Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Chỉ số chính quy của một số tập điểm béo, cho các bạn làm luận văn tham khảo 50000449

1. „IHÅCHU˜
TR×ÍNG„IHÅCS×PH„M
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
TR†NTHÀVI›TTRINH
CHŸSÈCHNHQUYCÕAMËTSÈ
TŠPIšMB’O
LUŠNV‹NTH„CSžTONHÅC
THEOÀNHH×ÎNGNGHI–NCÙU
ThøaThi¶nHu¸,n«m2018

2. „IHÅCHU˜
TR×ÍNG„IHÅCS×PH„M
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
TR†NTHÀVI›TTRINH
CHŸSÈCHNHQUYCÕAMËTSÈ
TŠPIšMB’O
Chuy¶nng nh: „ISÈV€LÞTHUY˜TSÈ
M¢sè:60460104
LUŠNV‹NTH„CSžTONHÅC
THEOÀNHH×ÎNGNGHI–NCÙU
C¡nbëh÷îngd¨nkhoahåc:
PGS.TSPhanV«nThi»n
ThøaThi¶nHu¸,n«m2018
i

3. LÍI CAM OAN
Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, c¡c sè li»u v k¸t
qu£ nghi¶n cùu ghi trong luªn v«n l trung thüc, ÷ñc c¡c çng t¡c gi£ cho ph²p sû
döng v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t k¼ mët cæng tr¼nh n o kh¡c.
Hu¸, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2018
Håc vi¶n thüc hi»n
Tr¦n Thà Vi»t Trinh
ii

4. LÍI CƒM ÌN
Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Th¦y gi¡o, PGS.TS Phan
V«n Thi»n. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c v sü k½nh trång èi vîi Th¦y. Th¦y
¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp công nh÷ ho n th nh
luªn v«n n y.
Tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n quþ Th¦y cæ Khoa To¡n, c¡c Th¦y ð ¤i håc Hu¸ v
Vi»n To¡n håc ¢ d¤y dé v truy·n ¤t ki¸n thùc cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc
tªp.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng HSP Hu¸, pháng o t¤o sau
¤i håc, khoa To¡n tr÷íng HSP Hu¸ ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt khâa håc.
Cuèi còng, tæi xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, c¡c anh chà Cao håc To¡n khâa XXV
tr÷íng HSP Hu¸ chuy¶n ng nh ¤i sè v Lþ thuy¸t sè v¼ sü ëng vi¶n, gióp ï
trong qu¡ tr¼nh håc tªp vøa qua.
Do ¥y l l¦n ¦u ti¶n thüc hi»n cæng vi»c nghi¶n cùu n¶n trong luªn v«n khæng
tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y,
cæ v c¡c b¤n º b i luªn v«n ÷ñc ho n thi»n.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!
Hu¸, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2018
Håc vi¶n thüc hi»n
Tr¦n Thà Vi»t Trinh
iii

5. MÖC LÖC
Trang phö b¼a i
Líi cam oan ii
Líi c£m ìn iii
Möc luc 1
MËT SÈ KÞ HI›U TH×ÍNG DÒNG 3
LÍI NÂI †U 4
Ch÷ìng1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 7
1.1 V nh ph¥n bªc Cohen-Macaulay v chi·u Krull cõa v nh . . . . . . 7
1.1.1 V nh ph¥n bªc v mæun ph¥n bªc . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 a t¤p x¤ £nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Chi·u Krull cõa v nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 V nh Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 H m Hilbert v a thùc Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Mèi li¶n h» giúa ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o vîi ch¿ sè
ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa v nh to¤ ë. . . . . . . . 17
Ch÷ìng2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o trong khæng
gian x¤ £nh Pn
20
2.1 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng ph¥n bi»t 20
2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp s iºm b²o ph¥n bi»t trong Pn
, s ≤ 5 . . . . 23
2.3 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp n+3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn
. . 26
K¸t luªn 33
1

6. T i li»u tham kh£o 34
2

7. MËT SÈ KÞ HI›U TH×ÍNG DÒNG
K½ hi»u Þ ngh¾a
Z Tªp sè nguy¶n
Z+ Tªp sè nguy¶n d÷ìng
Pn
:= Pn
k Khæng gian x¤ £nh n-chi·u tr¶n tr÷íng âng ¤i sè k
R := k[x0, ..., xn] V nh a thùc theo c¡c bi¸n x0, ..., xn tr¶n tr÷íng k
Ann(M) Annihitor cõa R-mæun M
e(A) Sè bëi cõa v nh to¤ ë thu¦n nh§t A
HM (t) H m Hilbert cõa mæun ph¥n bªc M
reg(Z) Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o Z
(S) (hay S ) Ideal nguy¶n tè thu¦n nh§t x¡c ành bði tªp S
d Md Têng trüc ti¸p cõa c¡c nhâm con Md
dimB Chi·u (Krull) cõa v nh B
Z(T) Tªp c¡c khæng iºm cõa tªp T c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t
cõa v nh R = k[x0, ..., xn]
Ker(f) H¤t nh¥n cõa çng c§u f
[a] Sè nguy¶n lîn nh§t b sao cho b ≤ a, a ∈ Q
3

8. LÍI NÂI †U
Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o câ thº ÷ñc ành ngh¾a thæng qua h m
Hilbert, cö thº nh÷ sau:
Cho X = {P1, ..., Ps} l tªp c¡c iºm ph¥n bi»t trong khæng gian x¤ £nh Pn
:=
Pn
k , vîi k l mët tr÷íng âng ¤i sè. Gåi ℘1, ..., ℘s l c¡c ideal nguy¶n tè thu¦n
nh§t cõa v nh a thùc R := k [x0, ..., xn] t÷ìng ùng vîi c¡c iºm P1, ..., Ps. Cho
m1, ..., ms l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, °t I := ℘m1
1 ∩ ... ∩ ℘ms
s . Ta gåi (X, I) l tªp
iºm b²o trong Pn
v kþ hi»u l
Z := m1P1 + · · · + msPs.
V nh to¤ ë thu¦n nh§t cõa Z l A := R/I. V nh A = t≥0 At l mët v nh
ph¥n bªc vîi bëi cõa nâ l
e(A) :=
s
i=1
mi + n − 1
n
.
H m Hilbert cõa Z ÷ñc x¡c ành bði HA(t) := dimkAt, t«ng ch°t cho ¸n khi
¤t ÷ñc sè bëi e(A), t¤i â nâ døng. Ch¿ sè ch½nh quy cõa Z ÷ñc x¡c ành bði sè
nguy¶n b² nh§t t sao cho HA(t) = e(A) v nâ ÷ñc k½ hi»u l reg(Z).
V§n · t¼m ch°n tr¶n cõa ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) ¢ ÷ñc r§t nhi·u ng÷íi quan
t¥m nghi¶n cùu. N«m 1961, Segre (xem [17]) ¢ ch¿ ra ÷ñc ch°n tr¶n cõa ch¿ sè
ch½nh quy cho c¡c tªp iºm b²o têng qu¡t Z = m1P1 + · · · + msPs trong P2
:
reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1,
m1 + · · · + ms
2
vîi m1 ≥ · · · ≥ ms.
¸n n«m 1991, Catalisano (xem [6]) ¢ mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho mët tªp iºm b²o
ð và tr½ têng qu¡t trong P2
. V o n«m 1993, Catalisano, Trung v Valla (xem [7]) ¢
mð rëng k¸t qu£ n y cho mët tªp iºm b²o ð và tr½ têng qu¡t trong Pn
:
reg(Z) ≤ max m1 + m2 − 1,
m1 + · · · + ms + n − 2
n
.
N«m 1996, N.V.Trung (xem [20]) ¢ dü o¡n r¬ng ch°n tr¶n cõa mët tªp iºm b²o
tuý þ Z = m1P1 + · · · + msPs trong Pn
l
reg(Z) ≤ max {Tj|j = 1, ..., n} ,
trong â
4

9. Tj = max
q
l=1 mil
+ j − 2
j
|Pi1
, ..., Piq n¬m tr¶n mët j-ph¯ng .
Hi»n nay, ch°n trong dü o¡n cõa N.V.Trung ÷ñc gåi l ch°n tr¶n cõa Segre.
Ch°n tr¶n Segre ¢ ÷ñc chùng minh óng trong nhi·u tr÷íng hñp °c bi»t:
tr÷íng hñp n = 2, 3 (xem [9], [10]), [18], [19]), cho tªp iºm k²p Z = 2P1 +· · ·+2Ps
trong P4
(xem [20]), cho tªp n + 2 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn
(xem [3]), cho
n + 3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn
(xem [2]),.... G¦n ¥y, U. Nagel v B. Trok
¢ chùng minh ch°n tr¶n cõa Segre óng trong tr÷íng hñp têng qu¡t (xem [24]).
B i to¡n t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) l khâ hìn b i to¡n t¼m ch°n tr¶n
cho reg(Z). N«m 1984, Davis v Geramita (xem [8]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy
cho tªp iºm b²o Z = m1P1 + · · · + msPs n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng cõa Pn
:
reg(Z) = m1 + · · · + ms − 1.
V o n«m 1993, Catalisano, Trung v Valla (xem [7]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy
reg(Z) cho tªp iºm b²o n¬m tr¶n mët ÷íng cong húu t chu©n trong Pn
:
reg(Z) = max m1 + m2 − 1,
mi + n − 2
n
.
N«m 2012, Thi»n (xem [21]) công ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) cho s+2 iºm
b²o sao cho chóng khæng n¬m tr¶n (s−1)-ph¯ng trong Pn
:
reg(Z) = max {Tj|j = 1, ..., n} ,
trong â
Tj = max
q
l=1 mil
+ j − 2
j
|Pi1
, ..., Piq n¬m tr¶n mët j-ph¯ng .
N«m 2017, Thi»n v Sinh (xem [23]) ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) cho tªp s
iºm b²o çng bëi sao cho chóng khæng n¬m tr¶n (r −1)-ph¯ng, s ≤ r +3 trong Pn
:
reg(Z) = max {Tj|j = 1, ..., n} ,
trong â
Tj = max
mq + j − 2
j
|Pi1
, ..., Piq n¬m tr¶n mët j-ph¯ng .
Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu v nghi¶n cùu th¶m v· ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp
iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh Pn
v ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o PGS.TS
5

10. Phan V«n Thi»n, tæi ¢ chån · t i: Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o º
ti¸n h nh nghi¶n cùu. Chóng tæi ¢ t½nh ÷ñc ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm
b²o ch÷a n¬m trong c¡c tr÷íng hñp tr¶n.
Nëi dung luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì b£n
v· tªp iºm b²o v ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh.
Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· sü t½nh to¡n ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o, cö thº
l : ch¿ sè ch½nh quy cõa s iºm b²o ph¥n bi»t trong Pn
, s ≤ 5; ch¿ sè ch½nh quy cõa
tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng v mët sè tr÷íng hñp °c bi»t ch¿ sè ch½nh
quy cõa n + 3 iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn
.
6

11. Ch֓ng 1
MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi kþ hi»u Pn
:= Pn
k l khæng gian x¤ £nh n-chi·u tr¶n
tr÷íng âng ¤i sè k, R := k[x0, ..., xn] l v nh a thùc theo c¡c bi¸n x0, x1, ..., xn
vîi h» sè tr¶n k. C¡c v nh ÷ñc x²t trong luªn v«n n y l v nh giao ho¡n câ ìn và
1 = 0.
C¡c ành ngh¾a, ành lþ, m»nh · câ thº d¹ d ng t¼m th§y ð c¡c t i li»u [1], [4],
[5], [11]-[16].
1.1 V nhph¥nbªcCohen-Macaulayv chi·uKrull
cõa v nh
1.1.1 V nh ph¥n bªc v mæun ph¥n bªc
ành ngh¾a 1.1.1.1. V nh S ÷ñc gåi l v nh ph¥n bªc n¸u
S =
d∈Z
Sd
l têng trüc ti¸p cõa c¡c nhâm aben Sd sao cho vîi b§t ký d, e th¼
SdSe ⊆ Sd+e.
Méi ph¦n tû s ∈ Sd ÷ñc gåi l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc d. N¸u Sd = 0 vîi måi
d 0 th¼ S ÷ñc gåi l v nh ph¥n bªc d÷ìng.
V½ dö 1.1.1.1. V nh a thùc R l v nh ph¥n bªc v¼
R =
d≥0
Rd
trong â
Rd = f ∈ R | f =
c0+···+cn=d
αc0...cn xc0
0 ...xcn
n , αc0...cn ∈ k
v RdRe ⊆ Rd+e.
7

12. ành ngh¾a 1.1.1.2. Mët ideal I cõa v nh ph¥n bªc S ÷ñc gåi l thu¦n nh§t n¸u
nâ sinh bði c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t.
V½ dö 1.1.1.2. ìn thùc f = xc1
1 ...xcn
n l ph¦n tû thu¦n nh§t cõa Rc1+···+cn bªc
c1 + · · · + cn. f sinh ra mët ideal thu¦n nh§t
f = {gf|g ∈ R}.
ành ngh¾a 1.1.1.3. Cho Y l mët tªp con b§t ký cõa Pn
. Tªp
I(Y ) = {f ∈ R | f l a thùc thu¦n nh§t v f(P) = 0, ∀P ∈ Y }
l mët ideal cõa R, ÷ñc gåi l ideal thu¦n nh§t cõa Y trong R.
V½ dö 1.1.1.3. iºm P ∈ Pn
x¡c ành mët ideal thu¦n nh§t cõa v nh ph¥n bªc R
℘ = {f ∈ R | f(P) = 0, f thu¦n nh§t } .
ành lþ 1.1.1.1. Cho I l mët ideal cõa v nh ph¥n bªc S = k∈Z Sk, c¡c i·u ki»n
sau t֓ng ֓ng:
(a) I thu¦n nh§t.
(b) B§t ký a ∈ I th¼ c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t ak cõa a công thuëc I, k ∈ Z.
(c) S/I l v nh ph¥n bªc vîi ph¥n bªc {(S/I)k}k∈Z, trong â
(S/I)k := (Sk+I)/I.
Chùng minh. Cho I l mët ideal cõa v nh ph¥n bªc S.
(a) ⇔ (b) N¸u I l ideal thu¦n nh§t th¼ l§y {bλ}λ∈Λ l mët h» sinh cõa I bao
gçm c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t bλ bªc dλ. Lóc â vîi a = m
i=1 rλi
bλi
l mët ph¦n tû
cõa I v rλi
= k∈Z r(k)
λi
l ph¥n t½ch cõa rλi
th nh c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t. Rã
r ng
a =
k∈Z
ak
vîi ak := r
(k−dλ1
)
λ1
bλ1
+· · ·+r
(k−dλm )
λm
bλm , ak câ bªc k l ph¦n tû cõa I vîi måi k ∈ Z.
Ng÷ñc l¤i, l§y mët h» sinh b§t ký cõa I, khi â c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t cõa
t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa h» sinh n y công l mët h» sinh cõa I. Vªy I l ideal thu¦n
nh§t.
(b) ⇔ (c) Gi£ sû i·u ki»n (b) ÷ñc tho£ m¢n, lóc â vîi (S/I)k := (Sk + I)/I,
ta câ
S/I =
k∈Z
(S/I)k.
8

13. B¥y gií, ta c¦n chùng minh biºu di¹n cõa méi ph¦n tû thuëc S/I th nh têng cõa c¡c
ph¦n tû thuëc (S/I)k, k ∈ Z l duy nh§t: Gi£ sû k∈Z sk = 0 trong â sk = sk + I
thuëc (S/I)k, sk ∈ Sk. Khi â k∈Z sk ∈ I n¶n sk ∈ I. Do â sk = 0 vîi måi k ∈ Z.
Vªy
S/I =
k∈Z
(S/I)k,
hay S/I l v nh ph¥n bªc vîi ph¥n bªc {(S/I)k}k∈Z.
Ng÷ñc l¤i, cho a = k∈Z ak l mët ph¦n tû cõa I, ak ∈ Sk vîi måi k ∈ Z. Khi
â k∈Z ak thuëc S/I vîi ak = ak + I. Do â ak ∈ I vîi måi k ∈ Z.
ành ngh¾a 1.1.1.4. Cho S = d∈Z Sd l mët v nh ph¥n bªc, mët S-mæun ph¥n
bªc l mët S-mæun M vîi
M =
n∈Z
Mn,
trong â Mn l nhâm aben sao cho vîi måi m, n ∈ Z th¼
SnMm ⊆ Mn+m.
C¡c ph¦n tû cõa Mn ÷ñc gåi l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc n.
V½ dö 1.1.1.4. R = k[x0, ..., xn] l mët v nh ph¥n bªc. Lóc â, R l mët R-mæun
ph¥n bªc vîi
R =
d≥0
Rd,
trong â
Rd = {f ∈ R | f = c0+···+cn=d αc0...cn xc0
0 ...xcn
n , αc0...cn ∈ k}.
ành ngh¾a 1.1.1.5. Cho A l mët v nh ph¥n bªc vîi ph¥n bªc (An)n∈Z v E l
mët A-¤i sè. E ÷ñc gåi l A-¤i sè ph¥n bªc n¸u nhâm cëng cõa E l têng trüc
ti¸p c¡c nhâm aben En
E =
n≥0
En
sao cho vîi b§t k¼ m, n ta câ:
AmEn ⊆ Em+n
v
EmEn ⊆ Em+n.
ành ngh¾a 1.1.1.6. Cho A l mët v nh Noether giao ho¡n câ ìn và, R = n≥0 Rn
l mët A-¤i sè ph¥n bªc. R ÷ñc gåi l mët A-¤i sè ph¥n bªc chu©n n¸u R0 = A
v R ÷ñc sinh bði c¡c ph¦n tû bªc 1, tùc l R = R0[R1].
9

14. 1.1.2 a t¤p x¤ £nh
ành ngh¾a 1.1.2.1. Cho f l mët a thùc thu¦n nh§t cõa R. Tªp
Z(f) = {P ∈ Pn
|f(P) = 0}
÷ñc gåi l tªp c¡c khæng iºm cõa f.
ành ngh¾a 1.1.2.2. Cho T l tªp c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t cõa R. Tªp
Z(T) = {P ∈ Pn
|f(P) = 0, ∀f ∈ T}
÷ñc gåi l tªp c¡c khæng iºm cõa T.
ành ngh¾a 1.1.2.3. Mët tªp con Y cõa Pn
÷ñc gåi l tªp ¤i sè n¸u tçn t¤i mët
tªp T c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t cõa R sao cho Y = Z(T).
M»nh · 1.1.2.1. Hñp cõa hai tªp ¤i sè l tªp ¤i sè. Giao mët hå tuý þ c¡c tªp
¤i sè l tªp ¤i sè. Pn
v ∅ l c¡c tªp ¤i sè.
ành ngh¾a 1.1.2.4. Tæpæ tr¶n Pn
÷ñc x¡c ành bði c¡c tªp mð l ph¦n bò cõa
c¡c tªp ¤i sè ÷ñc gåi l tæpæ Zariski.
1.1.3 Chi·u Krull cõa v nh
ành ngh¾a 1.1.3.1. Cho B l mët v nh kh¡c 0. Chi·u Krull cõa v nh B l cªn
tr¶n cõa c¡c sè n sao cho tçn t¤i d¢y ℘0 ℘1 · · · ℘n c¡c ideal nguy¶n tè cõa
B. Kþ hi»u chi·u Krull cõa v nh B l dimB.
V½ dö 1.1.3.1. a) Cho k l mët tr÷íng , lóc â dimk = 0. Thªt vªy, v¼ k l mët
tr÷íng n¶n k ch¿ câ mët ideal nguy¶n tè duy nh§t l {0}, do â dimk = 0.
b) Cho R = k[x0, ..., xn], lóc â dimR = n+1. Thªt vªy, ta câ d¢y c¡c ideal nguy¶n
tè
℘0 = {0} ℘1 = x0 ℘2 = x0, x1 ... ℘n+1 = x0, x1, ..., xn .
Vîi f ∈ ℘n+1, ta câ f l a thùc câ h¤ng tû tü do b¬ng 0.
L§y g ∈ R ℘n+1 v J = x0, x1, ..., xn, g l ideal cõa R. ta câ a thùc g câ h¤ng
tû tü do c = 0
Ta câ g − c ∈ ℘n+1 ⊆ J. V¼ 1 = c−1
(g − (g − c)) ∈ J n¶n R = J.
Vªy ℘n+1 l ideal cüc ¤i.
Hìn núa, vîi måi k ∈ {1, 2, ..., n + 1}, n¸u ℘ l ideal nguy¶n tè cõa R sao cho
℘k ℘ ⊆ ℘k+1,
10

15. ta chùng minh ℘ = ℘k+1:
Ta câ ℘ ℘k = ∅. Do ℘ ⊆ ℘k+1 n¶n måi a thùc trong ℘ ℘k chùa ½t nh§t mët
ìn thùc d¤ng
xik
k x
ik+1
k+1 ...xin
n , ik ≥ 1 (1.1)
Gåi lk l sè nguy¶n d÷ìng b² nh§t ik sao cho mët ìn thùc câ d¤ng (1.1) câ h» sè
kh¡c 0 trong c¡c ìn thùc trong ℘ ℘k.
Lóc â, tçn t¤i mët a thùc f ∈ ℘ ℘k chùa mët ìn thùc câ d¤ng (1.1) vîi ik = lk
xlk
k x
ik+1
k+1 ...xin
n . (1.2)
Ta vi¸t f = f1 + f2, trong â
f1 =
ij≥1; vîi måi j=∈{1,...,k−1}
cij
xij
∈ ℘k,
f2 =
ij=0; vîi måi j=∈{1,...,k−1};ik≥lk
cij
xij
= xlk
k h, h ∈ R.
Do f2 chùa ìn thùc d¤ng (1.2), trong â bi¸n xk câ bªc lk n¶n a thùc h chùa mët
ìn thùc khæng chia ÷ñc bði xi, ∀i = 1, k − 1.
Suy ra h /∈ ℘k+1, do â xlk−1
k h /∈ ℘
Ta câ f2 = f − f1 ∈ ℘ ( v¼ f ∈ ℘ v f1 ∈ ℘k−1 ℘ ),
f2 = xlk
k h = xk(xlk−1
k h).
Do xlk−1
k h /∈ ℘ v ℘ l ideal nguy¶n tè n¶n xk ∈ ℘ . Do â, ℘ ⊆ x1, ..., xk , hay
℘ = ℘k+1.
Vªy dimR = n + 1.
c) Cho P = (1, 0, ..., 0) ∈ Pn
câ ideal thu¦n nh§t t÷ìng ùng I = (x1, ..., xn). Lóc
â, dim(R/I) = 1. Thªt vªy, vîi f ∈ R = k[x0, ..., xn], ta câ thº vi¸t f = h + g vîi
h ∈ k[x0] v khæng câ ìn thùc kh¡c khæng n o cõa g thuëc k[x0]. X²t ¡nh x¤
ϕ : R −→ k[x0]
÷ñc x¡c ành ϕ(f) = h vîi méi f = h + g.
11

16. + Vîi f1 = h1 + g1, f2 = h2 + g2 ∈ R, ta câ
ϕ(f1 + f2) = h1 + h2
= ϕ(f1) + ϕ(f2),
ϕ(f1f2) = h1h2
= ϕ(f1)ϕ(f2).
V¼ vªy ϕ l mët çng c§u.
+ Vîi méi h ∈ k[x0], ta l§y f = h lóc â ϕ(f) = h n¶n ϕ l mët to n c§u.
Ker(ϕ) = {f ∈ R|ϕ(f) = 0}
= (x1, ..., xn).
Do â, R/(x1, ..., xn) ∼= k[x0] n¶n dim(R/I) = dimk[x0] = 1.
ành ngh¾a 1.1.3.2. Cho M l mët B-mæun, M = 0. Khi â
Ann(M) = {a ∈ B|aM = 0}
l mët ideal cõa B. Chi·u Krull cõa mæun M l
dimM := dim(B/Ann(M)).
V½ dö 1.1.3.2. Cho R = k[x0, ..., xn], chi·u Krull cõa v nh R l n + 1. Ta câ
Ann(R) = 0 n¶n chi·u Krull cõa k-mæun R l
dimR = dim(k/Ann(R)) = dimk = 0.
1.1.4 V nh Cohen-Macaulay
ành ngh¾a 1.1.4.1. Cho A l mët v nh v M l mët A-mæun. Mët ph¦n tû
a ∈ A ÷ñc gåi l M-ch½nh quy n¸u ax = 0, ∀ 0 = x ∈ M, tùc l a khæng l ÷îc
cõa 0 tr¶n M.
V½ dö 1.1.4.1. M = A = k[x], k l mët tr÷íng. Lóc â, x l ch½nh quy tr¶n A.
ành ngh¾a 1.1.4.2. Mët d¢y a1, ..., ar c¡c ph¦n tû cõa A l mët M-d¢y (hay mët
M-d¢y ch½nh quy) n¸u tho£ 2 i·u ki»n sau:
12

17. i) a1 l M-ch½nh quy, a2 l M/(a1M)-ch½nh quy,..., ar l M/((a1, ..., ar−1)M)-
ch½nh quy.
ii) M/((a1, ..., ar)M) = 0.
L÷u þ 1.1.4.1. N¸u a1, ..., ar l mët M-d¢y th¼ at1
1 , ..., atr
r công vªy, vîi b§t ký c¡c
sè nguy¶n d÷ìng ti. Tuy nhi¶n, n¸u a1, ..., ar l mët M-d¢y th¼ khæng câ ngh¾a ho¡n
và cõa a1, ..., ar l M-d¢y.
V½ dö 1.1.4.2. 1) x1, ..., xr trong v nh a thùc R = A[x1, ..., xr] l R-ch½nh quy.
2) Cho A = k[x, y, z], k l mët tr÷íng. Lóc â, x, y(1 − x), z(1 − x) l mët A-d¢y
nh÷ng y(1 − x), z(1 − x), x khæng l A-d¢y.
Chó þ r¬ng z(1 − x) khæng ch½nh quy tr¶n A/(y(1 − x)) v¼
z(1 − x)y = zy − zxy = zy − zy = 0 ( do y = yx)
tr¶n A/((y(1 − x))) n¶n nâ l ÷îc cõa 0.
ành ngh¾a 1.1.4.3. Mët M-d¢y x1, ..., xn l cüc ¤i n¸u x1, ..., xn, xn+1 khæng l
mët M-d¢y, vîi måi xn+1 ∈ R.
L÷u þ 1.1.4.2. Cho A l mët v nh Noether, M l mët A-mæun húu h¤n sinh v
I l mët ideal cõa A vîi IM = M. Vîi b§t ký M-d¢y ch½nh quy x1, ..., xm, ta câ
(x1, ..., xi)M = (x1, ..., xi+1)M, vîi måi i = 0, ..., m − 1. V¼ M l mæun Noether
n¶n M-d¢y ch½nh quy x1, ..., xm, vîi xi ∈ I câ thº mð rëng th nh mët d¢y cüc ¤i,
tùc l th nh mët M-d¢y ch½nh quy x1, ..., xn trong I(n ≥ m) sao cho b§t ký a ∈ I
l ÷îc cõa khæng trong M/((x1, ..., xn)M).
M»nh · 1.1.4.1. T§t c£ c¡c M-d¢y cüc ¤i câ còng ë d i n¸u M l húu h¤n sinh
v A l v nh Noether.
ành ngh¾a 1.1.4.4. Cho A l mët v nh àa ph÷ìng, ta gåi ë d i trong m»nh ·
tr¶n l ë s¥u cõa M v kþ hi»u l depth(M). N¸u ta ang nâi v· M-d¢y trong mët
ideal cüc ¤i I cõa A, th¼ ta k½ hi»u depth(I, A).
ành ngh¾a 1.1.4.5. Cho A l mët v nh Noether àa ph÷ìng v M l mët A-mæun
húu h¤n sinh. Khi â M ÷ñc gåi l mæun Cohen-Macaulay (vi¸t t­t l CM) n¸u
M = 0 ho°c depth(M) = dimM.
N¸u A-mæun A l mët mæun Cohen-Macaulay, ta nâi A l mët v nh Cohen-
Macaulay.
V½ dö 1.1.4.3. 1) B§t ký mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether 0-chi·u ·u l
mæun Cohen-Macaulay, °c bi»t v nh 0-chi·u Noether l v nh Cohen-Macaulay.
13

18. 2) N¸u k l mët tr÷íng th¼ R = k[X1, X2]/(X2
1 , X1, X2) khæng l Cohen-Macaulay.
Thªt vªy, n¸u ℘ l ideal trong R sinh bði c¡c £nh cõa X1, X2 th¼ dimR℘ = 1 nh÷ng
℘R℘ ch¿ gçm c¡c ÷îc cõa 0.
1.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o
1.2.1 H m Hilbert v a thùc Hilbert
ành ngh¾a 1.2.1.1. Mët a thùc sè l mët a thùc P(z) ∈ Q[z] sao cho P(n) ∈ Z
vîi måi n õ lîn, n ∈ Z.
V½ dö 1.2.1.1. a) Måi a thùc câ h» sè nguy¶n ·u l a thùc sè.
b) Vîi méi i ∈ N a thùc sau l a thùc sè
Pi(x) =
x + i
i
,
trong â
x + i
i
=
(x + i)(x + i − 1)...(x + 1)
i!
, i ∈ N∗
,
v quy ֔c
x + 0
0
= 1.
ành ngh¾a 1.2.1.2. Cho M l mët R-mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh, M =
t∈Z Mt, Mt l c¡c nhâm aben. H m Hilbert cõa M ÷ñc ành ngh¾a l
HM (t) = dimkMt, t ∈ Z.
V½ dö 1.2.1.2. Vîi méi n ∈ N ta câ
HR(t) = dimkRt =
n + t
n
, t ∈ N. (1.3)
Thªt vªy, ta s³ chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p tr¶n n.
Vîi n = 0 th¼ R = k[x0], do â dimkRt = 1, t ∈ N. Vªy (1.3) óng vîi n = 0.
Gi£ sû (1.3) óng vîi n = k, ta chùng minh (1.3) óng vîi n = k + 1: Ta
câ R = k[x0, ..., xk+1], khi â dimkRt óng b¬ng sè h¤ng tû trong khai triºn
(x0 + x1 + · · · + xk+1)t
. Ta câ
(x0 + x1 + · · · + xk+1)t
= ((x0 + x1 + · · · + xk) + xk+1)t
=
t
i=0
t
i
(x0 + x1 + · · · + xk)i
xt−i
k+1.
14

19. Theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼ sè h¤ng tû trong khai triºn (x0 +x1 +· · ·+xk)i
b¬ng
k + i
k
. Do â sè h¤ng tû cõa (x0 + x1 + · · · + xk+1)t
b¬ng
t
i=0
k + i
k
=
t + k + 1
k + 1
,
k, t ∈ N.
ành lþ 1.2.1.1. Cho M l mët R-mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Khi â câ duy
nh§t mët a thùc sè PM (z) ∈ Q[z] sao cho HM (t) = PM (t) vîi måi sè nguy¶n t õ
lîn.
ành ngh¾a 1.2.1.3. a thùc PM x¡c ành trong ành lþ tr¶n ÷ñc gåi l a thùc
Hilbert cõa M.
ành lþ 1.2.1.2. Cho M = 0 l mët R-mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh câ chi·u l
d, lóc â a thùc Hilbert PM (t) câ bªc d − 1 v ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
PM (t) =
d−1
i=0
(−1)i
ei
t + d − i − 1
d − i − 1
vîi e0, ..., ed−1 ∈ Z.
1.2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o
ành ngh¾a 1.2.2.1. Cho X = {P1, ..., Ps} l tªp hñp c¡c iºm ph¥n bi»t trong
Pn
. Méi iºm Pi ∈ Pn
vîi i = 1, ..., s; ta x¡c ành mët tªp
℘i = {f ∈ R|f thu¦n nh§t , f(Pi) = 0}.
¥y l mët ideal nguy¶n tè thu¦n nh§t cõa R, gåi l ideal nguy¶n tè thu¦n nh§t x¡c
ành bði Pi ∈ Pn
.
Cho m1, ..., ms l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. °t:
I := ℘m1
1 ∩ ... ∩ ℘ms
s ,
Ta gåi (X, I) l tªp iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh Pn
v kþ hi»u tªp iºm b²o
l
Z := m1P1 + · · · + msPs.
15

20. N¸u m1 = m2 = · · · = ms = m th¼ Z ÷ñc gåi l tªp iºm çng bëi trong Pn
.
N¸u m1 = m2 = · · · = ms = 2 th¼ Z ÷ñc gåi l tªp iºm k²p trong Pn
.
V nh A := R/I ÷ñc gåi l v nh to¤ ë thu¦n nh§t cõa Z. Lóc â, A l k-¤i
sè ph¥n bªc chu©n Cohen-Macaulay A = t≥0 At v dim(A) = 1.
X²t h m Hilbert
HA(t) = dimkAt.
Ng÷íi ta ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng h m Hilbert HA(t) t«ng ch°t cho ¸n khi nâ ¤t
÷ñc sè bëi e0 = s
i=1
mi + n − 1
n
v ð â nâ døng.
ành ngh¾a 1.2.2.2. Sè nguy¶n t b² nh§t sao cho HA(t) = e0 ÷ñc gåi l ch¿ sè
ch½nh quy cõa tªp iºm b²o Z, kþ hi»u reg(Z).
V½ dö 1.2.2.1. Cho P ∈ Pn
, m ∈ Z+ v Z = mP. Khi â, reg(Z) = m − 1. Thªt
vªy, gåi ℘ l ideal thu¦n nh§t x¡c ành bði P, °t A = R/℘m
. Khi â h m Hilbert
HA(t) = dimkAt t«ng ch°t cho ¸n khi khi nâ ¤t ¸n sè bëi
e0 =
m + n − 1
n
.
Ta câ,
HA(t) = dimkAt
= dimkRt − dimk[℘m
]t
=
n + t
n
− dimk[℘m
]t.
Vîi t ≤ m − 2 th¼ dimk[℘m
]t = 0, suy ra
HA(t) =
n + t
n
m + n − 1
n
= e0
.
Vîi t = m − 1 th¼
HA(m − 1) = dimkAm−1
=
n + m − 1
n
(theo V½ dö 1.2.1.2)
=
m + n − 1
n
= e0.
Vªy reg(Z) = m − 1.
16

21. Vi»c t½nh ch¿ sè ch½nh quy reg(Z) trong tr÷íng hñp têng qu¡t l khæng d¹ d ng,
v§n · n y cán l mët b i to¡n mð.
1.2.3 Mèi li¶n h» giúa ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o vîi
ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford cõa v nh to¤
ë.
ành ngh¾a 1.2.3.1. Gi£ sû C v D l hai ph¤m trò cho tr÷îc.Ta nâi r¬ng Φ l mët
h m tû hi»p bi¸n tø C v o D n¸u méi vªt E cõa C t÷ìng ùng vîi méi vªt Φ(E) cõa D
v méi c§u x¤ f : E −→ F cõa C t÷ìng ùng vîi méi c§u x¤ Φ(f) : Φ(E) −→ Φ(F)
cõa D sao cho c¡c i·u ki»n sau ÷ñc tho£ m¢n vîi måi vªt cõa C v måi sì ç
E F H-f
-g
trong C :
Φ(id(E)) = idΦ(E) v Φ(fog) = Φ(f)oΦ(g).
ành ngh¾a 1.2.3.2. Cho F : Mod(R) −→ Mod(R) l h m tû hi»p bi¸n, F ÷ñc
gåi l h m tû khîp tr¡i ( ph£i ) n¸u vîi méi d¢y khîp ng­n
0 A B C 0- -α -β
-
th¼ d¢y t÷ìng ùng sau l khîp.
0 F(A) F(B) F(C)- -F(α)
-F(β)


F(A) F(B) F(C) 0-F(α)
-F(β)
-

 .
ành ngh¾a 1.2.3.3. Cho M l mët R-mæun. Mët d¢y khîp c¡c R-mæun
0 M E1 E2
...- -ε -d0
-d1
÷ñc gåi l gi£i thùc nëi x¤ cõa M n¸u c¡c Ei l c¡c mæun næi x¤, vîi måi i =
0, 1, 2, ... .
17

22. ành ngh¾a 1.2.3.4. Cho mët ideal I ⊆ R v mët R-mæun M, tªp
ΓI(M) := ∪n(O :M In
)
l tªp c¡c ph¦n tû cõa M ÷ñc linh ho¡ bði bªc cõa I. Chó þ r¬ng ΓI(M) l
mët mæun con cõa M. Vîi méi çng c§u cõa c¡c R-mæun f : M → N, ta câ
f(ΓI(M)) ⊆ ΓI(N) v v¼ vªy ta câ ¡nh x¤ ΓI(f) : ΓI(M) → ΓI(N) x¡c ành bði
ΓI(f)(a) = f(a), vîi a ∈ ΓI(M).
H m tû ΓI(_) : C (R) → C (R) ÷ñc cho nh÷ sau l h m tû hi»p bi¸n.
i) Vîi méi vªt A cõa C (R) cho t÷ìng ùng vîi méi vªt ΓI(A) cõa C (R).
ii) Vîi méi c§u x¤ f : A → B cõa C (R) cho t÷ìng ùng vîi c§u x¤
ΓI(f) : ΓI(A) → ΓI(B).
H m tû hi»p bi¸n ΓI(_) tr¶n ph¤m trò c¡c R-mæun ÷ñc gåi l h m tû I-torsion.
M»nh · 1.2.3.1. ΓI(_) l mët h m tû khîp tr¡i.
ành ngh¾a 1.2.3.5. Vîi i ∈ N, h m tû èi çng i·u àa ph÷ìng thù i vîi gi¡ l
I, Hi
I(_), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ mët h m tû d¨n xu§t ph£i thù i cõa ΓI(_).
Cho mët R-mæun M, ¡p döng h m tû Hi
I(_) cho M ta câ Hi
I(M) ÷ñc gåi l
mæun èi çng i·u thù i cõa M vîi gi¡ l I: Cho mët R-mæun M v I l mët
gi£i thùc nëi x¤ cõa M.
I : 0 E0
E1 ... En ...- -d0
-d1
-dn−1
-dn
p döng ΓI(_) v o I ta ÷ñc phùc :
ΓI(I) : 0 ΓI(E0
) ΓI(E1
) ... ΓI(En
) ...- -
ΓI (d0)
-
ΓI (d1)
-
ΓI (dn−1)
-
ΓI (dn)
Khi â,
H0
I (M) := ΓI(M)
v
Hi
I(M) := Ker(ΓI(di
) Im(ΓI(di−1
)) vîi i 0.
L÷u þ 1.2.3.1.
• Hi
I(_) l h m tû hi»p bi¸n.
• N¸u E l mët R-mæun nëi x¤ th¼ Hi
I(E) = 0, vîi måi i 0.
18

23. ành ngh¾a 1.2.3.6. Cho R l v nh ph¥n bªc, M = n∈N Mn l R-mæun ph¥n
bªc. Ta ành ngh¾a end cõa M l
end(M) := sup{n ∈ Z|Mn = 0} n¸u sup n y tçn t¤i
v end(M) = ∞ trong tr÷íng hñp kh¡c .
ành ngh¾a 1.2.3.7. Cho R = n∈N Rn l ¤i sè ph¥n bªc chu©n d÷ìng, M l
mët R-mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Vîi l ∈ N, ta ành ngh¾a ch¿ sè ch½nh quy
Castelnuovo-Mumford reg(M) cõa M nh÷ sau
reg(M) : = sup{end(Hi
R+
(M)) + i|i ∈ N}
= sup{end(Hi
R+
(M)) + i|0 ≤ i ≤ dimM}.
B¥y gií ta x²t, v nh to¤ ë A = R/I cõa mët tªp iºm b²o Z = m1P1 + · · · +
msPs. Ta câ ch¿ sè ch½nh quy Castelnuovo-Mumford reg(A). Ng÷íi ta ¢ chùng minh
÷ñc r¬ng
reg(A) = reg(Z),
vîi reg(Z) l ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o Z. V¼ lþ do n y ta câ thº vi¸t reg(A)
thay cho reg(Z) v ng÷ñc l¤i.
19

24. Ch֓ng 2
CHŸ SÈ CHNH QUY CÕA MËT SÈ
TŠP IšM B’O TRONG KHÆNG
GIAN X„ ƒNH PN
Trong ch÷ìng n y chóng tæi ti¸p töc dòng kþ hi»u Pn
:= Pn
k l khæng gian x¤ £nh
n-chi·u tr¶n tr÷íng âng ¤i sè k v R := k[x0, ..., xn] l v nh a thùc theo c¡c bi¸n
x0, x1, ..., xn vîi h» sè tr¶n k. i·u n y phò hñp vîi nhúng quy ÷îc trong c¡c t i li»u
tham kh£o [2], [3], [18], [19], [21]-[23] ÷ñc sû döng trong ch÷ìng n y.
2.1 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2
÷íng th¯ng ph¥n bi»t
Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m
tr¶n 2 ÷íng th¯ng ph¥n bi»t cõa khæng gian x¤ £nh Pn
. Chóng tæi s³ c¦n dòng c¡c
k¸t qu£ sau trong ph¦n chùng minh k¸t qu£ cõa m¼nh.
Cho Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm b²o b§t ký trong Pn
. °t
T(Z) = max{Tj(Z), j = 1, ..., n},
trong â
Tj(Z) = max
q
l=1 mil
+ j − 2
j
|Pi1
, ..., Piq n¬m tr¶n mët j-ph¯ng .
Bê · 2.1.1. ([21], Lemma 3.3) Cho X = {P1, ..., Ps} l c¡c iºm ph¥n bi»t trong
Pn
v m1, ..., ms l c¡c sè nguy¶n d÷ìng. °t I = ℘m1
1 ∩ ... ∩ ℘ms
s .
N¸u Y = {Pi1
, ..., Pir } l mët tªp con cõa X v J = ℘
mi1
i1
∩ ... ∩ ℘
mir
ir
, th¼
reg(R/J) ≤ reg(R/I).
N¸u ta gåi Z = m1P1 + · · · + msPs l tªp iºm b²o x¡c ành bði ideal I v
U = mi1
Pi1
+ · · · + mir Pir l tªp iºm b²o x¡c ành bði ideal J, th¼ ta câ
reg(U) ≤ reg(Z).
20

25. H» qu£ 2.1.1. ([3], Lemma 4.4) Cho Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm
b²o trong Pn
÷ñc chùa trong mët r-khæng gian tuy¸n t½nh α ∼= Pr
. Ta câ thº
xem r-khæng gian tuy¸n t½nh α nh÷ khæng gian x¤ £nh r-chi·u Pr
chùa c¡c iºm
P1 := P1, ..., Ps := Ps v Zα = m1P1 + · · · + msPs nh÷ l mët tªp iºm b²o trong
Pr
. N¸u câ mët sè nguy¶n khæng ¥m t sao cho reg(Zα)≤ t trong Pr
, th¼
reg(Z) ≤ t
trong Pn
.
ành lþ 2.1.1. ([19], Theorem 1.1) Cho Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm
b²o tuý þ trong P3
. Khi â
reg(Z) ≤ max {T1(Z), T2(Z), T3(Z)} .
Düa v o c¡c k¸t qu£ tr¶n chóng tæi chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau:
ành lþ 2.1.2. Cho Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm b²o trong Pn
. N¸u
P1, ..., Ps n¬m tr¶n hai ÷íng th¯ng ph¥n bi»t l1, l2 th¼
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Chùng minh. Gi£ sû Pi1
, ..., Pir l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho
T1(Z) = mi1
+ · · · + mir − 1.
Gåi Y = mi1
Pi1
+ · · · + mir Pir , theo Bê · 2.1.1 ta câ
reg(Z) ≥ reg(Y ) = T1(Z). (2.1)
M°t kh¡c, do c¡c iºm P1, ..., Ps n¬m tr¶n hai ÷íng th¯ng l1, l2 n¶n tçn t¤i mët
3-ph¯ng chùa c¡c iºm n y. Theo H» qu£ 2.1.1 v ành lþ 2.1.1 ta câ
reg(Z) ≤ max{T1(Z), T2(Z), T3(Z)}. (2.2)
Ta câ
T3(Z) = max
q
l=1 mil
+ 1
3
|Pi1
, ..., Piq n¬m tr¶n mët 3-ph¯ng tuy¸n t½nh .
21

26. Suy ra
T3(Z) ≤
s
i=1 mi + 1
3
≤
2T1(Z) + 1
3
( do P1, ..., Ps n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng )
≤
3T1(Z) + 1
3
≤ T1(Z) +
1
3
= T1(Z). (2.3)
Ta x²t hai tr÷íng hñp sau:
Tr÷íng hñp 1: N¸u T1(Z) ≥ T2(Z) th¼ ta câ
reg(Z) ≤ T1(Z) (theo (2.2) v (2.3)).
K¸t hñp vîi (2.1) ta câ
reg(Z) = T1(Z) = T(Z).
Tr÷íng hñp 2: N¸u T1(Z) T2(Z) th¼ theo (2.2) ta câ
reg(Z) ≤ max{T1(Z), T2(Z), T3(Z)}
Suy ra
reg(Z) ≤ T2(Z) = T(Z).
K¸t hñp vîi (2.1) ta câ
T1(Z) ≤ reg(Z) ≤ T2(Z). (2.4)
Ta câ
T1(Z) + 1 = mi1
+ · · · + mir
≥
1
2
s
k=1
mk
≥ T2(Z) (do P1, ..., Ps n¬m tr¶n 2 ÷íng th¯ng).
M T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
22

27. K¸t hñp vîi (2.4) ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Chùng minh ành lþ ¢ ho n th nh.
2.2 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp s iºm b²o ph¥n bi»t
trong Pn, s ≤ 5
Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp s iºm b²o ph¥n
bi»t trong Pn
, s ≤ 5. Ngo i c¡c k¸t qu£ ¢ tr¼nh b y trong ph¦n 2.1, chóng tæi c¦n
dòng th¶m mët sè k¸t qu£ sau trong ph¦n chùng minh cõa m¼nh.
Bê · 2.2.1. ([21], Theorem 3.4) Cho P1, ..., Ps+2 l c¡c iºm ph¥n bi»t khæng n¬m
tr¶n mët (s−1)-ph¯ng tuy¸n t½nh trong Pn
, s ≤ n, v m1, ..., ms+2 l c¡c sè nguy¶n
d÷ìng. °t I = ℘m1
1 ∩ ... ∩ ℘
ms+2
s+2 , A = R/I. Khi â,
reg(A) = T(Z).
ành lþ 2.2.1. ([23], Theorem 3.1) Cho P1, ..., Ps l c¡c iºm ph¥n bi»t ð và tr½ têng
qu¡t tr¶n mët r-ph¯ng tuy¸n t½nh α trong Pn
, s ≤ r + 3. Cho m1, ..., ms l c¡c sè
nguy¶n d÷ìng v Z = m1P1 + · · · + msPs. Khi â
reg(Z) = max {T1(Z), Tr(Z)} .
M»nh · 2.2.1. ([22], Proposition 8) Cho Z = m1P1 +· · ·+msPs l mët tªp iºm
b²o trong Pn
. N¸u P1, ..., Ps n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng th¼
reg(Z) = m1 + · · · + ms − 1.
ành lþ 2.2.2. ([18], Theorem 1) Cho P1, ..., Ps l c¡c iºm ph¥n bi»t trong P2
v
Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm b²o trong P2
. Khi â
reg(Z) ≤ max h − 1,
1
2
s
i=1
mi ,
trong â
h := max{ k
j=1 mij
|Pi1
, ..., Pik
th¯ng h ng }.
Düa v o c¡c k¸t qu£ tr¶n, chóng tæi chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau:
23

28. ành lþ 2.2.3. Cho Z = m1P1 + · · · + msPs l mët tªp iºm b²o trong Pn
, s ≤ 5.
Lóc â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Chùng minh. Ta x²t 2 tr÷íng hñp sau:
Tr÷íng hñp 1: N¸u P1, ..., Ps n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng th¼ theo M»nh · 2.2.1
ta câ
reg(Z) = T1(Z) = m1 + · · · + ms − 1.
Tr÷íng hñp 2: N¸u P1, ..., Ps khæng n¬m tr¶n mët ÷íng th¯ng th¼ s ≥ 3. Ta
x²t c¡c tr÷íng hñp con sau:
Tr÷íng hñp 2.1: Tr÷íng hñp s = 3 ho°c s = 4 th¼ do P1, ..., Ps khæng n¬m
tr¶n 1-ph¯ng n¶n theo Bê · 2.2.1 ta câ
reg(Z) = T(Z).
Tr÷íng hñp 2.2: Tr÷íng hñp s = 5. Ta x²t c¡c tr÷íng hñp con sau:
Tr÷íng hñp 2.2.1: N¸u P1, ..., Ps khæng n¬m tr¶n 2-ph¯ng tuy¸n t½nh th¼ theo Bê
· 2.2.1 ta câ
reg(Z) = T(Z).
Tr÷íng hñp 2.2.2: N¸u P1, ..., Ps n¬m tr¶n 2-ph¯ng tuy¸n t½nh α v chóng ð và
tr½ têng qu¡t tr¶n α th¼ theo ành lþ 2.2.1 ta câ
reg(Z) = max{T1(Z), T2(Z)} = T(Z).
Tr÷íng hñp 2.2.3: N¸u P1, ..., Ps n¬m tr¶n 2-ph¯ng tuy¸n t½nh α v chóng khæng
ð và tr½ têng qu¡t tr¶n α th¼ câ 2 ÷íng th¯ng l1, l2 chùa P1, ..., Ps. Gi£ sû Pi1
, ..., Pir
l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho
T1(Z) = mi1
+ · · · + mir − 1.
Gåi Y = mi1
Pi1
+ · · · + mir Pir , theo Bê · 2.1.1 ta câ
reg(Z) ≥ reg(Y ) = T1(Z). (2.5)
24

29. Theo H» qu£ 2.1.1 v ành lþ 2.2.2 ta câ
reg(Z) ≤ max h − 1,
1
2
5
i=1
mi
= max {h − 1, T2(Z)} ,
trong â,
h := max
k
j=1
mij
|Pi1
, ..., Pik
th¯ng h ng .
Suy ra T1(Z) = h − 1. Do â
reg(Z) ≤ max{T1(Z), T2(Z)}. (2.6)
Ta x²t c¡c tr÷íng hñp con sau:
• N¸u T2(Z) ≤ T1(Z) th¼ theo (2.6) ta câ
reg(Z) ≤ T1(Z). (2.7)
Tø (2.5) v (2.7) ta câ reg(Z) = T1(Z).
• N¸u T2(Z) T1(Z) th¼ theo (2.5) v (2.6) ta câ
T1(Z) ≤ reg(Z)
≤ max{T1(Z), T2(Z)}
= T2(Z). (2.8)
Ta câ
T1(Z) + 1 = mi1
+ · · · + mir
≥
1
2
5
k=1
mk
= T2(Z)( do P1, ..., Ps n¬m tr¶n 2-ph¯ng ).
25

30. Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
K¸t hñp vîi (2.8) ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Chùng minh ành lþ ¢ ho n th nh.
2.3 Ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp n+3 iºm b²o khæng
suy bi¸n trong Pn
Tªp n+3 iºm b²o Z = m1P1 +...+mn+3Pn+3 trong khæng gian x¤ £nh Pn
֖c
gåi l khæng suy bi¸n n¸u t§t c£ c¡c iºm P1, ..., Pn+3 khæng còng n¬m tr¶n mët si¶u
ph¯ng.
Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy n + 3 iºm b²o khæng
suy bi¸n trong Pn
. Chóng tæi c¦n dòng th¶m c¡c k¸t qu£ sau trong ph¦n chùng minh
k¸t qu£ cõa m¼nh.
ành lþ 2.3.1. ([2], Theorem 2.1) Cho Z := n+3
i=1 miPi l mët tªp iºm b²o khæng
suy bi¸n trong Pn
. Khi â, Z tho£ m¢n cªn tr¶n Segre têng qu¡t, tùc l
reg(Z) ≤ T(Z).
ành lþ 2.3.2. ([23], Theorem 4.6) Cho P1, ..., Ps l c¡c iºm ph¥n bi»t khæng n¬m
tr¶n (r − 1)-ph¯ng trong Pn
, s ≤ r + 3 v m l mët sè nguy¶n d÷ìng, m = 2. Cho
Z = mP1 + · · · + mPs l tªp iºm b²o çng bëi. Khi â
reg(Z) = T(Z).
Düa v o c¡c ành lþ tr¶n v c¡c k¸t qu£ tr÷îc, chóng tæi chùng minh ÷ñc k¸t
qu£ sau.
ành lþ 2.3.3. Cho Z := n+3
i=1 miPi l mët tªp iºm b²o khæng suy bi¸n trong Pn
.
Gi£ sû r¬ng m1 m2 m3 ≥ m4 ≥ · · · ≥ mn+3. Khi â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
26

31. Chùng minh. Theo ành lþ 2.3.1 ta câ
reg(Z) ≤ T(Z). (2.9)
Ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau theo n:
Tr÷íng hñp 1: n ≤ 2 th¼ theo ành lþ 2.2.3 ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Tr÷íng hñp 2: n ≥ 3: do Z = m1P1 + · · · + mn+3Pn+3 l c¡c iºm b²o khæng
suy bi¸n n¶n câ tèi a 4 iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng. Gi£ sû Pi1
, ..., Pir l c¡c iºm n¬m
tr¶n 1-ph¯ng sao cho
T1(Z) = mi1
+ · · · + mir − 1.
Khi â, 2 ≤ r ≤ 4. Gåi Y = mi1
Pi1
+ · · · + mir Pir , theo Bê · 2.1.1 ta câ
reg(Z) ≥ reg(Y ) = T1(Z). (2.10)
Do Z = m1P1 + · · · + mn+3Pn+3 l c¡c iºm b²o khæng suy bi¸n n¶n câ tèi a j + 3
iºm n¬m tr¶n j-ph¯ng, 2 ≤ j ≤ n. Ta so s¡nh c¡c Ts(Z) vîi T1(Z), 2 ≤ s ≤ n.
Tr÷íng hñp 2.1: Vîi 3 ≤ s ≤ n, lóc â câ tèi a s + 3 iºm n¬m tr¶n s-ph¯ng.
Gi£ sû Pq1
, ..., Pqk
l c¡c iºm n¬m tr¶n s-ph¯ng sao cho
Ts(Z) =
k
l=1 mql
+ s − 2
s
, mq1
≥ mq2
≥ · · · ≥ mqk
.
Khi â, s + 1 ≤ k ≤ s + 3. Ta x²t c¡c tr÷íng hñp con sau:
Tr÷íng hñp 2.1.1: k = s+3, lóc â
Ts(Z) =
s+3
l=1 mql
+ s − 2
s
.
Ta câ mq1
≤ m1, mq2
≤ m1 − 1,..., mqs ≤ m1 − 1, mqs+1
≤ m2 − 1,
mqs+2
≤ m2 − 1, mqs+3
≤ m2 − 1. Suy ra
Ts(Z) ≤
sm1 + 3m2 − 4
s
≤ m1 + m2 − 1.
Do â
Ts(Z) ≤ T1(Z).
27

32. Tr÷íng hñp 2.1.2: k = s + 2, lóc â
Ts(Z) =
s+2
l=1 mql
+ s − 2
s
.
Ta câ mq1
≤ m1, mq2
≤ m1 − 1,..., mqs ≤ m1 − 1, mqs+1
≤ m2 − 1,
mqs+2
≤ m2 − 1. Suy ra
Ts(Z) ≤
sm1 + 2m2 − 3
s
≤ m1 + m2 − 1.
Do â
Ts(Z) ≤ T1(Z).
Tr÷íng hñp 2.1.3: k = s + 1, lóc â
Ts(Z) =
s+1
l=1 mql
+ s − 2
s
.
Ta câ mq1
≤ m1, mq2
≤ m1 − 1,..., mqs ≤ m1 − 1, mqs+1
≤ m2 − 1. Suy ra
Ts(Z) ≤
sm1 + m2 − 2
s
≤ m1 + m2 − 1.
Do â
Ts(Z) ≤ T1(Z).
Vªy, trong Tr÷íng hñp 2.1 ta câ
Ts(Z) ≤ T1(Z). (2.11)
Tr÷íng hñp 2.2: Vîi s = 2, ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau:
• N¸u T1(Z) ≥ T2(Z) th¼ k¸t hñp vîi (2.11) ta câ
T(Z) = T1(Z).
Theo (2.9) ta câ
reg(Z) ≤ T(Z) = T1(Z).
M reg(Z) ≥ T1(Z) = T(Z) (theo (2.10)) n¶n
reg(Z) = T1(Z) = T(Z).
28

33. • N¸u T1(Z) T2(Z) th¼ k¸t hñp vîi (2.11) ta câ
T(Z) = T2(Z).
Theo (2.9) v (2.10) ta câ
T1(Z) ≤ reg(Z) ≤ T(Z) = T2(Z).
Gi£ sû Pj1
, ..., Pjk
l c¡c iºm n¬m tr¶n 2-ph¯ng sao cho
T2(Z) =
k
l=1 mjl
2
.
Khi â 3 ≤ k ≤ 5. Ta x²t c¡c tr÷íng hñp con sau:
Tr÷íng hñp 2.2.1: k = 5, lóc â Pj1
, ..., Pj5
l c¡c iºm n¬m tr¶n 2-ph¯ng sao
cho
T2(Z) =
5
l=1 mjl
2
.
Do Pj1
, ..., Pj5
n¬m tr¶n 2-ph¯ng n¶n câ tèi a 4 iºm trong c¡c iºm tr¶n n¬m
tr¶n 1-ph¯ng.
∗ N¸u Pjt , Pjq , Pjk
, Pjh
l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt +mjq +mjk
+
mjh
lîn hìn ho°c b¬ng têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong
c¡c iºm Pj1
, ..., Pj5
. Lóc â
T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq + mjk
+ mjh
≥
5
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
∗ N¸u Pjt , Pjq , Pjk
, l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt + mjq + mjk
lîn
hìn ho°c b¬ng têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong c¡c iºm
Pj1
, ..., Pj5
. Lóc â
29

34. T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq + mjk
≥
5
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
∗ N¸u Pjt , Pjq l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt +mjq lîn hìn ho°c b¬ng
têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong c¡c iºm Pj1
, ..., Pj5
.
Lóc â
T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq
≥
5
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Vªy, trong Tr÷íng hñp 2.2.1 ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Tr÷íng hñp 2.2.2: k = 4, lóc â Pj1
, ..., Pj4
n¬m tr¶n 2-ph¯ng sao cho
T2(Z) =
4
l=1 mjl
2
.
Do Pj1
, ..., Pj4
n¬m tr¶n 2-ph¯ng n¶n câ tèi a 3 iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng.
30

35. ∗ N¸u Pjt , Pjq , Pjk
, l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt + mjq + mjk
lîn
hìn ho°c b¬ng têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong c¡c iºm
Pj1
, ..., Pj4
. Lóc â
T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq + mjk
≥
4
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
∗ N¸u Pjt , Pjq l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt +mjq lîn hìn ho°c b¬ng
têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong c¡c iºm Pj1
, ..., Pj4
.
Lóc â
T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq
≥
4
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Vªy, trong Tr÷íng hñp 2.2.2 ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Tr÷íng hñp 2.2.3: k = 3, lóc â Pj1
, Pj2
, Pj3
n¬m tr¶n 2-ph¯ng sao cho
T2(Z) =
3
l=1 mjl
2
.
31

36. Gåi Pjt , Pjq l c¡c iºm n¬m tr¶n 1-ph¯ng sao cho mjt + mjq lîn hìn ho°c b¬ng
têng c¡c sè bëi cõa c¡c iºm b§t k¼ n¬m tr¶n 1-ph¯ng trong c¡c iºm Pj1
, Pj2
, Pj3
.
Lóc â
T1(Z) + 1 =
r
l=1
mil
≥ mjt + mjq
≥
3
l=1 mjl
2
= T2(Z).
Suy ra T1(Z) + 1 ≥ T2(Z). Do T1(Z) T2(Z) n¶n
T1(Z) + 1 = T2(Z).
Do â
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Vªy, tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta th§y trong Tr÷íng hñp 2.2 ta câ
T(Z) − 1 ≤ reg(Z) ≤ T(Z).
Nhªn x²t 2.3.1. Trong tr÷íng hñp m1 = m2 = · · · = mn+3 = 2, ta th§y do
P1, ..., Pn+3 l c¡c iºm ph¥n bi»t khæng suy bi¸n n¶n P1, ..., Pn+3 khæng n¬m tr¶n
(n − 1)-ph¯ng. Theo ành lþ 2.3.2 ta câ
reg(Z) = T(Z).
32

37. K˜T LUŠN
Trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ nghi¶n cùu ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp
iºm b²o trong khæng gian Pn
v l m ÷ñc mët sè vi»c sau:
• N¶u l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n v· tªp iºm b²o trong khæng gian x¤ £nh, ch¿
sè ch½nh quy cõa mët tªp iºm b²o.
• ÷a ra cæng thùc ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy cõa tªp iºm b²o n¬m tr¶n 2
÷íng th¯ng ph¥n bi»t trong Pn
(ành lþ 2.1.2).
• ÷a ra cæng thùc ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy cõa s iºm b²o ph¥n bi»t trong
Pn
, s ≤ 5 (ành lþ 2.2.3).
• ÷a ra cæng thùc ÷îc l÷ñng ch¿ sè ch½nh quy cõa n + 3 iºm b²o khæng suy
bi¸n trong Pn
(ành lþ 2.3.3).
Ba k¸t qu£ tr¶n l ho n to n mîi.
Trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n, tæi ¢ cè g­ng l m vi»c nghi¶m tóc, tuy
nhi¶n do h¤n ch¸ v· m°t thíi gian v n«ng lüc câ h¤n n¶n k¸t qu£ luªn v«n cán kh¡
khi¶m tèn. Trong thíi gian tîi khi câ i·u ki»n, tæi mong muèn ti¸p töc t¼m hiºu v·
ch¿ sè ch½nh quy cõa mët sè tªp iºm b²o kh¡c.
M°c dò b£n th¥n ¢ câ nhi·u cè g­ng, song trong luªn v«n khæng tr¡nh khäi
nhúng thi¸u sât v· m°t nëi dung v h¼nh thùc. T¡c gi£ mong nhªn ÷ñc sü gâp þ,
gióp ï cõa th¦y cæ v b¤n åc.
33

38. T i li»u tham kh£o
[1] Atiyah M.F. and Macdonald I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra,
University of Oxford.
[2] Ballico E., Dumitrescu O. and Postinghel E. (2016), On Segre's bound for fat
points in Pn
, J. Pure Appl. Algebra 220, Issue 2307-2323.
[3] Benedetti B., Fatabbi.G. and Lorenzini.A. (2012), Segre's bound and the case of
n+2 fat points of Pn
, Comm. Algebra 40, 395-5473.
[4] Bourbaki. N (1974), Algebra I , Springer-Verlag.
[5] Brodmann M.P and Sharp (1998), Local Cohomology: an algebraic antroduction
with geometric applications, University Press.
[6] Catalisano M.V. (1991), Fat points on a conic, Comm. Algebra 19, 2153-2168.
[7] Catalisano M.V., Trung.N.V. and Valla G. (1993), A sharp bound for the regularity
index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118, 717-724.
[8] Davis E.D. and Geramita A.V. (1984), The Hilbert funtion of a special class of
1-dimension Cohen - Macaulay grade algebras, The Curves Seminar at Queen's,
Queen's Paper in Pure and Appl. Math. 67,1-29.
[9] Fatabbi G. (1994), regularity index of fat points in the projective plane, J. Algebra
170, 916-928.
[10] Fatabbi G. and Lorenzini A. (2001), On the sharp bound for the regularity index
of any set of fat points, J. Pure Appl. Algebra 161, 91-111.
[11] Fulton W. (1969), Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin, New
York.
[12] Joseph J. Rotman (1979), An introduction to homological algebra, Academic
Press, New York.
34

39. [13] Hartschorne R. (1977), Algebra Geomeotry, Springer-Verlag.
[14] Kunz E. (1985), Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geomeotry,
Springer-Verlag.
[15] Matsumura H. (1970), Commutation Algebra, W. A. Benjamin, Inc., New York.
[16] Schenck H. (2003), Commutational Algebraic Geomeotry, Cambridge University
Press.
[17] Segre.B. (1961), Alcune question su insiemi finiti di punti in geometria algebrica,
Atti. Convergno. Intern. di Torino, 15-33.
[18] Thien P.V. (1999), On Segre bound for the regularity index of fat points in P2
,
Acta Math. Vietnamica 24, 75-81.
[19] Thien P.V. (2000), Segre bound for the regularity index of fat points in P3
, J.
Pure and Appl. Algebra 151, 197-214.
[20] Thien P.V. (2002), Sharp upper bound for the regularity index of zero-schemes
of double points in P4
, Comm. Algebra 30, 5825-5847.
[21] Thien P.V. (2012), Regularity index of s+2 fat points not on a (s-1)-space, Comm.
Algebra 40, 3704-3715.
[22] Thien P.V. (2016), Lower bound for the regularity index of fat points, Inter-
national Journal of Pure and Applied Mathermatics, Volume 109, No. 3, (2016),
745-755.
[23] Thien P.V. and Sinh.T.N.(2017), On the regularity index of s fat points not on
a linear (r-1)-space, s ≤ r + 3, Comm. Algebra 45, 4123-4138.
[24] Uwe Nagel and Bill Trok (2016), Segre's Regularity Bound for Fat Point Schemes,
arXiv:1611.06279.
35