Produksi dengan 2 Variabel Input

1. PRODUKSI DENGAN 2 VARIABEL INPUT
Dosen Pengampu : Dr. Sigit Sardjono, M.Ec.
Disusun oleh :
Tigor Aditya (1271900031)
Egip Nurjaman (1271900034)
Cecep Rustandi (1271900036)

2. Produksi dengan 2 variabel input berarti
“menghitung jumlah produksi dengan 2 variabel input yang berbeda tetapi
memberikan nilai pada variabel tetap yang sama”
y = f(𝑥1, 𝑥2| 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, … , 𝑥 𝑛)
y = A 𝑥1
𝑏1 𝑥2
𝑏2
Persamaan umum :

3. y = A 𝑥1
𝑏1 𝑥2
𝑏2
y = banyaknya produksi
A = Parameter proses produksi
𝑥1 = Jumlah produk I
𝑥2 = Jumlah produk II
𝑏1 = Parameter yang mempengaruhi produk I
𝑏2 = Parameter yang mempengaruhi produk II
0 ≤ 𝑏1+𝑏2 ≤ 1
y > 0 A > 0
𝑥1 > 0 𝑥2 > 0
Karena 𝑥1, 𝑥2 , 𝐴 bernilai positif maka y akan bernilai positif

4. Perbedaan penggunakan 1 variabel input dan 2 variabel input :
“jumlah faktor yang mempengaruhi pada 1 variabel input merupakan variabel
bebas tunggal, berbeda dengan 2 variabel input memiliki 2 variabel bebas yang
saling mempengaruhi”
Karena memiliki 2 variabel bebas yang saling mempengaruhi, maka tiap variabel bebas
tidak boleh dihitung atau berdiri sendiri untuk menentukan jumlah produksi.
Pada 𝑥1 dan 𝑥2 yang dipisahkan serta menganggap salah satu 𝑥1 atau 𝑥2 konstan hanya
bisa digunakan untuk mendapatkan nilai 𝑏1 dan 𝑏2 , karena 𝑏1 dan
𝑏2 merupakan parameter untuk masing − masing 𝑥1 dan 𝑥2

5. PENGGUNAKAN VARIABEL 2 INPUT
Jika sebuah ladang pertanian jagung ingin menggunakan 2 jenis pupuk yang berbeda secara
bersamaan, yaitu pupuk fosfat (𝑥1) dan pupuk kalium (𝑥2), dan telah dilakukan penelitian selama 9
bulan yang berarti 3 kali masa tanam hingga panen dimana 1 kali masa tanam dan panen adalah 3
bulan, dengan perbandingan pupuk yang berbeda pada 3 lahan yang berbeda yang masing-masing 1
Ha, didapatkan data sebagai berikut :
Bulan tanam Y (kg/ha) 𝑥1(kg/ha) 𝑥2(kg/ha)
1 - 3 5760 50 20
7200 100 20
6480 150 20
4 - 6 6400 50 40
8000 100 40
7200 150 40
7 - 9 4480 50 60
5600 100 60
5040 150 60

6. Pembahasan :
1. Nilai maksimum produksi saat x1 = 100 dan x2 = 40
2. Kita estimasikan perbandingan nilai x1dan x2 sebagai nilai b1dan b2
3. x1: x1= 100 : 40 = 5 : 2 maka b1= 0.05 dan b2 = 0.02
4. y = A x1
b1 x2
b2
8000 = A 1000.05 400.02
A = 8000 / (1000.05 400.02)
A = 5902
5. y = 5902 x1
0.05 x2
0.02 kg/ha
Dari rumus diatas ada perbedaan jumlah yang dapat ditoleransi karena perbedaannya
tidak terlalu jauh.

7. Apa yang terjadi jika jumlah pupuk fosfat dan pupuk kalium
dibuat sama?
Jika dianggap pupuk fosfat sebesar 50 kg/ha dan pupuk kalium sebesar 50 kg/ha
Maka, y = 5902 (500.05
500.02
)
= 5902 (1,172)
= 6917,15 kg/ha
Mengapa hasilnya lebih besar dari 𝑥1=50 dan 𝑥2= 60 yang hanya 4480 ditabel?
Bisa saja hasilnya lebih besar atau lebih kecil, karena tabel hanya digunakan
sebagai penentu parameter masing-masing pupuk (𝑏1, 𝑏2) agar dapat ditentukan
parameter produksinya (A).
Perlu diketahui bahwa >𝑥1 dan >𝑥2 maka >y dan tidak didapat nilai maksimumnya
tetapi berpengaruh pada margin rate of subtitution (MRS)

8. Jika >𝑥1 dan >𝑥2 maka >y
artinya semakin besar nilai 𝑥1 dan 𝑥2 maka y juga semakin besar
Berarti y tak terbatas?
Secara teori nilai y tidak terbatas, tetapi pada faktanya adalah ada faktor lain selain 𝑥1 dan
𝑥2 yang membatasi, oleh karena itu secara umum dituliskan dengan :
y = f(𝑥1, 𝑥2| 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, … , 𝑥 𝑛)
Jadi, untuk produksi 2 variabel input diasumsikan bahwa faktor-faktor lain dianggap
konstan

9. Ternyata untuk setiap (𝑥1, 𝑥2) terdapat y yang memiliki
kemiringan sama (isoquants)
Dan kemiringan ini dapat dihitung sebagai Margin Rate of
Subtitution (MRS𝑥1 𝑥2)
Apa itu Margin Rate of Subtitution 𝑥1, 𝑥2 (MRS𝑥1 𝑥2) ?
• Margin Rate of Subtitution adalah tingkat kemampuan barang
𝑥1 untuk menggantikan 𝑥2
• Tingkat kemiringan pada Isoquants masing-masing y yang nilainya hampir konstan
dan cenderung semakin kecil untuk y yang semakin besar
• Dalam matematika MRS𝑥1 𝑥2 = d𝑥2/d𝑥1

10. Kemiringan setiap Isoquant saling terkait dengan
Produk Fisik Marginal (MPP) dari dua input 𝑥1 dan 𝑥2
Untuk menunjukkan bahwa ini benar, dengan fungsi
produksi y = f( 𝑥1, 𝑥2). Diferensial total dari fungsi
produksi ini menggambarkan apa yang terjadi pada
keluaran y ketika masing-masing masukan bervariasi.
Kita dapat menulis dy = My/M𝑥1 d𝑥1 + My/M𝑥2 d𝑥2.

11. MRS𝑥1 𝑥2 = d𝑥2/d𝑥1
MPP𝑥1= My/M𝑥1 (𝑥2 diasumsikan konstan)
= 𝑏1 A 𝑥1
𝑏1−1
𝑥2
𝑏2
MPP𝑥2= My/M𝑥2 (𝑥1 diasumsikan konstan)
= 𝑏2 A 𝑥1
𝑏2 𝑥2
𝑏2−1
MRS𝑥1 𝑥2 = ‐ (𝑏1 𝑥2/𝑏2 𝑥1)
MPP𝑥1 adalah produk fisik marginal input variabel 𝑥1dengan
mengabaikan faktor 𝑥2
MPP𝑥2 adalah produk fisik marginal input variabel 𝑥1dengan
mengabaikan faktor 𝑥1
Marginal Rate of Substitution (MRS𝑥1 𝑥2) untuk input 𝑥1 sebagai
pengganti faktor 𝑥2, kemiringan Isoquant pada setiap titik
diatasnya, sama dengan negatif dari rasio dari dua MPPs (𝑥1 𝑥2)

12. 𝑥1
𝑥2
C*
0
Tabel 1.1 Grafik Isoquants dan Biaya C*
y=110

13. C = 𝑣1 𝑥1 + 𝑣2 𝑥2
C = Total biaya dari pemakaian 𝑥1 dan 𝑥2
𝑣1 = Biaya produk 𝑥1
𝑣2 = Biaya produk 𝑥2
Jadi, C mewakili biaya total untuk penggunaan produk 𝑥1 dan 𝑥2 sedangkan
terdapat C* yang merupakan anggaran yang disediakan.
C* menentukan nilai 𝑥1 dan 𝑥2 yang dipotong oleh kemiringan pada tabel,
sehingga didapat nilai dari 𝑥1 dan 𝑥2 yang tepat.

14. Titik-titik singgung antara garis anggaran dan isokuan sangat penting,
karena mereka masing-masing mewakili biaya kombinasi input pada
tingkat output yang diwakili oleh Isoquant untuk itu anggaran khusus
pengeluaran. Pada setiap titik singgung, ini adalah kombinasi dari dua
input (pupuk fosfat dan pupuk kalium) yang menghasilkan output
maksimum untuk pengeluaran anggaran khusus, atau bergantian,
menghasilkan tingkat output tertentu minimal Biaya C*.

15. Kendala biaya produksi untuk 2 variabel input
MRS𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 = ( 𝒗 𝟏/𝒗 𝟐)
MRS𝑥1 𝑥2 = ‐ (𝑏1 𝑥2/𝑏2 𝑥1)
𝑥2 = ( 𝑣1/𝑣2)( 𝑏2/𝑏1) 𝑥1
Untuk setiap produk 𝑥2 yang dapat digantikan oleh 𝑥1dapat dihitung
penggantinya dengan persamaan diatas, dengan membandingkan harga
𝑥1dan 𝑥2 yaitu 𝑣1dan 𝑣2, tapi apakah hal ini sudah tepat dan akurat?
Ternyata ada faktor lain yaitu harga dari barang dalam hal ini adalah jagung (p) yang membuat nilai
dari output bisa lebih maksimal

16. Ladang Jagung Fosfat Kalium Biaya ($)
70 3.381 3.306 7.51
80 6.592 6.445 14.65
90 11.879 11.615 26.40
100 20.117 19.670 44.70
110 32.398 31.678 72.00
120 50.057 48.944 111.24
130 74.692 73.032 165.98
140 108.192 105.788 240.43
Contoh persoalan menghitung nilai maksimal keuntungan :
Perhatikan tabel dibawah

17. Kita asumsikan nilai output maksimal (II) sebagai
persamaan :
II = py - 𝑣1 𝑥1 - 𝑣2 𝑥2
II = y = pA 𝒙 𝟏
𝒃 𝟏 𝒙 𝟐
𝒃 𝟐 - 𝒗 𝟏 𝒙 𝟏 - 𝒗 𝟐 𝒙 𝟐
(𝑏1 pA 𝑥1
𝑏1−1
𝑥2
𝑏2)/𝑣1 = (𝑏2 pA 𝑥1
𝑏2 𝑥2
𝑏2−1
) /𝑣2 = 1
Diketahui pada persamaan sebelumnya y = 5902 x1
0.05
x2
0.02
Nilai 𝑣1= $1.00 dan 𝑣2= $1.25
𝑥2 = ( 𝑣1/𝑣2)( 𝑏2/𝑏1) 𝑥1= (1/1.25)(0.02/0.05) 𝑥1= (0.8)(0.4) 𝑥1= 0.32 𝑥1

18. Ditentukan harga jagung (P) = $10
(𝑏1 pA 𝑥1
𝑏1−1 𝑥2
𝑏2)/𝑣1 = 1
(0.05 10 5902 𝑥1
0.05−1(0.32 𝑥1)0.02 /$1 = 1
(0.05 10 5902 𝑥1
−0.95 0.9774 𝑥1
0.02/$1 = 1
2.884,3074 𝑥1
−0.93
= 1
𝑥1
0.93
= 2.884,3074
𝑥1 = 5.253,8150 pon/ha
𝑥2 = 0.32 𝑥1 = 0.32 (5.253,8150) = 1.681,2208 pon/ha
Pembahasan :
Pada tabel 1.1 diperkirakan untuk 𝑥1= 5.253 dan 𝑥2 = 1.681 mendapat titik keuntungan maksimal dengan y = 110
C = $10 x 110 = $1100 dan C* = 72 , maka keuntungan maksimalnya $1100-$72 = $1028 per ha

19. Jika ada perubahan harga barang (variabel input) maka simpulan umum kita
temukan di sini adalah bahwa sebagai harga satu dari dua input meningkat,
kurang dari masukan yang akan digunakan dalam campuran masukan yang
optimal. Keuntungan selalu turun dalam menghadapi suatu kenaikan harga
masukan. Namun, perusahaan mengkompensasi sebagian untuk kenaikan
harga input dengan meningkatnya jumlah relatif penggunaan input yang
harganya belum naik.

20. Optimasi Menggunakan Metode Lagrange :
L = p A 𝒙 𝟏
𝒃 𝟏 𝒙 𝟐
𝒃 𝟐 + λ(C * - 𝒗 𝟏 𝒙 𝟏 - 𝒗 𝟐 𝒙 𝟐)
VMP𝑥1 / MFC𝑣1 = VMP𝑥2 / MFC𝑣2 = λ
L = Optimasi Lagrange
p = harga produk
λ = variabel langrange
λ = (𝑏1 pA 𝑥1
𝑏1−1
𝑥2
𝑏2) /𝑣1= (𝑏2 pA 𝑥1
𝑏2 𝑥2
𝑏2−1
)/𝑣2
VMP : nilai dari produk marginal kedua input
MFC : biaya dari faktor marginal
Kita berasumsi bahwa perusahaan dapat membeli banyak atau sedikit
dari masing-masing pupuk dengan harga pasar 𝑣1 dan 𝑣2.
Karena ini, MFC𝑥1= 𝑣1 dan MFC𝑥2 = 𝑣2, sebagai harga input

21. Sepanjang jalur ekspansi (menetas line), kondisi ini berlaku:
(𝑏1 pA 𝑥1
𝑏1−1
𝑥2
𝑏2) /𝑣1= (𝑏2 pA 𝑥1
𝑏2 𝑥2
𝑏2−1
)/𝑣2= λ Kami juga dapat menulis kondisi ekspansi-jalan sebagai
VMP𝑥1 / MFC𝑣1 = VMP𝑥2 / MFC𝑣2.= λ dimana λ adalah setiap angka positif.
Sebagai contoh, misalkan λ sama 3. Itu artinya uang yang tersedia untuk pembelian masing-masing input (C*)
tidak memungkinkan bagi perusahaan untuk mencapai titik maksimalisasi keuntungan di mana λ = 1. Secara
ekonomi, perusahaan adalah pada titik di mana VMP setiap masukan adalah tiga kali biaya untuk kedua input
𝑥1 dan 𝑥2. Jika anggaran untuk pembelian dua input C* sangat kecil, nilai multiplier Lagrange adalah sangat
besar. Tapi multiplier Lagrange menurun seperti yang kita bergerak ke luar sepanjang jalur ekspansi ke arah
maksimalisasi keuntungan (*) titik di mana λ = 1, dan dolar terakhir digunakan untuk membeli unit tambahan
dari hasil masukan tepat $ 1.
Perusahaan tidak memiliki alasan apapun untuk beroperasi pada titik-titik di luar jalur ekspansi yang
memaksimalkan laba titik (di luar *). Metode Lagrange akan menemukan titik-titik ini di luar bintang yang akan
baik-baik saja dengan biaya solusi poin, asalkan isokuan yang membungkuk ke dalam dan nilai λ adalah setiap
angka positif. Di sinilah ekonomi menjadi penting di luar matematika, sebagai ekonom akan mengesampingkan
poin produksi luar * sebagai solusi yang lebih tinggi-biaya yang tidak mewakili produksi ekonomi.
Catatan penting mengenai Optimasi Lagrange :