Metodi numerici

1
Metodi Numerici per la
Valutazione di Attività
Finanziarie

3
Il metodo Monte Carlo
 Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata
sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari
rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio
da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;
 Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore
atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la
media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni
effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui
essa dipende.

4
 Esempio: Calcolo del prezzo di strumenti derivati.
 Indicando con fT il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore
ad oggi, f, sarà dato da
essendo Ê il valore di aspettazione rispetto alla misura risk-neutral ed r il
tasso di interesse che assumiamo per semplicità costante nel tempo;
 L’idea guida del metodo MC consiste nello stimare tale valore attraverso
la simulazione dei possibili valori assunti nel corso del tempo dalle
variabili sottostanti, di cui il prezzo del derivato è funzione;
 Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente ampio di possibili valori
finali possiamo poi stimare il nostro integrale come media aritmetica di
tali valori.

 T
rT
fEef ˆ


5
 Metodo Monte Carlo e Integrazione
 L’idea di base del metodo è del tutto generale;
 Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere
utilizzata come stimatore di un integrale

1
0
)( dxxfI
Questa espressione può essere interpretata come il
valore di aspettazione della funzione f di una variabile
aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo
[0, 1]

6
 Spiegazione dell’affermazione precedente
 Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile
aleatoria con densità g(x) e dominio di valori in  è dato da
 Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1]
otteniamo

 dxxgxfxfE )()()]([
 







1
0
)()()()]([
]1,0[1
]1,0[0
)(
dxxfdxxgxfxfE
xse
xse
xg

7
 Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una
media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione
estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo
affermare che la quantità


n
i
in xf
n
I
1
)(
1~
 rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa
stima risulta pari a:
 
n
dxIxf
n
xf
n
xf
n
I
n
i
i
n
i
in
21
0
2
1
2
1
)(
1
)(var
1
)(
1
var)
~
var(













  

8
 Il fondamento statistico del metodo MC è
rappresentato dal teorema del limite centrale;
 secondo questo teorema la somma di n
variabili casuali indipendenti e identicamente
distribuite segue approssimativamente una
normale con media  e varianza tendente a
zero per n crescente.

9
 Formalmente: sia X1, ..., Xn una successione di variabili
aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con
 Abbiamo
 Cioè Sn si distribuisce normalmente con media  e varianza
2/n.
2
)(,)(   XVarXE








n
i
in
n
NX
n
S
1
2
,
1 


10
 l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come
l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce
all’aumentare di n come
 Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del
problema.
 E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte
Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In
questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il
valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il
numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce
con l’aumentare del numero di dimensioni.
n/1

11
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000
Monte Carlo Standard
Black & Scholes

12
 Passando dal problema generale al caso più specifico della
determinazione del valore delle opzioni, si consideri il
processo di pricing di un’opzione call di tipo europeo;
 Il punto di partenza consiste nella definizione del processo
dinamico seguito dal sottostante;
 Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune
assumere che il sottostante segua un processo di tipo
geometrico browniano.

13
SdwSdtdS  
dwdtSd 

 






2
)ln(
2
Lemma di Ito
tzt
2S
S
SSS
2
0
0 





 

ln)ln()ln()ln(
Un processo per i prezzi azionari

14
tzt
2S
S 2
0






 

ln












 tzt
2
SS
2
0 

exp
Nota: In queste formule z
rappresenta una variabile
aleatoria estratta da una
distribuzione normale
standard N(0,1).

15
Processi per il Sottostante
Generazione Scenari
Distribuzione probabilistica dei premi
Calcolo della media e dell’errore

17
Generazione di Scenari
 Da un punto di vista del tutto generale la generazione di uno scenario
equivale alla generazione di un possibile percorso per il processo stocastico
del sottostante S(t) descritto da un’Equazione Differenziale Stocastica (SDE)
del tipo:
 Più precisamente, uno scenario è un insieme di valori
che rappresentano un’approssimazione della j-esima realizzazione,S j(ti), della
soluzione dell’equazione differenziale stocastica ai tempi
dWtSbdttSatdS ),(),()( 
IitS i
j
,,1,)(ˆ 
IiTti ,,1,0 

19
 Ci sono diversi modi per costruire uno scenario, vediamo i
due più importanti:
 Costruire un percorso della soluzione della nostra SDE ai tempi ti
per mezzo di una propagazione esatta della soluzione;
 Questo metodo è possibile solo quando disponiamo di una
soluzione in forma chiusa per la probabilità condizionale;
 Approssimazione numerica dell’equazione differenziale stocastica;
 Questo metodo viene utilizzato ogniqualvolta non si dispone
della soluzione chiusa di cui sopra;
 Come nel caso delle equazioni differenziali ordinarie, esistono
diverse tecniche numeriche per la risoluzione delle equazioni
differenziali stocastiche.

20
Propagazione della Soluzione
 Esempio: Processo log-normale con drift e volatilità
costanti.
dWdt
S
dS
 
   











  )()(
2
1
exp)()( 11
2
1 iiiiii tWtWtttStS 












 )(
2
1
exp)0()( 2
tWtStS 
Soluzione
Generazione Traiettorie

21
Integrazione Numerica della SDE
 Come abbiamo già detto, l’integrazione numerica è un altro metodo
per la risoluzione di un’equazione differenziale stocastica;
 Nel caso dell’integrazione numerica di Equazioni Differenziali
Ordinarie, i vari schemi di integrazione, come abbiamo visto,
introducono diversi errori di discretizzazione che si riflettono
sull’errore finale e che in genere sono proporzionali ad una potenza
dell’intervallo temporale utilizzato.
 Questo errore viene chiamato Errore di Troncamento dello schema
di discretizzazione.

22
 Nel caso dell’integrazione numerica di SDE tramite le differenze finite,
l’interpretazione degli errori numerici introdotti dal processo di
discretizzazione diventa più complicata;
 A differenza del caso delle ODE dove l’unico aspetto al quale siamo
interessati è la soluzione dell’equazione stessa, quando abbiamo a che fare
con una SDE ci sono almeno due aspetti distinti che meritano la nostra
attenzione:
 Il primo aspetto è legato all’accuratezza con la quale calcoliamo le traiettorie di
una particolare realizzazione della soluzione;
 Il secondo è legato all’accuratezza con la quale possiamo stimare una generica
funzione del processo stocastico sottostante come ad esempio i momenti.

23
 L’aspetto interessante è che l’ordine di accuratezza con il quale un
determinato schema di discretizzazione può approssimare una
traiettoria della soluzione in generale non è lo stesso con il quale lo
stesso schema può approssimare una funzione del processo
stocastico sottostante;
 La convergenza delle traiettorie calcolate numericamente alle traiettorie
“reali” viene chiamata convergenza forte e l’ordine dello schema
corrispondente viene detto ordine di convergenza forte;
 La convergenza della soluzione numerica di una funzione del processo
stocastico sottostante è detta invece convergenza debole e il
corrispondente ordine viene chiamato ordine di convergenza debole.

24
 I due schemi di discretizzazione più importanti per l’integrazione
di SDE sono l’ Explicit Euler scheme e il Milshtein scheme
))()()(),(ˆ()),(ˆ()(ˆ)(ˆ
11 iiiiiiii tWtWttSbtttSatStS  
  ttWtW
S
ttSb
ttSb ii
ii
ii 


 
2
1 )()(
)),(ˆ(
)),(ˆ(
2
1
dWtSbdttSatdS ),(),()( 
EULER
MILSHSTEIN

25
Metodi di Riduzione della Varianza

26
Metodi di Riduzione della Varianza
 Il fatto che l’errore quadratico medio della previsione
effettuata con la tecnica MC decresce all’aumentare delle
simulazioni rappresenta come abbiamo già detto un aspetto
interessante della metodologia in quanto risulta indipendente
dal numero di dimensioni del problema;
 Tuttavia la particolare forma di convergenza (1/n½) è di per se
piuttosto lenta per cui sono state sviluppate delle tecniche di
riduzione della varianza che permettono di accorciare (entro
certi limiti) i tempi di elaborazione.

27
Un Problema di Efficienza
 Immaginiamo di voler calcolare un certo parametro P (ad esempio
il prezzo di un’opzione) e di poter scegliere fra due diverse stime
ottenibili con il metodo Monte Carlo rappresentate dalle due serie
di valori ottenuti con il processo di simulazione
 Supponiamo poi che entrambi gli stimatori siano corretti, cioè valga
ma con
niPi ,...,1,ˆ
1  niPi ,...,1,ˆ
2 
  PPE 1
ˆ   PPE 2
ˆ
21  

28
 Chiaramente sulla base di queste sole informazioni saremmo
portati a scegliere il primo stimatore in quanto, a parità di
numero di simulazioni, l’errore di stima risulterà senz’altro
minore.
 Tuttavia, come accennavamo poco sopra, questa conclusione
rischia in realtà di non essere corretta in quanto non tiene
conto del fatto che i due stimatori possono richiedere risorse
computazionali molto diverse fra loro;
 in particolare generare n replicazioni di P1 potrebbe richiedere
molto più tempo che generare n replicazioni di P2.

29
 Un primo approccio al problema potrebbe essere quello di
introdurre esplicitamente nelle nostre considerazioni il tempo
di calcolo richiesto.
 Supponiamo che il tempo richiesto per generare una singola
replicazione di Pj possa essere espresso da una costante
che indicheremo con bj, avendo a disposizione un tempo
totale di calcolo pari a t il numero di replicazioni di Pj che
possiamo generare sarà pari a t/bj.
 I due stimatori possono pertanto essere riscritti introducendo
esplicitamente il tempo di calcolo nelle formule

1/
1
11 ˆ
bt
i
iP
t
b

2/
1
22 ˆ
bt
i
iP
t
b

30
 Per valori sufficientemente alti di t queste due quantità sono normalmente
distribuite con media P e standard deviation
 pertanto per grandi valori di t il primo stimatore sarà preferibile al secondo
se
 l’inverso del prodotto della varianza per il tempo necessario ad eseguire un
singolo run viene indicato in letteratura col nome di efficienza (Hammersley
e Handscomb, 1964).
 Usando l’efficienza come base per il confronto fra diversi stimatori possiamo
concludere che lo stimatore a bassa varianza è preferibile all’altro solo se il
rapporto delle varianza è più piccolo del rapporto fra i tempi di singola
replicazione.
t
b
t
b 2
2
1
1 
2
2
21
2
1 bb  

31
Variabili Antitetiche
 Uno dei metodi più semplici e più utilizzati in campo finanziario per la
riduzione della varianza è senz’altro il metodo delle variabili
antitetiche.
 Consideriamo di nuovo la procedura classica di stima del prezzo di
un’opzione, per semplicità espositiva ci limiteremo ancora al contesto
del modello di Black e Scholes.
 Se si adotta la tecnica della variabile antitetica, in ogni
simulazione si devono determinare due valori.
Il primo valore è quello calcolato nel modo consueto...
... mentre il secondo valore viene calcolato cambiando
segno a tutti i campioni estratti casualmente dalle
distribuzioni normali standardizzate.

32
 I due stimatori hanno chiaramente le stesse proprietà
statistiche essendo estratti dallo stesso campione (in
particolare hanno la stessa varianza).
 Il valore campionario del derivato calcolato in ogni
simulazione è la media di questi due valori e la sua varianza è
data da
 
    iii
ii
ii
CCCovCVar
2
1
CCVar
4
1
2
CC
Var
~
,
~
~






 

33
 Pertanto
 In questo caso occorre tuttavia tenere presente che questa procedura richiede un
numero di simulazioni doppio rispetto al caso standard per cui è necessario ragionare
in termini di efficienza;
 Se supponiamo che la generazione dei numeri casuali richieda un tempo trascurabile
rispetto al calcolo del prezzo allora possiamo affermare che il tempo impiegato
utilizzando le variabili antitetiche sia all’incirca doppio di quello richiesto nel caso
standard.
 In questo caso il metodo delle variabili antitetiche è preferibile al metodo standard se
si verifica la condizione
)()()()
~
,( imedioiii CVarCVarCVarCCCov 
)()(2 imedio CVarCVar 

34
Questa condizione è equivalente a richiedere che
  0
~
, ii CCCov
Verifichiamo se questa condizione è valida.
Indichiamo con  la funzione definita dalla relazione )( ii ZC  ; supponiamo che  sia
la composizione di due funzioni monotone, la prima è quella che lega il valore del
sottostante alla variabile aleatoria Z, la seconda è la funzione che calcola il payoff come
valore massimo fra 0 e la differenza fra il prezzo del sottostante e lo strike price. In
queste condizioni anche  è monotona.

35
Utilizzando una disuguaglianza standard possiamo allora verificare che
     )()()()( iiii ZEZEZZE  
da cui segue immediatamente
        0)()()()(
~
,  iiiiii ZEZEZZECCCov 
Quindi il metodo delle variabili antitetiche è più efficiente del metodo standard a patto
che siano verificate le condizioni di monotonicità citate.
Nel caso di payoff non monotoni il metodo non necessariamente fornisce prestazioni
migliori del Monte Carlo standard, anzi, in alcune condizioni i risultati sono
sensibilmente peggiori.

36
Moment Matching
 Il metodo dei momenti (moment matching) comporta l’aggiustamento
dei campioni estratti da una distribuzione normale standardizzata in modo
da assicurare l’uguaglianza tra i momenti campionari (in genere il primo e
il secondo) e i corrispondenti momenti della distribuzione probabilistica.
 Indichiamo con Zi i campioni estratti da una distribuzione normale
usati per calcolare la variazione di valore di una certa variabile in un certo
periodo di tempo. Per assicurare l’uguaglianza dei primi due momenti
calcoliamo la media campionaria m e la deviazione standard campionaria
s. Quindi definiamo nel modo seguente i campioni aggiustati
s
mZ
Z i
i

'

37
Moment Matching
Dim Media As Double
Dim StDev As Double
' vettore di variabili normali standard
Dim z() As Double
' vettore di variabili normali standard con
' moment matching
Dim y() As Double
ReDim z(1 To n) As Double
ReDim y(1 To n) As Double
' generazione del vettore di variabili normali
For i = 1 To n
z(i) = Application.WorksheetFunction.NormSInv(Rnd)
Next
' calcolo di media e standard deviation
Media = Application.WorksheetFunction.Average(z)
StDev = Application.WorksheetFunction.StDev(z)
' matching dei primi due momenti e generazione di y
For i = 1 To n
y(i) = (z(i) - Media) / StDev
Next

38
Campionamento stratificato
 La campionatura stratificata (stratified
sampling) comporta la suddivisione in strati,
o intervalli, della distribuzione probabilistica
sottostante e l’estrazione di campioni da
ciascun intervallo in base alla probabilità che
è ad esso associata.
 Consideriamo, per esempio, la generazione
di 100 variabili distribuite normalmente.
 Il metodo più ovvio di fare ciò consiste nel generare
100 numeri uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e
calcolare per ciascuno di questi la funzione inversa
della distribuzione normale.
 Questo metodo tuttavia produce un risultato che
risulta alquanto scadente poiché le code della
distribuzione saranno sicuramente
sottocampionate
senza campionamento stratificato
0
2
4
6
8
10
12
14
-3
-2.25
-1.5
-0.75
0
0.75
1.5
2.25
3
ClasseFrequenza

39
Campionamento stratificato
 Un metodo alternativo, più efficace,
consiste nel forzare ciascun numero
generato al passo i a cadere
esattamente fra l’ (i-1)-esimo
percentile e l’i-esimo.
 Un modo estremamente semplice per
ottenere questo risultato consiste nel
generare 100 numeri Ui
uniformemente distribuiti in [0, 1 ] e
calcolare*
* I numeri così generati non sono più indipendenti e questo complica la
stima dell’errore e del livello di confidenza. Questo problema è comune a
tutte le tecniche di riduzione della varianza e non viene discusso in
questa introduzione. Il lettore comunque deve essere consapevole della
sua esistenza.





 
 
100
1~ 1 i
i
Ui
NU
con campionamento stratificato
0
2
4
6
8
10
12
-3
-2.25
-1.5
-0.75
0
0.75
1.5
2.25
3
Classe
Frequenza

40
Variabili di Controllo
 Supponiamo che Y1,….,Yn siano gli output di n replicazioni di una simulazione;
 Supponiamo anche che gli Yi siano iid e che il nostro obiettivo sia quello di
stimare E[Yi ];
 Per ogni simulazione calcoliamo adesso un’altra variabile Xi assieme ad Yi, il cui
valore atteso E[X] sia noto;
 A questo punto prendiamo come output dell’i-esima simulazione la quantità
  XEXbYbY iii )(

41
 … il valore medio è lo stesso della variabile Y
 La nostra variabile X viene detta variabile di controllo;
 L’errore osservabile <X>-E[X] serve come controllo nella stima di
E[Y];
 Tuttavia si può dimostrare che lo stimatore con variabile di controllo
ha una varianza minore dello stimatore originale a patto che
      
i
i
i
ii Y
N
XEXbY
N
XEXbYbY
1
][
1
][)(
XYYX bb  2

42
 L’efficacia di una variabile di controllo …
 Dipende moltissimo dall’intensità della correlazione fra la variabile da
stimare e la variabile di controllo stessa
 Può variare molto con i parametri del problema!
 Si può dimostrare che per una singola variabile di
controllo il valore ottimale del parametro b*
)var(
),cov(
*
X
YX


43
Opzioni asiatiche
 Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla
media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date
predeterminate:
average price call:
 Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in
quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del
sottostante.
 



m
i
iaverage
average
tS
m
S
ESMax
1
)(
1
0,off-Pay

44
Opzioni asiatiche
 Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono
scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse
date di rilevazione.
 Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi
è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione
di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale
non è nota.
 Tecniche di valutazione:
 Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è
approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza.
 Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento,
calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media

45
Variabile di Controllo
Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
 Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo
log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo
utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo
europeo.
 Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili
distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.
 Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di
un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi
temporalmente equidistanziati...
m
m
j
t j
SG
/1
1








 












 )()(
2
1
exp)exp( 21
2
dKNdNrTC GGG 
è pari a ...

46
 dove
  mTh
hT
qrSG /
22
1
ln 2
0 







 
m
mm
hG
6
)1)(12(22 
 
G
GG K
d

 2
1
)ln( 

Gdd  12

47
Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione
viene calcolato come
  niKAEeC irTi
,,1,)0,max( )()(
 
dove A(i)
è la media aritmetica discreta campionata


m
j
t
ii
jS
m
A
1
)()( 1
calcolata su un insieme discreto di punti
mjt
m
T
hhtt jj ,,2,1,0,, 01  
ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore


n
i
i
C
n
C
1
)(1ˆ

48
Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle
variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media
geometrica per ogni simulazione
m
m
j
i
t
i
j
SG
/1
1
)()(








 
e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica
)0,max()exp( )()(
KGrTC ii
G 
Questa volta però utilizzeremo lo stimatore


n
i
G
i
G
i
CCC
n
C
1
)()(
)(
1ˆ

49
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Volatilità Sottostante
Asiatica Aritmetica
Europea Black & Scholes
Asiatica Geometrica

50
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo a Scadenza
Asiatica Aritmetica
Europea Black & Scholes
Asiatica Geometrica

51
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Volatilità Sottostante
MC Standard MC Controllo MC Antithetic

52
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
Tempo a Scadenza
MC Standard MC Controllo
MC Antithetic

54
Greek Letters: Differenze Finite
 Consideriamo il problema legato al calcolo del Delta di un’opzione
europea
 Un approccio diretto al problema può consistere nella generazione di
due prezzi finali, il primo
a partire dal valore S0 , e il secondo a partire dal valore perturbato S0 +

0S
C



ZTTr
T eSS  
 )2/(
0
2
')2/(
0
2
)( ZTTr
T eSS 
 

Z e Z’ sono due estrazioni indipendenti da una
normale standard

55
Greek Letters
 Per ogni valore del prezzo finale possiamo poi calcolare il valore
dell’opzione corrispondente
  ),0max(0 KSeSC T
rT
 
  ))(,0max(0 KSeSC T
rT
 

   

 00~ SCSC 


56
Greek Letters
 Problema
 Poiché i valori per ST e ST() sono generati indipendentemente l’uno
dall’altro la varianza di delta diverge al diminuire del valore di .
 Per ottenere uno stimatore che converga verso il valore effettivo del
Delta occorre diminuire in maniera graduale (e lenta) il valore di 
all’aumentare di n. Complessivamente questo rallenta la velocità di
convergenza fino a livelli del tutto inaccettabili.
       )()()(
~ 2
00
2 
  OSCVarSCVarVar

57
Greek Letters
 Una stima migliore può essere ottenuta utilizzando il metodo dei
Numeri Casuali Comuni (Common Random Numbers) che nella
fattispecie si traduce nell’utilizzare lo stesso numero casuale Z sia nel
calcolo di S0 che di S0 + .
 Se denotiamo con ^ la stima del Delta così calcolata; per un valore di
 fissato, la media di un campione di repliche indipendenti di ^
converge al valore effettivo di Delta ma il calcolo della varianza ora
fornisce un valore diverso in quanto C(S0) e C(S0 + ) non sono più
indipendenti
    )1(00
O
SCSC
Var 


 


Cov > 0
        )(),(2)()(ˆ
0000
2
  
SCSCCovSCVarSCVarVar

59
Opzioni multivariate
 Basket: il valore del sottostante è calcolato con una
media ponderata di un insieme di titoli
 Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del
pay-off:
 opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option
on the max/min)
 opzioni che consentono di scambiare un’attività finanziaria con
un’altra (exchange option),
 opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti
(spread option),
 opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multi-
strike).

60
Opzioni basket
 Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che
per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del
basket fosse geometrica l’opzione potrebbe essere
prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes
(medie geometriche di variabili log-normali sono log-
normali). Dall’altro in gran parte dei casi si utilizzano
medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo
la distribuzione.
 Anche in questo caso le alternative sono due
 Moment matching
 Simulazione Monte Carlo

61
Misure di co-dipendenza
 Distribuzioni Marginali
 Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la
funzione di densità marginale di x è definita come
 E, analogamente,

)(
),()(
yD
x dyyxx 

)(
),()(
xD
y dxyxy 

62
 Indipendenza
 Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro
funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto
delle densità marginali
)()(),(, yxyxtiindipendenyx yx  

63
 Correlazione Lineare
 Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due
variabili x ed y
   2
2
2
2
,
)()()()(
)()(),(
)()(
),cov(
  
 




dyyydyyydxxxdxxx
dyyydxxxdxdyyxxy
yx
yx
yyxx
yx
yx





64
 Correlazione Lineare
 Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di
correlazione lineare unitamente alla specificazione delle
distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione
di probabilità congiunta.
 In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra
cui la distribuzione normale.
 In generale quindi l’inferenza
Non è valida
),(),(),( , yxyx yxyx  

65
 Oltre l’indice di correlazione lineare
 La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili
normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla “normalità”
continua a fornire indicazioni utili ma all’allontanarsi da queste condizioni
(in molti casi soltanto ideali) l’indice di correlazione lineare fornisce risultati
sempre più fuorvianti!
 L’indice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni
non lineari delle variabili.
A differenza degli stimatori non-parametrici, l’indice di correlazione lineare
può non coprire l’intero range da – 1 a + 1, rendendo problematica
l’interpretazione del grado di dipendenza

66
 Rho di Sperman
 Questo indice è definito come coefficiente di correlazione lineare fra le
funzioni di distribuzione delle due variabili. In altre parole, date due
variabili x ed y e le loro distribuzioni marginali, calcoliamo prima di tutto le
distribuzioni marginali cumulate
 Utilizzando due semplici risultati …
 

y
yy
x
xx dydx  )(:)()(:)(
   
1
0
22
1
0
3
1
)()(,
2
1
)()( duudxxxududxxx xxx x


67
 Rho di Sperman
 … possiamo scrivere
 Tau di Kendal
  3),()()(12 dxdyyxyx yxS 
  1),(),(4 dxdyyxyxK 

68
 Il tau di Kendal e il Rho di Sperman appartengono alla
categoria delle cosiddette rank correlation ;
 Sono invarianti per un’ampia tipologia di trasformazione
delle variabili;
 Questo tipo di indicatori, a differenza del coefficiente di
correlazione lineare, ha la proprietà che date due
distribuzioni marginali esiste sempre una distribuzione
congiunta per ogni valore dell’indice compreso
nell’intervallo [-1, 1].

69
Variabili Normali Multivariate
 Cholescky Decomposition
 Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle
quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-
covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n  n.
Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set
di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di
matrice di varianza-covarianza assegnata .
 Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come
combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone
 Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di
dimensione n n tale che
AXY 
t
AA

70
 
 


 
 














N
j
N
j kj
kjikijjij
N
j kj
kjikij
N
j
jijii
N
j
jiji
N
j
jiji
ij
jij
ii
axxaaxa
xxaaxa
xayyyy
xayxay
1
2
1
22
1
22
2
1
2222
11
2
2
)(
0

1)(22
 jj xx 
AXY 
0),cov(  kjkj xxxx

71
 La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che
esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno
come risultato . Se la matrice  è definita positiva il metodo più
efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema
consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.















nnnn AAA
AA
A
A




21
2221
11
0
00
 Il punto chiave di tale
metodologia consiste nel
ricercare A nella forma di una
matrice triangolare inferiore,
ovvero una matrice in cui tutti gli
elementi sopra la diagonale
sono nulli,

72
 Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi
di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative
 Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo




1
1
2
i
k
ikiiii aa  





 


1
1
1 i
k
jkikij
ii
ji aa
a
a 









 2
22
1
1
0


A

73
Il Condizionamento della Matrice di Varianza e Covarianza
 Può accadere, specialmente quando si lavora con problemi ad elevata
dimensionalità, che la matrice di correlazione non risulti semi-definita
positiva;
 In tal caso almeno uno degli autovalori della matrice risulterà negativo.
 Spesso questo fatto è riconducibile alle procedure che hanno portato
alla costruzione della matrice stessa;
 ad esempio è sufficiente avere serie storiche di prezzi non perfettamente allineate
o prezzi registrati a tempi diversi per produrre quasi sicuramente una matrice di
correlazione mal definita.
 In questi casi non è sempre possibile ricostruire la matrice stessa (si
pensi al caso limite in cui la matrice viene scaricata da un provider
esterno come nel caso di RiskMetrics) per cui è necessario disporre di
metodi che possano rimuovere gli autovalori negativi in modo che la
matrice risulti definita positiva col minor impatto possibile sui valori
della matrice stessa.

74
 Una procedura possibile è la seguente
 Calcolare autovalori e autovettori della matrice di correlazione
 Porre gli autovalori negativi uguali a zero;
 Ricostruire la nuova matrice di correlazione;
 L’ultimo passaggio è facilmente realizzabile a partire dalla matrice degli
autovettori E e dalla matrice (diagonale) degli autovalori 
Il Condizionamento della Matrice di Varianza e Covarianza
t
EEC 
E’ molto probabile che la nuova matrice così ottenuta abbia elementi lungo la diagonale diversi da 1. Per questo è
necessario procedere ad una normalizzazione ponendo
dove D1/2 è una matrice diagonale i cui elementi sono le radici quadrate degli elementi diagonali di C.
D
C
D
C
11


75
Funzioni di copula: concetti base
 Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se
1. z, u e v sono in [0,1]
2. C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u
3. C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) – C (u1, v1)  0 per tutti i valori u2 >
u1 e v2 > v1
 Teorema di Sklar
 Ogni distribuzione congiunta può essere scritta come una funzione di
copula che abbia le distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasi
funzione di copula che abbia distribuzioni come argomenti è una
distribuzione congiunta

76
 Possiamo quindi scrivere
 L’utilizzo delle funzioni di copula consente di specificare
separatamente le distribuzioni marginali delle variabili e la loro
struttura di dipendenza
 Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di
dipendenza, ad esempio il  di Kendall o il  di Spearman.
Funzioni di copula: concetti base
 )(),(),( yxCyx yx 

77
Copule
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
S1
S4
S7
S10
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
Copula Massima

78
Copule
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
S1
S6
S11
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Copula Minima

79
Copule
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
S1
S5
S9
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
Copula Prodotto

80
Algoritmi per la modellazione della dipendenza
La copula gaussiana
Calcolo della pseudo-radice di R
A: R=AAT
INPUT
 n funzioni di densità marginali
 matrice di correlazione R
 )(,),(),()( 2211 nxnxxx xxxx  


Generazione di n variabili normali
standard non correlate
z
Da z si ricava un vettore di variabili v
uniformemente distribuite fra 0 ed 1
ponendo
vi = N(z’i)
Introduzione della correlazione
z’ = Az
Calcolo del vettore x utilizzando la
distribuzione cumulativa inversa
marginale
)(1
1 ixi vx 

END
START
 L’algoritmo si riassume nei seguenti passi
 generare un vettore di variabili normali con
correlazione assegnata;
 Trasformare tali variabili in variabili con distribuzione
uniforme in [0, 1] utilizzando la funzione comulata
della normale;
 Utilizzare queste variabili come base per generare il
vettore x, secondo il metodo della trasformazione
inversa utilizzando come funzioni di trasformazione
le inverse delle comulate marginali specificate in
input.
 E’ importante ricordare che i coefficienti di
correlazione che controllano la copula
gaussiana, e che vengono utilizzati
nell’algoritmo descritto a lato, possono essere
molto diversi dalla correlazione lineare

81
Algoritmi per la modellazione
della dipendenza
La copula t Calcolo della pseudo-radice di R
A: R=AAT
INPUT
 n funzioni di densità marginali
 matrice di correlazione R
Generazione di n variabili normali
standard non correlate
z
Introduzione della correlazione
z’ = Az
START
Generare una variabile, s, distribuita
secondo una chi-quadro con n gradi
di libertà. Per n intero questo può
essere ottenuto semplicemente
generando n variabili normali
indipendenti e sommando i loro
quadrati.
Da y si ricava un vettore di variabili v
uniformemente distribuite fra 0 ed 1
utilizzando la funzione di probabilità
comulativa della t di Student
Porre
z
s
n
y


Calcolo del vettore x utilizzando la
distribuzione cumulativa inversa
marginale
)(1
1 ixi vx 

END

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