Solution representation formulas for n-dimensional wave equations (in Japanes).

1. 空間 n 次元の波動方程式
n ≥ 2 とし，空間 n 次元の波動方程式
∂2
u
∂t2
(t, x) − ∆u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Rn+1
(1)
を考える．ただし，ここで
t ∈ R, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
であり，∆ は空間変数についてのラプラシアン（Laplacian）
∆f (x) =
n
∑
j=1
∂2
f
∂x2
j
(x)
を表す．
方程式 (1) は，n = 2 の場合は水面の波など平面上の波，n = 3 の場合は音波や
電磁波など空間内の波の伝播を記述する偏微分方程式である．
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2. 初期値問題の解
方程式 (1) と初期条件を合わせた次の初期値問題を考える．





∂2
u
∂t2
(t, x) − ∆u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Rn+1
,
u(0, x) = u0(x),
∂u
∂t
(0, x) = u1(x), x ∈ Rn
(2)
目標は，初期値問題 (2) の解表示を求めることである．
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3. 記号の準備
x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
に対し，
|x| =
√
x2
1 + · · · + x2
n
と定める．また，
ωn = “Rn
の単位球面の面積” =
2π
n
2
Γ
(n
2
),
n!! =
{
n · (n − 2) · · · 3 · 1 (n が奇数のとき),
n · (n − 2) · · · 4 · 2 (n が偶数のとき)
とおく．偏微分作用素の省略記号として
∂t =
∂
∂t
, ∂xk
=
∂
∂xk
(k = 1, . . . , n)
などを用いる．
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4. 奇数次元 (n ≥ 3) での解表示
Theorem 1
n を 3 以上の奇数とする．また，u0 ∈ C
n+3
2 (Rn
), u1 ∈ C
n+1
2 (Rn
) とする．このと
き，関数 u を
u(t, x) =
1
(n − 2)!!ωn
[
∂t
(
1
t
∂t
)n−3
2
(
tn−2
∫
|y|=1
u0(x + ty) dσ(y)
)
+
(
1
t
∂t
)n−3
2
(
tn−2
∫
|y|=1
u1(x + ty) dσ(y)
)]
で定義すると，u ∈ C2
(Rn+1
) であり，u は波動方程式の初期値問題 (2) の解と
なる．
ただし，ここで上式の積分は単位球面 {y ∈ Rn
; |y| = 1} 上の面積分を表す．
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5. 偶数次元での解表示
Theorem 2
n を偶数とする．また，u0 ∈ C
n+4
2 (Rn
), u1 ∈ C
n+2
2 (Rn
) とする．このとき，関
数 u を
u(t, x) =
2
(n − 1)!!ωn+1
[
∂t
(
1
t
∂t
)n−2
2
(
tn−1
∫
|y|≤1
u0(x + ty)
√
1 − |y|2
dy
)
+
(
1
t
∂t
)n−2
2
(
tn−1
∫
|y|≤1
u1(x + ty)
√
1 − |y|2
dy
)]
で定義すると，u ∈ C2
(Rn+1
) であり，u は波動方程式の初期値問題 (2) の解と
なる．
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6. 議論の方針
1 まず奇数次元の場合を球面平均法（method of spherical mean) により解く．
u の球面平均
Mu(t, r, x) :=
1
rn−1ωn
∫
|z−x|=r
u(t, z) dσ(z)
を考えると，Mu は t, r 変数に関する 1 次元の（低階項付き）波動方程式
∂2
t Mu −
[
∂2
r +
n − 1
r
∂r
]
Mu = 0
をみたす．
2 適当な変換で低階項を消去した後，1 次元波動方程式の解表示（D’Alembert
の公式）を用いて Mu（を適当に変換した関数）の表示を求める．
3 lim
r→0
Mu(t, r, x) = u(t, x) を用いて u の表示を求める．
4 偶数次元の場合は，変数低減法 (method of descent) により，1 次元高い奇
数次元の結果を用いて解表示を求める．
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