Qhtt bg
- 2. BOĆ GIAĆO DUĆC VAĆ ĆAĆO TAĆO
TRĆĆĆNG ĆAĆI HOĆC LAĆC HOĆNG
BAĆI GIAĆNG
(TaĆøi lieƤu tham khaĆ»o cho sinh vieĆ¢n)
QUY HOAĆCH TUYEĆN TĆNH
2010
- 3. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
ChƶƓng 1
BAĆI TOAĆN QUY HOAĆCH TUYEĆN TĆNH
Ā§1. LAĆP BAĆI TOAĆN QUY HOAĆCH TUYEĆN TĆNH
1.1. BaĆøi toaĆ¹n laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu
BaĆøi toaĆ¹n
MoƤt XĆ nghieƤp coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch sƶƻ duĆÆng m loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu: N1, N2 , . . . , Nm , ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t
n loaĆÆi saĆ»n phaĆ„m: S1 , S2 , . . . , Sn .
VĆ“Ć¹i trƶƵ lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu, Ć±Ć²nh mĆ¶Ć¹c sƶƻ duĆÆng khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu moĆ£i loaĆÆi ƱeĆ„ saĆ»n
xuaĆ”t moƤt ƱƓn vĆ² saĆ»n phaĆ„m vaĆø giaĆ¹ baĆ¹n moƤt ƱƓn vĆ² saĆ»n phaĆ„m ƱƶƓĆÆc cho nhƶ trong baĆ»ng
sau:
TeĆ¢n TrƶƵ
nguyeĆ¢n lƶƓĆÆng SaĆ»n phaĆ„m
lieƤu nguyeĆ¢n
lieƤu S1 S2 ... Sn
N1 b1 a11 a12 ... a1n
N2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Nm bm am1 am2 ... amn
GiaĆ¹ baĆ¹n c1 c2 ... cn
YeĆ¢u caĆ u
+ CaĆ n saĆ»n xuaĆ”t soĆ” lƶƓĆÆng moĆ£i loaĆÆi saĆ»n phaĆ„m laĆø bao nhieĆ¢u ƱeĆ„ doanh thu laĆø lĆ“Ć¹n nhaĆ”t.
+ QuaĆ¹ trƬnh saĆ»n xuaĆ”t khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng.
GiaĆ» thieĆ”t raĆØng: vĆ“Ć¹i giaĆ¹ baĆ¹n ƱaƵ Ć±Ć²nh thƬ saĆ»n phaĆ„m cuĆ»a XĆ nghieƤp ƱƶƓĆÆc tieĆ¢u thuĆÆ heĆ”t.
LaƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc
1
- 4. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
TƶĆø dƶƵ lieƤu vaĆø caĆ¹c yeĆ¢u caĆ u thƶĆÆc teĆ” cuĆ»a XĆ nghieƤp ƱaƵ cho nhƶ treĆ¢n, ta phaĆ»i xaĆ¢y dƶĆÆng
moƤt moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hay coĆøn goĆÆi laĆø baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh.
GoĆÆi xj laĆø soĆ” lƶƓĆÆng saĆ»n phaĆ„m Sj (j = 1, 2, ..., n) caĆ n saĆ»n xuaĆ”t, vĆ“Ć¹i ƱieĆ u kieƤn laĆø xj ā„ 0.
Khi ƱoĆ¹:
+ ToĆ„ng nguyeĆ¢n lieƤu moĆ£i loaĆÆi Ni caĆ n duĆøng ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t laĆø
ai1x1 + ai2 x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn , (i = 1, 2, . . . , m)
vaĆø ƱeĆ„ quaĆ¹ trƬnh saĆ»n xuaĆ”t khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng thƬ
ai1 x1 + ai2x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn ā¤ bi
+ Khi XĆ nghieƤp baĆ¹n heĆ”t saĆ»n phaĆ„m thƬ doanh thu ƱaĆÆt ƱƶƓĆÆc laĆø
c1 x1 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā max
TƶĆø ƱoĆ¹ ta coĆ¹ moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu laĆø:
f (x) = c1x1 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā max
a11x1 + a12x2 + Ā· Ā· Ā· + a1n xn ā¤ b1
a21x1 + a22x2 + Ā· Ā· Ā· + a2n xn ā¤ b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
am1x1 + am2x2 + Ā· Ā· Ā· + amn xn ā¤ bm
xj ā„ 0, (j = 1, 2, . . . , n)
VĆ duĆÆ 1.1: MoƤt XĆ nghieƤp deƤt coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi vaĆ»i laĆø A, B, C. NguyeĆ¢n lieƤu
saĆ»n xuaĆ”t laĆø caĆ¹c loaĆÆi sĆ“ĆÆi: cotton, polyester vĆ“Ć¹i trƶƵ lƶƓĆÆng laĆø:
+ Cotton: 3 taƔn
+ Kate: 2,5 taƔn
+ Polyester: 4,5 taƔn
MĆ¶Ć¹c tieĆ¢u hao moĆ£i loaĆÆi sĆ“ĆÆi ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1m vaĆ»i vaĆø giaĆ¹ baĆ¹n (ngaĆøn ƱoĆ ng/m) vaĆ»i thaĆønh
phaĆ„m moĆ£i loaĆÆi ƱƶƓĆÆc cho trong baĆ»ng sau:
2
- 5. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
NguyeĆ¢n lieƤu SaĆ»n phaĆ„m
(g) A B C
Cotton 200 200 100
Kate 100 200 100
Polyester 100 100 200
GiaĆ¹ baĆ¹n 35 48 25
HaƵy laƤp moƤt keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i tƶu cho XĆ nghieƤp ? (chƦ laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc)
HD: GoĆÆi x1 , x2, x3 ā„ 0 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø soĆ” lƶƓĆÆng cuĆ»a caĆ¹c loaĆÆi vaĆ»i A, B, C. Ta coĆ¹
+ KhoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu cotton caĆ n duĆøng laĆø: 200x1 + 200x2 + 100x3
+ KhoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu kate caĆ n duĆøng laĆø: 100x1 + 200x2 + 100x3
+ KhoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu polyester caĆ n duĆøng laĆø: 100x1 + 100x2 + 200x3
ĆeĆ„ khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng trong quaĆ¹ trƬnh saĆ»n xuaĆ”t thƬ ta phaĆ»i coĆ¹
200x1 + 200x2 + 100x3 ā¤ 3.000.000
100x1 + 200x2 + 100x3 ā¤ 2.500.000
100x1 + 100x2 + 200x3 ā¤ 4.500.000
Khi XĆ nghieƤp baĆ¹n heĆ”t saĆ»n phaĆ„m thƬ doanh thu cuĆ»a XN laĆø: 35x1 +48x2 +25x3 ā max
VaƤy, moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laƤp keĆ” hoach saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu laĆø:
f (x) = 35x1 + 48x2 + 25x3 ā max
200x1 + 200x2 + 100x3 ā¤ 3.000.000
100x1 + 200x2 + 100x3 ā¤ 2.500.000
100x1 + 100x2 + 200x3 ā¤ 4.500.000
x1 , x2, x3 ā„ 0
VĆ duĆÆ 1.2: MoƤt XĆ nghieƤp coĆ¹ keĆ” hoach saĆ»n xuaĆ”t 3 saĆ»n phaĆ„m S1 , S2, S3 tƶĆø 3 nguyeĆ¢n vaƤt
lieƤu N1 , N2, N3 . Cho bieĆ”t nguyeĆ¢n vaƤt lieƤu XĆ nghieƤp Ʊang coĆ¹, Ć±Ć²nh mĆ¶Ć¹c sƶƻ duĆÆng caĆ¹c loaĆÆi
nguyeĆ¢n vaƤt lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t ra moƤt saĆ»n phaĆ„m moĆ£i loaĆÆi vaĆø tieĆ n lĆ“Ćøi (ngaĆøn ƱoĆ ng) ƱƶƓĆÆc cho
nhƶ baƻng sau:
3
- 6. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
NguyeĆ¢n TrƶƵ lƶƓĆÆng SaĆ»n phaĆ„m
lieƤu nguyeĆ¢n lieƤu S1 S2 S3
N1 240 2 3 2
N2 200 1 2 1
N3 400 4 1 2
TieĆ n lĆ“Ćøi/sp 10 12 9
HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu cho XĆ nghieƤp ?
HD: GoĆÆi x1 , x2, x3 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø soĆ” saĆ»n phaĆ„m S1 , S2, S3 caĆ n phaĆ»i saĆ»n xuaĆ”t.
ĆieĆ u kieƤn: x1 , x2, x3 ā„ 0.
KhoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu Ni caĆ n duĆøng ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t ra soĆ” saĆ»n phaĆ„m treĆ¢n laĆø:
N1 : 2x1 + 3x2 + 2x3 (ƱƓn vĆ² nguyeĆ¢n lieƤu)
N2 : x1 + 2x2 + x3 (ƱƓn vĆ² nguyeĆ¢n lieƤu)
N3 : 4x1 + x2 + 2x3 (ƱƓn vĆ² nguyeĆ¢n lieƤu)
ĆeĆ„ quaĆ¹ trƬnh saĆ»n xuaĆ”t khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng thƬ toĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu Ni caĆ n duĆøng
ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t phaĆ»i luoĆ¢n nhoĆ» hĆ“n hoaĆ«c baĆØng khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu XĆ nghieƤp hieƤn coĆ¹.
2x1 + 3x2 + 2x3 ā¤ 240
x1 + 2x2 + x3 ā¤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ā¤ 400
ToĆ„ng soĆ” tieĆ n lĆ“Ćøi XĆ nghieƤp coĆ¹ theĆ„ thu ƱƶƓĆÆc khi baĆ¹n heĆ”t saĆ»n phaĆ„m laĆø: 10x1 +12x2 +9x3
(ngaĆøn ƱoĆ ng), vaĆø muĆÆc tieĆ¢u cuĆ»a XĆ nghieƤp laĆø laĆøm cho doanh thu ƱaĆÆt cƶĆÆc ƱaĆÆi neĆ¢n:
10x1 + 12x2 + 9x3 ā max
VaƤy, moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu treĆ¢n laĆø (baĆøi toaĆ¹n
quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh):
f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 ā max
2x1 + 3x2 + 2x3 ā¤ 240
x1 + 2x2 + x3 ā¤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ā¤ 400
x1, x2 , x3 ā„ 0
4
- 7. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ“Ć¹i caĆ¹ch laƤp luaƤn vaĆø trƬnh baĆøy tƶƓng tƶĆÆ nhƶ treĆ¢n, haƵy thƶĆÆc haĆønh vĆ“Ć¹i 3 baĆøi taƤp sau:
VĆ duĆÆ 1.3: MoƤt xĆ nghieƤp coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi saĆ»n phaĆ„m kyĆ¹ hieƤu laĆø A, B, C. ĆĆ²nh
mĆ¶Ć¹c hao phĆ nguyeĆ¢n lieƤu, voĆ”n, lao ƱoƤng (quy ra giĆ“Ćø coĆ¢ng) vaĆø lĆ“ĆÆi nhuaƤn thu ƱƶƓĆÆc tĆnh
cho 1 ƱƓn vĆ² saĆ»n phaĆ„m moĆ£i loaĆÆi cho trong baĆ»ng sau:
SaĆ»n phaĆ„m NguyeĆ¢n lieƤu VoĆ”n Lao ƱoƤng LĆ“ĆÆi nhuaƤn
(kg) (1.000 ƱoĆ ng) (giĆ“Ćø coĆ¢ng) (1.000 ƱoĆ ng)
A 2 1 4 2
B 3 3 8 3
C 3 5 1 5
MĆ¶Ć¹c huy 150 120 100
ƱoƤng toƔi Ʊa
HaƵy laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu cho xĆ nghieƤp (ChƦ laƤp moĆ¢ hƬnh baĆøi toaĆ¹n, khoĆ¢ng
giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n).
VĆ duĆÆ 1.4: MoƤt coĆ¢ng ty SĆ“n BaXP saĆ»n xuaĆ”t hai loaĆÆi sĆ“n laĆø sĆ“n trong nhaĆø vaĆø sĆ“n ngoaĆøi
trĆ“Ćøi. NguyeĆ¢n lieƤu chuĆ» yeĆ”u ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t sĆ“n goĆ m:
+ NguyeĆ¢n lieƤu loaĆÆi A vĆ“Ć¹i trƶƵ lƶƓĆÆng laĆø 140 taĆ”n.
+ NguyeĆ¢n lieƤu loaĆÆi B vĆ“Ć¹i trƶƵ lƶƓĆÆng laĆø 180 taĆ”n.
ĆeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1 taĆ”n sĆ“n trong nhaĆø caĆ n 3 taĆ”n nguyeĆ¢n lieƤu A vaĆø 2 taĆ”n nguyeĆ¢n lieƤu B.
ĆeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1 taĆ”n sĆ“n ngoaĆøi trĆ“Ćøi caĆ n 4 taĆ”n nguyeĆ¢n lieƤu A vaĆø 5 taĆ”n nguyeĆ¢n lieƤu B.
Qua nghieĆ¢n cĆ¶Ć¹u thĆ² trƶƓĆøng, phoĆøng tieĆ”p thĆ² dƶĆÆ baĆ¹o nhu caĆ u thĆ² trƶƓĆøng trong 1 tuaĆ n
nhƶ sau:
+ Nhu caĆ u sĆ“n trong nhaĆø khoĆ¢ng lĆ“Ć¹n hĆ“n sĆ“n ngoaĆøi trĆ“Ćøi 2 taĆ”n.
+ Nhu caĆ u lĆ“Ć¹n nhaĆ”t cuĆ»a sĆ“n trong nhaĆø laĆø 3 taĆ”n.
GiaĆ¹ baĆ¹n cho ƱaĆÆi lyĆ¹ laĆø: 45 trieƤu ƱoĆ ng/taĆ”n cho sĆ“n trong nhaĆø vaĆø 50 trieƤu ƱoĆ ng/taĆ”n cho
sĆ“n ngoaĆøi trĆ“Ćøi.
YeĆ¢u caĆ u: HaƵy laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t moĆ£i tuaĆ n nhƶ theĆ” naĆøo ƱeĆ„ coĆ¢ng ty ƱaĆÆt doanh
thu lĆ“Ć¹n nhaĆ”t (chƦ laƤp moĆ¢ hƬnh baĆøi toaĆ¹n, khoĆ¢ng giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n).
5
- 8. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 1.5: NhaĆ¢n dĆ²p teĆ”t trung thu, xĆ nghieƤp saĆ»n xuaĆ”t baĆ¹nh KD muoĆ”n saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi
baĆ¹nh : ƱaƤu xanh, thaƤp caĆ„m vaĆø baĆ¹nh deĆ»o nhaĆ¢n ƱaƤu xanh. ĆeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi baĆ¹nh naĆøy,
xĆ nghieƤp caĆ n: ƱƶƓĆøng, ƱaƤu, boƤt, trĆ¶Ć¹ng, mĆ¶Ć¹t, laĆÆp xƶƓƻng, ... GiaĆ» sƶƻ soĆ” ƱƶƓĆøng coĆ¹ theĆ„ chuaĆ„n
bĆ² ƱƶƓĆÆc laĆø 500kg, ƱaƤu laĆø 300kg, caĆ¹c nguyeĆ¢n lieƤu khaĆ¹c muoĆ”n bao nhieĆ¢u cuƵng coĆ¹. LƶƓĆÆng
ƱƶƓĆøng, ƱaƤu caĆ n thieĆ”t vaĆø lĆ“ĆÆi nhuaƤn thu ƱƶƓĆÆc treĆ¢n moƤt caĆ¹i baĆ¹nh moĆ£i loaĆÆi cho trong baĆ»ng
sau:
BaĆ¹nh BaĆ¹nh ƱaƤu BaĆ¹nh thaƤp BaĆ¹nh deĆ»o
NguyeƤn lieƤu xanh caƄm
ĆƶƓĆøng (g) 60 40 70
ĆaƤu (g) 80 0 40
LĆ“ĆÆi nhuaƤn (ƱoĆ ng) 2000 1700 1800
CaĆ n laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t moĆ£i loaĆÆi baĆ¹nh bao nhieĆ¢u caĆ¹i ƱeĆ„ khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng veĆ Ć±Ć¶Ć“Ćøng,
ƱaƤu vaĆø toĆ„ng lĆ“ĆÆi nhuaƤn thu ƱƶƓĆÆc laĆø lĆ“Ć¹n nhaĆ”t neĆ”u saĆ»n xuaĆ”t bao nhieĆ¢u cuƵng baĆ¹n heĆ”t.
1.2. BaĆøi toaĆ¹n pha troƤn toĆ”i ƶu
BaĆøi toaĆ¹n: MoƤt nhaĆø maĆ¹y luyeƤn kim muoĆ”n sƶƻ duĆÆng n loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu: N1 , N2, . . . , Nn
ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t moƤt loaĆÆi hĆ“ĆÆp kim coĆ¹ m chaĆ”t: M1 , M2 , . . . , Mm . HaĆøm lƶƓĆÆng caĆ¹c chaĆ”t trong
moƤt ƱƓn vĆ² hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m, haĆøm lƶƓĆÆng chaĆ”t trong moƤt ƱƓn vĆ² nguyeĆ¢n lieƤu vaĆø giaĆ¹
moƤt ƱƓn vĆ² nguyeĆ¢n lieƤu ƱƶƓĆÆc cho trong baĆ»ng sau:
ChaĆ”t trong HaĆøm lƶƓĆÆng chaĆ”t HaĆøm lƶƓĆÆng chaĆ”t trong NL
thaĆønh phaĆ„m trong thaĆønh phaĆ„m N1 N2 ... Nn
M1 b1 a11 a12 ... a1n
M2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Mm bm am1 am2 ... amn
GiaĆ¹ nguyeĆ¢n lieƤu c1 c2 ... cn
VaĆ”n ƱeĆ Ć±aĆ«t ra laĆø phaĆ»i duĆøng moĆ£i loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu bao nhieĆ¢u ƱƓn vĆ² ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1 ƱƓn
vĆ² hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m sao cho giaĆ¹ thaĆønh cuĆ»a hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m thaĆ”p nhaĆ”t nhƶng
6
- 9. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
vaĆ£n ƱaĆ»m baĆ»o chaĆ”t lƶƓĆÆng theo yeĆ¢u caĆ u. HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n pha troƤn
toĆ”i ƶu treĆ¢n ?
HD: GoĆÆi xj laĆø khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu Nj (j = 1, 2, . . . , n) caĆ n duĆøng ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1 ƱƓn
vĆ² hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m ƱaĆ¹p Ć¶Ć¹ng caĆ¹c yeĆ¢u caĆ u cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
ĆieĆ u kieƤn: xj ā„ 0, (j = 1, 2, . . . , n)
ToĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t Mi (i = 1, 2, . . . , m) coĆ¹ trong caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t
laĆø:
ai1x1 + ai2x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn
ĆeĆ„ saĆ»n phaĆ„m laĆø hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m baĆ»o ƱaĆ»m chaĆ”t lƶƓĆÆng theo yeĆ¢u caĆ u, ta coĆ¹
ai1x1 + ai2x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn = bi
GiaĆ¹ thaĆønh (giaĆ¹ voĆ”n goĆ”c) 1 ƱƓn vĆ² hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m laĆø:
c1 x1 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn
YeĆ¢u caĆ u laĆø giaĆ¹ thaĆønh cuĆ»a hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m phaĆ»i thaĆ”p nhaĆ”t neĆ¢n
c1 x1 + c2x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā min
VaƤy, moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n pha troƤn toĆ”i ƶu laĆø
f (x) = c1 x1 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā min
a11x1 + a12x2 + Ā· Ā· Ā· + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + Ā· Ā· Ā· + a2n xn = b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
am1 x1 + am2 x2 + Ā· Ā· Ā· + amn xn = bm
xj ā„ 0 ; j = 1, 2, . . . , n
VĆ duĆÆ 2.1: MoƤt nhaĆø maĆ¹y luyeƤn kim muoĆ”n saĆ»n xuaĆ”t moƤt loaĆÆi hĆ“ĆÆp kim coĆ¹ 20% baĆÆc, 30%
ƱoĆ ng vaĆø 50% nhuoĆ¢m. ĆeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t ra loaĆÆi hĆ“ĆÆp kim ƱoĆ¹ nhaĆø maĆ¹y duĆøng 6 loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu:
baĆÆc nguyeĆ¢n chaĆ”t, ƱoĆ ng nguyeĆ¢n chaĆ”t, nhuoĆ¢m nguyeĆ¢n chaĆ”t, hĆ“ĆÆp kim A, hĆ“ĆÆp kim B, hĆ“ĆÆp
kim C. TyĆ» leƤ caĆ¹c chaĆ”t baĆÆc, ƱoĆ ng, nhuoĆ¢m trong 6 loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu treĆ¢n vaĆø giaĆ¹ nguyeĆ¢n
lieƤu (ngaĆøn ƱoĆ ng/kg) moĆ£i loaĆÆi ƱƶƓĆÆc cho trong baĆ»ng sau:
7
- 10. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
ChaĆ”t LoaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu
BaĆÆc ĆoĆ ng NhuoĆ¢m HK A HK B HK C
BaĆÆc 100% 0 0 30% 50% 40%
ĆoĆ ng 0 100% 0 40% 20% 35%
NhuoĆ¢m 0 0 100% 30% 30% 25%
GiaĆ¹ nguyeĆ¢n lieƤu 1500 300 100 1000 1200 1100
HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu moĆ£i loaĆÆi ƱeĆ„
saĆ»n xuaĆ”t 1 kg hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m sao cho giaĆ¹ thaĆønh cuĆ»a hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m thaĆ”p
nhaĆ”t nhƶng vaĆ£n baĆ»o ƱaĆ»m chaĆ”t lƶƓĆÆng theo yeĆ¢u caĆ u.
HD: GoĆÆi x1 , x2, x3, x4 , x5, x6 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø khoĆ”i lƶƓĆÆng nguyeĆ¢n lieƤu (kg) baĆÆc, ƱoĆ ng, nhuoĆ¢m
nguyeĆ¢n chaĆ”t, hĆ“ĆÆp kim A, hĆ“ĆÆp kim B, hĆ“ĆÆp kim C caĆ n sƶƻ duĆÆng ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t 1 kg hĆ“ĆÆp kim
thaĆønh phaĆ„m ƱaĆ¹p Ć¶Ć¹ng caĆ¹c yeĆ¢u caĆ u cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
ĆieĆ u kieƤn: x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 ā„ 0
ToĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t baĆÆc coĆ¹ trong caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t laĆø:
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6
ToĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t ƱoĆ ng coĆ¹ trong caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t laĆø:
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6
ToĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t nhuoĆ¢m coĆ¹ trong caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t laĆø:
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6
ĆeĆ„ saĆ»n phaĆ„m laĆø hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m baĆ»o ƱaĆ»m chaĆ”t lƶƓĆÆng theo yeĆ¢u caĆ u, ta coĆ¹
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5
GiaĆ¹ thaĆønh 1 ƱƓn vĆ² hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m laĆø:
1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6
8
- 11. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
YeĆ¢u caĆ u laĆø giaĆ¹ thaĆønh cuĆ»a hĆ“ĆÆp kim thaĆønh phaĆ„m phaĆ»i thaĆ”p nhaĆ”t neĆ¢n
1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 ā min
VaƤy, moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø
f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 ā min
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5
xj ā„ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6
VĆ duĆÆ 2.2: MoƤt hĆ“ĆÆp chaĆ”t ƱƶƓĆÆc cheĆ” taĆÆo tƶĆø caĆ¹c ƱƓn chaĆ”t A, B, C, D. CaĆ¹c ƱƓn chaĆ”t naĆøy coĆ¹
theĆ„ laĆ”y tƶĆø caĆ¹c quaĆ«ng I, II, III, IV. NhƶƵng quaĆ«ng naĆøy coĆ¹ theĆ„ mua theĆ¢m Ć“Ć» thĆ² trƶƓĆøng. CaĆ¹c
soƔ lieƤu cho trong baƻng sau
SoĆ” lƶƓĆÆng yeĆ¢u caĆ u I II III IV
A ā„ 12 3 4 1,5 0
B=8 0 3 2 1
Cā¤6 1 2 1,5 2
Dā„7 2 0 3 1,5
GiaĆ¹ 1 ƱƓn vĆ² 7 6 8 5
HoĆ»i caĆ n mua moĆ£i loaĆÆi quaĆ«ng bao nhieĆ¢u ƱƓn vĆ² ƱeĆ„ cho toĆ„ng giaĆ¹ thaĆønh moƤt ƱƓn vĆ²
hĆ“ĆÆp chaĆ”t laĆø reĆ» nhaĆ”t.
HD: GoĆÆi xj ā„ 0 (j = 1, 2, 3, 4) laĆø soĆ” ƱƓn vĆ² quaĆ«ng thĆ¶Ć¹ j caĆ n phaĆ»i mua ƱeĆ„ trĆch ra caĆ¹c
ƱƓn chaĆ”t duĆøng cho cheĆ” taĆÆo hĆ“ĆÆp chaĆ”t. Ta coĆ¹ baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch
TƬm x = (x1 , x2, x3, x4 ) sao cho:
f (x) = 7x1 + 6x2 + 8x3 + 5x4 ā min
3x1 + 4x2 + 1.5x3 ā„ 12
3x2 + 2x3 + x4 = 8
x1 + 2x2 + 1.5x3 + 2x4 ā¤ 6
2x1 + 3x3 + 1.5x4 ā„ 7
xj ā„ 0, (j = 1, 2, 3, 4)
9
- 12. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
1.3. BaĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh khaĆ„u phaĆ n aĆŖn toĆ”i ƶu
BaĆøi toaĆ¹n: GiaĆ» sƶƻ khoĆ”i lƶƓĆÆng toĆ”i thieĆ„u veĆ caĆ¹c chaĆ”t dinh dƶƓƵng D1 , D2 , . . . , Dm cho
moƤt loaĆÆi gia suĆ¹c trong moƤt ngaĆøy; haĆøm lƶƓĆÆng caĆ¹c chaĆ”t dinh dƶƓƵng ƱoĆ¹ coĆ¹ trong moƤt ƱƓn
vĆ² thĆ¶Ć¹c aĆŖn F1, F2, . . . , Fn vaĆø giaĆ¹ mua moƤt ƱƓn vĆ² thĆ¶Ć¹c aĆŖn moĆ£i loaĆÆi ƱƶƓĆÆc cho trong baĆ»ng
sau
LoaĆÆi chaĆ”t KhoĆ”i lƶƓĆÆng LoaĆÆi thĆ¶Ć¹c aĆŖn
dinh dƶƓƵng toƔi thieƄu F1 F2 ... Fn
D1 b1 a11 a12 ... a1n
D2 b2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
Dm bm am1 am2 ... amn
GiaĆ¹ mua c1 c2 ... cn
NgƶƓĆøi ta quan taĆ¢m laĆø phaĆ»i mua moĆ£i loaĆÆi thĆ¶Ć¹c aĆŖn bao nhieĆ¢u ƱƓn vĆ² ƱeĆ„ chi phĆ mua
thĆ¶Ć¹c aĆŖn Ćt nhaĆ”t nhƶng ƱaĆ¹p Ć¶Ć¹ng ƱƶƓĆÆc nhu caĆ u dinh dƶƓƵng toĆ”i thieĆ„u moĆ£i ngaĆøy ƱƶƓĆÆc goĆÆi
laĆø baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh khaĆ„u phaĆ n aĆŖn toĆ”i ƶu. HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c
Ć±Ć²nh khaĆ„u phaĆ n aĆŖn toĆ”i ƶu ƱoĆ¹.
HD: GoĆÆi xj laĆø khoĆ”i lƶƓĆÆng thĆ¶Ć¹c aĆŖn Fj caĆ n mua vaĆø xj ā„ 0 (j = 1, 2, . . . , n)
ToĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t dinh dƶƓƵng Di coĆ¹ trong caĆ¹c thĆ¶Ć¹c aĆŖn caĆ n mua laĆø
ai1x1 + ai2 x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn (i = 1, 2, . . . , m)
ĆeĆ„ ƱaĆ¹p Ć¶Ć¹ng ƱƶƓĆÆc nhu caĆ u dinh dƶƓƵng toĆ”i thieĆ„u moĆ£i ngaĆøy thƬ toĆ„ng khoĆ”i lƶƓĆÆng chaĆ”t
dinh dƶƓƵng Di coĆ¹ trong caĆ¹c thĆ¶Ć¹c aĆŖn caĆ n mua khoĆ¢ng nhoĆ» hĆ“n khoĆ”i lƶƓĆÆng toĆ”i thieĆ„u moĆ£i
ngaĆøy veĆ chaĆ”t dinh dƶƓƵng ƱoĆ¹ neĆ¢n ta coĆ¹ ƱieĆ u kieƤn
ai1 x1 + ai2x2 + Ā· Ā· Ā· + ain xn ā„ bi
Khi ƱoĆ¹, toĆ„ng chĆ phĆ mua thĆ¶Ć¹c aĆŖn laĆø
c1 x1 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn
vaĆø
c1 x1 + c2x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā min
10
- 13. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VaƤy, moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh khaĆ„u phaĆ n aĆŖn toĆ”i ƶu laĆø
f (x) = c1 x2 + c2 x2 + Ā· Ā· Ā· + cn xn ā min
a11x1 + a12x2 + Ā· Ā· Ā· + a1n xn ā„ b1
a21x1 + a22x2 + Ā· Ā· Ā· + a2n xn ā„ b2
.....................................
am1 x1 + am2 x2 + Ā· Ā· Ā· + amn xn ā„ bm
xj ā„ 0 , j = 1, 2, . . . , n
VĆ duĆÆ 3.1: ĆeĆ„ nuoĆ¢i moƤt loaĆÆi gia suĆ¹c ngƶƓĆøi ta sƶƻ duĆÆng 3 loaĆÆi thĆ¶Ć¹c aĆŖn laĆø caĆ¹m, baĆ©p,
boƤt caĆ¹. TyĆ» leƤ (%) caĆ¹c chaĆ”t dinh dƶƓƵng ƱaĆÆm, ƱƶƓĆøng, beĆ¹o coĆ¹ trong caĆ¹c loaĆÆi thĆ¶Ć¹c aĆŖn caĆ¹m,
baĆ©p, boƤt caĆ¹ vaĆø giaĆ¹ 1 kg thĆ¶Ć¹c aĆŖn moĆ£i loaĆÆi ƱƶƓĆÆc cho nhƶ baĆ»ng sau
ChaĆ”t LoaĆÆi thĆ¶Ć¹c aĆŖn
dinh dƶƓƵng CaĆ¹m BaĆ©p BoƤt caĆ¹
ĆaĆÆm 10 10 20
ĆƶƓĆøng 20 15 10
BeĆ¹o 5 10 20
GiaĆ¹ mua (ƱoĆ ng) 2000 1000 2000
YeĆ¢u caĆ u trong khaĆ„u phaĆ n thĆ¶Ć¹c aĆŖn cuĆ»a loaĆÆi gia suĆ¹c naĆøy laĆø: ƱaĆÆm phaĆ»i coĆ¹ Ćt nhaĆ”t laĆø 70
g vaĆø nhieĆ u nhaĆ”t laĆø 90 g, ƱƶƓĆøng phaĆ»i coĆ¹ Ćt nhaĆ”t laĆø 80 g, chaĆ”t beĆ¹o phaĆ»i coĆ¹ Ćt nhaĆ”t 20 g vaĆø
nhieĆ u nhaĆ”t laĆø 60 g. HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh khoĆ”i lƶƓĆÆng thĆ¶Ć¹c
aĆŖn moĆ£i loaĆÆi caĆ n mua sao cho toĆ„ng chi phĆ thaĆ”p nhaĆ”t vaĆø baĆ»o ƱaĆ»m chaĆ”t lƶƓĆÆng theo yeĆ¢u
caĆ u ?
HD: GoĆÆi x1, x2 , x3 ā„ 0 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø khoĆ”i lƶƓĆÆng caĆ¹m, baĆ©p vaĆø boƤt caĆ¹ caĆ n mua ƱeĆ„ laĆøm
thĆ¶Ć¹c aĆŖn cho gia suĆ¹c.
11
- 14. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
PhaĆ¢n tĆch vaĆø laƤp luaƤn tƶƓng tƶĆÆ baĆøi toaĆ¹n treĆ¢n, ta coĆ¹ moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc
f (x) = 2x1 + x2 + 2x2 ā min
0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ā„ 70
0, 1x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ā¤ 90
0, 2x1 + 0, 15x2 + 0, 1x3 ā„ 80
0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ā„ 20
0, 05x1 + 0, 1x2 + 0, 2x3 ā¤ 60
xj ā„ 0 , j = 1, 2, 3
VĆ duĆÆ 3.2: CoĆ¢ng ty saĆ»n xuaĆ”t thĆ¶Ć¹c aĆŖn giaĆ¹ suĆ¹c coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t caĆ¹c bao thĆ¶Ć¹c aĆŖn
gia suĆ¹c coĆ¹ tyĆ» leƤ (%) chaĆ”t dinh dƶƓƵng cho moĆ£i bao theo tieĆ¢u chuaĆ„n sau
ChaƔt dinh dƶƓƵng Tyƻ leƤ toƔi thieƄu Tyƻ leƤ toƔi Ʊa
ĆaĆÆm 22,9 khoĆ¢ng haĆÆn cheĆ”
ĆƶƓĆøng 42 75
BeĆ¹o 9 15
XĆ“) 7,8 khoĆ¢ng haĆÆn cheĆ”
Cho bieĆ”t tyĆ» leƤ (%) caĆ¹c chaĆ”t dinh dƶƓƵng treĆ¢n trong caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n lieƤu vaĆø giaĆ¹ nguyeĆ¢n
lieƤu nhƶ sau
ChaĆ”t NguyeĆ¢n lieƤu
dinh dƶƓƵng CaĆ¹m GaĆÆo BaĆ©p BoƤt caĆ¹
ĆaĆÆm 15 8 10 62
ĆƶƓĆøng 60 50 60 6
BeĆ¹o 15 4 6 20
XĆ“ 2 15 9 3
GiaĆ¹ (ƱoĆ ng/kg) 3 2 1,2 5
HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh thaĆønh phaĆ n nguyeĆ¢n lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n
xuaĆ”t moƤt bao thĆ¶Ć¹c aĆŖn gia suĆ¹c ƱaĆÆt chaĆ”t lƶƓĆÆng vaĆø coĆ¹ giaĆ¹ reĆ» nhaĆ”t. BieĆ”t raĆØng moĆ£i bao thĆ¶Ć¹c
aĆŖn coĆ¹ troĆÆng lƶƓĆÆng 100 kg.
12
- 15. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
HD: GoĆÆi x1 , x2, x3, x4 ā„ 0 laĆø khoĆ”i lƶƓĆÆng (kg) caĆ¹m, gaĆÆo, baĆ©p, boƤt caĆ¹ coĆ¹ trong 1 bao
thĆ¶Ć¹c aĆŖn. Khi ƱoĆ¹ moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø
f (x) = 3x1 + 2x2 + 1, 2x3 + 5x4 ā min
x1 + x2 + x3 + x4 = 100
0, 15x1 + 0, 08x2 + 0, 1x3 + 0, 62x4 ā„ 22, 9
0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ā„ 42
0, 6x1 + 0, 5x2 + 0, 6x3 + 0, 06x4 ā¤ 75
0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ā„ 9
0, 15x1 + 0, 04x2 + 0, 06x3 + 0, 2x4 ā¤ 15
0, 02x1 + 0, 15x2 + 0, 09x3 + 0, 03x4 ā„ 7, 8
x1, x2, x3 , x4 ā„ 0
1.4. MoƤt soĆ” baĆøi toaĆ¹n khaĆ¹c
VĆ duĆÆ 4.1: CoĆ¢ng ty TieĆ¢u ĆieĆ u dƶĆÆ Ć±Ć²nh troĆ ng hai loaĆÆi caĆ¢y caĆø pheĆ¢ vaĆø tieĆ¢u treĆ¢n 3 khu
ƱaĆ”t A, B, C coĆ¹ dieƤn tĆch tƶƓng Ć¶Ć¹ng laĆø 50, 60, 40 ha. Do ƱaĆ«c ƱieĆ„m cuĆ»a caĆ¹c khu ƱaĆ”t khaĆ¹c
nhau neĆ¢n chi phĆ saĆ»n xuaĆ”t (trieƤu ƱoĆ ng/ha) vaĆø naĆŖng suaĆ”t (taĆÆ/ha) khaĆ¹c nhau vaĆø cho Ć“Ć» baĆ»ng
sau:
Khu ƱaĆ”t CaĆø pheĆ¢ TieĆ¢u
2 1,8
A 9 6
2,2 1,6
B 10 5
2,5 1,5
C 12 4
SoĆ” lieƤu Ć“Ć» goĆ¹c beĆ¢n traĆ¹i, phĆa treĆ¢n cuĆ»a moĆ£i oĆ¢ laĆø chi phĆ saĆ»n xuaĆ”t; Ć“Ć» goĆ¹c beĆ¢n phaĆ»i phĆa
dĆ¶Ć“Ć¹i cuĆ»a moĆ£i oĆ¢ laĆø naĆŖng suaĆ”t.
YeĆ¢u caĆ u saĆ»n lƶƓĆÆng cuĆ»a caĆø pheĆ¢ toĆ”i thieĆ„u laĆø 500 taĆÆ vaĆø tieĆ¢u toĆ”i thieĆ„u laĆø 420 taĆÆ.
HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh phƶƓng aĆ¹n phaĆ¢n phoĆ”i ƱaĆ”t troĆ ng sao cho ƱaĆ»m baĆ»o
yeĆ¢u caĆ u veĆ saĆ»n lƶƓĆÆng vĆ“Ć¹i chi phĆ thaĆ”p nhaĆ”t ?
13
- 16. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
HD: GoĆÆi x1, x2, x3 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø dieƤn tĆch (ha) khu ƱaĆ”t A,B,C duĆøng ƱeĆ„ troĆ ng caĆø pheĆ¢ vaĆø
x4, x5 , x6 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø dieƤn tĆch (ha) khu ƱaĆ”t A,B,C duĆøng ƱeĆ„ troĆ ng tieĆ¢u. Khi ƱoĆ¹ moĆ¢ hƬnh
toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø
f (x) = 2x1 + 2, 2x2 + 2, 5x3 + 1, 8x4 + 1, 6x5 + 1, 5x6 ā min
x1 + x4 ā¤ 50
x2 + x5 ā¤ 60
x3 + x6 ā¤ 40
9x1 + 10x2 + 12x3 ā„ 500
6x4 + 5x5 + 4x6 ā„ 420
xj ā„ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6
VĆ duĆÆ 4.2: MoƤt ngƶƓĆøi coĆ¹ soĆ” tieĆ n 80 trieƤu ƱoĆ ng dƶĆÆ Ć±Ć²nh ƱaĆ u tƶ vaĆøo caĆ¹c loaĆÆi hƬnh kinh
teĆ” sau:
+ Gƶƻi tieĆ”t kieƤm khoĆ¢ng kyĆø haĆÆn vĆ“Ć¹i laƵi suaĆ”t 7,5%/naĆŖm.
+ Gƶƻi tieĆ”t kieƤm coĆ¹ kyĆø haĆÆn vĆ“Ć¹i laƵi suaĆ”t 9,5%/naĆŖm.
+ Mua tĆn phieĆ”u vĆ“Ć¹i laƵi suaĆ”t 10%/naĆŖm
+ Cho doanh nghieƤp tƶ nhaĆ¢n vay vĆ“Ć¹i laƵi suaĆ”t 13%/naĆŖm.
VƬ moĆ£i loaĆÆi hƬnh ƱaĆ u tƶ ƱeĆ u coĆ¹ ƶu khuyeĆ”t, ruĆ»i ro cuĆ»a noĆ¹ neĆ¢n ngƶƓĆøi ƱoĆ¹ quyeĆ”t Ć±Ć²nh
ƱaĆ u tƶ theo caĆ¹c chƦ daĆ£n sau ƱaĆ¢y cuĆ»a nhaĆø tƶ vaĆ”n:
(1) KhoĆ¢ng cho doanh nghieƤp vay quaĆ¹ 20% soĆ” tieĆ n.
(2) SoĆ” tieĆ n mua tĆn phieĆ”u khoĆ¢ng ƱƶƓĆÆc vƶƓĆÆt quaĆ¹ toĆ„ng soĆ” tieĆ n ƱaĆ u tƶ vaĆøo 3 loaĆÆi hƬnh
kia.
(3) ĆaĆ u tƶ Ćt nhaĆ”t 30% toĆ„ng soĆ” tieĆ n vaĆøo gƶƻi tieĆ”t kieƤm coĆ¹ kyĆø haĆÆn vaĆø mua tĆn phieĆ”u.
(4) TyĆ» leƤ tieĆ n gƶƻi tieĆ”t kieƤm khoĆ¢ng kyĆø haĆÆn vaĆø coĆ¹ kyĆø haĆÆn khoĆ¢ng vƶƓĆÆt quaĆ¹ 1/3.
HaƵy laƤp moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n xaĆ¹c Ć±Ć²nh soĆ” tieĆ n ƱaĆ u tƶ vaĆø moĆ£i loaĆÆi hƬnh
kinh teĆ” ƱeĆ„ toĆ„ng soĆ” tieĆ n lĆ“Ćøi ƱaĆÆt ƱƶƓĆÆc cao nhaĆ”t vaĆø tuaĆ¢n theo caĆ¹c chƦ daĆ£n cuĆ»a nhaĆø ƱaĆ u tƶ.
BieĆ”t raĆØng ngƶƓĆøi ƱoĆ¹ quyeĆ”t Ć±Ć²nh ƱaĆ u tƶ heĆ”t soĆ” tieĆ n Ʊang coĆ¹.
HD: GoĆÆi x1 , x2, x3 , x4 ā„ 0 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø soĆ” tieĆ n (trieƤu ƱoĆ ng) ƱaĆ u tƶ vaĆøo gƶƻi tieĆ”t kieƤm
khoĆ¢ng kyĆø haĆÆn, gƶƻi tieĆ”t kieƤm coĆ¹ kyĆø haĆÆn, mua tĆn phieĆ”u, cho doanh nghieƤp tƶ nhaĆ¢n vay.
14
- 17. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
MoĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc laĆø baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 0, 075x1 + 0, 095x2 + 0, 1x3 + 0, 13x4 ā max
x1 + x2 + x3 + x4 = 80.000.000
x4 ā¤ 16.000.000
x1 + x2 ā x3 + x4 ā„ 0
x2 + x3 ā„ 24.000.000
3x1 ā x2 ā¤ 0
x1, x2 , x3, x4 ā„ 0
15
- 18. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ā§2. CAĆC KHAĆI NIEĆM CĆ BAĆN CUĆA
BAĆI TOAĆN QUY HOAĆCH TUYEĆN TĆNH
2.1. DaĆÆng toĆ„ng quaĆ¹t cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh
BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh laĆø baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng nhƶ sau:
f (x) = c1 x1 + c2x2 + . . . + cn xn ā max (min) (1)
ļ£® ļ£¹
ā„
ļ£Æ ļ£ŗ
ļ£Æ ļ£ŗ
ai1 x1 + ai2x2 + . . . + ain xn ļ£Æ ā¤ ļ£ŗ bi (2)
ļ£° ļ£»
=
ļ£® ļ£¹
ā„0
ļ£Æ ļ£ŗ
ļ£Æ ļ£ŗ
xj ļ£Æ ā¤ 0 ļ£ŗ (3)
ļ£° ļ£»
tuyĆø yĆ¹
vĆ“Ć¹i: i = 1, 2, . . . , m vaĆø j = 1, 2, . . . , n
Trong ƱoĆ¹:
+ (1) ƱƶƓĆÆc goĆÆi laĆø haĆøm muĆÆc tieĆ¢u cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh. NeĆ”u f (x) ā
max thƬ goĆÆi laĆø baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi, f (x) ā min thƬ goĆÆi laĆø baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u.
+ (2) goĆÆi laĆø heƤ raĆøng buoƤc chĆnh cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
+ (3) goĆÆi laĆø heƤ raĆøng buoƤc daĆ”u cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n hay ƱieĆ u kieƤn veĆ daĆ”u cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n soĆ”.
+ (2) vaĆø (3) goĆÆi chung laĆø heƤ raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
VĆ duĆÆ: Cho caĆ¹c baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau:
1.1).
f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 ā max
2x1 + 3x2 + 2x3 ā¤ 240
x1 + 2x2 + x3 ā¤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ā¤ 400
x1, x2 , x3 ā„ 0
16
- 19. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
1.2).
f (x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 ā max
2x1 + 3x2 + 2x3 ā¤ 240
x1 + 2x2 + x3 ā¤ 200
4x1 + x2 + 2x3 ā¤ 400
x1, x2 , x3 ā„ 0
1.3).
f (x) = 1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 ā min
x1 + 0, 3x4 + 0, 5x5 + 0, 4x6 = 0, 2
x2 + 0, 4x4 + 0, 2x5 + 0, 35x6 = 0, 3
x3 + 0, 3x4 + 0, 3x5 + 0, 25x6 = 0, 5
xj ā„ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6
2.2. PhƶƓng aĆ¹n - PhƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n
Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh (P) vĆ“Ć¹i n aĆ„n nhƶ treĆ¢n.
PhƶƓng aĆ¹n: MoƤt boƤ n soĆ” thƶĆÆc xā = (xā, xā , . . . , xā ) thoaĆ» maƵn heƤ raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi
1 2 n
toaĆ¹n (P) thƬ ƱƶƓĆÆc goĆÆi laĆø moƤt phƶƓng aĆ¹n hay lĆ“Ćøi giaĆ»i chaĆ”p nhaƤn ƱƶƓĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n (P).
MoƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh coĆ¹ theĆ„ coĆ¹ nhieĆ u lĆ“Ćøi giaĆ»i chaĆ”p nhaƤn ƱƶƓĆÆc (phƶƓng
aĆ¹n), thƶĆÆc teĆ” ngƶƓĆøi ta thƶƓĆøng quan taĆ¢m ƱeĆ”n nhƶƵng phƶƓng aĆ¹n toĆ”t nhaĆ”t (toĆ”i ƶu) trong
taƤp caĆ¹c phƶƓng aĆ¹n cuĆ»a noĆ¹.
PhƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n: CoĆøn goĆÆi laĆø phƶƓng aĆ¹n cƶĆÆc bieĆ¢n - laĆø phƶƓng aĆ¹n thoaĆ» maƵn chaĆ«t
Ćt nhaĆ”t n raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n (P).
MoƤt phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n thoaĆ» maƵn chaĆ«t ƱuĆ¹ng n raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n thƬ goĆÆi laĆø
phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n khoĆ¢ng suy bieĆ”n.
VĆ duĆÆ 2.1: XeĆ¹t baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh (P) sau:
f (x) = 3x1 + x2 ā x3 ā max
x1 ā x3 = 2
x2 + x3 = 3
x1, x2 , x3 ā„ 0
17
- 20. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
CaĆŖn cĆ¶Ć¹ vaĆøo hai raĆøng buoƤc chĆnh vaĆø ƱieĆ u kieƤn veĆ daĆ”u cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n, ta suy ra taƤp caĆ¹c
phƶƓng aĆ¹n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n (P) laĆø:
X = {xĪ± = (2 + Ī±, 3 ā Ī±, Ī±)|0 ā¤ Ī± ā¤ 3}
+ VĆ“Ć¹i Ī± = 0, ta coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n x0 = (2, 3, 0)
+ VĆ“Ć¹i Ī± = 1, ta coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n x1 = (3, 2, 1)
HaƵy kieĆ„m tra xem hai phƶƓng aĆ¹n treĆ¢n coĆ¹ phaĆ»i laĆø phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n ƱaƵ
cho khoĆ¢ng ?
2.3. PhƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu
PhƶƓng aĆ¹n x0 ƱƶƓĆÆc goĆÆi laĆø phƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu (PATU) cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch (P) neĆ”u
f (x0 ) laĆø giaĆ¹ trĆ² lĆ“Ć¹n nhaĆ”t (nhoĆ» nhaĆ”t) treĆ¢n taƤp phƶƓng aĆ¹n X cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n. Khi ƱoĆ¹ ta noĆ¹i
x0 laĆø PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n vaĆø f (x0 ) laĆø giaĆ¹ trĆ² toĆ”i ƶu.
GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh laĆø Ʊi tƬm PATU vaĆø giaĆ¹ trĆ² toĆ”i ƶu (GTTU) cuĆ»a baĆøi
toaĆ¹n.
Trong quaĆ¹ trƬnh giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh (QHTT) ta gaĆ«p caĆ¹c trƶƓĆøng hĆ“ĆÆp
sau:
+ BaĆøi toaĆ¹n QHTT chƦ coĆ¹ moƤt PATU hoaĆ«c coĆ¹ voĆ¢ soĆ” PATU.
+ BaĆøi toaĆ¹n QHTT khoĆ¢ng coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n hoaĆ«c coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n nhƶng haĆøm muĆÆc tieĆ¢u
khoĆ¢ng bĆ² chaĆ«n treĆ¢n (neĆ”u baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi) hay khoĆ¢ng bĆ² chaĆ«n dĆ¶Ć“Ć¹i (neĆ”u baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc
tieĆ„u) treĆ¢n taƤp phƶƓng aĆ¹n. Khi ƱoĆ¹ baĆøi toaĆ¹n goĆÆi laĆø khoĆ¢ng giaĆ»i ƱƶƓĆÆc (khoĆ¢ng coĆ¹ PATU).
2.4. MoƤt soĆ” tĆnh chaĆ”t cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh
i). MoƤt baĆøi toaĆ¹n QHTT coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n thƬ noĆ¹ coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n (hƶƵu haĆÆn).
ii). BaĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi (cƶĆÆc tieĆ„u) coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n vaĆø haĆøm muĆÆc tieĆ¢u bĆ² chaĆ«n treĆ¢n (chaĆ«n
dĆ¶Ć“Ć¹i) thƬ baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ PATU.
iii). BaĆøi toaĆ¹n QHTT coĆ¹ PATU thƬ coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n toĆ”i ƶu.
iv. NeĆ”u baĆøi toaĆ¹n QHTT coĆ¹ hĆ“n 1 PATU thƬ baĆøi toaĆ¹n ƱoĆ¹ coĆ¹ voĆ¢ soĆ” PATU.
CaĆ¹c tĆnh chaĆ”t treĆ¢n ta seƵ giaĆ»i thĆch baĆØng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc.
18
- 21. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ā§3. PHĆĆNG PHAĆP HĆNH HOĆC
BaĆØng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc giuĆ¹p ta deĆ£ hƬnh dung vaĆø hieĆ„u ƱƶƓĆÆc baĆøi toaĆ¹n hĆ“n. Trong
baĆøi naĆøy, sƶƻ duĆÆng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc muĆÆc ƱĆch laĆø giaĆ»i thĆch vaĆø laĆøm roƵ hĆ“n moƤt soĆ”
tĆnh chaĆ”t Ć“Ć» treĆ¢n. DuĆøng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc ta coĆ¹ theĆ„ tƬm ƱƶƓĆÆc phƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu cuĆ»a
baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh 2 aĆ„n. CaĆ¹c baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ soĆ” aĆ„n nhieĆ u hĆ“n chƦ laĆø sƶĆÆ mĆ“Ć» roƤng
cuĆ»a giaĆ»i thĆch ƱoĆ¹ nhƶng khaĆ¹ phĆ¶Ć¹c taĆÆp.
3.1. PhƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc
Ta coĆ¹ theĆ„ giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh 2 aĆ„n baĆØng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc nhƶ
sau:
BĆ¶Ć“Ć¹c 1: BieĆ„u dieĆ£n taƤp phƶƓng aĆ¹n X treĆ¢n maĆ«t phaĆŗng Oxy
TreĆ¢n cuĆøng moƤt maĆ«t phaĆŗng toaĆÆ Ć±oƤ Oxy, veƵ vaĆø bieĆ„u dieĆ£n nghieƤm cuĆ»a taĆ”t caĆ» caĆ¹c baĆ”t
phƶƓng trƬnh (hay phƶƓng trƬnh) cuĆ»a heƤ raĆøng buoƤc roĆ i xaĆ¹c Ć±Ć²nh phaĆ n giao cuĆ»a caĆ¹c
nghieƤm ƱoĆ¹ - TaƤp phƶƓng aĆ¹n X cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
BĆ¶Ć“Ć¹c 2: BieĆ„u dieĆ£n veĆ¹ctĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n vaĆø haĆøm muĆÆc tieĆ¢u
VeƵ veĆ¹ctĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n (ā ) cuĆ»a ƱƶƓĆøng thaĆŗng haĆøm muĆÆc tieĆ¢u, sau ƱoĆ¹ veƵ moƤt ƱƶƓĆøng
ān
thaĆŗng (d) vuoĆ¢ng goĆ¹c vĆ“Ć¹i veĆ¹ctĆ“ ƱoĆ¹ thƬ (d) chĆnh laĆø ƱƶƓĆøng thaĆŗng cuĆ»a haĆøm muĆÆc tieĆ¢u.
BĆ¶Ć“Ć¹c 3: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n
BaĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi coĆ¹ haĆøm muĆÆc tieĆ¢u daĆÆng: z = ax + by ā max
Cho (d) di chuyeĆ„n theo hĆ¶Ć“Ć¹ng cuĆ»a veĆ¹ctĆ“ ā : ā
n
i). ĆieĆ„m cuoĆ”i cuĆøng maĆø (d) Ʊi ra khoĆ»i mieĆ n X thƬ ƱieĆ„m ƱoĆ¹ laĆø PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
TrƶƓĆøng hĆ“ĆÆp (d) ra khoĆ»i mieĆ n X theo moƤt ƱoaĆÆn thaĆŗng thƬ baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ voĆ¢ soĆ” PATU (moĆ£i
ƱieĆ„m thuoƤc ƱoaĆÆn thaĆŗng laĆø moƤt PATU) vaĆø khi ƱoĆ¹ hai ƱieĆ„m ƱaĆ u cuĆ»a ƱoaĆÆn thaĆŗng ƱoĆ¹ laĆø hai
PACB toĆ”i ƶu. Do ƱoĆ¹ baĆøi toaĆ¹n QHTT coĆ¹ hĆ“n moƤt PATU thƬ coĆ¹ voĆ¢ soĆ” PATU (tĆnh chaĆ”t 4).
ii). TrƶƓĆøng hĆ“ĆÆp (d) luoĆ¢n luoĆ¢n giao vĆ“Ć¹i mieĆ n X khi di chuyeĆ„n thƬ baĆøi toaĆ¹n khoĆ¢ng coĆ¹
PATU.
Khi mieĆ n X laĆø moƤt Ʊa giaĆ¹c loĆ i thƬ caĆ¹c ƱƦnh cuĆ»a Ʊa giaĆ¹c chĆnh laĆø caĆ¹c phƶƓng aĆ¹n cĆ“
baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n, do ƱoĆ¹ phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n coĆøn ƱƶƓĆÆc goĆÆi laĆø phƶƓng aĆ¹n cƶĆÆc bieĆ¢n.
19
- 22. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
TrƶƓĆøng hĆ“ĆÆp giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u coĆ¹ haĆøm muĆÆc tieĆ¢u: z = ax + by ā min
Thao taĆ¹c tƶƓng tƶĆÆ baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi chƦ khaĆ¹c laĆø cho (d) di chuyeĆ„n ngƶƓĆÆc hĆ¶Ć“Ć¹ng cuĆ»a
ā
ā.
n
VĆ duĆÆ 1.1: TƬm PATU vaĆø GTTU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n sau:
z = 2x + y ā max
2x + y ā„ 2
āx + 2y ā¤ 6
5x ā y ā¤ 15
x, y ā„ 0
HD: VeƵ vaĆø bieĆ„u dieĆ£n mieĆ n nghieƤm cuĆ»a 5 raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n treĆ¢n cuĆøng maĆ«t phaĆŗng
toaĆÆ Ć±oƤ Oxy, ta xaĆ¹c Ć±Ć²nh ƱƶƓĆÆc taƤp phƶƓng aĆ¹n X cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø nguƵ giaĆ¹c loĆ i ABCDE vĆ“Ć¹i
A(0,2); B(0,3); C(4,5); D(3,0); E(1,0). VeƵ veĆ¹ctĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n ā = (2, 1) vaĆø ƱƶƓĆøng thaĆŗng
ā
n
2x + y = z (haĆøm muĆÆc tieĆ¢u) treĆ¢n mieĆ n ABCDE.
20
- 23. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
TƬm PATU vaĆø GTTU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n: Cho (d) di chuyeĆ„n theo hĆ¶Ć“Ć¹ng vectĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n
ā
ā thƬ ƱieĆ„m cuoĆ”i cuĆøng maĆø (d) Ʊi ra khoĆ»i mieĆ n ABCDE laĆø C(4, 5). VaƤy PATU cuĆ»a baĆøi
n
toaĆ¹n laĆø x0 = (4, 5) vaĆø GTTU laĆø z(x0) = 2 Ć 4 + 5 = 13.
VĆ duĆÆ 1.2: TƬm PATU vaĆø GTTU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n sau:
z = 2x + y ā min
2x + y ā„ 2
āx + 2y ā¤ 6
5x ā y ā¤ 15
x, y ā„ 0
HD: ĆaĆ¢y laĆø baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u, do ƱoĆ¹ ƱeĆ„ tƬm PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n thƬ ta di chuyeĆ„n
(d) ngƶƓĆÆc hĆ¶Ć“Ć¹ng vectĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n ā . Khi naĆøy ƱƶƓĆøng thaĆŗng(d) ra khoĆ»i mieĆ n ABCDE
ā
n
khoĆ¢ng phaĆ»i laĆø moƤt ƱieĆ„m maĆø laĆø theo moƤt ƱoaĆÆn thaĆŗng AE, neĆ¢n ta keĆ”t luaƤn baĆøi toaĆ¹n coĆ¹
voĆ¢ soĆ” PATU vaĆø moĆ£i ƱieĆ„m M0 (x0 , y0) treĆ¢n ƱoaĆÆn thaĆŗng AE laĆø moƤt PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n vaĆø
hai ƱieĆ„m A(0, 2); E(1, 0) laĆø 2 phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n toĆ”i ƶu. GiaĆ¹ tri toĆ”i ƶu cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø:
zmin = 2.
3.2. YĆ nghĆ³a hƬnh hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh
TreĆ¢n maĆ«t phaĆŗng toaĆÆ Ć±oƤ Oxy, moĆ£i phƶƓng trƬnh daĆÆng ax + by = c ƱƶƓĆÆc bieĆ„u dieĆ£n
baĆØng moƤt ƱƶƓĆøng thaĆŗng vaĆø moĆ£i ƱieĆ„m treĆ¢n ƱƶƓĆøng thaĆŗng ƱoĆ¹ laĆø moƤt nghieƤm cuĆ»a phƶƓng.
CaĆ¹c baĆ”t phƶƓng trƬnh daĆÆng ax + by ā¤ c hay ax + by ā„ c thƬ nghieƤm cuĆ»a noĆ¹ ƱƶƓĆÆc
bieĆ„u dieĆ£n baĆØng moƤt nƶƵa maĆ«t phaĆŗng coĆ¹ bĆ“Ćø laĆø ƱƶƓĆøng thaĆŗng ax + by = c.
ĆoĆ”i vĆ“Ć¹i moƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh ƱƓn giaĆ»n 2 aĆ„n coĆ¹ nhieĆ u raĆøng buoƤc, thƬ
taƤp phƶƓng aĆ¹n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø moƤt mieĆ n phaĆŗng thƶƓĆøng laĆø moƤt Ʊa giaĆ¹c loĆ i, moĆ£i ƱieĆ„m
M(x, y) treĆ¢n mieĆ n phaĆŗng ƱoĆ¹ laĆø moƤt phƶƓng aĆ¹n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n. Tuy nhieĆ¢n, ƱoĆ¢i khi ta cuƵng
coĆ¹ theĆ„ gaĆ«p caĆ¹c baĆøi toaĆ¹n maĆø taƤp phƶƓng aĆ¹n laĆø taƤp roĆ£ng hoaĆ«c chƦ coĆ¹ moƤt ƱieĆ„m duy nhaĆ”t.
21
- 24. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 2.1: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n sau baĆØng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc
z = 3x + 5y ā max
2x + y ā¤ 8
xā¤3
yā¤4
x, y ā„ 0
HD: VeƵ vaĆø bieĆ„u dieĆ£n mieĆ n nghieƤm cuĆ»a 5 raĆøng buoƤc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n treĆ¢n cuĆøng maĆ«t
phaĆŗng toaĆÆ Ć±oƤ Oxy, ta xaĆ¹c Ć±Ć²nh ƱƶƓĆÆc taƤp phƶƓng aĆ¹n X cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø nguƵ giaĆ¹c loĆ i
OABCD vĆ“Ć¹i O(0, 0); A(0, 4); B(2, 4); C(3, 2); D(3, 0). VeƵ veĆ¹ctĆ“ phaĆ¹p tuyeĆ”n ā = (3, 5)
ā
n
vaĆø ƱƶƓĆøng thaĆŗng 3x + 5y = z (haĆøm muĆÆc tieĆ¢u) treĆ¢n mieĆ n OABCD.
TƬm PATU vaĆø GTTU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n ?
22
- 25. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 2.1: GiaĆ»i caĆ¹c baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n sau baĆØng phƶƓng phaĆ¹p hƬnh hoĆÆc
a). z = x + 2y ā max(min)
6x + y ā„ 18
x + 4y ā„ 12
2x + y ā„ 10
x, y ā„ 0
b). z = āx + y ā min(max)
āx ā 2y ā¤ 6
x ā 2y ā¤ 4
āx + y ā¤ 1
x, y ā¤ 0
23
- 26. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ā§4. DAĆNG CHĆNH TAĆC, DAĆNG CHUAĆ
N
CUĆA BAĆI TOAĆN QUY HOAĆCH TUYEĆN TĆNH
4.1. DaĆÆng chĆnh taĆ©c
MoƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh ƱƶƓĆÆc goĆÆi laĆø coĆ¹ daĆÆng chĆnh taĆ©c neĆ”u baĆøi toaĆ¹n coĆ¹
daĆÆng nhƶ sau:
f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn ā max(min)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , n
MoƤt lƶu yĆ¹ Ć“Ć» ƱaĆ¢y laĆø: caĆ¹c raĆøng buoƤc chĆnh laĆø caĆ¹c phƶƓng trƬnh vaĆø caĆ¹c aĆ„n ƱeĆ u khoĆ¢ng
aĆ¢m.
Khi ƱoĆ¹, ma traƤn heƤ soĆ” cuĆ»a heƤ raĆøng buoƤc chĆnh, kĆ hieƤu laĆø A
ļ£« ļ£¶
a a12 Ā· Ā· Ā· a1n
ļ£¬ 11 ļ£·
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ a21 a22 Ā· Ā· Ā· a2v ļ£·
A=ļ£¬ ļ£¬ ..
ļ£·
ļ£·
ļ£¬ Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· . Ā·Ā·Ā· ļ£·
ļ£ ļ£ø
am1 am2 Ā· Ā· Ā· amn
goĆÆi laĆø ma traƤn ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n. Trong ma traƤn A: coƤt j, laĆø coƤt heƤ soĆ” cuĆ»a aĆ„n
xj trong heƤ raĆøng buoƤc chĆnh
ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶
a a a a
ļ£¬ 11 ļ£· ļ£¬ 12 ļ£· ļ£¬ 1j ļ£· ļ£¬ 1n ļ£·
ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ a21 ļ£· ļ£¬ a22 ļ£· ļ£¬ a2j ļ£· ļ£¬ a2n ļ£·
A1 = ļ£¬ . ļ£·
ļ£¬ . ļ£· A1 = ļ£¬ .
ļ£¬ .
ļ£·
ļ£· Ā·Ā·Ā· Aj = ļ£¬ .
ļ£¬ .
ļ£·
ļ£· Ā·Ā·Ā· An = ļ£¬ .
ļ£¬ .
ļ£·
ļ£·
ļ£¬ . ļ£· ļ£¬ . ļ£· ļ£¬ . ļ£· ļ£¬ . ļ£·
ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø
am1 am2 amj amn
goĆÆi laĆø coƤt ƱieĆ u kieƤn hay veĆ¹ctĆ“ ƱieĆ u kieƤn.
24
- 27. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 1.1: XeĆ¹t baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 + x4 + 2x5 + x6 ā max
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 15
x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 12
4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 10
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 6
BaĆøi toaĆ¹n coĆ¹ 3 raĆøng buoƤc chĆnh ƱeĆ u laĆø phƶƓng trƬnh vaĆø 6 aĆ„n ƱeĆ u khoĆ¢ng aĆ¢m neĆ¢n baĆøi
toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng chĆnh taĆ©c. Ma traƤn ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø
ļ£« ļ£¶
2 3 3 1 0 0
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
A=ļ£¬ 1 3 5 0 1 0 ļ£·
ļ£ ļ£ø
4 8 1 0 0 1
vaĆø 6 veĆ¹ctĆ“ ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a 6 aĆ„n x1 , x2, x3, x4, x5 , x6 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø
ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶ ļ£« ļ£¶
2 3 3 1 0 0
ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£· ļ£¬ ļ£·
A1 = ļ£¬ 1 ļ£· , A2 = ļ£¬ 3 ļ£· , A3 = ļ£¬ 5 ļ£· , A4 = ļ£¬ 0 ļ£· , A5 = ļ£¬ 1 ļ£· , A6 = ļ£¬ 0 ļ£·
ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø ļ£ ļ£ø
4 8 1 0 0 1
ĆĆ²nh lyĆ¹: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng chĆnh taĆ©c sau
f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn ā max(min)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1n xn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
am1x1 + am2x2 + . . . + amn xn = bm
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , n
ĆieĆ u kieƤn caĆ n vaĆø ƱuĆ» ƱeĆ„ phƶƓng aĆ¹n x0 = (x0, x0 , . . . , x0 ) laĆø moƤt phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n
1 2 n
cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø heƤ veĆ¹ctĆ“ ƱieĆ u kieƤn Aj |x0 > 0 ƱoƤc laƤp tuyeĆ”n tĆnh.
j
VĆ duĆÆ 1.2: Trong vĆ duĆÆ 1.1 treĆ¢n thƬ x0 = (0, 0, 0, 15, 12, 10) laĆø moƤt phƶƓng aĆ¹n cuĆ»a
baĆøi toaĆ¹n.
25
- 28. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ta coĆ¹ {A4 = (1, 0, 0), A5 = (0, 1, 0), A6 = (0, 0, 1)} laĆø heƤ veĆ¹ctĆ“ ƱoƤc laƤp tuyeĆ”n tĆnh
neĆ¢n x0 laĆø moƤt phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
ChuĆ¹ yĆ¹, trong baĆøi toaĆ¹n Ć“Ć» vĆ duĆÆ 1.1 treĆ¢n caĆ¹c aĆ„n x4, x5, x6 chƦ xuaĆ”t hieƤn trong moƤt
phƶƓng trƬnh (raĆøng buoƤc) cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n vaĆø heƤ soĆ” cuĆ»a chuĆ¹ng ƱeĆ u baĆØng 1. VƬ vaƤy, ƱeĆ„ xaĆ¹c
Ć±Ć²nh moƤt phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n ta chƦ vieƤc cho caĆ¹c aĆ„n x1, x2, x3 baĆØng 0.
BieĆ”n ƱoĆ„i Ʊƶa baĆøi toaĆ¹n veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c
VĆ“Ć¹i moƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n chƶa coĆ¹ daĆÆng chĆnh taĆ©c ta coĆ¹ theĆ„ bieĆ”n ƱoĆ„i ƱeĆ„ Ʊƶa
veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c tƶƓng ƱƶƓng vĆ“Ć¹i noĆ¹ baĆØng caĆ¹c caĆ¹ch sau
i). RaĆøng buoƤc chĆnh coĆ¹ daĆÆng:
ā ai1x1 + Ā· Ā· Ā· + ain xn ā¤ bi thƬ (+ xn+1 ) vaĆøo veĆ” traĆ¹i, luĆ¹c ƱoĆ¹:
ai1x1 + Ā· Ā· Ā· + ain xn + xn+1 = bi
ā ai1x1 + Ā· Ā· Ā· + ain xn ā„ bi thƬ (ā xn+1 ) vaĆøo veĆ” traĆ¹i, luĆ¹c ƱoĆ¹:
ai1x1 + Ā· Ā· Ā· + ain xn ā xn+1 = bi
Lƶu yĆ¹: Khi theĆ¢m caĆ¹c aĆ„n phuĆÆ vaĆøo veĆ” traĆ¹i caĆ¹c raĆøng buoƤc chĆnh thƬ haĆøm muĆÆc tieĆ¢u
khoĆ¢ng thay ƱoĆ„i (tĆ¶Ć¹c laĆø heƤ soĆ” cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n phuĆÆ Ć“Ć» haĆøm muĆÆc tieĆ¢u baĆØng 0).
ii). NeĆ”u coĆ¹ xj < 0 thƬ ƱaĆ«t xj = āxj , luĆ¹c ƱoĆ¹ xj > 0
NeĆ”u xj daĆ”u tuyĆø yĆ¹ thƬ ƱaĆ«t xj = xj ā xj (xj , xj ā„ 0)
VĆ duĆÆ 1.3: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh
z = x1 + 3x2 + 2x3 ā max
x1 + x2 ā 2x3 ā¤ 3
3x1 ā 2x2 + x3 = 4
2x1 + 4x2 + x3 ā„ 6
x1 ā„ 0, x2 ā¤ 0
HaƵy bieĆ”n ƱoĆ„i Ʊƶa baĆøi toaĆ¹n veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c ?
HD: HeƤ raĆøng buoƤc chĆnh coĆ¹ 2 baĆ”t phƶƓng trƬnh, aĆ„n x2 ā¤ 0 vaĆø aĆ„n x3 coĆ¹ daĆ”u tuy yĆ¹
neĆ¢n ta thƶĆÆc hieƤn caĆ¹c pheĆ¹p bieĆ”n ƱoĆ„i sau ƱeĆ„ Ʊƶa baĆøi toaĆ¹n veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c
26
- 29. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
+ TheĆ¢m vaĆøo baĆøi toaĆ¹n 2 aĆ„n phuĆÆ laĆø x4, x5 ā„ 0
+ ĆaĆ«t x2 = āx2 vaĆø x3 = x3 ā x3 vĆ“Ć¹i x3, x3 ā„ 0
Khi ƱoĆ¹ ta ƱƶƓĆÆc baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng chĆnh taĆ©c tƶƓng ƱƶƓng vĆ“Ć¹i baĆøi toaĆ¹n goĆ”c nhƶ sau
z = x1 ā 3x2 + 2x3 ā 2x3 ā max
x1 ā x2 ā 2x3 + 2x3 + x4 = 3
3x1 + 2x2 + x3 ā x3 = 4
2x1 ā 4x2 + x3 ā x3 + x5 = 6
x1 , x2, x3, x3 , x4, x5 ā„ 0
VĆ duĆÆ 1.4: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh
f (x) = x1 + 2x2 ā x3 + 3x4 ā min
x1 ā x2 + x3 + 2x4 = 8
x1 + x2 + 2x3 ā x4 ā¤ 25
āx1 + x2 ā x3 + x4 ā„ 17
x1, x2 ā„ 0, x3 ā¤ 0
HaƵy bieĆ”n ƱoĆ„i Ʊƶa baĆøi toaĆ¹n veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c tƶƓng ƱƶƓng ?
4.2. DaĆÆng chuaĆ„n
BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng chuaĆ„n laĆø baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng sau
f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn ā max(min)
x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1
x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , n
bi ā„ 0, i = 1, 2, . . . , m
Trong ƱoĆ¹: x1 , x2, . . . , xm goĆÆi laĆø caĆ¹c aĆ„n cĆ“ baĆ»n, xi (i = 1, 2, . . . , m) laĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n thĆ¶Ć¹
i vaĆø xm+1 , . . . , xn laĆø aĆ„n tƶĆÆ do.
27
- 30. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Khi ƱoĆ¹ ma traƤn ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng chuaĆ„n laĆø
ļ£« ļ£¶
1 0 Ā·Ā·Ā· 0 a1m+1 Ā· Ā· Ā· a1n
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ 0 1 Ā·Ā·Ā· 0 a2m+1 Ā· Ā· Ā· a2n ļ£·
A=ļ£¬ ļ£¬
ļ£·
ļ£·
ļ£¬ Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· Ā·Ā·Ā· ļ£·
ļ£ ļ£ø
0 0 Ā·Ā·Ā· 1 amm+1 Ā· Ā· Ā· amn
HaƵy chƦ ra caĆ¹c ƱieĆ„m khaĆ¹c nhau cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng
chuaĆ„n vaĆø daĆÆng chĆnh taĆ©c ?
BaĆøi toaĆ¹n QHTT daĆÆng chuaĆ„n laĆø baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chĆnh taĆ©c coĆ¹ soĆ” haĆÆng tƶĆÆ do ƱeĆ u khoĆ¢ng
aĆ¢m vaĆø ma traƤn ƱieĆ u kieƤn coĆ¹ chĆ¶Ć¹a moƤt ma traƤn ƱƓn vĆ² caĆ”p m (neĆ”u baĆøi toaĆ¹n QHTT coĆ¹ m
raĆøng buoƤc chĆnh).
Trong baĆøi toaĆ¹n QHTT daĆÆng chuaĆ„n neĆ”u cho caĆ¹c aĆ„n tƶĆÆ do ƱeĆ u nhaƤn giaĆ¹ trĆ² 0 thƬ caĆ¹c
aĆ„n cĆ“ baĆ»n xi = bi (i = 1, 2, . . . , m). Khi ƱoĆ¹ ta ƱƶƓĆÆc moƤt phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n
vaĆø goĆÆi laĆø phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n xuaĆ”t phaĆ¹t cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
VĆ duĆÆ 2.1: XeĆ¹t baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 2x1 + x2 ā x3 + 3x4 ā x5 + 2x6 ā max
3x1 + x2 + 2x3 + x5 = 22
āx1 + 3x5 + x6 = 7
2x1 + 4x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 6
HD: BaĆøi toaĆ¹n treĆ¢n ƱaƵ coĆ¹ daĆÆng chĆnh taĆ©c, vĆ“Ć¹i caĆ¹c soĆ” haĆÆng tƶĆÆ do ƱeĆ u dƶƓng vaĆø ma
traƤn ƱieĆ u kieƤn laĆø ļ£« ļ£¶
3 1 2 0 1 0
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
A = ļ£¬ ā1 0 0 0 3 1 ļ£·
ļ£ ļ£ø
2 0 4 1 7 0
Trong ma traƤn A, caĆ¹c coƤt veĆ¹ctĆ“ ƱieĆ u kieƤn A2, A6 , A4 Ć¶Ć¹ng vĆ“Ć¹i caĆ¹c aĆ„n x2, x6, x4 taĆÆo
thaĆønh moƤt ma traƤn ƱƓn vĆ² caĆ”p 3. Do ƱoĆ¹ baĆøi toaĆ¹n ƱaƵ cho coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n.
TƶƓng Ć¶Ć¹ng ta coĆ¹ aĆ„n x2 laĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n thĆ¶Ć¹ 1, aĆ„n x6 laĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n thĆ¶Ć¹ 2 vaĆø x4 laĆø aĆ n cĆ“
baĆ»n thĆ¶Ć¹ 3. CaĆ¹c aĆ„n x1 , x3, x5 laĆø caĆ¹c aĆ„n tƶĆÆ do.
28
- 31. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
BaĆøi toaĆ¹n coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n xuaĆ”t phaĆ¹t laĆø: x0 = (0, 22, 0, 30, 0, 7)
VĆ duĆÆ 2.2: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f = x2 ā 2x3 + 2x5 ā min
x1 + 3x2 ā x3 + 2x5 = 7
ā 2x2 + x3 + x4 = 3
ā 4x2 + 2x3 + 8x5 + x6 = 10
xi ā„ 0, i = 1, 6.
BaĆøi toaĆ¹n ƱaƵ coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n chƶa ? neĆ”u coĆ¹, thƬ aĆ„n naĆøo laĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n, aĆ„n naĆøo laĆø aĆ„n tƶĆÆ
do vaĆø vieĆ”t phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n xuaĆ”t phaĆ¹t ra ?
BieĆ”n ƱoĆ„i baĆøi toaĆ¹n veĆ daĆÆng chuaĆ„n
MoƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng chĆnh taĆ©c nhƶng khoĆ¢ng coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n thƬ
ta laƤp baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng ƱeĆ„ ƱƶƓĆÆc baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n.
i). PhƶƓng trƬnh coĆ¹ soĆ” haĆÆng tƶĆÆ do aĆ¢m: NhaĆ¢n caĆ» hai veĆ” vĆ“Ć¹i ā1.
ii). PhƶƓng trƬnh khoĆ¢ng coĆ¹ aĆ„n cĆ“ baĆ»n: CoƤng vaĆøo veĆ” traĆ¹i cuĆ»a phƶƓng trƬnh moƤt aĆ„n
giaĆ» khoĆ¢ng aĆ¢m.
Lƶu yĆ¹: Khi theĆ¢m aĆ„n giaĆ» vaĆøo veĆ” traĆ¹i cuĆ»a phƶƓng trƬnh (raĆøng buoƤc chĆnh) thƬ Ć“Ć» haĆøm
muĆÆc tieĆ¢u noĆ¹ coĆ¹ heƤ soĆ” laĆø +M (neĆ”u baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u) vaĆø āM (neĆ”u baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi).
Trong ƱoĆ¹ M laĆø moƤt soĆ” dƶƓng lĆ“Ć¹n tuyĆø yĆ¹ (raĆ”t lĆ“Ć¹n).
VĆ duĆÆ 2.3: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 2x1 + x2 ā x3 + 3x4 + x5 ā max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
ā2x1 + 4x3 + x5 ā¤ ā9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 5
HaƵy bieĆ”n ƱoĆ„i baĆøi toaĆ¹n Ʊƶa veĆ daĆÆng chuaĆ„n ?
29
- 32. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
HD: BaĆøi toaĆ¹n daĆÆng chĆnh taĆ©c tƶƓng ƱƶƓng vĆ“Ć¹i baĆøi toaĆ¹n ƱeĆ cho
f (x) = 2x1 + x2 ā x3 + 3x4 + x5 ā max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
2x1 ā 4x3 ā x5 ā x6 = 9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 6
BaĆøi toaĆ¹n chƶa coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n vƬ phƶƓng trƬnh (raĆøng buoƤc) thĆ¶Ć¹ 2 chƶa coĆ¹ aĆ„n cĆ“ baĆ»n,
ta caĆ n theĆ¢m vaĆøo raĆøng buoƤc 2 moƤt aĆ„n giaĆ» x7 ā„ 0 ƱeĆ„ coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n
f (x) = 2x1 + x2 ā x3 + 3x4 + x5 ā Mx7 ā max
x1 + x2 + 2x3 + 2x5 = 20
2x1 ā 4x3 ā x5 ā x6 + x7 = 9
3x1 + x3 + x4 + 7x5 = 30
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 7
4.3. MoĆ”i lieĆ¢n heƤ giƶƵa baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng vaĆø baĆøi toaĆ¹n goĆ”c
i). NeĆ”u baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng khoĆ¢ng coĆ¹ PATU thƬ baĆøi toaĆ¹n goĆ”c khoĆ¢ng coĆ¹ PATU.
ii). NeĆ”u baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng coĆ¹ PATU vaĆø caĆ¹c aĆ„n giaĆ» ƱeĆ u baĆØng 0 thƬ baĆøi toaĆ¹n goĆ”c coĆ¹
PATU. Khi ƱoĆ¹ PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n goĆ”c laĆø PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng nhƶng boĆ» Ʊi phaĆ n
aĆ„n phuĆÆ vaĆø aĆ„n giaĆ» (neĆ”u coĆ¹).
iii). NeĆ”u baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng coĆ¹ PATU vaĆø coĆ¹ Ćt nhaĆ”t moƤt aĆ„n giaĆ» nhaƤn giaĆ¹ trĆ² dƶƓng thƬ
baĆøi toaĆ¹n goĆ”c khoĆ¢ng coĆ¹ PATU.
30
- 33. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ā§5. PHĆĆNG PHAĆP ĆĆN HĆNH
PhƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh hay goĆÆi ƱuĆ¹ng hĆ“n laĆø "phƶƓng phaĆ¹p caĆ»i tieĆ”n daĆ n caĆ¹c phƶƓng
aĆ¹n" ƱƶƓĆÆc G.Dantzig Ʊƶa ra naĆŖm 1947, laĆø phƶƓng phaĆ¹p giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n
tĆnh ƱƶƓĆÆc coi laĆø hieƤu quaĆ» nhaĆ”t. YĆ tƶƓƻng cuĆ»a phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh laĆø xuaĆ”t phaĆ¹t tƶĆø moƤt
phƶƓng aĆ¹n cĆ“ baĆ»n x0, ta tƬm caĆ¹ch ƱaĆ¹nh giaĆ¹ x0 coĆ¹ phaĆ»i laĆø PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n khoĆ¢ng. NeĆ”u
x0 chƶa phaĆ»i laĆø PATU thƬ ta seƵ xaĆ¢y dƶĆÆng moƤt phƶƓng aĆ¹n mĆ“Ć¹i toĆ”t hĆ“n dƶĆÆa treĆ¢n phƶƓng
aĆ¹n x0 . QuaĆ¹ trƬnh cĆ¶Ć¹ tieĆ”p tuĆÆc caĆ»i tieĆ”n caĆ¹c phƶƓng aĆ¹n cho ƱeĆ”n khi tƬm ƱƶƓĆÆc PATU cuĆ»a
baĆøi toaĆ¹n hoaĆ«c phaĆ¹t hieƤn ra baĆøi toaĆ¹n khoĆ¢ng coĆ¹ PATU.
5.1. ThuaƤt toaĆ¹n ƱƓn hƬnh
A. GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi: TrĆ¶Ć“Ć¹c heĆ”t ta trƬnh baĆøy caĆ¹ch giaĆ»i ƱeĆ„ tƬm PATU cho baĆøi toaĆ¹n
cƶĆÆc ƱaĆÆi baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh.
PhƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh chƦ aĆ¹p duĆÆng giaĆ»i cho caĆ¹c baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng
chuaĆ„n. Do ƱoĆ¹ baĆøi toaĆ¹n ƱeĆ cho chƶa coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n thƬ baĆ©t buoƤc phaĆ»i bieĆ”n ƱoĆ„i Ʊƶa veĆ
daĆÆng chuaĆ„n roĆ i mĆ“Ć¹i aĆ¹p duĆÆng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh giaĆ»i.
GiaĆ» sƶƻ ta giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh daĆÆng chuaĆ„n nhƶ trong muĆÆc 4.2 treĆ¢n
f (x) = c1x1 + c2 x2 + . . . + c1 xn ā max
x1 + a1m+1xm+1 + . . . + a1n xn = b1
x2 + a2m+1xm+1 + . . . + a2n xn = b2
Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·Ā·
xm + amm+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , n
bi ā„ 0, i = 1, 2, . . . , m
CaĆ¹c thoĆ¢ng tin veĆ baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n xem laĆÆi muĆÆc 4.2.
BaĆ¢y giĆ“Ćø ta trƬnh baĆøy caĆ¹c bĆ¶Ć“Ć¹c cuĆ»a phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh ƱeĆ„ giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n chuaĆ„n treĆ¢n.
BĆ¶Ć“Ć¹c 1
i). LaƤp baĆ»ng ƱƓn hƬnh xuaĆ”t phaĆ¹t
31
- 34. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
x1 x2 ... xnā1 xn Ī»
c1 c2 ... cnā1 cn
coƤt heƤ soĆ” b1 a11 a12 ... a1nā1 a1n
cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n coƤt aĆ„n b2 a21 a22 ... a2nā1 a2n
cƓ baƻn trong cƓ baƻn . . . ... ... ... ... ...
haĆøm muĆÆc tieĆ¢u bm am1 am2 ... amnā1 amn
f0 ā1 ā2 ... ānā1 ān
Trong ƱoĆ¹: f0 laĆø giaĆ¹ trĆ² cuĆ»a haĆøm muĆÆc tieĆ¢u taĆÆi phƶƓng aĆ¹n ƱoĆ¹ vaĆø āj laĆø heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng
cuƻa aƄn xj (j = 1, 2 . . . , n)
f0 = ( coƤt 1)T Ā· ( coƤt 3)
āj = ( coƤt 1)T Ā· Aj ā cj
+ CoƤt 1: laĆø coƤt heƤ soĆ” cĆ“ baĆ»n (heƤ soĆ” cuĆ»a aĆ„n cĆ“ baĆ»n tƶƓng Ć¶Ć¹ng treĆ¢n haĆøm muĆÆc tieĆ¢u).
+ CoƤt 2: laĆø coƤt aĆ„n cĆ“ baĆ»n (ghi theo thĆ¶Ć¹ tƶĆÆ tƶĆø treĆ¢n xuoĆ”ng, baĆ©t ƱaĆ u tƶĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n thĆ¶Ć¹
1).
+ CoƤt 3: laĆø coƤt phƶƓng aĆ¹n.
+ CoƤt 4: Trong coƤt 4 coĆ¹ 3 yĆ¹ chĆnh sau:
- Hai doĆøng treĆ¢n cuĆøng laĆø caĆ¹c aĆ„n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n vaĆø heƤ soĆ” cuĆ»a noĆ¹ tƶƓng
Ć¶Ć¹ng trong haĆøm muĆÆc tieĆ¢u.
- TieĆ”p theo dĆ¶Ć“Ć¹i laĆø ma traƤn ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n chuaĆ„n.
- DoĆøng cuoĆ”i cuĆøng laĆø caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n.
+ CoƤt 5: laĆø coƤt heƤ soĆ” Ī».
ii). ĆaĆ¹nh giaĆ¹ phƶƓng aĆ¹n
+ NeĆ”u āj ā„ 0 , āj = 1, 2, . . . , n thƬ PATU, baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ PATU.
+ NeĆ”u coĆ¹ āk < 0 vaĆø aik ā¤ 0 , āi = 1, 2, . . . , m thƬ baĆøi toaĆ¹n khoĆ¢ng coĆ¹ PATU.
BĆ¶Ć“Ć¹c 2
i). TƬm aĆ„n vaĆøo
ChoĆÆn āk < 0 nhoĆ» nhaĆ”t, luĆ¹c ƱoĆ¹
+ xk laĆø bieĆ”n Ʊƶa vaĆøo laĆøm aĆ„n cĆ“ baĆ»n.
+ CoƤt Ak cuĆ»a ma traƤn A goĆÆi la coƤt chuĆ» yeĆ”u.
32
- 35. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
ii). TƬm aƄn ra
bi
+ bi /aik (chƦ chia cho caĆ¹c aik > 0) vaĆø ghi vaĆøo coƤt 4 (tĆ¶Ć¹c laĆø Ī»i = ).
aik
+ ChoĆÆn Ī»0 = min {Ī»i }i=1,2,...,m . LuĆ¹c ƱoĆ¹ doĆøng chĆ¶Ć¹a soĆ” Ī»0 vƶĆøa choĆÆn laĆø doĆøng chuĆ»
yeĆ”u vaĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n naĆØm treĆ¢n doĆøng chuĆ» yeĆ”u laĆø aĆ„n Ʊƶa ra.
HeƤ soĆ” naĆØm giao treĆ¢n doĆøng chuĆ» yeĆ”u vaĆø coƤt chuĆ» yeĆ”u goĆÆi laĆø heƤ soĆ” chuĆ» yeĆ”u.
iii). LaƤp baĆ»ng ƱƓn hƬnh mĆ“Ć¹i
+ CoƤt 2: Thay aĆ„n ra baĆØng aĆ„n vaĆøo, caĆ¹c aĆ„n coĆøn laĆÆi giƶƵa nguyeĆ¢n (doĆøng chĆ¶Ć¹a aĆ„n Ʊƶa
vaĆøo laĆø doĆøng chuaĆ„n).
+ CoƤt 1: Thay heƤ soĆ” phuĆø hĆ“ĆÆp vĆ“Ć¹i aĆ„n mĆ“Ć¹i Ʊƶa vaĆøo (heƤ soĆ” laĆ”y treĆ¢n haĆøm muĆÆc tieĆ¢u).
+ DoĆøng chuaĆ„n:= DoĆøng chuĆ» yeĆ”u chia cho heƤ soĆ” chuĆ» yeĆ”u.
+ DoĆøng thĆ¶Ć¹ i baĆ”t kyĆø coĆøn laĆÆi ƱƶƓĆÆc xaĆ¹c Ć±Ć²nh nhƶ sau: LaĆ”y heƤ soĆ” cuĆ»a doĆøng thĆ¶Ć¹ i
naĆØm treĆ¢n coƤt chuĆ» yeĆ”u, vieĆ”t ra giaĆ”y nhaĆ¹p vaĆø ƱoĆ„i daĆ”u noĆ¹, sau ƱoĆ¹ laĆ n lƶƓĆÆt nhaĆ¢n vĆ“Ć¹i caĆ¹c
thaĆønh phaĆ n treĆ¢n doĆøng chuaĆ„n roĆ i coƤng vĆ“Ć¹i caĆ¹c thaĆønh phaĆ n treĆ¢n doĆøng thĆ¶Ć¹ i (theo ƱuĆ¹ng
thĆ¶Ć¹ tƶĆÆ) cuĆ»a baĆ»ng ƱƓn hƬnh lieĆ n trĆ¶Ć“Ć¹c ƱoĆ¹.
+ TĆnh caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng āj (j = 1, 2 . . . , n) vaĆø giaĆ¹ trĆ² cuĆ»a haĆøm muĆÆc tieĆ¢u f
gioĆ”ng nhƶ bĆ¶Ć“Ć¹c 1 treĆ¢n.
BaĆ¢y giĆ“Ćø ta thƶĆÆc haĆønh phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh giaĆ»i moƤt baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n cuĆÆ
theƄ.
VĆ duĆÆ 1.1: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh
f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 ā max
5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 ā¤ 600
x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 ā¤ 800
xj ā„ 0, j = 1, 2, 3, 4
HD: TheĆ¢m hai aĆ„n phuĆÆ x5, x6 ā„ 0 vaĆøo hai raĆøng buoƤc chĆnh Ʊƶa bai toaĆ¹n veĆ daĆÆng chuaĆ„n.
f (x) = 8x1 + 3x2 + 38x3 + 4x4 ā max
5x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 + x5 = 600
x1 + 4x2 + 2x3 + 6x4 + x6 = 800
xj ā„ 0, j = 1, 2, ..., 6
33
- 36. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ta giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng (daĆÆng chuaĆ„n) baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh.
Ma traƤn ƱieĆ u kieƤn laĆø ļ£« ļ£¶
5 2 3 6 1 0
A=ļ£ ļ£ø
1 4 2 6 0 1
ā aĆ„n x5 , x6 laĆø hai aĆ„n cĆ“ baĆ»n cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n.
BaĆ»ng ƱƓn hƬnh ƱƓn xuaĆ”t phaĆ¹t
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ī»
8 3 38 4 0 0
0 x5 600 5 2 3 6 1 0
0 x6 800 1 4 2 6 0 1
0 -8 -3 -38 -4 0 0
CaĆŖn cĆ¶Ć¹ vaĆøo baĆ»ng ƱƓn hƬnh xuaĆ”t phaĆ¹t, ta thaĆ”y caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng coĆøn aĆ¢m neĆ¢n phƶƓng
aĆ¹n xuaĆ”t chƶa toĆ”i ƶu. Ta seƵ laƤp baĆ»ng ƱƓn hƬnh 2 nhaĆØm xaĆ¢y dƶĆÆng moƤt phƶƓng aĆ¹n mĆ“Ć¹i toĆ”t
hƓn.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ī»
8 3 38 4 0 0
0 x5 600 5 2 (3) 6 1 0 (200)
0 x6 800 1 4 2 6 0 1 400
0 -8 -3 (-38) -4 0 0 x3 vaĆøo, x5 ra
38 x3 200 5/3 2/3 1 2 1/3 0
0 x6 400 -7/3 8/3 0 2 -2/3 1
7600 166/3 67/3 0 72 38/3 0
Do caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng āj ā„ 0 (j = 1, 2, . . . , 6) neĆ¢n baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n coĆ¹ PATU
laĆø: x0 = (0, 0, 200, 0, 0, 400) vaĆø giaĆ¹ trĆ² toĆ”i ƶu (GTTU) laĆø: f (x0 ) = 7600.
TƶĆø ƱoĆ¹, suy ra PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n goĆ”c laĆø: xā = (0, 0, 200, 0) vaĆø f (xā ) = 7600
34
- 37. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 1.2: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh
f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 ā max
x1 + 3x2 + x4 ā¤ 1
ā5x2 ā 2x4 ā¤ 3
x2 + 4x3 + x4 ā¤ 3
xj ā„ 0, j = 1, 2, 3, 4
HD: BaĆøi toaĆ¹n ƱeĆ cho chƶa coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n, ta theĆ¢m vaĆøo 3 raĆøng buoƤc chĆnh 3 aĆ„n phuĆÆ
laĆ n lƶƓĆÆt laĆø x5, x6 , x7 ā„ 0 ƱeĆ„ coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n
f (x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 ā max
x1 + 3x2 + x4 + x5 = 1
ā5x2 ā 2x4 + x6 = 3
x2 + 4x3 + x4 + x7 = 3
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 7
Ma traƤn ƱieĆ u kieƤn cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n chuaĆ„n
ļ£« ļ£¶
1 3 0 1 1 0 0
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
A = ļ£¬ 0 ā5 0 ā2 0 1 0 ļ£·
ļ£ ļ£ø
0 1 4 1 0 0 1
CaĆŖn cĆ¶Ć¹ vaĆøo ma traƤn ƱieĆ u kieƤn, ta coĆ¹ theĆ„ choĆÆn aĆ„n cĆ“ baĆ»n laĆø x5, x6, x7 hoaĆ«c x1, x6 , x7
vƬ hai coƤt vectĆ“ ƱieĆ u kieƤn A1, A5 trong ma traƤn A laĆø gioĆ”ng nhau. VaĆ”n ƱeĆ Ć±aĆ«t ra laĆø ta
neĆ¢n choĆÆn phƶƓng aĆ¹n xuaĆ”t phaĆ¹t naĆøo ƱeĆ„ coĆ¹ theĆ„ tƬm ƱƶƓĆÆc PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n nhanh nhaĆ”t.
ThƶƓĆøng thƬ trong baĆ»ng ƱƓn hƬnh xuaĆ”t phaĆ¹t, neĆ”u caĆ¹c bieĆ”n phuĆÆ Ć±Ć¶Ć“ĆÆc choĆÆn laĆøm aĆ„n cĆ“
baĆ»n thƬ qua caĆ¹c bĆ¶Ć“Ć¹c caĆ»i tieĆ”n phƶƓng aĆ¹n, caĆ¹c aĆ„n phuĆÆ Ć±oĆ¹ seƵ Ʊi ra laĆøm aĆ„n tƶĆÆ do vaĆø moƤt
aĆ„n chĆnh cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n goĆ”c seƵ vaĆøo thay theĆ”. ChĆnh vƬ vaƤy, trong baĆøi toaĆ¹n naĆøy ta choĆÆn
caĆ¹c aĆ„n x1, x6 , x7 laĆø aĆ„n cĆ“ baĆ»n.
Ta coĆ¹ baĆ»ng ƱƓn hƬnh keĆ”t quaĆ» sau:
35
- 38. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Ī»
2 4 1 1 0 0 0
2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0
0 x6 3 0 -5 0 -2 0 1 0
3
0 x7 3 0 1 (4) 1 0 0 1
4
2 0 2 (-1) 1 2 0 0 x3 vaĆøo, x7 ra
2 x1 1 1 3 0 1 1 0 0
0 x6 3 0
-5 0 1 10 0
1 1 1
1 x3 3/4 0 1 0 0
4 4 4
11 9 5 1
0 0 2 0
4 4 4 4
Trong baĆ»ng ƱƓn hƬnh thĆ¶Ć¹ 2, caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c
lƶƓĆÆng āj ā„ 0 (j = 1, 2, . . . , 7) neĆ¢n baĆøi
11
toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n coĆ¹ PATU laĆø: x0 = (1, 0, 3/4, 0, 0, 3, 0) vaĆø GTTU laĆø f (x0 ) = .
4
11
Suy ra PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n goĆ”c laĆø: x = (1, 0, 3/4, 0, ) vaĆø f (x ) =
ā ā
4
CaĆ¹c baĆÆn haƵy giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n treĆ¢n vĆ“Ć¹i phƶƓng aĆ¹n xuaĆ”t phaĆ¹t laĆø x =
(0, 0, 0, 0, 1, 3, 3), tĆ¶Ć¹c aĆ„n cĆ“ baĆ»n xuaĆ”t phaĆ¹t laĆø x5 , x6, x7.
VĆ duĆÆ 1.3: MoƤt xĆ nghieƤp coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi saĆ»n phaĆ„m kyĆ¹ hieƤu laĆø A, B, C.
ĆĆ²nh mĆ¶Ć¹c hao phĆ nguyeĆ¢n lieƤu, voĆ”n, lao ƱoƤng (quy ra giĆ“Ćø coĆ¢ng) vaĆø lĆ“ĆÆi nhuaƤn thu ƱƶƓĆÆc
tĆnh cho 1 ƱƓn vĆ² saĆ»n phaĆ„m moĆ£i loaĆÆi cho trong baĆ»ng sau:
SaĆ»n phaĆ„m NguyeĆ¢n lieƤu VoĆ”n Lao ƱoƤng LĆ“ĆÆi nhuaƤn
(kg) (1.000 ƱoĆ ng) (giĆ“Ćø coĆ¢ng) (1.000 ƱoĆ ng)
A 2 1 4 2
B 3 3 8 3
C 3 5 1 5
MĆ¶Ć¹c huy 150 120 100
ƱoƤng toƔi Ʊa
HaƵy laƤp keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu cho xĆ nghieƤp.
HD: GoĆÆi x1, x2 , x3 ā„ 0 laĆ n lƶƓĆÆt laĆø soĆ” saĆ»n phaĆ„m A, B, C seƵ saĆ»n xuaĆ”t. Khi ƱoĆ¹ nguyeĆ¢n
36
- 39. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
lieƤu, voĆ”n vaĆø lao ƱoƤng (giĆ“Ćø coĆ¢ng) caĆ n sƶƻ duĆÆng ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t soĆ” saĆ»n phaĆ„m ƱoĆ¹ laĆø:
NguyeĆ¢n lieƤu: 2x1 + 3x2 + 3x3
VoƔn: x1 + 3x2 + 5x3
Lao ƱoƤng: 4x1 + 8x2 + x3
vaĆø ƱeĆ„ quaĆ¹ trƬnh saĆ»n xuaĆ”t cuĆ»a XĆ nghieƤp khoĆ¢ng bĆ² ƱoƤng ta coĆ¹ ƱieĆ u kieƤn sau:
2x1 + 3x2 + 3x3 ā¤ 150
x1 + 3x2 + 5x3 ā¤ 120
4x1 + 8x2 + x3 ā¤ 100
GiaĆ» sƶƻ raĆØng saĆ»n phaĆ„m saĆ»n xuaĆ”t ra ƱƶƓĆÆc phaĆ¢n phoĆ”i heĆ”t, luĆ¹c ƱoĆ¹ lĆ“ĆÆi nhuaƤn thu ƱƶƓĆÆc
cuĆ»a XĆ nghieƤp laĆø: 2x1 + 3x2 + 5x3 ā max
CuoĆ”i cuĆøng ta coĆ¹ moĆ¢ hƬnh toaĆ¹n hoĆÆc cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n ƱaƵ cho laĆø baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n
tĆnh (P) sau:
f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 ā max
2x1 + 3x2 + 3x3 ā¤ 150
x1 + 3x2 + 5x3 ā¤ 120
4x1 + 8x2 + x3 ā¤ 100
xj ā„ 0, j = 1, 2, 3
BaĆ¢y giĆ“Ćø ta giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n (P) ƱeĆ„ xaĆ¹c Ć±Ć²nh moƤt phƶƓng aĆ¹n saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu cho XĆ nghieƤp.
TheĆ¢m vaĆøo 3 raĆøng buoƤc chĆnh cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n (P) 3 aĆ„n phuĆÆ x4 , x5, x6 ā„ 0 thƬ ta ƱƶƓĆÆc
baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n.
f (x) = 2x1 + 3x2 + 5x3 ā max
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 150
x1 + 3x2 + 5x3 + x5 = 120
4x1 + 8x2 + x3 + x6 = 100
xj ā„ 0, j = 1, 2, . . . , 6
GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh.
37
- 40. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Ma traƤn ƱieĆ u kieƤn ļ£« ļ£¶
2 3 3 1 0 0
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
A=ļ£¬ 1 3 5 0 1 0 ļ£·
ļ£ ļ£ø
4 8 1 0 0 1
ā x4, x5, x6 laĆø caĆ¹c aĆ„n cĆ“ baĆ»n.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ī»
2 3 5 0 0 0
0 x4 150 2 3 3 1 0 0 50
0 x5 120 1 3 (5) 0 1 0 (24)
0 x6 100 4 8 1 0 0 1 100
0 -2 -3 (-5) 0 0 0 x3 vaĆøo, x5 ra
0 x4 78 7/5 6/5 0 1 -3/5 0
5 x3 24 1/5 3/5 1 0 1/5 0
0 x6 76 19/5 37/5 0 0 -1/5 1
120 -1 0 0 0 1 0
BaĆ»ng ƱƓn hƬnh thĆ¶Ć¹ 2 coĆ¹ heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng ā1 = ā1 neĆ¢n phƶƓng aĆ¹n chƶa toĆ”i ƶu.
HaƵy tieĆ”p tuĆÆc laƤp baĆ»ng ƱƓn hƬnh thĆ¶Ć¹ 3 ƱeĆ„ tƬm PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n ?
ĆS: PATU laĆø: x0 = (20, 0, 20) vaĆø GTTU laĆø f (x0 ) = 140.
VaƤy keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”t nhaĆ”t maĆø XĆ nghieƤp coĆ¹ theĆ„ thƶĆÆc hieƤn laĆø: SaĆ»n xuaĆ”t 20 ƱƓn
vĆ² saĆ»n phaĆ„m A, 20 ƱƓn vĆ² saĆ»n phaĆ„m C, khoĆ¢ng saĆ»n xuaĆ”t saĆ»n phaĆ„m B. Khi ƱoĆ¹ toĆ„ng lĆ“ĆÆi
nhuaƤn cao nhaĆ”t maĆø XĆ nghieƤp coĆ¹ theĆ„ thu ƱƶƓĆÆc laĆø 140.000 ƱoĆ ng.
38
- 41. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Trong phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh, ta coĆ¹ chuĆ¹ yĆ¹ sau:
Trong baĆ»ng ƱƓn hƬnh cuoĆ”i cuĆøng cuĆ»a lĆ“Ćøi giaĆ»i, neĆ”u coĆ¹ moƤt heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng āk = 0
cuĆ»a aĆ„n tƶĆÆ do xk thƬ baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ voĆ¢ soĆ” phƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu. Trong trƶƓĆøng hĆ“ĆÆp ƱoĆ¹, neĆ”u
PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n laĆø x0 thƬ caĆ¹c PATU cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng
xĪ» = x0 ā Ī»z Ī» ; 0 ā¤ Ī» ā¤ Ī»0
trong ƱoĆ¹, Ī»0 = min {Ī»i } vaĆø
ļ£±
ļ£“ z k = (z k , z k , ..., z k )
ļ£“
ļ£“
ļ£² 1 2 n
z k = ā1
ļ£“ k
ļ£“
ļ£“ k
ļ£³ z =a
j ik
VĆ duĆÆ 1.4: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 2x1 ā 5x2 + 4x3 ā x4 ā 6x5 ā max
x1 + 6x2 ā 2x4 ā 9x5 = 32
2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 30
3x2 + x5 + x6 = 36
x1, x2 , x3, x4, x5 , x6 ā„ 0
BaĆøi toaĆ¹n ƱaƵ coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n va ma traƤn ƱieĆ u kieƤn laĆø
ļ£® ļ£¹
1 6 0 ā2 ā9 0
ļ£Æ ļ£ŗ
ļ£Æ ļ£ŗ
A=ļ£Æ 0 2 1 1 3 0 ļ£ŗ
ļ£° ļ£»
0 3 0 0 1 1
GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh, ta coĆ¹ baĆ»ng sau
x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ī»
2 -5 4 -1 6 0
2 x1 32 1 6 0 -2 -9 0
4 x3 30 0 2 1 1 3 0 10
0 x6 36 0 3 0 0 1 1 36
184 0 25 0 1 (0) 0
39
- 42. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
Do caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng ƱeĆ u khoĆ¢ng aĆ¢m neĆ¢n phƶƓng aĆ¹n xuaĆ”t laĆø PATU.
PATU laĆø: x0 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) vaĆø GTTU laĆø fmax = 184
Do ā5 = 0 neĆ¢n baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ voĆ¢ soĆ” PATU. Ta coĆ¹
z 5 = (ā9, 0, 3, 0, ā1, 1)
vaĆø xaĆ¹c Ć±Ć²nh moƤt PATU khaĆ¹c cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n nhƶ sau:
xĪ» = x0 ā Ī»z 5 = (32, 0, 30, 0, 0, 36) ā Ī»(ā9, 0, 3, 0, ā1, 1)
ā xĪ» = (32 + 9Ī», 0, 30 ā 3Ī», 0, Ī», 36 ā Ī»), (0 ā¤ Ī» ā¤ 10)
HaƵy xaĆ¹c Ć±Ć²nh 5 phƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu khaĆ¹c cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n treĆ¢n Ć¶Ć¹ng vĆ“Ć¹i 5 giaĆ¹ trĆ² cuĆ»a Ī» ? so
saĆ¹nh giaĆ¹ trĆ² muĆÆc tieĆ¢u 5 PATU ƱoĆ¹ ?
VĆ duĆÆ 1.5: Cho baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh (P) sau
z = 50 + 8x1 ā x2 ā 3x3 ā x4 ā x5 ā 6x6 ā max
x1 ā x3 + x5 ā x6 = 15
ā2x1 + x4 ā 2x6 = 9
ā3x1 + x2 + 2x3 + 4x6 = 2
xj ā„ 0 ; j = 1, 2, . . . , 6
ChĆ¶Ć¹ng toĆ» raĆØng baĆøi toaĆ¹n (P) khoĆ¢ng coĆ¹ PATU ?
VĆ duĆÆ 1.6: MoƤt XĆ nghieƤp coĆ¹ keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t 3 loaĆÆi saĆ»n phaĆ„m S1 , S2 , S3 tƶĆø 3
nguyeĆ¢n lieƤu N1 , N2, N3 . Cho bieĆ”t nguyeĆ¢n vaƤt lieƤu XĆ nghieƤp Ʊang coĆ¹, Ć±Ć²nh mĆ¶Ć¹c sƶƻ duĆÆng
caĆ¹c loaĆÆi nguyeĆ¢n vaƤt lieƤu ƱeĆ„ saĆ»n xuaĆ”t ra moƤt saĆ»n phaĆ„m moĆ£i loaĆÆi vaĆø tieĆ n laƵi (ngaĆøn ƱoĆ ng)
ƱƶƓĆÆc cho trong baĆ»ng sau:
NguyeĆ¢n KhoĆ”i lƶƓĆÆng ĆĆ²nh mĆ¶Ć¹c sƶƻ duĆÆng NVL
lieƤu NVL hieƤn coĆ¹ S1 S2 S3
N1 240 2 3 2
N2 200 1 2 1
N3 400 4 1 2
TieĆ n laƵi 1 saĆ»n phaĆ„m 10 12 9
40
- 43. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
HaƵy laƤp moƤt keĆ” hoaĆÆch saĆ»n xuaĆ”t toĆ”i ƶu cho XĆ nghieƤp ?
ĆS: PATU laĆø x0 = (80, 0, 40) vaĆø GTTU laĆø fmax = 1160 (tĆ¶Ć¹c 1.160.000 ƱoĆ ng)
VĆ duĆÆ 1.7: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
z = 2x1 + 3x2 + 3x3 ā max
x1 + x2 + x3 ā¤ 12
x1 + x2 + 2x3 ā¤ 15
x1 + 2x2 + 2x3 ā¤ 20
x1 , x2, x3 ā„ 0
ĆS: PATU laĆø x0 = (4, 8, 0) vaĆø GTTU laĆø z = 32
B. GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u: ĆoĆ”i vĆ“Ć¹i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc tieĆ„u ta cuƵng duĆøng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn
hƬnh ƱeĆ„ giaĆ»i tƶƓng tƶĆÆ nhƶ giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi nhƶng coĆ¹ 3 keĆ”t luaƤn lieĆ¢n quan ƱeĆ”n heƤ
soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng coĆ¹ keĆ”t quaĆ» ngƶƓĆÆc vĆ“Ć¹i baĆøi toaĆ¹n cƶĆÆc ƱaĆÆi nhƶ sau:
i). ĆieĆ u kieƤn toĆ”i ƶu cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n: āj ā¤ 0 , āj
ii). ĆieĆ u kieƤn baĆøi toaĆ¹n khoĆ¢ng coĆ¹ PATU: āāk > 0 & aik ā¤ 0; āi
iii). AĆ
n ƱƶƓĆÆc choĆÆn Ʊƶa vaĆøo laĆø aĆ„n Ć¶Ć¹ng vĆ“Ć¹i āk > 0 lĆ“Ć¹n nhaĆ”t.
VĆ duĆÆ 1.8: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 ā min
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 152
4x1 + 2x2 + 3x3 + x5 = 60
3x1 + x3 + x6 = 36
xj ā„ 0; j = 1, 2, . . . , 6
41
- 44. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
HD: BaĆøi toaĆ¹n ƱaƵ coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n vaĆø ma traƤn ƱieĆ u kieƤn laĆø
ļ£« ļ£¶
2 4 3 1 0 0
ļ£¬ ļ£·
ļ£¬ ļ£·
A=ļ£¬ 4 2 3 0 1 0 ļ£·
ļ£ ļ£ø
3 0 1 0 0 1
ā x4, x5, x6 laĆø caĆ¹c aĆ„n cĆ“ baĆ»n.
Ta giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh
x1 x2 x3 x4 x5 x6
5 4 5 2 1 3 Ī»
2 x4 152 2 4 3 1 0 0 76
1 x5 60 4 2 3 0 1 0 15
3 x6 36 (3) 0 1 0 0 1 (12)
472 (12) 6 7 0 0 0 x1 vaĆøo, x6 ra
2 x4 128 0 4 7/3 1 0 -2/3 32
1 x5 12 0 (2) 5/3 0 1 -4/3 (6)
5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3
328 0 (6) 3 0 0 -4 x2 vaĆøo, x5 ra
2 x4 104 0 0 -1 1 -2 2
4 x2 6 0 1 5/6 0 1/2 -2/3
5 x1 12 1 0 1/3 0 0 1/3
292 0 0 -2 0 -3 0
Trong baĆ»ng ƱƓn hƬnh thĆ¶Ć¹ 3 caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng āj ā¤ 0, (j = 1, 2, . . . , 6) neĆ¢n baĆøi
toaĆ¹n coĆ¹ PATU vaĆø GTTU laĆø:
x0 = (12, 6, 0, 104, 0, 0) f (x0) = 292
PhƶƓng aĆ¹n toĆ”i ƶu ƱoĆ¹ cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ duy nhaĆ”t khoĆ¢ng ? neĆ”u khoĆ¢ng, haƵy xaĆ¹c Ć±Ć²nh
moƤt vaĆøi PATU khaĆ¹c ?
Ī» 2Ī»
HD: xĪ» = 12 ā , 6 + , 0, 104 ā 2Ī», 0, Ī»
3 3
42
- 45. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
VĆ duĆÆ 1.9: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 ā min
2x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 45
4x1 + 2x2 + 3x3 ā¤ 38
3x1 + x3 ā¤ 21
xj ā„ 0, j = 1, 2, 3, 4
ĆS: PATU laĆø x0 = (7, 5, 0, 11), f(x0 ) = 77
VĆ duĆÆ 1.10: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = ā2x1 + x2 + x4 ā min
x1 + x2 ā x3 ā¤ 15
x1 + x2 + x3 + x4 = 27
2x1 ā x2 ā x3 ā¤ 18
xj ā„ 0; j = 1, 2, 3, 4
ĆS: PATU laĆø x0 = (15, 0, 12, 0), f(x0 ) = ā30
5.2. PhƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh mĆ“Ć» roƤng
PhƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh mĆ“Ć» roƤng laĆø phƶƓng phaĆ¹p giaĆ»i caĆ¹c baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n
tĆnh phaĆ»i laƤp baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng (coĆ¹ aĆ„n giaĆ»). PhƶƓng phaĆ¹p naĆøy coĆ¹ 2 bĆ¶Ć“Ć¹c cĆ“ baĆ»n sau:
BĆ¶Ć“Ć¹c 1: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng
BaĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng laĆø baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n neĆ¢n ta giaĆ»i baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh.
CaĆ¹c bĆ¶Ć“Ć¹c thƶĆÆc hieƤn cuĆ»a phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh ƱeĆ„ giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng cuƵng gioĆ”ng
nhƶ khi thƶĆÆc hieƤn giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n daĆÆng chuaĆ„n thƶƓĆøng (khoĆ¢ng coĆ¹ aĆ„n giaĆ») nhƶng coĆ¹ moƤt soĆ”
lƶu yĆ¹ sau:
+ HeƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng cuĆ»a caĆ¹c aĆ„n giaĆ» coĆ¹ daĆÆng: āj = aM + b (M laĆø moƤt soĆ” dƶƓng raĆ”t
lĆ“Ć¹n), vƬ theĆ” doĆøng ghi trĆ² soĆ” caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng seƵ chia thaĆønh doĆøng keĆ¹p, treĆ¢n ƱoĆ¹ doĆøng
dĆ¶Ć“Ć¹i ghi heƤ soĆ” cuĆ»a M vaĆø doĆøng treĆ¢n ghi soĆ” haĆÆng tƶĆÆ do coĆøn laĆÆi.
+ SƶĆÆ so saĆ¹nh caĆ¹c heƤ soĆ” Ć¶Ć“Ć¹c lƶƓĆÆng phuĆÆ thuoƤc vaĆøo doĆøng dĆ¶Ć“Ć¹i. Khi doĆøng dĆ¶Ć“Ć¹i khoĆ¢ng
theĆ„ keĆ”t luaƤn ƱƶƓĆÆc thƬ mĆ“Ć¹i phuĆÆ thuoƤc vaĆøo doĆøng treĆ¢n.
43
- 46. ChƶƓng 1: BaĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh Ths.TraĆ n ThĆ¶Ć¹ Ba
+ Khi laƤp baĆ»ng ƱƓn hƬnh ƱeĆ„ giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng ta khoĆ¢ng caĆ n Ʊƶa aĆ„n giaĆ» vaĆøo baĆ»ng
(doĆøng treĆ¢n cuĆøng cuĆ»a baĆ»ng). MoƤt khi aĆ„n giaĆ» ƱƶƓĆÆc Ʊƶa ra khoĆ»i heƤ aĆ„n cĆ“ baĆ»n thƬ khoĆ¢ng
ƱƶƓĆÆc Ʊƶa trĆ“Ć» laĆÆi.
BĆ¶Ć“Ć¹c 2: TƬm lĆ“Ćøi giaĆ» cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n goĆ”c
Khi ƱaƵ tƬm ƱƶƓĆÆc lĆ“Ćøi giaĆ»i cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng thƬ coĆ¹ theĆ„ suy ra lĆ“Ćøi giaĆ»i cuĆ»a baĆøi toaĆ¹n
goĆ”c (xem muĆÆc 4.3 cuĆ»a Ā§4)
VĆ duĆÆ 2.1: GiaĆ»i baĆøi toaĆ¹n quy hoaĆÆch tuyeĆ”n tĆnh sau
f (x) = ā3x1 ā 3x2 + 8x3 + 6x4 ā min
3
3x1 + x2 + x3 + 3x4 = 57
2
ā2x1 + x2 ā 2x3 + 2x4 = 18
3x1 ā 3x2 + 5x3 ā 4x4 ā„ ā49
xj ā„ 0 , j = 1, 2, 3, 4
HD: TheĆ¢m vaĆøo raĆøng buoƤc chĆnh thĆ¶Ć¹ ba moƤt aĆ„n x5 vaĆø ƱoĆ„i daĆ”u 2 veĆ” ƱeĆ„ Ʊƶa baĆøi toaĆ¹n
veĆ daĆÆng chĆnh taĆ©c, nhƶng baĆøi toaĆ¹n chƶa coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n (chƶa coĆ¹ phƶƓng aĆ¹n xuaĆ”t phaĆ¹t).
Do ƱoĆ¹ ta theĆ¢m 2 aĆ„n giaĆ» x6 , x7 vaĆøo raĆøng buoƤc thĆ¶Ć¹ 1 vaĆø thĆ¶Ć¹ 2 ƱeĆ„ baĆøi toaĆ¹n coĆ¹ daĆÆng chuaĆ„n.
f (x) = ā3x1 ā 3x2 + 8x3 + 6x4 ā min
3x1 + 3 x2 + x3 + 3x4 + x6 = 57
2
ā2x1 + x2 ā 2x3 + 2x4 + x7 = 18
ā3x1 + 3x2 ā 5x3 + 4x4 + x5 = 49
xj ā„ 0 , j = 1, 2, . . . , 7
Ta giaĆ»i baĆøi toaĆ¹n mĆ“Ć» roƤng baĆØng phƶƓng phaĆ¹p ƱƓn hƬnh
44
