Membentangkan tajuk miskonsepsi dalam konsep matematik

1. PROGRAM PENGAJIAN SISWAZAH
SME 6014
(TEACHING OF MATHEMATICS)
TUGASAN 1
(TAJUK : MISKONSEPSI DALAM MATEMATIK)
DISEDIAKAN OLEH :
SITI NAQUIAH BINTI AB.RAZAK
M20101000933
DISEDIAKAN UNTUK :
PROF. DR. MARZITA PUTEH
PEMARKAHAN

2. 2
Isi Kandungan Muka Surat
1.0 Pengenalan 3
2.0 Miskonsepsi dalam Pengajaran dan Pembelajaran 3 - 5
2.1 Miskonsepsi dalam Topik Algebra 6 - 8
2.2 Miskonsepsi dalam Topik Geometri 9 - 11
2.3 Miskonsepsi dalam Topik Trigonometri 12
2.4 Miskonsepsi dalam Topik Statistik 13 - 17
2.5 Miskonsepsi dalam Topik Kebarangkalian 17 - 21
2.6 Miskonsepsi dalam Topik Kalkulus 21
3.0 Cara Mengatasi Miskonsepsi 22
4.0 Penutup 23
Rujukan 24 - 26

3. 3
1.0 Pengenalan
Matematik adalah salah satu bidang ilmu yang sangat menyeluruh sifatnya. Ia
merangkumi semua aspek kehidupan, seperti membuat perhitungan, membuat
penilaian dan seterusnya membuat keputusan. Melalui proses penyelesaian masalah
seharian, manusia dikerah untuk mengeluarkan pendapat seterusnya memberikan
hujah terhadap keputusan atau langkah penyelesaian yang diambil. Maka disinilah
peranan berfikir secara matematik dapat membantu manusia membuat pertimbangan
yang wajar sebelum memilih sesuatu jalan penyelesaian.
Bagi memperkembangkan potensi pemikiran matematik di dalam akal
manusia, ia seharusnya bermula dari peringkat kanak-kanak. Konsep matematik
terhadap alam sekelililng sebenarnya telah wujud di dalam akal kanak-kanak sejak
dari peringkat bayi lagi. Ini merujuk kepada sifat ingin tahu kanak-kanak terhadap
objek, terutama melalui deria sentuhan. Pendedahan awal kepada banyak bentuk
konkrit di sekelilig kanak-kanak sebenarnya mencetuskan pelbagai persepsi terhadap
alam sekeliling. Pelbagai konsep terbentuk di dalam minda kanak-kanak, yang boleh
bersifat betul dari segi konsepnya, ataupun yang bersifat miskonsepsi. Setiap dari
konsep matematik yang perlu dikuasai oleh kanak-kanak atau murid, pasti akan
berlaku salah faham konsep atau miskonsepsi.
2.0 Miskonsespi dalam Pengajaran dan Pembelajaran
Miskonsepsi berasal daripada perkataan Inggeris iaitu ‘misconception’. Menurut
Webster’s Third New International Dictionary (1996), ‘conception’ bermaksud
kemampuan, fungsi atau proses membentuk idea, abstrak atau berkenaan pemahaman
maksud simbol yang mewakili idea atau abstraks. ‘Mis’ bermaksud salah atau tidak.
Gabungan pengertian kedua-dua suku kata tersebut membentuk idea, abstrak atau
pemahaman yang salah. Halloun dan Hestenes (1985) mendefinasikan miskonsepsi
sebagai pengetahuan yang diturukan daripada pengalaman individu yang luas.
Pengetahuan tersebut bertentangan dengan teori saintifik.

4. 4
Perkembangan kanak-kanak dalam bidang awal matematik atau dalam
mengenal angka, nombor dan membilang bukan berdasarkan konsep semua atau tiada
langsung (all or nothing), tetapi lebih berdasarkan konsep perkembangan beransur-
ansur yang melibatkan sesuatu penemuan dan pembinaan makna yang lebih mendalam
tentang angka dan konsep-konsep pengiraan (Baroody, 1987). Kanak-kanak belajar
nombor berdasarkan pengalaman mereka (Ginsburg, 1977). Walaupun pelbagai kajian
awal telah dijalankan mengenai perkembangan awal kanak-kanak dalam kebolehan
matematik tetapi masih tidak jelas sama ada pengetahuan ini pengetahuan konseptual
atau prosedural (Siegler, 1991;Gelmen et al.1978).
Menurut Subahan (1999), salah satu sumber miskonsepsi boleh wujud di
kalangan murid ialah daripada penerangan yang terlalu ringkas dan tidak lengkap.
Terdapat tiga sumber penyumbang kepada kewujudan miskonsepsi iaitu :
1. Idea daif yang berpunca daripada pengalaman harian dan bahasa yang mereka
gunakan.
2. Kesalahan konsep yang terbentuk semasa aktiviti pengajaran yang berpunca
daripada kefahaman yang tidak kukuh terhadap sesuatu konsep yang dijelaskan
oleh guru.
3. Pengajaran guru atau pensyarah yang tidak tepat atau salah.
Miskonsepsi dan kesalahan adalah perkara yang berbeza dalam pengajaran dan
pembelajaran matematik. Menurut Olivier (1989), beliau menyatakan kesalahan
merupakan jawapan yang salah kerana perancangan yang tidak tepat dan tidak
sistematik manakala miskonsepi merupakan faktor struktur kognitif yang
menyebabkan kesalahan itu berlaku. Menurut Li (2006) pula, kesalahan muncul secara
tidak stabil dalam konteks masalah yang berbeza manakala miskonsepsi adalah
struktur kognitif yang salah dan lebih stabil muncul dalam konteks masalah yang
berbeza.
Secara umumnya, murid-murid memahami sesuatu konsep tetapi terdapat
kesalahan dalam kiraan yang berlaku kerana kecuaian. Kesalahan biasanya berlaku
sekali atau kadang-kadang sahaja. Miskonsepi pula selalunya berlaku dengan kerap
kerana murid-murid tersalah membina idea sendiri atau tersalah konsep. Murid tidak
tahu mereka melakukan kesilapan kerana mereka menjawab soalan mengikut

5. 5
kefahaman mereka yang sedia ada. Kesilapan ini akan dilakukan berulang-ulang
sehingga ada orang yang memperbetulkan konsep mereka. Masalah ini akan menjadi
lebih serius sekiranya guru tidak mengenalpasti faktor berlakunya miskonsepsi-
miskonsepsi dan berusaha untuk mengambil langkah bagi mengatasinya.
Miskonsepsi perlu diatasi supaya pengajaran adalah lebih berkesan apabila
salah faham konsep dikenal pasti, dicabar dan diselesaikan. Murid-murid menghadapi
kesukaran kognitif dalaman apabila beberapa idea, proses, atau peraturan luaran
konflik dengan skema mental mereka yang sedia ada. Penyelesaian konflik kognitif
melalui perbincangan dapat menjadikan pembelajaran lebih berkesan dan seimbang.
Sebagai seorang pendidik, miskonsepsi perlu diberi perhatian yang lebih terutama
kepada murid yang sering melalukan kesilapan yang berulang-ulang. Ini kerana murid
membina makna secara dalaman yang membina konsep baru dalam rangka kerja
mental yang sedia ada. Ada kemungkinan bahawa gambaran murid boleh menyimpang
dari yang dimaksudkan sekiranya ada pihak lain yang campur tangan. Sebahagian
besar murid berkongsi salah faham konsep yang sama dan melakukan kesilapan yang
berulang-ulang kali dalam pembelajaran.
Sebahagian murid tergolong dalam lemah matematik mungkin disebabkan oleh
kurang mahir membaca, menulis, melakukan latihan pengiraan dan bercakap. Dalam
matematik, masalah ini akan lebih ketara dengan adanya istilah matematik yang mana
sebahagiannya daripada mereka yang belum pernah mendengar dan lupa istilah yang
diberikan. Konsep matematik murid perlu diperkenalkan dengan pelbagai bentuk,
kaedah dan pendekatan. Murid haruslah diperkenalkan dengan pelbagai contoh
konkrit.
Penulisan ini akan memfokuskan kepada miskonsepsi kandungan matematik
yang dirangkumkan menjadi lima bidang iaitu komponen algebra, komponen
geometri, komponen trigonometri, komponen statistik dan kebarangkalian dan
kompenan kalkulus. Setiap komponen ini sangat penting untuk murid kuasai kerasa
setiap darinya mempunyai kaitan antara satu sama lain.

6. 6
2.1 Miskonsepsi dalam Topik Algebra
Saripah Latipah (2000) mendapati pelajar tidak menguasai konsep asas Ungkapan
Algebra dengan baik dan ini menyebabkan berlakunya salah konsep dalam operasi
asas Algebra. Rosli (2000) juga mendapati pelajar melakukan kesilapan bagi aspek-
aspek tertentu dalam Ungkapan Algebra seperti mempermudahkan pecahan algebra,
pemfaktoran dan pengembangan dua ungkapan. Chan Siew Lian (1999) dalam
kajiannya ke atas pelajar aliran vokasional mendapati tahap pengetahuan dan
kefahaman pelajar terhadap tajuk operasi aljabar berada pada tahap yang rendah dan
ini menyebabkan berlakunya kesilapan salah konsep.
Terdapat beberapa miskonsepsi pelajar dalam topik algebra. Antaranya ialah:
i. Kesilapan pelajar dalam menentukan kembangan ungkapan algebra bagi
hasil darab suatu ungkapan dengan suatu sebutan
Contoh soalan 1 :
( )
Murid tidak mengembangkan ungkapan dengan nombor pecahan. Mereka
memberikan jawapan dalam bentuk satu pecahan. Selain itu, salah konsep
dalam ungkalapan algebra juga berlaku pada soalan ini di mana pelajar
telah menambah dua sebutan yang berbeza menjadi hasil darab dua anu.
Contoh miskonsepsi :
( ) ( )
Contoh soalan 2 :
( )
Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah akibat kecuaian dan kesilapan
dalam operasi darab sebutan bertanda negatif yang melibatkan tanda
kurungan.

7. 7
ii. Kesilapan dalam menentukan kembangan ungkapan algebra bagi hasil
darab dua ungkapan.
Contoh soalan 3 :
( )( )
Secara keseluruhannya, kesilapan muird dalam subtopik ini ialah kesilapan
dalam menambah dua sebutan yang serupa yang merupakan sebutan dalam
dua anu dan kesilapan murid dalam operasi darab nombor negatif yang
melibatkan tanda kurungan. Selain itu terdapat juga kesilapan dalam
operasi tambah sebutan bertanda negatif.
Contoh Miskonsepsi :
( )( )
Contoh Miskonsepsi :
( )( )
iii. Kesilapan pelajar dalam menukarkan ungkapan algebra yang mengandungi
dua sebutan kepada hasil darab satu sebutan dengan satu ungkapan.
Contoh soalan 4 :
Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah kesilapan dalam pemfaktoran
ungkapan algebra yang melibatkan proses mencari faktor sepunya bagi
sebutan dalam ungkapan algebra. Dalam pemfaktoran ungkapan algebra
pada subtopik ini, ia melibatkan pemfaktoran faktor sepunya yang terbesar
bagi pekali dan faktor sepunya bagi anu dalam ungkapan algebra.
Kesilapan murid dalam subtopik ini ialah mereka tidak memfaktorkan
selengkapnya terhadap faktor sepunya terbesar bagi pekali pada sebutan
yang terdapat dalam ungkapan algebra yang diberikan.

8. 8
iv. Kesilapan murid dalam menukarkan ungkapan algebra yang mengandungi
dua sebutan kepada hasil darab dua ungkapan.
Contoh soalan 5 :
Berdasarkan item yang terdapat dalam subtopik ini, kesilapan yang paling
tinggi yang dilakukan oleh murid ialah pada soalan 5. Item-item yang
terdapat dalam subtopik ini mengkehendaki pelajar menggunakan identiti
dalam ungkapan algebra iaitu ( )( ) Kesilapan muidr
dalam subtopik ini ialah mereka telah menggunakan identiti yang salah.
Contoh miskonsepsi :
( )
( )( )

9. 9
2.2 Miskonsepsi dalam Topik Geometri
Kajian Gal dan Linchevski (2010) dan Van Hiele (1986) tentang miskonsepsi murid
terhadap geometri menunjukkan kanak-kanak lebih bergantung kepada prototaip
berbanding definisi secara lisan dalam mengenalpasti dan mengklasifikasikan bentuk.
Archavsky dan Goldenberg (2005) menyatakan interaksi antara definisi secara formal
dan imej gambarajah geometri secara mental seringkali bercanggah. Kajian Duval
(1998) mengenai miskonsepsi geometri menyatakan pengajaran geometri adalah lebih
kompleks daripada pengajaran operasi berangka atau algebra, maka ianya penting
untuk menggunakan alat visual dan multimedia di dalam kelas.
Terdapat beberapa contoh miskonsepsi pelajar dalam topik Geometri.
Antaranya ialah:
i. Mengenal pasti tapak (base) dan tinggi (height) segitiga
Murid mengandaikan garisan ‘bawah’ sebagai tapak dan tinggi pula ialah
garisan ‘keatas’ dari tapak. Cara untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah
guru perlu memberi peluang kepada pelajar mengenal pasti jenis-jenis segi
tiga yang mempunyai orientasi yang berbeza untuk menentukan ‘Tapak’
dan ‘Tinggi’ setiap segi tiga. Guru juga perlu menerangkan perhubungan
di antara ‘tapak’ dan ‘tinggi’ iaitu berserenjang antara satu sama lain.
ii. Miskonsepsi konservasi
Murid mengandaikan “rules of invariance” yang diaplikasikan dalam
algebra adalah sama untuk bentuk geometri. Cara untuk mengatasi
miskonsepsi ini ialah guru perlu mendemostrasikan bentuk-bentuk maujud
yang berbeza yang mempunyai luas yang sama tetapi perimeter yang
berbeza. Murid juga perlu mengaplikasikan gelang getah untuk membina
segi empat yang mempunyai dimensi yang berbeza tetapi mempunyai
perimeter yang sama, kemudian bandingkan luas setiap bentuk segi empat
yang dihasilkan.

10. 10
iii. Lebih besar ruang bemakna lebih besar sudut
Murid mempunyai ilusi persepsi diantara ‘pusingan yang lebih besar’ dan
‘ruang yang lebih besar’ diantara dua garisan yang membentuk sudut. Cara
untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah murid boleh membezakan di antara
‘pusingan yang lebih besar’ dan ‘ruang yang lebih besar’ antara dua
garisan yang membentuk sudut. Guru juga perlu menggalakkan pelajar
untuk mengukur saiz sudut menggunakan jangka sudut.
iv. Ciri-ciri bentuk
Murid gagal untuk mengenalpasti contoh-contoh bentuk lain yang tidak
sama dengan imej bentuk yang mereka gambarkan
Contoh miskonsespi :
Ciri-ciri segi tiga
 Segi tiga mempunyai satu titik di atas dan dua titik di bawah
 Bahagian bawah segi tiga adalah perimeter
Ciri-ciri segi empat
 Segi empat adalah panjang
 Segitiga mempunyai dua sisi yang panjang dan dua sisi lain yang
pendek
Cara untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah guru perlu mendedahkan
pelajar kepada contoh-contoh bentuk yang konkrit dan memperkenalkan
ciri-ciri bentuk yang betul. Manakala murid juga perlu didedahkan dengan
contoh bentuk yang pelbagai yang mempunyai saiz dan orientasi yang
berbeza.
v. Orientasi dan putaran bentuk
Murid gagal mengenalpasti bentuk apabila dipamerkan dalam pelbagai
posisi dan belum menguasai konsep ketekalan terhadap posisi objek. Cara

11. 11
untuk mengatasi miskonsepsi ini ialah guru perlu memperkenalkan topik
putaran untuk menunjukkan bahawa tiada perubahan yang berlaku dari
segi struktur dan bentuk. Murid juga perlu didedahkan dengan contoh
bentuk yang pelbagai yang mempunyai saiz dan orientasi yang berbeza.
vi. Garisan serenjang
Garis serenjang ialah garis yang membentuk sudut 90o
apabila garisan
menegak dan mendatar berserenjang antara satu sama lain. Cara untuk
mengatasi miskonsepsi ini ialah murid perlu didedahkan untuk mengenal
pasti garisan serenjang. Guru juga perlu menunjukkan putaran garisan
berserenjang yang menghasilkan beberapa posisi yang berbeza.
vii. Garisan simetri
Murid mendapati lebih garisan simetri daripada yang benar-benar wujud.
Murid tidak dapat melihat secara jelas simetri yang dapat membahagi
sesuatu bentuk 3D. Cara mengatasi miskonsepsi ini ialah guru boleh
menggunakan teknik melipat kertas atau lebih dikenali sebagai ‘paper
folding’ untuk menjelakan konsep garisan simetri.

12. 12
2.3 Miskonsepsi dalam Topik Trigonometri
Matematik merupakan satu bidang ilmu yang sangat luas dan sangat banyak
kegunaannya dalam kehidupan seharian manusia. Salah satu cabang daripada
matematik yang sangat bermanfaat kepada manusia ialah trigonometri. Menyedari
akan betapa pentingnya cabang matematik yang satu ini, Kementerian Pelajaran
Malaysia (KPM) telah menetapkan bahawa pembelajaran bagi asas trigonometri
seharusnya bermula pada peringkat menengah rendah iaitu diperkenalkan untuk
pelajar tingkatan 3.
Konsep yang diajarkan bagi peringkat ini merupakan konsep yang sangat asas
dalam trigonometri iaitu seperti konsep empat sukuan, sebelahan, tentangan,
hipotenus, sinus, kosinus, tangen dan penggunaan sifir trigonometri yang asas. Selain
itu, bagi peringkat ini juga, sudut bagi pengiraan masalah trigonometri hanyalah di
antara julat 0o
- 360o
.
Dalam subtopik ini murid kerap kali melakukan kesilapan dalam menentukan
garis sebelahan, tentangan dan hipotenus. Apabila hal ini berlaku, murid tidak dapat
mengaplikasikan penggunaan sinus, kosinus dan tangen seterusnya nilai sudut tidak
dapat ditentukan.
Bagi pelajar tingkatan 4, Trigonometri II diajarkan kepada mereka. Nilai bagi
tiga fungsi utama ini adalah berbeza dalam setiap sukuan tersebut. Hanya di dalam
sukuan pertama sahaja nilai adalah positif untuk semua fungsi tersebut. Selebihnya,
sukuan-sukuan lain akan memberikan sama ada nilai positif ataupun nilai negatif bagi
setiap fungsi. Dalam subtopik tersebut, murid akan melakukan miskonsepsi apabila
hendak menentukan nilai positif atau negatif bagi setiap fungsi dalam sukuan kedua
hingga sukuan ke empat.
Selain itu, pelajar juga didedahkan kepada dua unit penting dalam trigonometri
iaitu darjah dan radian. Setiap unit memberikan nilai yang berbeza walaupun asas
pengiraannya adalah sama. Pelajar juga diajar berkenaan cara untuk menukar unit
darjah kepada unit radian dan sebaliknya.

13. 13
Murid masih lagi berada dalam situasi keliru bagaimana untuk menukarkan
unit dajah kepada radian dan sebaliknya. Mereka hanya menghafal algorithma semata-
mata, tanpa mengetahui bagaimana proses penukaran unit tersebut boleh berlaku.
2.4 Miskonsepsi dalam Topik Statistik
Fenomena kesukaran dan miskonsepsi dalam mata pelajaran matematik terutamanya
dalam Pengurusan Data merupakan suatu masalah yang seringkali dihadapi oleh
murid-murid di sekolah rendah. Permasalahan ini sering menjadi isu yang sentiasa
menjadi topik perbincangan antara pelbagai pihak termasuklah guru dan ibubapa.
Dalam subtopik statistik, miskonsepsi sering berlaku dikalangan murid semasa hendak
mengenalpasti jenis-jenis pembolehubah atau data-data yang terlibat. Penggunaan
istilah khusus berkaitan pembolehubah dan data seperti pembolehubah kualitatif,
pembolehubah kuantitatif, data kuantitatif dan data kualitatif boleh mengelirukan
murid.
Pembolehubah adalah ciri ahli-ahli populasi yang dikaji. Contoh
pembolehubah yang mengukur ciri populasi adalah umur, pendapatan, berat badan,
jantina, taraf perkahwinan, jumlah harta yang dimiliki dan sebagainya. Pembolehubah
kualitatif merupakan satu pembolehubah yang tidak dinyatakan dalam bentuk nombor.
Contohnya jantina, keturunan seseorang, taraf pendidikan, gred getah, gred koko dan
lain-lain. Pembolehubah kuantitatif pula merupakan pembolehubah yang dinyatakan
dalam bentuk nombor, contohnya adalah tinggi, berat badan seseorang, jumlah
pendapatan bulanan, bilangan kereta yang menggunakan kereta di lebuhraya dan
sebagainya. Pembolehubah kuantitatif pula boleh dibahagikan kepada dua kategori
iaitu pembolehubah kuantitatif diskret dan pembolehubah kuantitatif selanjar. Murid
dikesan keliru untuk membezakan dan menentukan pembolehubah-pembolehubah
tersebut.
Guru juga perlu mengingatkan murid yang bukan semua nombor atau angka
adalah data kuantitatif kerana ada juga data tidak memberikan makna apabila mencari
nilai min nombor tersebut atau disusun mengikut turutan nombor. Contohnya nombor
pekerja atau nombor matriks pelajar.

14. 14
Contoh 1 : - nombor ini tidak memberikan sebarang makna jika mencari
nilai min nombor tersebut ataupun apabila disusun mengikut urutan nombor.
Guru juga boleh memberikan latihan yang pelbagai yang ada data-data dan
pembolehubah yang berbeza bagi memberikan pemahaman yang lebih jelas supaya
murid boleh membezakan jenis-jenis data dan pembolehubah.
Contoh 2 : Cikgu Zana telah mengukur tinggi dan berat murid-murid kelas Tahun
1.
Data : Kuantitatif ialah data selanjar kerana data tinggi dan berat
diperolehi dengan memerhati nilai pembolehubah ‘tinggi dan berat’.
Contoh 3 : Petugas SPR telah membuat bancian pengundi di Malaysia 5 tahun
sekali.
Data : Kuantitatif ialah data diskret kerana data diperoleh dengan
memerhati nilai pembolehubah ‘bilangan pengundi di Malaysia’.
Data yang banyak dan tidak teratur perlu dikumpulkan supaya lebih mudah
difahami. Oleh itu, pengumpulan data mengikut kelas-kelas akan memudahkan
pemahaman murid. Namun, miskonsepsi juga sering berlaku berkaitan selang kelas.
Bagi suatu kumpulan data yang besar, selang kelas perlu digunakan bagi
menguruskan data. Ada murid yang tidak tahu cara untuk mendapatkan selang kelas.
Kebiasaannya selang kelas yang mudah ialah 10. Murid-murid selalu beranggapan
yang selang kelas dimulakan dengan 0 bagi selang kelas yang pertama. Selain itu, ada
juga murid yang memasukkan satu data ke dalam lebih daripada satu kelas.
Contoh 4 : 10 - 20, 20 – 30, 30 – 40
Jika 20 diambil sebagai satu data, selang kelas yang manakah 20 akan
dimasukkan ? Ini adalah satu miskonsepsi yang perlu diperbetulkan kerana akan
mempengaruhi statistik yang mengelirukan.

15. 15
Bagi mengatasi miskonsepsi berkaitan selang kelas, guru perlulah
menerangkan tatacara untuk mengumpulkan data ke dalam bentuk jadual mengikut
kategori-kategori tertentu atau kelas-kelas tertentu bagi memudahkan pemahaman
murid. Tegaskan kepada murid, selang kelas yang mudah digunakan ialah saiz 10.
Manakala bagi mencari selang kelas pertama dengan tepat, guru perlulah
mengaitkannya dengan menggunakan data minimum yang diberikan dalam suatu set
data serta mengaitkan data maksimum bagi mencari selang kelas yang terakhir dengan
betul.
Guru boleh membimbing murid dan bertindak sebagai fasilitator bagi
menjalankan aktiviti membina jadual kekerapan dalam kumpulan. Murid boleh
diberikan set soalan latihan yang pelbagai sebagai latih tubi untuk mengira selang
kelas bagi memberikan kefahaman yang jelas berkaitan penentuan kelas-kelas atau
selang kelas bagi suatu set data. Guru perlulah sentiasa membimbing murid.
Seterusnya, miskonsepsi dari segi kecenderungan memusat. Sukatan
Kecenderungan Memusat adalah ukuran purata yang menunjukkan ukuran pusat
sesuatu taburan data. Sukatan kecenderungan memusat menghasilkan maklumat yang
berkaitan dengan titik tengah pada sesuatu kumpulan nombor. Sukatan kecenderungan
memusat boleh dikira bagi data tak terkumpul dan juga data terkumpul.
Terdapat tiga pengukuran statistik yang digunakan bagi sukatan kecenderungan
memusat iaitu min, median dan mod.
i. Min ialah purata bagi semua nilai dalam populasi atau sampel.
ii. Median ialah titik tengah bagi sesuatu kumpulan nombor yang disusun
secara menaik. Jika bilangan data ganjil, median ialah nombor yang
ditengah. Contoh :
Data : 5, 3, 10, 7, 12
 Susun semula secara menaik
3, 5, 7, 10, 12
Maka, Median = 7
Jika bilangan data adalah genap, median ialah purata dua nombor yang
terletak di tengah-tengah. Contoh :
Data : 5, 3, 10, 7, 14, 12

16. 16
 Susun semula secara menaik
3, 5, 7, 10, 12, 14
Jadi, Median = (7+10)/2 = 8.5
iii. Mod pula ialah kekerapan yang tertinggi. Bagi data terkumpul, mod adalah
titik tengah kelas mod. Terdapat dua cara untuk mengira mod iaitu dengan
formula dan kaedah histogram.
Miskonsepsi yang sering berlaku dalam pengiraan sukatan kecenderungan
memusat ialah berkaitan dengan min. Terdapat beberapa kesukaran yang dialami oleh
murid iaitu mereka tidak dapat mengenalpasti nilai yang tidak dinyatakan apabila
diberi nilai min bagi satu set data. Murid juga tidak dapat membina satu set data
apabila nilai min diberikan serta tidak dapat menggunakan konsep min untuk membuat
kesimpulan.
Berkaitan dengan miskonsepsi tidak dapat menggunakan konsep min untuk
membuat kesimpulan, murid tidak menggunakan KBKK (kemahiran berfikir kreatif
dan kritis) untuk menentukan jenis maklumat atau data yang diwakili serta bagaimana
maklumat yang diberi boleh digunakan untuk meramal atau membuat kesimpulan.
Sebaliknya mereka hanya mencari min sebagai matlamat akhir sesuatu masalah.
Bagi mengatasi miskonsepsi-miskonsepsi yang berlaku berkaitan sukatan
kecenderungan memusat ini, guru hendaklah membantu murid membina pemahaman
konsep melalui penggunaan objek-objek konkrit di sekeliling untuk mencari min
seperti pemadam, kerusi, meja, pensil dan sebagainya sebelum memperkenalkan
algoritma mengira min. Pembelajaran yang berlaku secara kontekstual ini membantu
murid menghubungkait pengetahuan yang dipelajari dengan pengalaman murid sehari-
hari dan menjadikan pembelajaran bermakna.
Guru juga digalakkan untuk menggunakan data-data yang relevan dengan
kehidupan murid sehari-hari seperti tinggi dan berat murid, belanja wang saku
sekolah, kehadiran sekolah dan lain-lain semasa memperkenalkan konsep pengiraan
min. Perkaitan antara pengalaman dan benda-benda di sekeliling murid dengan aktiviti
pembelajaran dilihat mampu memberikan pemahaman dan pembelajaran yang lebih

17. 17
bermakna. Pengiraan algoritma boleh diaplikasikan secara latih tubi setelah murid
menguasai sesuatu konsep sukatan kecenderungan memusat.
2.5 Miskonsepsi dalam Topik Kebarangkalian
Kebarangkalian adalah salah satu tajuk dalam matematik. Kebarangkalian termasuk
dalam bidang perkaitan dalam matematik. Terdapat beberapa subtopik atau bahagian
yang mengelirukan dan menyekat kefahaman pelajar dalam tajuk kebarangkalian ini.
Bagi menyelesaikan masalah ini, guru sangat memainkan peranan penting untuk
memberi kefahaman yang berkesan kepada pelajar untuk memahami topik tersebut.
Kebarangkalian adalah kemungkinan atau kesempatan pada sesuatu keadaan
yang akan atau telah berlaku. Teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam
bidang seperti statistik, matematik, kewangan, sains dan falsafah untuk mendapat
kesimpulan berkaitan kebarangkalian peristiwa terjadi dan mekanik dasar sistem
kompleks.
Kebarangkalian adalah topik ketujuh dalam Tingkatan Empat. Kebarangkalian
juga akan dipelajari oleh pelajar Tingkatan Lima iaitu sambungan dalam Tingkatan
Empat. Dalam topik kebarangkalian Tingkatan Empat, terbahagi kepada tiga subtopik
iaitu ruang sampel, peristiwa dan kebarangkalian dalam sesuatu peristiwa.
Ruang sampel adalah set semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji.
Dalam subtopik ruang sampel ini, murid perlulah menentukan sama ada suatu
kesudahan adalah kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji. Selain itu, murid juga
dapat menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu ujikaji sama ada
secara aktiviti atau penaakulan. Murid juga mestilah dapat menentukan ruang sampel
sesuatu ujikaji dan dapat menulis ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.
Peristiwa pula adalah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu. Dalam
subtopik peristiwa ini, murid perlulah mahir dalam menyatakan unsur-unsur ruang
sampel yang memenuhi syarat tertentu. Selain itu, murid haruslah mahir dalam
mengenal pasti peristiwa yang memenuhi syarat yang diberi bagi sesuatu ruang

18. 18
sampel. Murid juga akan diuji dalam menentukan sama ada sesuatu peristiwa adalah
mungkin bagi sesuatu ruang sampel.
Bagi subtopik yang terakhir dalam Tingkatan Empat, kebarangkalian suatu
peristiwa, subtopik ini melibatkan kedua-dua subtopik sebelumnya. Oleh itu, murid
haruslah memahami maksud peristiwa dan ruang sampel. Jika kedua-dua subtopik ini
tidak dikuasai oleh murid, maka muridr tidak akan memahami soalan yang diberikan
pada subtopik yang terakhir. Kebarangkalian suatu peristiwa sebagai nisbah bilangan
kali berlakunya peristiwa itu kepada bilangan cubaan yang cukup besar dalam sesuatu
ujikaji. Dalam subtopik ini pula, murid haruslah dapat menentukan nisbah bilangan
kali berlakunya sesuatu peristiwa kepada bilangan percubaan. Selain itu, murid juga
haruslah dapat menyatakan kebarangkalian sesuatu peristiwa daripada bilangan yang
cukup besar.
Bagi Tingkatan Lima pula, subtopik yang pertama adalah kebarangkalian
sesuatu peristiwa. Subtopik ini adalah kesinambungan dalam Kebarangkalian
Tingkatan Empat. Dalam subtopik ini, murid akan diajar tentang cara menentukan
kebarangkalian sesuatu peristiwa bagi ruang sampel yang semua kesudahannya semua
boleh jadi. Selain itu murid juga perlu menentukan jangkaan bilangan kesudahan bagi
sesuatu peristiwa apabila kebarangkalian peristiwa itu dan bilangan cubaan diketahui.
Murid juga didedahkan dengan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan
kebarangkalian.
Subtopik yang kedua adalah kebarangkalian peristiwa pelengkap. Dalam
subtopik ini, pelajar perlu menyatakan pelengkap bagi sesuatu peristiwa dalam
perkataan dan tatatanda set. Selain itu, murid diuji dengan menyelesaikan
kebarangkalian peristiwa pelengkap.
Subtopik yang terakhir dalam Tingkatan Lima adalah kebarangkalian peristiwa
bergabung. Dalam subtopik ini, murid dikehendaki menyenaraikan kesudahan
peristiwa A atau B sebagai unsur set A B dan A dan B sebagai unsur A ∩ B. Selain
itu murid juga dikehendaki mahir dalam mencari kebarangkalian secara
menyenaraikan kesudahan peristiwa bergabung. Murid juga perlu memahami
kebarangkalian dengan mencari kebarangkalian peristiwa bergabung dengan hasil

19. 19
tambah dan darab peristiwa yang bergabung. Kemudian, murid perlu mahir
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kebarangkalian.
Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh Lai Huang Ang & Masitah Shahrill
(2014) menyatakan terdapat empat miskonsepsi dalam topik kebarangkalian.
Antaranya ialah perwakilan, berat sebelah kebarangkalian sama, kepercayaan dan
kawalan manusia.
i. Miskonsepsi mengenai perwakilan
Kesilapan murid dalam membuat keputusan mengenai kesudahan yang
mungkin dalam suatu peristiwa adalah sama mengikut ciri-ciri sesuatu
peristiwa sebelumnya, di mana hal ini mencerminkan ciri-ciri utama proses di
mana ia dihasilkan. (Kahneman & Tversky, 1982). Contohnya dalam satu
lambungan syiling, murid menganggap bahawa peristiwa lambungan syiling
mesti mempunyai satu siri yang hampir sama bagi muka gambar ‘kepala’ dan
muka angka ‘ekor’ berbanding dengan satu siri yang mempunyai muka angka
‘ekor’ melebihi muka gambar ‘kepala’. Hakikanya, kedua-dua siri mempunyai
kebarangkalian yang sama.
ii. Miskonsepsi mengenai berat sebelah kebarangkalian sama
Kecenderungan yang sering dilakukan oleh murid dengan menentukan bahawa
semua kesudahan yang mungkin dalam semua peristiwa mempunyai
kebarangkalian yang sama (Lecoutre, 1984).
iii. Miskonsepsi mengenai kepercayaan
Berdasarkan kajian Truran (1994) menyatakan bahawa kanak-kanak
menganggap kesudahan yang mungkin daripada suatu peristiwa bergantung
pada suatu daya yang di luar kawalan mereka seperti angin dan nasib.
iv. Miskonsepsi mengenai kawalan manusia
Menurut Nicolson (2005), penyelidikan dijalankan untuk mengkaji keupayaan
kanak-kanak dalam menentukan tingkah laku penjana rawak seperti dadu,
syiling dan roda berputar. Hasil kajian menunjukkan bahawa segelintir kanak-

20. 20
kanak menganggap bahawa keputusan yang mereka peroleh bergantung pada
cara seseorang mengendalikan alat-alat tersebut. Selain itu, pelbagai kajian
turut dijalankan dan mendapati bahawa terdapat tiga faktor yang menyebabkan
kesukaran murid dalam memahami topik kebarangkalian.
Pertama, murid mengalami masalah dalam memahami konsep nombor
nisbah dan argumentasi yang sering digunakan dalam pengiraan, membuat
laporan dan menginterpretasikan kebarangkalian (Behr et al., 1983). Hal ini
disebabkan murid sukar memahami konsep kebarangkalian yang mempunyai
kaitan dengan nombor pecahan, perpuluhan dan peratusan. Berdasarkan
keputusan laporan oleh National Assessment of Education Progress (NAEP) di
Amerika Syarikat mendapati bahawa pelajar yang lemah dalam menguasai
konsep nombor nisbah akan mempunyai kesulitan dalam pemahaman konsep
asas yang melibatkan pecahan, perpuluhan dan peratusan (Carpenter et al.,
1981; Carpenter et al., 1983).
Kesukaran yang kedua ialah murid sering melakukan kesalahan dalam
menyelesaikan masalah kebarangkalian disebabkan mereka tidak memahami
istilah atau bahasa yang digunakan (Hawkins et al., 1992). Sebagai contoh,
murid tidak memahami topik kebarangkalian akan menginterpretasikan
peristiwa itu sebagai kejadian, sedangkan dalam topik kebarangkalian peristiwa
itu merupakan keadaan yang harus memenuhi syarat-syarat tertentu.
Kesukaran terakhir ialah murid biasanya diberikan penjelasan yang
abstrak dan formal oleh guru ( Freudenthal, 1973). Hal ini jelas tidak dapat
membantu pemahaman murid itu memahami konsep kebarangkalian dengan
baik. Seterusnya murid hanya akan menghafal rumus dan pola penyelesaian
yang diajarkan oleh guru tanpa memahaminya (Kempthorne, 1980).
Umum mengetahui tajuk kebarangkalian adalah salah satu tajuk yang
paling tidak disukai oleh murid dalam matematik. Namun begitu kepentingan
tajuk tersebut kepada kehidupan harian tidak boleh dinafikan. Kebarangkalian
akan dipelajari oleh pelajar hingga ke peringkat yang lebih tinggi. Oleh itu,
kefahaman terhadap tajuk ini sangat penting kepada murid supaya pelajar dapat

21. 21
menjawab soalan kebarangkalian dengan baik dalam peperiksaan dan
memahaminya dalam kehidupan seharian.
2.6 Miskonsepsi dalam Topik Kalkulus
Kajian lanjutan (Bezuidenhout, 2001; Cornu, 1991; Davis & Vinner, 1986; Tall, 1992;
Tall & Vinner, 1981; Williams, 1991) menujukkan miskonsepsi murid biasanya
berlaku apabila mereka mempelajari dan memahami konsep had secara informal.
Williams (1991) menyatakan bahawa konsep tentang had sering dikaitkan dengan isu-
isu seperti fungsi boleh mencapai hadnya, had adalah sempadan dan had merupakan
proses dinamik atau objek statik.
Miskonsepsi dalam konsep had disebabkan oleh beberapa sebab (Davis &
Vinner, 1986; Tall, 1992). Salah satu adalah pengaruh bahasa atau perkataan yang
akan menggangu murid dalam memahami konsep matematik. Contohnya frasa-frasa
‘tends to’, ‘approaches’ atau ‘gets close to’. Frasa-frasa ini akan menyebabkan murid
mempunyai tanggapan bahawa had ialah suatu nilai yang boleh dihampiri tetapi tidak
capai nilai tersebut.
Monaghan (1991) mengatakan miskonsepsi murid berkaitan dengan perkataan
had disebabkan oleh penggunaan perkataan had dalam kehidupan seharian. Murid
menghubungkan konsep had ini kepada had laju, had fizikal dan mental yang tidak
boleh terlebih. Jadi, murid menganggap had adalah sempadan sama ada sempadan atas
atau sempadan bawah (Cornu, 1991;Davis &Vinner, 1986; Frid, 1994).
Tall & Vinner (1981) menyatakan permulaan konsep had dibincangkan dalam
bentuk dinamik ‘f(x) approaches c as x approaches a’. Contohnya bagi ,
apabila nilai menjadi ketakterhingga, nilai had itu akan sama dengan sifar.
Miskonsepsi berlaku apabila murid menjelaskan bahawa nilai had itu akan
menghampiri sifar, tetap tidak akan sama degan nilai sifar. Dalam kes ini murid
menggambarkan had adalah proses dinamik, bukannya objek statik.

22. 22
3.0 Cara Mengatasi Miskonsepsi
Walaubagaimanapun miskonsepsi masih boleh diatasi sekiranya guru dapat mengenal
pasti awal masalah murid yang kerap kali melalukan kesilapan dalam memahami
konsep matematik. Sebagai seorang guru, membantu murid-murid menangani masalah
miskonsepsi dalam matematik merupakan satu amanah dan tanggungjawab yang harus
dipikul oleh setiap individu itu. Kegagalan murid-murid dalam menyelesaikan masalah
matematik mungkin disebabkan oleh masalah miskonsepsi.
Oleh itu, pelbagai langkah yang boleh diambil oleh guru dalam mengatasi
miskonsepsi dalam matematik. Antara langkah untuk mengatasi masalah miskonsepi
ini, guru perlulah memberi penerangan dengan lebih jelas maksud setiap konsep
matematik yang perlu murid ketahui dan kuasai. Murid perlu diperkenalkan dengan
beberapa contoh yang konkrit kerana menurut seorang professor dan ahli psikologi
Robert Gagne mengatakan bahawa, pembelajaran konsep matematik yang berkesan
memerlukan beberapa teknik penyampaian iaitu :
i. Memberi berbagai-bagai contoh konkrit untuk membuat generalisasi
ii. Memberi contoh yang berbeza tetapi berkaitan supaya dapat membuat
perbezaan
iii. Memberi contoh-contoh yang tidak ada kaitan dengan konsep yang
diajarkan untuk membuat perbezaan dan generalisasi
iv. Memberi pelbagai jenis contoh matematik untuk memperolehi konsep
matematik yang tepat.
Menurut Nor Asmah (2000), pendekatan yang sesuai perlu dicari dan
digunakan. Refleksi ke atas pendekatan perlu dibuat dan perlu diulangi kitaran
sehingga membuahkan kejayaan. Persekitaran pembelajaran yang banyak membantu
serta menggalakkan pembelajaran matematik seterusnya mampu meningkatkan
kecenderungan murid-murid terhadap matematik perlu diberi pertimbangan
sewajarnya oleh guru-guru agar dapat menjana minda pelajar ke arah yang positif.
Antara kaedah pengajaran yang mampu membantu murid – murid mengatasi masalah
miskonsepsi mereka ialah dengan menggalakkan mereka berkongsi dan berbincang
kerana ini mampu memperkembangkan interpretasi konsep matematik mereka.

23. 23
4.0 Penutup
Berdasarkan kepada penerangan yang telah dihuraikan, pada hakikatnya guru-
guru mampu untuk mengurangkan kesalahan dan miskonsepsi yang biasa dihadapi
oleh murid-murid terutama ketika mereka mempelajari topik yang sukar dan perlu
menggunakan banyak konsep untuk menyelesaikan masalah matematik. Sebagai
seorang guru, tugas utama adalah untuk membantu dan membimbing murid-murid
yang mengalami pelbagai masalah pembelajaran, sekaligus menanam minat agar
mereka dapat belajar matematik dalam suasana yang menyeronokkan.
Menurut Ginsburg (1977), miskonsepsi lahir dari apa yang telah diajarkan.
Walaupun pelajaran yang diturunkan oleh mereka tersebut tidak logik dan salah, tetapi
dari segi perspektif kanak-kanak, ia sangat sesuai dan benar. Matematik merupakan
mata pelajaran yang ‘kumulatif’ ataupun bertambah-tambah, maka kita mempelajari
sesuatu yang lalu dengan berpandukan pembelajaran masa lalu. Bagi sesetengah
pembelajaran yang terdahulu sepertimana yang digariskan dalam kurikulum,
miskonsepsi adalah betul. Kebanyakkan punca miskonsepsi adalah kerana generalisasi
melampau “overgeneralization” dalam pengetahuan sedia ada yang hanya tepat untuk
pembelajaran awal. Skema yang telah pun terbina dalam minda kanak-kanak sukar
untuk diubah.
Maka, sebagai seorang guru adalah menjadi tanggungjawab kita untuk
mengenalpasti masalah atau cabaran serta sentiasa berusaha mencari kaedah, teknik,
dan strategi yang sesuai dan menarik agar murid faham dan tidak menghadapi
kesukaran atau miskonsepsi dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik di mana
ini seterusnya dapat meningkatkan kemahiran penaakulan dalam diri setiap murid.
Cabaran-cabaran atau masalah ini harus ditangani dengan sebaik mungkin demi
memantapkan penguasaan modal insan negara dengan pengetahuan dan kemahiran
penaakulan yang tinggi bidang sains dan matematik yang mana ia menjadi pemangkin
kepada kemajuan sesebuah negara.

24. 24
Rujukan
Archavsky and Goldenberg, 2005 N. Archavsky, P. Goldenberg Perceptions of a
quadrilateral in a dynamic environment in: D. Carraher, R. Nemirovsky (Eds.),
Medium and meaning: video papers in mathematics education research, Journal
of Research in Mathematics Education Monograph XIII [CD-ROM], National
Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA (2005)
Bezuidenhout, J. (2001). Limits and continuity: some conceptions of first-year
students. International Journal of Mathematical Education in Science and
echnology, 32(4), 487-500.
Carpenter , T. P., Lindquist, M. M., Matthews, W., & Silvver, E. (1983). Results of the
third NAEP mathematics assessment: Secondary school. Mathematics Teacher,
76, 652-659.
Carpenter, T. P., Corbitt, M.K.,& Kepner, H. S., Jr. (1981). What are the chances of
your students knowing probability? Mathematics Teacher , 74,342-345.
Chan Siew Lian (1999). Salah Konsep Matematik Di Lima Buah Sek. Men. Di Jajahan
Tumpat, Kelantan. Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.
Cornu, B. (1991). Limits. In D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 153-
166). Boston: Kluwer Academic Publishers.
Davis, R. B., & Vinner, S. (1986). The notion of limit: Some seemingly unavoidable
misconception stages. Journal of Mathematical Behavior, 5, 281-303.
Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana & V.
Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century:
An ICMI study (pp. 37-52), Dordrecht: Kluwer.

25. 25
Gal and Linchevski, 2010 H. Gal, L. Linchevski To see or not to see: Analyzing
difficulties in geometry from the perspective of visual perception Education
Studies in Mathematics, 74 (2010), pp. 163–183
Ginsburg, H. (1977). Children’s arithmetic: The learning process. New York: Litton
Educational Publishing Inc.
Hawkins, A., Joliffe, E, & Glickman, L. (1992). Teaching statistical concepts.
London:Longman.
Kahneman, D., Slovic, P., & Tversky, A. (1982). Judgment under uncertainity:
Heuristics and biases. Cambridge, UK: Cambridge UP.
Lecoutre, M. (1992). Cognitive models and problem spaces in purely random
situations. Educational Studies in Mathematics, 23, 557-568.
Li, X. 2006. Cognitive Analysis Of Student’s Errors and Misconceptions In Variables,
Equations and Functions. Dissertation. Texas A&M University.
Monaghan, J. (1991). Problems with the language of limits. For the Learning of
Mathematics,11(3), 20-24.
Olivier, A. 1989. Handling Pupil’s Misconceptions. Pythagoras. 21, 9-19.
Rosli Dahlan (2000). Analisis Kesilapan Yang dilakukan Oleh Pelajar Tingkatan
Empat Dalam Menyelesaikan Masalah Berkaitan Ungkapan Algebra.
Universiti Teknologi Malaysia. Tesis Sarjana Muda.
Saripah Latipah Syed Jaapar (2000). Satu Tinjauan Tentang Kefahaman
KonsepUngkapan Algebra Pelajar Tingkatan Dua dan Pola Kesilapan Yang
Dilakukan. Universiti Teknologi Malaysia. Sarjana Muda.
Siegler, R.S. 1991. In young children’s counting : Procedures precede principles.
Educational Psychology Review, 3(2): 127-135.

26. 26
Subahan Mohd Meerah. 1999. Dampak penyelidikan pembelajaran sains terhadap
perubahan kurikulum. Universiti Kebangsaan Malaysia
Tall, D. (1990). Inconsistencies in the learning of calculus and analysis. Focus on
Learning Problems in Mathematics, 12(3&4), 49-63.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics
with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in
Mathematics, 12(2), 151-169.
Van Hiele, P. M. (1959/1986). The child's thought and geometry. In D. Fuys, D.
Geddes, & R. Tishchler (Eds.), English translation of selected writings of Dina
van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele (pp. 243–252).