2008년,그래프 이론 수강 시 발표

1. On the extreme eigenvalues of
regular graphs
120080348 이정규

2. Preliminaries
 Closed walk: vr=v0 이고 1≤i ≤ r 에 대해서 vi-1 가 vi 와 adjacent 한
X의 vertex들의 sequence v0,…vr
Cycle, Closed walk
 Cycle: X에서 길이r의 cycle은 v0,…vr 로 lable할 수 있고 그
v0,…vr 가 X에서 closed walk이고 모든 1≤i ≤ j≤ r인 i,j에 대해서
vi ≠ vj인 X의 subgraph

3. Preliminaries
  r ( X ) :그래프 X에서 길이 r인 closed walk의 개수
 Girth:cycle이 졲재하면 X의 가장 작은 cycle의 길이,
졲재하지 않으면 ∞ girth(X)로 표시
 oddgirth: 졲재하면 X의 가장 작은 odd cycle의 길이 졲
재하지 않으면 ∞ oddg(X)로 표시
  ( X ): X의 l번째 큰 eigenvalue
  l ( X ) : X의 l번째 큰 eigenvalue
l

4. Preliminaries
 Adjacency matrix A:
1 i 와 j 가 adjacency 하면
Aij 
 Fact:
 0 otherwise
e.g:
r
 r ( X )  Tr ( A )
0

A  0
1

1
0
0
0

1
0

1

3
A  0
0

0
1
0
0

0
1

1
길이 3인 closed walk 의 수   r ( X )  Tr ( A )
r
3
2

5. Theorem 1
Theorem 4
For any   0, there exist a positive constant c  c(  , k) such that
for any k - regular graph X the number of eigenvalue s  of X with   (2 -  ) k - 1 is
at least c | X |
이 정리의 의미는 K - regular
eigenvalue
그래프에 대해서 ( 2   ) k  1 이상의
의 갯수를 추정 할 수 있다는 것이다 . (최소 c X 개 )

6. • 특정 정점 vo 에서 시작하는 특정 길이 2s 의 closed walk의 수를 추정
간단한
induction 으로
s
 2s 
4
  
임을
s 
s  1
 
보일
수 있고 ,
Lemma 2 에 의해서
 2 s ( X )  Tr ( A

X

X
2
2s
) 
2s
( s  1)
2
1
( s  1)
2
( k  1)
2
 2s 
  k ( k  1) s  1 
X
s  1 s 
 
1
s 1
k  1

X
2
( s  1)
2

k  1
1
2s
2
X

2 ( s  1)
2
2s
( s  1)
2
2

X

 (1)
2s
2s
) 
X
( s  1)
2
k  1
2s
2s
( s  1)

 Tr ( A
k ( k  1)
2

s 1
k  1

2s

7. Theorem 1의 증명
X 를 n 개의
eigenvalue
k   1  ...   n   k 를 가진
  0가 주어졌고 , m 은
그러면
(2   ) k  1
n  m 은 (2   ) k  1
이하인
이상인
k  regular
X 의  의 갯수라
X 의  의 갯수가
그래프 라 하자
하자 .
된다 .
그러므로
n
Tr ( kI  A )
2s


k
 i 
2s




 (n  m ) k  (2   ) k  1
2s
i0
 m (( 2 k )
 (k  (2   ) k  1)
2s
2s
)  n k  (2   ) k  1
2s
 m (2k )
2s
정리 하면
반면에 ,
2s
Tr ( kI  A )
2s


i0
(1 )



s
n
( s  1)

2
i0
n
2 ( s  1)
2
n
2 ( s  1)
2
 2s  i
  k Tr ( A 2 s  i ) 
i 
 

 2s  2 j

2 k  1
 2 j k





 k  2 k  1

k
 2 k  1


2s
2s
s

i0
 2s  2 j
2s  2 j


)
 2 j  k Tr ( A



2s  2 j

 k  2 k  1)
2s



(1)에 의해서
이항정리(binomial expansion)
에 의해서

8. Theorem 1의 증명
그러므로
1
m
2 ( s  1)

 k  2 k  1 2s   k  (2   ) k  1) 2s




2
n
(2k )
2s
 (k  (2   ) k  1)
2s
s  1에 대해서

 k  2 k  1
lim 
2
s  
2 ( s  1)

이므로
k
모든
 2 k  1
2 ( s  1)
1

2s




2s
s  s 0 에 대해서

2s

 k  2 k  1  k   2    k  1  lim  2 k   2    k  1

s 
다음을

 k  2    k  1
2

2s
만족하는
s 0  s  , k 가 졲재한다 .( 극한의

 k  2    k  1

2s
1
 2s


정의에
의해서 )

2s
그러므로
k
c  , k  
(2k )
2s
1
m

2 ( s  1)
2
n
c  , k   0 이고
 2    k  1

2 s0
 (k  (2   ) k  1)
2 s0
라 두면
 k  2 k  1 2s   k  (2   ) k  1) 2s




(2k )
2s
 (k  (2   ) k  1)
m  c  , k n 
2s
k

(2k )
2s
 2    k  1

2s
 (k  (2   ) k  1)
2s
 c  , k 

9. Corollary 3
Corollary 3. Let (X i ) i
lim X i
i 
0
0
be a sequence of k - regular graphs such that
  Then for each l  1,
lim inf  l  X i   2 k  1
i 
 l ( X ) : X의 l번째 큰 eigenvalue

10. Analogous theorems for the least
eigenvalues of regular graphs
 Theorem 1의 반대의 경우는 사실이 아니다. 즉
For any   0, there exist a positive constant
c  c(  , k) such that
for any k - regular graph X the number of eigenvalue s  of X with   -(2 -  ) k - 1 is
at least c | X |
 라는 명제는 참이 아니라는 것이다.
 반례)
0
A  
0

1

0

위 명제는
있어야

모든
eigenvalue
   ( 2   ) 보다
된다고
말하고
있으므로
1
는 0이지만
작은
 는 최소
반례가
2
2 c 이상
된다 .
 하지만 theorem 1에 하나의 제약 조건을 두면 위의
정리가 참임을 증명할 수 있다.

11. Theorem 4의 증명
X 를 n 개의
eigenvalue
 k   1  ...   n  k 를 가진
  0가 주어졌고 , m 은
그러면
 (2   ) k  1
n  m 은  (2   ) k  1
이하인
k  regular
X 의  의 갯수라
이상인
X 의  의 갯수가



그래프 라 하자
하자 .
된다 .

그러므로
n
Tr ( kI  A )
2s


k
 i 
2s
 (n  m ) k  (2   ) k  1
2s
 m (2k )
2s
i0
 (k  (2   ) k  1 )
 m (( 2 k )
2s
theorem
1 증명에서
모든
k
다음을
s  s 0 에 대해서
 2 k  1
2 ( s  1)
2

2 s0

2s
)  n k  (2   ) k  1
2s
보였다 .
다음을
만족하는
 k  2    k  1

2 s0
s 0  s  , k 가 졲재한다 .( 극한의

k
 2    k  1

2 s0
정의에
의해서 )

12. Theorem 4의 증명
g (  , k )  2 s 0라 하자 . oddg ( X )  2 s 0 이면 , 0  j  s 0  1 에 대해서 ,
그래프
X 에서 길이
그러므로
Tr ( A
2 s 0  2 j  1 인 것의
2 s0  2 j  1
closed
의 갯수는
walk
)  0
0  j  s 0  1 에 대해서 , eq (1)  2 s ( X )  Tr ( A )  X
1
2s
s0
Tr ( kI  A )

2 s0

i0
s0


i0

2 ( s 0  1)
2
k
앞의 결과와
n
2 ( s 0  1)
k
,
2
 2 k  1
 2 k  1
m

s0

i0
s0  1

i0
( s  1)
2
2
k  1

2s
을 사용하면
 2 s0
 2 j 1
2 s  2 j 1

Tr ( A 0
)
 2 j  1k



 2 s0  2 j

 2 j k 2 k  1





2 s0  2 j

2 s0
함께 정리하면
k
2 ( s  1)
 2 k  1

2 s0
2
2 ( s 0  1)

2 s0
 Tr ( kI  A )

 k  2    k  1
1

 2 s0  2 j
2 s0  2 j

) 
 2 j  k Tr ( A



(1 )
 2 s0  2 j
n
2s 2 j

 k Tr ( A 0
) 
2
2 j 
( s 0  1)


n
0이다 .
2
n
 c  , k   0 and

2 s0
2 s0
 m (( 2 k )
2 s0
 (k  (2   ) k  1)

 k  2    k  1
 k  2 k  1 2 s0   k  ( 2   ) k  1 ) 2 s0




(2k )
2 s0
 (k  (2   ) k  1)
m  c  , k n 
2 s0

2 s0
2 s0

)  n k  (2   ) k  1
k
, c  , k  
(2k )
2 s0
 2    k  1
(2k )
2 s0
2 s0

2 s0
 (k  (2   ) k  1)
k  (2   ) k  1)


2 s0
 (k  (2   ) k  1)
2 s0
 c  , k 
2 s0
라 두면

13. conclusion
 이 논문은 어떤 k-regular 그래프가 있을 때 그
그래프의 가장 큰 eigenvalue들의 수를 추정 할 수
있는 theorem of Serre 을 기졲과 다른 방법으로
증명했고,그 반대인 경우인 가장 작은
eigenvalue들의 수를 추정까지 증명
 machine learning에서 그래프의 spectrum인 eigenvector
를 이용하는 spectral clustering 에 응용 가능