Dokumen ini membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear dalam matematika, menjelaskan definisi, contoh, dan sifat-sifatnya. Persamaan merupakan kalimat matematis yang menyatakan kesamaan, sementara pertidaksamaan menunjukkan hubungan ketidaksamaan. Terdapat juga contoh penyelesaian dan aplikasi dari kedua konsep tersebut.

1. PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
SMA AR-RIDHA AL SALAAM

2. Dalam matematika
khususnya aljabar dikenal
beberapa
istilah
kesamaan,
,
da
n
pertidaksamaan

4. Kesamaan berasal dari kata “Sama” yang berarti serupa (halnya,
keadaannya dan sebagainya), tidak berbeda, tidak berlainan. Dalam KBBI,
kesamaan mempunyai arti perihal sama.
Sedangkan kesamaan dalam merupakan kalimat pernyataan yang
memiliki tanda hubung sama dengan (=)
9 × 8 = 70 + 2
28 : 4 = 12 – 5
12 + 13 = 45 – 20

5. Persamaan mempunyai arti perihal mempersamakan (tingginya, tingkatnya,
dan sebagainya) atau keadaan yang sama atau yang serupa dengan yang lain.
Sedangkan dalam matematika persamaan memiliki makna yaitu
kalimat terbuka yang memiliki tanda hubung sama dengan (=).
2a = 6
n + 9 =
12 2x – y
= -5

6. Ketidaksamaan adalah kalimat pernyataan yang menyatakan hubungan
tidak sama.
T
anda hubung tidak sama:
2 kurang dari 6 ditulis 2 < 6
5 lebih dari 3 ditulis 5 > 3
6 < 8 dan 10 > 8 ditulis 6 < 8 <
< dibaca “kurang
dari”
> dibaca “lebih dari”
 dibaca “kurang dari atau sama
dengan”
 dibaca “lebih dari atau sama
dengan”
 dibaca “tidak sama dengan”

7. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan
ketidaksamaan atau kalimat/pernyatan matematika yang menunjukkan
perbandingan ukuran dua objek atau lebih.
x < 4
p + 10 > 12
x + y > 25
Perbedaannya: pertidaksamaan terdapat variabel, ketidaksamaan tidak
terdapat variabel

8. Himpunan Penyelesaian suatu Kalimat Terbuka
Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua pengganti dari
variabel-variabel pada kalimat terbuka yang membuat kalimat
tersebut menjadi benar. Himpunan penyelesaian sering disingkat
sebagai HP.
Contoh:
a + 8 = 12
Pengganti a yang benar adalah 4. penyelesaiannya adalah
a = 4 dan himpunan penyelesaiannya adalah {4}.

9. Secara umum, persamaan linear adalah persamaan
dengan derajat satu. Ini artinya semua suku pada
persamaan tersebut memuat variabel pangkat tertinggi
yaitu satu.
Contoh:
a + 3 = 2
x + 5y = 7x –
1p - 2q + 3r =
0

10. Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan linear satu variabel adalah persamaan yang
terdiri atas satu variabel dan pangkat dari variabel
tersebut adalah satu.
Contoh:
6t + 9 = 31
6 + 2y = 3y –
1

11. Persamaan yang Ekuivalen
Suatu persamaan yang mempunyai himpunan
penyelesaian yang sama, apabila pada persamaan itu
dikenakan suatu operasi tertentu. Notasi ekuivalen adalah
“”
Contoh:
x + 6 = 18, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}
x – 2 = 10, maka himpunan penyelesaiannya adalah {12}
3x – 6 = 30, maka himpunan penyelesaiannya adalah
{12}

12. Untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan
linear dengan satu variabel, kita dapat menggunakan
sifat penambahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian.

13. Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini
dengan variabel x merupakan anggota himpunan bilangan
asli.
4x – 8 = 6x – 12
Jawab:
4x – 8 = 6x
– 12
 4x – 8 + 12 = 6x – 12 + 12
 4x + 4 = 6x + 0
(persamaan awal)
(kedua ruas ditambah
12)

14.  4x + 4 = 6x
 4x + 4 – 4x = 6x –
4x
(kedua ruas dikurang
4x)
 0 + 4 = 2x
 4 = 2x
 2x = 4
 2x : 2 = 4 : 2
 x = 2
(kedua ruas dibagi
2)
Jadi, HP = {2}

15. Contoh 2:
Tentukan 4 bilangan cacah berurutan yang jumlahnya 122.
Jawab:
Misalkan bilangan cacah pertama = x
bilangan cacah kedua = x + 1
bilangan cacah ketiga = x + 2
bilangan cacah keempat = x +
3
Jadi bilangan itu bisa
diurutkan menjadi:
x , x + 1, x + 2, x + 3

16. Sehingga:
x + x + 1 + x + 2 + x + 3 =
122





4x + 6 = 122
4x + 6 – 6 = 122 –
6
4x = 116
4x : 4 =
116 : 4
x = 29
Jadi, bilangan itu adalah 29, 30, 31 dan
32

17. Selesaikanlah
Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 126.
apabila bilangan genap yang pertama 2n, nyatakan bilangan
kedua dan ketiga dalam n, serta tentukan ketiga bilangan
itu.
Jawab:
bilangan genap pertama = 2n
bilangan genap kedua = 2n +
2 bilangan genap ketiga = 2n +
4

18. Sehingga:
2n + 2n + 2 + 2n + 4 =
126





6n + 6 = 126
6n + 6 – 6 = 126 – 6
6n = 120
6n : 6 = 120
: 6
n = 20
Jadi, bilangan itu adalah 40, 42 dan
44

19. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang
terdiri atas variabel dan pangkat dari variabel tersebut
satu.
Contoh:
t + 2 < 13, disebut pertidaksamaan linear dengan satu variabel t
k - l  10, disebut pertidaksamaan linear dengan dua variabel k dan
l

20. Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear
Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi
dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaannya
tidak berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b maka a ± c < b ± c
Jika a > b maka a ± c > b ± c
Jika a  b maka a ± c  b ± c
Jika a  b maka a ± c  b ±
c

21. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi
dengan bilangan positif yang sama maka tanda
ketidaksamaannya tidak berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc dan 𝑎
< 𝑏
𝑐 𝑐
Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc dan 𝑎
> 𝑏
𝑐 𝑐
Jika a  b dan c > 0 maka ac  bc dan 𝑎
≤ 𝑏
𝑐 𝑐

22. Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaannya
berubah.
Secara matematis ditulis:
Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc dan 𝑎
> 𝑏
𝑐 𝑐
Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc dan 𝑎
< 𝑏
𝑐 𝑐
Jika a  b dan c < 0 maka ac  bc dan 𝑎
≥ 𝑏
𝑐 𝑐
𝑎

23. x <
a
x
a
Tanda < atau > pada garis bilangan digambar
Tanda  atau  pada garis bilangan digambar

x 
a
x
a
Garis Bilangan Pertidaksamaan Linear

24. x < a atau x >
b
a  x <
b
x
a b
x
b
x
a
x  a atau x 
b
x
b
x
a

25. Contoh1:
Apabila x adalah variabel pada {1, 2, 3, 4, 5},
tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
berikut.
a. x – 2 < 3
b. x + 1  3
Jawab:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini dapat dilakukan
dengan substitusi.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear

26. a. x – 2 <
3
Jadi, HP = {1, 2, 3, 4}
b. x + 1  3
Jadi, HP = {2, 3, 4, 5}
Variabel (x) 1 2 3 4 5
x – 2 -1 0 1 2 3
< 3? ya ya ya ya tidak
Variabel (x) 1 2 3 4 5
x + 1 2 3 4 5 6
 3? tidak ya ya ya ya

27. Contoh2:
Tentukan Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
15 – 8x > 40 – 13xdengan x  B.
Jawab:
Tanda variabel x positif
15 – 8x > 40 – 13x
 15 – 8x + 13x > 40 – 13x +
13x
(kedua ruas ditambah
13x)
 15 + 5x > 40
 15 + 5x – 15 > 40 –
15
(kedua ruas dikurangi
15)

28.  5x > 25
 5x : 5 > 25 : 5 (kedua ruas dibagi
5)
 x > 5
Tanda variabel x negatif
15 – 8x > 40 –
13x
 15 – 8x + 8x > 40 – 13x +
8x
 15 > 40 – 5x
 15 – 40 > 40 – 5x – 40
 –25 > –5x
(kedua ruas ditambah
8x)
(kedua ruas dikurangi
40)

29.  –25 : (–5) > –5x : (–5) (kedua ruas dibagi –5)
 5 < x (tanda ketidaksamaan
berubah)
 x > 5 (penyelesaian)
HP = {6, 7, 8, 9, . . .}
Atau dapat ditulis sebagai HP = {x  x > 5, x
 B}
Garis Bilangan:
x
5

30. Contoh3:
Selesaikan pertidaksamaan 6 < 2 – 4t < 10 dengan t 
B.
Jawab:
6 < 2 – 4t < 10
 6 – 2 < 2 – 4t – 2 < 10 – 2
 4 < – 4t < 8
 4 : (–4) > – 4t : (–4) > 8 : (–4)
 –1 > t > –2
 –2 < t < –1
HP = {t  –2 < t < –1, t  B} atau HP { }

31. Contoh4:
Model kerangka balok terbuat dari kawat tembaga dengan
ukuran panjang rusuk-rusuknya x cm, (x + 2) cm, dan (x + 5)
cm. Panjang kawat yang diperlukan seluruhnya tidak
melebihi 100 cm. Jika panjang kawat seluruhnya dinyatakan
dengan s cm maka:
a. Nyatakan s dalam x
b. Tulislah pertidaksamaan dalam x yang paling
sederhana.

32. Jawab:
a. s = 4x + 4(x + 2) + 4(x + 5)
 s = 4(x + x + 2 + x + 5)
 s = 4(3x + 7)
 s = 12x + 28
b. Karena s tidak melebihi 100 cm berarti s  100, diperoleh:
12x + 28  100
 12x + 28 – 28  100 – 28


12x  72
x  6 (bentuk paling
sederhana)

33. Selesaikanlah:
Sebuah mobil barang melalui jembatan timbang. Berat
mobil barang itu 2,5 ton, sedangkan muatannya t ton. Berat
maksimum yang diperkenankan untuk melewati jembatan
tersebut adalah 6,5 ton. Tentukan nilai 2t.
Jawab:
2,5 + t  6,5
2,5 + t – 2,5  6,5 – 2,5
t  4
2t  8