- The document discusses formal language theory and a measure-theoretic approach. - It introduces regular languages and context-free languages. Regular languages have densities that are rational numbers, while it is an open problem whether all context-free languages have densities. - The talk will cover regular measurable and non-measurable languages, closure properties of the class of regular measurable languages, and challenges.

1. 形式言語理論への
測度論的アプローチ
数学基礎論若手の会２０２０
令和３年３月27日(土)
新屋 良磨
（秋田大学 数理科学コース）

2. 本講演の基となる２本の論文
[SOFSEM2021]
Ryoma Sin’ya: Asymptotic Approximation by Regular Languages
http://www.math.akita-u.ac.jp/~ryoma/misc/measure.pdf
[PPL2021]
新屋良磨: 正則言語で極限的に近似可能な言語について

3. 正則言語 (a.k.a 有理言語)
オートマトンに受理される語の集合(言語)を
正則言語 (regular language)と呼ぶ
・「オートマトン が語 を受理する」
<=> での accepting run が存在する
𝒜 w
w
X → X → X → Y → Y
a a b
ε
は accepting run なので
は を受理 (εは空語)
𝒜 aab
正則言語にはオートマトン以外にも様々
な特徴づけがある
X Y
a b
ε
a
a
a
𝒜 X = aX ∪ Y
Y = bY ∪ {ε}
μ(X) = {ε, a, b, aa, ab, bb, aaa, ⋯}
正則言語 = オートマトンの受理言語
= 左線形方程式の解(最小不動点)

4. 文脈自由言語 (a.k.a 代数的言語)
μ(Z) = {ε, ab, aabb, abab, aaabbb, ⋯}
文脈言語 = 方程式の解(最小不動点)
Z = aZb ∪ ZZ ∪ {ε}
この「カッコの対応が取れた言語」
(Semi-Dyck言語)は典型的な非正則言語
文脈自由言語は正則言語の自然な一般化である．
正則言語の性質はよく理解されている(チョロい)が，文脈自由言語はマジむずい．

5. 1.背景と導入
2.正則可測・非可測な言語達
3.正則可測な言語全体の閉包性と局所多様体の拡張
4.まとめと課題
Outline

6. 形式言語の密度
上の言語 に対してそ密度 を
で定義する．
A L δ*
A
(L)
δ*
A
(L) = lim
n→∞
1
n
n−1
∑
i=0
#(L ∩ Ai
)
#(Ai)
例２： 上の言語
について
A = {a, b}
aA* δA(aA*) = 1/2
例３： 上の言語
は密度を持たない．
A
L⊥ = {w ∈ A* ∣ ある偶数nで3n
≤ |w| < 3n+1
}
例１：δ*
A
((AA)*) =
1
2
定理 (cf. [Salomaa-Soittla 1978])：
任意の正則言語は密度を持ち、それは有理数になる．

7. 形式言語の密度
上の言語 に対してそ密度 を
で定義する．
A L δ*
A
(L)
δ*
A
(L) = lim
n→∞
1
n
n−1
∑
i=0
#(L ∩ Ai
)
#(Ai)
例２： 上の言語
について
A = {a, b}
aA* δA(aA*) = 1/2
例３： 上の言語
は密度を持たない．
A
L⊥ = {w ∈ A* ∣ ある偶数nで3n
≤ |w| < 3n+1
}
例１：δ*
A
((AA)*) =
1
2
問題 (たぶん未解決？)：
任意の文脈自由言語は密度を持つか？

8. 形式言語の密度
上の言語 に対してそ密度 を
で定義する．
A L δ*
A
(L)
δ*
A
(L) = lim
n→∞
1
n
n−1
∑
i=0
#(L ∩ Ai
)
#(Ai)
例２： 上の言語
について
A = {a, b}
aA* δA(aA*) = 1/2
例３： 上の言語
は密度を持たない．
A
L⊥ = {w ∈ A* ∣ ある偶数nで3n
≤ |w| < 3n+1
}
例１：δ*
A
((AA)*) =
1
2
定理 (cf. [S. 2016])：
正則言語 について， (非零集合)となることと は稠密，すな
わち任意の について となること，は同値である．
L ⊆ A* δ*
A
(L) > 0 L
w ∈ A* L ∩ A*wA* ≠ ∅

9. 補足: “ が非零 は稠密” は一般に(非正則言語でも)正しいが、その逆
“ は稠密 は非零” は一般に正しくない．
L ⇒ L
L ⇒ L
無限の猿定理[Borel 1913]: 任意の について .
w ∈ A* δ*
A
(A*wA*) = 1
が稠密でないなら、定義より なる が存在する．
L L ∩ A*wA* = ∅ w
よって が無限の猿定理より成り立つ．
δ*
A
(L) ≤ 1 − δ*
A
(A*wA*) = 0
上のSemi-Dyck言語 は稠密だが、
零集合である．
A = {(, )} 𝖣 = {ε, (), (()), ()(), ((())), …}
)(()(
( ))
形式言語の密度

10. 正則可測性とは
A*
L
K1
K2 ・
・
・
M1
M2
・
・
・
が正則可測であるとは、 となる正則言語の対の無限列
が取れる状況を言う(下からも上からもいくらでも近似できる)
L lim
n→∞
δ*
A
(Kn∖Mn) = 0
(Mn ⊆ L ⊆ Kn)n

11. 正則可測な非正則言語の例
定理 [SOFSEM2021]：
カッコの対応が取れた言語 は正則可測．
𝖣 = {ε, (), (()), ()(), ((())), …}
注： の密度は０であるが、 となる密度が０の正則言語 は存在しない．
𝖣 𝖣 ⊆ L L
証明：
Lk = {w ∈ {(, )}* ∣ w中に現れる開きカッコと閉じカッコの個数が mod kで等しい}
各 に対して が成り立ち、かつ の密度は となる．
k ≥ 1 𝖣 ⊆ Lk Lk
1
k
よって正則言語の対の無限列 は に内側と外側から収束する．
(∅, Lk)k∈ℕ 𝖣

12. 正則可測性とは
A*
L
K1
K2 ・
・
・
M1
M2
・
・
・
が正則可測であるとは、 となる正則言語の対の無限列
が取れる状況を言う(下からも上からもいくらでも近似できる)
L lim
n→∞
δ*
A
(Kn∖Mn) = 0
(Mn ⊆ L ⊆ Kn)n

13. 正則可測性の動機：原始語予想
自身よりも短い語の(整数回の)繰り返しで表せられない非空な語 を原始語と呼
ぶ ( )．
w
w = un
⇒ u = w かつ n = 1
原始語予想 [Domosi-Horvath-Ito 1991]：
は文脈自由言語ではない．
𝖰 = {w ∈ {a, b}+
∣ wは原子語}
例： は原始語．
ababa は原始語ではない．
ababab = (ab)3

14. 私の元々のアイディア (を簡略化したもの)
文脈自由言語全体
𝖰
正則可測な言語全体
【標語】
正則言語を使って
非正則言語を分類！

15. [SOFSEM2021]での結果
𝖰
文法的・組合せ論的に非常に
複雑な多数の文脈自由言語
正則可測な言語全体
𝖬2
ある単純な決定性文脈自由言語
正則可測な言語は非可算無限個ある

16. 参考資料：原子語予想と可測性について
スライド： https://cla.tcs.uj.edu.pl/pdfs/CLA_slides_Sinya.pdf
講演動画： https://www.youtube.com/watch?v=5u7TBiUCnVk
Ryoma Sin’ya
(Akita University)
A Quantitative Approach to
the Primitive Words Conjecture
Computational Logic and Applications
12 Oct 2020

17. 原始語予想： は文脈自由言語ではない
𝖰
[Dömösi-Horvath-Ito 1991]
Masami Ito Pál Dömösi Book written by them
(published on 2014)

18. 原始語予想： は文脈自由言語ではない
𝖰
Masami Ito Pál Dömösi Szilárd Z. Fazekas
[Dömösi-Horvath-Ito 1991]

19. 1.背景と導入
2.正則可測・非可測な言語達
3.正則可測な言語全体の閉包性と局所多様体の拡張
4.まとめと課題
Outline

20. [SOFSEM2021]での結果
𝖰
文法的・組合せ論的に非常に
複雑な多数の文脈自由言語
正則可測な言語全体
𝖬2
ある単純な決定性文脈自由言語
正則可測な言語は非可算無限個ある

21. 正則可測な非正則言語の例
定理 [SOFSEM2021]：
カッコの対応が取れた言語 は正則可測．
𝖣 = {ε, (), (()), ()(), ((())), …}
注： の密度は０であるが、 となる密度が０の正則言語 は存在しない．
𝖣 𝖣 ⊆ L L
証明：
Lk = {w ∈ {(, )}* ∣ w中に現れる開きカッコと閉じカッコの個数が mod kで等しい}
各 に対して が成り立ち、かつ の密度は となる．
k ≥ 1 𝖣 ⊆ Lk Lk
1
k
よって正則言語の対の無限列 は に内側と外側から収束する．
(∅, Lk)k∈ℕ 𝖣

22. 正則可測な文脈自由言語たち
補足： 回文全体の集合 は典型的な非正則言語の例．
はそれぞれ「本質的に曖昧」な文脈自由言語であり，
複雑な文法構造を持つ．特に， は母関数
が超越関数になり組合せ論的な視点から複雑な言語となる．
𝖯
𝖮3, 𝖮3, 𝖦
𝖦 F𝖦(x) =
∞
∑
i=0
#(𝖦 ∩ An
)xn
定理 [SOFSEM2021]: 以下の文脈自由言語は全て正則可測：
1. (the set of all palindromes)
2.
3.
4. (the Goldstine language)
𝖯 = {w ∈ {a, b}* ∣ w = reverse(w)}
𝖮3 = {w ∈ {a, b, c}* ∣ |w|a = |w|b or |w|a = |w|c }
𝖮4 = {w ∈ {x, x̄, y, ȳ}* ∣ |w|x = |w|x̄ or |w|y = |w|ȳ }
𝖦 = {an1ban2b⋯ankb ∣ k ≥ 1, ni ≠ i for some i}

23. 正則可測な文脈自由言語たち
5. where
and .
𝖪 = S1{c}A* ∪ S2{c}A* A = {a, b, c},
S1 = {a}{bi
ai
∣ i ≥ 1}* S2 = {ai
b2i
∣ i ≥ 1}*{a}+
定理 [SOFSEM2021]: 以下の文脈自由言語は全て正則可測：
1. (the set of all palindromes)
2.
3.
4. (the Goldstine language)
𝖯 = {w ∈ {a, b}* ∣ w = reverse(w)}
𝖮3 = {w ∈ {a, b, c}* ∣ |w|a = |w|b or |w|a = |w|c }
𝖮4 = {w ∈ {x, x̄, y, ȳ}* ∣ |w|x = |w|x̄ or |w|y = |w|ȳ }
𝖦 = {an1ban2b⋯ankb ∣ k ≥ 1, ni ≠ i for some i}
補足： 言語 は[Kemp1980]にて考案された密度が超越数となる文脈自由言語
である．
𝖪

24. 正則可測な言語はいっぱいある
定理 [PPL2021]:
任意の実数 に対して密度が となる正則可測な言語が存在する．
α ∈ [0,1] α
証明(概略)： とし の２進展開を ( ) と置く．
A = {a, b} α α =
∑
n≥1
αn2−n
αn ∈ {0,1}
K0 = ∅
Kn =
{
bn−1
aA* ∪ Kn−1 αn = 1
Kn−1 αn = 0
M0 = A*
Mn =
{
Mn−1 αn = 1
Mn−1∖bn−1
aA* αn = 0
ならば であり，また
である．
n ≠ m bn−1
aA* ∩ bm−1
aA* = ∅ δ*
A
(bn−1
aA*) = 2−n
よって は密度が となる正則可測な言語となる．
L =
⋃
Kn =
⋂
Mn α

25. 正則可測な言語はいっぱいある
定理 [PPL2021]:
任意の実数 に対して密度が となる正則可測な言語が存在する．
α ∈ [0,1] α
系：正則可測な言語は非可算無限個存在する．

26. [SOFSEM2021]での結果
𝖰
文法的・組合せ論的に非常に
複雑な多数の文脈自由言語
正則可測な言語全体
𝖬2
ある単純な決定性文脈自由言語
正則可測な言語は非可算無限個ある

27. 余談： は「大きい」
𝖰
定理 [Shyr-Yu 1994]: を２つの相異なる原始語とする．
すると言語 はたかだか１しか非原始語を含まない．
f, g
f+
g+
定理 [Reis-Shyr 1978]:
すなわち「１文字の繰り返しではない文字列」は２つの
原始語の連接で表現できる．
𝖰2
= {a, b}+
∖{an
, bn
∣ n ≠ 2}

28. 余談：語の組合せ論における「証明」
定理 [Shyr-Yu 1994]: を２つの相異なる原始語とする．
すると言語 はたかだか１しか非原始語を含まない．
f, g
f+
g+
次の文献より証明を引用: “On the Shyr–Yu theorem” https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397509004265

29. 余談：語の組合せ論における「証明」
定理 [Shyr-Yu 1994]: を２つの相異なる原始語とする．
すると言語 はたかだか１しか非原始語を含まない．
f, g
f+
g+

30. 本題： は「非常に大きい」
𝖰
定理 [SOFSEM2021]: 上での の密度は１．
A = {a, b} 𝖰
証明：任意の自然数 に対して， の約数は 以下．長さ の非原子語
は によって一意に定まる．
n n 2 n n
w = vm
v
よって長さ の非原子語の個数 は次の不等式を満たす：
n #(𝖰 ∩ An
)
#(𝖰 ∩ An
) ≤ 2 n
⌊n/2⌋
∑
i=0
#(Ai
) ≤ 2 n ⋅ #(A)⌊n/2⌋+1
#(𝖰 ∩ An
)
#(An)
≤
2 n ⋅ #(A)⌊n/2⌋+1
#(A)n
≤
2 n
#(A)n/2−1
( → 0 if n → ∞) .

31. • この性質は， の非文脈自由性を示すのにポンピング補題的
な道具が使えないことを含意する．
𝖰
resists almost all well-known tests of context-freeness.
𝖰
定理 [SOFSEM2021]: 上での の密度は１．
A = {a, b} 𝖰
本題： は「非常に大きい」
𝖰

32. 【ポンピング補題】任意の文脈自由言語 に対し ある が存在し，
任意の長さ 以上の語 に対しある分割 が存在し，次が成り立つ：
(1) (ポンプ部分は空でない) (2)
(3) 任意の に対して (何回ポンプしても から出ない).
L p ≥ 1
p u ∈ L u = vwxyz
|wy| ≥ 1 |wxy| ≤ p
i ≥ 0 vwi
xyi
z ∈ L L
A*
L
u = vwxyz
vw2
xy2
z
vw3
xy3
z
⋮
⋮
vwn
xyn
z
𝖰
しかし は非常にデカいため，
どのようなポンプ列も
から逃れられない！
𝖰
𝖰
このような状況のときに
「 は非文脈自由」と言える
L

33. この研究の動機となった私の直感(経験則)
• 原始語の集合 は「非常に大きい」ながらも「如何なる正則言語でも下から近
似できない」気がする
• その一方、任意の文脈自由言語で「非常に大きい」ものは「ある程度は正則
言語で下から近似できる」気がする
𝖰

34. （直感１）原始語の集合 は「非常に大きい」ながらも
「如何なる正規言語でも下から近似できない」気がする
（直感２）その一方、任意の文脈自由言語で「非常に大きい」ものは
「ある程度は正規言語で下から近似できる」気がする
𝖰
正則ギャップ：言語の測度論的な複雑さ
• 言語 に対し、外測度と内測度の差 を の
正則ギャップと呼ぶ．
L ⊆ A* μREG(L) − μ
REG
(L) L
正則ギャップは言語 が「どれぐらい近似しにくいか」という指標である．
L
形式化： は補零 (i.e., ) だが ．よってギャップ１．
𝖰 δ*
A
(𝖰) = 1 μ
REG
(𝖰) = 0
形式化：任意の補零な文脈自由言語 は よってギャップは１でない．
L μ
REG
(L) > 0.

35. 原始語の集合は正測度な正則言語を含まない
定理(S.)：任意の正則部分集合 について
L ⊆ 𝖰 δ*
A
(L) = 0.
• は非常に大きいながらもいかなる正則言語でも下側から近似できない．
すなわち正則ギャップが１である(正則言語から見て「とても複雑な形」)．
𝖰
• 密度１の文脈自由言語で上の用な性質を持つものは無いと予想していたた
め，原子語予想を解く有用なアプローチだと考えていた．
• 証明は密度正の正則言語のsyntacticモノイドの解析、特に半群論の基本概念
であるGreenの関係( )とGreenの定理を使う．
𝒥, ℒ, ℛ, ℋ

36. この研究の動機となった私の直感(経験則)
• 原始語の集合 は「非常に大きい」ながらも「如何なる正則言語でも下から近
似できない」気がする
• その一方、任意の文脈自由言語で「非常に大きい」ものは「ある程度は正則
言語で下から近似できる」気がする
𝖰
反例 が作れてしまった…
(𝖬2)
𝖬2 = {w ∈ {a, b}* ∣ |w|a > 2|wb |}
(非常に大きい)かつ任意の正則言語 は
δA(𝖬2) = 1 L ⊆ 𝖬2 δ*
A
(L) = 0.
この直感は正しかった！

37. 概要図
𝖦
𝖰 𝖬2
𝖪
𝖮4
𝖮3
𝖬
𝖯
DCFL
CFL
UCFL
REG-measurable
(all bounded languages)
(all sufix extensions)
L{c}(A ∪ {c})*
L ⊆ w*
1
w*
2
⋯w*
k
𝖣
(all non-dense
languages)
L ∩ A*wA* ≠ ∅
𝖬2

38. 1.背景と導入
2.正則可測・非可測な言語達
3.正則可測な言語全体の閉包性と局所多様体の拡張
4.まとめと課題
Outline

39. 根本的な問い[PPL2021]
正則可測な言語全体
𝖬2
文脈自由言語全体
「正則可測な言語全体」はどのような
言語クラスだろうか？ また，
「正則可測な文脈自由言語全体」
はどのような言語クラスだろうか？
(1) に対する答え：
Carathéodory拡張！
(1) 他の特徴付けはあるか？
(2) 閉包性は？
(3) 決定可能性は？

40. 複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？
~ JR金沢駅 鼓門の場合 ~

41. ~ JR金沢駅 鼓門の場合 ~
複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？

42. } z
x
{
が減った水の体積
x × y × z
= 鼓門の体積の
外側からの近似値！
~ JR金沢駅 鼓門の場合 ~
{
y
複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？

43. 複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？
~ Lebesgue測度の場合 ~
⋯
図形 の外測度(外側からの近似値)を
と定める．
X ⊆ ℝ2
m*(X) = inf
{∑
i∈ℕ
|Bi | ∣
⋃
i∈ℕ
Bi ⊇ X; 各Biは長方形
}
任意の図形 について
を が満たす場合，
はLebesgue可測といい を
Lebesgue測度と言う．
S ⊆ ℝ2
m*(S) = m*(S ∩ X) + m*(S ∩ X)
X
X m*(X)

44. 複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？
~ Lebesgue測度の場合 ~
図形 の外測度(外側からの近似値)を
と定める．
X ⊆ ℝ2
m*(X) = inf
{∑
i∈ℕ
|Bi | ∣
⋃
i∈ℕ
Bi ⊇ X; 各Biは長方形
}
任意の図形 について
を が満たす場合，
はLebesgue可測といい を
Lebesgue測度と言う．
S ⊆ ℝ2
m*(S) = m*(S ∩ X) + m*(S ∩ X)
X
X m*(X)
この条件はCarathéodory条件と呼ばれる．

45. 複雑なオブジェの「大きさ」をどう測る？
~ 正則可測性の場合 ~
言語 の正則外測度(正則言語による外側からの近似値)を
と定める．ここで は 上の正則言語全体を表す．
L ⊆ A*
μREG(L) = inf{δ*
A
(K) ∣ L ⊆ K ∈ REGA}
REGA A
定理 [PPL2021]：
言語 について（密度に関するある条件のもとで）以下は同値：
（１） は正則可測．
（２）任意の言語 について
L ⊆ A*
L
M ∈ A* μREG(M) = μREG(M ∩ L) + μREG(M ∩ L)
注：密度に関する条件など細かい議論を除けば，証明は測度論の通常の議論と同じ．

46. 根本的な問い[PPL2021]
正則可測な言語全体
𝖬2
文脈自由言語全体
「正則可測な言語全体」はどのような
言語クラスだろうか？ また，
「正則可測な文脈自由言語全体」
はどのような言語クラスだろうか？
(2) に対する答え：
高い！
(1) 他の特徴付けはあるか？
(2) 閉包性は？
(3) 決定可能性は？
(3) に対する答え：
(ある予想の元で)決定不能！

47. 可測性の閉包性
定理 [PPL2021]：
全ての正則言語を含む言語クラス について，
(1) の全ての言語が密度を持ち，
(2) Bool演算に閉じている
ならば，正則可測性はBool演算で保たれる．
すなわち が正則可測ならば もそれぞれ正則可測．
𝒞
𝒞
L, K ∈ 𝒞 L, L ∪ K, L ∩ K
定理 [PPL2021]：
全ての正則言語を含む言語クラス について，
(1) の全ての言語が密度を持ち，
(2) 左商に閉じている(すなわち )
ならば，正則可測性は左商で保たれる(右商も同様)．
𝒞
𝒞
L ∈ 𝒞 ⇒ u−1
L = {v ∣ uv ∈ L} ∈ 𝒞

48. 代数的言語理論の基礎
定理 [Myhill-Nerode]：
言語 について以下は同値：
（１） は正則言語．
（２） は有限モノイドで認識可能．すなわちある有限モノイド と
その部分集合 およびモノイド準同型 が存在して
が成り立つ．
L ⊆ A*
L
L M
S ⊆ M η : A* → M
L = η−1
(S)
直感： は有限オートマトンの状態集合， は終了状態(受理状態)の集合，
が遷移規則という感じ．
M S
η

49. で生成される有限モノイドの族 が以下の閉包性を満たす時、それを
局所擬多様体(local pseudovariety)と呼ぶ：
(M1) 部分直積について閉じている．
(M2) 剰余モノイドを取る操作について閉じている．
A ℳ
局所多様体とEilenberg型定理
Eilenberg型定理 [Adámek et al. 2014]：各アルファベット について、 上の正則言語
の局所多様体全体と 生成な有限モノイドの局所疑多様体全体は一対一に対応する．
A A
A
アルファベット 上の正則言語の族 が以下の２つの閉包性を満たす時、
それを局所多様体(local variety)と呼ぶ：
(L1) はBool演算について閉じている．
(L2) は左右からの商について閉じている．
A ℒ
ℒ
ℒ

50. 星無し言語
有限な言語に対する有限回のBool演算と連接の適用で表現できる言語を星無し言語
(star-free)と呼ぶ． 上の星無し言語全体の集合 は局所多様体である．
A SF
Eilenberg型定理 [Adámek et al. 2014]：各アルファベット について、 上の正則言語
の局所多様体全体と 生成な有限モノイドの局所疑多様体全体は一対一に対応する．
A A
A
星無し言語の例： ∅
A*
{w}
A*wA*
wA*
A*w
(ab)*= {ε} ∪ (aA* ∩ A*b)∖(A*aaA* ∪ A*bbA*)

51. 星無し言語
有限な言語に対する有限回のBool演算と連接の適用で表現できる言語を星無し言語
(star-free)と呼ぶ． 上の星無し言語全体の集合 は局所多様体である．
A SF
Eilenberg型定理 [Adámek et al. 2014]：各アルファベット について、 上の正則言語
の局所多様体全体と 生成な有限モノイドの局所疑多様体全体は一対一に対応する．
A A
A
定理 [Schutzenberger 1965]：星無し言語の局所多様体 と非周期的な有限モノイド
の局所疑多様体が対応する．すなわち は非周期的な有限モノイドで認識
できる．
ここでモノイドが非周期的(aperiodic)であるとはそれが非自明な部分群を含まないこ
とである．
SF
L ∈ SF ⇔ L

52. 星無し言語
すなわち、「ある程度閉包性の良い」正則言語の族には必ず裏側に
「ある程度閉包性の良い」有限モノイドの族が対応し逆もなりたつ！
頑健(robust)な概念は代数的にも言語的にも特徴づけできるということである．
Eilenberg型定理 [Adámek et al. 2014]：各アルファベット について、 上の正則言語
の局所多様体全体と 生成な有限モノイドの局所疑多様体全体は一対一に対応する．
A A
A
定理 [Schutzenberger 1965]：星無し言語の局所多様体 と非周期的な有限モノイド
の局所疑多様体が対応する．すなわち は非周期的な有限モノイドで認識
できる．
ここでモノイドが非周期的(aperiodic)であるとはそれが非自明な部分群を含まないこ
とである．
SF
L ∈ SF ⇔ L

53. 局所多様体のCarathéodory拡張
定理 [PPL2021]：
上の正則言語の局所多様体 について，
もまた 上の正則言語の局所多様体である ( は局所多様体上の閉包作用素)．
A ℒ RExtA(ℒ) = {L ∈ REGA ∣ Lはℒ可測}
A RExtA
定理 [PPL2021]：
2文字以上の文字を含む について， は 上の星無し言語からなる局所多様体
を非自明に拡張する： .
A RExtA A 𝖲𝖥
𝖲𝖥 ⊊ RExtA(𝖲𝖥) ⊊ REGA
この局所多様体に対応する有限モノイドの局所疑多様体はなんだろうか？
（だいたいわかってますがまだ証明は完成していない）

54. 1.背景と導入
2.正則可測・非可測な言語達
3.正則可測な言語全体の閉包性と局所多様体の拡張
4.まとめと課題
Outline

55. まとめ
・正則可測性は「正則言語の理論を使って非正則言語を分類する」のに有用な
道具であり，数学的に自然な概念である．
・「正則可測な文脈自由言語全体」がどのような言語クラスなのか明らかに
したいが，それは現時点では難しい問題だと思われる．
よってその “ミニチュア” であり，しかも代数的に扱いやすい
「 可測な正則言語全体」 について考察し，いくつか
非自明な結果が得られた．
ℒ = RExtA(ℒ)

56. 未解決問題
1. 任意の密度正な文脈自由言語は非原始語を含むか？ (反例はあるか？)
2. 任意の密度１な文脈自由言語は非原始語を含むか？ (反例はあるか？)
3. 密度が０(あるいは密度が１)であるような文脈自由言語を別の言葉で特徴
づけられるか？
注：正則言語の場合は「密度が０」の代数的・オートマトン的な特徴づけがある．
注：正則言語の場合は「含む」(先ほど紹介した定理)．
注： 与えられた文脈自由言語が密度０であるかどうかは決定不能 [Nakamura 2019].

57. 未解決問題
• Eilenberg型の定理より、言語の局所多様体には有限モノイドの局所疑多様体が
自然に紐付けられる．
言語の多様体の拡張 も有限モノイドの局所疑多様体の拡張
(ただし は に対応す
る 上の正則言語の局所多様体)が自然に紐付けられる．
この を、言語の可測性を経由せずに、純代数的な言葉で特徴づけれるか？
また、無星言語 の拡張に対応する を代数的に特徴づけれるか？
ExtA
MExtA(ℳ) = ⟨{synt(L) ∣ L ⊆ A*はG(ℳ)A可測}⟩ G(ℳ)A ℳ
A
MExtA
SF MExtA(Ap)