제4강 명제와 논리-정보

Perelman http://englishrussia.com/index.php/2007/06/15/perelman-in-a-subway/

0. 개요 HIGH LOW LOW HIGH +5 +3.5 +0.8 0 전압 [V] +2.5 +1.5 출력신호 입력신호

1. 부울 대수의 개념 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

1. 부울 대수의 개념 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x + y 0 1 1 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 1 x  y 0 0 0 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 1

1. 부울 대수의 개념 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],① x + y  z = x + ( y  z ) ≠ ( x + y )  z ② x  y ’ = x  ( y ’ ) ≠ ( x  y ) ’ = x + yz [ 참고 ] 특별히 혼돈이 없는 경우에 AND(  ) 기호는 생략이 가능함 ,[object Object],[object Object],1 ,[object Object],0 + 0 = 0 ,[object Object],0 + 1 = 1 ,[object Object],1  0 = 0 ,[object Object],1 ’ = 0 ,[object Object],0 + (0  1) = 0 + 0 = 0 x x ’ 0 1 1 0

2. 부울 대수의 법칙 ,[object Object],[ 참고 ] 멱등법칙 9) 의 증명 x + x = ( x + x )  1  항등법칙 6) 에 의해서 = ( x + x )( x + x ’ )  보법칙 7) 에 의해서 = x + xx ’  분배법칙 4) 에 의해서 = x + 0  보법칙 8) 에 의해서 = x  항등법칙 5) 에 의해서 종류 기본법칙 비고 교환법칙 (commutative laws) 1) x + y = y + x 2) xy = yx 멱등법칙 (idempotent laws) 9) x + x = x 10) xx = x 분배법칙 (distributive laws) 3) x ( y + z ) = xy + xz 4) x + yz = ( x + y )( x + z ) 4) 는 일반 수식에서는 성립하지 않음 항등법칙 (identity laws) 5) x + 0 = x 6) x  1 = x + 에 대한 항등원 0 이 존재하며 ,  에 대한 항등원 1 이 존재함 보법칙 (complement laws) 7) x + x ’ = 1 8) xx ’ = 0

2. 부울 대수의 법칙 ,[object Object],종류 기본법칙 비고 지배법칙 (dominance laws) 11) x + 1 = 1 12) x  0 = 0 [ 증명 ] 11) x + 1 = 1 x + 1 = 1  ( x + 1)  항등법칙 6) = ( x + x ’ )( x + 1)  보법칙 7) = x + x ’  1  분배법칙 4) = x + x ’  항등법칙 6) = 1  보법칙 7) 이중보수법칙 (double complement laws) 13) ( x ’ ) ’ = x 결합법칙 (associative laws) 14) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z 15) x ( yz ) = ( xy ) z 드모르강법칙 (De Morgan ’ s laws) 16) ( x + y ) ’ = x ’ y ’ 17) ( xy ) ’ = x ’ + y ’ ( x 1 + x 2 + … + x n ) ’ = x 1 ’  x 2 ’  …  x n ’ ( x 1  x 2  …  x n ) ’ = x 1 ’ + x 2 ’ + … + x n ’ 흡수법칙 (absorption laws) 18) x + xy = x 19) x ( x + y ) = x [ 증명 ] 18) x + xy = x x + xy = x  1 + xy  항등법칙 6) = x (1 + y )  분배법칙 3) = x ( y + 1)  교환법칙 1) = x  1  지배법칙 11) = x  항등법칙 6)

[object Object],3. 부울 함수와 부울식 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x ’ + xy ’ 1 1 1 0 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 x ’ 1 1 0 0 y ’ 1 0 1 0 xy ’ 0 0 1 0

[object Object],3. 부울 함수와 부울식 ,[object Object],[object Object],[object Object],f = g x y 0 0 0 0 0 1 0 1 z 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 x + y 0 0 1 1 1 1 1 1 x + y + z 0 1 1 1 1 1 1 1 ( x + y + z ) ’ 1 0 0 0 0 0 0 0 x ’ y ’ 1 1 1 1 1 0 1 0 z ’ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 x ’  y ’ 1 1 0 0 0 0 0 0 x ’  y ’  z ’ 1 0 0 0 0 0 0 0

[object Object],3. 부울 함수와 부울식 ,[object Object],[object Object],[object Object],f ’ ( x , y , z ) = ( f ( x , y , z )) ’ x y 0 0 0 0 0 1 0 1 z 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 x ’ 1 1 1 1 0 0 0 0 yz 0 0 0 1 0 0 0 1 x ’ + yz 1 1 1 1 0 0 0 1 y ’ 1 1 0 0 1 1 0 0 z ’ 1 0 1 0 1 0 1 0 xy ’ + xz ’ 0 0 0 0 1 1 1 0 xy ’ 0 0 0 0 1 1 0 0 xz ’ 0 0 0 0 1 0 1 0

3. 부울 함수와 부울식 ,[object Object],부울식이 아님 ( 2 는 집합 B 의 원소가 아님 ) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], 부울식임  부울식임  부울식임   부울식이 아님 ( – 는 부울 연산자가 아님 )

3. 부울 함수와 부울식 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], 0  ( x + y ) ,[object Object], ( x + y ) ’  x ,[object Object], 1  ( x  ( y + z )) ,[object Object], x ( x + y ) = x ,[object Object], x ’ z + ( x + y ’ ) z = z

4. 최소항 / 최대항 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], 2 2 2 = 2 4 = 16 ( 개 ) ,[object Object], ( 뒷장에 계속 )

[object Object],4. 최소항 / 최대항 ,[object Object],x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f 0 0 0 0 0 f 1 0 0 0 1 f 2 0 0 1 0 f 3 0 0 1 1 f 4 0 1 0 0 f 5 0 1 0 1 f 6 0 1 1 0 f 7 0 1 1 1 f 8 1 0 0 0 f 9 1 0 0 1 f 10 1 0 1 0 f 11 1 0 1 1 f 12 1 1 0 0 f 13 1 1 0 1 f 14 1 1 1 0 f 15 1 1 1 1 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],4. 최소항 / 최대항 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],4. 최소항 / 최대항 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x y 0 0 0 0 0 1 0 1 z 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 최소항 x ’ y ’ z ’ ( m 0 ) x ’ y ’ z ( m 1 ) x ’ yz ’ ( m 2 ) x ’ yz ( m 3 ) xy ’ z ’ ( m 4 ) xy ’ z ( m 5 ) xyz ’ ( m 6 ) xyz ( m 7 ) 최대항 x + y + z ( M 0 ) x + y + z ’ ( M 1 ) x + y ’ + z ( M 2 ) x + y ’ + z ’ ( M 3 ) x ’ + y + z ( M 4 ) x ’ + y + z ’ ( M 5 ) x ’ + y ’ + z ( M 6 ) x ’ + y ’ + z ’ ( M 7 )

5. 곱의 합 / 합의 곱 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],5. 곱의 합 / 합의 곱 ,[object Object],[object Object], 곱의 합 형식 : f ( x , y , z ) = x ’ y ’ z + x ’ yz ’ + xy ’ z ’ + xy ’ z = m 1 + m 2 + m 4 + m 5 = ∑(1, 2, 4, 5)  합의 곱 형식 : f ( x , y , z ) = ( x + y + z )( x + y ’ + z ’ )( x ’ + y ’ + z )( x ’ + y ’ + z ’ ) = M 0 M 3 M 6 M 7 = ∏(0, 3, 6, 7) x y 0 0 0 0 0 1 0 1 z 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 최소항 x ’ y ’ z ’ ( m 0 ) x ’ y ’ z ( m 1 ) x ’ yz ’ ( m 2 ) x ’ yz ( m 3 ) xy ’ z ’ ( m 4 ) xy ’ z ( m 5 ) xyz ’ ( m 6 ) xyz ( m 7 ) 최대항 x + y + z ( M 0 ) x + y + z ’ ( M 1 ) x + y ’ + z ( M 2 ) x + y ’ + z ’ ( M 3 ) x ’ + y + z ( M 4 ) x ’ + y + z ’ ( M 5 ) x ’ + y ’ + z ( M 6 ) x ’ + y ’ + z ’ ( M 7 ) f ( x , y , z ) 0 1 1 0 1 1 0 0

[object Object],5. 곱의 합 / 합의 곱 ,[object Object],[object Object], [ 증명 ] 곱의 합 형식인 f ( x , y , z ) = x ’ y ’ z + x ’ yz ’ + xy ’ z ’ + xy ’ z = ∑(1, 2, 4, 5) 일 때 , 그 보함수는 f ’ ( x , y , z ) = x ’ y ’ z ’ + x ’ yz + xyz ’ + xyz = ∑(0, 3, 6, 7) 이 됨 . 보함수의 정의에 따라 f ( x , y , z ) = ( f ’ ( x , y , z )) ’ 이므로 ( f ’ ( x , y , z )) ’ = ( x ’ y ’ z ’ + x ’ yz + xyz ’ + xyz ) ’ 드모르강 법칙을 적용하면 = ( x ’ y ’ z ’ ) ’  ( x ’ yz ) ’  ( xyz ’ ) ’  ( xyz ) ’ = ( x + y + z )  ( x + y ’ + z ’ )  ( x ’ + y ’ + z )  ( x ’ + y ’ + z ’ ) 따라서 합의 곱 형식인 f ( x , y , z ) = ∏(0, 3, 6, 7) 이 성립함

[object Object],5. 곱의 합 / 합의 곱 ,[object Object],[object Object], 곱의 합 형식 : f ( x , y , z ) = ∑(0, 2, 3, 4, 6) = m 0 + m 2 + m 3 + m 4 + m 6 = x ’ y ’ z ’ + x ’ yz ’ + x ’ yz + xy ’ z ’ + xyz ’  합의 곱 형식 : f ( x , y , z ) = ∏(1, 5, 7) = M 1 M 5 M 7 = ( x + y + z ’ )( x ’ + y + z ’ )( x ’ + y ’ + z ’ ) x y 0 0 0 0 0 1 0 1 z 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 최소항 x ’ y ’ z ’ ( m 0 ) x ’ y ’ z ( m 1 ) x ’ yz ’ ( m 2 ) x ’ yz ( m 3 ) xy ’ z ’ ( m 4 ) xy ’ z ( m 5 ) xyz ’ ( m 6 ) xyz ( m 7 ) 최대항 x + y + z ( M 0 ) x + y + z ’ ( M 1 ) x + y ’ + z ( M 2 ) x + y ’ + z ’ ( M 3 ) x ’ + y + z ( M 4 ) x ’ + y + z ’ ( M 5 ) x ’ + y ’ + z ( M 6 ) x ’ + y ’ + z ’ ( M 7 ) f ( x , y , z ) 1 0 1 1 1 0 1 0 x ’ y 0 0 1 1 0 0 0 0 x ’ 1 1 1 1 0 0 0 0 z ’ 1 0 1 0 1 0 1 0

6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],다중입력 AND 게이트 x y xy x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 xy 0 0 0 1 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x 1 x 2 … x n x 1 x 2 x n ∙ ∙ ∙

6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],다중입력 OR 게이트 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 x + y 0 1 1 1 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x y x + y x 1 + x 2 + … + x n x 1 x 2 x n ∙ ∙ ∙

6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x 0 1 입력 x ’ 1 0 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x x ’

[object Object],6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],동치인 NAND 게이트 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 x ↑ y 1 1 1 0 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x y x ↑ y x y x ’ + y ’

[object Object],6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],동치인 NOR 게이트 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 x ↓ y 1 0 0 0 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x y x ↓ y x y x ’ y ’

[object Object],6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 x  y 0 1 1 0 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x y x  y

[object Object],6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x y 0 0 0 1 1 0 1 1 입력 x  y 1 0 0 1 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x y x  y

[object Object],6. 논리 게이트 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x 0 1 입력 x 0 1 출력 ,[object Object],[object Object],[object Object],x x

[object Object],7. 논리 회로 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],7. 논리 회로 ,[object Object],[object Object],또는 x y xy + xy ’ x y xy x y xy ’ xy + xy ’

[object Object],7. 논리 회로 ,[object Object],[object Object],또는 x y x ’ + y x y x + y ( x + y )( x ’ + y ) x y ( x + y )( x ’ + y )

[object Object],7. 논리 회로 ,[object Object],[object Object],w ’ x ’ y ( w ’ x ’ y ) ’ ( w ’ x ’ y ) ’ y ( w ’ x ’ y ) ’ y + ( w ’ x ’ y ) ’ + z ’ f ( w , x , y , z ) = ( w ’ x ’ y ) ’ y + ( w ’ x ’ y ) ’ + z ’ z w x y

[object Object],8. 완전 연산자 집합 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], [ 증명 ] +(OR) 를 {  , ’ } 만으로 표현이 가능한지 증명함 부울식 x + y 에 대해서 이중보수법칙과 드모르강법칙을 적용하면 x + y = (( x + y ) ’ ) ’ = ( x ’  y ’ ) ’ 이 성립함 즉 , 모든 부울 함수에서 + 는  과 ’ 를 결합하여 표현할 수 있으므로 {  , ’ } 는 완전 연산자 집합임 ,[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],8. 완전 연산자 집합 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object], 우선  과 ’ 를 ↑만으로 표현이 가능한지 증명함 따라서 {↑} 는 완전 연산자 집합임 NAND 의 정의인 x ↑ y = ( x  y ) ’ 와 멱등법칙인 x  x = x 를 적용하면 x ↑ x = ( x  x ) ’ = x ’ 가 성립함 . 즉 , x ’ = x ↑ x 임 또한 x  y = ( x ↑ y ) ’ = ( x ↑ y )↑( x ↑ y ) 가 성립함  마찬가지로 + 과 ’ 를 ↓만으로 표현이 가능한지 증명함 따라서 {↓} 는 완전 연산자 집합임 NOR 의 정의인 x ↓ y = ( x + y ) ’ 와 멱등법칙 x + x = x 를 적용하면 x ↓ x = ( x + x ) ’ = x ’ 가 성립함 . 즉 , x ’ = x ↓ x 임 또한 x + y = ( x ↓ y ) ’ = ( x ↓ y )↓( x ↓ y ) 가 성립함

[object Object],8. 완전 연산자 집합 ,[object Object],[object Object],x ’ = x ↑ x x  y = ( x ↑ y )↑( x ↑ y ) x 0 1 x ’ 1 0 x ↑ x 1 0 x y 0 0 0 1 1 0 1 1 x  y 0 0 0 1 x ↑ y 1 1 1 0 ( x ↑ y )↑( x ↑ y ) 0 0 0 1

[object Object],9. 부울 함수의 간소화 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],9. 부울 함수의 간소화 ,[object Object],[object Object], f ( x , y , z ) = xyz + xy ’ z + xyz ’ + x ’ yz + xy ’ z ’ = xyz + xy ’ z + xyz ’ + x ’ yz + ( xy ’ z ’ + xy ’ z ’ ) 멱등법칙 = xyz + xy ’ ( z + z ’ ) + xz ’ ( y + y ’ ) + x ’ yz 교환법칙 , 분배법칙 = xyz + xy ’  1 + xz ’  1 + x ’ yz 보법칙 = xyz + xy ’ + xz ’ + x ’ yz 항등법칙 = xyz + x ( y ’ + z ’ ) + x ’ yz 분배법칙 = xyz + x ( yz ) ’ + x ’ yz 드모르강법칙 = ( xyz + xyz ) + x ( yz ) ’ + x ’ yz 멱등법칙 = x [ yz + ( yz ) ’ ] + ( x + x ’ ) yz 교환법칙 , 분배법칙 = x  1 + 1  yz 보법칙 = x + yz 항등법칙

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f 0 0 0 0 0 f 1 0 0 0 1 f 2 0 0 1 0 f 3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 0 0 0 0 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 1 0 0 1 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 2 0 0 1 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 3

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],0 1 1 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 6 0 1 1 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 7 1 0 0 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 8 1 0 0 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 9 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f 4 0 1 0 0 f 5 0 1 0 1 f 6 0 1 1 0 f 7 0 1 1 1 f 8 1 0 0 0 f 9 1 0 0 1 0 1 0 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 4 0 1 0 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 5

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],1 1 0 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 12 1 1 0 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 13 1 1 1 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 14 1 1 1 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 15 1 0 1 0 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 10 1 0 1 1 0 ( y ’ ) 1 ( y ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) f 11 x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 f 10 1 0 1 0 f 11 1 0 1 1 f 12 1 1 0 0 f 13 1 1 0 1 f 14 1 1 1 0 f 15 1 1 1 1

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],000 ( x ’ y ’ z ’ ) 100 ( xy ’ z ’ ) 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 001 ( x ’ y ’ z ) 101 ( xy ’ z ) 01 ( y ’ z ) 011 ( x ’ yz ) 111 ( xyz ) 11 ( yz ) 010 ( x ’ yz ’ ) 110 ( xyz ’ ) 10 ( yz ’ ) 0 0 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 0 1 01 ( y ’ z ) 0 1 11 ( yz ) 0 0 10 ( yz ’ ) 0 1 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 0 0 01 ( y ’ z ) 1 0 11 ( yz ) 1 1 10 ( yz ’ )

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],1 0 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 1 0 01 ( y ’ z ) 1 0 11 ( yz ) 1 0 10 ( yz ’ ) 0 0 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 0 0 01 ( y ’ z ) 1 1 11 ( yz ) 1 1 10 ( yz ’ ) 1 1 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 0 0 01 ( y ’ z ) 0 0 11 ( yz ) 1 1 10 ( yz ’ )

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],1 1 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 1 1 01 ( y ’ z ) 1 0 11 ( yz ) 0 0 10 ( yz ’ ) 0 1 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 1 1 01 ( y ’ z ) 1 1 11 ( yz ) 0 1 10 ( yz ’ ) 1 1 00 ( y ’ z ’ ) 0 ( x ’ ) 1 ( x ) 0 1 01 ( y ’ z ) 1 0 11 ( yz ) 1 1 10 ( yz ’ )

[object Object],10. 카르노 맵 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],0000 ( w ’ x ’ y ’ z ’ ) 0100 ( w ’ xy ’ z ’ ) 00 ( y ’ z ’ ) 00 ( w ’ x ’ ) 01 ( w ’ x ) 0001 ( w ’ x ’ y ’ z ) 0101 ( w ’ xy ’ z ) 01 ( y ’ z ) 0011 ( w ’ x ’ yz ) 0111 ( w ’ xyz ) 11 ( yz ) 0010 ( w ’ x ’ yz ’ ) 0110 ( w ’ xyz ’ ) 10 ( yz ’ ) 1100 ( wxy ’ z ’ ) 1000 ( wx ’ y ’ z ’ ) 11 ( wx ) 10 ( wx ’ ) 1101 ( wxy ’ z ) 1001 ( wx ’ y ’ z ) 1111 ( wxyz ) 1011 ( wx ’ yz ) 1110 ( wxyz ’ ) 1010 ( wx ’ yz ’ ) 0 0 00 ( y ’ z ’ ) 00 ( w ’ x ’ ) 01 ( w ’ x ) 1 1 01 ( y ’ z ) 1 1 11 ( yz ) 0 0 10 ( yz ’ ) 0 0 11 ( wx ) 10 ( wx ’ ) 1 1 1 1 0 0

[object Object],10. 카르노 맵 이산수학 Discrete Mathematics ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[ 참고 ] 5- 변수 이상의 카르노 맵은 본 강의에서 다루지 않음 0 0 00 ( y ’ z ’ ) 00 ( w ’ x ’ ) 01 ( w ’ x ) 1 1 01 ( y ’ z ) 1 1 11 ( yz ) 0 1 10 ( yz ’ ) 0 1 11 ( wx ) 10 ( wx ’ ) 0 1 0 1 0 1 1 1 00 ( y ’ z ’ ) 00 ( w ’ x ’ ) 01 ( w ’ x ) 1 0 01 ( y ’ z ) 0 1 11 ( yz ) 1 1 10 ( yz ’ ) 0 1 11 ( wx ) 10 ( wx ’ ) 0 1 1 1 1 0

11. 조합회로 조합 논리 회로는 기억 특성을 가지고 있지 않으므로 회로의 출력은 현재 가해지는 입력의 조합에 의해서만 결정된다 . 반가산기 (half adder) 2 진수 한 자리를 더하는 회로를 반가산기라 하며 , 연산회로의 기본이 된다 . 2 개의 비트 X, Y 를 산술적으로 더하여 합 S 와 캐리 C 를 구하는 회로 X Y S C 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1

11. 조합회로 전가산기 (full adder) X, Y 와 밑자리에서 올라오는 Carry 까지 고려해서 3bit 를 더하여 S , C 를 구하는 회로 (2 개의 반가산기와 1 개의 OR 게이트 ) X Y C i S C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1

11. 조합회로 비교기 (comparator) 2 개의 수 A, B 를 비교하여 대소를 결정하는 회로 A B A>B A=B A<B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

11. 조합회로 디코더 (decoder : 해독기 , 복조기 ) ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],A B Y 0 Y 1 Y 2 Y 3 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

11. 조합회로 ,[object Object]

11. 조합회로 인코더 (encoder) ,[object Object],[object Object],[object Object],D 0 D 1 D 2 D 3 A B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1

11. 조합회로 멀티플렉서 (multiplexer : 다중화기 - MUX ) ,[object Object],[object Object],S 0 S 1 Y 0 0 0 1 1 0 1 1 I 0 I 1 I 2 I 3

11. 조합회로 디멀티플렉서 (demultiplexer) ,[object Object],E S 0 S 1 D 0 D 1 D 2 D 3 1   0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

12. 순서논리회로 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],기본적인 플립플롭 (SR 래치 ) S R Q 0 0 0 1 1 0 1 1 불변 1 0 불안정

12. 순서논리회로 S-R 플립플롭 D 플립플롭 S R Q 0 0 0 1 1 0 1 1 불변 1 0 불능 ( 허용 안됨 ) D Q 1 0 1 0

12. 순서논리회로 J-K 플립플롭 T 플립플롭 RS 플립플롭에서 R=S=1 을 허용하지 않는 보완한 것이 JK 플립플롭이다 . J,K 값이 동시에 1 이 될때 원래값에 반전된다… Toggle 플립플롭이다 . JK 플립플롭의 입력을 묶어서 하나의 입력 T 로 많든 플립플롭 J K Q 0 0 0 1 1 0 1 1 불변 0 1 토글 ( 반전 ) T Q 0 1 불변 보수

13.ROM ROM: Two dimensional array of 1's and 0's Row is called a "word"; index is called an "address" Width of row is called bit-width or wordsize Address is input, selected word is output Dec 0 n-1 Address 2 -1 n 0 Word Line 0011 Word Line 1010 Bit Lines j i +5V +5V +5V +5V

13.ROM F0 = A' B' C + A B' C' + A B' C F1 = A' B' C + A' B C' + A B C F2 = A' B' C' + A' B' C + A B' C' F3 = A' B C + A B' C' + A B C' address outputs A B C Address by ROM 8 w ords ¥ 4 bits F 0 F 1 F 2 F 3 B 0 0 1 1 0 0 1 1 W ord Contents A 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 F 0 0 1 0 0 1 1 0 0 F 1 0 1 1 0 0 0 0 1 F 2 1 1 0 0 1 0 0 0 F 3 0 0 0 1 1 0 1 0

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