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Lógica Matemática
Lógica Predicativa
Material elaborado por:
Lic. Sabino Acosta Delvalle
Adaptado por:
Lic. María del Carmen Rolón
Campus Universitario
San Lorenzo, Paraguay

Universidad Nacional de Asunción
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Educación a Distancia
2 www.virtual.facen.una.py
Índice
1. Lógica predicativa.............................................................................................................................3
1.1. Términos y predicados.............................................................................................................3
1.1.1. Predicados....................................................................................................................3
2. Simbolización....................................................................................................................................5
2.1. Predicados monádicos y predicados diádicos.........................................................................9
2.1.1. Proposiciones con predicados monádicos singulares............................................... 10
2.1.2. Proposiciones con predicados monádicos generales: universales y existenciales ... 10
2.1.3. Proposiciones categóricas de ‘‘forma típica’’............................................................ 10
2.1.4. Proposiciones con predicados diádicos sin cuantificación........................................ 14
2.1.5. Proposiciones con predicados diádicos con cuantificación simple........................... 14
2.1.6. Proposiciones con predicados diáticos con cuantificación múltiple......................... 17
3. Regla de especificación universal.................................................................................................. 17
4. Lógica de Identidad ....................................................................................................................... 19
4.1. Identidad ............................................................................................................................... 19
4.2. Regla de identidades............................................................................................................. 20
5. Certeza lógica. Regla de certezas lógicas ...................................................................................... 20
6. Deducción de tautologías.............................................................................................................. 21
7. Regla de Generalización Universal................................................................................................ 21
Bibliografía ............................................................................................................................................ 23

1. Lógica predicativa
La lógica proposicional o de nivel cero es la lógica de las proposiciones sin analizar en donde
estudiamos las relaciones entre proposiciones, simbolizamos inferencias y hallamos el valor
veritativo de esquemas moleculares, entre otras cosas. Pero esta lógica no es suficiente,
pues existen razonamientos válidos que no se pueden probar como válidos mientras no se
amplíe el lenguaje.
En busca de dicha ampliación del lenguaje lógico surge la denominada lógica predicativa
cuyo propósito es realizar un análisis interno de las proposiciones con el fin de poder
determinar la validez de los razonamientos.
1.1. Términos y predicados
Según Suppes y Hill (1992), un término es una expresión con la que o se nombra o se designa
un único objeto, o es una variable que puede ser sustituida por una expresión que nombre o
designe un objeto único.
Para comprender esta definición consideremos las proposiciones siguientes:
1. Estela está presente.
2. José habla fuerte.
3. Este libro es azul.
En estas proposiciones los términos son las palabras “Estela”, “José”, “Este libro”.
1.1.1. Predicados
Consideremos la proposición:
Taylor es matemático.
Del análisis precedente sabemos que “Taylor” es un término. Y de la frase “es matemático”,
¿qué podemos decir? La respuesta es que no es término, pero nos dice algo sobre Taylor. La
frase “es matemático” denominaremos predicado. En proposiciones atómicas el sujeto de la
proposición es un término y el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre el
sujeto.
Obsérvese que un término no ha de ser necesariamente un nombre de persona
como “Estela” o “José” en nuestro ejemplo. Un término puede ser también una
frase, como “este libro” (del ejemplo 3) o “1+1”, etc.

Veamos otros ejemplos.
1. Julio es futbolista.
2. María baila.
3. Mariana está feliz.
4. José corre muy lento.
Los predicados, en estos ejemplos son: “es futbolista”, “baila”, “está feliz” y “corre muy
lento”.
Nombres comunes como predicado
En ocasiones debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Consideremos la proposición:
Juan es un hombre
Ya sabemos, claramente, que “Juan” es un término. Podemos pensar que “hombre” también
es un término, pero en este contexto no identifica una persona o cosa particular.
Atendiendo lo expuesto en Suppes y Hill (1992), en la gramática castellana “hombre” se
denomina nombre común precisamente porque no es el nombre de ninguna persona u
objeto en particular. Desde el punto de vista de la Lógica es conveniente dejar en claro que
los nombres comunes consideramos como parte del predicado; así, en la proposición
anterior la frase “es un hombre” es el predicado, y el nombre común “hombre” por sí mismo
no es término.
Algunas otras proposiciones en las que los nombres comunes aparecen como parte del
predicado son:
Asunción es una ciudad.
Newton fue un científico brillante.
Marte es un planeta.
En estas proposiciones los nombres comunes “ciudad”, “científico” y “planeta” son parte de
los predicados.

2. Simbolización
En esta sección veremos cómo se pueden simbolizar las proposiciones estudiadas. Para esto,
consideremos la proposición:
Juan es nadador
Sea “ ” el predicado “es nadador” y sea Juan. Entonces se puede simbolizar la
proposición “Juan es nadador” por
En nuestro ejemplo anterior “Marte es un planeta”. Sea “ ” el predicado “es un planeta” y
Marte. Entonces se puede simbolizar la frase por
Se utiliza una sola letra para todo el predicado. Así, en la proposición “Asunción es una
ciudad” sea “ ” el predicado “es una ciudad” y Asunción. Entonces, la proposición se
puede simbolizar por
También podemos simbolizar dos proposiciones atómicas que están unidas por un término
de enlace.
Ejemplo de esto podemos ver en la proposición siguiente:
Si Daniel es alto, entonces Rodrigo es bajo.
Sean “A” el predicado “es alto” y “B” el predicado “es bajo”
Daniel
Rodrigo
Con estas asignaciones podemos simbolizar la proposición completa como sigue:
Otro ejemplo con término de enlace es:
O Adela se ha retrasado o Rosa se ha adelantado.

Una simbolización podría ser:
Sean “ ” el predicado “se ha retrasado” y “ ” el predicado “se ha adelantado”.
Adela
Rosa
Con esto la simbolización completa es:
Fórmulas atómicas y variables
Según Suppes y Hill (1992), en lógica predicativa la expresión más corta que tiene sentido
por sí sola es una letra predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo,
que representa la proposición atómica
Jaime estudia Lógica
Sólo “estudia Lógica” no dice nada, ni tampoco “Jaime”; ni tampoco “ ” o “ ”. “ ” es sólo un
predicado y “ ” es sólo un término.
Si consideramos ahora la expresión
es un número par,
puede simbolizarse
Donde es el predicado “es un número par” y “ ” es el término.
Las formas de “ es un número par” y son las mismas que las formas “Jaime estudia
Lógica” y respectivamente. Pero “ es un número par” y no dicen nada sobre algo en
particular y no se puede decir si son ciertas o falsas porque no es ningún objeto en
particular. Sin embargo, expresiones como se puede manejar de manera análoga como
las expresiones del tipo . A expresiones como denominaremos fórmulas atómicas.
Una definición concisa de fórmula atómica es:

Una fórmula atómica es un predicado solo, junto con el número apropiado
de términos unidos al mismo.
Suppes y Hill (1992)
Si en las proposiciones “ es un número par” y sustituimos por el (por ejemplo)
tenemos la proposición atómica cierta “ es un número par” que designamos por “ ”. En
cambio, si sustituimos por se obtiene una proposición falsa. Podríamos elegir términos
cualesquiera que nombrasen o describiesen objetos únicos para poner en vez de la en “
es un número par” y : , Asunción, etc. Cada uno daría lugar a una proposición
cierta o falsa. Cuando las letras “ ”, “ ”, “ ”, se utilizan como términos, sin que representen
objetos particulares, se denominan variable. Las variables se consideran también como
término a pesar de no nombrar ni referirse a ningún objeto único.
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la Lógica Predicativa. Consideremos el
siguiente ejemplo:
Lugo nombró ministro de educación a Ríos
nombró a
Lugo
ministro de educación a Ríos.
En símbolos tenemos:
Cuando utilicemos equivalencias como la nombró a , simpre que se tenga
“nombró a” en castellano se utilizará “ ” en símbolos y viceversa.
Suppes y Hill (1992) menciona que en la Lógica Predicativa, expresiones que contienen
términos de enlace se denominan fórmulas moleculares tanto si contienen variables como si
no.
Para comprender mejor, consideremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
fue un artista del Renacimiento

Miguel Ángel
Leonardo da Vinci
En símbolos:
Ejemplo 2:
Antonio ayuda a Juan y es ayudado por José.
ayuda a
Antonio
Juan
José
En símbolos:
Esto es, es el predicado “ayuda a”, por lo que traduciendo cada miembro de la conjunción
tenemos: “ ” es “Antonio ayuda a Juan” y “ ” es “José ayuda a Antonio”, este último
es una traducción equivalente de “Antonio es ayudado por José”
Ejemplo 3:
Sea la proposición;
Si es mayor que dos y dos es mayor que , entonces es mayor que
Esto se puede simbolizar utilizando los símbolos típicos matemáticos y lógicos. En este caso
no es necesario definir los símbolos. Podemos escribir inmediatamente la fórmula molecular

2.1. Predicados monádicos y predicados diádicos
En lógica se clasifican los enunciados en dos grandes tipos: aquellos en los que aparece un
solo nombre de individuo, y aquellos otros en los que son dos o más nombres de individuo
los que intervienen. Digámoslo de otra manera, ateniéndonos a la letra del simbolismo: hay,
de una parte, símbolos predicativos que van seguidos de un solo nombre de individuo (el de
aquel a quien se adscribe la propiedad, el estado, la característica designada por el
predicado), y, de otra parte, símbolos predicativos que anteceden a dos o más nombres de
individuos (los de aquellos entre quienes se da la relación que el predicado representa). A los
predicados del primer tipo se les llama predicados monádicos, y predicados poliádicos a los
del segundo.
Los predicados poliádicos podrán ser, específicamente, diádicos cuando para formar un
enunciado se requiere que los sigan dos nombres de individuos; triádicos cuando son tres los
nombres de individuo que el predicado engarza; tetrádicos; pentádicos. Etc.
Algunas observaciones importantes:
(1) Los símbolos para términos y predicados se dan por separado.
(2) El número de términos apropiados al predicado se indica añadiendo al
predicado un número de variables igual al de términos.
(3) Es importante el orden en que se escriben los términos unidos a
predicados no simples.
(4) Entre la fórmula atómica en símbolo lógico y su equivalencia en el
lenguaje ordinario se coloca un término de enlace de equivalencia .
(5) El signo, , se coloca entre los símbolos lógicos para términos que
representan objetos aislados y los nombres correspondientes en el
lenguaje corriente de los mismos objetos.
(6) Los símbolos lógicos se escriben a la izquierda, las palabras en
castellanos a la derecha.
Es aceptable también el escribir “𝑥𝐴𝑦” en vez de “𝐴𝑥𝑦”. Así, la proposición
atómica anterior, “𝐴𝑙𝑟” podría también simbolizarse “𝑙𝐴𝑟”. En ambos casos el
orden de los dos términos ha de ser el mismo.

2.1.1. Proposiciones con predicados monádicos singulares
Es cuando el sujeto es un individuo.
Ejemplo:
Manuel Kant es filósofo.
2.1.2. Proposiciones con predicados monádicos generales: universales y
existenciales
Se denominan proposiciones generales simples las proposiciones que tienen un único
predicado, y son universales o existenciales.
Son fórmulas predicativas monádicas las que contienen una sola variable individual.
Ejemplos:
a) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) [( ) ]
2.1.3. Proposiciones categóricas de ‘‘forma típica’’
Según Copi, hay cuatro formas típicas de proposiciones categóricas, que son las ilustradas
por las cuatro proposiciones siguientes:
1. Todos los políticos son mentirosos.
2. Ningún político es mentiroso.
3. Algunos políticos son mentirosos.
4. Algunos políticos no son mentirosos.
La primera, es una proposición universal afirmativa. Es una aseveración acerca de dos
clases, la clase de todos los políticos y la de todos los mentirosos, y afirma que la primera
clase está incluida o contenida en la segunda; esto significa que todo miembro de la primera
clase es también miembro de la segunda. En este ejemplo, el término “políticos” designa la
clase de todos los políticos, y el predicado “mentirosos” designa la clase de todos los
mentirosos. Toda proposición universal afirmativa puede escribirse esquemáticamente así:
Todo es .

Donde las letras “ ” y “‘ ” representan el término y el predicado, respectivamente. El
nombre “universal afirmativa” es apropiado porque la proposición afirma que hay una
relación de inclusión entre las dos clases y, además, que la inclusión es completa o universal,
es decir, que todos los miembros de son también miembros de .
El segundo ejemplo:
Ningún político es mentiroso.
es una proposición universal negativa. Niega universalmente de los políticos que sean
mentirosos. Hace una afirmación acerca de dos clases en el sentido de que la primera clase
está excluida de la segunda -totalmente excluida-, lo que equivale a decir que no hay ningún
miembro de la primera que sea también miembro de la segunda. Toda proposición universal
negativa puede escribirse esquemáticamente de la siguiente manera:
Ningún es .
Donde nuevamente, las letras “ ” y “ ” representan los términos y predicados. Es adecuada
la denominación de “universal negativa”, porque la proposición niega que haya una relación
de inclusión entre las dos clases y, además, lo niega universalmente, ya que ninguno de los
miembros de es miembro de .
El tercer ejemplo:
Algunos políticos son mentirosos.
es una proposición particular afirmativa. Como es obvio, lo que se afirma en este caso es que
algunos miembros de la clase de todos los políticos son (también) miembros de la clase de
todos los mentirosos. Pero no afirma esto de los políticos universalmente: no se dice
universalmente de todos los políticos que son mentirosos, sino de algún político o de
algunos políticos, en particular.
Esta proposición no afirma ni niega que todos los políticos sean mentirosos; no se pronuncia
sobre la cuestión. No afirma literalmente que algunos políticos no sean mentirosos, aunque
en ciertas circunstancias especiales pueda interpretarse que lo implica.
La interpretación literal, mínima, de esta proposición es que la clase de los políticos y la clase
de los mentirosos tienen algún miembro o algunos miembros en común. Para mayor
precisión adoptaremos aquí la interpretación mínima.
La palabra “algunos” es un poco indefinida. Significa “al menos uno”, o “al menos dos”, o “al
menos cien”, etc.

Para mayor exactitud, se acostumbra considerar que la palabra “algunos” significa “al menos
uno”, aunque esto se aparte del uso ordinario. Así, una proposición particular afirmativa,
que se escribe esquemáticamente:
Algún es
se interpreta como afirmando que al menos un miembro de la clase designada por el
término “ ” es también miembro de la clase designada por el predicado “ ”. Es apropiado el
nombre de “particular afirmativa” porque la proposición afirma la existencia de una relación
entre las clases, pero no lo afirma de la primera clase universalmente, sino solo parcialmente
de algún miembro o de algunos miembros en particular, de la primera clase.
El cuarto ejemplo:
Algunos políticos no son mentirosos.
es una proposición particular negativa. Este ejemplo, como el anterior, es particular en el
sentido de que no se refiere a los políticos universalmente, sino solamente a algún miembro
o a algunos miembros en particular de esta clase. Pero, a diferencia del anterior, no afirma
que los miembros particulares de la primera clase a los que se refiere estén incluidos en la
segunda clase; esto es precisamente lo que se niega. Una proposición particular negativa,
que se escribe esquemáticamente:
Algún no es .
afirma que al menos un miembro de la clase designada por el término “ ” está excluído de la
clase designada por el predicado “ ”.
Se ha sostenido tradicionalmente que todos los razonamientos deductivos podían analizarse
en términos de estas cuatro formas típicas de proposiciones categóricas y sobre ellas se
construyó toda una elaborada teoría.
No todas las proposiciones categóricas de forma típica son tan simples y directas como los
ejemplos considerados hasta ahora. Aunque los términos y predicados de una proposición
categórica de forma típica deben designar clases, pueden ser expresiones sumamente
complicadas en vez de palabras aisladas.
Por ejemplo, la proposición:
Todos los candidatos al cargo son hombres de honor y de gran integridad.
Tiene como términos y predicado, respectivamente, las expresiones “los candidatos al
cargo” y “hombres de honor y de gran integridad”.

Designamos las cuatro formas de proposiciones categóricas presentadas:
 Universal afirmativa: ( ) ( ). Se designará por .
 Universal negativa: ( ) ( ). Se designará por .
 Particular afirmativa: ( ) ( ). Se designará por .
 Particular negativa: ( ) ( ). Se designará por .
Estas proposiciones estructuran el denominado cuadro de oposición de la lógica tradicional,
que se presenta a continuación:
Inferencias por el cuadro de oposición
 Si es verdadera: es falsa, es verdadera, es falsa.
 Si es falsa: es falsa, es verdadera, es verdadera.
 Si es verdadera: es falsa, y indeterminadas.
 Si es verdadera: es falsa, e quedan indeterminadas.
 Si es falsa: es verdadera, e quedan indeterminadas.
 Si es falsa: es verdadera, y quedan indeterminadas.
 Si es verdadera: es falsa, es falsa, es verdadera.
 Si es falsa: es verdadera, es falsa, es verdadera.
Cuadro de oposición
Los medievalistas construyeron este cuadro para visualizar de inmediato las
relaciones válidas que se pueden establecer a partir de la información que el
cuadro nos proporciona. Permite realizar inferencias inmediatas.

2.1.4. Proposiciones con predicados diádicos sin cuantificación
Los predicados considerados anteriormente eran predicados monádicos, es decir,
predicados que se aplican a un único individuo ya sea constante o variable. Sin embargo, hay
otros predicados llamados poliádicos o relacionales, esto es, aquellos que involucran a dos o
más individuos.
Ejemplos:
a) Oscar admira a Vilma.
b) Lima está entre Ancash e Ica.
c) Silvia cuida a sus hijos.
d) La Tierra gira alrededor del Sol.
e) Asia es más poblada que Europa.
En nuestro primer ejemplo, “Admirar a” es un predicado que involucra a dos individuos:
Oscar y Vilma. Por tanto, es un predicado diádico. Igualmente, “c)”, “d)” y “e)” son
predicados diádicos.
2.1.5. Proposiciones con predicados diádicos con cuantificación simple
Cuantificadores Universales. Suppes y Hill (1992)
En Lógica se acostumbra a expresar la proposición de la siguiente forma:
Para cada , es un número par.
La frase “Para cada ”es un cuantificador universal. Se denomina cuantificador universal
porque utiliza la variable “ ” para afirmar que cada cosa en el universo tiene una cierta
propiedad; en el caso presente la propiedad de ser un número par.
Otro ejemplo a considerar es la fórmula atómica aritmética.
Se puede hacer esta fórmula cierta o falsa sustituyendo “ ” por el nombre o descripción de
algún número particular. Por ejemplo, si se sustituye “ ” por
,
que es cierta. Si se sustituye “ ” por “ ”, se obtiene la proposición atómica falsa,
.

Si se añade un cuantificador universal a la fórmula atómica “ ”, se obtiene la
proposición falsa,
Para cada , .
Esta proposición es falsa, por ejemplo, si , entonces no es mayor que 0. Es decir, la
proposición afirma que cada número mayor que 0, pero el número no lo es, y por tanto
la proposición es falsa.
El símbolo para el cuantificador es una “A” al revés, y se simboliza la última proposición
considerada por:
( ) ( )
Existe en el lenguaje otra forma de expresar lo mismo. En vez de decir “Para cada , ”
se puede decir:
Para todo , .
En ambos casos se simboliza de la forma:
( ) ( )
Desde el punto de vista lógico la frase “Para cada ” se usa en el mismo sentido de la frase
“Para todo ”. El cambio de “cada” a “todo”, representa en el lenguaje usual el cambio de
singular a plural, pero éste es un cambio superficial análogo a uno que se había observado
antes para los nombres comunes. No se trata de un cambio lógico. “Todos los gatos tienen
garras” se traduce de la misma forma que “Cada gato tiene garras”.
La frase “cada uno” también es una expresión común para indicar una cuantificación
universal. En lenguaje corriente, en vez de decir “Para cada , es sabio”, se diría “Cada uno
es sabio”. La traducción sería:
es sabio.
En símbolos
( ) ( ).
La lista siguiente resume las expresiones más comúnmente utilizadas para expresar el
cuantificador universal:
Para cada ...................
Cada...............................
Para todo ...................

Todo...............................
Cualquiera.....................
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de referencia.
Casi siempre el contexto de la discusión pone de manifiesto el dominio. Por ejemplo, el uso
de símbolos matemáticos en muchos de los ejemplos indicará que el dominio es el conjunto
de los números. Así, el cuantificador universal “Para cada ” significa que se afirma algo para
cada elemento de aquel dominio (en otras palabras, para cada número).
Una expresión que expresa cuantificación universal y negación, se pone de manifiesto en la
proposición siguiente:
Nada es absolutamente malo.
En esta proposición la palabra “Nada” sirve a la vez como cuantificador universal y como
expresión de una negación, lo que se pone refiere claramente cuando se introduce una
variable a la expresión en castellano; en primer lugar se tiene:
Para todo , no es absolutamente malo.
Definiendo:
es absolutamente malo.
La proposición se simboliza por:
( ) ( )
La siguiente lista resume las expresiones más comunes utilizadas para expresar a la vez un
cuantificador universal y una negación:
Para ningún ................
Ninguno.........................
Nadie............................
Nada.............................
No.................................

2.1.6. Proposiciones con predicados diáticos con cuantificación múltiple
Dos o más cuantificadores.
Según Suppes y Hill (1992), no se pueden hacer muchas matemáticas u otros razonamientos
sistemáticos utilizando sólo un cuantificador con cada proposición, pues en Matemática
siempre se trabaja con relaciones entre dos o más objetos. Afortunadamente, es
extremadamente sencillo extender todo lo que se ha hecho, incluyendo proposiciones que
contengan más de un cuantificador universal siempre que los cuantificadores se encuentran
al principio de la proposición.
Como ejemplo, se considera el razonamiento:
(1) Para cada e , si es mayor que , entonces no ocurre que sea mayor que .
(2) Dos es mayor que uno.
Por tanto, no ocurre que uno sea mayor que dos.
Se puede simbolizar este razonamiento y a cada una de las variables e se le puede aplicar
la especificación universal, y se sustituye “ ” por “ ” e “ ” por ““ ”. Una deducción
completa tiene la forma:
Demostrar: ( )
(1) ( )( ) ( ( ))
(2)
(3) ( ) ⁄ ⁄ ( )
(4) ( )
3. Regla de especificación universal
Para definir la regla de especificación universal analizamos el siguiente ejemplo:
(1) Cada ciudadano de California es un ciudadano de los Estados Unidos.
(2) El gobernador Brown es un ciudadano de California.
Por tanto, el gobernador Brown es un ciudadano de los Estados Unidos.
La idea intuitiva de especificación es que cualquier cosa que sea cierta para todo objeto, es
cierta para cualquier objeto que nosotros deseemos elegir, como en nuestro ejemplo, el
gobernador Brown.

La estrategia de la demostración en tres pasos que se sigue es:
Paso 1. Simbolización de las premisas.
Paso 2. Especificación de objetos para eliminar cuantificadores.
Paso 3. Aplicar métodos de inferencia proposicional para deducir una conclusión.
En el Paso 1, simbolizamos el ejemplo anterior, definiendo:
es un ciudadano de California, y
es un ciudadano de los Estados Unidos, y
gobernador Brown,
Se pueden simbolizar las premisas y la conclusión de este razonamiento por:
Demostrar:
(1) ( ) ( )
(2)
Ejecutando el paso 2, se cambian las fórmulas atómicas, “ ” y “ ”, en proposiciones
atómicas. Esta es la razón por la que se puede dar el paso 3.
Luego, siguiendo los tres pasos, se obtiene la deducción:
(1) ( ) ( )
(2)
(3) Especificar para
(4)
Analizamos un segundo ejemplo:
(1) Cada número positivo es mayor que cero.
(2) 1 es un número positivo.
(3) 3 es un número positivo.
Por tanto, 1 y 3 son mayores que 0.

Definimos: es un número positivo y utilizando el símbolo matemático para
“mayor que”, simbolizamos el razonamiento:
Demostrar:
(1) ( ) ( )
(2)
(3)
(4) ⁄ ( )
(5)
(6) ⁄ ( )
(7)
(8)
Podemos observar que en las líneas (4) y (6) se ha indicado explícitamente la especificación
“ ⁄ ” y “ ⁄ ” seguidas del número de la línea a la que se aplicó la especificación universal.
En adelante, se utilizará esta línea inclinada para indicar la especificación. Se lee, “Poniendo
1 en vez de “ ” y “Poniendo 3 en vez de ”.
4. Lógica de Identidad
4.1. Identidad
En lógica de primer orden con identidad, el principio de identidad se expresa:
( ) ( )
Es decir: para toda entidad , es idéntica a sí misma.
No debe confundirse al principio de identidad con la siguiente tautología de la lógica
proposicional:
( )
Esta fórmula expresa que toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera.
Por lo tanto, expresa una verdad acerca de proposiciones y sus valores de verdad, mientras
que el principio de identidad expresa una verdad acerca todo tipo de entidades.

4.2. Regla de identidades
Se supone que es una fórmula que contiene el término , si se transforma en
sustituyendo una o más veces en que aparece la en por la , entonces de y la identidad
se puede concluir .
5. Certeza lógica. Regla de certezas lógicas
Según Suppes y Hill (1992), una certeza lógica es una fórmula que es cierta
independientemente de la certeza o falsedad de hecho de cada premisa particular. Las
tautologías son ejemplos de certeza lógicas, pues son ciertas en virtud de su forma.
Ejemplos:
Lincoln = Lincoln
Es una certeza lógica el que cada cosa es igual a sí misma.
La regla de certezas lógicas (L), permite hacer uso de certezas lógicas en las demostraciones
formales, su enunciado es:
Una certeza lógica puede ser introducida en cualquier momento en una deducción. No
depende de las premisas.
Añadir una certeza lógica en una demostración no es, pues, añadir una premisa, y está
justificado por la regla L.
La necesidad de la regla de certezas lógicas se ve en el siguiente ejemplo:
Demostrar: ( )
(1)
Ciertamente, parece que la conclusión es consecuencia de la premisa, y la regla para
certezas lógicas permite demostrar la conclusión.
Demostrar: ( )
(1)
(2)
(3) ( )

La línea (2) es una certeza lógica que se ha construido seleccionando el primer miembro de
la conclusión deseada y estableciendo que es igual a sí mismo. Observemos que también se
ha utilizado la regla de las identidades. Aquí la línea (2) corresponde a de la regla, el primer
miembro “ ” es y “ ” es . Así (1) corresponde a y , la conclusión, se obtiene
poniendo “ ” en vez del segundo miembro “ ” en la línea (2).
6. Deducción de tautologías
Una deducción (o derivación) es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas
es:
1. Un supuesto inicial o premisa inicial, fórmulas hipotéticamente dadas desde el
principio de la derivación, o
2. Un supuesto provisional, que debe estar cancelado antes de la conclusión, o
3. Una fórmula derivada lógicamente de las anteriores por inferencia inmediata, que
denominaremos consecuencias lógicas inmediatas.
La última línea de la derivación es la conclusión. Una demostración o prueba es una
deducción sin supuestos iniciales.
Debemos destacar que de todas las reglas de inferencias se deducen tautologías.
Algunos ejemplos son:
( ) Regla del Modus Ponendo Ponens.
( ) Regla del Modus Tollendo Tollens.
7. Regla de Generalización Universal
La regla que permite añadir cuantificadores universales se denomina “Generalización
Universal” y su abreviatura es “UG”. Su justificación lógica es directa: todo lo que se pueda
afirmar, o establecer por medio de premisas, para cualquier objeto arbitrario se ha de
verificar para cada objeto.
La regla de Generalización universal es:
De la fórmula se infiere ( ) ( ).
Ejemplo:
(1) Todos los pájaros son animales.
(2) Todos los ruiseñores son pájaros.
Por tanto, todos los ruiseñores son animales.

Simbolizando las premisas, el razonamiento es sencillo:
es pájaro.
es animal.
es ruiseñor.
Demostrar: ( ) ( )
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ⁄ ( )
(4) ⁄ ( )
(5)
(6) ( ) ( )
La línea (6) es, evidentemente, la traducción simbólica de la conclusión “Todos los ruiseñores
son animales”.

Bibliografía
Bibvirtualdata: LÓGICA DE PREDICADOS-Segunda parte. Disponible en:
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/libros/Filosofia/intro_logica/2_parte.pdf.
Copi, Irving:. Introducción a la lógica.
(Recop.) Justo, Fernández López: Predicados monádicos y poliádicos.
Suppes, Patrick y Hill, Shirley. 1992. Introducción a la lógica matemática. Editorial Reverté S.
A. 278 p, Es: Barcelona.

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