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1.
波動方程式の解の各点評価 n ≥ 1
とし,空間 n 次元の波動方程式の初期値問題を考える. ∂2 u ∂t2 (t, x) − ∆u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Rn+1 , u(0, x) = u0(x), ∂u ∂t (0, x) = u1(x), x ∈ Rn . (1) Theorem 5 (各点評価) 初期値は u0 ∈ C[n 2 ]+2 (Rn ), u1 ∈ C[n 2 ]+1 (Rn ) をみたし(Theorems 1,2 の仮定) , さらに台がコンパクト: ∃R > 0 s.t. supp u0, supp u1 ⊂ {x ∈ Rn ; |x| < R} であるとする.このとき,ある定数 C = C(n, R, u0, u1) > 0 が存在して,初期値 問題 (1) の解 u ∈ C2 (R1+n ) は,任意の (t, x) ∈ [0, ∞) × Rn に対し次の評価をみ たす. (i) n が奇数のとき,|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1 2 ; (ii) n が偶数のとき,|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1 2 (1 + |t − |x||)− n−1 2 . 奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 4
2.
注意:定数の初期値への依存性 定理の主張に現れる定数 C(n, R,
u0, u1) はより具体的には n = 1 のとき, C(n, R, u0, u1) = ∥u0∥L∞ + 1 2 ∥u1∥L1 . n が 3 以上の奇数のとき, C(n, R, u0, u1) = C(n) ( ∥u0∥ W n+1 2 ,1 + ∥u0∥ W n−1 2 ,∞ + ∥u1∥ W n−1 2 ,1 + ∥u1∥ W n−3 2 ,∞ ) . n が偶数のとき, C(n, R, u0, u1) = C(n, R) ( ∥u0∥ W n+2 2 ,1 + ∥u0∥W n 2 ,∞ + ∥u1∥W n 2 ,1 + ∥u1∥ W n−2 2 ,∞ ) . の形で与えられる.偶数次元では定数は R にも依存するが,結論を弱めて |u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1 2 の形の評価にすると定数 C は R に独立にとることができる. 奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 4
3.
注意:偶数次元での各点評価の意味 偶数次元での各点評価 |u(t, x)| ≤
C(1 + t)− n−1 2 (1 + |t − |x||)− n−1 2 より,|x| が t に比べて十分小さいとき,解 u の大きさも小さくなることを意味 している. 偶数次元では Huygens の原理は成立しないので,解の台については Theorem 3 で得られた supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn ; |x| < t + R} より詳しいことは一般には分からない.しかし,上の評価から,台の内側に行く ほど |u(t, x)| が小さくなることが分かる. 奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 4
4.
Theorem 5 の証明:n
= 1 の場合 まず n = 1 の場合を考える.この場合は d’Alembert の公式より,解 u は u(t, x) = 1 2 (u0(x + ct) + u0(x − ct)) + 1 2 ∫ x+ct x−ct u1(y) dy で与えられる.これよりただちに, |u(t, x)| ≤ 1 2 (∥u0∥L∞ + ∥u0∥L∞ ) 1 2 ∫ ∞ −∞ |u1(y)| dy ≤ ∥u0∥L∞ + 1 2 ∥u1∥L1 となり,C = ∥u0∥L∞ + 1 2 ∥u1∥L1 とおけば |u(t, x)| ≤ C ((t, x) ∈ [0, ∞) × Rn ). これより結論を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 4
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