Factorization of polynomials by the method of the remainder theorem and the rule of Ruffini

1. (caso degli "zeri" interi relativi)
©2014 Prof. A. Anelli
Scomposizione in fattori col
Teorema di Ruffini

2. Sia dato il seguente polinomio (già
ordinato secondo le potenze decrescenti
della variabile x)
A(x)= x^4 + 3x^3 - 11x^2 - 3x + 10
Nota:la notazione x^n significa “x elevata ad esponente
pari ad n”
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3. Step.one: ricerca dei divisori del termine
noto:
+-1;+-2;+-5;+-10
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4. Step.two: ricerca, tra i divisori trovati,
degli "zeri" o radici del polinomio:
A(+1)=(+1)^4+3(+1)^3+-11(+1)^2-3(+1)+10=+1+3-11-
3+10=O; dunque (+1) e' uno "zero"
A(-1)=(-1)^4+3(-1)^3+-11(-1)^2-3(-1)+10=+1-3-
11+3+10=O; dunque (-1) e' uno "zero"
A(+2)=(+2)^4+3(+2)^3+-11(+2)^2-3(+2)+10=+16+24-44-
6+10=O; dunque (+2) e' uno "zero"
A questo punto la ricerca termina, avendo già trovato
tanti "zeri" (3 "zeri") quant'e' il grado del polinomio da
scomporre (grado=4) diminuito di una unità (4-1=3)
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5. (x-1); (x+1); (x-2).
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Step.three: determinazione dei binomi di primo grado divisori
del polinomio assegnato sulla base del teorema di Ruffini:

6. Step.four: divisione del polinomio
assegnato per tutti i binomi
divisori trovati, con la regola di Ruffini ed
il relativo "abaco"
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7. Abaco di Ruffini
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11 33 -11-11 -3-3 1010
+1+1 11 44 -7-7 -10-10
11 44 -7-7 -10-10 00
-1-1 -1-1 -3-3 1010
11 33 -10-10 00
+2+2 22 1010
11 55 00

8. A(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+5)
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Step.five: scomposizione in fattori del
polinomio assegnato mediante il prodotto di
tutti i binomi divisori trovati per l'ultimo
quoziente dell'abaco di Ruffini

9. Step.six: verifica del risultato mediante la
moltiplicazione di tutti i fattori trovati:
(X-1)(x+1)(x-2)(x+5)=
=(x^2-1)(x-2)(x+5)=(x^3-2x^2-x+2)(x+5)=
=x^4-2x^3-x^2+2x+5x^3-10x^2-5x+10=
=x^4+3x^3-11x^2-3x+10
(come volevasi dimostrare)
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10. Step.six: verifica del risultato mediante la
moltiplicazione di tutti i fattori trovati:
(X-1)(x+1)(x-2)(x+5)=
=(x^2-1)(x-2)(x+5)=(x^3-2x^2-x+2)(x+5)=
=x^4-2x^3-x^2+2x+5x^3-10x^2-5x+10=
=x^4+3x^3-11x^2-3x+10
(come volevasi dimostrare)
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