La tesi analizza i limiti del modello Black-Scholes-Merton nella valutazione delle opzioni e presenta il metodo di simulazione Monte Carlo come alternativa efficace. Vengono discussi i vari aspetti delle opzioni e le loro caratteristiche, inclusi gli errori di pricing e la variabilità della volatilità. L'obiettivo è dimostrare come il metodo Monte Carlo offra vantaggi significativi rispetto al modello tradizionale, evidenziando la flessibilità e l'efficienza nel pricing delle opzioni.

1. Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
Macro area di Ingegneria
Tesi di Laurea Magistrale in Ingegneria Gestionale
Relatore
Paolo Mancuso
Candidato
Matteo Evangelisti
Limiti del modello Black-Scholes-Merton e vantaggi del
metodo Monte Carlo: analisi teorica e applicazione alle
opzioni sull’indice S&P 500

2. Guida introduttiva della tesi
• Studio dei limiti e delle assunzioni che caratterizzano il modello Black-Scholes-Merton
nella valutazione di opzioni.
• Analisi del Metodo Monte Carlo ed applicazione di tecniche migliorative per il pricing
delle opzioni.
.
Oggetto dello studio
Introduzione:
- Le opzioni
Analisi e Valutazioni
- Modello Black-Scholes-Merton
- Metodo Monte Carlo
Conclusioni:
- Risultati generali
• Identificare e dimostrare la natura qualitativa delle difformità delle approssimazioni
del modello BSM
• Dimostrare i vantaggi del metodo Monte Carlo, l’efficienza e la flessibilità nel pricing
dell’opzione
Obiettivi

3. Le Opzioni
Un'opzione è un contratto che attribuisce il diritto, ma non l'obbligo, di comprare (opzione
call) o vendere (opzione put) una data quantità di un bene (sottostante) ad un prezzo
prefissato(strike price o prezzo di esercizio) entro una certa data (scadenza, o maturità).
Il bene sottostante al contratto di opzione può essere:
• un’attività finanziaria (azione, indice, obbligazioni, valute, ecc…)
• materie prime (petrolio, grano, oro, ecc…)
• un evento di varia natura
Tipi di Opzioni
Tipo di esercizio Tipo di contratto
• Europee
• Americane
• Bermudiane
• Plain Vanilla
• Esotiche
Tipi di Mercato
• Regolamentati
• Non-regolamentati (OTC)

4. Modello Black-Scholes-Merton
𝒓𝑺
𝝏𝑽
𝝏𝑺
+
𝟏
𝟐
𝝈 𝟐
𝑺 𝟐
𝝏 𝟐 𝑽
𝝏𝑺 𝟐 +
𝝏𝑽
𝝏𝒕
− 𝒓𝑽 = 𝟎L’equazione del modello:
dove:
• 𝒓 = Tasso di interesse free-risk
• 𝑺 = Prezzo del sottostante
• 𝑽= Prezzo dell’opzione
• 𝝈 = Volatilità implicita
𝑪𝒂𝒍𝒍 = 𝒆−𝒓𝑻
𝑺 𝟎 𝒆 𝒓𝑻
𝑵 𝒅 𝟏 − 𝑲𝑵 𝒅 𝟐
Il valore delle opzioni:
𝑷𝒖𝒕 = 𝒆−𝒓𝑻
[𝑲𝑵 −𝒅 𝟐 − 𝑺 𝟎 𝒆 𝒓𝑻
𝑵 −𝒅 𝟏 ]
dove:
• 𝑻 = Data di scadenza
• 𝑺 𝟎= Prezzo del sottostante a t=0
• 𝑲 = Strike Price
• 𝑵 𝒅 = funzione di distribuzione di
una variabile normale standard
• 𝒅 𝟏=
ln
𝑆0
𝐾
+ 𝑟+
𝜎2
2
𝑇
𝜎 𝑇
• 𝒅 𝟐=
ln
𝑆0
𝐾
+ 𝑟−
𝜎2
2
𝑇
𝜎 𝑇
ThetaDelta

5. Le ipotesi del modello:
1. il sottostante è caratterizzato da un moto Browniano geometrico, dove:
• la variabile log(
𝑆 𝑇
𝑆0
) è distribuita secondo una normale standard (𝑆𝑡 log-normale)
• gli eventi sono indipendenti
• i fattori 𝝈 𝑒 𝑟 sono costanti
2. non esistono possibilità di arbitraggio;
3. non esistono costi di transazione per operare sul mercato;
4. il sottostante non paga dividendi durante la vita dell’opzione;
5. i titoli vengono negoziati continuamente;
6. i titoli sono scambiati (acquisto e vendita) anche in valori frazionari.
Modello Black-Scholes-Merton

6. Scostamenti:
• Corpo centrale
• Picco centrale
• Asimmetria
 Skewness= - 0.2756
• Code distribuzione
 Curtosi= 7,1394 > 3
Distribuzione dei rendimenti
Confronto tra le funzioni di densità (Rendimenti vs Normale standard):
"code grasse"
(Leptocurtosi)
1) Analisi delle funzioni di distribuzione
2) Analisi dei quantili
I rendimenti non sono distribuiti
secondo una normale standard

7. Indipendenza dei rendimenti
Alternanza dei rendimenti in diversi gruppi con ampiezza simile: Volatility Clusters
Analisi di correlazione
dipendenza temporale di grado più
elevato rispetto a quella lineare
Rendimenti non sono indipendenti
Non completa aleatorietà
dell’andamento del sottostante
La volatilità è affetta da eteroschedasticità

8. Volatilità
Informazioni
rilevamento dati:
Strike monitorati 1650÷2250
Tipo opzioni call
Durata
monitoraggio
1 anno
Periodo
Inzio 16/01/14
Fine 16/01/15
Punti
Inzio 1848.38
Fine 2019.42
Al decremento della vita residua:
• Aumenta la volatilità su tutti gli strike (in particolar modo nei mesi ad alta volatilità)
• Aumenta la pendenza del cosiddetto volatility skew
• Le volatilità degli strike deep OTM assumono un andamento crescente all’avvicinarsi della scadenza
La volatilità
non è costante

9. La volatilità nel delta
0.0000
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
10.00
114.41
218.82
323.24
Strike price
Delta
Time to maturity
Aspetti Principali:
• Valore crescente da opzioni OTM a opzioni ITM
• Valore di delta intorno allo 0,5 per strike ATM
• Decremento del delta delle opzioni OTM (viceversa con gli strike ITM) man mano che ci si avvicina a
scadenza
• Notevole decremento del delta su tutti gli strike, in corrispondenza dei mesi a più alta volatilità
(diminuzione dell’indice)
Delta =
𝝏𝑽
𝝏𝑺
= probabilità che la corrispondente opzione diventi ITM entro la data di scadenza

10. Gamma=
𝝏 𝟐 𝑽
𝝏𝑺 𝟐 = sensibilità circa il cambiamento del delta al variare del sottostante
La volatilità nel gamma
3028,50
2826,60
2624,70
2422,80
2220,90
2019,00
1817,10
1615,20
1413,30
1211,40
1009,50
0.0000
0.0010
0.0020
0.0030
0.0040
0.0050
0.0060
0.0070
0.0080
0.0090
0.0100
10.00
114.41
218.82
323.24
Strike price
Time to maturity
0.0090-0.0100
0.0080-0.0090
0.0070-0.0080
0.0060-0.0070
0.0050-0.0060
0.0040-0.0050
0.0030-0.0040
0.0020-0.0030
0.0010-0.0020
0.0000-0.0010
Gamma
Aspetti principali:
• I valori per gli strike OTM e ITM sono circa gli stessi, più ci si avvicina agli strike ATM più il valore del
gamma cresce;
• Con il trascorrere del tempo:
 la sensibilità del delta aumenta rispetto al movimento del sottostante;
 gli strike OTM decrescono più lentamente rispetto agli strike ITM.
Aspetti principali:
• Nei mesi a più alta volatilità :
 il gamma negli strike ITM cresce molto, in quelli OTM decresce notevolmente.
• Presenza di asimmetricità

11. La volatilità nel theta
Theta =
𝝏𝑽
𝝏𝒕
= riduzione del valore dell’opzione al trascorrere del tempo
3028,50
2826,60
2624,70
2422,80
2220,90
2019,00
1817,10
1615,20
1413,30
1211,40
1009,50
-1.4000
-1.2000
-1.0000
-0.8000
-0.6000
-0.4000
-0.2000
0.0000
0.2000
10.00
114.41
218.82
323.24
Strike price
Time to maturity
0.0000-0.2000
-0.2000-0.0000
-0.4000--0.2000
-0.6000--0.4000
-0.8000--0.6000
-1.0000--0.8000
-1.2000--1.0000
-1.4000--1.2000
Theta
Aspetti principali:
• Negatività dei valori del theta
• Valori maggiori in corrispondenza dello strike ATM
• Valore del theta (in modulo) inversamente proporzionale alla vita residua
• Valori simili per ITM e OTM alla stessa distanza dallo strike ATM

12. Conclusioni primo studio
Le cause del disallineamento nel pricing:
• La distribuzione dei rendimenti non coincide con quella della normale standard
• I rendimenti non sono delle variabili indipendenti
• la volatilità non è costante ma varia in funzione del tempo e degli strike price
Se il modello fosse completamente corretto:
• Non ci sarebbero sottostime del rischio legato ad eventi non frequenti
• la volatilità implicita sarebbe costante, indipendentemente dallo strike price

13. Metodo Monte Carlo
Il metodo Monte Carlo consiste in una simulazione numerica basata sul campionamento statistico, in grado
di risolvere problemi la cui complessità li rende intrattabili o poco efficaci da un punto di vista analitico.
1. Calcolo del cammino del sottostante:
𝐶 = 𝑒−𝑟𝑇
1
𝑁
𝑖=1
𝑁
max 0, 𝑆𝑖,𝑇 − 𝐾
𝐶𝑖,𝑇 = max 0, 𝑆𝑖,𝑇 − 𝐾
𝑆 𝑇 = 𝑆0 𝑒
𝑟−
𝜎2
2
𝑇+𝜎𝜺 𝑇
3. Si calcola di ognuno il payoff dell’opzione a cui è legato
(opzione call europea):
4. La stima dell’opzione è pari alla media aritmetica dei payoff attualizzati:
2. Si generano N cammini del sottostante,
sostituendo N variabili casuali ε diverse
Fasi del metodo:

14. …per una stima affidabile
1. Scelta numeri casuali:
2. Incremento delle simulazioni
3. Riduzione della varianza:
Legge Grandi Numeri:
𝐶 → 𝐶 con 𝑛 → ∞
Velocità di convergenza
molto lenta: 𝑂(
1
𝑁
)
Tecnica della variabile antitetica: si considera per ogni variabile
𝜀, anche il suo opposto
𝐶 𝑎𝑣,𝑖 =
𝐶𝑖 + 𝐶𝑖
2
𝑇~x2
>
𝑉𝑎𝑟[ 𝐶]
2
Tecnica della variabile di controllo: si ricorre ad un’altra variabile 𝑆 correlata alla precedente, di valore
noto:
𝐶 𝛾 = 𝐶 + 𝛾(𝑆 − 𝑆) con 𝛾 = −
𝐶𝑜𝑣 𝑋,𝑌
𝑉𝑎𝑟 𝑌
∆ 𝐶 ∝ varianza delle stime stesse
• Non correlati
• Diversità dei numeri
• Distribuiti secondo
la normale standard
Numeri
pseudocasuali
Funzione randn (MATLAB)
Metodo Box-Muller
𝑌1 = −2𝑙𝑛𝑋1 cos 2𝜋𝑋2
𝑌2 = −2𝑙𝑛𝑋1 sin 2𝜋𝑋2

15. …per una maggiore accuratezza della stima:
Metodo quasi-Monte Carlo
Numeri pseudocasuali
Sequenze di numeri deterministiche
o
Sequenze a bassa discrepanza
Tipi di sequenze:
1. Sequenza di Halton
2. Sequenza di Faure
3. Sequenza di Sobol
Sequenze a bassa discrepanza
Griglie equispaziate
Svantaggi delle sequenze:
All’aumentare delle dimensioni:
• Presenza di correlazione tra le singole sequenze di numeri
• Perdita di uniformità nella disposizione dei punti
• 𝑂 𝑙𝑛𝑁 𝑚
/𝑁
• maggiore flessibilità in casi multidimensionali
• sequenzialità nell’inclusione di nuovi punti
• riduzione dell’errore dovuto alla
discretizzazione
1 2 3

16. Implementazioni: 1 data di monitoraggio
Parametri implementazioni
Tipo opzione Strike price S0 Prezzo BS T r σ N. Simulazioni
call 1850 1848.38 $146,44 1 0.30% 19.59% 10000 ÷ 100000
N°simulazioni MC MCBX
10000 0.5957 0.1575
20000 0.1575 1.1572
30000 0.0342 0.3013
40000 0.9586 0.0548
50000 0.6231 0.3492
60000 0.9107 0.7053
70000 0.1506 0.6163
80000 0.0616 0.2739
90000 0.3766 0.0137
100000 0.3766 0.4040
Media 0.4245 0.4033
MCAV MCCV
0.8765 0.5023
0.0479 0.8388
0.1849 0.7601
0.3150 0.0780
0.2807 0.1602
0.2739 0.1376
0.0411 0.0767
0.2807 0.2325
0.2534 0.0368
0.4451 0.0849
0.2999 0.2908
Riduzione varianza Sequenze a bassa discrepanza
Halton Faure Sobol
0.2073 0.1784 0.1612
0.1109 0.1150 0.0890
0.0894 0.0781 0.0741
0.0587 0.0705 0.0447
0.0526 0.0399 0.0414
0.0472 0.0472 0.0379
0.0377 0.0377 0.0342
0.0306 0.0306 0.0276
0.0315 0.0315 0.0288
0.0276 0.0276 0.0251
0.0694 0.0657 0.0564
Halton BM
0.0267
0.0307
0.0225
0.0129
0.0133
0.0119
0.0121
0.0112
0.0036
0.0088
0.0154
-25%
-80% -78%
Tempo(s) MC MCBX
Media 0.04 0.37
MCAV MCCV
0.16 0.17
Halton Faure Sobol
2.11 0.54 0.24
Halton BM
2.46
-55% +30% +90%

17. N-step=50
N-step=252
N-step = 1
Implementazioni: n date di monitoraggio
ERRORI RELATIVI
TEMPI
+93%+85%
Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol
10 0.6435 0.6367 0.3881 0.3403 0.3335 0.4229 0.0926 0.0828
20 0.5411 0.5111 0.3107 0.3452 1.1420 0.8793 0.2378 0.2094
50 0.7136 0.7245 0.2982 0.2941 5.7804 16.3244 0.5084 0.4813
100 0.6280 0.6090 0.2778 0.4448 17.1822 >100 0.6690 0.6726
252 0.7293 0.7301 0.4879 0.2621 25.1152 >100 0.8805 0.8707
Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol
10 0.6435 0.6367 0.3881 0.3403 0.3335 0.4229 0.0926 0.0828
20 0.5411 0.5111 0.3107 0.3452 1.1420 0.8793 0.2378 0.2094
50 0.7136 0.7245 0.2982 0.2941 5.7804 16.3244 0.5084 0.4813
100 0.6280 0.6090 0.2778 0.4448 17.1822 >100 0.6690 0.6726
252 0.7293 0.7301 0.4879 0.2621 25.1152 >100 0.8805 0.8707
Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol
10 0.18 2.34 0.17 0.18 22.42 20.16 0.56 0.34
20 0.27 3.89 0.23 0.22 41.94 39.15 0.74 0.43
50 0.51 7.69 0.42 0.34 100.05 96.16 1.05 0.75
100 1.05 16.50 1.05 1.05 217.23 192.87 1.87 1.26
252 2.57 35.26 1.63 1.09 594.09 483.88 4.01 3.24
Steps MC MCBX MCAV MCCV Halton HaltonBX Faure Sobol
10 0.18 2.34 0.17 0.18 22.42 20.16 0.56 0.34
20 0.27 3.89 0.23 0.22 41.94 39.15 0.74 0.43
50 0.51 7.69 0.42 0.34 100.05 96.16 1.05 0.75
100 1.05 16.50 1.05 1.05 217.23 192.87 1.87 1.26
252 2.57 35.26 1.63 1.09 594.09 483.88 4.01 3.24
+94%-9%
N-step=10
N-step

18. Conclusioni secondo studio
Vantaggi riscontrati nell’uso del metodo::
• Indipendenza della velocità di convergenza dei metodi MC al variare della dimensione
• Possibilità di riprodurre migliaia di possibili scenari del sottostante con un tempo trascurabile
• Semplicità dei calcoli
• Flessibilità e versatilità del metodo rispetto ad eventuali cambiamenti (opzioni e tecniche applicabili)
Risultati generali:
• L’errore relativo sin dall’inizio è molto ridotto;
• La tecnica della variabile di controllo risulta molto efficace;
• I numeri a bassa discrepanza:
 risultano più efficaci rispetto ai numeri pseudocasuali con poche date di monitoraggio
 dalle 50 date di monitoraggio subiscono una notevole degradazione della sequenza
 in entrambe le analisi presentano tempi di implementazioni maggiori ai numeri pseudo
casuali

19. Conclusioni generali
Nonostante i limiti osservati, il Modello Black-Scholes-Merton rimane un solido riferimento per i
modelli finanziari che lo hanno susseguito.
• Ha risolto le grandi difficoltà basate sul legame tra sottostante e strumento derivato
per il pricing di quest’ultimo
• Ha introdotto un concetto di volatilità come aspettativa del movimento del
mercato(volatilità implicita)
• Fornisce una formula chiusa in grado di fornire il valore e descrivere le caratteristiche
delle opzioni
Il Metodo Monte Carlo risulta essere:
• Un valido strumento da affiancare ad un metodo analitico, come appunto il modello BSM
• Un metodo applicabile anche per altri tipi di opzioni (esotiche).

20. “ La fortuna è cieca e il denaro non ha odore, dicono i proverbi comuni.
Ecco perché gli uomini di finanza si sforzano di perfezionare il tatto. ”
(Jean Francois Paul Laffitte)
Grazie per l’attenzione