Regresia

1. • Coeficientul de corelatie ne da indicatii asupra sensului
si intensitatii legaturii de dependenta dintre doua
fenomene
• Regresia completeza corelatia, si prin intermediul
coeficientului de regresie stabileste cu cit creste sau
descreste sub aspect cantitativ un fenomen, cind cel
cu care se coreleaza creste sau descreste cu o
unitate de masura

2. Tipuri de regresii
• Simpla si multipla
• Lineara si nelineara
• Ne vom referi la:
R. simpla (o variabila dependenta si una
independenta)
R. liniara(relatia dintre cele doua variabile poate
fi descrisa printr-o dreapta în cadrul norului de
puncte)

3. • Unul din principalele capitole ale statisticii are
în vedere posibilitatea de a face predictii. Desi
nu se gasesc relatii perfecte în lumea reala,
prin intermediul regresiei se pot face predictii
ale unei variabile, în functie de valoarea alteia.
Predictia este procesul de estimare a valorii
unei variabile cunoscând valoarea unei alte
variabile

4. Pentru a întelege mai bine regresia,
vom oferi un exemplu:
• sa presupunem ca între deficitul de atentie si
tulburarile emotionale s-a obtinut un
coeficient de corelatie r = 0,80 pe un lot de 50
de subiecti. Regresia ne da posibilitatea sa
estimam ce tulburari emotionale are un
subiect daca cunoastem în prealabil nivelul
deficitului de atentie si tipul de relatie dintre
cele doua variabile.

5. Procesul de regresie presupune doi
pasi:
1. Determinarea ecuatiei de regresie-calcularea
coeficientilor de regresie a,b;
2. Utilizarea acestei ecuatii în a predictie;

6. Forma generala prin care se exprima o
ecuatie de regresie este:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
• Y este rezultatul estimat-v. dependenta;
• a este interceptul (locul pe ordonata unde
dreapta de regresie se intersecteaza cu OY,
valoarea lui Y pentru X=0)
• b este panta de regresie (ne arata cu cât se
modifica Y atunci când X creste (scade) cu o
unitate;
• X este variabila criteriu (cunoscuta)-v.
independenta.

7. Doua posibilitati de calculare a
coeficientilor a si b

8. 1) daca se cunoaste valoarea coeficientului de corelatie dintre
cele doua variabile X si Y, media si abaterea standard a celor
doua variabile putem aplica urmatoarele formule:
• 𝑏 = 𝑟 ∗
𝑆 𝑦
𝑆 𝑥
• r este valoarea
coeficientului de corelatie
dintre X si Y;
• Sy este abaterea standard a
variabilei Y;
• Sx este abaterea standard a
variabilei X
• 𝑎 = 𝑀 𝑦 − 𝑏 ∗ 𝑀 𝑥
• My este media variabilei Y;
• Mx este media variabilei X

9. Interpretarea coeficientului de regresie
b
• b=0, variabila y nu depinde de variabila x, ele
sunt independente.
• b≠ 0,cele 2 variabile sunt dependente astfel:
• b>0,legatura este directa
• b<0,legatura este inversa

10. În exemplul nostru, sa presupunem ca:
• media variabilei X (deficitul de atentie) a fost 20, iar
abaterea standard 5.
• media variabilei Y (tulburari emotionale) a fost 16, iar
abatarea standard 4.
• Vom calcula în continuare coeficientii ecuatiei de regresie
liniara a si b:
• 𝑎 = 16 − 0,64 ∗ 20 = 3,2
• 𝑏 = 0,8 ∗
4
5
= 0,64
• Deci 𝑦 = 3,2 + 0,64𝑥
•

11. • Dam valori lui x=0,x=1 si x=2 si vom obtine
respectiv:
• 𝑦0 = 3,2 + 0,64 ∗ 0 = 3,2
• 𝑦1 = 3,2 + 0,64 ∗ 1 = 3,84
• 𝑦2 = 3,2 + 0,64 ∗ 2 = 4,48
• Ce înseamna acest lucru?
• Daca un subiect obtine scorul 0 la deficit de
atentie, estimam sa obtina rezultatul 3,2 la scala
de tulburari emotionale. Daca un alt subiect
obtine nota 1 la deficitul de atentie, predictia
noastra este ca va obtine rezultatul de 3,84 la
testul de tulburari emotionale s.a.m.d

12. A doua metoda
•
𝑛𝑎 + 𝑏 𝑥 = 𝑦
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥2
= 𝑥𝑦
𝑎 =
𝑥2 𝑦− 𝑥 𝑥𝑦
𝑛 𝑥−( 𝑥)2
𝑏 =
𝑛 𝑥𝑦− 𝑥 𝑦
𝑛 𝑥2−( 𝑥)2
• n-nr de cazuri al unei variabile

13. Sa presupunem urmatorul exemplu: Zece subiecti sunt testati în
ce privete nivelul de creativitate (Y) si stilul caligrafic (X) al grafiei
lor. Au fost obtinute urmatoarele rezultate:
Nr.crt X Y X² XY
1 17 11 289 187
2 13 15 169 195
3 15 14 225 210
4 11 18 121 198
5 19 10 361 190
6 10 19 100 190
7 12 16 144 192
8 11 15 121 165
9 13 15 169 195
10 14 14 196 196
𝑥 = 135 𝑦 = 147 𝑥2 = 1895 𝑦2 = 1918

14. • Obtinem astfel:
•
10a + 135b = 147
135a +1895b = 1918
a = 27,08
b = −0,91
• Ecuatia de regresie obtinuta : y=27,08-0,91x

15. • Vom face în continuare predictii ale nivelului de
creativitate pornind de la aceasta ecuatie în
situatiile în care un subiect ar obtine nota 11,
respectiv nota 19 la proba de caligrafie.
• Y1 = 27,08 – 0,91*11 = 17,07
• Y2 = 27,08 – 0,91*19 = 9,79
• Putem observa ca între valorile estimate si
valorile efective obtinute sunt câteva diferente
(17,07 estimata fata de 17 obtinuta, respectiv
9,79 estimata fata de 10 obtinuta)

16. • Aceste diferente între valorile reale si cele estimate
reprezinta erorile de estimare sau valorile reziduale
• Aceasta se interpreteaza asemanator cu abaterea
standard în situatia unei distributii normale a datelor
• Cu ajutorul acestei erori standard putem aproxima ca
în 68% din cazurile în care un subiect obtine cota 1 la
deficitul de atentie (adica, între –1 si +1 sy/x) vom
obtine o valoare estimata de tulburari emotionale de
3,84 ±2,4. Cu cât coeficientul de corelatie este mai
mare, cu atât eroarea de estimare va fi mai mica.

17. • Ecuatia y(x) nu e o ecuatie generala a oricarei
linii drepte care descrie legatura dintre cele 2
variabile, ci reprezinta o ecuatie particulara a
dreptei, fata de care suma patratelor
abaterilor valorilor empirice y este minim.
• Daca abaterile in jurul acestor drepte sunt
normal distribuite,aceste drepte vor fi cele
mai potrivite pentru regresie.