Logistico

MODELOS DE
CRECIMIENTO
POBLACIONAL
MODELO LOGÍSTICO
Jenifer Paola Garza Puentes
Biologa MSc
jgarzapuent@uniminuto.edu.co

RECORDANDO…
• Hasta ahora hemos visto qué determina la distribución de las especies
y poblaciones: dispersión, interacciones con otras especies,
interacciones abióticas.
• Ahora nos preguntaremos qué determina la abundancia local de las
poblaciones en el tiempo.

PARÁMETROS POBLACIONALES
Población
Natalidad Mortalidad
Inmigración Emigración
Densidadt+1 = Natalidad -Mortalidad + Inmigración- Emigración
+
-

MODELADO DE TASAS DE
CRECIMIENTO
Modelamiento de las
poblaciones bajo
diferente niveles de
recursos. ( topes o
capacidades de
carga)
En el tiempo y en el
espacio
Khan Academy, 2020. Tomado de: https://es.khanacademy.org/science/biology/ecology/population-
growth-and-regulation/a/exponential-logistic-growth

En el crecimiento exponencial, la tasa
de crecimiento de la población
aumenta con el tiempo, en
proporción con el tamaño de la
población.
El número de organismos que se añade
en cada generación aumenta al mismo
tiempo que la población se hace más
grande.
MODELO EXPONENCIAL

https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/world/corona-simulator-spanish/
Vídeo de desarrollo del COVID -19
en EEUU
EJEMPLO EXPONENCIAL
COVID-19 SARS CoV-2

Crecimiento
Logístico
Tiempo
Población
K

MODELO LOGÍSTICO
El crecimiento logístico se da cuando
la tasa de crecimiento per cápita de
una población disminuye conforme
se acerca al tamaño máximo de
población permitido por los recursos
limitados, o capacidad de carga (K),
del ambiente.

MODELO LOGÍSTICO
En un inicio tiene un
crecimiento exponencial, que
después llegará a un limite o
K

Básicamente, cualquier tipo de recurso que sea importante para la supervivencia de una especie puede
actuar como límite.
● Para las plantas el agua, la luz solar, los nutrientes y el espacio para crecer son algunos recursos
fundamentales.
● Para los animales, algunos de los recursos importantes son el alimento, el agua, el refugio y el
espacio de anidación.
Las cantidades limitadas de estos recursos resultan en una competencia entre los miembros de la misma
población o competencia intraespecífica
¿QUÉ FACTORES DETERMINAN LA CAPACIDAD DE
CARGA?

Ejemplo de crecimiento exponencial –
Logistico
Infección del SARS Cov-2
COVID-19
• Lugar: Global-Pandemia
• Año: 2020
• Tipo: RNA Virus
Paramixovirus –SARS-CoV
El Síndrome Respiratorio Agudo Severo es una
enfermedad viral infecciosa potencialmente
mortal de rápida propagación.
EJEMPLO EXPONENCIAL- LOGÍSTICO
COVID-19 SARS CoV-2
https://www.who.int/es/emergencies/diseases/novel-coronavirus-
2019/advice-for-public/q-a-coronaviruses

https://www.larepublica.co/economia/esta-ha-sido-la-evolucion-de-la-curva-del-
covid-19-en-espana-y-colombia-2981940
Características del crecimiento
exponencial:
 Crecimiento sin limites de recursos.
 Aumentos del +/-50% en primeras fases y
del +/-100% en la ultimas fases.
 En un modelo exponencial no hay factores
denso dependientes de control, es decir:
* No hay predadores
* No hay enemigos
* No hay competencia intraespecifica
COVID-19 SARS CoV-2

https://www.larepublica.co/economia/esta-ha-sido-la-evolucion-de-la-curva-del-
covid-19-en-espana-y-colombia-2981940
Características del crecimiento
exponencial:
 En un modelo exponencial no hay factores
denso independientes de control, es decir:
* No hay factores externos como
temperatura, pH, Acidez y demás que
controlen la población en aumento.
* Para el caso de infecciones, no hay
vacunas ni curas.
*No hay fenómenos naturales
extremos para controlar la población.
COVID-19 SARS CoV-2

http://selenitaconsciente.com/?p=296103
Características de la curva logística de
control:
“Aplanar la curva» brinda la oportunidad de reducir
significativamente las muertes por COVID-19”
“Cuando la curva epidémica aumenta rápida y
exponencialmente, la consecuencia directa es una
sobrecarga tremenda sobre los profesionales sanitarios.
Además, muchos de ellos terminarán enfermando y se
verán obligados a aislarse, dejando brindar la atención
médica que otros necesitan.”
COVID-19 SARS CoV-2

https://clustersalud.americaeconomia.com/sector-
publico/estas-son-las-diferencias-del-actual-coronavirus-
con-los-otros
COVID-19 SARS CoV-2

control:
Número de contagios disminuye en el tiempo,
después de generar cuarentenas y
asilamientos.
Ejemplo Korea 17-03-2020
COVID-19 SARS CoV-2

control:
Número de contagios disminuye en el tiempo,
después de generar cuarentenas y
asilamientos.
Ejemplo Korea 17-03-2020
COVID-19 SARS CoV-2
K?

COVID-19 SARS CoV-2
K?
https://gisanddata.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6

Ejemplo de crecimiento exponencial y
logístico
Influenza
• Lugar: Global-Pandemia
• Año: 1918
• influenzavirus A subtipo H1N1
Orthomyxoviridae.
Es considerada la pandemia más devastadora de
la historia humana, ya que en solo un año mató
entre 20 y 40 millones de personas.
• Infecto perros y gatos y otros animales
• Los virus tipo A son transmitidos por cerdos,
aves y bovinos
GRIPE ESPAÑOLA
https://www.elsevier.es/es-revista-enfermedades-infecciosas-microbiologia-clinica-28-articulo-
influenza-gripe-gripe-espanola-gripe-S0213005X10002776

GRIPE ESPAÑOLA
 La gripe española (extinta en la vida silvestre),
 La gripe porcina
 La gripe aviar
 La gripe bovina

GRIPE ESPAÑOLA
De (Image: courtesy of the National
Museum of Health and Medicine) -
Pandemic Influenza: The Inside
Story. Nicholls H, PLoS Biology
Vol. 4/2/2006, e50
https://dx.doi.org/10.1371/journal.p
bio.0040050, Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/i
ndex.php?curid=1441889

GRIPE ESPAÑOLA
Características
• Normalmente la gripe tenían una mortalidad
del 0,05% entre el 2017-2019 se incrementa
entre 65-76% en diferentes zonas del mundo.
• Zoonosis de transmisión rápida y de
mortalidad alta.
1. Transmisión cerdo-cerdo
2. Transmisión cerdo-humano
3. Transmisión humano-humano.
• Aunque la gripe mata a niños y viejos, esta
gripe mata adultos jóvenes y varones en
guerra ( I guerra mundial).
• Al ser mundial y estar en guerra, se
“camuflan” las muestres, pero España, país
neutral en la guerra, publica boletines con
información, de ahí su nombre
• Primer dato de registro o paciente 0 ( EEUU)
http://km-stressnet.blogspot.com/2009/04/la-gripe-porcina.html

GRIPE ESPAÑOLA
De Dr.cueppers - Trabajo propio, CC BY 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=18608726
De CDC is author - Transferido desde en.wikipedia a Commons por
Leptictidium usando CommonsHelper.Source:
https://www.cdc.gov/ncidod/EID/vol12no01/05-0979.htm (fig. 2) - Taken
from "1918 Influenza: the Mother of All Pandemics" Jeffery K.
Taubenberger and David M. Morens, Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6695951

GRIPE ESPAÑOLA
“En la gráfica podemos ver
que la ciudad de Filadelfia
tardó en imponer las
medidas pertinentes,
generándose una curva muy
pronunciada. Sin embargo,
en San Luis las medidas se
acataron desde el primer
momento. Hubo contagios
sí, pero más
espaciadamente en el
tiempo y reduciendo así el
número de muertes”

CONCLUSIÓN
https://lavozdelmuro.net/wp-
content/uploads/2020/03/graficas_c
oronavirus_4.jpg

CONCLUSIÓN
https://elpais.com/sociedad/2020/03/16/actualidad/1584360628_538486.ht
ml

Crecimiento
Logístico
Formula y
desarrollo
Tiempo
Población
K

Tiempo N
0 10
1 12
2 14.4
3 17.2
4 20.6
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 𝑟𝑁 + 𝑁
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.2 ∗ 17.2
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 3.4
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 3.4 + 17.2
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 20,6
CRECIMIENTO LOGÍSTICO

Obtenemos un crecimiento
Logístico, cuando después de tener
un crecimiento exponencial con
una r (la tasa de crecimiento per
cápita) se limita el crecimiento de
la población con una Constante que
K o Capacidad e carga y se
expresa con la siguiente ecuación:
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 𝑟𝑁(
𝐾−𝑁
𝐾
)

r (la tasa de crecimiento per cápita)
Población cuando se
realiza el conteo de
Natalidad y Mortalidad
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 𝑟𝑁(
𝐾−𝑁
𝐾
)

r (la tasa de crecimiento per cápita)
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 𝑟𝑁(
𝐾−𝑁
𝐾
)
Exponencial
Capacidad
de carga

10 individuos
en la población
inicial

Tiempo N Nr (k-N/K) dN/dt
0 10 2 0,5 1
1 11
2
3
4
r = 0,2 K =20

0 10 2 0,5 1
1 11 2,2 0,45 0,99
2 11,99
3
4
r = 0,2 K =20
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 2,2 ∗ (0,45)

0 10 2 0,5 1
1 11 2,2 0,45 0,99
2 11,99 2,39 0,40 0,96
3 12,95
4
r = 0,2 K =20
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 2,39 ∗ (0,40)
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.96
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.2 ∗ 11.99 ∗ (20 − 11.99/20)

0 10 2 0,5 1
1 11 2,2 0,45 0,99
2 11,99 2,39 0,40 0,96
3 12,95 2,59 0,35 0,91
4 13,89 2,77 0,30 0,84
r = 0,2 K =20
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 2,59 ∗ (0,35)
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.91
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.2 ∗ 12.95 ∗ (20 − 12.95/20)

0 10 2 0,5 1
1 11 2,2 0,45 0,99
2 11,99 2,39 0,40 0,96
3 12,95 2,59 0,35 0,91
4 13,89 2,77 0,30 0,84
5 14,73
r = 0,2 K =20
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 2,77 ∗ (0,30)
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.84
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.2 ∗ 13.89 ∗ (20 − 13.89/20)

0 10 2 0,5 1
1 11 2,2 0,45 0,99
2 11,99 2,39 0,40 0,96
3 12,95 2,59 0,35 0,91
4 13,89 2,77 0,30 0,84
5 14,73 2,94 0,26 0,78
r = 0,2 K =20
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 2,94 ∗ (0,26)
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.78
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 0.2 ∗ 14.73 ∗ (20 − 14.73/20)

Tiempo N
0 10
1 11
2 11,99
3 12,95
4 13,89
5 14,73
r = 0,2 K =20
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25 30
N
Población
Tiempo

r = 0,2
Tiempo N
0 10
1 12
2 14.4
3 17.2
4 20.6
𝑑𝑁
𝑑𝑇
= 𝑟𝑁 + 𝑁
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 5 10 15 20 25 30
N
Población
Tiempo

RESUMEN
● El crecimiento exponencial se da cuando la tasa de crecimiento per cápita de una población se
mantiene igual sin importar el tamaño de la población, lo que hace que esta crezca cada vez más
rápido conforme se hace más grande. Se representa por medio de la ecuación:
El crecimiento exponencial produce una curva en forma de J.
● El crecimiento logístico se da cuando la tasa de crecimiento per cápita de una población
disminuye conforme se acerca al tamaño máximo de población permitido por los recursos
limitados, o capacidad de carga (KKK), del ambiente. Se representa mediante la ecuación:
El crecimiento logístico produce una curva en forma de S.

Curva de crecimiento de la
población humana con
proyección demográfica al
2050
.. Para reflexionar
CRECIMIENTO EXPONENCIAL

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