Dokumen tersebut membahas model indeks tunggal yang dikembangkan oleh William Sharpe pada tahun 1963 sebagai penyederhanaan dari model portofolio Markowitz. Model indeks tunggal menyederhanakan perhitungan dengan menyediakan parameter-parameter seperti return ekspetasi, varians, dan kovarians sebagai input untuk model portofolio Markowitz. Dokumen ini juga menjelaskan rumus-rumus dasar model indeks tunggal untuk menghitung parameter tersebut baik unt

1. Model Indeks Tunggal
(Single-Index Model)
Lecture Note:
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 1
Manajemen Portofolio

2. Pendahuluan
• William Sharpe (1963) mengembangkan model
indeks tunggal (single-index model).
• Model ini menyederhanakan perhitungan di
model portofolio Markowitz dengan
menyediakan parameter-parameter input yang
dibutuhkan dalam perhitungan model portofolio
Markowitz.
• Di samping itu, model indeks tunggal dapat
digunakan untuk menghitung return ekspektasi
dan risiko portofolio.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 2
Manajemen Portofolio

3. Model Markowitz vs Model Indeks Tunggal
Jumlah Sekuritas Jumlah Parameter yang Harus Dihitung
(n) Model Markowitz Model Indeks Tunggal
n + (n(n - 1) / 2) (2n + 1)
1 1 3
2 3 5
3 6 7
4 10 9
5 15 11
6 21 13
7 28 15
8 36 17
9 45 19
10 55 21
20 210 41
50 1.275 101
100 5.050 201
200 20.100 401
500 125.250 1.001
1.000 500.500 2.001
5.000 12.502.500 10.001
10.000 50.005.000 20.001
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 3
Manajemen Portofolio

4. Model Indeks Tunggal
• Model indeks tunggal didasarkan pada
pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas
berfluktuasi searah dengan indeks pasar.
• Hal ini menyarankan bahwa return-return dari
sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya
reaksi umum (common response) terhadap
perubahan-perubahan nilai pasar.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 4
Manajemen Portofolio

5. Model Indeks Tunggal
• Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas
dan return dari indeks pasar yang umum
dapat dituliskan sebagai hubungan:
R i  α i  β i R M  ei
Keterangan:
αi = Komponen return sekuritas i yang tidak dipengaruhi return pasar
βi = Ukuran kepekaan return sekuritas i terhadap perubahan return pasar
RM = Return indeks pasar
ei = Kesalahan residu
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 5
Manajemen Portofolio

6. Komponen Model Indeks Tunggal
• Model indeks tunggal membagi return
sekuritas ke dalam dua komponen utama,
yaitu:
1. Komponen return yang unik dan independen
terhadap return pasar; dilambangkan dengan αi.
2. Komponen return yang berhubungan dengan
return pasar; dilambangkan dengan βi.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 6
Manajemen Portofolio

7. Komponen Model Indeks Tunggal
• Komponen return yang unik (αi) hanya
berhubungan dengan peristiwa mikro (micro
event) yang hanya mempengaruhi perusahaan
tertentu saja.
• Sedangkan komponen return yang
berhubungan dengan return pasar (βi)
menyangkut kejadian-kejadian makro yang
mempengaruhi seluruh perusahaan.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 7
Manajemen Portofolio

8. Komponen Model Indeks Tunggal
• Komponen kesalahan residu (ei) merupakan
perbedaan antara sisi kiri persamaan (ei)
dengan sisi kanan persamaan (αi + βi RM).
• Salah satu konsep penting dalam model
indeks tunggal adalah terminologi Beta (β).
Beta merupakan ukuran kepekaan return
sekuritas terhadap return pasar.
• Secara konsensus, return pasar mempunyai
Beta bernilai 1.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 8
Manajemen Portofolio

9. Return Indeks Pasar
• Pemilihan dari return indeks pasar untuk BEI
misalnya menggunakan IHSG atau indeks LQ-
45.
• Jika digunakan IHSG, maka return pasar untuk
waktu ke-t dapat dihitung dengan rumus:
IHSG t  IHSG t 1
R M, t 
IHSG t 1
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 9
Manajemen Portofolio

10. Menghitung Beta Sekuritas
• Jika diamati persamaan return model indeks tunggal
merupakan persamaan regresi linier sederhana Y = a + bX +
e sehingga Beta dari sekuritas i dapat dihitung
menggunakan rumus:
n( XY)  ( X)( Y)
βi 
n( X 2 )  ( X) 2
Dimana:
X = Return indeks pasar pada periode j
Y = Return sekuritas i pada periode j
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 10
Manajemen Portofolio

11. Asumsi Model Indeks Tunggal
1. Kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak
berkovari dengan kesalahan residu sekuritas
ke-j atau ei tidak berkovari (berkorelasi)
dengan ej untuk semua nilai dari i dan j.
Asumsi ini secara matematis dapat dituliskan
sebagai:
Cov(ei , e j )  0
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 11
Manajemen Portofolio

12. Asumsi Model Indeks Tunggal
2. Return indeks pasar (RM) dan kesalahan
residu untuk setiap sekuritas (ei) merupakan
variabel-variabel acak. Oleh karena itu, ei
tidak berkovari dengan return indeks pasar,
RM. Asumsi ini dapat dinyatakan secara
matematis sebagai:
Cov(ei , R M )  0
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 12
Manajemen Portofolio

13. Asumsi Model Indeks Tunggal
• Asumsi-asumsi dari model indeks tunggal
mempunyai implikasi bahwa sekuritas-
sekuritas bergerak bersama-sama bukan
karena efek di luar pasar (misalnya efek dari
industri atau perusahaan-perusahaan itu
sendiri), melainkan karena mempunyai
hubungan yang umum terhadap indeks pasar.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 13
Manajemen Portofolio

14. Model Indeks Tunggal
RETURN DAN RISIKO ASET
TUNGGAL
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 14
Manajemen Portofolio

15. Parameter-Parameter Input untuk
Model Markowitz
• Model indeks tunggal dapat digunakan untuk
menghitung return ekspektasi (E(Ri)), varians
dari sekuritas (σi2), dan kovarians antar
sekuritas (σij) yang merupakan parameter-
parameter input untuk analisis portofolio
menggunakan model Markowitz.
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 15
Manajemen Portofolio

16. Return Ekspektasi Sekuritas Model Indeks Tunggal
• Return ekspektasi sekuritas berdasarkan
model indeks tunggal dapat dirumuskan:
E(R i )  αi  βi E(R M )
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 16
Manajemen Portofolio

17. Return Ekspektasi Pasar
• Return ekspektasi pasar dapat dihitung
dengan rumus:
n
R M, t
E(R M )  t 1
n
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 17
Manajemen Portofolio

18. Varians Sekuritas Model Indeks Tunggal
• Rumus varians return sekuritas berdasarkan
model indeks tunggal adalah:
σ β σ σ
2
i
2
i
2
M
2
ei
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 18
Manajemen Portofolio

19. Varians Return Pasar
• Varians return pasar dapat dihitung
menggunakan rumus:
n
 (R Mi  RM ) 2
σ 
2
M
i 1
n
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 19
Manajemen Portofolio

20. Varians Kesalahan Residu
• Varians kesalahan residu untuk sekuritas ke-i
dapat dihitung menggunakan rumus:
n
 (e ) i
2
σ 
2
ei
i 1
n
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 20
Manajemen Portofolio

21. Kovarians Antar Sekuritas Model Indeks Tunggal
• Kovarians return antar sekuritas berdasarkan
model indeks tunggal dapat dirumuskan:
Covij  σij  βi β j σ 2
M
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 21
Manajemen Portofolio

22. Koefisien Korelasi
• Koefisien korelasi dapat dihitung
menggunakan rumus:
βi β j σ 2
ρi, j 
M
σi σ j
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 22
Manajemen Portofolio

23. Contoh Soal
Periode Return Saham A Return Pasar
1 0,05 0,04
2 0,21 0,18
3 0,11 0,01
4 0,06 0,43
5 0,12 0,44
6 0,01 0,02
Berdasarkan data di atas hitunglah dengan menggunakan model indeks tunggal:
1. Beta saham A (βA)
2. Alpha saham A (αA)
3. Varians kesalahan residu (σei2)
4. Koefisien korelasi (ρ(A,M))
5. Deviasi standar return pasar (σM)
6. Return ekspektasi saham A (E(RA))
7. Deviasi standar return saham A (σA)
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 23
Manajemen Portofolio

24. Model Indeks Tunggal
RETURN DAN RISIKO PORTOFOLIO
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 24
Manajemen Portofolio

25. 1. Return Ekspektasi Portofolio
• Return ekspektasi portofolio dari model indeks
tunggal dapat dirumuskan sebagai berikut:
E(Rp)  α p  β p E(R M )
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 25
Manajemen Portofolio

26. 1. Return Ekspektasi Portofolio
• Dimana:
n
β P   w i βi
i 1
n
α P   w i αi
i 1
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 26
Manajemen Portofolio

27. 2. Risiko Portofolio
• Varians dari portofolio menggunakan model
indeks tunggal dapat dirumuskan sebagai
berikut:
n
σ  β σ  ( w i σ ei )
2
p
2
p
2
M
2
i 1
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 27
Manajemen Portofolio

28. Contoh Soal
Analisis Investasi dan
Trisnadi Wijaya, S.E., S.Kom 28
Manajemen Portofolio