1. Συνδυαστικά Θέµατα
1. (Συστήµατα και Πιθανότητες) Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου για τα
οποία ισχύει:
ŵŵ
Ρ{Α{ - Ρ{Β΄{
ŵŶ
Ź
Ρ{Α΄{ . { {
ŵŶ
a)
Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α΄) και Ρ(Β΄)
b)
Επιπλέον γνωρίζουµε ότι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α και να µην
πραγµατοποιηθεί το Β είναι ίση µε 1/12.
i. ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β.
ii. ) Να λύσετε το σύστηµα:
{ Ñ {š - Ź{ % . { . { { . { Ñ {› . ŵ{
{
Ӣ
› - { { Ŷ% š - { {
.
ŷ
ŷ
Ŷ
2. (Πρόοδοι και Συστήµατα) ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος (αν) και τα σύστηµα:
›{ŵ . š{ Ź . š{› . ŵ{
$
{š - Ŷ{ . ›{› . ŵ{ š $ - ź . {› - ŵ{$
το οποίο έχει λύση τη:
{š ›{ { ' #$ - Ŷ {
a)
Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου (αν).
b)
Να βρείτε ποιος όρος της (αν) ισούται µε το 500.
c)
Να λύσετε το σύστηµα:
ŵŹ{ŷ˲ . Ŷ˳ { . #% {Ŷ˲ . ˳ . ź{ #'
›.šŷ›
š.
ŵŶ
Ÿ
όπου #' το άθροισµα των πρώτων 15 όρων της (αν).
3. ∆ίνονται τα παρακάτω συστήµατα:
Ŷ˲ - ˳ %
{Σ# {
.š - { . ŵ{˳ ŷ
και
{α . ŵ{ ˲ . Ŷ ˳ .
{Σ$ {
α˲ . Ŷ{ . Ŷ{˳ Ŷ
Το {Σ# { έχει µοναδική λύση.
a) Να αποδείξετε ότι και το {Σ$ { έχει µοναδική λύση.
b) Έστω {˲ › { η µοναδική λύση του {Σ$ {
i. ) Να βρείτε τα ˲ › συναρτήσει των α, β.
ii. ) Αν επιπλέον ισχύει ότι:
$
$
˲ - Ÿ› Ŷš . ŵŶ› . ŵŴ
να λύσετε το {Σ# {
4. (Συστήµατα και Πιθανότητες) ∆ίνεται ο δειγµατικός χώρος = {-3, -2, -1, 0, 1, 2} µε ισοπίθανα
απλά ενδεχόµενα. Θεωρούµε το σύστηµα:
λš . {Ŷλ - ŵ{ › ŵ
{Σ{ |
{λ . Ŷ{ š - λ$ - Ŷ › λ . Ŷ
και τα ενδεχόµενα:
• Α {λ
È το {Σ{ έχει µοναδική λύση{
• Β {λ
È το {Σ{ είναι αδύνατο{
Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ{Α{ Ρ{Β{ Ρ{Α Β{ και Ρ{Α΄ . Β{
