Operation_research_Linear_programming_20241015.pdf

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Content
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極大化與極小化問題
資料包絡分析問題
作業
建立環境
敏感度分析問題
線性規劃
圖解法問題
賽局理論問題

線性規劃概述
• Operations research
• 又稱作業研究或運籌學，是近代應用數學的一個分支，主要是研究如何將生產、管理
等事件中出現的運籌問題加以提煉，然後利用數學方法進行解決的學科。
• 利用數學、統計學、經濟學、電腦科學等多種學科方法，來優化決策和解決複雜問題
的學科。
• 是透過模型化、分析和最佳化技術，幫助組織或企業在資源有限的情況下，作出最有
效的決策。
• 常使用的技術和工具包括線性規劃、動態規劃、模擬、賽局理論、數據分析等。這門
學科強調在多變和複雜的環境下進行科學的決策，以達到最佳化的效果。
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線性規劃概述
➢ 線性規劃的定義
• 是一種數學方法，用於在滿足一組限制條件下，找到目標函數的最大值或最小值。
➢ 線性規劃的應用場景
• 常見於製造業的生產排程、投資組合選擇、資源分配等領域；幫助管理者在資源有限的
情況下達到最佳效果。
➢ 基本組成要素
• 目標函數、決策變數、限制條件（不等式或等式）。
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線性規劃概述
➢ 模式化過程
• 徹底理解問題。
• 定義決策變數。
• 建立目標函數，描述要達到的極大化或極小化。
➢ 決策變數
• 代表可控制的選擇，如生產的產品數量。
➢ 目標函數
• 如最大化利潤或最小化成本，例如：Maximize P=10x+15y。
➢ 限制條件
• 如資源限制，需以不等式或等式表示。
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線性規劃概述
➢ 極大化與極小化的問題
• 在行銷(如: 媒體選擇和市場研究)、財務 (如: 投資組合選擇與資本預算)、作業管理 (如:
生產排程、人員配置)。
➢ 圖解法
• 只有兩個決策變數的線性規劃問題，可以用圖解法直觀地求解；適合小型問題，但隨
著變數增加，則需要使用電腦求解。
➢ 敏感度分析
• 用來研究最佳解對參數變動的敏感性，又稱為後最佳化分析，因為是基於已知的最佳
解進行的，幫助決策者了解當外部條件或參數變動時，最佳解的穩定性與可行性。
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線性規劃概述
➢ 資料包絡分析 (Data Envelopment Analysis)
• 用於衡量不同單位間的相對效率，如: 醫院、學校等；通過比較各單位的輸入和輸出來
評估其效率，幫助管理者找出潛在的改善空間。
➢ 賽局理論
• 用來分析競爭中的決策情境；如: 雙人零和賽局中，通過選擇策略來最大化自己的收益。
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專注於利用運籌學(Operation Research)和數學模型
(幫助企業解決商業問題、提升效率和增強競爭力)
➢ 供應鏈管理
• BCG 曾協助一家大型製造企業優化其供應鏈。通過運籌學模型，分析原材料的採購、庫存管理和分配
路線，最終使企業減少了 30%的運輸成本，並提升了交貨準時率。
➢ 人力資源規劃
• BCG 在一個大型零售公司中，利用運籌學工具來預測員工需求，並優化排班系統。這不僅降低了人力
成本，還提升了員工的工作滿意度和服務質量。
➢ 生產流程優化
• 麥肯錫幫助一個汽車製造商使用線性規劃來重新設計生產流程。通過對生產線上的資源配置進行建模，
找出瓶頸和低效環節，最終提升了生產效率 25%，並縮短了生產週期。
➢ 市場進入策略
• 麥肯錫協助一家公司在新的市場進行佈局，通過數據分析和線性規劃模型，評估不同市場的潛力和風
險，制定最佳進入策略，最終使公司在新市場中快速增長。
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極大化與極小化問題
➢ 範例題目
• 一家公司生產兩種產品：產品 A 和產品 B。
每件產品 A 可獲得 10 美元利潤，每件產品 B 可獲得 15 美元利潤。
製造產品 A 需要 2 小時，製造產品 B 需要 3 小時。
• 公司每週最多有 100 小時的工作時間。
同時，公司需要至少生產 10 件產品 A 和 5 件產品 B。
➢ 問題
• 在滿足條件的前提下，公司應該生產多少件產品 A 和產品 B 以最大化利潤？
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模式化過程
➢ 徹底理解問題
• 目標是找到最佳的生產數量，使總利潤最大化。
➢ 定義決策變數
• 令 x 為產品A 的生產數量。
• 令 y 為產品B 的生產數量。
➢ 建立目標函數
• 我們的目標是最大化利潤：最大化 Z =10x + 15y。
➢ 限制條件
• 製造時間限制，每週最多有 100 小時的工作時間： 2x + 3y ≤ 100。
• 最低生產要求：至少生產10件產品A： x ≥ 10；至少生產 5件產品B： y ≥ 5。
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課堂練習1
• 一家工廠生產三種產品：產品 X、產品 Y 和產品 Z。
• 每種產品的利潤和資源需求如下表所示:
• 資源限制
• 每週最多有 80 小時的工作時間可用。
• 每週最多可使用 100 單位的原材料。
• 問題
• 使用線性規劃方法來求解最佳的產品組合 (x, y, z)，以最大化總利潤 Z。
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課堂練習2
• 一家工廠生產三種產品：產品 A、產品 B 和產品 C。
• 每種產品的生產成本和需求如下表所示
• 資源限制
• 每週最多可用 100 小時的工作時間。
• 問題
• 最小化總成本。
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補充
• 相較於原始問題 (Primal Problem)，如: 每種蛋糕需要用到麵粉與糖這兩種
資源，在有限的麵粉與糖情況下，製作多少蛋糕可以利潤最大化?
• 影子價格（Shadow Price）
• 通常用於描述某個資源的增量價值。
• 例如，增加1公斤麵粉的影子價格告訴你這一額外資源能為你帶來的額外利潤。
• 對偶值（Dual Value）
• 主要用於數學優化中的對偶問題，反映了約束的價值。
• 例如，如果你增加一個約束（如更高的糖需求），對偶值會告訴你利潤的變化。
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圖解法 (可行解區域) 問題
➢ 解決包含兩個變數的線性規劃問題的一種直觀方法，通過在坐標平面上繪製限制
條件的圖形，找出滿足所有條件的區域，並在此區域內尋求目標函數的最佳解。
➢ 繪製限制條件
• 每個限制條件（通常是線性不等式）在坐標平面上對應一條直線。
• 將這些直線繪製出來，並標示出不等式的滿足區域。
➢ 找出可行解區域：
• 可行解區域（Feasible Region）是所有限制條件共同滿足的區域，通常為多邊形。
• 可行解區域的每一個點都是滿足所有限制條件的解，但未必是最佳解。
➢ 尋找最佳解：
• 在可行解區域的邊界或頂點處計算目標函數的值。
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圖解法問題
• 範例題目
• 一家果汁公司生產兩種果汁：橙汁（產品 A）和蘋果汁（產品 B）。
• 每種果汁的利潤和資源需求如下
• 每週最多可用 40 小時的工作時間。
• 每週最多可使用 30 單位的原材料。
• 問題
• 最大化總利潤。
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模式化過程
➢ 徹底理解問題
• 在滿足以上約束條件的前提下，使用圖解法來求解最佳的產品組合 (x ,y)，以最大
化總利潤 Z。
➢ 繪製限制條件
• 將每個約束條件轉化為直線方程，繪製出可行區域。
➢ 標示頂點
• 找到可行區域的頂點。
➢計算目標函數
• 在每個頂點計算目標函數 Z，找到最大值。
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補充
➢ 凸集
• 假設在一張白紙上畫了一個形狀，如: 圓形或長方形，這個形狀內的所有
點 (包含邊界和內部的點)，就是這個形狀的集合。
• 如果問題中的可行解集合是凸集，那麼找到最佳解會容易，因為它的最
佳解一定會再邊界或某個角落上。
• 非凸集
• 例如月牙形，直線可能會跑到形狀外面，那麼最佳解可能在複雜的位置
上。
• 往往有局部最優解與全局最優解的區別。
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• 用來評估當問題的參數發生變化時，最佳解是否仍然有效。
• 當目標函數係數的變動
• 通常會提供一個最佳區間，即在某個範圍內變動時，原本的最佳解仍然有效。如: 某產
品的利潤增加或減少多少範圍內，最佳解不會改變。
• 當限制條件(右側值)的變動
• 通常表示資源的數量發生變動，評估這些變化如何影響可行解及目標函數值。
• 對偶值的評估，如: 增加一小時的可用工時，可能會增加多少利潤?
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• 資源的邊際價值
• 每種資源的邊際價值被量化後，能否幫助決策者進行資源調整或分配。
• 可行解區域
• 評估條件限制右側值的變動範圍，只要在此區域內，對偶值與目標函數的變化是線性
可預測的。
• 幫助決策調整
• 幫助決策者了解實際情境中，當市場價格、資源供應等條件變動時，最佳解是否仍然
適用，從而做出調整。
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➢ 範例題目
• 你是一家小型工廠，生產兩種產品，產品A 與產品B。
• 產品A 利潤為 50 美元、產品B 利潤為 40 美元。
• 生產每單位產品所需要的資源，產品A 需要2小時的勞動力、產品B 需要1小時
的勞動力。
• 每週有10 小時的勞動力可用。
• 公司需要至少生產 3 件產品 A 和 2 件產品 B
➢ 問題
• 在滿足條件的前提下，公司應該生產多少件產品 A 和產品 B 以最大化利潤與敏
感度分析。
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模式化過程
➢ 建立目標函數
• 我們的目標是最大化利潤：最大化 Z = 20A + 30B。
➢ 限制條件
• 製造時間限制，工作時間： 2A + 3B ≤ 12。
• 最低生產要求：A ≥ 0，B ≥ 0。
➢ 敏感度分析
• 顯示勞動力約束的對偶值。
• 計算目標函數係數的最佳區間。
• 模擬約束條件右側值的變動，並計算相應的最大利潤。
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表示在最佳解下，增加一單位該約束的資源將對目標函數的影響。
表示在考慮到市場需求、成本、資源限制等因素後，產品 A 的利潤最低可以達到 10.00，最高可以達到 90.00

• 資料包絡分析 (Data Envelopment Analysis)
• 它通過比較各單位(如企業、學校或醫院)在使用相同資源下產出成果的能力，幫助識別
最佳實踐和改善潛力。
• 應用案例
• 有三家不同單位，它們的資源和計算結果如下
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單位顯示不同的機構
輸入資金每個單位的資金投入
輸出服務每個單位提供的服務量
輸出質量
每個單位的質量評估（如利潤、教育質量或
病人滿意度）
總輸出服務輸出和質量輸出的總和
效率分數
計算得出的相對效率，介於 0 和 1 之間，且
各個單位之間有所區別

• 效率分數的比較
• 銀行（0.67）、學校（0.72）和醫院（0.73）的效率分數顯示，這三個單位的效率存在差
異。醫院和學校的效率分數相對較高，表明它們在使用資源方面相對於銀行更有效率。
• 最佳實踐的識別
• 醫院和學校的高效率表明這些單位在其資源使用上接近最佳實踐，可能有值得銀行學習的
運營模式或管理策略。如，這可能涉及如何更有效地配置資源、提高服務質量或增強產出。
• 改進銀行效率的策略
• 提高貸款和服務質量：探索改進客戶服務和產品設計的方法，以提高貸款和存款的產出。
• 降低資金成本：審視資金的使用效率，找出可能的成本節約。
• 最佳化流程：導入技術或流程改進，簡化操作，減少浪費。
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• 資源配置的調整
• 所有單位都應根據其效率分數來評估資源配置的合理性。效率較低的單位應重新評估
資源的分配，並尋求提高效率的方法。
• 持續監測與評估
• 定期進行 DEA 分析，監測效率分數的變化，這有助於評估實施的改進策略是否有效。
透過持續的數據分析，可以更快地識別問題和機會。
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• Efficiency Score（效率分數）
• 效率分數的範圍通常在 0 到 1 之間。
• 衡量每個單位在使用資源（輸入）來產出成果（輸出）方面的相對效率。
• 1（或 100%）：表示該單位是有效率的，意味著它在給定的資源下，產出了最佳的成
果。這意味著它位於效率邊界上。
• 小於 1：表示該單位效率不足，說明它在產出上相對於相同資源的最佳實踐來說有改進
的空間。
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賽局理論問題
• 線性規劃
• 通過數學模型優化資源分配，達到特定目標，如最大化利潤或最小化成本。
• 賽局理論
• 分析多方互動和決策的科學，特別是在競爭和合作的情境中。
• 在賽局理論中，參與者會根據其他參與者的行動來調整自己的策略；通過線性規劃，
可以找到最優策略，使每個參與者在考慮其他人的選擇時，達到最佳的結果。
• 賽局理論結合線性規劃，能幫助決策者在互相影響的環境中制定最佳策略。
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賽局理論問題
• 範例題目
• 兩家公司進行定價決策。
• 假設有兩家公司（公司A和公司B）在市場上銷售相同的產品。
• 它們有兩個選擇：提高價格或降低價格。
• 根據不同的價格策略，這兩家公司會獲得不同的利潤。
• 以下是它們的利潤情況
• 問題
• 找到最佳的定價策略。
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如果兩家公司都提高價格，它們都獲得 100 的利潤。
如果公司A提高價格，而公司B降低價格，則公司A
獲得 50，公司B獲得 150。
如果公司A降低價格，而公司B提高價格，則公司A
獲得 150，公司B獲得 50。
如果兩家公司都降低價格，則兩者的利潤都為 0。

賽局理論問題
• A公司的最佳策略，降低價格 (low)
• 若B公司提高價格，A公司的利潤為150，這是所有選擇中最高的。
• 即使B公司也降低價格，A公司的利潤為0，但這是風險較小的選擇，因為若保持高價，
則利潤可能會降至50。
• 在競爭環境中，這一策略使A公司能夠靈活應對對手的定價行為，並在市場
上保持競爭力。
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作業 (敏感度分析問題)
• 你是一家飲料公司的經理，生產兩種飲料：果汁和汽水。
• 你的目標是最大化利潤。以下是有關產品的資訊：
• 果汁的利潤為 50 美元/單位。
• 汽水的利潤為 30 美元/單位。
• 生產果汁需要 1 小時的生產時間。
• 生產汽水需要 2 小時的生產時間。
• 每週可用的生產時間最多為 80 小時。
• 至少需要生產 5 件果汁和 10 件汽水。
• 目標函數：
• Maximize Z = 50A + 30B
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作業 (敏感度分析問題)
• 約束條件
• 1A + 2B ≤ 80 (生產時間限制)
• A ≥ 5 (最低生產量限制)
• B ≥ 10 (最低生產量限制)
• A,B ≥ 0 (非負限制)
• 敏感度分析問題
• 利潤變動：當果汁的利潤從 50 美元/單位變動到 60 美元/單位，分析這個變動如何影
響最佳解和總利潤。
• 約束條件變動：當每週可用的生產時間增加到 100 小時，這會對最佳解和總利潤有何
影響？
• 最低生產量變動：當果汁的最低生產量要求提高到 8 件，分析此變動對最佳解的影響。
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