних класах
Випускна творча робота
слухача курсів вчителів
математики
(10.02. -14.02.14 - н.с.,
17.03. – 21.03.14- е.с.),
вчителя математики
ШЗШ І-ІІІ ст. №4 м. Шостки
Сафронюк Ганни Василівни
Науковий керівник:
старший викладач кафедри
педагогіки та інноваційних технологій
Сударева Галина Федорівна
Суми, 2014 рік
1
2. ЗМІСТ
Стор.
ВСТУП………………………………………………………………………………3
РОЗДІЛ 1. ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ В ПРОФІЛЬНИХ
КЛАСАХ……………………………..………...........................................................6
РОЗДІЛ 2. РЕКОМЕНДАЦІЇ……………………………..……………………….14
РОЗДІЛ 3. ДОДАТКИ……………………………………..………………………15
3.1. Тексти домашніх контрольних робіт…….……………………..…….....16
3.2. Лінійні рівняння, нерівності, системи……………………………….…24
3.3. Квадратні рівняння та нерівності.…………….……………………….. 35
3.4. Практикум з теми «Застосування диференціального та інтегрального
числення в економіці» ………………………………………………………. 43
3.5. Розробка уроку «Ірраціональні рівняння та нерівності (10 клас)»……61
3.6. Розробка позакласного заходу «Погляд в майбутнє (11 клас)»………65
3.7. Розробка уроку «Задачі на рух по річці (6 клас)»………….………….67
ВИСНОВКИ………………………………………………………………..……71
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ …………………………………....….72
2
3. ВСТУП
У сучасному українському суспільстві відбуваються значні економічні,
політичні та соціальні перетворення, які вимагають адекватних змін у
педагогічній сфері діяльності. Про необхідність реалізації новітніх освітніх
стратегій ідеться в Законах „Про освіту”, „ Про загальну середню освіту”,
Державній національна програмі „Освіта: Україна ХХI століття”,
“Національній доктрині розвитку освіти”, Державній програмі “Вчитель”. Ці
законодавчі ініціативи спрямовані на утвердження у вітчизняних школах
особистісно орієнтованої парадигми навчання і виховання, розвиток сучасних
педагогічних технологій, вдосконалення форм,
методів і засобів навчання, модернізацію змісту шкільних програм та
підручників. Постановою Кабiнету Мiнiстрiв України вiд 16.11.2000 р. “Про
перехiд загальноосвiтнiх навчальних закладiв на новий змiст, структуру i 12-
річний термін навчання” передбачено низку організаційно-педагогічних
заходів, покликаних забезпечити функціонування старшої середньої школи як
профільної, а також надати можливості учням проходити допрофільну
підготовку в основній школі. У зв’язку із цим проблема профільного навчання
школярів набула особливої актуальності у вітчизняному освітньому просторі.
У 2003 році науковими співробітниками Інституту педагогіки АПН
України розроблена “Концепція профільного навчання в старшій школі”.
Загальною тенденцією розвитку старшої профільної школи даної концепції є
орієнтація на широку диференціацію, варіативність, багатопрофільність,
інтеграцію загальної і допрофесійної освіти. Автори Концепції обстоюють
новітню стратегію розбудови вітчизняної школи як таку, що відкриває
додаткові можливості щодо врахування iндивiдуальних особливостей, iнтересiв
i потреб учнiв, орiєнтацiї на той чи iнший вид майбутньої професiйної
дiяльностi, забезпечення вільного вибору освiтньої тракторiї з-поміж низки
можливих шляхів для здобуття диплома про повну середню освіту.
3
4. Нині проблема профільного навчання продовжує перебувати в центрі
уваги вітчизняних науковців. Значний внесок у її розв’язання роблять педагоги-
компаративісти О. Бугайова, Є. Коршака, А. Атаяна, В. Бикова, Н. Гендіна, І.
Зязюна, В. Кудіна, В. Кухаренка, С. Ніколаєнка, Г.С.Єгоров,
Н.М.Лавриченко, О.І.Локшина та ін. Загальним теоретичним питанням
профілізації навчального процесу у старшій школі присвячені праці Г.О.Балла,
Н.М. Бібік, О.І. Бугайова, М.І. Бурди, М.П. Гузика, В.І.Кизенка, О.К.
Корсакової, В. Профільна старша школа має створити реальні умови для
професійного самовизначення кожного учня, сприяти рівному доступу до
якісної освіти всіх категорій учнів, забезпечити реалізацію особистісно
орієнтованого принципу організації навчального процесу, індивідуалізації та
диференціації навчання, упровадження дистанційного навчання на основі
інформаційних технологій.
Профільна старша школа має створити реальні умови для професійного
самовизначення кожного учня, сприяти рівному доступу до якісної освіти всіх
категорій учнів, забезпечити реалізацію особистісно орієнтованого принципу
організації навчального процесу, індивідуалізації та диференціації навчання,
упровадження дистанційного навчання на основі інформаційних технологій.
Сьогодні перед учителями стоїть завдання не просто навчити учні
опановувати певний обсяг знань, а виробляти вміння вчитися, застосовувати
набуті знання у практичній діяльності. Вчитель покликаний не стільки вчити
школярів математиці, скільки створювати такі навчальні ситуації, в яких самі
учні самостійно чи у співробітництві один з одним(або з учителем) опановують
системою математичних знань, умінь, навичок застосовувати математику як
інструмент для розв'язування прикладних задач.
Актуальність роботи Сафронюк Г.В полягає в застосуванні різних форм
роботи розвитку самостійної пізнавальної та практичної діяльності учнів.
Актуальність даної проблеми полягає в системному застосуванні
математичного моделювання протягом вивчення усього курсу математики з
метою формування в учнів навички повсякденного користування
математикою.
4
5. Моя система роботи спрямована на реалізацію провідної ідеї досвіду шляхом
впровадження таких форм роботи:
- проведення домашніх контрольних робіт;
- самостійне вивчення учнями теоретичного матеріалу та його практичне
застосування;
- проведення нестандартних уроків: уроків – екскурсій, уроків – конференцій,
бліц – турнірів, уроків – аукціонів, тощо;
- залучення учнів до написання науково – дослідницьких робіт.
- системне розв'язування задач практичного змісту.
Вважаю, даний досвід спрямований на розвиток творчих здібностей кожного учня, на
досягнення ними глибоких теоретичних знань та вмінь використовувати їх на практиці, що дає можливість
успішно проходити зовнішнє незалежне тестування.
РОЗДІЛ 2. ОСОБЛИВОСТІ ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИКИ В ПРОФІЛЬНИХ
КЛАСАХ
Організація навчання математики в класах математичного профілю
передбачає реалізацію особистісно-орієнтованої моделі навчання,
першочергове завдання якої полягає в тому, щоб розпізнати та розвинути,
5
6. конкретні здібності, схильності, особливості мислення, потенціал кожного
учня.
Навчання математики за математичними профілем передбачає
поглиблену, у порівнянні з академічним рівнем, підготовку учнів з математики
в органічному поєднанні з вивченням усіх природничих предметів,
міжпредметну інтеграцію на основі застосування математичних методів
(зокрема, методу математичного моделювання). При цьому, математична та
природничо-наукова підготовка в профільних математичних, фізичних і
фізико-математичних класах має бути орієнтована як на обов'язкове засвоєння
учнями конкретних знань, так і на формування умінь моделювання реальних
процесів. У природничих науках математика є не лише галуззю
загальноосвітніх знань, а й методом наукового пізнання. Тому навчання
математики в класах математичного та фізико-математичного профілів вимагає
більш поглибленого, у порівнянні з академічним, рівня її вивчення. Разом з
тим, курс математики для цих класів відрізняються від академічного не стільки
обсягом знань, якими мають оволодіти учні, скільки рівнем його
обгрунтованості, абстрактності, загальності, прикладної спрямованості. Це, з
одного боку, сприятиме кращому розумінню учнями значення математики як
науки, усвідомленню ними універсальності математичних знань, необхідності
повнішого і свідомого володіння математичними методами, а з іншого —
формуванню у школярів природничих знань як цілісної системи.
Широке і системне застосування методу математичного моделювання
протягом вивчення усього курсу математики має стати потужним засобом
формування в учнів навички повсякденного користування математикою при
вивченні природничих предметів. Це стосується введення понять, виявлення
зв'язків між ними, характеру прикладів та ілюстрацій, доведень, побудови
системи вправ і завдань, визначення системи контролю. Такий підхід посилить
прикладну спрямованість навчання математики, сприятиме формуванню в
учнів стійких мотивів до оволодіння математичними знаннями.
Навчання в профільних математичних класах передбачає істотне
збільшення частки самостійної пізнавальної та практичної діяльності учнів.
При цьому, основна функція вчителя полягатиме у педагогічному супроводі
6
7. кожного учня в його пізнавальній діяльності, корекції його навчальних
досягнень, допомозі школярам в актуалізації необхідних знань, отриманих
ними раніше. Іншими словами, вчитель покликаний не стільки вчити школярів
математиці, скільки створювати такі навчальні ситуації, в яких самі учні
самостійно чи у співробітництві один з одним (або з учителем) опановують
системою математичних знань, умінь та навичок .
Старшокласники повинні навчитись отримувати нові знання, нові наукові чи
прикладні результати, застосовувати математику як інструмент для розв'язання
прикладних задач, доповідати про одержані результати своєї роботи перед
зацікавленою аудиторією.
Провідними принципами, які визначають структуру навчання
математики в профільних класах є:
1. Самостійна пізнавальна та практична діяльність учнів.
2. Моделювання у навчальному процесі елементів діяльності фахівця-
математика.
З метою реалізації цих принципів в роботі використовую різні форми
роботи. Одна із них – проведення домашніх контрольних робіт. Відомо, що
самостійна робота учнів - це основній спосіб формування глибоких знань та
розвитку їх творчості. Проведення та захист домашніх контрольних робіт -
пряме підтвердження цьому. Адже, виконуючи такі роботи, учень самостійно
працює над теоретичним матеріалом, знаходить свої способи та прийоми
розв'язування деяких задач.
Методика проведення домашніх контрольних робіт зводиться до
наступного: на початку вивчення нової теми кожен учень одержує завдання,
яке він повинен розв'язати протягом вивчення даної теми. Серед завдань є
такі, які потребують додаткового вивчення теоретичного матеріалу. Під час
виконання роботи учень має можливість одержувати консультації як від
своїх однокласників, так і від вчителя.
Зміст домашніх контрольних робіт відповідає вимогам зовнішнього
оцінювання, а тому всі роботи складаються з трьох частин:
а)завдання обов'язкового рівня;
7
8. б)завдання підвищеного рівня;
в)завдання поглибленого рівня.
Частіше всього робота пропонуються в 4 варіантах.
Завдання повинні бути виконані до кінця вивчення теми. Захист
домашньої контрольної роботи проводиться під час написання самостійної
перед заліковою контрольною роботою. Самостійна робота пропонується
тим же змістом, що і домашня контрольна робота, але зі зміною варіантів для
кожного учня.
Результати написання такої самостійної свідчать про рівень роботи
кожного учня протягом теми, дають можливість вчителю побачити слабкі
місця у вивченні теми, які відпрацьовується потім перед написанням
контрольної роботи.
Обов'язковою умовою змісту такої роботи є включення всіх основних
видів завдань. Це дає змогу учневі вивчити дану тему в повному,обсязі.
Така методика роботи дає можливість якісно підготувати учня до
незалежного зовнішнього тестування.
Пропонуються змісти домашніх контрольних робіт з деяких тем.
(Див. додаток 1)
Слід зазначити, що в змісті домашніх контрольних робіт є
обов’язковими задачі з параметрами.
Розв’язувати задачі такого виду необхідно розпочинати, починаючи з
вивчення лінійних рівнянь. Шкільні підручники містять дуже мало такого
матеріалу. Тому розроблено збірник, який допоможе учням формувати
вміння працювати з задачами, які потребують глибокого дослідження.
(Див. додаток 2)
Широко в роботі застосовую самостійне вивчення учнями
теоретичного матеріалу та його практичне застосування.
Розглянемо фрагмент вивчення теми в 10 класі «Рівняння з модулем».
На уроці були розглянуті алгоритми розв’язування рівнянь виду: ,)( axf = )()( xqxf = , )()( xqxf = .
Домашня робота полягала в знаходженні алгоритмів розв’язання
рівнянь виду: )()( xfxf = , )()( xfxf −= .
8
9. Перевірку домашнього завдання проводжу шляхом застосування
технології «Аукціон». Учням пропоную скласти план розв’язування рівнянь:
22 22
−−=−− xxxx 22 22
++−=−− xxxx
Якщо учні справились з завданням за 5 секунди, то рівняння
«продаються» за 12 балів; якщо за 10 секунд - за 10 балів; якщо учні
одержують часткову інформацію щодо розв’язання - за 8 балів.
Така робота спонукає учнів до глибокого опрацювання теоретичного
матеріалу самостійно, бо результат їхньої роботи має реальну оцінку.
Залучення учнів до написання науково-дослідницьких робіт спонукає їх до
вміння самостійно працювати з додатковою літературою, сучасними
інформаційними джерелами; дає можливість для творчого розвитку здібностей
та компетентності.
(Див. додаток 3)
Мабуть, немає сьогодні такої галузі знань, де б не застосовувалися
досягнення математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи, географи та
економісти, навіть мовознавці та історики використовують математичний
апарат.
У чому ж полягає секрет універсальності «математичного інструменту»?
Справді, формулювання задач з різних галузей знань містять нематематичні
поняття. Якщо математик бере участь у розв'язуванні такої задачі, то він насам-
перед прагне перекласти її своєю «рідною» математичною мовою, тобто мовою
виразів, формул, рівнянь, нерівностей, функцій, графіків тощо. Результат
такого перекладу називають математичною моделлю, а саму задачу — прикладною
задачею.
Термін «модель» (від латинського тосіиіиз — зразок) нам трапляється дуже часто:
модель літака, модель атомного ядра, модель Сонячної системи, модель якогось процесу або явища
тощо. Вивчаючи властивості моделі об'єкта, ми тим самим вивчаємо властивості самого об'єкта.
Галузь математики, яка займається побудовою і вивченням математичних
моделей, називають математичним моделюванням.
Розв'язування прикладної задачі складається з трьох етапів:
1) побудова математичної моделі;
2) розв'язання математичної задачі;
9
10. 3) результат, отриманий на другому етапі, аналізується виходячи зі змісту
прикладної задачі.
Перший етап ілюструють наведені вище приклади. Зазначимо, що успішна
реалізація цього кроку потребує наявності певних знань із галузі, до якої
належить дана прикладна задача.
Реалізація другого етапу пов'язана лише з математичною діяльністю:
знаходження значень виразів, розв'язування рівнянь, нерівностей та їх систем,
побудова графічних об'єктів тощо.
На третьому етапі отриманий результат потрібно відповідь слід
проаналізувати на відповідність умові прикладної задачі.
Розв’язування задач практичного змісту – один із провідних принципів
роботи в профільних класах. Для проведення уроків розроблено практикум з
теми «Застосування диференціального та інтегрального числення в економіці».
(Див. додаток 4)
Враховуючи реалії сьогодення, практикується проведення нестандартних
уроків: уроків-екскурсій, уроків-конференцій, уроків-семінарів, бліц-турнірів,
уроків-аукціонів тощо.
(Див. додаток 5)
Практичне застосування теоретичного матеріалу реалізується не тільки на
уроках, але й в позакласній роботі.
(Див. додаток 6)
Досягнення високих результатів роботи в профільних класах не можливо
без допрофільної підготовки учнів. Ця робота проводиться в таких напрямках:
1. Вивчення математики з першого по шостий клас проводиться за
розвиваючою програмою «Росток»;
2. Організація поглиблених курсів за вибором.
Програма «Росток»
10
11. Головною особливістю даної програми є те, що учні отримують
математичні знання не в «готовому» вигляді, а в результаті самостійного
«відкриття» ними властивостей і відносин реального світу. При цьому увага
приділяється всім трьом етапам математичного моделювання. Ними є:
1) етап математизації дійсності, тобто побудови математичної моделі
деякого фрагмента дійсності;
2) етап вивчення математичної моделі, тобто побудови математичної теорії,
що описує властивості побудованої матетичного моделі;
3) етап застосування отриманих результатів до реального світу.
У школі за звичайною програмою перший і третій етапи опускають,
вважаючи, що завданням шкільного курсу є лише освоєння теоретичних знань
(правил дій над літерними виразами, рішення рівнянь і нерівностей,
дослідження властивостей геометричних фігур тощо), а про процес
виникнення математичних понять та їх прак тичного застосування мова, як
правило, не йде. У результаті учні не усвідомлюють практичну значимість
математичної науки та її місце в системі наук. Їхня діяльність на уроках
математики часто стає формальною.
Розглянемо зміст самостійних робіт в п’ятому класі, де навчання ведеться
за програмою «Росток».
Перекласти умову задачі на математичну мову
Скласти математичні моделі
ВАРІАНТ 1
1. Нафтобаза відпустила за 2 дні 2560 л бензину. На другий день база
відпустила бензину на 280 л більше, ніж у перший день. Скільки літрів
бензину база відпустила окремо за кожний день?
11
12. 2. Одна зі сторін прямокутника на 5 см довша за іншу. Площа прямокутника
дорівнює 24 см2
. Знайди сторони прямокутника.
ВАРІАНТ 2
1. Дві доярки надоїли разом 42700 кг молока. Перша доярка надоїла на
400 кг більше, ніж друга. Скільки молока надоїла кожна доярка?
2. Одна сторона прямокутника на 14 мм менша за іншу. Площа прямокутника
дорівнює 240 мм2
. Знайди сторони прямокутника.
ВАРІАНТ З
1. Три шахтарі за тиждень добули 12684 ц вугілля. Перший добув на 1262 ц
більше, ніж третій, а другий на 253 ц більше, ніж третій. Скільки центнерів
вугілля добув кожний шахтар?
2. Автотурист збирався проїхати маршрут довжиною 360 км із деякою
швидкістю. Але через ожеледь його швидкість виявилася на 20 км/год.
меншою, і він прибув до кінцевого пункту на 3 години пізніше, ніж
розраховував. З якою швидкістю проїхав автотурист свій маршрут?
Робота з математичними моделями
Познач найменшу з невідомих величин за х і побудуй математичну модель
задачі. Знайди х і дай відповідь на поставлені питання.
ВАРІАНТ 1
1. Одне з чисел у 2 рази більше за друге, а їхня сума дорівнює 93. Знайди ці
числа.
2. Три хлопчики в шкільній майстерні виготовили 35 деталей, причому один
виготовив 8 деталей, а другий у 2 рази менше, ніж третій. Скільки деталей
виготовив кожний хлопчик?
ВАРІАНТ 2
12
13. 1. Сума двох чисел 265, а одне з них у 4 рази менше за друге. Знайди ці числа.
2. На трьох полицях 162 книжки. На третій полиці 66 книжок, а на першій у З
рази більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
ВАРІАНТ З
1. Поле площею 248 га треба розділити на дві частини так, щоб одна з них була
на 50 га менша від другої. Знайди площу кожної частини.
2. За три дні туристи подолали 106 км шляху. Третього дня вони пройшли 37
км, а другого в 2 рази більше, ніж першого. Скільки кілометрів шляху
долали туристи щодня?
Кожен урок в таких класах неповторний, цікавий, насичений; учень не просто
слухач, а творча особистість, помічник та однодумець вчителя.
(Див. додаток 7)
Робота в профільних класах підпорядкована досягненню учнями
глибоких теоретичних знань та вмінь використовувати їх на практиці, що дасть
можливість успішно пройти зовнішнє незалежне оцінювання.
РЕКОМЕНДАЦІЇ
З метою реалізації провідних принципів, які визначають структуру
навчання математики в профільних класах, використовуються різні форми
роботи. Одна з них – проведення домашніх контрольних робіт.
13
14. Доцільно таку форму роботи проводити з учнями, починаючи з 7 класу.
Методика проведення таких робіт описана і продемонстрована на конкретних
прикладах, що дає можливість застосовувати вчителем у своїй роботі.
Зацікавленість випускників шкіл економічними спеціальностями, з одного
боку, та недостатньою розробленістю задач економічного змісту в шкільних
підручниках, з іншого, спонукали до створення практикуму «Диференціальне
та інтегральне числення в економіці». Цей практикум може широко
використовуваться вчителями математики.
Аналіз змісту тестів ЗНО з математики показав, що задачі з параметрами
є невід’ємною їхньою частиною. Формувати в учнів вміння та навички
розв’язувати задачі з параметрами допоможе збірник-практикум «Рівняння та
нерівності з параметрам».
Досвід роботи має широкий спектр застосування вчителями в своїй
роботі.
14
16. Додаток 1
Тексти домашніх контрольних робіт
Тригонометричні рівняння
I Частина
Розв’язати рівняння.
1)2sinx – 1=0.
A) ( )κ
1− ;,2
3
Ζ+ ºκπκ
π
Б) ( )κ
1− ;,
6
Ζ+ ºκπκ
π
В) ;,2
6
Ζ+ ºκπκ
π
Г) Інша відповідь.
2) ( )
6
1
2cos −=−x
А) ;,22
6
1
arccos Ζ++± ºκπκ
Б) )
6
1
cos( ark−± π κπκ,22 ++ ;Ζ∈
В) Інша відповідь.
Б) ± ;
В) Інша відповідь.
3) .
16
17. A)
Б)
В) Інша відповідь.
4) tgx=1.
A)
Б)
B)
Г) Інша відповідь.
5) ctgx=
A)
Б)
В)
Г) Інша відповідь.
ІІ частина
1) Знайти кількість розв’язків рівняння sinx+cosx=1 на інтервалі
17
18. 2) Розв’язати рівняння cos2
x-3sinxcosx=1=0. У відповідь записати найменший
розв’язок рівняння на проміжку ,якщо він існує. В протилежному випадку
у відповіді поставити число 0.
3) Зазначте кількість розв’язків рівняння sin4
x+cos4
x= на проміжку [0; ].
4) Знайти кількість розв’язків рівняння sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 на проміжку (
; ).
5) Скільки коренів рівняння належить проміжку[0; ]?
6) Скільки коренів рівняння 2sin5xcos6x + sinx =2sin7xcos4x належить
проміжку [0; 2
π
]?
7) Зазначте кількість розв’язків рівняння 5sin2
(1,5π -x) + 2sin2
(π -x)=2 на
проміжку [-π ;π ].
8) Скільки коренів рівняння cos2x + 3sinx = 2 належить проміжку (0; 2
π
)?
9) Запишіть найменший додатній розв’язок у градусах
Sin2
x + sin2
2x +sin2
3x = 2
3
.
10) Запишіть найменший додатній розв’язок рівняння у градусах
Sinx + cos2x = sin4x + cos4x.
11) Знайти найбільший від’ємний корінь рівняння xcos11 = 2 sin 2
x
.
Відповідь запишіть у градусах.
12) Розв’язати рівняння 1 – sin3x = (sin 2
x
-cos 2
x
)2
та вказати кількість коренів,
що належать відрізку [ 2
π
;2π ].
III частина
18
19. 1) Розв’язати рівняння sinx + sin5x = 2. Записати у відповідь наймеенший
додатній корінь із проміжку [0; 2
π
].
2) Знайти кількість коренів рівняння sin101
x + cos101
x = 1 на проміжку [0; 2
π
).
3) Розв’язати рівняння 4sinπ x = 4x2
– 4x + 5.
4) Розв’язати рівняння tg(2π cosx) = 0. Зазначити кількість коренів на
проміжку [0;π ).
5) Знайти найбільший корінь рівняння 3arctg(x2
– 2x + 3 ) - π = 0.
6) Розв’язати рівняння 2 +
−
2
1
arccos
x
4
3
2
1
aarccos
π
=
−x
.
7) Знайти найбільший корінь рівняння arscin =
−
8
82
x
2arcsin 24
π
−
x
.
8) Визначити при яких значеннях параметра а рівняння
044sin)3(+4xsin 222
=−+− axa має 4 різних розв’язки на проміжку
π
π
2;
2
3
. У
відповідь запишіть суму одержаних значень.
9) При яких значеннях параметра а рівняння ( ) xaxa πcos56212
−=+ має єдиний
розв’язок. Знайти цей розв’язок.
10) При яких значеннях параметра а рівняння x
x
x cos
sin
1
sin
2
1
=
+ має
розв’язки.
Знайти ці розв’язки. У відповідь записати найменший додатній корінь.
11) При яких значеннях параметра а рівняння 01cos4cos)1(2 222
=+++ xaxa не має
розв’язку.
Показникові рівняння та нерівності
I частина
Розв’язати рівняння та нерівності:
1) xx 314
)
3
2
()
2
1
1( −+
= ,
А) 2; Б) 2,5; В) 3; Г) Інша відповідь;
2) 0126436 =−⋅− xx
,
А) 1; Б) 2; В) 2;3; Г) Інша відповідь;
19
20. 3) 64
27
)
8
9
()
3
2
( =⋅ xx
,
А) 3; Б) -3; В) 1; Г) Інша відповідь;
4) ( )
25
1
2,0 ≥
x
,
А) x ≥-2; Б) x≤2; B) x≤-2;
5) ( 3 )x
≤
3
1
;
А) x ≥-2; Б) x≤-2; B) x≥-2;
II частина
1) Розв’язати рівняння
.48 3 21 xx +−
=
2) Розв’язати рівняння
4x+1
+4x-2
=260.
3) Розв’язати рівняння
4x-1
+7 =−⋅ 22x
0.
Якщо рівняння має декілька коренів,у відповідь запишіть їх суму.
4) Розв’язати рівняння
3 x
16⋅ +2 x
81⋅ =5 36⋅ x
. У відповідь записати більший корінь.
5) Розв’язати рівняння
2x x
5⋅ =0,1(10x-1
).
6) Розв’язати нерівність (0,5)x-3 ≥
41- x
1
. У відповідь записати найбільший
розв’язок.
7) Розв’язати нерівність 52x+1
+4 x
5⋅ -1≥0. У відповідь записати найменший
розв’язок.
8) Розв’язати нерівність
3 2⋅ x
+5x+1
≥3 5⋅ x
+2x+3
.
20
21. У відповідь записати найменший розв’язок.
9) Розв’язати рівняння
5x-3
+ 3
5
25
−x =26. У відповіді зазначити суму коренів.
10) Розв’язати рівняння
.4)32()32( =−++ xx
У відповіді зазначити суму коренів.
Ш частина
1)Знайти найменший додатній корінь рівняння
.6242
22
cossin
=⋅+ xx
2) Розв’язати нерівність
.1)86( 32
<+− −x
xx
У відповіді записати найбільший цілий розв’язок.
3)Знайти найменше ціле число, що задовольняє нерівність
.7575)245(2 +≥−−+ xxx
4)Розв’язати рівняння
.0)93(5 39,32,72
=−− =− xx
x
У відповіді записати суму коренів.
5)Знайти найбільший цілий розв’язок нерівності
.0
310
639
2
>
−−
−−
xx
xx
6)Знайти суму коренів рівняння
( ) ( ) .11
4213 ++
−=−
xx
xx
7)При яких значеннях параметра а рівняння 022244 =++⋅− aa xx
має два дійсних
різних розв’язки? Знайти ці розв’язки.
8)Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких для всіх хєR
справджується нерівність .032)3(24 coscos
>++⋅−− aa xx
9) При яких значеннях параметра а рівняння .01233)1(29 2
=++−⋅+− aaa x
має єдиний дійсний корінь?
Ірраціональні рівняння та нерівності
I частина
21
22. Розв ’ язати рівняння та нерівності:
1) ,48 −=+ хх
А)1; Б)8; В)5; Г)-4; Д) інша відповідь;
2)
,7452 +=− хх
А) -6
9
; Б)2 ; В) ⊗ ; Г)7 ;
3)
,213 =−+− хх
А) 1 ; Б) 2 ; В) 3 ; Г)
⊗ ;
4 )
,12<−х
А) ( -
);3;∞
Б)(-
∞ ;3]; В) (2;3); Г) [2;3);
5) (х-1) х< 0,
А) (- ∞;1); Б) (- ∞;0) ∪(1;+∞ ); В) [0;+∞ ); Г) (0;1).
II частина
1)Розв’язати рівняння
х + .773 =+х
2) Розв’язати рівняння
.273 =−−+ хх
3) Розв’язати рівняння
.1114 33
=+−− xx
4) Знайти більший корінь рівняння
78231523 22
=+−++− xxxx
5) Розв’язати нерівність .3628 2
xxx −>−+ У відповіді записати суму цілих розв’язків.
22
23. 6) Розв’язати нерівність
.13 2
xxx −<+ .
У відповіді записати найбільший цілий розв’язок.
7) Розв’язати нерівність
.01
3
3
6
3
3
>+
+
−
−
−
+
x
x
x
x
У відповіді записати менший із коренів.
8) Розв’язати рівняння
(x+4)(x+1)-3 6252
=++ xx .
У відповіді записати менший із коренів.
9) Розв’язати рівняння
.1168143 =−−++−−+ xxxx
У відповіді записати суму цілих коренів рівняння.
10) Розв’язати рівняння
.)3)(2(
2
5
)3()2( 3
2
3
2
3 −−=−+− xxxx
У відповіді записати суму коренів.
Розв’язати рівняння та нерівності з повним поясненням, які містять всі логічні
кроки:
1) 1+õ - .2623
=−õ
2) ,2151 44
=++− xx
3) х+4- ,4
12
4
4
−
=
−
+
xx
x
4) ,1
2
1
168143 −≥−−++−−+ xxxxx
5) ,0)23(12 22
≤−++− xxxx
6) ,0)1628(
1
)134( 222
≤+−−+++− xx
x
xxx
7) ,3
411 2
<
−−
x
x
8) .
.4
6
32
6 22
+
−+
≥
+
−+
x
xx
x
xx
9)Знайти всі значення параметра а,при кожному з яких рівняння має єдиний
розв’язок.
axx −=+ 23
23
24. 10) Знайти всі значення параметра а,при кожному з яких рівняння має два різні
корені.
.0))1((2 2
=−−−− axaxax
Додаток 2
Лінійні рівняння, нерівності, системи
Знання випускника загальноосвітньої школи повинні відповідати вимогам
вищого навчального закладу. Аналіз змісту тестів ЗНО з математики показав,
що задачі з параметрами є невід’ємною їхньою частиною. І це не випадково.
Адже вузам потрібен студент, котрий має логічне мислення, творчий підхід до
розв’язання проблеми. Саме цьому необхідно формувати в учнів вміння та
навички розв’язувати задачі з параметрами. Даний збірник допоможе це
зробити.
Розділ 1
Лінійні рівняння
24
25. Рівняння виду ax=b, де а і b – дані числа називається лінійним рівнянням
зі змінною x. Числа а, b – коефіцієнти.
Якщо а=0, b 0, то рівняння має безліч коренів, якщо а=0, b 0, то коренів
не існує.
Якщо а 0, то x=
a
b
Розв’язати рівняння з параметрами:
а) 2x + ax = 6.
Розв’язання
2x + ax = 6.
(2 + a) x = 6
Якщо 2 + а = 0, а = -2, то маємо:
0х = 6; х∈ .
Якщо а 2, то х=
2
6
+a
.
Відповідь:
при а = 2, х
при а , х= 2
6
+a .
б) а - 2 = а + 4х
Розв’язання
Запишемо рівняння у вигляді:
25
26. х – 4х = а + 2;
(a2
- 4) x = a+2.
Розглянемо випадок, коли а2
– 4 = 0; а = .
Якщо а = 2, то 0х = 4, х ;
Якщо а = -2, то 0х = 0, х ;
Якщо а = , то рівняння має корінь х =
2
1
−a
.
Відповідь:
якщо а , то х =
2
1
−a
;
якщо а = -2, то х ;
якщо а = 2, то х = .
в) 1
4
+
−
x
x
+ a
2
= )1(
1
+xa
.
Розв’язання
При а = 0 х
Розглянемо випадки, коли а
Запишемо рівняння у вигляді:
)1(
1224
+
−++−
хa
xaax
= 0;
26
28. 2.Лінійні нерівності
Для всіх значень параметра роз’язати нерівність:
а)
Розв’язання.
Якщо
Якщо
Якщо
Відповідь:
якщо
якщо
якщо
б)
Розв’язання.
Якщо
Розглянемо випадки, коли
28
30. Нехай 1
Нерівність запишемо у вигляді
Якщо a = -9, то маємо
Нерівність еквівалентна системі :
Якщо , тобто
- + - +
-9 -1 1
, то x .
Якщо a x .
Відповідь:
Якщо x
30
31. Якщо
Якщо , то
3. Системи лінійних нерівностей
Розв’язати системи з параметрами:
a)
;
Розвязання
Якщо α=0, то x
Розглянемо випадки, коли α 0. Визначимо положення точок х= 4-α і х= на
координатній прямій в залежності від параметра α. Для цього розглянемо
різницю: (4-α)- . За допомогою методу інтервалів знайдемо її знак.
+ - -
0 2 α
При α різниця додатня.
Отже, 4 – α >
31
32. Маемо:
x
Якщо α (0;2) (2;+ ), то 4-α .
Маемо:
4-α
х (4-α; ]
При α = 2 система моє вигляд:
Відповідь:
Якщо α ;
Якщо α .
Б)
32
33. Розвязання
При α = 0 маємо:
Нехай α 0 маємо:
Розглянемо різницю: - α - .
Знайдемо знак різниці:
не має жодного розв’язку .
Розв’язання.
Якщо а=0, то маємо:
- єдиний розв’язок
Якщо а , то запишемо систему у вигляді:
33
34. ;
Система не має розв’язку, якщо виконується умова:
; ; ;
Відповідь: а=2.
б) При яких значеннях k існують розв’язки системи рівняння
, які задовольняють нерівностям x
Розвязання.
; ; ;
;
Якщо k=-2 то 0y=12; y , система не має розв’язків.
Якщо k =2, то 0y=0; y R, система має безліч розв’язків.
34
35. Доведемо, що система нерівностей має розв’язки.
Дійсно, якщо 0
При k=2 існують розв’язки, які задовольняють умову.
Нехай k
y = ;
x = 3 - ;
Знайдемо, при яких значеннях
;
При k = 2 умова виконується. Отже
5. Вправи для самостійної роботи.
Розв’язати рівняння, нерівності, системи з параметрами:
1)
35
36. Відповідь:
якщо a , то x
якщо a
x =
2) 3x+ax=0.
Відповідь:
якщо a= -3,то x
якщо a -3,то x=0.
3)
- =
Відповідь:
якщо a
x1 = 2a – 1, x2 = a+1;
якщо a = 0.5, то x = 1.5;
якщо a = 1, то x = 2;
якщо a = -1, то x = -3;
якщо a = 0, то х
4) ax + 2x
Відповідь:
якщо a -2, то х ,
якщо a = -2, то х
36
37. якщо a -2, то х .
5)
Відповідь:
якщо a
х ; );
якщо a x
6)
Відповідь:
якщо a x
якщо a x
якщо a x
7)
Відповідь:
37
38. якщо а є(- ∞ ;0)∪ (2;+ ∞ ),то х є (- ∞ ; 2
76
−
−
a
a
)∪ (-3;+ ∞ );
якщо а є [0;2],то х є (-∞ ;-3)∪ ( 2
76
−
−
a
a
;- ∞ );
якщо а=2,то х є .
8) При якому а система рівнянь має безліч розв’язків:
Відповідь: а=1.
9) При якому найменшому цілому р система рівнянь
маємо розв’язки (x;y), для яких х ≥0; у ≥0?
Відповідь : а = -2,4.
10) Знайти всі значення параметра а, при яких система
має розв’язки, що задовольняють умові:
x 2
+x 2
=4. Знайти ці розв’язки.
Відповідь:
Якщо а=1,то
1) х=
2
71+
,у=
2
71−
;
2) х=
2
71−
, у=
2
71+
;
якщо а= -1
2
2
± ,то {( 2 ; 2 ),(- 2 ;- 2 )}
38
39. Додаток 3.
Квадратні рівняння та нерівності.
1. Квадратні рівняння; рівняння, які зводяться до них.
Квадратним називають рівняння виду: ах 2
+bx+c=0, де х-змінна, а,b,c- дані
числа (коефіцієнти),причому а 0. Якщо а= 0. то маємо лінійне рівняння
bx+c=0.
Відомо, що розв’язок квадратного рівняння залежить від знаку
дискримінанту.
Якщо Д=0,то рівняння має два збігаючи корені;якщо Д>0 два різних
корені;при Д<0 рівняння не має дійсних коренів.
Розв’язати рівняння з параметрами:
а) х 2
- ах-2=0.
Розв’язання:
Якщо а=-2, то рівняння має вигляд: х=2.
Розглянемо випадки, коли а -1. Маємо квадратне рівняння;знайдемо його
дискримінант :
Д= а 2
+8(а+1)=а 2
+8а+8.
39
40. Розкладемо тричлен на множники:
а 2
+8а+8=(а-(-4-2 2 ))(а-(-4+2 2 ))
Знайдемо знак дискримінанту методом інтегралів:
+ - +
-4-2 2 -4+2 2 - 1 а
при a
При а .
Відповідь:
якщо a то
якщо a
якщо a=1, то x=2.
б) .
Розв’язання.
Нехай
Тоді 2t + 2a-
40
41. a +
t=1
t=1+a-1=a
t=1-a+1=2-a;
Знайдемо,при яких значеннях at
1)t=a; якщо a
2)2-a
Розглянемо схему,яка дає можливість записати відповідь:
x=
0 2 a
x=
Відповідь: якщо a
якщо a [0;2], то x
якщо a
2. Розміщення коренів квадратного рівняння відносно числа α
Нехай 21; χχ - корені рівняння .0,02
≠=++ aäåcba χχ
41
42. Визначимо умову ,при якій .21 χχ <<a Це можливо, якщо графік функції
f(x) = cba ++ χχ2
розташований таким чином.
Y y
х
x
a>0 a<0
Об'єднуючи два випадки, дістанемо умову:
Шляхом таких же міркувань можливо визначити різні випадки розміщення
коренів
21 , χχ відносно .α
42
43. :21 χχα ≤< :12 χχα ≤≤
:21 αχχ <≤ :21 αχχ ≤≤
;0)(:21 <<< aafχαχ .0)(:21 ≤≤≤ aafχαχ
a) Знайти значення k, при якому кожен корінь рівняння
03)32(2
=−+−− kkk χχ менше 2?
Розв’язання. Якщо k=0, то 3x = 3; x=1<2.
При k ≠ 0 маємо квадратне рівняння .Умові задовольняють всі розв’язки
системи нерівностей.
-3 0 к
0 к
к є(- 0;+
При к=0 умова виконуюється.
Відповідь:к (- .
43
44. 3. Теорема Вієта та її використання
Розглянемо зведене квадратне рівняння х2
+рх+q=0 x1, x2 - його корені.
За теоремою Вієта х1+х2= - р, х1х2=q.
а) Знайти значення параметра а, при кожному з яких рівняння
х2
+2х-а(2-а)=0 має корені різних знаків.
Розв’язання.
Корені з різними знаками існують, якщо виконується умова:
<−=
−+=
02
)21(4
2
21
2
ààõõ
ààÄ
;
0))21())(21((
0)2(
<−+−−
<−
aa
aa
0 2 a
a
1- 2 1+ 2
а )2;0(∈ Відповідь: а )2;0(∈ .
б) Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких сума коренів заданого
квадратного рівняння буде найменшою. х2
+(а-2)х-а-3=0
Розв’язання
Корені рівняння існують, якщо Д 0≥ .
Д=(а-2)2
+4(а+3)=а2
-4а+4+4а+12=а2
+16>0
Для будь-якого а. За теоремою Вієта маємо: х1+х2=2-а; х1х2=-а-3
х1
2
+х2
2
=(х1+х2)2
-2 х1х2=(а-2)2
+2(а+3)=а2
-2а+10.
Розглянемо функцію f(a)=a2
-2a+10.
Найменше значення функція приймає в точці а= 2
2
=1.
б) Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені заданого
рівняння x1 та х2 задовольняють умови:
х2
+ (а-2)х - 2=0,2х2 + 5х1 = 1
44
45. Розв’язання.
Корені існують, якщо Д>0.
Д= (а-2)2
+8>0 для будь-яких а.
За теоремою Вієта маємо:
;
3.0
3
;
2
2
5
5
4
21
;2
2
;
2
5
5
4
2
1
;
2
2
5
;
4
91
;81180;0102
01
10
2
;0,
2
2
;
152
2
2
21
21
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
21
12
21
21
=
=
−=+−
−=−
−=+
−=+
=
−=
−=
=
−=
=±
=
=+==−−
=−+
≠−=
−=+
=+
−=
−=+
a
a
a
a
axx
axx
x
x
x
x
x
x
x
Дxx
x
x
x
x
x
axx
xx
xx
axx
Відповідь: { }3;3.0∈a .
4. Вправи для самостійної роботи
1) Розв’язати рівняння та нерівності з параметром:
а) x2
– (3a+1)x+2a2
+a=0.
45
46. Відповідь: якщо а≠ -1, то х { };12; +∈ aа якщо а=-1, то х=-1.
б) ах4
– 2х2
– 3 = 0
Відповідь: якщо а ]( 0;∞−∈ , то х∈Ø; якщо а>0, то х = .
131
а
а ++
±
2) При яких значеннях параметра а всі корені рівняння
(1 – а)х2
+3ах – 4а = 0 більше від 1?
Відповідь: а .
7
16
;1
∈
3) Знайти значення параметра а, при кожному з яких рівняння х2
+ 2х + а(3 - а)
= 0 має один корінь вдвічі більший за другий.
Відповідь: ∈а .
3
8
;
3
1
4) При яких значеннях параметра а всі корені рівняння 2ах2
+(а+2)х=0 належать
проміжку [–2;0]?
Відповідь: а .
5) При яких значеннях параметра а нерівність виконується для всіх дійсних
значень х : .
Відповідь: а [ 1;7].
6) Знайти всі значення параметра а,при яких розв`язки нерівності
ах2
+(1-а)2
х-а>0 по модулю не більші 2.
Відповідь: a [ 2; ].
7) Визначити від`ємне число m таке,щоб корені х1 та х2 рівняння
2х2
+(2т-1)х +т-1=0 задовольняли співвідношення 3х1-4х2=1 .
46
47. Відповідь: т= 2 .
8) Знайти таке додатнє а, щоб тричлен
х2
+а(а-1)х+36 був повним квадратом.
Відповідь: а=4.
9) Знайти всі значення параметра а, при яких із нерівності
випливає нерівність (a2
+a-2)x2
-(a+5)x-2≤ 0.
Відповідь: а [–3;3]
Додаток 3
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ШОСТКИНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА
І – ІІІ СТУПЕНІВ № 4
Практикум з теми
47
48. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ТА ІНТЕГРАЛЬНОГО
ЧИСЛЕННЯ
В ЕКОНОМІЦІ
Підготувала вчитель-методист
ШЗШ І – ІІІ ступенів № 4,
м. Шостки Сумської області
Сафронюк Ганна Василівна
2012 р.
Зміст
Вступ……………………………………………………………………………3
1. Диференціальне числення в економіці……………………………………4
1.1. Знаходження оптимальних значень економічних показників……….4
1.2. Еластичність функції……………………………………………………7
2. Застосування визначеного інтеграла в економіці………………………..9
2.1. Ключові поняття економічної теорії…………………………………..9
2.2. Знаходження споживчого надлишку та надлишку споживача……...12
Висновки……………………………………………………………………….17
Використані інформаційні джерела………………………………………….18
48
49. Вступ
Останнім часом з’явилася велика кількість шкіл і класів, учні яких
обирають економічні спеціальності в якості своєї подальшої діяльності. Як
правило, в таких класах поглиблено вивчається економіка та математика, але
мало часу приділяється застосуванню математичного моделювання до
вирішення економічних завдань. Не є винятком і тема, присвячена
застосуванню диференціального та інтегрального числення в інших
областях знань.
Традиційно практичне застосування похідної та інтегралу
використовується при дослідженні функції, розв’язуванні задач фізичного
чи геометричного змісту.
49
50. Разом з тим, диференціальне та інтегральне числення дає багатий
математичний апарат для моделювання і дослідження процесів, що
відбуваються в економіці.
Подібно до того, як Архімед, відкривши закон важеля,
сказав: «Дайте мені точку опори, і я зрушу Землю»,
так і Ньютонові сучасники говорили: «Складіть нам
диференціальні рівняння усіх рухів у природі і навчіть
нас їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні до Бога, бо за
допомогою обчислень точно знатимемо майбутні події».
Д. .О. Граве
1. Диференціальне числення в економіці
1.1.Знаходження оптимальних значень економічних показників
50
51. Задачі
Задача 1: вибрати оптимальний обсяг виробництва фірмою, функція
прибутку якої може бути змодельована залежністю: f (q) = q2
- 8q + 10, де q –
обсяг продукції.
Розв’язання: f '(q) = 2q - 8 =2(q-4)
- +
4 х
мал.1
При q < 4 прибуток зменшується, при q> 4 прибуток зростає, при q = 4
прибуток приймає мінімальне значення (мал. 1).
Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми? Розглянемо схематично
графік функції f(q).
y
10
0 x
4 8
мал. 2.
Якщо фірма не може проводити за аналізований період більше 8 одиниць
продукції (f(8)=f(0)=10), то оптимальним рішенням буде взагалі нічого не
виробляти, а отримувати дохід від здачі в оренду приміщень або обладнання.
Якщо ж фірма здатна виробляти більше 8 одиниць, то оптимальним для
фірми буде випуск на межі своїх виробничих потужностей.
51
52. Задача 2: Друкований текст (разом з проміжками між рядками) однієї
сторінки книжки має займати площу Sсм 2
. Ширина верхніх і нижніх полів
сторінки має бути а см, бічних полів - b см. Які розміри сторінки є
найвигіднішими, якщо враховувати лише економію паперу.
Розв’язання:
B C
N K
b
M a L
A D
мал. 3.
Нехай x, y - розміри сторінки. S 2
ScмMNKL = , AB=x, BC=y (мал. 2.3.) S
yxABCD ⋅=
MN=x-2a, NK= ax
S
⋅−2
, тоді BC=NK+2b= b
ax
S
⋅+
⋅−
2
2
, y= b
ax
S
⋅+
⋅−
2
2
.
S bx
ax
xS
b
ax
S
xyxABCD 2
2
2
2
+
−
⋅
=
+
−
=⋅= .
Розглянемо функцію f(x)= bx
ax
xS
2
2
+
−
⋅
, х>2a.
Знайдемо, при яких значеннях змінної х значення функції набуває
найбільшого значення. f '(х)= 02
)2(
2
2
)2(
)2(
22
=+
−
−
=+
−
⋅−−⋅
b
ax
aS
b
ax
xSaxS
.
52
53. ,2
)2(
2
2
b
ax
aS
=
−
2aS=2b(x-2a) 2
;
(x-2a) 2
= 0>
b
AS
, х-2а=
b
aS
, х=
b
aS
+2а.
На проміжку, де х>2a, функція має єдину критичну точку, яка очевидно є
точкою максимума. Отже, якщо х=
b
aS
=2а, а y= b
a
bS
2+ , то функція
приймає найбільшу значення. Ці розміри сторінки і є найвигіднішими.
Задача 3: Цементний завод виробляє x т. цементу на день. За договором він
повинен щодня поставляти будівельній фірмі не менше 20 т. цементу.
Виробничі потужності заводу такі, що випуск цементу не може перевищувати
90 т. на день.
Визначити, при якому обсязі виробництва питомі витрати будуть
найбільшими (найменшими), якщо функція витрат має вигляд: Y =- х3
+98 х2
+200 х. Питомі витрати складуть Y/x =- х2
+98 х +200. Наше завдання
зводиться до відшукання найбільшого і найменшого значення функції У =-х2
+98х+ 200 на проміжку [20, 90].
Висновок: x = 49, критична точка функції. Обчислюємо значення функції
на кінцях проміжку і в критичній точці. f (20) = 1760 f (49) = 2601 f (90) = 320.
Таким чином, при випуску 49 тонн цементу в день питомі витрати максимальні,
це економічно не вигідно, а при випуску 90 тонн на день мінімальні, отже
можна порадити працювати заводу на граничній потужності і знаходити
можливості удосконалити технологію, тому що далі буде діяти закон спадної
прибутковості . І без реконструкції не можна буде збільшити випуск
продукції[2].
Задача 4: Підприємство виробляє Х одиниць деякої однорідної продукції в
місяць. Встановлено, що залежність фінансових нагромаджень
підприємства від обсягу випуску виражається формулою f (x) =- 0,02 x3
+600
x -1000. Дослідити потенціал підприємства.
Функція досліджується за допомогою похідної .
53
54. f '(x)= -3 )100()100(06,0)10000(06,060002,0 22
+⋅−⋅−=−=+⋅ xxxx , де x>0.
Визначимо знак похідної за допомогою методу інтервалів (мал. 3).
+ -
-100 100 х
мал. 4
Отримуємо, що при x=100 функція досягає максимуму.
Висновок: фінансові накопичення підприємства зростають зі збільшенням
обсягу виробництва до 100 одиниць, при х=100 вони досягають максимуму і
обсяг нагромадження дорівнює 39 000 грошових одиниць. Подальше зростання
виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень[1].
1.2. Еластичність функції
Задача: Для дослідження економічних процесів та вирішення інших
прикладних задач використовується поняття еластичності функції.
Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення
відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при ∆х 0:
.lim:lim)(
00
y
y
x
x
y
y
x
x
x
y
y
уЕ
xx
х ′⋅=
∆
∆
=
∆∆
=
→∆→∆
Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків змі-
ниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.
Приклад: Залежність між собівартістю одиниці продукції у (тис. грош. од.)
та випуском продукції х (млрд. грош, од.) виражається функцією у=0,5х+80.
54
55. Знайти еластичність собівартості за умови випуску продукції в розмірі 60 млрд.
грош. од.
Розв'язок: За формулою еластичністі собівартості
.
160805,0
5,0
)(
−
=
+−
−
=
х
х
х
х
уЕх
При х = 60 6,0)(60 −== уЕх , тобто при виробництві продукції в розмірі 60
млн. грош. од., збільшення її на 1% викличе зменшення собівартості на 0,6%.
Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції.
Задача: Попит - це кількість товару, яка потрібна покупцю. Цінова
еластичність попиту ED - це величина, яка характеризує те, як попит реагує на
зміну ціни. Якщо |ED|> 1, то попит називається еластичним, якщо |ED| <1, то –
не еластичним. У разі ED = 1 попит називається абсолютно не еластичним,
тобто зміна ціни не призводить ні до якої зміни попиту [4].
Навпаки, якщо найменше зниження ціни спонукає покупця збільшити
покупки від 0 до межі своїх можливостей, кажуть, що попит є абсолютно
еластичним. У залежності від поточної еластичності попиту, підприємець
приймає рішення про зниження або підвищення цін на продукцію.
Приклад: За допомогою досліду були встановлені функції попиту 2
8
+
+
=
p
p
q
та пропозиції 5,0+= ps , де q та s — кількість товарів, відповідно що купується і
пропонується для продажу за одиницю часу, р — ціна товару. Знайти: а)
рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та пропозиція врівноважуються; б)
еластичність попиту та пропозиції для цієї ціни.
Розв'язок: а) Рівноважна ціна визначається з умови q = s,
5,0
2
8
+=
+
+
p
p
p
, звідки р = 2, тобто рівноважна ціна дорівнює 2 грош. од. б)
Знайдемо еластичності попиту та пропозиції за формулою:
.
12
2
)(;
)8)(2(
6
)(
+
=
++
−=
p
p
sE
pp
p
qE pp
55
56. Для рівноважної ціни р = 2 маємо Ер=2(q) = -0,3, Ep=2(s) = 0,8.
Тому що отримані значення еластичності за абсолютною величиною ме-
нші 1, то попит і пропозиція даного товару за рівноважної (ринкової) ціни
нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціна не приведе до різкої
зміни попиту та пропозиції. Так, при збільшенні ціни p на 1% попит змен-
шиться на 0,3%, а пропозиція збільшиться на 0,8%.[5]
2. Застосування визначеного інтеграла в економіці
2.1. Ключові поняття економічної теорії
Почнемо з поняття споживчого надлишку, яке широко використовується
в ринковій економіці. Для цього введемо кілька економічних понять і
позначень[3].
Попит на даний товар (D) - залежність між ціною товару і обсягом його
покупки, що склалася на певний момент часу. Попит на окремий товар
графічно зображується у вигляді кривої з від'ємним нахилом, що відображає
взаємозв'язок між ціною P одиниці цього товару і кількістю товару Q, яку
споживачі готові купити при кожній заданій ціні (мал. 5)
P
D –крива попиту
Q
мал. 5
56
57. Негативний нахил кривої попиту має очевидне пояснення: чим дорожче
товар, тим менша кількість товару, яку покупці готові придбати, і навпаки[6].
Аналогічно визначається і інше ключове поняття економічної теорії -
пропозиція (S) товару: залежність між ціною товару і кількістю товару,
пропонованого до продажу, що склалася на певний момент часу. Пропозиція
окремого товару зображується графічно у вигляді кривої з позитивним
нахилом, що відображає взаємозв'язок між ціною одиниці цього товару P і
кількістю товару Q, яку споживачі готові продати при кожній ціні (мал. 6).
P
S – крива пропозиції
Q
мал. 6
Якщо покупець купує товар у кількості Q* по рівноважній ціні P*, то,
очевидно, що загальні витрати на покупку такого товару складуть P*Q*, що
дорівнює площі заштрихованої фігури A (мал. 7).
P
P* E* (Q*; P*)
A D
Q*
Q
мал. 7
57
58. Але припустимо тепер, що товар у кількості Q* продається продавцями
не відразу, а надходить на ринок невеликими партіями Q. Саме таке
припущення разом з припущенням про безперервність функції попиту і
пропозиції є основним при виведенні формули для розрахунку споживчого
надлишку. Відзначимо, що дане припущення цілком виправдано, тому що така
схема реалізації товару досить поширена на практиці і випливає з мети
продавця підтримувати ціну на товар якомога вище. Тоді отримаємо, що
спочатку пропонується товар у кількості Q1 = ∆Q(мал. 8), який продається за
ціною P1 = f (Q1 ).
P
P1 f (Q1 )
P 2
f (Q 2
)
S1 S 2
f(Q fn ) (Q*)=P*
P *Pn = S n
∆Q ∆Q ∆Q
Q
Q1
Q 2
Q 1−n
Q =n
Q*
мал. 8
За припущенням, величина ∆Q - мала, тому можна вважати, що вся перша
партія товару реалізується за ціною P1 , при цьому витрати покупця на покупку
такої кількості товару складуть P1 ∆Q, що відповідає площі заштрихованого
прямокутника S1 .
58
59. Далі на ринок надходить друга партія товару в тій же кількості, яка
продається за ціною P 2 = f (Q 2 ), де Q 2 = Q1 + ∆Q - загальна кількість
реалізованої продукції, а витрати покупця на покупку другій партії складуть
P 2 ∆Q, що відповідає площі прямокутника S 2 .
Продовжимо процес до тих пір, поки не дійдемо до рівноважної кількості
товару Q* = Qn. Тоді стає зрозуміло, якою повинна бути величина ∆Q для
того, щоб процес продажу товару закінчився у точці Q*.
У результаті отримаємо, що ціна n-ї партії товару Pn = f(Qn) = f(Q*) = P*,
а витрати споживачів на покупку цієї останньої партії товару складуть Pn ∆Q,
або площа прямокутника Sn.
Таким чином, ми отримаємо, що сумарні витрати споживачів при покупці
товару дрібними партіями ∆Q рівні.[7]
Величина ∆Q дуже мала, а функція f (Q) неперервна, то робимо
висновок, що ∑=
n
i
iS
1
приблизно дорівнює площі фігури B (мал. 9), яка, як
відомо, при малих збільшеннях аргументу ∆Q дорівнює визначеному інтегралу
від оберненої функції попиту при зміні аргументу від 0 до Q*, тобто в
результаті отримаємо, що S ∫=
*
0
Q
B f (Q)dQ.
P
B
P*
A D
0 Q*
Q
мал. 9
59
60. Згадавши, що кожна точка на кривій попиту Pi = f (Qi) (i = 1, 2, ..., k)
показує, яку суму споживач готовий заплатити за покупку додаткової одиниці
продукту, одержимо, що площа фігури B відповідає загальній грошовій сумі,
яку споживач готовий витратити на покупку Q* одиниць товару. Різниця між
площею фігури B і площею прямокутника є споживчий надлишок при купівлі
даного товару - перевищення загальної вартості, яку споживач готовий
сплатити за всі одиниці товару, над його реальними витратами на їх придбання
(площа заштрихованої фігури на малюнку 10).
P
CS
P*
A D
0 Q*
Q
мал. 10
Таким чином, споживчий надлишок можна розрахувати за наступною
формулою CS= ∫
*
0
Q
f (Q)dQ-P*Q*
2.2. Знаходження споживчого надлишку та надлишку споживача
Завдання: Відомо, що попит на певний товар задається функцією p = 4 - q 2
, де
q - кількість товару, P - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару
досягається при p* = q* = 1. Визначте величину споживчого надлишку
Розв’язання. CS=
3
2
21
3
1
41)
3
4(11)4(**)(
3
0
1
0
2
*
=−−=−−=⋅−−=−∫ ∫
q
qdqqqpdqqf
g
Завдання: Відомо, що попит на певний товар описується функцією
60
61. q= 3
8000
р
, а пропозиція цього товару характеризується функцією q = 500p.
Знайдіть величину надлишку споживача при купівлі даного товару.
Розв’язання. Для розрахунку надлишку споживача спочатку визначимо
параметри ринкової рівноваги (p*; q*). Для цього розв’яжемо систему рівнянь
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
.1000*
,2*
500
,16
500
,500
8000
500
,
800 4
33
p
p
pq
p
pq
p
p
pq
p
q
Таким чином, p* = 2, q* = 1000.
Запишемо формулу для обчислення споживчого надлишку, де f(q) -
функція, зворотна функції 3
1
3
3
20
800
)(,
8000 −
=== q
q
qf
q
q .
Звідси CS= 100020001000302000302000
2
203
1000220 2
2
3
21000
0
3
2
3
1
=−⋅=−=−
⋅
=⋅−∫
−
q
q
dqq
Завдання: Відомо, що попит на певний товар задається функцією p= 1
231
+q ,
пропозиція - функцією p = q + 11. Визначте величину виграшу споживача при
купівлі даного товару.
Розв’язання. Виграш споживача є не що інше, як споживчий надлишок.
Для того, щоб знайти його, визначимо спочатку рівноважні значення кількості
товару і його ціни, розв’язавши для цього систему
61
62.
+=
+=
+⇔
+=
+
=
11
,11
1
231
11
,
1
231
qp
q
q
qp
q
p
Розв’яжемо перше рівняння системи.
(q + 1)(q + 11) = 231,
q 2
+ 12q – 220 = 0,
(q + 22)(q – 10) = 0.
Отримаємо q* = 10. Отже, p* =10+11 =21. Тоді
CS=
34421011ln2312101ln23111ln231210)1ln(2311021
1
231
10
0
≈−=−−=−+=⋅−
+∫ qdq
q
Подібно надлишку споживача визначається і надлишок виробника (PS).
Не вдаючись до деталей, зазначимо, що надлишок виробника являє собою
різницю між тією грошовою сумою, за яку він був би готовий продати Q*
одиниць товару, і тією сумою, яку він реально отримує при продажу цієї
кількості товару. Графічно він може бути представлений площею фігури,
обмеженої кривою пропозиції, віссю цін і прямої, паралельної осі абсцис, що
проходить через точку ринкової рівноваги (мал. 11).
P
S
P*
PS
0 Q*
62
63. мал. 11
Очевидно, що PS=P*Q* - dqf
Q
∫
*
0
)( Q
Розглянемо, як отримана формула може бути застосована при розв’язанні
завдань.
Завдання: Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд p = 4q 3
+2, а
рівновага на ринку даного товару досягається при обсязі продажів Q* = 3.
Визначте додаткову вигоду виробника при продажу такої кількості продукції.
Розв’язання. Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни
P* = f(q*)=f(3)= 4 ⋅ 3 3
+ 2 = 110.
Підставимо отримане значення в формулу
PS=3 ⋅ 110- 243210)1ln(2311024321681330)2(330)24(
3
0
43
=−+=⋅=−−=+−=+∫ qqqdqq
Ми розглянули, як визначаються надлишки споживача і виробника.
Відзначимо, що сума цих двох надлишків - площа заштрихованої фігури на
малюнку 12 - характеризує загальний ефект виробництва і споживання на
даному ринку
P
S
P* E*
D
Q* Q мал. 12
Проте абсолютні значення PS і CS являють невеликий інтерес для
економістів. Економістів більше хвилює відповідь на питання, як і на скільки
зміниться надлишок споживача в результаті проведення того чи іншого заходу
63
64. державної політики, що впливає на рівновагу на ринку, зокрема, при
встановленні податків, введення субсидій тощо[8].
Нехай товар обкладається податком у розмірі t на одиницю товару (такий
податок економісти називають потоварним податком), тоді його ціна
збільшиться від P1 до P2 (P2 = P1+ t).
Вплив даного податку на добробут споживача характеризує ситуація,
представлена на малюнку 13.
P
P2 E2
T1 T2
P1 ∆CS E1
P=f(Q)
Q2 Q1 Q
мал. 13
Таким чином, отримуємо, що ∆CS - зменшення добробуту споживача,
що оцінюється за допомогою споживчого надлишку, є різниця площ двох
фігур, які відповідають CS1 і CS2, і за формою нагадує трапецію, площа якої, у
свою чергу, дорівнює сумі площ фігур T1 і T2 , тобто ∆CS = ST1+ ST2, де ST1
вимірює втрати надлишку споживача, викликані збільшенням ціни одиниці
товару на розмір податку і дорівнює t ⋅ Q2, а ST 2 вимірює втрати добробуту
споживача, пов'язані зі зменшенням кількості споживаного товару (Q2 <Q1), і
дорівнює
64
65. 1
1
2
)( PQdQQf
Q
Q
⋅∆−∫ .
Таким чином, для випадку введення потоварного податку в розмірі t
маємо 12
1
2
)( PQdQQftQCS
Q
Q
⋅∆−+=∆ ∫
У загальному ж випадку результат зміни споживчого надлишку внаслідок
збільшення ціни на товар може бути записаний, наприклад, в наступному
вигляді
1122
1
2
)( PQPQdQQfCS
Q
Q
−⋅+=∆ ∫
Розглянемо приклад оцінки наслідків введення потоварного податку.
Завдання: Дана крива попиту p=10- q
2
1
. Які грошові втрати споживача
при введенні на даний товар податку з одиниці продажу в розмірі 1 грн., якщо
відомо, що спочатку ринкова рівновага на даному ринку спостерігалося при
ціні P* = 2 грн.?
Розв’язання. Дану задачу можна розв’язувати різними способами.
Проаналізуємо основні з них.
Для визначення споживчих втрат при збільшенні рівноважної ціни товару
з 2 грн. до 3 грн. подивимося, як при цьому змінюється обсяг продажів. Якщо
P1 = 2, то Q1 = 16, при P2 = 3 Q2 = 14. Отже,
.1510491406416010)
2
10(3242)5,010(
216
14
грн
q
qdqqCS =++−−=+−=−+−=∆ ∫
Розглянутий нами спосіб оцінки наслідків заходів економічної політики
широко застосовується на практиці. Так, при підготовці податкових реформ
65
66. економісти розраховують зміни споживчих надлишків в залежності від різних
варіантів оподаткування і, аналізуючи отримані результати з урахуванням
необхідного розміру податкових надходжень, зупиняються на тих варіантах, які
викликають найменше скорочення споживчих вигод.
Висновок
Теоретична значимість даної роботи полягає в тому, що обрана для
розгляду проблематика перебуває на межі двох наукових дисциплін
(математики і економіки).
Практикум може бути використаний вчителями математики для
проведення уроків в класах профільного рівня, а також учнями для творчого
розвитку здібностей та підготовки до вибору економічних спеціальностей.
Використані інформаційні джерела
1. Диференціальне та интегральне числення: В 2 тт: Т. 1: Підручник для
втузів. Піскунов Н. С., 2001 р., Вид.: Інтеграл-Прес.
2. Єськов О. Мотивація і стимулювання праці // Економіка України. -
2001. - № 2.
3. Радіонова І.Ф. "Загальна економіка": підручник /За ред. І.Ф.Радіонової
- 2-ге вид., доп. і перероб.- К.: А.П.Н., 2000. – 392 ст.
4. Петров М.А. Математичний аналіз в виробничих задачах: Учб. пос. -
М.: Просвіта, 1990.
5. http://www.prostobiz.ua/biznes/razvitie_biznesa
6. http://revolution.allbest.ru/economy
7. http://www.br.com.ua
8. http://www.inventech.ru/lib/micro
66
67. Додаток 5
Тема уроку: Ірраціональні рівняння та нерівності
Мета уроку: 1. Систематизувати методи і прийоми розв’язання ірраціональних
рівнянь та нерівностей.
2. Розвивати спостережливість, уміння знаходити помилки й
неточності в розв’язаннях рівнянь.
3. Готувати учнів до ЗНО.
67
68. Тип уроку: узагальнення знань, умінь, навичок.
Хід уроку
І. Мотивація навчальної діяльності.
ІІ. Оголошення теми і мети уроку.
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Використовується метод «Мікрофон»
1. Скласти план розв’язання рівнянь та нерівностей.
1) ( ) .0222
=−− xxx
2) xxx =−− 322
.
3) 442 +≥+ xx .
4) 865 =−++ xx .
5) xxx −=−− 12
.
6) 222
1478 xxx −=++− .
7) 8242 22
=−+− xxxx .
8) 0232 2
=++−+ xxxx .
9) ( ) 04652
≤−+− xxx .
2. Знайти помилки, якщо вони є фрагментах розв’язання рівнянь.
1)
.29
254
54
=
=−
−=−
x
x
x
2)
( )( )
.1;5;4
0154
=−==
=−+−
xxx
xxx
3)
.21
165
45
<
<−
<−
x
x
x
68
70. 3. Після аналізу помилок учням пропонується самостійно їх виправити і
озвучити результат.
IV. Проведення математичного аукціону.
Проведемо аукціон по продажу пакету акцій на володіння сертифікату з
математики, який дозволяє вступити до вузу.
Пропонується 10 акцій, кожна з яких складає 10% від усього пакету.
Покупка – це розв’язання рівняння чи нерівності за певний час (час контролює
вчитель, який проводить аукціон).
І варіант
1) ( ) .042 =+− xx
2) ( ) .0162 2
=−+ xx
3) .212
−<−x
4) .392
−>−x
5) .2 xx =+
6) .0254 22
=+++ xx
7) ( ) .015 2
≤++ xx
8) .45 <−x
9) 200 2200
.12−= xx
10) .121111
−> xx
ІІ варіант
1) ( ) .024 =−+ xx
2) .0254 2
=−+ xx
3) .342
−<−x
70
71. 4) .2252
−>−x
5) .12 xx =+
6) .0161 22
=+++ xx
7) ( ) .015 2
≤−− xx
8) .34 <−x
9) 100 2100
.12−= xx
10) 1717
.12 −> xx
Після проведення аукціону учні визначають, яким відсотком пакету акцій
вони володіють.
Результати проведення такого аукціону дають можливість вчителю
визначити рівень засвоєння теми.
Аналіз типових помилок учнів, які допущені при виконанні роботи є
обов’язковим моментом уроку.
V. Підсумок уроку
Вчитель пропонує виконати приклади, аналогічні тим, де були зроблені
помилки.
Додаток 6
Екскурсія: «Погляд в майбутнє»
Мета проведення екскурсії:
1) Визначити рівень підгот овки учнів до ЗНО;
2) Підготувати випускників до сприйняття теоретичного матеріалу в
лекційній формі його подання;
71
72. 3) Навчити самостійно використовувати теоретичний матеріал на практиці;
4) Показати реалії сьогодення на ринку праці.
Екскурсоводи:
1) Вчитель математики Сафронюк Г. В.
2) Учениця 11 кл. Андрєєва М., яка написала і захистила науково-
дослідницьку роботу з теми: «Диференціальне та інтегральне числення в
економіці»
План проведення:
1) Виконання тестового завдання учнями, яке відповідає вимогам ЗНО.
При виконання тестів учні одержують інформацію відносно тих шансів,
які вони мають щодо вступу до вищих навчальних закладів.
Тест
=
+ =
3. = 0,5 б.
4. , якщо х=2,999
5. 2sin 15 cos15 tg30 ctg30
6.
7. (
72
